Tema 03 grafico de funciones en ir

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Tercer Año Secundaria ÁLGEBRA Tercer Año Secundaria

TEMA 04:TEMA 04:GRÁFICO DE FUNCIONES EN IR

I.PROCEDIMIENTO BÁSICO: Para

empezar, se sugiere las siguientes pautas:

a) Determinar los puntos en los que la gráfica intercepta a los ejes coordenados, de este modo: La intersección con el eje “x” se logra haciendo y = 0, y para el eje “y”, haciendo x = 0.

b) Averiguar si la función es simétrica, procediendo así:

Si la función no se altera al sustituir “x” por “-x”, dicha función será simétrica respecto al eje “y”

Si la función no se altera al sustituir “y” por “-y”, dicha gráfica será simétrica respecto al eje “x”.

Si la función no varía al sustituir “x” por , e “y” por , dicha gráfica es simétrica con respecto al origen.

c) Determinar el dominio y rango de la función para luego tabular algunos valores particulares y ubicarlos en un plano cartesiano.

d) Finalmente bastará con unir dichos puntos para obtener la gráfica de la función.

Ejemplo:Para graficar la función:

a) Buscamos los puntos que intersecan a los ejes coordenados:

De acuerdo a este paso, la gráfica corta al eje “y” en el punto cuyas coordenadas son (0; 2).

Dado que esta ecuación no tiene solución real para “x”, diremos que la gráfica no intercepta al eje “x”.

b) No es simétrica con respecto a ningún eje ni respecto al origen.

c)

d) Finalmente unimos los puntos, previa tabulación de algunos valores:

II. FUNCIONES NOTABLES

01. Función Lineal

Regla de correspondencia

;

Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta inclinada que no

pasa por el origen, y cuya ordenada en el origen es b.

Nota: Si f(x) = ax + b, a 0 b = 0

Regla de correspondencia

;

Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta inclinada que pasa

por el origen.

Caso Especial: (cuando a = 1)

02. Función Identidad

Regla de correspondencia f(x) = x

Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta que pasa por el

origen y forma un ángulo de 45° con el semieje positivo de las x.

03. Función Constante

Regla de correspondencia ;

Dom (f) = IR Ran (f) = {c} Gráfico: Recta paralela al eje x

desplazada en “c” unidades.

04. Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia:

Dom (f) =

Ran (f) = Gráfico: Curva semejante a una

semiparábola.

S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S1RM31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTREIV BIMESTRE


05. Función Cuadrática

Regla de Correspondencia:

;

Dom (f) = IR Ran (f) =

Gráfico: Parábola con vértice en

Si: La parábola se abre hacia arriba.

Si: La parábola se abre hacia abajo.

El gráfico de la POTENCIA

ELEMENTAL: es el que

se muestra a continuación:

Observaciones:

A) Cómo hallar el vértice de una Parábola: Cualquiera de los siguientes métodos:

* Graficando la parábola a través del procedimiento básico y tabulaciones.

* Aplicando la fórmula:

donde

o la mostrada al

inicio:

B) Cómo hallar el máximo o mínimo valor de una función Cuadrática

Elige cualquiera de las siguientes formas:

* Hallando el vértice y graficando por cualquiera de las dos formas antes enumeradas.

* Completando cuadrados en la función y analizar luego su valor máximo o mínimo.

* Aplicando la DERIVADA a la función, luego igualamos a cero y despejamos x. El valor obtenido se reemplaza en la función inicial obteniéndose así el máximo o mínimo valor dependiendo del caso.

06. Función Cúbica Regla de correspondencia:

Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Se muestra a

continuación:

√ En general podemos extender las definiciones previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL:

A) Si: ; n es par

Dom (F) = IRRan (F) =

B) Si: ; n es impar

Dom (F) = IRRan (F) = IR

07. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia:

y se define como:

Dom (f) = IR Ran (f) = Gráfico: Se muestra a

continuación (tiene forma de V) con el vértice en el origen.



08. Función Signo Regla de correspondencia:

,y se define como:

Dom (f) = IR Ran (f) = Ejemplos: * sgn 7 = 1 * sgn 0 = 0* sgn (-4) = -1 * sgn

=1

Pues: Gráfico: Se muestra a

continuación:

Propiedad:

09. Función Escalón Unitario

* Regla de correspondencia:

Y se define como:

Ejemplos:

*

*

*

*

*

*

* Dom (f) = IR* Ran (f) = * Gráfico: Se muestra a continuación:

Propiedad:

10. Función Máximo Entero


Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por es decir:

Ejemplos:

Esto significa

que:

** Luego la función MÁXIMO ENTERO se

define así:

Con lo cual: Dom =IR; Ran =Z

Propiedades

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En general ;

11. Función Mantisa

* Regla de correspondencia




12. Función Hiperbólica* Regla de correspondencia:

* Dom (f) = IR

* Ran (f) = IR * Gráfico: Se muestra a continuación:

Observación: La función hiperbólica es una FUNCIÓN RACIONAL (caso especial) en donde el numerador es una constante.Es necesario para graficar este tipo de funciones hallar las RECTAS ASÍNTOTAS (verticales y horizontales) igualando a cero a cada denominador luego de despejar cada variable.

