TECNOLOGIA MAGNETISME

MATEMÀTIQUES

2n ESO

INS. J. BAU - TORTOSADEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

UNITAT 1: NOMBRES ENTERS

Operacions amb nombres enters1) Calcula:

a) −11 + 8 −6 −7 + 9 = b) 3 − 8 + 12 −15 −1 + 10 −4 =c) 15 − 14 + 9 −21 −13 + 6 = d) −(4 −9 + 3) + (11 − 8 − 7) + (−15) =e) (+3) −(4 + 7 − 9) −(−19 + 3 − 10) + (−2) = f) −8 − 3 −(4 −6) −(9 + 3) − 5 =

2) Calcula les sumes i les restes següents:

a) (+12) + (+25) = b) (−9) + (+13) = c) (−3) + (−11) =d) (+17) + (−8) = e) (+19) − (+5) = f) (−21) − (+33) =g) (−7) − (−11) = h) (+22) − (−15) =

3) Efectua les sumes següents:a) (+10) + (−5) + (+7) + (−9) = b) (−29) + (−12) + (−9) + (+17) =c) (−20) + (+33) + (+21) + (−23) = d) (−23) + (−41) + (−16) + (+50) =

4) Calcula aquestes restes:a) (+11) − (+32) − (+21) − (+9) = b) (−30) − (−55) − (+29) − (−17) =c) (−43) − (+22) − (+14) − (−7) = d) (+29) − (−12) − (−31) − (+54) =

5) Fes aquestes sumes i restes combinades:

a) (−21) + (−12) − (+9) = b) (+17) − (+23) + (+34) =c) (−32) + (−19) − (−11) = d) (−54) − (+22) + (−10) =

6) Calcula:

a) 8 −7 + 4 −3 −2 = b) −7 −5 + 3 −9 −1 + 11 =c) −4 −2 + 5 −1 −4 + 1 = d) 6 −3 + 3 −10 −4 + 13 =e) −9 −14 + 4 −56 −16 + 1 = f) 9 + 14 −6 −93 + 19 =

7) Efectua aquestes operacions:

a) 6 + (−4 + 2) −(−3 −1) = b) 3 + (2 −3) −(1 −5 −7) =c) 7 −(4 −3) + (−1 −2) = d) −8 + (1 + 4) + (−7 −9) =

8)Resol aquestes multiplicacions:

a) (−3) ⋅ (+2) = b) (+2) ⋅ (+7) = c) (−2) ⋅ (−8) =d) (+5) ⋅ (−4) = e) (+7) ⋅ (−4) = f) (−5) ⋅ (−7) =

9) Calcula les divisions:

a) (−12) : (+6) = b) (+21) : (+7) = c) (−6) : (−2) =d) (+24) : (−4) )= e) (+28) : (−4) = f) (−42) : (−7) =

10) Resol aquestes operacions:

a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) = b) (+20) : (+2) : (−5) = c) (+8) ⋅ (−3) ⋅ (−4) =d) (−32) : (−4) : (−8) = e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−4) = f) (−80) : (−20) : (−4) =

11) Completa:

a) ( ) : 4 = −10 c) (−100) : ( ) = −25b) 40 : ( ) = −8 d) ( ) : (−12) = 6

12) Calcula els productes següents:

a) (+21) ⋅ (+3) ⋅ (+4) = b) (+19) ⋅ (−2) ⋅ (+3) =c) (+13) ⋅ (−5) ⋅ (−6) = d) (−20) ⋅ (−9) ⋅ (−3) =

13) Completa aquests productes:

a) (−5) ( )⋅ = −30 b) ( ) ⋅ (+3) = 45c) (−9) ( )⋅ = 27 d) ( ) ⋅ (−8) = −48

Potències de nombres enters

14) Escriu com es llegeixen aquestes potències i calcula’n el valor:

a) 35 = c) (−8)6 = e) 103 = g) (−4)2 =b) 22 = d) (−5)3 = f) 42 = h) (−2)3 =

15) Expressa en forma de potència i troba’n el valor:

a) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =c) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = d) (−5) ⋅ (−5) =

16) Calcula l’exponent d’aquestes potències:

a) 3- = 27 b) 4- = 64 c) (−3)- = −27 d) (−2)- = 16

17) Escriu aquests nombres amb potències de 10:

a) 20.000 = b) 493.000.000 =c) 493.000 = d) 315.000.000.000 =

18) Efectua aquestes operacions amb potències:

a) 34 ⋅ 35 = b) 67 : 64 = c) (−3)6 ⋅ (−3)7 = d) (−6)8 : (−6)4 =

19) Indica el nombre que expressen aquestes sumes:

a) 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 2 = b) 2 ⋅ 106 + 5 ⋅ 104 + 7 ⋅ 10 =

20) Troba l’arrel quadrada d’aquests nombres:

a) 169 b) 196 c) 225d) 400 e) 900 f) 1.600g) – 100 h) - 81

21) Calcula l’arrel quadrada entera i el residu:

a) 45 b) 87 c) 115 d) - 70

Operacions combinades22) Calcula.

a) (+4) ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−2) = b) (−4) ⋅ (−5) − (+3) ⋅ (−2) =c) (+16) : (−8) + (−24) : (−6) = d) (−12) : (−3) − (+4) : (−2) =

23 )Fes aquestes operacions:

a) (+7) − (−12) ⋅ (+5) = b) ( 64 - 16 ) : [2 ⋅ (−2)] =c) (−5) − [(−6) − (−5) ⋅ (−9)] = d) ( 81 −4) ⋅ 25 −1 =


a) (+45) : [(−7) + (+2)] = b) (−8) ⋅ [(+21) : (−3)] =c) (+2) ⋅ [(−63) : (−7)] = d) (−7) − [(−14) : (+2) − (−7)] =e) (−25) : [(+3) − (+8)] = f) (-2) · [(-2) · (- 6)] =

25) Calcula.

a) (+50) − (−4)2 + (−3)3 = b) - 64 − (−5)2 − (−12) =

26) Resol les operacions següents:

a) (−13) ⋅ (+3) − (−12) ⋅ (+7) = b) [(−25) + 5 − (−4)] : (−8) =c) (−3) ⋅ (−12) − (−15) ⋅ (−4) = d) [(−16) + (−9) + 5] : (−4) =e) (−35) : (−7) + (−54) : (+9) =f) [(−4) + (−3) ⋅ (−6)] : 7 =

27) Resol les operacions:

a) (−11) ⋅ [10 + (−7)] + 36 : [(−1) − (−10)] = b) (−8) ⋅ [5 − (−2)] − 48 : [6 + (−14)] =c) 42 : [(−6) − (−3)] + 28 : [−6 − (−8)] = d) 32 : [(−19) + 3] − 24 : [(−11) − (−5)]

28) Efectua aquestes operacions combinades:

a) (−5)2 ⋅ [3 + 28 : (−4)] = b) (+2)2 ⋅ [−5 ⋅ 2 − 32 : (−8)] =c) (+3)3 : [−5 + (−7) ⋅ (−2)] = d) (−4)3 : [(−15) : 5 − (−45) : (−9)] =

29) Resol les operacions, i considera només el resultat positiu de l’arrel:

a) 9 + (−3) ⋅ [12 + (−7)] = b) 81 : 3 + 4 ⋅ [−12 − 2 ⋅ (−3)] =c) 7 ⋅ (5 + 3) − 36 : (−3) = d) −3 − (−4) ⋅ [ 64 − 5 ⋅ (−2)] =

Activitats de repàs

30) Calcula les potències següents:

a) 45 = b) 142 = c) 73 = d) 54 =e) (−2)6 = d) (−4)4 = f) (−9)2 = h) (−6)4 =

31) Expressa com una sola potència:

a) (28 : 23) ⋅ 23 = c) [(−4)6: (−4)] : (−4)2 =b) 35 : (37 : 34) = d) (−5)3 : [(−5)4 : (−5)] =


a) (54)3 = c) [(−3)4]3 = b) (75)2 = d) [(−9)3]3 =


a) (25)2 ⋅ (22)4 = b) (103)3 ⋅ (102)4 =c) [(−3)5]3 ⋅ [(−3)4]3 = d) [(−10)2]2 ⋅ [(−10)3]3 =


a) (62)5 : (63)3 = b) (237)2 : (233)4 =c) [(−14)9]2 : [(−14)3]5 = d) [(−2)8]3 : [(−2)4]5 =

35) Simplifica aquests productes de potències:

a) 54 ⋅ 253 = b) 84 ⋅ 162 =c) 63 ⋅ 125 = d) 47 ⋅ 32 =e) (−12)3 ⋅ 185 = f) (−63)5 ⋅ 212 =

36) Calcula l’arrel quadrada d’aquests nombres:

a) 64 b) 121 c) 144 d) 196

37) Completa.

a) ? = ± 7 b) ? = ± 12 c) ? = ± 15 d) ? = ± 20

38) Calcula, i fes servir només el resultat positiu de l’arrel:

a) 100 : 5 + 33 : (−3) = b) 12 − 18 : 2 + (−4) ⋅ 121 =c) (−5) ⋅ 32 − 49 : [(−5) ⋅ (−2) − 31] = d) (−8)5 : (−8)3 − (−4)2 ⋅ ( 16 − 20) =e) 144 : [7 + (−5)]2 + (−2)3 =

UNITAT 2: FRACCIONS I DECIMALS

La fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador

1) Representa gràficament i expressa en forma decimal aquestes fraccions:

a) =53

b) =85

c) =97

d) =21

2) Calcula:

a) =3032 de b) =25

51 de c) =250

53 de

3) L'Anna ha comprat 75 cromos al quiosc. Quan l'obre, veu que els 52

dels cromos estan repetits.

Quants cromos té repetits?

Fraccions equivalents

Dues fraccions, ba

i dc

, són equivalents, les escrivim ba

= dc

, si es compleix que a · d = c · b

Hi ha dues maneres d'obtenir fraccions equivalents a una fracció:

- Amplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent multiplicant el numerador i el

denominador pel mateix nombre: 86

2·42·3

43 == o 12

93·43·3

43 == llavors: ......

1612

129

86

43 ====

- Simplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent dividint el numerador i el

denominador pel mateix nombre: 912

2:182:24

1824 == i 3

43:93:12

912 == llavors: 3

49

121824 == . Aquesta

fracció, 34

, que ja no es pot simplificar més, s'anomena fracció irreductible

4) Són equivalents els parells de fraccions següents?:

a) 36

1056

15 i 15 · 36 = b) 5285

1317 i c)

25

3012 i

105 · 6 =

5) Escriu tres fraccions equivalents per simplificació i tres més per amplificació:

a) =12072 b) =

320140 c) =

650450

6) Troba el terme que falta:

a) 20123 =

xb)

x45

129 = c)

221114 x=

Càlcul de la fracció irreductible (Simplificar)

Exemple: Calcula la fracció irreductible de 4872

Haurem de buscar un nombre que sigui divisor del 72 i 48 a la vegada i que sigui el més gran possible; és a dir, buscarem el seu m.c.d.

Si factoritzem:

=

=

3·248

3·2724

23

--->m.c.d.(72,48) = 23 · 3 = 24

Així, 23

24:4824:72

4872 == --->

23 és la fracció irreductible de

4872

7) Calcula la fracció irreductible d'aquestes fraccions:

a) =3624 b) =

2560 c) =

320540 d) =

90120

Comparació de fraccions

Per a comparar dues o més fraccions les haurem de reduir a comú denominador, que consisteix a obtenir altres fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador.Exemple: Redueix a comú denominador les fraccions

45 i

187

Haurem de buscar dues fraccions, equivalents a les donades, que tinguin el mateix denominador; és a dir haurem de buscar un múltiple comú de 4 i 18: el seu m.c.m.

Si factoritzem:

=

=2

2

3·21824

---> m.c.m.(4 i 18) = 22 · 32 = 36 Ara buscarem les fraccions

eq1uivalents amb 36 de denominador: 3645

9·49·5

45 == i

3614

2·182·7

187 == . Ara ja podem

comparar les dues fraccions; com 3645 és més gran que

3614 , podem dir --->

45 >

187 .

Això també ens servirà per a sumar i restar fraccions

Activitats

8) Redueix a comú denominador: 31 ,

52 ,

41 ,

67 ,

101

9) Ordena de més petit a més gran:

a) 53 ,

52 ,

41 ,

32 b)

92 ,

53 ,

156 c)

86 ,

45 ,

65 ,

810

Operacions amb fraccions

10) Calcula simplifica el resultat, si pots:

a) =++31

342 b) =−+

101

51

23 c) =−−

31

27

43 d) =−+

21

42

74

e) =−+ 171

59 f) =+−

109

38

57 g) =

−++

125

187

152 h) =

−−+

125

187

152

11) Calcula:

a) =61·

52·

53 b) =

59·

65·

74

12) Calcula:

a) =6032 de b) =90

53 de

13) Efectua les operacions següents:

a) =

−+ 4·

31

21

52 b) =

+−+

35:

67

31

411 c) =

−+− 2:

411

21

41·3 d) =−

−+

21:3

65

32·

411


14) Digues si aquestes fraccions són equivalents:

a) 4836

86 i b)

815

45 i c)

10472

139 = d)

1024

58 =

15) Calcula 3 fraccions equivalents:

a) 72 b)

611 c)

213

16) Ordena aquestes fraccions de més gran a més petita:

a) 47 ,

53 ,

65 b)

73 ,

145 ,

218

17) Calcula:

a) =++85

41

23 b) =−+−

81

23

61

35 c) =++

37

41

64 d) =−+

67

31

25

18 Calcula:

a) =− 231·

65 b) =−

54·3

27 c) =−

97·

234

d) =−41·3

25 e) =

−+

23

810·

54 f) =

−+

−

43

512·

97

19) Escriu en forma de potència:

a) =118·

118·

118·

118·

118 b) =

−

−

−

72·

72·

72 c) =

−

−

72·

72·

72

20) En Cesc ha regat 54 de la gespa, i la Raquel, els

124 restants. Qui dels dos ha regat una zona més

gran?

