Tema 01 - Geometría Análitica en El Espacio

Cálculo Vectorial – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto I.1

TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

I.1 BREVE REPASO DE VECTORES.

Se supone que el estudiante conoce el concepto de espacio vectorial, y por consiguiente

las propiedades de los vectores, estudiadas en el curso de Álgebra Lineal.

Durante el desarrollo de este tema se tratarán los vectores en forma elemental, asociándolos

a un segmento dirigido (flecha), y referidos a una base ortonormal tridimensional. Un vector

en un espacio de tres dimensiones queda así determinado por una terna ordenada de

números reales, los que llamaremos sus componentes.

I.1.1 Representación geométrica de los vectores

Interpretemos geométricamente el significado de un vector en el espacio tridimensional,

para lo cual consideremos una terna de ejes rectilíneos y mutuamente ortogonales que se

corten en un punto “ O ”, y si sobre cada uno de estos ejes se elige un sentido como positivo

y una unidad de medida, tenemos entonces

definido un sistema de referencia cartesiano

ortogonal. Llamamos a estos ejes z,y,x y están

orientados de tal manera que al llevar a coincidir

el eje x sobre el eje y (recorriendo el ángulo

menor entre ellos) un tirabuzón ubicado en el

origen penetrará en la dirección elegida como

positiva para el eje z (figura 1). Este sistema se

denomina dextrógiro. Si el sentido es el opuesto,

el sistema se denomina levógiro.

Dado un vector ( )321 a,a,aa = , lo represen-

taremos con una flecha con origen en un

punto P cualquiera del espacio, y tal que su

extremo sea el punto Q obtenido de la

siguiente manera: partiendo del punto P se

toma 1a en sentido positivo sobre el eje x , si

1a es un número positivo, y en sentido

contrario si fuera negativo; igualmente se

procede con las otras dos componentes

según los ejes y y z .

x

y

z

Q

P a1

a2

a3

a

O

Figura 2

x

y

z

O

Figura 1


La flecha PQ , en la figura 2, representa al vector libre a , pero como las componentes del

vector coinciden con las coordenadas del punto extremo del vector, hace falta ubicar el

comienzo del vector en el origen. Si el vector está ubicado en cualquier punto P del

espacio, hace falta indicar las coordenadas de este punto además de las componentes del

vector. Un vector ( )z,y,x ligado al origen, determina la posición de un punto, por esto se lo

llama vector posición.

La suma de los vectores se interpreta ahora

como la suma de las "flechas" que representan

dichos vectores (figura 3), la suma de los

vectores a y b es el vector ba + obtenido

colocando el comienzo del vector b en el

punto terminal de a y entonces el vector que

tiene por punto inicial el comienzo de a y por

punto terminal el extremo de b , representa al

vector suma.

I.1.2 Longitud de un vector o norma euclídea

Aplicando el teorema de Pitágoras para obtener la distancia entre los puntos P y Q , origen

y fin de la flecha asignada al vector, se obtiene: 2 2 2

1 2 3PQ a a a= + +

La longitud del vector se llama norma euclídea o módulo del vector, y se la indica: a .

I.1.3 Producto escalar, producto vectorial y producto mixto

Producto escalar. Llamamos producto escalar entre dos vectores a y b y lo indicamos:

ba ⋅ al número real que se obtiene sumando los productos de las componentes homólogas

de los vectores dados:

332211 b a b a baba ++=⋅

Se dice que dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo. El vector nulo

(todas sus componentes son cero) es ortogonal a todos los vectores del espacio.

x

y

z

ba + b

a O

Figura 3


Ejemplo 1

Efectuar el producto escalar entre los vectores: ( )232 −= ,,a y ( )215 ,,b −=

Solución

( ) ( ) 3 22-1352 =⋅+−⋅+⋅=⋅ ba

Ejemplo 2

Indicar si los vectores: ( )312 −= ,,a y ( )574 ,,b = son ortogonales

Solución

Haciendo el producto escalar se verifica que los vectores son ortogonales.

01578 =−+=⋅ ba

Aplicación geométrica del producto escalar. A partir de dos vectores no nulos y no paralelos

a y b , construimos un triángulo rectángulo, la

hipotenusa es a y su base es paralela al

vector b . La longitud de esta base es r b . Al

cateto restante lo denominamos c (figura 4).

a rb c= + (1)

Luego, de (1): cbra += multiplicando escalarmente por b en ambos miembros:

a b r b b c b⋅ = ⋅ + ⋅

como 0=⋅ bc , por ser ortogonales y 2

bbb =⋅ queda:

2brba =⋅

si llamamos ba a la componente del vector a en la dirección de b , y dividimos por b ,

obtenemos:

b

babrab⋅

== (2)

Si la componente de a en la dirección de b tiene el mismo sentido que el vector b , este

número resulta ser positivo, de lo contrario es negativo.

θ

a c

rb

b

Figura 4


La proyección de a sobre b , la denotamos por bproy a y es el vector rb , esto es:

b

a bproy a bb b

⋅=

Considerando que:

ba a cos= θ con =θ ángulo entre los vectores a y b

obtenemos de (2):

b

bacosaab⋅

=θ=

luego, el producto escalar se expresa como:

a b a b⋅ = cos θ (3)

lo que confirma que si el producto escalar es nulo es porque uno o ambos vectores son

nulos, o el ángulo θ entre ellos es 90º.

