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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

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PRÁCTICA No. 1

“LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA NUMÉRICA”

COMPETENCIA

Clasifica y analiza propiedades de los números reales realizando construcciones geométricas con el programa GeoGebra

y empleando análisis matemático.

MARCO TEÓRICO CONJUNTOS Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza que si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas

( , , ...)A B C y los elementos de un conjunto pueden ser denotados con letras minúsculas ( , , , , , )a b c x y z .

Los conjuntos se pueden enunciar de cuatro formas:

1. Por extensión o enumeración, los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo:

{1,2,3,...,10},A , los puntos suspensivos indican que el conjunto continúan y que los elementos siguientes

conservan la misma característica.

2. Por comprensión, los elementos se determinan a través de una condición que se escribe entre llaves y se emplea

el símbolo que significa “tal que”. Retomando el ejemplo anterior tenemos:

{ 10}A x x es un número natural menor o igual a y se lee “El conjunto A está formado por los

elementos de x que son un números naturales, el elemento x es un número menor o igual a 10”.

3. El diagramas de Venn es un esquema que sirve para visualizar el contenido (los elementos) de un conjunto o

relaciones entre conjuntos (ver figura 1) comúnmente se emplean círculos para representar los elementos del

conjunto y rectángulos para representar el conjunto universo.

Figura 1. Diagrama de Venn.

4. La descripción verbal, es el enunciado que describe las características que es común para los elementos.

Ejemplo: “el conjunto de números naturales del 1 al 10”

Dados dos conjuntos A y B , si los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto B , se dice que A es subconjunto de B y se denota como A B . En este curso nos interesan tres operaciones con conjuntos que son la unión, la intersección y la diferencia.


2

La unión dados dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de ambos conjuntos, y se

denota como { }A B x x A o x B .

Ejemplo: Sea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A y {2,3,5,7,11,13,17,19}B .

Por lo tanto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,17,19}A B , en la figura 2 se representa el diagrama de Venn del

conjunto A B .

Figura 2. Diagrama de Venn del conjunto A B .

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y

se denota como { y }A B x x A x B . Tomando el ejemplo anterior la intersección de los conjuntos A

y B estará dada por : {2,3,5,7}A B .

En la figura 3 se representa el diagrama de Venn para la intersección del conjunto A con el conjunto B .


Diferencia de conjuntos, sea A y B dos conjuntos no vacíos la diferencia se define como el conjunto que contienen a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B y se representa como ;A B

retomando los conjuntos A y B del ejemplo anterior la diferencia A B está dada por:

{0,1,4,6,8,9}A B . En la figura 4 se representa el diagrama de Venn para la diferencia del conjunto A

menos el conjunto B .


NÚMEROS REALES.


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Un número real es cualquier número racional o irracional, positivo o negativo; en otras palabras, es cualquier

número desde menos infinito a más infinito. Los números reales se dividen en subconjuntos como son los números racionales, los números enteros, los números naturales y los números irracionales (ver figura 5).

Figura 5. Clasificación de los números reales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente entre dos números enteros; y

se define al conjunto de los números racionales como:

| , , 0a

a b bb

Como puede observarse, el denominador b es necesariamente distinto de cero, porque la división por cero no está definida.

Se llama número irracional a todo número que no puede expresarse como el cociente entre dos números enteros; y

se define al conjunto de los números irracionales como aquél que consta de todos los números reales que no son racionales:

| es una expansión decimal infinita no periódicaI x x

Algunos ejemplos de números irracionales son: e , , , 2 , 3 ,

RECTA NUMÉRICA.

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta numérica (recta real).

Dada una recta, si se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar al cero (0) y otro punto a la derecha del

cero para representar el uno (1); y luego si dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el

segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, 1, 2, 3, . . . (en este orden) a la derecha del cero y los

números -1, -2, -3, . . . (en este orden) a la izquierda del cero. En una recta numérica el punto que representa el cero

recibe el nombre de origen (ver figura 6).

i. Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos.

ii. Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativos.

Figura 6. Representación de una recta real.

Enteros Positivos Naturales

Racionales ( ) CeroReales

Enteros Negativos

Irracionales (I)

Enteros


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ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Axioma de tricotomía. Si se tienen dos números reales a y b , entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera.

, ,a b a b a b

La relación “menor que” en el conjunto de los números reales.

Sean ,a b , se dice que a es menor que b , y se escribe a b , si a b es un número negativo.

Por ejemplo:

2 3 2 3 1pues y 1 es negativo

5 2 5 ( 2) 3pues y 3 es negativo

La relación “mayor que” en el conjunto de los números reales.

Sean ,a b , se dice que a es mayor que b , y se escribe a b , si a b es un número positivo.