21) Comprova si són fraccions equivalents:

a) 56 ,

2024 ,

1012− b)

51 ,

153 ,

102 c) 3,

39 ,

824


a) =+431 b) =− 2

311 c) =− 7

215

d) =+347 e) =−

749 f) =−

523

g) =−+61

319 h) =−+

315

54 i) =+−

25

417

23) Calcula:

a) =

−

−

86

41·

61

43 b) =

−

+

101

31·

152

51 c) =

−

−

61

31·

71

25 d) =

+

−

41

101·

43

54

24) Expressa en forma de producte i troba el resultat de les potències següents:

a) =

2

310 b) =

4

32 c) =

−

7

21

25) Un llibre es fa amb la col·laboració de 18 persones, 31 de les quals correspon a autors,

91 a

secretàries, 61 a maquetistes,

62 a dibuixants i la resta a personal d'impremta. Calcula el nombre de

col·laboradors de cada classe.

26) Calcula el nombre que falta:

a) 396 =

xb)

1054 x= c)

x2

128 = d)

188

9=x

27) Fes les operacions següents:

a) =

+−

+

37

54

63

21 b) =

++

−

72

56

54

37 c) =

−

+−−

31

52

21

342 d) =

−+−+

−

41

52

31

51

45

28) Fes aquestes operacions:

a) =−

− 1

52

21·

83 b) =

−

27·

435·

32 c) =

−−

31

27·

52

35 d) =−

−

31

27·

52

35

29) Calcula:

a) =2516 b) =

4981 c) =

441121 d) =

14464

30) En una escola hi ha 1.095 alumnes que fan activitats extraescolars: 31 fan judo,

52 estudien italià

i la resta fan ballet. Quants alumnes fan cada activitat?

31) Un camió transporta 15 tones de fruita; 51 són taronges,

32 són pomes i la resta són peres.

Quantes tones de cada tipus de fruita porta el camió?

32) Calcula la fracció irreductible:

a) =3075 b) =

48182 c) =

11121

33) Efectua les operacions següents:

a) =−

−

31

27·

52

35 b) =

−

27·

435·

32 c) =

−

−

35·2

54·

37 d) =

−−− 95·

87

154·3

34) Dels 30 alumnes d'una classe, 53 són noies. Quants nois hi ha?

35) D'una taronja s'aprofiten les 94 parts per fer suc i la resta és pell. Si fem servir 27 kg de

taronges, quina quantitat de suc obtindrem? I de pell?

36) Ordena de més gran a més petit:

a) 31 ,

64 ,

187 b)

52 ,

61 ,

23 c)

29 ,

43 ,

127

37) Calcula:

a) =−+32

61

43 b) =+−

53

32

21 c) =−−

81

41

21

d) =+−−2013

53

107

43

e) =+−2724

98

31

f) =−−65

232

38) Indica si són certes les igualtats següents:

a) 325

35 2

=

− b) 81

33 4

=

−− c)

8343

27 3 −=

−− d) 4

4

4

72

7

)2(

=−

39) D'una classe de 24 alumnes els 83 han passat la grip. Quina fracció d'alumnes no han estat

malalts? Quants alumnes són?

40) He recorregut 900 metres, que suposen els 73 de l'itinerari. Quina és la longitud total?

41) Efectua les multiplicacions següents:

a) =32·

21 b) =

210·

53 c) =

69·3 d) =

2112·

47·

27

42) Si tres quarts de quilo de pernil costen 15 €, quant val un quilo i mig?

43) Segons una enquesta, les famílies catalanes dediquen un terç de la seva renda a l'adquisició d'un habitatge, o sigui, destinen una mitjana de 11.000 € anuals a aquest concepte. Quina és la renda mitjana mensual d'una família catalana?

44) Els tres cinquens dels animals d'un parc natural són mamífers, i d'aquests mamífers, els cinc sisens són carnívors. Quina fracció del total d'animals representen els mamífers carnívors?

45) En Lluís, en Pere i l'Antoni van reunir les quantitats de diners que les seves famílies els van

regalar per Nadal. En Lluís va rebre 86 de 100 €, en Pere va rebre

87 de 100 €, i l'Antoni va rebre

83

de 100 €. Quants diners van aconseguir tots tres junts?

46) Escriu una fracció que sigui més gran que 52 i més petita que

53 . Podries escriure dues

fraccions? I tres? Raona quantes fraccions pots escriure entre elles?

Nombres decimals

Un nombre decimals és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals.Un nombre decimals és periòdic quan té infinites xifres decimals que, a més, una o diverses es repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteixen l'anomenem període.

– Si el període comença immediatament després de la coma, és un decimal periòdic pur.– Si el període no comença just després de la coma, és un decimal periòdic mixt.

Un nombre decimals és no exacte i no periòdic quan té infinites xifres decimals i cap es repeteix periòdicament.

47) Expressa de manera abreujada aquests nombres decimals:

a) 34,655555... b) 0,31111... c) 9,66666...

48) Classifica aquests nombres decimals:

a) 61,454545... b) 2,5 c) 7,333...

d) 58,3777... e) 0,55 f) 6,3444...

49) Escriu i classifica el nombre decimal que correspon a aquestes fraccions:

a) =345 b) =

1312 c) =

125 d) =

395

50) Ordena de més gran a més petit:

a) 6,1 – 4,22 – 4,02 – 6,11 – 3,99 – 3,9 b) 5,602 – 5,611 – 5,6005 – 5,60102


a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 = b) (5,02 – 3,009) + (7,96 – 2,1) =

c) 42,78 – (13,25 – 10,9672) = d) (5,03 – 4,95) · 1,26 =

e) 9,82 + 6,2 · 0,002 = f) 7,82 – 5,601 · 0,3 =

52) Resol aquestes divisions:

a) 459,3 : 5 = b) 478 : 7,86 = c) 1.000,59 : 0,002 =

53) Digues a quina classe de nombres decimals correspon l'expressió decimal d'aquestes fraccions:

a) =3978 b) =

839 c) =

6039 d) =

39117

54) Escriu en forma de fracció aquests nombres decimals exactes. Si és possible, simplifica el resultat:

a) 25,78 = b) 25,793 = c) 97,95 = d) 150,2 =


a) 17,94 · 100 – 8,05 : 0,5 = b) (8,72 – 7,85) · 0,1 – 0,2 =

c) 16,9656 : (1,35 + 1,05) = d) 9,05 – 2,62 : (1,3 + 0,01) =

56) Un pare vol repartir 15,60 € entre els seus quatre fills a parts iguals. Quants diners rebrà cadascun?

57) Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantes tires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 m de llarg?

58) Calcula:

a) =

−−

+

323

532 b) =

−−

+

31

21

31

21

c) =

−+−

41

31

211

d) =

−

+

65

56

31

52 : e) =

−

−

651

31

21 : f) =

−

−

341:

231

g) =

+

−

−

211:1

41·

311

59) Busca la fracció irreductible de:

a) =100125 b) =

165132 c) =

12698

UNITAT 3: EQUACIONS

EL LLENGUATGE NUMÈRIC

El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només a través de nombres

Llenguatge usual Llenguatge numèric

La suma de quatre més tres és set 4 + 3 = 7

Deu menys vuit és igual a dos 10 – 8 = 2

El quadrat de tres és nou 32 = 9

El triple de cinc és quinze 3 · 5 = 15

La meitat de divuit és nou 18 : 2 = 9

EL LLENGUATGE ALGEBRAIC

El llenguatge algebraic expressa la informació matemàtica amb nombres i lletres

Llenguatge usual Llenguatge algebraic

La suma de dos nombres x + y

Un nombre augmentat en tres unitats x + 3

El quadrat d'un nombre x2

El triple d'un nombre 3 · x

La meitat d'un nombre x : 2

L'àrea d'un quadrat A = c2

L'àrea d'un rectangle A = b · h

EXPRESSIONS ALGÈBRIQUES

Una expressió algèbrica és un conjunt de nombres i lletres que es combinen amb els signes de les operacions matemàtiques

Expressió escrita Expressió algebraica

El triple de la suma de dos nombres 3 · (a + b)

La suma de dos nombres consecutius x + (x + 1)

La suma d'un nombre i el seu doble x + 2x

Al triple d'un nombre li restem el seu doble 3x - 2x

L'oposat d'un nombre - x

1) Expressa aquests enunciats amb llenguatge algebraic:

a) El doble d'un nombre més 5b) El triple d'un nombre menys 6c) El doble de la suma d'un nombre més 4d) La meitat de la diferència d'un nombre menys 8e) El quadrat de la suma d'un nombre més 7f) El cub de la meitat d'un nombreg) La meitat del quadrat d'un nombreh) Un nombre més el seu quadrati) El quàdruple del quadrat d'un nombrej) La meitat d'un nombre menys 3

MONOMIS

Les expressions algebraiques més senzilles són les que estan formades per productes de lletres i nombres. Els anomenem monomis.

Un monomi consta d'un nombre i una o diverses lletres.

- Del nombre (inclòs els seu signe) en diem coeficient

- De la lletra o lletres que l'acompanyen en diem part literal

Anomenem grau d'un monomi la suma dels exponents de les lletres que el formen

Exemples:

Monomi Coeficient Part literal Grau

3x 3 x 1

- 2 · a · b - 2 a · b 1 + 1 = 2

x2 · y 1 x2 · y 2 + 1 = 3

- 5 · a2 · b3 - 5 a2 · b3 2 + 3 = 5

SUMA I RESTA DE MONOMIS

Dos o més monomis són semblants si tenen la mateixa part literal

La suma o resta de dos o més monomis semblants és un altre monomi que té com a coeficient la suma o la resta dels coeficients (nombres) dels sumands, i manté la mateixa part literal. Si els monomis no són semblants, no es podran ni sumar ni restar

a) 3x + 2x = 5x

b) 10ab – 8ab = 2ab

c) 8x + 7a = No es pot sumar

Exemples:

Identifica aquestes igualtats:

a) 3 + 4 = 2 + 5

És una identitat numèrica certa perquè 3 + 4 = 7 i 2 + 5 = 7

b) 10 – 4 ≠ 3 · 3

És una igualtat numèrica falsa perquè 10 – 4 = 6 i 3 · 3 = 9

c) 3x + x = 4x

És una igualtat algebraica (nombres i lletres)

d) 10 + x = 16

És una igualtat algebraica (nombres i lletres)

En aquest apartat la x = 6

EQUACIONS

Una igualtat està formada per dues expressions separades per un signe =

Segons siguin les expressions una igualtat pot ser

- Numèrica: quan només hi intervenen nombres

3 · 4 = 12 4 + 8 = 5 + 7

- Algebraica: si hi intervenen nombres i lletres

3x = 15 x + 7 = 11 2 + x = 3x

Una equació és una igualtat algebraica que només és certa per a alguns valors de les lletres

a) 10 + x = 16

Només es compleix per a x = 6 --> 10 + 6 = 16

b) 3x = 12

Només es compleix per a x = 4 --> 3 · 4 = 12

c) 4x + 2 = 2

Només es compleix per a x = 0 --> 4 · 0 + 2 = 2

IDENTITAT

Una identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les lletres

a) 3x + x = 4x

- Si x = 1 --> 3 · 1 + 1 = 4 · 1 --> 4 = 4 Es compleix la igualtat



Aquesta igualtat és certa per a qualsevol valor de x. És una identitat

2) Classifica aquestes igualtats algebraiques en identitats i equacions:

a) 2x + 1 = 11 b) x +x = 2x c) 82

−=x

d) 4x + 5 = 5 + 4x e) 6x = 18 f) a7 = a5 · a2

g) x – 2 = 2x h) y + 1 = 1 + y

3) Determina els membres, els termes i el grau d'aquestes equacions:

a) x + 3 = 10 b) 4x -x = x + 8 c) x(x – 2) = 3 – 4(x + 2)d) x – x2 + 3 = 8 + x(5 – x) e) x2(x – 3) + 5x2 = x(1 + x2)

RESOLUCIÓ D'EQUACIONS

a) 4x – 2 = 3x + 2

A l'hora de resoldre equacions, haurem de seguir els següents passos:

1r) Transposar.- Vol dir que passarem al primer membre tots els termes que porten incògnita, i al segon membre, aquells que no en tenen. En cas de canviar de terme, també canviarem el signe

4x – 3x = 2 + 2

2n) Reduir termes semblants.- Vol dir que deixarem un terme a cada membre.

x = 4

b) 5x – 3 = 3x + 3

1r) Transposar.- Al primer membre les “x”5x – 3x = 3 + 3

2n) Reduir.- 2x = 6

3r) Aïllar la incògnita.- El coeficient de la “x” passa a dividir

4t) Dividir.- Resolem la divisióx = 3

4) Resol aquestes equacions fent servir la transposició de termes:

a) x + 4 = 12 b) 1 – x = 12 c) x – 3 = 8d) -5 + x = -3 e) 2x = 16 f) 7x = 49g) 5x = 25 h) 2x = 5

Resolució d'equacions amb parèntesis

Exemple: Resol l'equació 2(x – 4) – (6 + x) = 3x - 4

1r) Eliminem els parèntesis -----> 2x – 8 – 6 – x = 3x - 42n) Transposem termes ---------> 2x – x – 3x = 8 + 6 - 43r) Agrupem termes positius i negatius: 2x – 4x = 14 – 44t) Reduïm termes ---------------> -2x = 10

5è) Aïllem la< incògnita ---------> 2

10−

=x ---> x = -5

5) Resol aquestes equacions:

a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57c) x + 2 = 16 – 6x d) x – 1 = 9 – xe) 5x – 5 = 25 f) 3x + 4 = 2(x + 4)g) 5(x – 1) – 6x = 3x – 9 h) 4(x – 2) + 1 + 3x = 5(x + 1)3(3x + 1) – (x – 1) = 6(x + 10) j) 5(x – 2) – (3 + x) = 3(x – 4)

26=x

Resolució d'equacions amb denominadors

Exemple: Resol l'equació 6

12

13

4 +=−−+ xxx

Necessitem un múltiple comú de 2, 3 i 6 m.c.m.(2, 3, 6) = 6

1r) Eliminem denominadors.- Per a la qual cosa multiplicarem tots els termes per 6 i després dividirem el 6 pels denominadors:

+=

−−

+

61·6

21·6

34·6 xxx

2(x + 4) – 3(x -1) = 1(x + 1)

2n) Eliminem els parèntesis:2x + 8 – 3x + 3 = x + 1

3r) Transposem termes:2x – 3x – x = -8 – 3 + 1

4t) Agrupem termes positius i negatius:2x – 4x = 1 – 11

5è) Reduïm termes:- 2x = -10

6è) Aïllem la incògnita:

210

−−=x 5=x

6) Resol aquestes equacions amb denominadors:

a)5

42

14

3 +++=+ xxxb)

34

41

406 −=−+ xx

c) 3

83

)4( xxx −=++− d) 95

12 =−x

e) 10

9312

3 −=− xxf) 4

343 =

−−

xx

Resolució de problemes

Per resoldre problemes mitjançant equacions, cal que seguim aquests passos:

1r) Llegim atentament l'enunciat i identifiquem la incògnita2n) Fem un esquema3r) Plantegem l'equació4t) Resolem l'equació5è) Comprovem que la solució és vàlida i la interpretem

7) La suma d'un nombre i el doble d'aquest nombre és 120. De quin nombre es tracta?