De (3) puede determinarse el ángulo entre dos vectores:

cos θ =⋅a b

a b (4)

Cosenos directores

Los ángulos que el vector c determina con

los ejes coordenados reciben el nombre de

ángulos directores. Los cosenos de estos

ángulos pueden obtenerse mediante las

expresiones:

cos ;α =cc1 cos ;β =

cc2 cos ;γ =

cc3

Los cosenos directores del vector, tienen la importante propiedad que el vector formado por

estos cosenos directores es un versor en la dirección del vector dado, ( )γβα= cos,cos,cosuc

además 2 2 2 1cos cos cosα + β + γ = .

y

z

αγ

x

c1

β

c3

c2

c

Figura 5


Producto vectorial: dados los vectores ( )321 a,a,aa = y ( )321 b,b,bb = el producto vectorial

entre ellos lo indicamos como a b× , y lo definimos como:

( )122131132332 baba,baba,bababa −−−=× (5)

Al conmutar los factores, se invierte el signo, esto es: abba ×−=× y el vector bac ×= es

ortogonal a a y a b , es decir: 0c a⋅ = y 0=⋅ bc .

Expresión del producto vectorial como determinante: El producto vectorial ba × , puede

obtenerse resolviendo el siguiente determinante:

1 2 3

1 2 3

ˆˆ ˆi j ka b a a a

b b b× = (6)

donde ˆˆ ˆi , j , k son los versores en la dirección de cada eje coordenado.

Norma del producto vectorial. Desarrollando el cuadrado de la norma del producto

vectorial a b× , tenemos:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1a b a b a b a b a b a b a b× = − + − + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 3 2 3 3 2 3 2 3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 12 2 2a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b= − + + − + + − +

luego, sumando y restando ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3a b a b a b+ + y reordenando, nos queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

2 2 21 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 3 32 2 2

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b

× = + + + + + + + + −

− − − − − −

que se puede escribir como:

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3a b a a a b b b a b a b a b× = + + + + − + + ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3a a a b b b a b= + + + + − ⋅

usando (3), obtenemos:

( ) ( )22 2 22 2 22 21a b a b a b cos a b cos a b sen× = − θ = − θ = θ

por lo tanto: a b a b sen× = θ (7)

Interpretación geométrica: la norma del producto vectorial entre dos vectores es

numéricamente igual al área del paralelogramo formado entre los vectores dados.


Área del paralelogramo: base altura

base altura a b sen a b× = θ = ×

El producto vectorial de dos vectores a y b , es un vector ortogonal al plano

determinado por a y b , cuya longitud es igual al producto de las longitudes de los

vectores dados por el seno del ángulo comprendido. Este vector tiene sentido positivo

en la dirección que se forma con a y b una terna dextrógira.

Ejemplo 3

Obtener el área del triángulo de vértices: ( ) ( ) ( )124023102 ,,C;,,B;,,A −−

Solución

El área del triángulo es igual a la mitad del área del rectángulo determinado por los vectores

AB y AC . Estos vectores se expresan:

AB = − − + =3 2 2 0 0 1 121, , , ,b g b g AC = − − − + = −4 2 2 0 1 1 2 2 2, , , ,b g b g

Área del triángulo = 12 AB AC×

el producto vectorial es: ( )1 2 1 6 0 62 2 2

ˆˆ ˆi j kAB AC , ,× = = −

−

y el área es:

Área del triángulo = 24347221 .=

Producto mixto: Se llama producto mixto o triple producto escalar de tres vectores al

producto escalar de uno de ellos por el producto vectorial de los otros dos:

cba ×⋅ (8)

El resultado es un número real, y puede obtenerse desarrollando el determinante:

321

321

321

cccbbbaaa

cba =×⋅

Figura 6

θ

a

b


puesto que: ( ) ( )122131132332321 cbcb,cbcb,cbcb,a,a,acba −−−⋅=×⋅

321

321

321

21

213

31

312

32

321

cccbbbaaa

ccbb

accbb

accbb

a =+−=

A tener en cuenta:

cababcbcabacacbcba ×⋅−=×⋅−=×⋅−=×⋅=×⋅=×⋅

Interpretación geométrica

Consideremos el paralelepípedo que tiene por

aristas los vectores dados. Hagamos el producto

escalar entre el vector b c× y el vector a , esto es:

a b c a b c⋅ × = ×e j cos θ = altura . área de la base = volumen

Recordemos que a cos θ es la altura del paralelepípedo y b c× el área del

paralelogramo base. Como el signo del resultado puede ser negativo, en caso que el

vector a tenga una proyección negativa sobre el vector cb × , el volumen será:

( )volumen a b c a b c cos= ⋅ × = × θ

El volumen será nulo en el caso en que alguno de los vectores sea nulo, o si los tres vectores

están contenidos en un plano.

Ejemplo 4

Obtener el volumen del tetraedro de vértices:

( );,,A 531 ( );,,B 241 ( );,,C 312 − ( );,,D 114 −

Solución

El volumen del tetraedro es igual a la sexta parte del volumen del paralelepípedo formado

sobre los vectores determinados por los vértices del tetraedro.

Luego, formamos los vectores: AB AC AD= − = − − = − −01 3 1 4 2 3 2 6, , ; , , ; , ,b g b g b g

El volumen del tetraedro es: 5630

623241310

61Volumen =−=

−−−−−

=

a

c b

cb ×

θ

Figura 7

Cálculo Vectorial – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto I.8

I.2 ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.

I.2.1 Ecuaciones de la recta

Una recta en el espacio queda determinada por dos puntos. Llamemos A y B a estos

puntos, los vectores posición respectivos son:

( )111 z,y,xa = y ( )222 z,y,xb =

La dirección de la recta en el espacio está dada

por el vector ab − (figura 8). Un punto cualquiera

( )z,y,xP , sobre la recta, está identificado por un

vector posición r , que se obtiene como la suma

del vector a o b y un múltiplo del vector dirección

ab − :

( )r a t b a= + − (9)

donde t es un parámetro variable.