Por ejemplo:

5 2 5 2 3pues y 3 es positivo

2 4 2 ( 4) 2pues y 2 es positivo

La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un tipo de conjunto: los intervalos o segmentos:

Si a b entonces el conjunto de números reales { }x a x b es un segmento de la recta numérica llamado

intervalo cerrado y se denota por [ , ]a b , en la figura 7 se observa la representación gráfica de un intervalo cerrado.

Figura 7. Representación gráfica de un intervalo cerrado en la recta real.

Si a b entonces el conjunto de números reales { }x a x b es un segmento de la recta numérica llamada

intervalo abierto y se denota por ,a b , en la figura 8 se observa la representación gráfica del intervalo abierto.

Figura 8. Representación gráfica de un intervalo abierto en la recta real.

Los conjuntos de la forma ,a b x a x b y ,a b x a x b se llaman intervalos semiabiertos o

semicerrado.

En el caso del conjunto ,a b es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha y su representación gráfica en la recta

real se observa en la figura 9.

Figura 9. Representación en la recta real del intervalo ,a b .


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En el conjunto ,a b es un intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha y su representación gráfica en la

recta real se observa en la figura 10.

Figura 10. Representación en la recta real del intervalo ,a b .

Otros tipos de intervalos son: ,b x x b , ( , ]b x x b , ,a x a x y [ , )a x a x

denominados intervalos infinitos. Los números a y b que determinan cada uno de los conjuntos anteriores se denominan extremos (izquierdo y derecho) del correspondiente intervalo. COTA SUPERIOR E INFERIOR. Un conjunto A es acotado superiormente si existe un número real M que es mayor que todos los elementos del

conjunto A , es decir: ,M x A tal que x M , a este número M , se le llamará cota superior de A .

Cualquier otro real mayor que M , se le llamará cota superior de A .

Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un número real m que es menor que todos los elementos del

conjunto A , es decir: ,m x A tal que m x , a este número real m se le llamará cota inferior de A .

Cualquier otro número real m , también será una cota inferior de A .

Por ejemplo, en el intervalo cerrado [1,2] es acotado superiormente, algunas cotas superiores de [1,2] son 2, 3, 72

,1000, etcétera. En general cualquier número mayor o igual que 2 es cota superior del conjunto [1,2] .

En el caso del intervalo abierto (1,2) es un conjunto acotado superiormente que tiene las mismas cotas superiores que

el conjunto [1,2] .

MÁXIMO Y MÍNIMO. Diremos que un conjunto A posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto. Diremos que un conjunto A posee mínimo, si posee una cota inferior que pertenece al conjunto. Estas dos definiciones nos dicen que el máximo de un conjunto es el mayor elemento del conjunto y que el mínimo de un conjunto es el menor elemento del conjunto. Si el máximo existe, este es único. Lo mismo ocurre con el mínimo. SUPERMO E INFIMO. Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un número real s que satisface las dos siguientes condiciones:

i. s es una cota superior de A ii. Cualquier otra cota superior de A es mayor que s

El supremo de A , se denota sup A.

Diremos que un conjunto A posee ínfimo, si existe un número real u que satisface las dos siguientes condiciones:

i. u es una cota inferior de A ii. Cualquier otra cota inferior de A es menor que u


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El ínfimo de A , se denota por inf A .

Dados ,a b con a b se pueden considerar los conjuntos mostrados en la tabla 1.

Tabla 1. Intervalos finitos e infinitos y su máximo, mínimo, ínfimo y supremo.

INTERVALO min max inf sup

,a b a b a b

,a b a b

,a b a a b

,a b b a b

,b b b

,b b

,a a

,a a a

Densidad de los números reales.

Propiedad (Densidad de en ). Esta propiedad es conocida como propiedad arquimediana y establece que “para

cualquiera pareja x y y de números racionales, existe otro número racional situado entre ellos”

Así pues, entre los números x y y puede localizarse el número

2

x y, lo cual induce la idea de densidad y de una

cantidad grande de números racionales. Propiedad (Densidad de I en ).- “Entre cada dos números irracionales existe otro número irracional” Tanto los números racionales como los irracionales pueden asociarse a un punto de la recta numérica, proposición que puede corroborarse con las cortaduras de Dedekind. Es también para destacarse que el conjunto de los números reales

es la unión disjunta de los números racionales y de los irracionales; I .


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REPORTE NOMBRE DE LA PRÁCTICA:

PRÁCTICA No. 1 Los números reales y la recta numérica

DATOS GENERALES:

NOMBRE:

GRUPO/ESPECIALIDAD: FECHA DE ENTREGA:

PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE-2016

CALIFICACIÓN:

LISTA DE VALORES PARA EL REPORTE DE LA PRÁCTICA

NOTA: Para que el reporte sea revisado y se otorgue la puntuación convenida, es necesario que cumpla con las siguientes

características:

El reporte debe ser entregado engrapado o en folder (no entregar hojas sueltas). Cumple No cumple

Demuestra compromiso ético en la realización del reporte (en caso que los ejercicios resulten fotocopiados o con los mismos errores cometidos por otros compañeros serán anulados).