Esquema:

Nombre ----------------> xDoble del nombre ----> 2 x Suma dels dos --------->120

Plantejament: -------> x + 2x = 120

Solució: --------------> 3x = 120

3120=x 40=x El nombre és el 40

8) El perímetre d'un quadrat és 60 m. Calcula la longitud de cada costat

9) El perímetre d'un rectangle és 400 m. Troba la longitud dels costats, si saps que la base és 2 m més gran que l'altura

10) En un rectangle sabem que el perímetre és 16 cm i l'altura 5 cm. Calcula la longitud de la base

11) Calcula la base d'un rectangle d'altura 3 cm i 22 cm de perímetre

12) En un zoològic hi ha el doble de ximpanzés que de goril·les. Si en total són 171 animals, quants n'hi ha de cada espècie

13) En una aula de 33 alumnes hi ha el doble de noies que de nois. Quants nois i quantes noies hi ha?14) La suma de dos nombres consecutius imparells és 156. Quins nombres són?


a) 17

5 =− xb) 3

68 =−x

c) 22

84 =−

−x

d) 20252

3 −=− xxe) xxx −=−+

21

54

f) 76

295

3 −=− xx

16) El doble més el triple d'un nombre sumen 35. Troba el nombre

17) La suma de dos nombres consecutius és 63. Quins nombres són?

18) La suma de dos nombres parells consecutius és 126. De quins nombres es tracta?

19) El doble d'un nombre i la seva meitat sumen 10. Quin nombre és?

20) El doble de la suma d'un nombre més 7 és 18. De quin nombre parlem?

21) Troba la solució d'aquestes equacions:

a) 1315105

2 +=+ xxxb) 1

54

2−+=− xxx

c) 34

43 −=− xxd) 9

537

3−=− xx

22) El triple d'un nombre menys 8 és 40. Troba el nombre

23) Un nombre menys la seva cinquena part és 80. Quin és el nombre?

24) Un trajecte en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre. Si paguem 13 €, quina distància hem recorregut

25)Al zoològic hi ha el doble de tigres que de panteres i sabem que en total són 129 animals. Quants tigres i quantes panteres hi ha?

26) En una aula hi ha 73 parts de nois, i les noies són 16. Quants nois hi ha a l'aula?


a) 26

42

8 +−=+ xxb)

21023

28

55 −−=−+− xxx

c) 330

4205

210 −+−=−− xxx

d) 3

10214

123 −−−=−− xx

e) 6

324

25

34 +−=−−+ xxx f) 12

114

256

213 +−=−+− xxx

28) En Joan efectua la quarta part d'un viatge en autobús, la sisena part en moto, tres vuitenes parts en bicicleta i els últims 40 km caminant. Quina distància ha recorregut en total, i quants km ha recorregut en cada mitjà de transport?

29) La Maria s'entrena de manera que augmenta el recorregut del dia anterior en 1 km. Al cap de set dies, el recorregut total que ha fet és de 42 km. Quant ha entrenat l'últim dia?

30) Esbrina la meva edat si tinc el triple de l'edat que tenia fa 8 anys

31) Calcula la solució de les equacions següents:

a) 3

123

32 +−=−− xxx b)

524

23

32 xxx −=−−−

c) 23

412

−=+ xxd) 4

323 =−+ xx

32) L'Anna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun?

33) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té?

34) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes.

35) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?

36) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. D'aquí a quants anys l'edat d'en Pau serà el doble que la de la seva germana?

37) Resol les equacions següents:

a) 6

4x +

822 x+

= x b) 4

3x +

211

= 2

7x

38) Dos jugadors de futbol han marcat durant la lliga 45 gols. Si un d’ells ha aconseguit fer 7 gols més que l’altre, quants n’ha fet cadascun?

39) Entre dos nens tenen 528 € i l’un en té 76 més que l’altre. Quants € té cada un?

40) Un excursionista ha caminat 5 hores i encara li falten 17 km per recórrer els 47 km que ha de fer. Quina és la seva velocitat mitjana?

41) Reparteix 1.800 € entre dues famílies de tal manera que l’una rebi 400 € menys que l’altra

42) Quin és el nombre que disminuït en 7 dóna igual que 29 disminuït en el nombre que volem saber?

43) Una granja té el doble de gallines que d’ànecs. Si el total de l’aviram és de 1512 animals, quants n’hi ha de cada classe?


a) 2

53 −x + x4 =

238 x−

- 3 b) 5

64 +x - 3

32 −x =

664 −x

45) En un àlbum hi ha 18 fotografies en color més que en blanc i negre. Si en total n’hi ha 86, quantes en són en blanc i negre i quantes en color?

46) Sumant un nombre amb la seva meitat i amb el seu doble el resultat és 350. Troba aquest nombre

47) El pare del Toni té 38 anys i ell 6. D’aquí a quants anys l’edat del pare serà el doble de la del fill?

48) Una fàbrica fa 5 bolígrafs blaus per cada un de roig. Al cap d’una hora han fabricat 37.518 bolígrafs. Quants n’hi haurà de cada color?

49) Busca dos nombres parells consecutius la suma dels quals sigui 442

50) La Roser té 7 anys menys que la seva cosina Meritxell i d’aquí a 15 anys la suma de les seves edats serà de 53 anys. Quina edat té cada una?


a) 4

1+x3

2−− x =

23+x 1−− x b)

2026 x−

105+− x

= 153x

543 −− x

52) Dos sacs de patates pesen 168 kg. Si l’un fa 25 kg menys que l’altre, quants kg conté cada sac?

53) Entre dos equips de futbol han sumat 84 punts en una competició, però l’un ha obtingut 24 punts més que l’altre. Troba la puntuació de cada equip.

54) En un estany del zoològic hi ha el triple de cignes que de flamencs. El nombre total d’aquestes aus és de 144. Quants n’hi ha de cada classe?

55) En una competició de l’escola participen la meitat dels alumnes d’una classe i vuit més. Si en total hi participen 22 alumnes, quants alumnes hi ha en aquella classe?

56) El doble d’un nombre més la seva cinquena part, menys 1, és igual a 76. Quin nombre és?

57) La suma de les edats de dues noies és de 41 anys, i la seva diferència, 5 anys. Quina edat tenen?


a) 125x

187x− 9= b) 3 + (2x – 7) = 6 – 2(3x – 4) c)

393 −x

543 −+ x

9=

59) La suma de dos nombres consecutius és 137. Quins nombres són?

60) Troba un nombre la sisena part del qual augmentada en 44 unitats sigui igual al doble d’aquest nombre

61) El pati de l’institut és rectangular i fa 25 m més de llargada que d’amplada. Si el perímetre fa 270 m, quina és la llargada i l’amplada?

62) En Sergi té 10 anys més que la seva germana i d’aquí a dos anys en tindrà el doble que ella. Quants anys té cada germà?

63) El pare ha comprat un meló i una síndria en una fruiteria. El pes de les dues fruites és de 4.782 grams. Quant fa cadascuna si la síndria pesava el doble que el meló?

64) Busca tres nombres consecutius tals que sumats el primer i el tercer en resulti el segon augmentat en 35 unitats.


a) 2

45 +x4

69 +− x7

14 −= xb)

42

= 27

3−xx

c) 12

42 −x35+

24x=

826 −− x

66) En una festa van acudir en total 34 persones, Si hi havia 28 nois menys que noies, quants n’hi havia de cada sexe?

67) Dos cotxes es troben a una distància de 880 km. Circulen l’un cap a l’altre i tarden 4 hores a trobar-se. Si l’un porta una velocitat de 20 km/h més que l’altre, a quina velocitat va cada un?

68) La Irene té 29 anys més que la seva filla i d’aquí a 7 anys la suma de les edats serà de 51 anys. Quina edat té cada una?

69) Busca tres nombres consecutius tals que tres vegades el primer més quatre vegades el segon, excedeixi en 38 unitats 5 vegades el tercer

70) Quants graus tenen els tres angles d’un triangle, si se sap que el primer és el doble del segon i aquest el triple del tercer?

71) La Carmina té 8 anys més que el seu cosí i fa 4 anys en tenia el doble que ell. Quina edat té actualment cada cosí?

72) Resol aquestes equacions

a) 65

- 4

5x =

34x

- 2

5x + 5 b) 3

6x -

98x

= 6

13x +

1819

c) 3

25 x−− -

534 −x

= 210−x

d) 4 - 4

35 +x +

332 +x

- 2

3x =

121

73) La suma de dos nombres és 45 i la diferència 9. Quins nombres són?

74) La base i l’altura d’un rectangle es diferencien en 15 cm. Si el perímetre fa 62 cm, calcula’n l’àrea.

75) Troba un nombre tal que sumades la meitat més la tercera part sigui igual a aquest nombre menys la sisena part

76) En Gerard té 12 anys i la seva àvia 72. D’aquí a quants anys l’àvia tindrà el quàdruple de l’edat del nét?

77) En un partit de futbol 43

parts dels espectadors són aficionats de l’equip local, 81

ho són de

l’equip visitant i els 9.500 espectadors restants són indiferents. Quants espectadors hi assisteixen en total? Quants són de l’equip local? Quants són de l’equip visitant?

2a AVALUACIÓ

UNITAT 4: SISTEMES D'EQUACIONS

Mètode de substitució

Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les equacions i substituir-la a l'altra.

Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de substitució

=−−=+32

12yxyx

1r) Substituïm una de les incògnites en una equació; per exemple la x de la primera equació:x = -1 -2y

2n) Substituïm aquest valor a l'altra equació: 2·(-1 -2y) -y = 33r) Resolem aquesta equació: -2 -4y -y =3

-4y -y = 2 + 3-5y = 5 y= -1

4t) Substituïm aquest valor a qualsevol de les equacions: x + 2·(-1) = -1 x -2 = -1 x = 2 – 1 x = 1

5è) Comprovem el resultat

Activitats1) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució:

a)

=+=−

51

yxyx

b)

=−=+

212

yxyx

c)

−=+−=+

225yx

yxd)

=+=+

15532

yxyx

e)

−=−=+

13243

yxyx

f)

=+=−

82212

yxyx

g)

=−=+

0372

yxyx

h)

=−=+

0331635

yxyx

i)

=+=−

125

yxyx

j)

=−=+

96394

yxyx

k)

=+=−114135

yxyx

l)

=+=−144

523yxyx

Mètode d'igualació

Consisteix a aïllar la mateixa incògnita a les dues equacions i després igualar-ne el valors.

Exemple: Resol el següent sistema pel mètode d'igualació

=−−=+32

12yxyx

1r) Aïllem la mateixa incògnita a les dues equacions:

=−−=+32

12yxyx

x = -1 -2y i 2

3 yx +=

2n) Igualem les dues equacions i resolem: -1 – 2y = 2

3 y+

-2 – 4y = 3 + y-4y – y = 2 + 3 -5y = 5 y = -1

3r) Substituïm aquest valor a qualsevol de les dues equacions: x + 2·(-1) = -1x – 2 = -1x = 2 - 1 x = 1

4t) Comprovem la solució

Activitats:

2) Resol pel mètode d'igualació els següents sistemes:

a)

=+=−

51

yxyx

b)

=+=−0

532yx

yxc)

−=−=+

13243

yxyx

d)

=+=−

82212

yxyx

e)

=−=+

0372

yxyx

f)

=−=+

0331635

yxyx

g)

=+=−

125

yxyx

h)

=−=+

96394

yxyx

Mètode de reducció

Consisteix a trobar un sistema equivalent; és a dir, amb la mateixa solució, a base d'equacions equivalents.

Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de reducció

=−−=+32

12yxyx

1r) Igualem els coeficients d'una de les incògnites fent les multiplicacions adequades. Per exemple, si multipliquem tots els termes de la segona equació per 2, els coeficients de la y

queden igualats en les dues equacions:

=−−=+32

12yxyx

=−−=+62412

yxyx

2n) Sumem les dues equacions per tal d'eliminar una incògnita:

=−−=+62412

yxyx

5x - / = 5 x = 13r) Substituïm el valor a una de les dues equacions; per exemple la primera: 1 + 2y = -1

2y = -1 -12y = -2y = -1

4t) Comprovem el resultat

Activitats:

3) Resol pel mètode de reducció:

a)

=−=+

212

yxyx

b)

−=+−=+

225yx

yxc)

−=−−=+

353

yxyx

d)

=−−=−753122532

yxyx

e)

−=−=+

13243

yxyx

f)

=+=−

82212

yxyx

g)

=−=+

0372

yxyx

h)

=−=+

0331635

yxyx

4) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució:

a)

=−+=

55223

yxyx

b)

−=+−=

1231

yxyx

c)

−=−=+

19351152

yxyx

d)

=−−=+

064

yxyx

5) Resol aquests sistemes per igualació:

a)

=−=+

1534723

yxyx

b)

=−=−

12631332

yxyx

c)

=+=+

573642

yxyx

d)

−=−=+

235213

yxyx

e)

=+=−

437332

yxxy

f)

=+=+

2952113

yxyx

Resolució de problemes

6) Busca dos nombres la suma dels quals sigui 14 i la diferència sigui 4

7) En una cafeteria el cambrer anota: taula A, 2 cafès i 4 sucs, 16 €; taula B, 3 cafès i 2 sucs, 12 €. Calcula el preu del cafè i del suc

8) Quins dos nombres sumen 21 i el doble d'un més el triple de l'altre és 56

9) Un pare té el triple d'edat del seu fill. Si el pare tingués 30 anys menys, i el fill 8 anys més, tots dos tindrien la mateixa edat. Quines són les edats del pare i del fill?