Mientras varía t en forma continua, la punta del vector r describe una recta.

Puede ocurrir que estemos interesados en la

ecuación de una recta que pasa por el punto

( )0 0 0 0P x , y ,z (figura 9) y que tiene la dirección

del vector c .

Un punto ( )z,y,xP sobre la recta queda

determinado por el vector posición r tal que:

( ) ( ) ( )321000 c,c,ctz,y,xz,y,xr +== (10)

Las ecuaciones (9) y (10) se conocen como ecuaciones vectoriales de la recta.

Si igualamos las componentes respectivas en la ecuación (10):

0 1x x tc= + 0 2y y tc= + 0 3z z tc= + (11)

despejando t de cada una de las ecuaciones (11) e igualando:

z

y

r

x

A B

( )z,y,xP

O

ab −

a h

b

Figura 8

( )P x, y,z P0

c

r

z

x

y

O

Figura 9

Cálculo Vectorial – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto I. 9

0 0 0

1 2 3

x x y y z zc c c− − −

= = (12)

a la ecuación (12) la llamamos ecuación cartesiana o simétrica de la recta. Si uno o dos de

los ic en las ecuaciones (11) son nulos, no es posible obtener la ecuación cartesiana de la

recta. Si el vector c fuera por ejemplo: ( )31 0 c,,cc = , la ecuación (12) se transforma en:

3

0

1

0

czz

cxx −

=− ; 0yy =

Ejemplo 5

Hallar la ecuación vectorial y cartesiana de la recta que une los puntos: ( )312 −,,A y ( )201 −,,B

Solución

( ) ( ) ( )( ) ( )111312

321021312,,t,,r

,,t,,abtar−−+−=

+−−−+−=−+=

La ecuación cartesiana es: 1

311

12 +

=−−

=−− zyx

Ejemplo 6

Dar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto ( )415 ,,P − .

Solución

Para obtener una recta paralela a la anterior, sus vectores dirección deben ser

proporcionales y contener además al punto dado. Luego, la ecuación pedida será:

( ) ( )111415 ,,t,,r −−+−=

o en forma simétrica: 1

411

15 −

=−+

=−− zyx

I.2.2. Ecuaciones del plano

Al igual que para la ecuación de la recta, la ecuación del plano, puede determinarse de

diversas maneras.


Sea π , un plano que contiene al punto

( )0 0 0 0P x , y ,z (figura 10) y es perpendicular a la

dirección del vector ( )321 n,n,nn = , y sea

( )P x, y,z un punto genérico del plano, luego

la ecuación cartesiana del plano se obtiene

resolviendo el producto escalar entre dos

vectores perpendiculares, uno de ellos el

vector normal al plano ( )1 2 3n n ,n ,n= y el otro

un vector dirección del plano 0P P r p= − , esto es:

( ) 0n r p⋅ − = (13)

desarrollando (13): ( ) ( ) ( )( )1 2 3 0 0 0 0n ,n ,n x, y,z x , y ,z⋅ − =

( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 3 0x x n y y n z z n− + − + − =

1 2 3 1 0 2 0 3 0n x n y n z n x n y n z+ + = + +

1 2 3n x n y n z d+ + = (14)

La ecuación (14) se llama ecuación normal del plano o cartesiana.

Ejemplo 7

Dar la ecuación del plano normal al vector ( )243 −,, y que contiene al punto ( )231 ,,P −= .

Solución

De acuerdo con (14): ( ) ( ) ( ) 022341 3 zy x =−−++−

que desarrollada da: 013243 zyx =+−+

Ejemplo 8

Encontrar la ecuación del plano que pasa por ( )031 ,,P −= y es perpendicular a la recta

141

23 zyx

=−

=− .

Solución

Un vector perpendicular al plano es el vector ( )142 ,,n = , formado con los números directores

de la recta. La ecuación pedida será: ( ) ( ) ( ) 003412 =−+−++ zyx

o también: 1042 =++ zyx

x

P

n

Po

y

z

r p

pr −

O

Figura 10

π


Ejemplo 9

Ecuación del plano normal al segmento de la recta determinado por los puntos: (1,3,-2) =A ;

(2,-1,5) =B ; y que contiene al punto B .

Solución

Un vector perpendicular al plano será el vector AB : AB = + =2 - 1,-1 - 3,5 2 1,-4,7 b g b g

La ecuación del plano será: ( ) ( ) ( ) 0571421 z y x =−++−−

que se puede escribir como: 4174 z y x =+−

Ejemplo 10

¿Es el plano de ecuación - y - z x 1832 =+ , perpendicular a la recta 3

12

54

1 +=

−=

− zyx ?

Solución

Para que sean perpendiculares debe existir una proporcionalidad entre los coeficientes de

las variables del plano y los correspondientes números directores de la recta, esto es :

31

23

42 −

≠≠ , luego no son perpendiculares

Plano determinado por tres puntos no alineados

Un plano en el espacio también queda

determinado por tres puntos no alineados.

Sean C,B,A tres puntos no alineados que

determinan el plano π y sea ( )z,y,xP otro

punto que pertenecerá a este plano si el

volumen del paralelepípedo imaginario,

cuyas aristas son los vectores AB AP AC, , , es

nulo. Esto es si los vectores no forman un volumen por ser linealmente dependientes.

Calculamos este volumen usando el producto mixto:

( ) 0V AP AB AC= ⋅ × = (15)

si: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 1 2 2 2; ;a x , y ,z b x , y ,z c x , y ,z ; r x, y,z= = = =

B

x

c P

C

A

z

y

a b

r

O

Figura 11


Reemplazando en (15):

0

020202

010101

000

=−−−−−−−−−

=zzyyxxzzyyxxzzyyxx

V (16)

El desarrollo del determinante (16) nos dará la ecuación cartesiana del plano que contiene

a los tres puntos dados.

