TECNOLOGÍA DE ELEMENTOS - UPMw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0607/tecnol-hdout.pdf · elementos...

Tecnologıa deelementos

F. Gabaldon

El fenomenode bloqueo

La prueba dela parcela

Analisisespectral (Q4)

Formulacionesmixtas

Integracionselectiva

Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles

Deformacionessupuestas

Conclusiones

GM

C

TECNOLOGIA DE ELEMENTOS

Felipe Gabaldon Castillo

Madrid, 11 de Enero de 2007


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Indice

1 El fenomeno de bloqueo

2 La prueba de la parcela

3 Analisis espectral (Q4)

4 Formulaciones mixtas

5 Integracion selectiva

6 Control de Hourglass

7 Formulacion B-bar

8 Modos incompatibles

9 Deformaciones supuestas

10 Conclusiones


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Contenido

1 El fenomeno de bloqueo. Elasticidad incompresible

2 La prueba de la parcela

3 Analisis modal de la matriz de rigidez

4 Tecnologıas especiales

5 Metodos mixtos

6 Integracion selectiva y reducida

7 Control de “hourglass”

8 La formulacion B


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Contenido

10 El metodo de modos incompatibles

11 La formulacion con deformaciones mejoradas supuestas


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Introduccion

Ciertas restricciones fısicas conducen a situaciones debloqueo de la formulacion en desplazamientos. Ejemplos:

Elasticidad incompresible.Flexion de vigas y placas delgadas

Concepto: La metodologıa de solucion es minimizar laenergıa potencial total. Utilizar para ello el metodo de loselementos finitos ya introduce una restriccion (se busca elmınimo para una cierta clase de desplazamientos, porejemplo polinomios continuos a trozos). Si ademas existenrestricciones adicionales de tipo fısico, el sistema puedequedar con un exceso de restricciones que hagan que launica solucion del sistema sea la nula.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Introduccion

Ejemplos:

ν → 0,5 en deformacion planat → 0 en vigas y placas

Pueden existir restricciones “escondidas”: plasticidad condeformaciones plasticas de caracter isocorico.

El problema debe plantearse introduciendo una incognitapor cada ecuacion de restriccion.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Elasticidad incompresible

Ecuacion constitutiva (medio elastico isotropo):

σij = λuk,kδij + 2µu(i ,j)

Si ν → 12 , entonces λ = 2νµ

1−2ν→ ∞

La formulacion en este caso sera:

σij = −pδij + 2µu(i ,j)

ui ,i = 0

Para triangulos lineales de presion constante, se tiene:∫

Ωe

qhuhi ,idΩ = 0 ∀qhcte en Ωe ⇒

∫

Ωe

uhi ,idΩ = 0

es decir, los elementos no cambian de volumen:

III II

I

6?

-


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C El fenomeno del bloqueo. Elasticidad incompresible

Formulacion valida para medios compresibles eincompresibles:

σij = −pδij + 2µu(i ,j)

ui ,i +p

λ= 0

Observaciones

ν =1

2⇒ p = −

σii

3

ν ≈1

2⇒ p ≈ −

σii

3

ν 6=1

2⇒ p = −λui ,i 6=

σii

3


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C La prueba de la parcela

Introducida originalmente por Irons en 1965 y revisadaposteriormente por Taylor et al. en 1986 (Individual patchtest).Los estados de deformacion constante (incluyendomovimientos de solido rıgido) han de ser representados demanera exacta.Ha de verificarse, en particular, para un solo elemento.Se debe probar sobre elementos distorsionados.Los modos de deformacion constante y de solido rıgido soncapturados de manera exacta por todos los elementos quepasan la prueba de la parcela. La diferencia entre losdistintos elementos se encuentra en la rigidez de losmodos de flexion.Los modos de flexion no han de tener rigidez infinita en ellımite incompresible. Este es el problema que tiene laformulacion en desplazamientos.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Modos de deformacion