10) Resol aquests sistemes per reducció:

a)

−=−=+

100

yxyx

b)

=+−=−

44152

yxyx

c)

=+−=+032

243yxyx

d)

=+−=−635

224yxyx

11) Resol pel mètode que creguis més adequat:

a)

=−=+

62

yxyx

b)

=−=+

432432

yxyx

c)

=+=+

115252

yxyx

d)

=+=+32832

yxyx

12) L'Anna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun?

13) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té?

14) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes.

15) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?

16) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. D'aquí a quants anys l'edat d'en Pau serà el doble que la de la seva germana?

17) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució:

a)

−=−=+

522543

yxyx

b)

=−=+104

022yx

yx c)

−=−−=+

734102

yxyx

d)

=−=+

2433132

yxyx

18) Resol aquests sistemes pel mètode d’igualació:

a)

=−−=+945

132yxyx

b)

=−−=+1235

823yxyx

c)

−=+−=+

1427854

yxyx

d)

=−−=+634

427yxyx

19) Resol aquests sistemes pel mètode de reducció:

a)

=+=−7

22yxyx

b)

=+=−

223822

yxyx

c)

=−=+13

832yx

yx d)

−=−=+

7321853

yxyx

20) Dos germans tenen entre els dos 26 anys. Si un té 6 anys més que l’altre, quants anys tenen cadascú?

21) En un estable, entre bous i vaques hi ha 56 animals. Si hi ha 24 vaques més que bous, quantes vaques i quants bous hi ha?

22) Compro dues camises per 27 €. Quant m'ha costat cada una si la més cara valia 3 € més que la barata?

23) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una per 3 i l'altra per 2 el resultat sigui 128

24) La suma de dos nombres és 243. Quins nombres són si l'un és el doble de l'altre?

25) En un corral, entre conills i gallines n’hi ha 20. Si contem el total de potes en resulten 64. Quants conills i quantes gallines hi ha?

26) La suma de dos nombres és 42, i la seva resta és 2. De quins nombres parlem?

27) Entre el Pep i el Martí tenen 26 anys. D’aquí a dos anys el Martí tindrà el doble d’anys que el Pep. Quants anys tenen actualment?

28) Després de 8 jornades de lliga, un equip té 18 punts i no ha perdut cap partit. Quantes victòries i quants empats ha obtingut?

29) La Maria i el seu germà sumen 12 anys entre els dos. D’aquí a 2 anys, la Maria tindrà el triple que el seu germà. Quants anys tenen ara?

30) El Pau Gasol ha fet un gran partit amb els Lakers: ha fet 13 cistelles!!! (entre triples i cistelles de dos punts). En total ha fet 29 punts!!! Quants triples i quantes cistelles de dos punts ha fet?

31) La suma de dos nombres és 277 i la seva diferència és 27. Quins nombre són?

32) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una part per 5 i l’altra per 3 el resultat sigui 222

33) La suma de dos nombres és 108. Quins nombres són sabent que l’un és el triple de l’altre?

34) Dos investigadors tenen 48 ratolins blancs per experimentar. Si el primer li’n dóna dos al segon, aquest en tindrà el doble que el primer. Quants ratolins tenen cada un?

35) Un canaricultor ven els canaris mascles a 15 € cada un i les femelles a 6 €, comptabilitzant una venda total de 570 €. Si les femelles excedeixen en 5 el doble dels mascles, quants n'hi ha de cada sexe?

36) El doble de l'edat de l'Alfred més la del seu germà Eudald sumen els 44 anys del seu pare. D'aquí a dos anys l'edat de l'Alfred serà el doble que la de l'Eudald. Quant anys tenen ara

37) En una granja hi ha porcs i gallines, que sumen en total 4280 potes. Si disminuïm en 70 el nombre de porcs, el nombre de gallines en serà el triple. Quants porcs i gallines hi ha?

38) L'edat d'un pare més el doble de la del seu fill sumen avui 120 anys i fan cinc anys l'edat del pare era el triple de la del fill. Quants anys té cada un?

39) Per 7 m de cinta i 5 m de tela hem pagat 36,25 €. Si se sap que el metre de tela val 4,25 € més que el metre de cinta, esbrina el preu de cada cosa

40) En un taller hi ha vehicles de 4 i 6 rodes. Si disminuís en dos el nombre de vehicles de 6 rodes, n'hi hauria el doble dels de 4 rodes. Quants vehicles hi ha de cada classe, si en total es comptabilitzen 156 rodes?

41) Troba dos nombres la suma dels quals sigui 40 i que es troben a raó 2 és a 3

42) Resol per substitució (a), per igualació (b) i per reducció (c):

a)

=−=−

85243

yxyx

b)

−=+=−

4721154

yxyx

c)

=−=+

0633

yxyx

43) Entre la Maria i la Joana tenen 27 anys. Si la Maria té 3 anys més que la Joana, quants anys tenen cadascuna?

44) El pare del Miquel té 31 anys més que ell, i d'aquí a 8 anys, el pare tindrà doble edat del fill. Quina és ara l'edat dels dos?

45) Tenim dos nombres i sabem que el gran excedeix en 7 unitats al petit. Si sumem el triple del gran i el doble del petit ens dóna 51. Quins nombres són?

UNITAT 5: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA

Raó i proporció

Una raó entre dos nombres, a i b, és el quocient ba

Una proporció és la igualtat entre dues raons. Si dc

ba = ---> a, b, c, d formen una proporció

En aquesta proporció, dc

ba = , a i d són els extrems, i b i c són els mitjans.

Exemple: Si amb 5 kg de pintura pintem 4 m2 de paret, en podríem pintar 6 m2 amb 7,5 kg?

Per poder-ho fer, les raons entre els quilos de pintura i els metres quadrats de paret han de formar una proporció.

25,165,7

45

m6

5,7

m4

522 ==→= kgkg

----> Això s'anomena constant de proporcionalitat

En una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. En aquest cas:5 · 6 = 4 · 7,5 = 30

Activitats

1) Escriu les raons corresponents a les situacions següents:

a) De les 350 pàgines que té un llibre, n'he llegit 95b) Hem recorregut 260 km d'un trajecte de 600 kmc) La Sílvia té 28 cromos d'una col·lecció de 72d) De les 32 dents que tenim, a la criatura n'hi han sortit 4

2) Escriu dos nombres que tinguin 65 de raó i que no siguin 5 i 6

3) Calcula el terme que falta seguint l'exemple:

Exemple: 214

7·127·12·47124 ==→=→= xx

x

a) x

1258 = b)

6128 x= c)

16324 =

x

d)5

1815

=x e) 54

25=x f)

1684 x=

Magnituds directament proporcionals

Dues magnituds són directament proporcionals si, quan multipliquem o (dividim) una per un nombre, l'altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre.

Exemple: En una pastisseria venen rosquilles a 8 €/kg. Elabora una taula en la qual es relacioni el preu de les rosquilles amb el pes

Pes (kg) 1 2 3 ... 6 ...

Preu (€) 8 16 24 … 48 ...

1250246

243

162

81 ,==== Per tant, les magnituds Pes – preu són directament proporcionals

Activitat

4) Completa la taula perquè correspongui als valors dues magnituds directament proporcionals.

1 2 4 6

10 30 50 70

Problemes de proporcionalitat directa

Exemple: Per fer 3 marcs iguals, la Lluïsa fa servir 2,79 m de llistó. Quants metres de llistó necessitarà per fer 4 marcs?

Nre de marcs Metres de llistó

Per a 3 marcs necessitem 2,79 m de llistóPer a 4 marcs necessitarem x m de llistó

Formem una proporció: 72,33

4·79,24·79,2·379,243 ==→=→= xx

xm

Activitats

5) Una màquina produeix 800 caragols en 5 hores. Quant tardarà la màquina a fabricar 1.000 caragols?

6) Tradueixo un llibre al preu de 6 € per pàgina. Si m'han pagat 2.532 €, quantes pàgines he traduït?

7) Una família beu 2,5 litres de llet diaris. Quants litres consumeix en una setmana?

8) Si per portar 15 barres de pa necessito 3 cistelles, amb una cistella tinc per a .......

Magnituds inversament proporcionals

Dues magnituds són inversament proporcionals si quan multipliquem una per un nombre, l'altra queda dividida pel mateix nombre.

Exemple: Un pintor tarda 48 dies en pintar una casa. Elabora una taula que relacioni el nombre de pintors amb els dies i estudia si aquestes magnituds són inversament proporcionals..

Nombre de pintors 1 2 3 ... 6 ...

Dies 48 24 16 ... 8 ...

Si et fixes, es compleix que: 1 · 48 = 2 · 24 = 3 · 16 = 6 · 8 = 48Les magnituds Nombre de dies – Dies són inversament proporcionals

Activitats

9) Completa la taula de valors inversament proporcionals següents:Magnitud A 1 2 4 6

Magnitud B 24 8 6

10) Divuit obrers duen a terme una feina en 30 dies. Completa els valors de la taula:Obrers 3 9 18 36 72

Dies 30

11) Són inversament proporcionals:

a) Velocitat i temps utilitzatb) Edat i estatura d'una personac) Consum d'electricitat i hores de llum solar

Problemes de proporcionalitat inversa

Exemple: Un tren, a una velocitat de 90 km/h tarda dos hores per fer un trajecte. Quant temps tardarà si va a 60 km/h?

Aquestes magnituds són inversament proporcionals, ja que com més velocitat portarà el tren, menys temps li costarà fer el trajecte. Anem a fer un esquema del problema:

Velocitat Temps

Si a 90 km/h tarda 2 hores a 60 km/h tardarà x hores

Com les magnituds són inversament proporcionals, per plantejar la proporció prenem la inversa de la segona fracció:

360

2·902·90·60260

90 ==→=→= xxx hores

Activitats

12) Una aixeta aboca 18 litres per minut tarda 28 hores per omplir un dipòsit. Si el seu cabal fos de 42 L/min, esbrina el temps que tardaria per omplir-lo.

13) Un cotxe tarda 8 hores per recórrer un trajecte a 120 km/h. Quant tardaria a 90 km/h?

14) Un ramader té bales de palla per alimentar 20 vaques durant 60 dies. Si compra 10 vaques més, per a quants dies tindrà aliment?

Càlcul del tant per cent

Exemple: Calcula el 30% de 600

30% de 600 = 10030 · 600 =

100600·30 = 60 ---> el 30% de 600 és 180

15) Calcula:

a) 7% de 420 = b) 15% de 4000 = c) 90% de 1900 = d) 65% de 40=

16) Troba el valor de la x si saps que:

a) 30% de x = 20 b) 4,5% de x =152 c) 25% x =289 d) 67% de x =725

Problemes amb percentatges: Càlcul de la part, coneguts el percentatge i el total

Exemple: El 40% dels 355 alumnes d'un institut són nois. Quants nois hi ha?

Els problemes de percentatge els podem resoldre mitjançant una proporcionalitat directa:

Alumnes NoisSi de 100 alumnes són nois 40 nois de 355 alumnes seran nois x nois

Formem una proporció: 142100

40·35540·355·10040355100 ==→=→= xx

xnois

Activitats

17) Un equip ha perdut el 25% dels 32 partits que ha jugat aquesta temporada. Quants partits ha guanyat?

18) La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte del 12%. A quina quantitat equival el descompte?

19) De les 4.075 persones mortes durant l'any passat en accident de trànsit, el 52% eren joves menors de 35 anys. Quantes persones menors de 35 anys van morir l'any passat en accidents de trànsit?

20) L'Esteve paga d'impostos el 22% del seu sou. Si aquest any els seus ingressos són de 25.500 €, quant haurà de pagar d'impostos? Quina quantitat neta ha cobrat?

21) A la carta d'un restaurant els preus no inclouen el 8% d'IVA. Un client ha menjat una amanida que costa 3,15 €, un llenguado de 6,25 € i postres de 4,75 €. Quant pagarà en total?

22) La Carme gasta el 26% del seu sou per menjar i el 35% per pagar lloguer. Si guanya 1.500 € al mes, quant es gasta en cada concepte?

Càlcul del percentatge, coneguts el total i la part

Exemple: La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte de 1.920 €. Quin percentatge li descompten?

Preu del cotxe Descompte

Si de 16.000 € li descompten 1.920 € de 100 € li descomptaran x €

Formem la proporció: 1216000

100·1920100·1920·160001920100

16000 ==→=→= xxx

%

El descompte aplicat és del 12%

23) He comprat a les rebaixes unes esportives per 45 € que abans marcaven 50 €. Quin descompte m'han fet?

Càlcul del total coneguts el percentatge i la part

Exemple: La Joana compra un cotxe. Si li fan el 12% de descompte, que equival a 1.920 €, quin és el preu del cotxe?

Preu del cotxe Descompte

Si de 100 € li descompten 12 € de x € li descomptaran 1.920 €

Formem la proporció: 000.1612

100·1920100·1920·121920

12100 ==→=→= xxx

€

Activitats

24) Quin era el preu d'un ordinador que està rebaixat el 18% si m'ha costat 900 €?

25) Quant val x si el seu 22% és 44?

Augments i disminucions percentuals

Exemple d'augments: El preu de la gasolina s'ha apujat el 2%. Si costava 0,95 € el litre, quant costa ara?

Com que augmenta el 2%, el que abans valia 100 cèntims d'euro ara costa 100 + 2 = 102 cèntims

Preu abans Preu augmentat

100 cèntims ------------- 102 cèntims 95 cèntims ------------- x cèntims

Formem la proporció: 9,96100

95·10295·102·10010295

100 ==→=→= xxx

cèntims ≈ 97 cèntims costa

ara

Exemple de disminucions: Una càmera de vídeo costa 650 €, però el venedor em fa una rebaixa del 20%. Quant he de pagar?

Com que disminueix el 20%, el que abans valia 100 € ara costa 100 – 20 = 80 €Preu abans Preu rebaixat

100 € -------------- 80 €650 € ------------- x €

Formem la proporció: ==→=→=100

80·65080·650·10080650100 xx

x520 € he de pagar

Activitats

26) La paga mensual de la Sara és de 50 €. Si els seus pares li han apujat el 10%, quant li donaran a partir d'ara?