Finalmente si nos interesa la ecuación del plano que pasa por A y tiene por direcciones los

vectores c a− y b a− , la misma estará dada por:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0x, y,z x , y ,z t x x , y y ,z z s x x , y y ,z z= + − − − + − − − (17)

La ecuación anterior se llama ecuación vectorial del plano.

Ejemplo 11

Dar la ecuación de una recta que pase por el punto ( )311 ,,C y que sea perpendicular a la

recta ( ) ( ) ( )3 10 2 3 1 L : x, y,z , , t , ,= +

Solución

Siendo: =a ( )3 10, , , =b ( )2 3 1, , , =c ( )11 3, , y r un vector posición de la recta pedida.

El plano 2 3x y z d+ + = , es perpendicular a la recta dada y si pasa por el punto ( )311 ,,C ,

2 1 3 1 1 3 8d = ⋅ + ⋅ + ⋅ = , luego la intersección de la recta dada con este plano viene dada por:

( ) ( ) ( )0 0 02 3 2 3 1 3 8t t t+ + + + =

0 0 0 0 016 4 3 9 14 9 8

14t t t t t+ + + + = + = ⇒ = −

Entonces el vector posición del punto de intersección es:

( ) ( ) ( )1 20 11 13 10 2 3 114 7 14 14

x, y,z , , , , , , −⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

y la ecuación pedida es:

( ) 20 11 11 1 3 1 1 37 14 14

r , , s , ,⎛ ⎞= + − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 13 3 431 1 37 14 14

r , , s , ,⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠


Ejemplo 12

Hallar la ecuación de la recta perpendicular a las rectas 1 2yL L en el punto de intersección

de las mismas, siendo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

2 3 0 10 11 3 1 2 3 0

L : x, y,z , , t , ,

L : x, y,z , , s , ,

= +

= − − +

Solución

La recta pedida debe ser perpendicular a cada una de las rectas dadas, esto es, debe ser

ortogonal al plano que ellas determinan:

( ) ( ) ( ) ( )1 2

2 3 0 10 1 2 3 0r p d d

x, y,z , , t , , s , ,= + +

luego, la ecuación de este plano será:

( ) ( )1

2

2 31 0 1 3 2 2 3 3 02 3 0

r p x y zd x y z

d

− − −= = − − + − + =

3 6x− + 2 6y+ − 3 0z+ =

3 2 3 0x y z− + + =

si ( )3 2 3n , ,= − es la normal al plano, será también la dirección de la recta a obtener.

Y el vector posición de la recta pedida, estará dado por la intersección de las dos rectas:

2 1 2 3 3 3 1 1 2t s , s, t t , s+ = − + = − + = ⇒ = =

( ) ( )3 3 1x, y,z , ,=

Luego, la ecuación de la recta pedida es: ( ) ( ) ( )3 3 1 3 2 3x, y,z , , m , ,= + −

Ejemplo 13

Encontrar el punto de intersección entre la recta ( ) ( )2 10 113r , , t , ,= + − y el plano 532 =−+ zyx .

Solución

Se tiene: ( ) ( ) ( )2 10 113x, y,z a t c , , t , ,= + = + − , entonces ( )012 ,,a = , ( )311 ,,c −= ,

en cuanto al plano, la normal viene dada por: ( )132 −= ,,n y un punto del plano es ( )500 −= ,,p

x

y

z

0r 1r

d

b 01 rr −

O


El vector p es un punto cualquiera del plano, para obtenerlo se despeja de la ecuación del

plano una de las variables y se le asignan valores arbitrarios a las otras. En nuestro caso se

despejó z y se eligió 0=x , 0=y , obteniéndose 5−=z .

Luego, el punto de intersección vendrá dado por: ( ) ( ) ( )0 0 02 2 3 1 3 5t t t− + + − = , esto es:

( ) ( )( ) ( ) 1

132311132512

0 =−⋅−

−⋅−−−=

,,,,,,,,

t

y el vector posición del punto de intersección es:

( ) ( ) ( )32131110120 ,,,,,,r =−+=

Ejemplo 14

Dar la ecuación de la recta de intersección de los planos: 2 6x y z − + = ; 2 0x y z − − =

Solución

Los vectores normales a los planos son: ( )1211 ,,n −= y ( )1212 −−= ,,n

El vector dirección de la recta de intersección: ( )02421 ,,nnc =×=

Un punto que pertenece a ambos planos cumple con las ecuaciones:

62 z y x - =+ ; 02 y - z x - =

si elegimos el valor de 0=z

62 y x - = 02 y x - =

que da un sistema incompatible. Esto significa que la recta de intersección de los planos no

corta al plano 0=z .

Si elegimos ahora 0=y : 6 z x =+ ; 0 x - z =

Obtenemos: 3=x ; 3=z

Por lo que un punto de la recta de intersección es: ( )303 ,,A = y la ecuación vectorial de la

recta de intersección es: ( ) ( ) ( )303024303 ,,,,t,,r =+=


x

y

z

O

Figura 12

I.3 SUPERFICIES CUÁDRICAS.

I.3.1 Ecuación general de las cuádricas.

Las superficies cuádricas son generalizaciones a 3ℜ de las secciones cónicas en el plano.