Para el elemento bilineal de 4 nodos los modos dedeformacion son:

SR1 SR2 ROT

BG1SHRSTR

DIL

BG2


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Autovalores

Modos de solido rıgido

λSR1 = 0, λSR2 = 0, λSR3 = 0

Modo volumetrico

λVOL =1

2r

[(λ + 2µ)(1 + r2)+

√4µ(λ + µ)(r2 − 1)2 + λ2(r2 + 1)2

]r =

h

b

En el caso incompresible λVOL → ∞

Flexion

λBG1 =µ + (λ + 2µ)r2

3r, λBG2 =

µr2 + λ + 2µ

3r

con r = h/b. En el problema de flexion de vigas delgadasλBG1 → ∞ o λBG2 → ∞


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Conclusiones

El fenomeno del bloqueo aparece como consecuencia deuna formulacion numerica inadecuada que da lugar a unproblema con demasiadas restricciones. En concreto, dosdefectos clave son la interpolacion lineal de las respuestasvolumetricas y de corte.

El problema debe solucionarse modificando la formulacionen los terminos que dan lugar a los campos dedeformaciones no constantes. La integracion reducidaelimina la parte no constante de las deformaciones en elelemento, pero da lugar a modos espureos de energıa nula.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Tecnologıas especiales

1 Metodos mixtos.

2 Integracion selectiva y reducida.

3 Control de Hourglass

4 Formulacion B

5 El metodo de los modos incompatibles

6 Formulacion con deformaciones supuestas mejoradas


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Introduccion

Las referencias son muy abundantes

Los metodos mixtos emplean diferentes interpolacionespara diferentes campos: desplazamientos-presion,desplazamientos-tension, desplazamientos-deformacion,etc.

Para que una formulacion mixta tenga garantizada laconvergencia, ha de verificar la condicion deBabuska-Brezzi (problema de checker-board).

Los elementos de orden alto pierden robustez enproblemas no lineales.

No hay un “buen elemento” para todas las clases deproblemas


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion fuerte

Dados f, g, h, encontrar u : Ω → R , p : Ω → R tal que:

σij ,j + fi = 0 en Ω

ui ,i + p/λ = 0 en Ω

ui = ui en ∂uΩ

σijnj = t i en ∂tΩ

siendo:σij = −pδij + 2µu(i ,j)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion debil

Sean:

Si = espacio de las soluciones de prueba (desplazamientos)

νi = espacio de las funciones de peso (desplazamientos)

P = espacio de las presiones

Dados fi , ui , t i , encontrar ui ∈ Si y p ∈ P tal que∀δui ∈ νi , δp ∈ P, se verifique:

∫

Ωδu(i ,j)σijdΩ −

∫

Ωδp

(ui ,i +

p

λ

)dΩ =

∫

Ωδui fidΩ+

∫

∂tΩδui t idΓ (1)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Metodo de Galerkin

Sean:

Shi = espacio de las soluciones de prueba (desplazamientos)

νhi = espacio de las funciones de peso (desplazamientos)

Ph = aproximacion del espacio de las presiones

Dados fi , ui , t i , encontrar uhi ∈ Sh

i y p ∈ Ph tal que∀δuh

i ∈ νhi , δph ∈ Ph, se verifique:

∫

Ωδuh

(i ,j)σhijdΩ−

∫

Ωδph

(uhi ,i +

ph

λ

)dΩ =

∫

Ωδuh

i fidΩ+

∫

∂tΩδuh

i t idΓ (2)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion matricial

Sustituyendo:

∫

Ωδuh

(i ,j)σhijdΩ = −

∫

Ωδuh

i ,iphdΩ +

∫

Ωδuh

(i ,j)2µuh(i ,j)dΩ

en (2) y haciendo las interpolaciones definidas por:

uh = Nd δuh = Nδu

ph = Npp δph = Npδp

para δu y δp arbitrarios se obtiene:

(K G

GT M

)(d

p

)=

(F

H

)(3)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Condensacion estatica

Partiendo del sistema de ecuaciones a nivel elemental:(

ke ge

(ge)T me

) (de

pe

)=

(fe

he

)

kede + gepe = fe (4)

(ge)Tde + mepe = he (5)

si los grados de libertad correspondientes a las presionesson internos, es posible eliminar a nivel elemento el campode presiones llegando a la ecuacion matricial en formaestandar:

Kd = f (6)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Condensacion estatica (caso compresible)

La forma de proceder es la siguiente (λ < ∞; me 6= 0):Se elimina pe en (5):

pe = (me)−1[he − (ge)Tde

]

y se sustituye en (4), resultando:

kede = f

e

donde:

ke

= ke − ge(me)−1(ge)T

fe

= fe − ge(me)−1he


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Condensacion estatica (caso incompresible)

En este caso (λ → ∞; me = 0) se elimina de en (4):

de = (ke)−1 [fe − gepe ] (7)

y se sustituye en (5):

he = (ge)T(ke)−1 [fe − gepe ] (8)

Ahora en (8) se despeja pe :

[(ge)T(ke)−1ge

]pe = (ge)T(ke)−1fe − he

y se sustituye en (7) para obtener de


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Interpolacion del campo de presiones

La interpolacion de desplazamientos es la estandar. La depresiones puede ser discontinua

¡ No todos los elementos funcionan !:

r =neq

nc

;neq ≡ ecuaciones en desplazamientos

nc ≡ restricciones de incompresibilidad

r = 2 optimo

r > 2 pocas restricciones de incompresibilidad

r < 2 demasiadas restricciones de incompresibilidad

r ≤ 1 bloqueo severo


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Interpolacion del campo de presiones

r = 1 r = 2

r = 2r = 2 r = 3/2

r = 2/3


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Integracion selectiva y reducida

Concepto:

Ke =

∫

Ωe

BTDBdΩ

=

∫

Ωe

BTDλBdΩ

︸︷︷︸Int. red: 1×1

+

∫

Ωe

BTDµBdΩ

︸︷︷︸Int. comp: 2×2

siendo:σij = λǫkkδij + 2µǫij

Formulacion en desplazamientos.

Teorema de equivalencia (Malkus-Hughes)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Control de “hourglass”

Concepto: utilizar integracion reducida anadiendo rigidezartificial a los modos de flexion.

Utiliza parametros escogidos “ad-hoc” para introducir larigidez artificial.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C La formulacion B

Concepto: ε = Bd

Se considera la descomposicion aditiva de B en:B = Bvol + Bdev, siendo para el cuadrilatero de 4 nodos:

BAvol =

1

3

NA,1 NA

,2

NA,1 NA

,2

0 0

y Bdev = B − Bdev

Se define: B = Bvol|ξ=0 + Bdev


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C La formulacion B

Ejemplo: elemento de 4 nodos bidimensional

B = (B1,B2,B3,B4); BA =

NA,1 0

0 NA,2

NA,2 NA

,1

Se considera la descomposicion aditiva de B en:B = Bvol + Bdev, siendo:

BAvol =

1

3

NA,1 NA

,2

NA,1 NA

,2

0 0

y Bdev = B − Bdev

Se define: B = Bvol|ξ=0 + Bdev


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C El metodo de los modos incompatibles

Concepto: anadir modos de flexion de orden cuadratico.

Interpolacion del campo de desplazamientos:

u =

4∑

A=1

NA(ξ)dA +

2∑

I=1

NI (ξ)αI

siendo: N1(ξ) =1

2(ξ2 − 1), N2(ξ) =

1

2(η2 − 1)

Los αI son grados de libertad internos a nivel de cadaelemento.