27) A en Joan li han posat una multa per excés de velocitat de 150 €. Després del període voluntari de pagament, ara s'hi afegeix el 20 % de recàrrec. Quant haurà de pagar ara?

28) Un fabricant de calçat ven les sabates al 120 % del preu que li costa fabricar-los. Si el cost de fabricació d'unes sabates és de 14 €, per quant les vendrà?

29) La Seguretat Social paga el 60% del preu d'alguns medicaments. Si he comprat un medicament que té un preu de venda al públic de 19 €, quant he pagat?


30) Calcula el valor de a, b, c en aquestes proporcions: 1225

1853 cb

a===

31) Calcula quant val x en la proporció: 7515

2053 =

++ x

32) Calcula a i b si saps que b

a 1645

= i que 98 és la constant de proporcionalitat

33) Calcula a i b si saps que a + b = 15 i que ba287 =

34) Troba dos nombres que tinguin 2,25 de raó i que sumin 65

35) Completa aquestes taules:

a) Temps de lectura 5 min 10 min 15 min 20 minPàgines llegides 2

b) Temps de fabricació 18 min 36 min 54 min 72 min

Nre. d'objectes fabricats 4

36) Completa aquestes taules sabent que A i B representen magnituds inversament proporcionals:

A 6 5 30B 90 54

A 24 12 36B 6 18

37) En una fàbrica de cotxes es fan 300 unitats cada 5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12 hores si es manté el mateix ritme?

38) Un pintor cobra 425 € per 5 dies de feina. Quant cobrarà per 7 dies?

39) Quatre tractors llauren un camp en 6 hores. Calcula el temps que tardarien 6 tractors per llaurar-lo.

40) Vuit persones recullen les taronges d'un bancal en 9 hores. Quant tardarien a fer-ho 6 persones?

41) En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68% són dones. Esbrina el nombre d'homes del poble.

42) En una classe de 30 alumnes, n'han faltat 6. Quin ha estat el percentatge d'absències?

43) De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada el futbol?

44) D'una font hem recollit 200 litres d'aigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts?

45) Tres cavalls consumeixen una càrrega farratge en 10 dies. Quant els duraria la mateixa càrrega si hi hagués 5 cavalls?

46) Quatre excavadores han obert les voreres d'un carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies, quantes excavadores caldrien?

47) El 18% d'una collita d'enciam són 10.800 kg. Quants quilograms té la collita sencera?

48) Un vestit costa 280 €. Si n'apugen el preu el 12%, quant costarà?

49) Les reserves d'aigua d'un pantà eren de 350 hm3. Si han augmentat el 12%, quines són les reserves actuals?

50) En un rellotge antic, un engranatge té dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la roda gran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita.

51) Per fer dues camises calen 4,5 m de roba. Quanta roba cal per fer 3 camises?

52) Amb la mateixa proporció que en l'activitat anterior, quanta roba caldrà per fer 7 camises?

53) Amb la mateixa proporció que les activitats anteriors, quantes camises es poden fer amb 15 metres de roba?

54) Quatre persones realitzen un treball en dues hores i quart. Quant tardaran a fer aquest mateix treball 3 persones?

55) En una població de 8.000 habitants, el 52% són dones. Quin n’és el percentatge d’homes? Quants homes hi ha?

56) El 8% de les ovelles d’un ramat són negres. Quantes ovelles hi ha en total si les negres són 22?

57) Una samarreta costa 30 €. Quant pagarem si ens fan una rebaixa del 15%?

58) Per fer una paella necessitem 2 gots d'aigua per cada got d'arròs. Si hi tirem 4 gots i mig d'aigua, quants gots d'arròs hi haurem d'afegir?

59) L'Alícia i l'Antoni reparteixen propaganda. Els 5 paquets de l'Alícia pesen 6 kg. Quant pesen els 7 paquets de l'Antoni? (Els paquets pesen tots igual)

60) La propietària d'una pensió té menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vénen 6 hostes nous, per a quants dies tindran menjar?

61) La Maria escriu dues pàgines en mitja hora. Quantes pàgines escriurà en 3 hores? Quant temps tardarà en escriure 84 pàgines?

62) Dels 1.200 alumnes d'un institut, el 25% practiquen atletisme; el 15%, bàsquet; el 40% futbol, i la resta no practiquen cap esport. Calcula el nombre d'alumnes que practiquen cada esport i els alumnes que no en practiquen cap.

63) Tres excursionistes s'enduen aliments per a una estada a la muntanya. Quant arriben al refugi descobreixen que tenen el 15% més de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quant en tenien al principi

64) Dues rodes dentades engranen mútuament. La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primera ha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona?

65) Les rodes del darrere d'un vehicle fan 1,3 metres de diàmetre, i les del davant, 1 metre. Si les del darrere han fet 260 voltes, quantes n'han fet les del davant?

66) Una aixeta aboca un cabal de 25 L/min i omple un dipòsit d'aigua en una hora i 20 minuts. Quant tardarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixeta amb un cabal de 20 L/min?

67) En una banyera l'aigua arriba a 12 cm d'altura amb una aixeta que treu 180 ml/s d'aigua en 12 minuts. Si l'aixeta tragués 90 ml/s, a quina altura arribaria l'aigua en el mateix temps?

68) Una piscina té dos desguassos. El primer tarda 8 hores per buidar la piscina. Quan obre el segon desguàs, la piscina tarda 6 hores per buidar-se. Quant de temps tardaria en buidar-se la piscina amb els dos desguassos alhora?

69) Dos desguassos iguals buiden una bassa d'aigua en 4 hores i quart. Quant tardaria amb tres desguassos iguals als anteriors?

70) Un establiment venia el cafè a 5 €/kg. Si ara el ven a 4,75€/kg, calcula el percentatge de descompte que s'ha aplicat.

71) Volem fer la fotocòpia d'una làmina de la qual reduirem l'altura de 12,5 cm a 6 cm. Quin percentatge de reducció hi aplicarem?

72) Una aixeta oberta durant 5 minuts fa que el nivell d’un dipòsit pugi 20 cm. Quant pujarà el nivell si obrim l’aixeta durant 7 minuts?

73) Tres quilos de taronges costen 3,60 €. Quant en costen 5 kg?

74) Un cotxe ha recorregut 12 km en els últims 9 minuts. Si continua a la mateixa velocitat, quants quilòmetres recorrerà en els pròxims 30 minuts?

75) L’altre dia vaig pagar 3,45 € per 300 grams de formatge. Quant pagaré per un tros del mateix formatge que pesa 280 grams?

76) En una població de 2.000 habitants, el 40% viu de l’agricultura i el 30% viuen de la ramaderia. Quants en viuen de l’agricultura i quants de la ramaderia?

77) Un hotel disposa de 400 llits, dels quals 280 estan ocupats. Quin és el percentatge d’ocupació de l’hotel?

78) Els 12 nois d’una classe representen el 40% del total. Quantes noies hi ha a la classe?

79) El preu d’una bicicleta que costava 400 € l’any passat. Ha pujat un 20%. Quin és el preu actual?

80) Una cadena musical costava 800 €, però m’hi han fet una rebaixa del 15%. Quant he de pagar per la cadena?

81) En una classe de 30 alumnes, el 60% són nois i la resta són noies. Quants nois i quantes noies hi ha a la classe?

82) Els habitants d’una ciutat determinada es distribueixen en: 880.000 europeus, 60.000 africans, 50.000 americans i 10.000 asiàtics. Quin percentatge representa cada grup, respecte del total?

83) Actualment els meus pares em donen 15 € mensuals de paga, però els he convençut perquè me la pugin el 15%. Quina serà la meva paga a partir d’ara?84) Una CD de música costa 11,35 €. Quant pagaré si m’han fet una rebaixa del 40%?

85) En una granja el 15% dels animals són vaques. Si sabem que hi ha 30 vaques, quin és el nombre total d’animals?

86) Un jersei rebaixat en un 20%, m’ha costat 40 €. Quant costava abans de la rebaixa?

87) Quatre aixetes omplen una bassa en 6 hores. Quant tardaran a omplir-la tres aixetes iguals a les anteriors?

A

UNITAT 6: PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA

Recta, semirecta i segment

Una recta és una línia contínua formada per infinits punts que no té ni principi ni final

Una semirecta és una recta que té principi, però no té final

Un segment és el tros o la part de la recta delimitat per dos punts (extrems)

Raó de dos segments

Anomenem raó de dos segments, AB i CD, el nombre que resulta de dividir la longitud del segment AB (que mesura 3 cm) pel segment CD (que mesura 5 cm)

La raó de AB i CD és 0,6

Segments proporcionals

Els segments AB i CD són proporcionals a EF i GH si la raó de AB i CD és igual a la raó de EF i GH

La raó de AB i CD és r, i la de EF i GH també

Teorema de Tales

Si tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues rectes, r i s, els segments que determinen són proporcionals.

A'

B B'

C C'

a

b

c

sr

6,053 ==

CDAB

rGHEF

CDAB ==

⇒==→

=

=

ACCA

BCCB

ABBA

ACCA

ABBA

BCCB

ABBA

''''''''''

''''

Aquesta igualtat s'anomena teorema de Tales

Activitats

1) Calcula la longitud de 'OA i BC , sabent que: cmOA 3= ; cmAB 25,2= ; cmBA 5,1'' = i cmCB 5'' =

2) Calcula la longitud del segment OC a la figura de l'exercici anterior

3) En la següent figura, sabem que OA = 4,7cm; AB = 5 cm, i la raó 6,1'

=OAOA .

Calcula: '' BA , OB i 'OB

4) Observa la figura següent i calcula quant fan els segments: AP , PQ i QB .Sabem que AB = 10cm

O

AB

C

A' B' C'

O

A

B

A' B'

Q BP

1cm

3cm

4cm

A

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants si:

- Tenen els angles iguals:

- Tenen els costats proporcionals:

ACCA

BCCB

ABBA '''''' ==

Triangles en posició de Tales

Diem que dos triangles ABC i ADF estan en posició de Tales quan tenen un angle comú, A, i els costats oposats a aquest angle, FD i BC, són paral·lels.

Criteris de semblança

Els criteris de semblança de triangles són les condicions mínimes que han de complir els triangles perquè siguin semblants

PRIMER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals

ACCA

BCCB

ABBA '''''' ==

SEGON CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals

TERCER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats que el formen són proporcionals

BCCB

ABBA '''' =

'ˆˆ AA = 'ˆˆ AA = 'ˆˆ BB = 'ˆˆ CC =

A B

C

D

F

A

B CA'

B' C'

'ˆˆ AA = 'ˆˆ BB =

'ˆˆ AA =

Aplicacions de la semblança de triangles

Exemple: En el dibuix anterior, es veu un arbre que projecta una ombra de 6,3 m. Al mateix temps, un pal de 1,5 m d'alçada projecta una ombra de 2,1 m. S'ha de calcular l'alçada de l'arbre

Primer hem de comprovar si els triangles que formen l'arbre i la seva ombra i el pal i la seva ombra són semblants. Els angles A i 'A són iguals perquè són angles rectes. Els angles B i 'B també són iguals perquè en ser al mateix temps, els raigs del sol incideixen sobre els dos objectes amb la mateixa inclinació. Per tant, pel segon criteri de semblança, els dos triangles són semblants. Per tant, hi podem aplicar la proporcionalitat entre els seus costats:

⇒=AC

CAAB

BA '''' 5,41,2

5,1·3,65,13,61,2 ==⇒= AC

ACm

Activitats5) L'ombra d'un autobús a una certa hora del dia fa 8 m. A la mateixa hora, l'ombra d'un cotxe, que fa 1,4 m d'alçada, és de 3,5 m. Quina és l'alçada de l'autobús?6) Quina alçada té el pal?

6) Quina alçada té el pal?

<------------------- 18m ----------------------------->7) Quina és l'alçada de la torre d'una església sabent que fa una ombra de 100 m, si al mateix temps, una farola de 3 m d'alçada fa una ombra de 12 m?

8m

C'

A A'B B'

1,5m

15m

8m

8) Donats els següents rectangles, resol:

a) Són semblants?b) Quina raó de semblança tenen?c) Determina les mides d'un altre rectangle semblant?

9) Calcula els perímetres dels rectangles anteriors. Quina és la raó de semblança entre els seus perímetres? Quina relació té entre la raó entre els seus costats?

10) Calcula les àrees dels rectangles de l'activitat 8. Quina és la raó entre les àrees? Quina relació té amb la raó de semblança dels costats?

Escales

Exemple: La llargada del jardí a la realitat és de 37,5 m, mentre que aquesta distància en un plànol és de 2,5 cm. A quina escala està dibuixat el plànol?

El primer que haurem de fer és posar les dues distàncies a la mateixa unitat. Per exemple, passarem els metres a centímetres: 37,5 m = 3.750 cm. Ara farem un esquema:

Distància al plànol Distància en la realitat

2,5 cm 3.750 cm 1 cm x cm

Formem una proporció: ⇒==⇒= 500.15,2

1·750.3750.315,2 x

xL'escala és 1:1.500

Activitat

11) El plànol d'una casa és 1:75. Quina mida real té una línia del plànol de 5 cm de longitud?


12) Calcula la longitud de x: 13) Calcula el valor de la y:

20m

30m 24m

16m

2,5cm 2cm

x 3cmy 10cm

5cm

8cm

14) Calcula la longitud dels costats desconeguts en els triangles donats:

15) Dibuixa dos quadrats semblants que tinguin de raó 2

16) Expressa mitjançant una escala numèrica que 25 cm d'un mapa representen 25 km reals

17) Un arbre fa 5 m d'alçada i, a una determinada hora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alçada tindrà un edifici que, a la mateixa hora, projecta una ombra de 10 m?

18) Si la raó 41=

CDAB , calcula:

a) AB si CD = 9 dm

b) CD si AB = 13,6 dm

19) Calcula el valor de la x: 20) Calcula el valor de la y:

21) Calcula la longitud dels costats desconeguts:

22) Calcula un triangle semblant al donat que tingui com a raó de semblança 45

3cm 5cm 4cm

12cmx

y

4cm

2cm

3cm x

8cm

4cm

y 6cm

8cm10cm

7cm

6cmx

y

6cm

12cm

8cm

23) Un mapa està dibuixat a una escala de 1:1.500.000. En aquest mapa, una ciutat està a 15 cm de distància d'una altra. Quina serà la distància en la realitat?