Son superficies cuyas ecuaciones referidas a ejes que no son de simetría (ejes arbitrarios)

presentan la siguiente forma:

0222222 443424142313122

332

222

11 =+++++++++ azayaxayzaxzaxyazayaxa (18)

donde al menos, uno de los seis primeros coeficientes es no nulo. Esta ecuación puede

reducirse a una en la cual no figuren los productos entre las variables, mediante una

rotación adecuada de coordenadas. Pueden luego eliminarse los términos que contienen

las primeras potencias de las nuevas variables mediante una traslación. Se llegará entonces

a la ecuación más simple para dicha cuádrica; esta ecuación es la ecuación canónica de

la cuádrica.

I.3.2 Representación gráfica de las cuádricas.

Analizaremos la forma de cada superficie cuádrica haciendo uso de sus trazas, esto es, las

curvas formadas por la intersección de la superficie con alguno de los planos coordenados.

Todas estas trazas, son secciones cónicas o alguna de las formas degeneradas que

consisten en 2 planos, 1 recta, 1 punto o ningún punto. Comenzaremos nuestro estudio por la

ecuación canónica de cada cuádrica y luego nos ocuparemos de la ecuación general y

del reconocimiento de cada cuádrica.

I.3.3 Esfera

Si la ecuación (18) de segundo grado, se reduce a la

forma:

2222 Rzyx =++ (19)

se obtiene una superficie esférica con centro en el

origen de coordenadas y radio R . Si en cambio la

esfera está centrada en el punto ( )c,b,a , la ecuación

se expresa:

( ) ( ) ( ) 2222 Rczbyax =−+−+− (20)

y su gráfica es la mostrada en la figura adjunta.


I.3.4 Elipsoide

Si en la ecuación general de las cuádricas, los coeficientes son tales que (18) puede ser

expresada como: 12

2

2

2

2

2=++

cz

by

ax (21)

entonces, (21) representa la ecuación de un

elipsoide centrado en el origen.

Para representar gráficamente (21) se

encuentran las curvas de intersección de la

superficie con planos paralelos a los

coordenados. Estas curvas van formando una

red que “soporta” a la superficie.

Tomando planos horizontales paralelos al Oxy y

a una altura k , de ecuación kz = , la

intersección del elipsoide con este plano es:

2

2

2

2

2

21

ck

by

ax

−=+ (22)

que corresponde a una elipse siempre que:

01 2

2>−

ck o sea: ck <

Luego las intersecciones con planos paralelos al Oxy son elipses cuyos semidiámetros

disminuyen hasta reducirse a un punto cuando ck = , ya que la (22) se reduce a:

02

2

2

2=+

by

ax ; cz = ,

que se cumple solamente para 0=x , 0=y , cz = .

Cuando 0=k la elipse tiene semidiámetros a , b sobre los ejes x e y respectivamente.

En forma similar se pueden estudiar las intersecciones con los planos paralelos a los planos

coordenados Oxz y Oyz . Se obtendrán elipses de semidiámetros decrecientes hasta

reducirse a cero cuando se alcance el valor de ax = sobre el eje x , y el punto by = sobre el

eje y . Cuando los dos semidiámetros del elipsoide son iguales, el elipsoide resulta de

revolución respecto de la variable restante.

Ejemplo 15

Reconocer la cuádrica 02042222 =−+−++ zxzyx .

x

y

z

Figura 13


x

y

z

O

Figura 14

Solución

Como los coeficientes de los términos que contienen los cuadrados de las variables son

todos iguales, la cuádrica es una esfera. Si completamos cuadrados:

( ) ( ) 0204211 222 =−−+++−− zyx

que es una esfera de radio 5=R , con centro en ( )201 −,, .

Ejemplo 16

Reconocer la cuádrica 0764 222 =−−++ zzyx .

Solución

La ecuación representa un elipsoide de revolución respecto de una recta paralela al eje y

(las variables x y z forman un bloque de suma de cuadrados).

Completando cuadrados: ( ) 116

3416

222=

−++

zyx

Se reconoce a un elipsoide con centro en ( )300 ,, y semidiámetros: 4=a ; 2=b ; 4=c .

I.3.5 Paraboloide

Si en la ecuación general de las cuádricas, faltan los términos rectangulares o cruzados y

además no está presente el término de segundo grado correspondiente a una de las

variables, la superficie recibe el nombre de paraboloide. Los paraboloides pueden ser de

dos tipos: elípticos o hiperbólicos.

I.3.5.1 Paraboloide elíptico

Responde a la ecuación:

cz

by

ax

=+ 2

2

2

2 (45)

Para hallar su gráfica (figura 14) se encuentran

las intersecciones con los planos kz = :

ck

by

ax

=+ 2

2

2

2

Si 0>c , la ecuación anterior representa elipses con semidiámetros crecientes a medida que

aumenta k ( )0>k . En el caso en que 0=k se obtiene un punto (el vértice del paraboloide).


x y

z

Figura 15

Cortando con planos kx = : 2

2

2

2

by

ak

cz

+=

la ecuación resultante representa parábolas de eje z , con vértices que se desplazan en la

dirección positiva del eje z a medida que k aumenta en valor absoluto.

Cortando con planos ky = : 2

2

2

2

bk

ax

cz

+=

da parábolas de eje z , con vértices en ascenso a medida que k aumenta.

I.3.5.2 Paraboloide hiperbólico

Su ecuación canónica es: cz

by

ax

=− 2

2

2

2 (23)

Si suponemos que 0>c , las intersecciones son:

Con los planos kz = : ck

by

ax

=− 2

2

2

2

hipérbolas que cambian de eje con el signo de k .

Si 0=k se reduce a un par de rectas.

Con kx = : 2

2

2

2

by

ak

cz

−=

parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso.

Con ky = : 2

2

2

2

bk

ax

cz

−= quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes

y vértices en descenso. La superficie tiene la forma de una “silla de montar” (figura 15).