Deformaciones: ε = Bd + Gα

G = [G1 G2] GI =

NI ,1 0

0 NI ,2

NI ,2 NI ,1


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C El METODO DE LOS MODOS INCOMPATIBLES

Prueba de la parcela.Han de obtenerse tensiones constantes condesplazamientos lineales:

σ = CBd = constante con α = 0

sustituyendo en la ecuacion variacional∫Ω GT σdΩ = 0,

resulta:

0 =

∫

Ωe

[GTCBdΩ

]d =

[∫

Ωe

GTdΩ

]σ ⇒

∫

Ωe

GdΩ = 0

El elemento original de Wilson no pasa la prueba de laparcela

Taylor modifica los gradientes de los modos incompatibles:

∇N I =j0

jJ−T

0 ∇ξNI


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion E.A.S.

Del acronimo ingles Enhanced Assumed Strain

Objetivo: desarrollar un elemento de prestaciones similaresal de Wilson-Taylor y que ademas tenga las caracterısticas:

1 Formulacion variacionalmente consistente2 Formulacion sistematica de diversas familias de elementos3 Generalizacion para problemas con grandes deformaciones

Concepto: el campo de deformaciones compatibles semejora anadiendole un campo de deformaciones“mejoradas”:

ε = ∇Su + ε


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion variacional

Funcional de Hu-Washizu

Π(u, ε,σ) =∫

Ω[W (ε) + σ · (∇su − ε)] dΩ−

∫

Ωu ·fdΩ−

∫

∂tΩu ·tdΓ

Ecuaciones variacionales:∫

Ω(∇s(δu) · σdΩ −

∫

Ωδu · fdΩ −

∫

∂tΩδu · tdΓ = 0

∫

Ωδε ·

[∂W

∂ε− σ

]dΩ = 0

∫

Ωδσ · [∇su − ε] dΩ = 0


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion variacional

Reparametrizacion con deformaciones mejoradas:

Π(u, ε,σ) =∫

Ω

[W (∇su + ε) − σ · ε)

]dΩ−

∫

Ωu ·fdΩ−

∫

∂tΩu ·tdΓ

Ecuaciones variacionales:∫

Ω(∇s(δu) ·

∂W

∂εdΩ −

∫

Ωδu · fdΩ −

∫


∫

Ωδε ·

[∂W

∂ε− σ

]dΩ = 0

∫

Ωδσ · εdΩ = 0


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion de elementos finitos

Los espacios funcionales:

V =δu ∈ H1(Ω, Rn) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂uΩ

E =δε ∈ L2(Ω, Rnstrs)

S =δσ ∈ L2(Ω, Rnstrs)

se aproximan por los subespacios de dimension finita:

Vh =

δuh ∈ V | δuh = 0; δuh =

nnod∑

A=1

δuANA(ξ); ∀x ∈ ∂uΩ

Eh =

εh ∈ E | εh =

nelm∑

e=1

εe(ξ)χe

Sh =

σh ∈ S | σh =

nelm∑

e=1

σeh(ξ)χe


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM


Eliminacion del campo de tensiones supuestas: los camposde tensiones supuestas se escogen para que seanortogonales al campo de deformaciones mejoradas:

∫

Ωδσh · εhdΩ = 0

De esta manera las ecuaciones variacionales se reducen a:∫

Ω(∇s(δu) ·

∂W

∂εdΩ −

∫

Ωδu · fdΩ −

∫


∫

Ωδε ·

∂W

∂εdΩ = 0


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM


Interpolacion del campo de desplazamientos

uh = Nd ⇒ ∇s(δuh) = Bd

Interpolacion del campo de deformaciones mejoradas

εeh = Gαe

No se requiere continuidad de αe entre elementos

Ecuaciones de elementos finitos

fext −A∫

Ωe

BTσ(ε)dΩ = 0

∫

Ωe

GTσ(ε)dΩ = 0


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Formulacion E.A.S. (linealizacion)

Linealizando las ecuaciones (en la iteracion k):