Cumple No Cumple

ASPECTOS A EVALUAR PUNTUACIÓN MÁXIMA

PUNTUACIÓN OBTENIDA

OBSERVACIONES

Entrega el reporte en tiempo y forma.

5

Cumple con las indicaciones respecto al orden, limpieza (sin manchones o tachaduras) y letra legible para el reporte.

5

Hace uso correcto del software de forma que la presentación y visualización de las construcciones realizadas son correctas.

20

Identifica los comandos en el software de forma que cumple con todos los requisitos pedidos en los ejercicios.

40

Identifica los conceptos propuestos en la práctica, contestando correctamente la guía de preguntas.

30

TOTAL

100


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EJERCICIO No. 1 Clasificación de los números reales y aplicación del axioma de orden de los números reales en la recta real

INSTRUCCIONES: Realizar las operaciones mostradas en la parte de abajo y clasificar los números obtenidos como resultados según al conjunto al que pertenezcan (el número puede pertenecer a más de un conjunto o a ninguno).

Ejemplo: 25 5 20 20 ,

20 ,

20

1. 4 9 12 7

3 2 4

2. 6 2

3. 5 20

3 5

4. (2 7) 10 35

5. 3

2e e

INSTRUCCIONES: Ordenar y graficar en la recta real los resultados obtenidos en las operaciones de la parte de arriba.


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EJERCICIO No. 2

CALCULO DEL NÚMERO IRRACIONAL

Instrucciones:

1. Crear un deslizador llamado r dando clic en el ícono ubicado en la barra de herramientas, con los valores Mín: 0, Máx: 5, Incremento: 1 como se muestran en la figura 11.

Figura 11. Creación del deslizador r.

2. Crear otro deslizador llamado de ángulo con los valores Mín: 0, Máx: 360°, Incremento: 5° como se

muestran en la figura 12.

Figura 12. Creación del deslizador .

3. Crear los puntos A y B ingresando en la barra de entrada: da enter y da enter. Recuerda dar un espacio entre r y para que GeoGebra interprete correctamente la multiplicación.

4. Emplea la herramienta circunferencia (centro, radio) para crear un círculo con centro en el punto B y radio r , como se muestra en la figura 13.

Figura 13. Creación de un circulo con centro en B y radio r.

5. Encontrar la intersección de la circunferencia con el eje x emplea la herramienta , automáticamente


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el programa le asigna a este punto el nombre C.

6. Unir el punto C con el punto A, con un segmento de recta , colorear este segmento de rojo, has la línea más gruesa, renombrar el segmento de recta como “perímetro”, seleccionando el objeto segmento etiquetado como “a” da clic botón derecho/renombra. Oculta el punto C.

7. Emplear la herramienta rotación para generar el punto C´, el cual rotara alrededor del circulo como una rueda girando. Para generar C’ da clic sobre la herramienta rotación, enseguida clic sobre el punto C, clic sobre el punto B y finalmente donde pide ángulo de rotación escribe el símbolo .

8. Une el punto B con el punto C´ (C prima) empleando un vector que apunte hacia el punto C´. Colorea el vector de rojo.

9. Oculta el eje y . Coloca el puntero en la vista gráfica en un área libre de objetos da clic en botón derecho y

elige el submenú Vista Gráfica, en el menú que aparece elije la pestaña Eje y; y quita la palomita a la casilla de control Eje-y.

10. Oculta la cuadricula. y . Coloca el puntero en la vista gráfica en un área libre de objetos da clic en botón

derecho y elige la opción Cuadrícula. 11. En el menú principal elige Opciones/Redondeo y elige 15 cifra decimales. 12. Una vez concluida la construcción fija un valor de radio y mueve el deslizador de ángulo desde 0° hasta 360°,

observa en la vista algebraica el valor del segmento de recta que une los puntos C y A. Pegar la imagen de la construcción en la parte de abajo.

Fijando los valores del radio y moviendo el deslizador de ángulo desde 0 hasta 360°, completa la siguiente tabla.

r (cm) Perímetro (cm) Perímetro/diámetro

1

2

3

4

5

Contesta lo siguiente: ¿Qué tipo de número es el valor del radio de un círculo?____________________ ¿Qué tipo de número es el perímetro calculado de un circulo?______________________ El valor obtenido de la relación entre el perímetro/diámetro, ¿qué tipo de número es?:__________________, ¿Cuál es este número?___________


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EJERCICIO No. 3

GRAFICACIÓN INTERVALOS Y OPERACIONES DE CONJUNTOS

INSTRUCCIONES: Dado el universo de los números reales y los siguientes subconjuntos (intervalos) realiza las operaciones que se piden y grafica los intervalos y las soluciones. Además determina el ínfimo, supremo, máximo y mínimo del conjunto solución.