I.3.6 Hiperboloide

Hay dos tipos de hiperboloides, los llamados de una hoja y los de dos hojas. A continuación

describiremos cada uno de ellos.


Figura 16

x

y

z

I.3.6.1 Hiperboloide de una hoja

Su ecuación canónica es: 12

2

2

2

2

2=−+

cz

by

ax (24)

Las intersecciones con diferentes planos se detallan a

continuación:

Con kz = : 2

2

2

2

2

21

ck

by

ax

+=+ produce elipses

con semidiámetros crecientes a medida que k aumenta.

Si 0=k , se obtiene la elipse más pequeña con

semidiámetros a y b , que representa la garganta del

hiperboloide.

Con kx = e ky = , las intersecciones son hipérbolas.

La figura 16 muestra la forma del hiperboloide de una hoja correspondiente a la ecuación

dada.

I.3.6.2 Hiperboloide de dos hojas


2

2

2

2

2−=−+

cz

by

ax (25)

Las intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados son:

con kz = : 12

2

2

2

2

2−=+

ck

by

ax

corresponden a elipses con semidiámetro crecientes

siempre que:

012

2>−

ck o sea: ck > .

Si ck = , la elipse se reduce a un punto, significa que entre

los planos cz −= y cz = no hay puntos de la superficie.

Con kx = e ky = las intersecciones son hipérbolas.

I.3.7 Cono


2

2

2

2

2

cz

by

ax

=+ (26)

x

y

z

Figura 17


La intersección con kz = es 2

2

2

2

2

2

ck

by

ax

=+ , correspondiente a

elipses con semidiámetros crecientes y se reducen a un punto

cuando 0=k .

Con kx = e ky = las intersecciones son hipérbolas de eje

vertical.

I.4 SUPERFICIES CILÍNDRICAS.

Una superficie se dice cilíndrica si se puede generar

mediante rectas, todas paralelas a una misma dirección

en el espacio. Estas rectas reciben el nombre de

generatrices de la superficie cilíndrica, y están

"apoyadas" sobre una curva que determina la forma de

la superficie llamada directriz.

Si se toma un sistema de ejes de tal manera que las

generatrices sean paralelas a uno de ellos (por ejemplo el

eje z ) y la curva directriz tal que pertenezca al plano

Oxy , entonces la ecuación de la directriz podrá

expresarse mediante una relación entre variables x e y :

( ) 0=y,xF (27) Como un punto de la superficie cilíndrica P de coordenadas ( )z,y,x tiene las mismas

coordenadas y,x que cualquier otro punto sobre la misma generatriz, quiere decir que los

valores de las coordenadas y,x satisfacen la ecuación de la directriz. Como esta ecuación

se cumple para cualquier valor de z , implica que la variable z no debe figurar en la

ecuación de la superficie. Luego, la ecuación (27) es la ecuación de una superficie en 3ℜ .

Inversamente, si la ecuación de una superficie no contiene en forma efectiva alguna de las

variables significa que la superficie es cilíndrica respecto del eje de la variable que no figura.

Resumiendo:

Una superficie cilíndrica con generatrices paralelas a uno de los ejes coordenados no

incluye en su ecuación a la variable correspondiente a dicho eje.

x

y

z

Figura 18

y

x

z

Figura 19

generatriz

directriz


Una ecuación que no contiene en forma efectiva a una variable, se representa mediante

una superficie cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la variable faltante.

Existen superficies cilíndricas que incluyen en forma efectiva en sus expresiones a todas las

variables pero en este caso las generatrices deberán ser obligatoriamente oblicuas a los

planos coordenados. Se podrá mediante una rotación de los ejes coordenados, eliminar

una de las variables de la ecuación con lo cual uno de los nuevos ejes coordenados es

paralelo a las generatrices.

Ejemplo 17

Representar la superficie de ecuación: 0324 22 =−++ xyx .

Solución

Al no contener la variable z , la gráfica de la superficie será una superficie cilíndrica con

generatrices paralelas al eje z . La ecuación de la directriz corresponde a una elipse

desplazada sobre el eje x . La ecuación dada puede pasarse a la forma: ( ) 141 2

2=+

+ yx ,

correspondiendo a una elipse con centro en ( )01,− y semidiámetros 2=a , 1=b contenida en

el plano Oxy .

I.5 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Una superficie se dice que es de revolución si se puede generar haciendo girar una curva

dada respecto de un eje. Eligiendo el eje coordenado y como eje de la superficie, y

suponiendo que la curva contenida en el plano Oyz tiene por ecuación: ( )yfz =

Un punto ( )z,y,xP pertenecerá a la superficie

de revolución si su distancia al eje de giro (eje

y ) es igual al radio.

La distancia del punto P al eje es:

( )2 2x z r f y+ = =

eliminando la raíz:

( )[ ]222 yfzx =+ (28)

la (28) es la ecuación de la superficie de

revolución respecto del eje y .

( )yfz =

x

y

z

( )z,y,xP z

x

Figura 20


Podemos entonces reconocer una superficie de revolución respecto de un eje coordenado

( )y si las otras dos variables aparecen en un bloque de suma de cuadrados; entonces la

superficie es de revolución respecto del eje de la variable que no integra el bloque.

Si la superficie de revolución no tiene una ecuación en la cual dos variables no pueden

llevarse a formar un bloque de suma de cuadrados, no quiere decir que no sea una

superficie de revolución. Mediante un cambio de coordenadas apropiado (rotación y

traslación) podrá llevarse el eje de la superficie a coincidir con uno de los ejes coordenados

tomando la ecuación una forma similar a (28).