24) Si un pal d'1m d'alçada projecta una ombra de 1,5 m, quina serà l'alçada d'un edifici que, a la mateixa hora, projecta una ombra de 6 m?

25) Un triangle té 5 cm, 7 cm i 10 cm de costats. Aquest és semblant a un altre, més gran, on la raó

de semblança és 45

. Quines seran les mides d'aquest triangle?

26) Si la raó 6,1=CDAB , calcula:

a) AB si CD = 12 cm

b) CD si AB = 32 cm

27) Calcula el valor de x, y i z:

28) Calcula el valor de x:


x

y

z

5,2cm8cm

0,8cm

1cm

4,8cm

2cm

x 3cm

6cm

x

y3cm

5cm

4cm

4cm

30) Raona si les afirmacions són certes:

a) Tots els quadrats són semblantsb) Tots els rectangles són semblantsc) Tots els pentàgons són semblantsd) Tots els pentàgons regulars són semblantse) Tots els triangles rectangles són semblants

31) En un plànol, l'amplada d'un armari és de 2 cm. Quina és la seva amplada real sabent que el plànol és dibuixat en una escala de 1:200?

32) En una maqueta, un autobús mesura 3 cm d'alçada. Si l'escala que està feta és de 1:100, quant mesura la seva alçada en realitat?

33) Un triangle té 5 cm, 8 cm i 9 cm de costats. És semblant a un altre que té 55 cm de perímetre. Calcula quant mesuren els costats del triangle semblant.

34) Comprova si els següents segments són proporcionals:

a) AB =2cm CD =5cm EF =6cm GH =16cm

b) AB =6cm CD =8cm EF =4cm GH =3cm

35) Calcula les dades que falten:


2cm

y

5cm

x 3cm 7cm

5cm 5cm

3,2 cm

2cm

37) Dos triangles són semblants,i la seva raó de semblança és 41

. Si les mide del primer triangle són

8 cm, 10 cm i 14 cm, calcula les mides del triangle desconegut.

38) Tenim dos triangles semblants. Les mides del més petit són: 10 cm, 14 cm i 18 cm. El costat més petit de l'altre mesura 15 cm. Calcula els dos costats que falten.

39) Troba la distància real entre dos pobles separats en 4 cm en un mapa d'escala 1:400.000

40) L'ombra que projecta un pare de 1,8 m d'alçada, a les tres de la tarda, és de 2,1 m. Quina alçada tindrà el seu fill si l'ombra, a la mateixa hora, és de 1,4 m?

41) Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments:

a) AB = 3 cm CD = 6 cm EF = 9 cm

b) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm

42) La raó de semblança entre les àrees de dos triangles semblants és 100/81. Si el triangle petit té uns costats de 18 cm, 27 cm i 36 cm, quant mesuraran els costats del triangle gran?

43) Dos triangles són semblants. Les mides del costat d'un d'ells són: 4 cm, 5 cm i 6 cm. El costat més petit de l'altre triangle mesura 7,2 cm. Calcula els altres dos costats i la raó de semblança.

44) Dos triangles són semblants i la seva raó de semblança és 3. Les mides del triangle petit són: 6 cm, 7 cm i 3,5 cm. Calcula les mides dels costats del triangle gran.

45) Un quadrat mesura 6 cm de costat. Calcula el costat, el perímetre i l'àrea d'un altre quadrat semblant si la raó de semblança és 2,5

46) La distància real entre dues ciutats és de 450 km. Troba la distància que les separa en un mapa dibuixat a escala 1:1.500.000

47) La Júlia mesura 1,34 m i, a la 1 de la tarda, projecta una ombra de 1,2 m. Quant fa la seva mare si, a la mateixa hora, projecta una ombra de 1,4 m?

48) Considera aquesta figura:

Si OA = 5 cm; OC = 22,5 cm; 'OC = 36 cm; 'OB = 24 cm;calcula: 'OA , OB , AB , BC , '' BA , ''CB

A

B

A' B' C'

C

O

49) La raó de semblança entre dos triangles és 41

. Si el triangle petit mesura 5 cm, 8 cm i 10 cm,

quines són les mides del triangle gran?

50) El plànol d'una casa està dibuixat a escala 1:60. Quines dimensions té la cuina si al plànol fa 4 cm d'amplada i 7 cm de llargada? Si el passadís fa en realitat 7,5 m, quant mesura al plànol?

51) Al costat d'un semàfor, l'ombra d'en Joan fa 1,5 m i la del semàfor és 60 cm més llarga. Si el Joan fa 1,75 m d'alçada, quant mesura el semàfor?

52) L'Anna està situada a 5 m de la riba d'un riu i veu reflectida una muntanya a l'aigua. Si l'Anna fa 1,70 m d'alçada i la muntanya està a 3 km del riu, quina alçada té la muntanya?

53) La raó de semblança entre dos segments és 53

, i la seva diferència és 7 cm. Calcula la longitud

de cada segment.

54) Els costats d'un triangle fan: 12 mm, 15 mm i 21 mm. Els costats d'un altre fan: 35 mm, 25 mm i 20 mm. Són semblants aquests dos triangles?

55) Els costats d'un triangle mesuren 4 cm, 5 cm i 6 cm. Calcula els costats d'un triangle semblant amb 2,5 com a raó de semblança

56) Els costats d'un triangle mesuren 3 cm, 5 cm i 8 cm. Calcula els costats d'un triangle semblant que té 48 cm de perímetre.

57) Les mides d'un triangle rectangle són 6 cm, 8 cm i 10 cm. Calcula les mides d'un altre triangle

semblant al donat, sabent que la raó de semblança entre les àrees és 1681

.

58) Dues ciutats disten en un mapa 3,5 cm. Si la seva escala és 1:2.000.000, quina és la distància real entre els dos pobles?

59) Per determinar l'alça d'una casa col·loquem un espill al terra i ens allunyem 2 m. La distància que hi ha del terra fins als ulls és de 1,5 m. La distància que hi ha de l'espill fins a l'edifici és de 8 m. Calcula l'alçada de l'edifici

UNITAT 7: ÀREA DE FIGURES PLANES

Teorema de Pitàgores

Un triangle rectangle és aquell que té un angle recte. Els costats que formen l'angle recte s'anomenen catets i l'angle oposat a l'angle (el costat més gran), s'anomena hipotenusa.

a ---------> hipotenusa

b i c ------> catets

Teorema de Pitàgores.- En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets -------> a2 = b2 + c2

Exemple: Troba la hipotenusa d'un triangle rectangle amb catets 6 cm i 8 cm

a2 = b2 + c2

a2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

a = 100 = 10 cm ----> La hipotenusa fa 10 cm

Exemple: Troba quan fa un catet d'un triangle rectangle, sabent que l'altre catet mesura 12 cm, i la hipotenusa, 13 cm

a2 = b2 + c2 o b2 + c2 = a2

b2 = a2 - c2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25

b = 25 = 5 cm ----> El catet fa 5 cm

En un triangle on el costat a és el més gran, sempre es complirà el següent:

· Si a2 = b2 + c2 ------> El triangle és rectangle· Si a2 < b2 + c2 ------> El triangle és acutangle· Si a2 > b2 + c2 ------> El triangle és obtusangle

a

c

b

a

8 cm

6 cm

13 cm

12 cm

b

Activitats:

1) Troba la hipotenusa d'un triangle rectangle amb aquests catets:

a) 15 cm i 8 cm b) 12 cm i 35 cm

2) En un triangle rectangle, els catets fan 5 cm i 12 cm. Quina mida té la hipotenusa?

3) Calcula la diagonal d'un rectangle de 16 m de llarg i 12 m d'amplada

4) Es compleix el teorema de Pitàgores en triangles que no siguin rectangles?

5) Indica si els triangles amb aquestes mides són rectangles, acutangles o obtusangles:

a) 10 cm, 11 cm i 20 cmb) 4 cm, 5 cm i 6 cmc) 48 cm, 55 cm i 73 cm

6) Sobre un camp rectangular, de 12 m de llarg per 9 m d'ample, tracem una diagonal. Calcula'n la longitud

7) Determina la llargada d'un rectangle de 3 cm d'amplada i 22 cm de diagonal

8) Calcula el costat d'un quadrat si la diagonal és de 18 cm

Càlcul del costat d'un rombe

Exemple: Calcula quant fa el costat i el perímetre d'un rombe de 12 cm i 16 cm de diagonals

D = 16 cm d = 12 cm Les meitats de les diagonals seran els catets del triangle

c2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

c = 100 = 10 cm de costat ----->

Com els quatre costats són iguals:

P = 4 · 10 = 40 cm de perímetre

9) Calcula quant fa el costat d'un rombe de diagonals 12 cm i 18 cm

8 cm

6 cm

c

Exemple: Calcula l'altura d'un triangle equilàter de 6 cm de costat

D'aquest triangle equilàter, podem formar un triangle

rectangle on la hipotenusa és un costat (6 cm) i elscatets: un és l'altura del triangle equilàter (h), i l'altrela meitat de la base (3 cm)

62 = h2 + 32 o h2 + 32 = 62 h2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27h = 27 = 5,2 cm ----> L'altura fa 5,2 cm

10) Calcula l'altura d'un triangle equilàter de 7 cm de costat

Exemple: Calcula l'apotema d'un hexàgon regular de 6 cm de costat

L'hexàgon es pot dividir en 6 triangles equilàters iguals. I d'un d'ells podemformar un triangle rectangle, on la hipotenusa serà 6 cm, i els catets 3 cm il'altura del triangle equilàter, que a la vegada és l'apotema (a) de l'hexàgon.A partir d'aquí, el càlcul de l'apotema serà igual que en l'exemple anterior---->

62 = a2 + 32 o h2 + 32 = 62 ---> a2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27

a = 27 = 5,2 cm L'apotema fa 5,2 cm

11) Troba l'apotema:

12) Determina l'altura d'un triangle isòsceles que té els costats iguals de 8 cm i la base de 6 cm

13) Troba la mida del costat d'un triangle equilàter de 12 cm d'altura

14) Calcula el costat d'un hexàgon regular de 10 cm d'apotema

15) Troba l'àrea d'un rectangle de 5,4 cm d'altura i 9 cm d'amplada

16) Un rombe té 5 dm de diagonal major i 30 cm de diagonal menor. Calcula l'àrea

17) Calcula l'àrea d'un romboide té 150 mm de base i 65 mm d'altura. Calcula l'àrea

18) Calcula l'àrea d'un quadrat de 0,06 m de diagonal

19) Determina l'àrea d'un rombe de 9 cm de costat i amb diagonal menor de 5 cm

h6 cm6 cm 6 cm

3 cm

h

6 cm

a

6 cm

6 cm6 cma

3 cm

a

6cm

6cm 6cm6cm

4cm

20) Calcula l'àrea d'aquests polígons:

a) b) c)

21) Determina l'àrea d'un triangle isòsceles que té els costats iguals de 14 cm i la base de 22 cm.

22) Determina l'àrea d'aquest trapezi isòsceles:

23) Calcula l'àrea d'un hexàgon regular de 10 cm de costat

24) Troba la longitud d'una circumferència de:

a) 3 cm de radi b) 16 cm de diàmetre

25) La longitud d'una circumferència és de 49 cm. Calcula'n el radi

26) Quina longitud d'arc té un angle de 50º en una circumferència de 7,8 cm de radi

27) En una circumferència, a un angle de 30º correspon un arc de 2 cm. Determina el radi i la longitud de la circumferència

28) Determina l'àrea d'un cercle de 18 cm de radi

29) Troba l'àrea d'un cercle de 25 cm de diàmetre

30) Calcula l'àrea d'una corona circular continguda entre dues circumferències de radi 100 mm i 7 cm

31) Troba l'àrea d'un cercle inscrit en un quadrat de 50 cm de diagonal

32) Calcula l'àrea del sector circular de 50º d'amplitud i 6 cm de radi

6 cm

12 cm

12 cm

7 cm

22 cm

16 cm

10 cm

6 cm

9 cm

12 cm


33) Calcula la hipotenusa dels triangles rectangles amb aquests catets:

a) 10 cm i 8 cm b) 7,2 cm i 11,6 cm c) 5 cm i 8 cm

34) Determina si els triangles següents són rectangles:

a) Triangle de costats: 5 cm, 12 cm i 13 cmb) Triangle de costats: 6 cm, 8 cm i 12 cmc) Triangle de costats: 5 cm, 6 cm i 61d) Triangle de costats: 7 cm, 24 cm i 25 cm

35) Calcula l'àrea d'un rectangle de 10 cm de base i de 116 cm de diagonal

36) Completa la taula següent amb les dades que hi falten

Radi DiàmetreLongitud de

la circumferència2 cm

7 cm29,516 cm

10 cm6,3 cm

48,984 cm

37) Calcula l'àrea d'un cercle de:

a) 7,2 cm de radi b) 6 cm de diàmetre

38) Troba la mida dels catets d'un triangle rectangle isòsceles de 9 cm d'hipotenusa

39) Calcula la longitud de x en aquest quadrat:

40) Troba l'àrea d'un quadrat que fa 22,4 cm de perímetre

x 4 cm

41) Calcula l'àrea de la zona acolorida:

42) Quin és el diàmetre d'una circumferència de 50,24 cm de longitud?

43) Troba l'àrea d'un cercle limitat per una circumferència de 321,536 cm

44) L'ombra que produeix una barreta vertical en un instant determinat és igual a la seva longitud. Quin triangle determinen la barreta i la seva ombra? Quina és la inclinació dels raigs solars?