A[fe,int(de(k) + ∆de(k),αe(k) + ∆αe(k)) − fe,ext

]= 0

he(de(k) + ∆de(k),αe(k) + ∆αe(k)) = 0

mediante Newton-Raphson, se obtiene:

A

fe,int(de(k), αe(k)) +∂fe,int

∂α

∣∣∣∣∣

(k)

∆αe(k) +∂fe,int

∂d

∣∣∣∣∣

(k)

∆de(k)

=

he(de(k), αe(k)) +∂he

∂α

∣∣∣∣(k)

∆αe(k) +∂he

∂d

∣∣∣∣(k)

∆de(k) =


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM


donde:

∂fe,int

∂d

∣∣∣∣(k)

=

∫

Be

BT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))

∂ε∂εB dΩ

∂fe,int

∂α

∣∣∣∣(k)

=

∫

Be

BT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))

∂ε∂εG dΩ

∂he

∂d

∣∣∣∣(k)

=

∫

Be

GT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))

∂ε∂εB dΩ

∂he

∂α

∣∣∣∣(k)

=

∫

Be

GT ∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))

∂ε∂εG dΩ


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM


Llamando:

Ce(k) =

∫

Be

∂2W (x,Bde(k) + Gαe(k))

∂ε∂εdΩ

He(k) =

∫

Be

GTCe(k)G dΩ

ΓΓΓe(k) =

∫

Be

GTCe(k)B dΩ

Ke(k) =

∫

Be

BTCe(k)B dΩ

Resultan las ecuaciones matriciales:

A[fe,int(k) + ΓΓΓe,(k)T∆αe(k) + Ke(k)∆de(k) − fe,ext

]= 0

he(k) + He(k)∆αe(k) + ΓΓΓe(k)∆de(k) = 0


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Implementacion computacional

Conocida la solucion en la iteracion k:

1 Calcular el valor de he(k)

he(k) =

Z

Be

GT·

∂W (x,B · de(k) + G · αe(k))

∂εdΩ

2 Obtener He(k) y ΓΓΓe(k)

3 Obtener mediante “condensacion estatica” ∆αe(k)

∆αe(k) = −

“

He(k)

”−1

·

h

ΓΓΓe(k)· ∆d

e(k) + he(k)

i

4 Actualizar αe(k+1)

αe(k+1) = α

e(k) + ∆αe(k)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Implementacion computacional

5 Calcular el vector de fuerzas internas modificado fe,int(k)

y la matrizde rigidez tangente modificada Ke(k)

fe,int(k)

= fe,int(k)

− ΓΓΓe,(k)T·

“

He(k)

”−1

· he(k)

Ke(k) = K

e(k)− ΓΓΓe,(k)T

·

“

He(k)

”−1

· ΓΓΓe(k)

6 Ensamblar y resolver el nuevo sistema de ecuaciones:

R(k)

= Ah

fe,ext

− fe,int(k)

i

K(k)

= AKe(k)

∆d(k+1) =

“

K(k)

”−1

· R(k)

7 Actualizar el vector de desplazamientos

d(k+1) = d

(k) + ∆d(k)

8 Chequear la convergencia


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Diseno de elementos: Metodologıa

1 Definir en el espacio isoparametrico una matriz deinterpolacion E(ξ), tal que el campo de deformacionesmejoradas tenga la expresion:

E(ξ) = E(ξ) · αe αe ∈ Rnε

2 Obtener la expresion de la matriz G(ξ) de interpolaciondel campo de deformaciones mejoradas en el espacio fısicoε(ξ)

G(ξ) =j0

j(ξ)F−T

0 E(ξ)


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Diseno de elementos: Ejemplos

Elemento Q4/E4 (Wilson-Taylor)

E(ξ) =

0

@

ξ 0 0 00 η 0 00 0 ξ η

1

A

Elemento Q4/E5 (Simo-Rifai)

E(ξ) =

0

@

ξ 0 0 0 ξη0 η 0 0 −ξη0 0 ξ η ξ2

− η2

1

A

Elemento Q4/E7 (Andelfinger-Ramm)

E(ξ) =

0

@

ξ 0 0 0 ξη 0 00 η 0 0 0 ξη 00 0 ξ η 0 0 ξη

1

A


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Diseno de elementos: Requisitos

1 Las columnas de G han de ser linealmente independientes,para que

He =

∫

Be

GT · Ce · G dΩ

sea invertible.