Ejemplo 18

Dar la ecuación del cono de revolución respecto del eje z generado por la rotación de la

recta mxz = .

Solución Se tiene: ( )zfmzx == . De acuerdo a la (28):

222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+

mzyx

Ejemplo 19

Representar la superficie de ecuación: 4

22 yxz +=

Solución

Como las variables x e y aparecen en bloque de suma de cuadrados, la superficie es de

revolución respecto del eje z , generada por la curva de ecuación: 4

2xz = o 4

2yz = ,

contenida en el plano Oxz o Oyz . Esta curva corresponde a una parábola de ramas

ascendentes con vértice en el origen de coordenadas.

I.6 INVARIANTES

Las superficies de segundo grado llamadas

cuádricas no degeneradas, son cinco: tres de

ellas poseen centro de simetría (elipsoide,

hiperboloide de una hoja y de dos hojas) y las

dos restantes no poseen centro de simetría

(paraboloide elíptico e hiperbólico). Las

cuádricas degeneradas son conos, planos

x

y

z 2 2

2 2 0x ya b

− =

Figura 21


dobles y cilindros. En las figuras 21 y 22, se

muestran ejemplos de las dos últimas.

Cualquier superficie ubicada arbitrariamente

respecto de los ejes z,y,x , es posible centrarla

en el origen (si tiene centro) respecto a un

nuevo sistema de ejes coordenados z,y,x ′′′ ,

mediante adecuadas translaciones y

rotaciones del sistema de ejes original z,y,x .

Dada la ecuación general de las cuádricas, ec. (18) y a partir de los jia , definimos una serie

de parámetros que los llamaremos invariantes, ya que los mismos no se modifican con las

operaciones roto - traslatorias que llevan z,y,x a z,y,x ′′′ , estos invariantes son:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

=Δ

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

=δ

11 22 33S a a a= + +

2 2 2

11 22 11 33 22 33 12 13 23T a a a a a a a a a= + + + + +

menor principal 0, de mayor rangoE = ≠

El menor principal es el determinante de alguna submatriz principal de n n× , aquella que se

obtiene de eliminar la fila y columna correspondiente al elemento ija con i j= )

Los números EyT,S,, δΔ , calculables a partir de los ijji aa = , permiten junto con el rango

h de la matriz de 44 × , reconocer cuál es la cuádrica que corresponde a una ecuación

dada, según se indica en el siguiente cuadro:

x y

z 22 yaz =

Figura 22


0=δ paraboloide

0>Δ

0<Δ

hiperbólico

elíptico

0≠δ

0y0 >δ⋅> ST elipsoide

0>Δ

0<Δ real

imaginario

Otros casos ej: 0y0 <δ⋅> ST hiperboloide

0>Δ

0<Δ

1 hoja

2 hojas

0≠Δ

0=Δ

0≠δ cono

0y0 >δ⋅> ST imaginario

real Otros casos ej: 0y0 <δ⋅> ST

0=δ

0=T parabólico 3=h cilindro

0<T hiperbólico

0>T

real 0<⋅ ES

imaginario 0>⋅ ES

reales propios 0<⋅ ES

imaginarios 0>⋅ ES

un plano impropio

0=S 0=T 2=h Par de planos

distintos

0<T

Planos imaginarios con arista real 0>T

Planos paralelos distintos

Planos reales secantes

1=h Plano doble

0≠S propio

0=S impropio


I.7 SISTEMAS DE COORDENADAS

Para que las funciones se relacionen con la geometría, es necesario emplear los sistemas de

coordenadas. Si bien hay infinitos sistemas de coordenadas, sólo uno pocos son de uso

frecuente en ingeniería.

I.7.1 Sistemas de coordenadas en 2ℜ : cartesianas y polares.

Sistema cartesiano ortogonal, en el espacio bidimensional.

Se representa mediante dos ejes perpen-

diculares en O , (figura 23). El punto O ,

llamado origen, corresponde a 0=x , 0=y .

Las curvas coordenadas que pasan por un

punto ( )00 y,xP son las rectas paralelas a los

ejes: 0xx = , 0yy = . Se establece una base

vectorial estándar (versores j,i ), tangentes a

las curvas coordenadas.

Sistema de coordenadas polares en el plano

Está representado por un eje polar, que es una semi recta de origen O , tal como se muestra

en la figura 24.

Este origen se denomina polo. Un punto

cualquiera P del plano, distinto del polo,

queda determinado por la distancia desde O

a P , que está dada por 0r y el ángulo 0θ

que forma el segmento OP con el eje polar.

Consideramos que el ángulo θ crece en

sentido antihorario. Es claro que a un punto P

( )O≠ , le corresponde el ángulo 0θ o cualquier

otro ( )π+θ k20 , con k entero. La distancia r ,

por ser distancia, no puede ser negativa.

Las curvas coordenadas son dos: la semi recta radial de origen O que pasa por P (a todos

los puntos le corresponde el mismo ángulo 0θ ) y la circunferencia de centro O y radio 0r (a

todos sus puntos les corresponde la misma distancia al origen, 0r ). Al polo O le corresponde

Figura 23

0x x=

x

0yy =

0y ( )00 y,xP

0x i

O

j

y

Figura 24

θ θ= 0

θO

r0

0rr =

U θ

( )00 θ,rP

rU


0=r , para cualquier θ . Posee la base vectorial estándar U U rθ , , tangentes a las curvas

0rr = , 0θ=θ respectivamente.

I.7.2 Sistemas de coordenadas en 3ℜ : cartesianas, esféricas y cilíndricas.

Sistema cartesiano ortogonal, en el espacio tridimensional.