45) Calcula la longitud de x en aquestes figures:

a) b)

46) Troba el costat d'un quadrat si saps que l'àrea és de 84,64 cm2

47) Determina l'àrea d'un quadrat inscrit en una circumferència de 3 cm de radi

48) Troba el diàmetre d'una circumferència si saps que la longitud d'un arc de 50º és de 5,23 cm

49) Troba l'àrea d'un sector circular de 120º i 6,8 cm de radi

50) Calcula la longitud del cable de l'estel:

9 cm

4 cm

6 cm 11 cm

8 cm

4 cm

x10 cm x

6 m

8 m

x

8 cm

6 cm

51) Determina la longitud de x en aquest quadrat:

52) Determina la mida de la diagonal d'un quadrat de 12,25 cm2

53) Troba un rectangle que tingui la mateixa àrea que un quadrat de 4 cm de costat. Raona quants rectangles compleixen aquesta condició

54) Quina és la longitud de la circumferència amb un arc de 110º que té una longitud de 57,57 cm?

55) Determina l'àrea dels sectors acolorits:

56) Quina és la longitud màxima que en Joan pot nedar en una piscina que fa 17 m de llargada i 10 m d'amplada si tan sols ho pot fer en línia recta?

57) Un pal metàl·lic de 17 m d’alt ha caigut sobre la paret d’un edifici. A quina alçada de l’edifici ha quedat tombat el capdamunt del pal, si era col·locat a 10,2 m de la paret?

58) A quina alçada podem arribar amb una escala de mà d’11,5 m de llargada, si col·loquem el peu de l’escala a una distància de 6,9 m de la paret?

59) Troba l’altura d’un triangle isòsceles sabent que els dos costats iguals mesuren 11,5 cm cadascun i la base 18,4 cm

60) Calcula el costat d’un quadrat que té la diagonal de 236 cm

61) Calcula la longitud de la circumferència i l’àrea del cercle que té 8 cm de diàmetre

62) Calcula l’àrea del sector circular de 35º d’amplitud que pertany a un cercle de 9 cm de radi

63) Calcula la longitud de l’arc d’una circumferència de 4 cm de radi, sabent que té una amplitud de 50º

64) Troba l’àrea d’un triangle equilàter amb un costat de 24 cm

65) Quina és l’àrea d’un hexàgon regular de 8 m de costat?

x117 m

45º

115º

6,28 m

4 m

66) Troba la longitud de la diagonal d’un quadrat el costat del qual fa 8,3 cm.

67) Un sector circular de 20º d’amplitud té una àrea de 56,52 cm2. Determina el radi

68) L’àrea del cercle petit d’una corona circular és 314 cm2. La longitud de la circumferència exterior és 94,2 cm. Calcula l’àrea de la corona circular.

69) Calcula l’àrea d’un quadrat de diagonal 21 cm

70) Si la diagonal d’un rectangle fa 32,5 cm i la seva base 26 cm. Quina serà la seva superfície?

71) Busca l’altura d’un triangle equilàter de 6,8 cm de costat. Calcula també la seva superfície.

72) Calcula l’altura i la superfície d’un triangle isòsceles els costats iguals del qual fan 12,4 cm i la seva base fa 18,6 cm.

73) Calcula l’àrea d’un sector circular de 8 cm de radi i 200º d’amplitud. Calcula també la longitud de l’arc que el comprèn

74) Quina és l’àrea d’un sector circular de 40º en un cercle de 8 cm de radi

75) Quant mesura el radi d’una circumferència si el cercle que limita té una superfície de 254,34 cm2??

76) Busca la longitud de l’apotema d’un hexàgon regular de 4,3 cm de costat. Quina serà la seva superfície?

77) Calcula l’àrea i el perímetre d’un rombe que té de diagonals 20 i 14 cm, respectivament.

78) Troba l’àrea d’un quadrat que fa 12 cm de diagonal

79) Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 7 cm de costat

80) Troba l’àrea d’un trapezi isòsceles les bases del qual fan 18 i 10 cm, respectivament, essent el seu perímetre 38 cm.

81) La longitud d’un arc d’una circumferència de 3 cm de radi és 3,14 cm. Quina és l’amplitud d’aquest arc?

82) El cercle petit d’una corona circular té 628 cm22 d’àrea. La circumferència exterior té una longitud de 188,4 cm. Quina és l’àrea de la corona circular?

UNITAT 8: ÀREA I VOLUM DE COSSOS GEOMÈTRICS

1) Expressa en dm3:

a) 525 cm3 = b) 0,5 dam3 =c) 3 m3 = d) 0,256 hm3 =

2) Una planta que potabilitza aigua del mar dessala 25.000 m3 d'aigua al dia. Quants hm3, dam3 ,i m3

dessalarà en un any?

3) Expressa en forma incomplexa de m3 :

a) 3 dam3 40 dm3 = b) 4.000 mm3 5 cm3 =c) 76 cm3 0,46 dm3 = d) 90 cm3 450 mm3 =

4) Expressa en dm3:

a) 3,42 l = b) 4.090 cl =c) 0,98 dal = d) 0,009 hl =

5) Quants gots de 3 dl de capacitat podem omplir amb una gerra d'1,5 l?

6) Calcula l'àrea i el volum d'un cub de 2 cm d'aresta

7) Determina l'àrea i el volum d'un prisma pentagonal regular de 10 cm d'altura, 4 cm de costat de la base i 2,75 cm d'apotema

8) Determina l'àrea i el volum d'un prisma triangular regular de 8 cm d'altura, 4 cm de costat de la base i 3,46 cm d'altura de la base

9) Un prisma quadrangular recte, de 3 cm d'aresta de la base, té una àrea total de 78 cm2. Calcula'n l'altura i el volum

10) Calcula l'àrea i el volum d'una piràmide regular de base quadrangular, si l'aresta bàsica fa 7 cm i l'altura de les cares laterals és de 4 cm

11) Troba l'àrea total i el volum d'una piràmide quadrangular de 4 cm d'altura i 4 cm d'aresta de la base

12) Determina l'àrea total i el volum d'una piràmide hexagonal regular de 4 cm d'altura, sabent que l'aresta bàsica mesura 3 cm

13) Calcula l'àrea total i el volum d'una piràmide quadrangular de 7 cm d'aresta de la base i 13 cm d'altura

14) En Lluís i l'Anna han de folrar un tub cilíndric de 12 m d'altura i 2 m de diàmetre. Si el paper els costa 12 €/m2, quant els costarà folrar la superfície lateral del tub?

15) Calcula l'àrea total i el volum d'un cilindre de 10 cm d'altura i de 7 cm de radi de la base

16) Troba l'àrea total i el volum d'un tronc de fusta cilíndric recte, de 3 m d'altura i 30 cm de diàmetre de la base

17) Quina és l'àrea de la base d'un cilindre amb una altura de 8 cm i que té el mateix volum que un cub de 6 cm d'aresta?

18) Troba el volum i l'àrea lateral d'un cilindre de 28,26 cm2 d'àrea de la base i 7 cm d'altura

19) Calcula l'àrea total i el volum d'un con que té 8 cm d'altura, la seva generatriu mesura 10 cm, i el diàmetre de la seva base és de 12 cm

20) Calcula la generatriu, l'àrea total i el volum d'un con de 4 cm d'altura i 5 cm de radi de la base

21) Determina l'altura, l'àrea total i el volum d'un con de 13 cm de generatriu i 9 cm de radi de la base

22) Volem cobrir amb lona una torre de forma cònica de 15 m d'altura i 8 m de diàmetre de la base. Quina quantitat de lona necessitarem?

23) Volem omplir d'aigua un con que té 12 m de diàmetre de la base i una generatriu de 10 m. Quina quantitat d'aigua necessitarem?

24) Quin és el radi de la base d'un con que té 12 cm d'altura i un volum de 602,88 cm3?

25) Quina és l'àrea i el volum d'una esfera de 5 cm de radi?

26) Calcula l'àrea i el volum d'una esfera de 18 cm de radi

27) Si el volum d'una esfera és 195,33312 cm3, quin és el seu radi? I la seva àrea?

28) Calcula l'àrea total i el volum d'aquests prismes:

29) Calcula l'àrea total i el volum d'una piràmide quadrangular de 25 cm d'aresta bàsica i 34 cm d'aresta lateral

30) Calcula l'àrea total i el volum d'una piràmide pentagonal de 9 cm d'aresta lateral, 6 cm d'aresta bàsica i 5,1 cm d'apotema de la base

31) Calcula l'àrea total i el volum d'aquests cilindres:

7 cm

2 cm

4 cm

5 cm 5 cm

9 cm

7 cm

10 cm 5 m

12 m

32) Un con té 12 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula'n l'àrea total i el volum

33) Les parets i el sostre d'una habitació tenen una superfície de 94 m2. Si el terra és un rectangle de 7 m de llargada i 4 d'amplada, quina altura té l'habitació?


35) Troba l'altura d'un cilindre d'àrea lateral 756,6 cm2 i radi de la base 10 cm

36) Troba l'altura d'un con de generatriu 13 cm i radi de la base 5 cm. Calcula també el seu volum

37) Les parets i el sostre d'una habitació tenen una àrea de 184 m2. Si el terra és un rectangle de 6 m de llarg i 4 m d'ample, quin és el seu volum?

38) El consum anual d'aigua en un habitatge ha estat de 140 m3 256 dm3. Quant han de pagar si el metre cúbic costa 0,90 €?

39) Calcula l'àrea total i el volum d'aquests prismes (el triangle del 1r prisma és equilàter)

40) L'àrea lateral d'un cilindre és de 452,16 cm2 i l'altura és el doble del radi. Calcula'n l'altura, el radi i el volum

41) Calcula el radi d'una esfera si saps que l'àrea de la seva superfície és de 803,84 cm2. Calcula també el seu volum

42) Calcula l'àrea total i el volum d'un monòlit en forma de piràmide hexagonal que té de costat de l'hexàgon de la base de 10 cm i el costat dels triangles laterals de 25 cm

43) Una aixeta aboca 80 litres d'aigua per hora i tarda 1 h 36 min a omplir una bóta. Quin volum té la bóta?


45) Calcula l'àrea total i el volum d'aquesta piràmide:

46) Calcula l'àrea i el volum d'aquesta piràmide

47) Quina és l'àrea total i el volum d'aquesta figura?

48) Una tenda de campanya de forma cònica té una altura de 2 m i un diàmetre d'1 m. Quants metres quadrats calen per folrar-la, inclosa la base?

49) L'àrea total d'un cub fa 24 cm2. Calcula l'aresta del cub, la diagonal de la cara i el volum

50) Determina l'àrea total d'una piràmide hexagonal regular que té 6 cm de costat, una apotema de la base de 5,2 cm, i una altura de 15 cm

51) Una bobina de paper de forma cilíndrica té una altura d'1,75 m i un diàmetre de la base circular de 80 cm. Calcula'n l'àrea total i el volum

52) Determina la superfície i el volum d'una pilota que té 30 cm de diàmetre

53) El desguàs d'un estany de 0,21 m3 evacua 35 litres/min. Quant tardarà a buidar-se?

54) Calcula l’àrea total i el volum d’un cub de 8 cm d’aresta

55) Un gerro cilíndric fa 16 cm de diàmetre de la base i 25 cm d’altura. Calcula l’àrea total i el volum

56) El terra d’una habitació mesura 5 m per 3,5 m i l’altura és de 2,2 m. Es volen pintar les quatre parets i el sostre amb una pintura que costa 3 € el m2. Calcula el cost de la pintura.

57) Es construeix un dipòsit cilíndric d’uralita de 5 m de diàmetre i 3 m d’altura. Quant costarà la uralita si va a 34 € el m2. Calcula quants litres d’aigua cabrien al dipòsit.

58) Calcula l’àrea total i el volum d’un con de 12 cm de diàmetre i 8 cm d’altura.

59) L’aresta bàsica d’un prisma hexagonal regular mesura 8 cm i l’altura 10 cm. Calcula l’àrea total i el volum

60) Una capsa de mistos té forma d’ortoedre. Si les dimensions són 5,5 cm, 2,5 cm i 8 cm, quant mesura la superfície total i el volum de la capsa?

61) Un prisma quadrangular regular mesura 5 cm d’aresta bàsica i l’aresta lateral és el triple de l’aresta bàsica. Calcula’n l’àrea total i el volum

62) Un con té 5 cm de radi de la base i la seva generatriu fa 13 cm. Calcula l’àrea total i el volum

63) Un pot de llauna de pinya té forma de cilindre de diàmetre igual a la seva altura, que és 10 cm. Quina quantitat de llauna es necessitarà per a construir-lo?

64) Calcula l’àrea total i el volum d’una piràmide hexagonal regular d’altura 12 cm i d’aresta bàsica 5 cm.

65) Una piràmide quadrangular té 6 cm d’aresta bàsica i 12 cm d’aresta lateral. Calcula l’àrea total i el volum

UNITAT 9: ESTADÍSTICA

L'Estadística és la part de les matemàtiques que estudia les característiques d'un conjunt d'individus: persones, animals o coses

Es dedica a recollir, ordenar i condensar gran quantitat de dades

En tot estudi estadístic, trobarem:

- POBLACIÓ: És el conjunt de tots els individus sobre els quals es volen treure conclusions

- INDIVIDU: Cadascun dels elements de la població

- MOSTRA: Part de la població que es pren com a base de l'estudi

- GRANDÀRIA DE LA MOSTRA: Nombre d'elements de la mostra

- VARIABLE ESTADÍSTICA: Característica que s'estudia de la població

VARIABLE ESTADÍSTICA

Una variable estadística és quantitativa si els seus valors s'expressen en nombres

N'hi ha dos tipus:

- Variable quantitativa discreta: Només pren com a valors nombres aïllats.Per exemple, el nombre de germans d'una persona

- Variable quantitativa contínua: És la que pot prendre qualsevol valor comprès entre dos nombres.Per exemple, l'estatura d'una persona perquè pot prendre qualsevol valor intermedi entre dos valors més

Una variable estadística és qualitativa si els seus valors no es poden expressar amb nombres.