2 Prueba de la parcela (consistencia)

∫

Be

GdΩ = 0

3 Estabilidadεh ∩ ∇

suh = ∅

Implica que la matriz de rigidez condensada no tienemodos de energıa nula, adicionales a los de solido rıgido.


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Conclusiones

Autovalores (r = h/b). Modos de flexion

BG1 BG2

Q4 (µ + (λ + 2µ)r2)/3r (µr2 + λ + 2µ)/3r

Q4R 0 0Q4RS µ(2r2 + 1)/3r µ(r2 + 2)/3r

B (9µ + r2(λ + 10µ))/27r (9r2µ + (λ + 10µ))/27r

Q1/E4 4rµ(λ + µ)/3(λ + 2µ) 4µ(λ + µ)/3r(λ + 2µ)

Elemento Q4R : modos de energıa nula

Regimen incompresible (λ → ∞) y flexion de vigasdelgadas (r → ∞): bloqueo de Q4; Q4R ; Q4RS ; B

Q1/E4; Q1/E5 y Q1/E7 equivalentes en paralelogramos


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Ejemplos. Sensibilidad a la distorsion

?6 -

?d

l

P = 0,01Nθ

?6 -

?d

l

θ

Distorsion simetrica

Distorsion asimetrica

P = 0,01N

d/l = 0,033

d/l = 0,033


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Ejemplos. Sensibilidad a la distorsion

θ Q4 B Q1/E4

0 0,12458 0,12995 0,9966415 0,11080 0,11935 0,9678330 0,08022 0,09275 0,9163245 0,04985 0,06101 0,88451

θ Q4 B Q1/E4 Q1/E5 Q1/E7

0 0,12458 0,12995 0,99664 0,99664 0,9966415 0,09959 0,10467 0,45105 0,45107 0,4510730 0,06148 0,06563 0,26135 0,26143 0,2614545 0,03627 0,03906 0,19824 0,19845 0,19849


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Ejemplos. Ensayo de identacion de Prandtl

????

-?

6

H

L


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Ejemplos. Ensayo de identacion de Prandtl

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20

F

EδσY H

Carga lımite exactaQ4

♦

♦

♦♦

♦♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

♦Q1/E4

+

++

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

+


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Ejemplos. La membrana de Cook

6?

?

6

-

6 F

48

44

16


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM



F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40 50 60 70

v

N

B

♦

♦

♦

♦♦ ♦

♦Q1/E4

+

+

+ + + +

+Q1/E5

Q1/E7

×

×

×× × ×

×

v : Flecha

N : Elementos por lado


F. Gabaldon




Formulacionesmixtas


Control deHourglass

FormulacionB-bar

Modosincompatibles


Conclusiones

GM

C Bibliografıa

Hughes, T.J.R. The Finite Element Method. Linear

static and dynamic finite element analysis. Dover. 2000.

Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. The Finite

Element Method. Volumen 2: Solid Mechanics.

Butterworth-Heinemann. 2000.

Bathe, K.J. Finite Element Procedures. Prentice Hall,1996.

Onate, E. Calculo de Estructuras por el Metodo de

Elementos Finitos. Analisis estatico lineal. CIMNE.Segunda edicion, 1995.

TECNOLOGÍA DE ELEMENTOS - UPMw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0607/tecnol-hdout.pdf · elementos...

Documents

Transcript of TECNOLOGÍA DE ELEMENTOS - UPMw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0607/tecnol-hdout.pdf · elementos...