Está representado mediante tres ejes mutuamente perpendiculares en O (origen). Este

punto origen corresponde a 0=x , 0=y , 0=z . Para un punto cualquiera ( )000 z,y,xP se

tiene: las superficies coordenadas que pasan por P son los planos 0xx = , 0yy = , 0zz = ,

que en la figura 25 se ven como caras del paralelepípedo.

Las curvas coordenadas que

pasan por P son las rectas

paralelas a los ejes,

intersección de los planos

coordenados.

En cada recta permanecen

constantes dos de las tres

variables. En la figura 25, se

indica la recta coordenada

0xx = , 0zz = y la recta

0yy = , 0zz = , esta última

recta es paralela al eje x .

Posee la base vectorial

estándar k,j,i .

Sistema de coordenadas esféricas

Está constituido por un plano principal xy y una

semi recta z perpendicular al plano principal

en O (polo), según se muestra en la figura 26.

Las coordenadas de un punto ( )OP ≠ están

dadas por la distancia ρ desde O hasta P , el

ángulo azimutal θ que forma el semieje x con

Figura 25

Recta 00 zz;yy ==

0

Plano

Plano

Plano

Plano

Recta

0zz =

0yy =

00 yy;xx == 0xx =

0=y

y

x

z

0y

0x

j i

k

Figura 26

O

ϕ

θ

( )θϕρ ,,P ρ

y

z

x

( )θπρ′′ ,,P 2


el segmento OP ′ (proyección ortogonal de OP sobre el plano principal), y el ángulo de

colatitud ϕ que forma OP con el semieje z . Como ejercicio, deduzca cuáles son las

superficies y curvas coordenadas del punto P .

Relación entre coordenadas cartesianas y esféricas

Cada punto en el espacio puede representarse usando ∞≤ρ<0 , π<θ≤ 20 , π<ϕ≤0 .

ϕρ=ϕθρ=ϕθρ=

coszsensenysencosx

Observe que 2222 ρ=++ zyx .

Sistema de coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas de un punto

( )z,y,xP en el espacio se obtienen

representando las coordenadas x e y

en coordenadas polares, y haciendo

que la coordenada z sea la coorde-

nada z del sistema de coordenadas

cartesianas, ver figura 27.

Relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas

Cada punto en el espacio puede representarse usando ∞<< r0 , π<θ≤ 20 , ∞<<−∞ z .

zzsenrycosrx

=θ=θ=

Verifique, que al igual que en las coordenadas polares en el plano, 222 ryx =+ .

Nuevamente imagine cómo son las curvas y superficies coordenadas.

I.7.3 Ecuación de las superficies cuádricas en otros sistemas de coordenadas.

Así como es más conveniente describir algunas superficies cuádricas en coordenadas

rectangulares, por ejemplo un plano, suele ser más adecuado describir otras en

coordenadas esféricas o cilíndricas. En el desarrollo de las superficies cuádricas se asociaron

a éstas, ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares, a continuación veremos

Figura 27

θ

( )z,,rP θ

r

y

z

x


mediante ejemplos la forma que adoptan alguna de estas ecuaciones en otros sistemas de

coordenadas.

Ejemplo 20

Escriba la ecuación del cono a 45º 2 2 2x y z+ = en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Solución

En coordenadas cilíndricas:

( ) ( )2 2 2r cos rsen zθ + θ = ⇒ ( )22 2 2 2r cos sen zθ + θ = ⇒ 2 2r z= ( )r z≠ =

En coordenadas esféricas:

( ) ( ) ( )2 2 2r cos sen rsen sen r cosθ ϕ + θ ϕ = ϕ ⇒ 2r 2 2sen rϕ = 2cos ϕ ⇒ 45ºϕ =

Ejemplo 21

Identifique la superficie 3=r dada en coordenadas cilíndricas.

Solución

En coordenadas cilíndricas la ecuación 3=r corresponde a la ecuación de una superficie

coordenada, aquella cuyos puntos distan del eje z tres unidades, luego se trata de un

cilindro de radio 3.

Otra forma:

En coordenadas rectangulares 2 2 3x y+ = o también 2 2 9x y+ = que es la conocida

ecuación de un cilindro de radio 3.

Ejemplo 22

En coordenadas cartesianas, a la función ( ) 22 yxy,xfz +== ,

le corresponde la gráfica de la figura 28, que es un

paraboloide.

Veamos cómo se transforma la representación de la función

en otro sistema de coordenadas. A continuación se indica el

sistema de coordenadas esférico.

x sen cosy sen senz cos

= ρ ϕ θ ≤ θ < π⎧⎪ = ρ ϕ θ < ϕ < π⎨⎪ = ρ ϕ < ρ < ∞⎩

0 2con 0

0

Figura 28

P

P´ x

y

z

O

ρ

θ

ϕ


Reemplazando en 22 yxz += nos queda: ( )2 2 2 2cos sen cos senρ ϕ = ρ ϕ θ + θ , y teniendo en cuenta

que 122 =θ+θ sencos y que ϕ−=ϕ 22 1 cossen es posible obtener para ρ , la siguiente

expresión: 21coscos

ϕρ =

− ϕ. De modo que ésta es la función cuya gráfica en coordenadas

rectangulares es el paraboloide. La variable θ ha desaparecido, quedando ϕ como una

variable independiente.

Quizás esto, fuera de contexto podría parecer que es la ecuación de una curva y no de una

superficie (así sería en ℜ2). Para que no ocurra tal confusión debemos precisar que es:

21coscos

ϕρ =

− ϕ, θ∀ . Así queda claro que estamos en ℜ3 y no en ℜ2.

Tema 01 - Geometría Análitica en El Espacio

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