8,4A ; / 3 5B x x ; 2,C

PROCEDIMIENTO 1. Ocultar el eje y (da clic con el botón derecho del ratón sobre la vista gráfica, selecciona vista grafica en la parte de

arriba aparecerá un menú: Básico, Eje X , Eje Y , Cuadrícula; selecciona Eje Y y quitar la paloma al Eje Y ).

2. Para graficar un intervalo por ejemplo ( 1,6] en GeoGebra ingresaremos la desigualdad 1 6x en la barra

de entrada y damos enter. Aparecerá una región marcada en azul como se muestra en la figura 14.

Figura 14. Gráfica de la región en el plano de un intervalo.

3. Sobre la región azul coloca el puntero, da clic con el botón derecho y elige propiedades. En el nuevo menú

desplegado elige Estilo y palomea el cuadro Mostrar sobre el eje x cierra el cuadro de diálogo, y el intervalo estará graficado sobre el eje x como se muestra en la figura 15, en el que se muestra un círculo vacío para la cota abierta del intervalo -1 y un círculo relleno para cota cerrada del intervalo 6.

Figura 15. Gráfica del intervalo sobre el eje x .

Ejemplo

( 8,4] [2, ) ( 8, )A C

( )mín A C (No presenta)

( )máx A C

sup( )A C

ínf( ) 8A B


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1. B A

( ) ______mín B A

( ) ______máx B A

sup( ) ______B A

ínf ( ) ______B A

2. A B

( ) ______mín A B

( ) ______máx A B

sup( ) ______A B

ínf ( ) ______A B

3. A B

( ) ______mín A B

( ) ______máx A B

sup( ) ______A B

ínf ( ) ______A B


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EJERCICIO No. 4

DENSIDAD DE LOS NÚMEROS REALES

INSTRUCCIONES: Utilizando GeoGebra, localiza el número racional positivo más cercano al cero en base a una secuencia de bisección consecutiva en la recta numérica, de forma que se generará una “mancha de puntos cercanos al cero”.

PROCEDIMIENTO 1. Abrir una nueva página en GeoGebra. 2. Ocultar el Eje Y.

3. Con la herramienta , sitúa dos puntos A y B sobre el eje x, en (0,0) y en (10,0).

4. Construir un deslizador con la herramienta de nombre n, con valores mínimo igual a 1, máximo igual a 100 e incremento de 1 unidad.

5. En la casilla de entrada insertar el comando secuencia con la siguiente sintaxis: 6. “Secuencia[((x(B) - x(A)) / (2i), 0), i, 1, n]” 7. El programa generará automáticamente una lista de puntos con el nombre “lista1” que podrá ser vista en el área

algebraica de GeoGebra. Si este objeto no está activado, entonces actívalo para que pueda verse en el área gráfica. Ejemplo de cuando no está activada ver figura 16.

Figura 16. Lista de puntos que se genera en la Vista Algebraica

En tal caso debe dar click en el círculo blanco a un lado de “lista1”. Cuando el valor de n es 39, la figura 17 se verá como:

Figura 17. Vista Gráfica cuando 39n .

8. Para mover el deslizador construido, con un click sostenido sobre el punto del deslizador será posible la variación

del mismo. O bien, dando click sin sostener y a continuación con las flechas de la computadora. Inserte figura resultante:


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GUÍA DE PREGUNTAS

1. El cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es un número:

2. ¿Cuál es la propiedad de los números racionales que está representando en el ejercicio 4?

3. Emplee los símbolos: =, , , o para comparar las cantidades de la izquierda con la derecha:

1.099

-1.0999

2

3

5

6

7

5

49

35

12 8

2 4

20

10 1

32.36 10x 0.0236

4. ¿Cuál es el predecesor del número -5.23 con una diferencia de 0.01? ______________ . ¿Cuál es el

antecesor de 1

3?

5. Determine el ínfimo, supremo, máximo y mínimo del siguiente conjunto.

A [2,6)A sup( )A ( )ínf A ( )máx A ( )mín A

MANUAL DE PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL Elaborado por: Ing. Ana María Palma Tirado y M.C. Gloria Reyna Gómez Páez Revisado por: Dra. María Teresa Villalón Guzmán, M.C. Ma. Guadalupe Medina Torres, M.C. Ma. Del Carmen Cornejo Serrano y M.C. Eloisa Bernardette Villalobos Oliver.

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