Per exemple, color dels equips de futbol d'una categoria determinada

Els colors seran el blau, o el groc, o el verd, ......;

Mai ho podrem expressar amb nombres: 1, 2, 7,2 …

Activitats

1) En un estudi sobre l'edat a la qual cauen les dents de llet, hem escollit 50 nens de la nostra ciutat. Determina:

a) La poblaciób) La mostra i la grandària c) Els individusd) La variable estadística

2) Digues en quin cas és més convenient estudiar la població o una mostra i quina variable estudiem en cada cas

a) La longitud dels cargols que fabrica una màquina de manera contínua durant un diab) L'estatura dels turistes estrangers que visiten Catalunya en un anyc) El pes d'un grup de cinc amicsd) La durada d'una bombeta fins que es fone) El sou dels treballadors d'una empresa

3) Classifica les variables estadístiques següents:

a) Marca d'un mòbilb) Color dels ullsc) Esport preferitd) Alçadae) Edatf) Nomg) Raça d'un gosh) Nombre de fills de les famílies dels alumnes de 2n d'ESO

FREQÜÈNCIES. TAULES DE FREQÜÈNCIES

Freqüències absolutes i relatives

La freqüència absoluta d'una dada estadística és el nombre de vegades que es repeteix. Es representa per fi.

La suma de les freqüències absolutes d'un conjunt de dades estadístiques és el nombre total de dades.

La freqüència relativa és el quocient entre la freqüència relativa i el nombre total de dades. Es representa per hi.

La suma de les freqüències relatives d'un conjunt de dades estadístiques és igual a la unitat.

Si multipliquem la freqüència relativa per 100, obtindrem el percentatge o tant per cent.

Exemple: En preguntar a 50 alumnes de 2n d'ESO pel nombre de germans que tenen, s'obtenen aquests resultats:

0 //// / 6

1 //// //// //// / 16

2 //// //// //// 15

3 //// //// 10

4 /// 3

Ara ja podem elaborar la taula de freqüències:

Nombre de germans

(xi)

Nombre d'alumnesFreq. Absoluta

(fi)

Freqüència relativa(hi)

Percentatge%

0 6 12%

1 16 32%

2 15 30%

3 10 20%

4 3 6%

Totals N = ∑fi = 50 ∑hi = 1 100,00%

Activitat

4) En una classe de 24 alumnes de 2n d'ESO les qualificacions obtingudes en l'últim examen de matemàtiques han estat:

4 6 7 3 6 8 5 9 75 8 7 5 4 7 8 4 65 8 7 3 10 7

Elabora una taula amb el recompte de dades i calcula les freqüències dels valors que pren la variable

12,0506 =

32,05016 =

3,05015 =

2,05010 =

06,0503 =

Freqüència acumulada

La freqüència absoluta acumulada d'una dada xi és la suma de les freqüències absolutes dels valors que són més petits o iguals que aquesta dada. Es representa per Fi. Si agafem la taula anterior, serveix per a contestar preguntes com ara: quants alumnes hi ha que tenen menys de dos germans? Quants alumnes hi ha que tenen més de 3 germans? ...

Fi = f1 + f2 + f3 + ... + fi

La freqüència relativa acumulada d'una dada xi és la suma de les freqüències relatives dels valors més petits o iguals que aquesta dada. Es representa per Hi. Equival al quocient entre la freqüència absoluta acumulada de la dada i el nombre total de dades

Hi = h1 + h2 + h3 + ... + hi

Per calcular les freqüències acumulades, les dades s'han de poder ordenar; és a dir, la variables estadística ha de ser quantitativa.

Exemple: Tenint en compte les dades anteriors del nombre de germans d'uns alumnes de 2n d'ESO, quants alumnes hi haurà que tenen menys de dos germans? Quants alumnes hi haurà que tenen menys de tres germans? Quants alumnes hi ha que tenen més de dos germans?

Elaborem la taula de freqüències

Nombre de germans

(xi)

Nombre d'alumnes

Freq. Absoluta

(fi)

Freqüènciaabsoluta

acumuladaFi

Freqüència relativa

(hi)

Freqüènciarelativa

acumuladaHi

Percentatgeacumulat

%

0 6 6 0,12 0,12 12%

1 16 22 0,32 0,44 44%

2 15 37 0,3 0,74 74%

3 10 47 0,2 0,94 94%

4 3 50 0,06 1 100%

Totals N = ∑fi =50 - ∑hi = 1 - -

(Fixa't que l'última freqüència absoluta acumulada coincideix amb el nombre total de dades (50), i que l'última freqüència relativa acumulada sempre és 1)

-Quants alumnes hi haurà que tenen menys de dos germans? Són els que tenen 0 germans o 1 germà. Si mirem la freqüència acumulada és 0,44. Per tant, el 44% dels alumnes tenen menys de 2 germans

- Quants alumnes hi haurà que tenen menys de tres germans? Són els que tenen 0, 1 o 2 germans. Si mirem la freqüència relativa acumulada és 0,74. Per tant, el 74% dels alumnes tenen menys de 3 germans

- Quants alumnes hi ha que tenen més de dos germans? Seran els

que tenen 3 o 4 germans. Si mirem la freqüència relativa acumulada de 2 germans és 0,74; és a dir, el 74%. Els que tenen més de 2 germans serà la diferència fins al total:

100 – 74 = 26 % d'alumnes tenen més de 2 germans

5) Fes una taula de freqüències acumulades amb les edats dels socis d'un club

19 21 24 24 24 25 24 21 2619 20 22 29 23 28 27 22 2324 19

Quin percentatge té menys de 20 anys?Quin percentatge té més de 22 anys?

6) Completa la taula de freqüències. Elabora, també, una taula de freqüències acumulades

Dades fi hi

1 3 0,152 0,2

34 0,35 5

7) Fes un diagrama de barres amb els nombre de testos que hi ha en 100 habitatges d'una ciutat

Nre de testos 0 1 2 3 4Nre d'habitatges 10 14 18 25 33

8) El color del pèl de 30 persones és: M = morè R = ros P = pèl roig

M R P M M M M R RP P M M M M M M PR R R P M M M M RM M M

Elabora una taula de freqüències i organitza les dades en un diagrama de barres

9) Aquest gràfic representa les freqüències absolutes d'un examen de 5 preguntes

a) Quin tipus de variable estem estudiant?b) Construeix la taula corresponent a partir del gràfic

10) Elabora un diagrama de sectors a partir d'aquestes dades:

Color Vermell Verd BlancNre cotxes 150 110 100

11) Dibuixa un diagrama de sectors a partir de les següents dades:

Música Clàssica Pop RockNre CD 30 70 80

12) Hem entrevistat 720 persones sobre el color de vehicle que prefereixen. El resultat ha estat el

Preg 1 Preg 2 Preg 3 Preg 4 Preg 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Encerts

Nre

alu

mne

s

següent: 420 persones blanc, 60 roig, 140 blau i 100 negre.

a) Construeix una taula de freqüències absolutes i relatives, percentatge i angleb) Elabora un diagrama de sectors

13) La nota de l'avaluació final és la mitjana de les deu proves que s'han fet durant el curs. Quina és la nota mitjana si les notes han estat: 4 - 5 - 8 - 7 - 7 - 6 - 9 - 3 - 7 - 4?

14) A la següent taula hi ha el nombre d'ordinadors que tenen els treballadors d'una empresa. Completa la taula i troba'n la mitjana

xi fi

0 21 252 653 8

15) Observa aquest diagrama de barres, elabora una taula de freqüències i calcula la mitjana

16) Les edats d'un grup de 8 amigues són: 16, 15, 17, 15, 17, 14, 15 i 16 anys, respectivament. Calcula la mitjana d'edat

17) Les temperatures mitjanes (en ºC) obtingudes en una ciutat durant el mes de setembre són:

18 19 22 16 21 20 19 18 1722 21 23 25 19 20 19 22 2120 24 23 21 19 14 23 19 1819 20 21

Calcula la temperatura mitjana del mes i i seva mediana

0 f ills 1 f ill 2 f ills 3 f ills 4 f ills 5 f ills0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

18) Les dades sobre els llibres llegits per un grup de persones durant l'últim any es representen en aquest diagrama de barres

Quina és la mitjana? I la mediana?

19) S'ha llançat 18 vegades un dau de parxís i s'han obtingut aquests resultats:

1 4 5 5 6 2 3 5 23 4 4 5 6 3 1 5 4

Representa gràficament les dades i calcula'n la mitjana dels punts obtinguts i la moda

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

Nre llibres llegits l'últim any

Nre

per

sone

s

20) El diagrama de sectors mostra el nombre de televisors que hi ha en cada un dels 100 habitatges d'una urbanització. Calcula les mesures de centralització

21) Els pesos dels 11 jugadors de l'equip A de futbol són (en kg):

45 - 52 - 43 - 48 - 49 - 54 - 56 - 40 - 43 - 47 - 42

Els pesos dels onze jugadors de l'equip B són:

49 - 42 - 51 - 42 - 44 - 53 - 49 - 48 - 47 - 50 - 51

Calcula el rang, el pes mitjà i la mediana de cada equip

22) Les qualificacions de matemàtiques del primer trimestre de quatre amigues han estat:

Anna --------> 7 6,25 8 6,5 5,75Lluïsa -------> 4,5 7,25 6 6,25 7Helena ------> 9 8,25 7,5 6 8Eva ----------> 6,5 7 7,25 6,75 7

a) Quina alumna ha tingut una dispersió més gran?b) Quina té la mitjana més representativa?

23) Calcula la desviació mitjana dels equips dels jugadors de l'activitat 21

24) Calcula la desviació mitjana de les qualificacions de les alumnes de l'activitat 22

25) Indica quin tipus de variable és:

a) Nombre de germansb) Sexec) Nacionalitatd) Nombre de calçate) Edatf) Pes

2%

25%

65%

8%

0 televisors1 televisor2 televisors3 televisors

26) Llencem 10 vegades un dau de quatre cares numerades de l'1 al 4, i anotem els resultats:

1 - 4 - 3 - 1 - 2 - 4 - 1 - 3 - 2 - 4

Elabora una taula de freqüències acumulades

27) En una classe de 2n d'ESO preguntem a l'alumnat quin refresc prefereixen. Els resultats són els següents i amb ells elaboraràs un diagrama de barres:

Refrescos Nre alumnesCola 10

Taronjada 4Llimonada 6

Pinya 3

28) Les edats (en anys) dels 10 primers visitants d'un parc d'atraccions són:

12 - 10 - 14 - 12 - 14 - 10 - 11 - 12 - 12 - 12

a) Elabora una taula de freqüènciesb) Dibuixa un diagrama de barresc) Calcula la mitjana d'edat dels visitantsd) Quina és la mediana? I la moda?

29) Classifica les següents variables quantitatives en discretes o contínues:

a) Nombre de germansb) Nombre de calçatc) Edatd) Ingressos diaris en una fruiteriae) Pes d'un grup d'alumnesf) Temperatura

30) Segons una enquesta, la música que prefereixen els alumnes de 2n d'ESO és

Música Nre alumnesRock 18Pop 12

Màquina 24Clàssica 10Dance 6

Representa aquestes dades en un diagrama de barres

31) El nombre de germans que tenen 20 enquestats és:

2 1 2 1 1 0 2 1 31 2 1 1 2 1 0 3 10 4

Fes una taula de freqüències i elabora un diagrama de sectors

32) Al servei d'urgències d'un hospital han ingressat 26 malalts d'aquestes edats:

87 14 52 65 74 43 28 9 1217 25 93 42 31 18 10 21 2849 53 64 75 34 41 18 3

a) Quina ha estat l'edat mitjana dels malalts?b) Quina és la mediana? I la moda?c) Quin és el rang i la desviació mitjana d'aquest conjunt de dades?

33) El nombre d'hores diàries que els alumnes d'una classe de 2n d'ESO dediquen a veure la televisió és:

0 1 2 2 3 1 2 3 42 3 1 1 0 2 1 1 02 1 1 3 0 1 4 2 13 0 0

Enregistra aquestes dades en una taula de freqüències acumulades

34) Les dades següents corresponen al nombre de treballadors d'una cadena de botigues:

4 7 5 2 4 5 6 4 73 7 4 3 4 4 3 4 32 4 4 1 1 2 5 3 22 5 3 3 8 2 3 2 25 4 1 5 8 6 6 1 3

a) Quina és la variable que estudiem? De quin tipus és?b) Elabora una taula de freqüències absolutes i relativesc) Dibuixa un diagrama de barres

35) En un edifici de 24 pisos, el nombre de persones que viuen en cada un és:

3 4 2 5 6 4 2 0 12 3 4 6 8 4 3 5 46 2 8 4 1 3

a) Recopila aquestes dades en una taula de freqüènciesb) Elabora un diagrama de sectors

36) En una botiga de butaques de massatge han enregistrat les vendes anuals ordenades segons el preu

Preu (en €)xi

Nre butaques venudes (fi)

500 15600 35700 45800 65900 50

a) Representa aquestes dades en diagrama de barresb) Calcula el preu mitjà de cada butaca de massatgec) Calcula la desviació mitjana d'aquest conjunt de dades

37) Llancem 48 vegades un dau numerat de l'1 al 6 i obtenim aquests resultats:

3 4 5 1 6 2 2 3 42 6 5 1 4 2 3 1 45 3 2 1 4 6 4 4 32 1 6 2 5 6 2 3 15 4 1 6 3 2 4 6 62 1 2

a) Elabora una taula amb les freqüències absolutes, relatives i acumulades, percentatge i angle de cada sectorb) Dibuixa un diagrama de barres i un de sectors

38) Una família gasta 1.800 € al mes de la següents manera: 60% en despeses generals, 30% en hipoteca i 10% en altres conceptes

a) Quant gasta en cada concepte?b) Elabora un diagrama de sectors

39) Les edats (en anys) de 24 alumnes d’ESO que participen en competicions esportives són:

16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13,12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12

a) Fes una taula de freqüències absolutes i relativesb) Representa les dades en un diagrama de barres.c) Calcula l'edat mitjanad) Quina és la moda?

40) En una classe de 25 alumnes hem fet una enquesta per conèixer el nombre de germans que tenen.Els resultats han estat: 0, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 6, 0, 1, 2, 3, 2

a) Forma una taula de freqüències.b) Representa les dades en un diagrama de barres.c) Representa les dades en un diagrama de sectors

41) L’alçada (en cm) de 24 alumnes d’ESO és: 160, 168, 164, 170, 162, 166, 172, 168, 164, 162, 160,168, 170, 160, 162, 164, 160, 170, 160, 164, 168, 162, 160, 160.

a) Quina és l’alçada mitjana del grup?b) Calcula la desviació mitjana de les alçades dels alumnes

TECNOLOGIA MAGNETISME

Documents

Transcript of TECNOLOGIA MAGNETISME