13. Función Dirichlet

* Regla de correspondencia

Y se define como:

Ejemplos:

* *

* *

* *


14. Función Polinómica


Donde “n” es un número entero no

negativo y son

constantes, siendo .

* Notar que las funciones: constante, lineal y cuadrática, son casos particulares de esta función y ocurren para n = 0, n = 1 y n = 2, respectivamente.

15. Función Exponencial


;

* Dom (f) = IR* Ran (f) =

* La gráfica de: con: es:

* La gráfica de: con: b >1 es:

III.PROPIEDADES PARA LA ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNConociendo la gráfica cartesiana de una función, es posible elaborara la gráfica de otra función con características similares a la primera. Por lo general, a partir de la gráfica de una función elemental, puede obtenerse la de otra función, mediante propiedades de desplazamientos, simetrización, estiramiento (dilatación), encogimiento (contracción), etc.

1. Desplazamientos Horizontales

F(x)

g(x) = f(x + h)

La gráfica original de f se desplaza “h” unidades hacia la izquierda

H(x) = f(x-h)

La gráfica original de f se desplaza “h” unidades hacia la derecha.Ejemplos:

2. Desplazamientos Verticales



f(x)

g(x)=f(x)- h

La gráfica original de f se encuentra desplazada “h” unidades hacia abajo.

h(x) =f(x)+h

La gráfica original de f se encuentra desplazada “h” unidades hacia arriba.

Ejemplos:

Realizando una combinación de ambos desplazamientos (horizontal y vertical) es posible obtener la gráfica de:

Ejemplos:

3. Simetrización con respecto al Eje x (Giros)En estos casos se puede apreciar la gráfica de , luego del giro,

aparece invertida con respecto al eje x.

Podemos observar que el eje x se comporta como un espejo al anteponer el signo (-) a la regla de correspondencia de la función. Esto significa que dada una función f(x), la función: f(x) resulta ser le giro de f(x) con relación al eje x.

Ejemplos:

4. Simetrización con respecto al Eje y (Giros)En estos casos se puede apreciar que la gráfica de f(x) luego del giro, aparece invertida con relación al eje x.

Podemos observar que el eje y se comporta como un espejo al anteponer el signo menos (-) a la variable de la función. Esto significa que dada una función f(x), la función: f(-x) resulta ser el giro de f(x) con relación al eje y.Ejemplos:

5. Giros originados por Valor Absoluto Reconocemos que el efecto principal que tiene el valor absoluto es el de hacer positiva toda expresión: lo que provoca un gráfico siempre ubicado sobre el eje x.Veamos:

Ejemplos:



PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Sea la función: f: R

R

f(x) = 2x – 1

Indique su gráfica aproximada:

02. Señale la alternativa falsa:

a) f(x) = 2x + 3, es una función lineal

b) La función identidad tiene la particularidad de ser bisectriz del I y III cuadrante

c) La función constante es una recta paralela al eje “x”

d) f(x) = x – 1, es una función lineale) La función lineal es una recta

que necesariamente pasa por el origen de las coordenadas.

03. Sea f(x) una función constante con dominio en los números reales, tal que:

Calcular: E = f(1997) + f(1998) + 3

a) 5 b) 11 c) 17d) 21 e) Faltan datos

04. Se da la gráfica de la función:

Establecer la regla de correspondencia:

a) f(x) =

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) = e) N.A.

05. Un cañón situado en el punto (3, 0) dispara una bala con una trayectoria y = . Si un avión viaja por la recta y = 4, y la bala lo destruye. Hallar el punto sobre el que fue el impacto.

a) (4 ; 18) b) (19; 1) c) (17; 2)d) (19; 4) e) No llega a destruirlo

06. Determina el vértice de la parábola que resulta después de graficar:f(x) = x2 – 4x +3

a) (-1 ; 2) b) (2; -1) c) (-1; -2)d) (1; 2) e) N.A.

07. El punto P(-1; 4) pertenece a la función cuadrática: f(x) = 3kx2 + (n – 2)x – 3kHallar el valor de 2n”a) 6 b) –2 c) 1d) faltan datos e) N.A.

08. Según la gráfica de la función cuadrática de la ecuación: f(x) = ax2 + bx + c; a 0

Se afirma:I. a < 0 c < 0 II. a > 0 c < 0III. El vértice es (0; c)IV. El vértice es (0; - c)

Son verdaderas:

a) I y Iv b) II y III c) II y IVd) I y III e) N.A.

09. Sea: f(x) = ax2 + bx + c

Hallar a x b

a) 4 b) 8 c) – 4d) 2 e) – 8

10. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2; un perro que recorre la recta y = x la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde ocurre la captura, si sus coordenadas son positivas.

a) (1; 1) b) (1; 2) c) (2; 1)d) (2; 2) e) (1/2; 1/2)

11. Halle el máximo valor de la función:

f(x) = 12 + 2x – x2

a) 12 b) 13 c) 10d) 9 e) 7



12. Hallar el valor mínimo de la función dada por: g(x) = x2 + 8x

a) – 12 b) – 14 c) – 16d) 16 e) 14

13. Un fabricante puede producir radios a un costo de $10 cada uno y estima que son vendidos por $x cada uno. Los usuarios compran aproximadamente (80 – x) radios cada mes. Halle el precio al cual debe vender cada radio para obtener la máxima ganancia, y cuál es ésta.a) p = $ 45 Gmáx = 1225b) p = $ 40 Gmáx = $ 1250c) p = $ 35 Gmáx = $ 2400d) p = $ 30 Gmáx = $ 1655e) N.a

14. El valor mínimo de la función:

f(x) = es “a”; y el valor

máximo de la función g(x) = – 3x2 +

6x – 1 es “b”.Entonces es:

a) /2 b) /4 c) - /4d) 3/8 e) 2

15. Un obrero con 160 metros de alambrón desea cercar una superficie de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, ¿cuáles deben ser las dimensiones para que el área sea máxima?. Dar como respuesta uno de los lados.

a) 60 b) 20 c) 80d) 32 e) 50

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) El rango de la función constante es un conjunto binario

b) La función cúbica tiene como rango los números reales no negativos

c) Si: f(x) = x-a , a R x R entonces: Ran (f) = <0 ; + >

d) Para f(x) = Dom (f) = Ran (f)

e) Dado f(x) = ax2 + bx +c ; {a, b, c} R a 0 ; si: b2 – 4ac < 0 ; f(x) intercepta al eje “x” en 2 puntos.

17. La función polinomial; y = f(x) de grado mínimo tiene una gráfica aproximada.

Si: (- 4; b) F. Encuentre al valor

de “b”

a) 49 b) 16 c) 48d) 64 e) 14

18. Representar gráficamente la función: y = x – 2

e) N.A.

19. La gráfica de la función: f(x) = x + 1 + x -1 con x [-3; 3], ¿en qué punto corta al eje “y”?

a) No lo corta b) (0; 2) c) (0; 3)d) (0; ½) e) (0; -2)

20. Graficar: y = x – 1 + x

21. Graficar la función: F(x) = x x

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si F(x) es una función donde solamente intervienen x y senx; entonces el gráfico siguiente representa a:

a) F(x) = |x|+ sen xb) F(x) = x + sen xc) F(x) = -x + |sen x|d) F(x) = x + |sen x|e) F(x) = |x| + |sen x|

02. Proporcionar el dominio de la siguiente función:

a) [0;15] b) [0 ; 15> c) [0 ; 12]d) [0 ; 12> e) N.A.

03. Las gráficas de las funciones F(x)=x2 G(x)= tienen dos puntos en común, luego el



segmento que une estos puntos mide:a) 2 b) c)

d) e) i

04. Al graficar la función F: y = x2 + 10x + 21 podemos observar que el menor valor de su rango es:

a) 21 b) 4 c) 5d) -4 e) -5

05. A continuación se muestra la gráfica de F(x):

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la función: -F(-x)?

e) N.A.

06. La sucesión de Fibonacci se puede definir como una función en N mediante la siguiente regla:

Según esto, hallar: F(9)

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

07. Hallar el máximo valor de la función:

f(x) = 3 + 2x – x2

a) 0 b) 1 c) –1d) 1/2 e) 4

08. Hallar el mínimo valor que toma la función: g(x)= 3x2 + 12x - 1

a) –10 b) –12 c) –13d) -9 e) N.A.

09. Sean las funciones: F(x) = 2x2 + 4x – 30

G(x) = -3x2 –6x + 24Donde: b = min (F)

p = máx (G)

Hallar la distancia de M a N.

a) 21 b) 34 c) 59d) 61 e) 93

10. La gráfica de la siguiente función:

F(x) = es:

e) N.A.11. Graficar la función: f(x)

= |x| - 1

12. Graficar: y = |x - 2| + 3

e) N.A.13. Graficar: F(x) =

e) N.A.

14. Graficar: F(x) = sgn (x + 2)



e) N.A.

15. Graficar: x |x|

16. Hallar el área de la figura formada por el eje “x” y la función: F(x) = |2x - 1|- 5.

a) 10 b) 12,5 c) 15d) 20 e) 25

17. Calcular el área del triángulo que resulta de interceptar las funciones:

F(x) = 4 ; G(x) = |x - 1| + 3

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

18. Graficar: F(x) = ||x – 2| - 2|

19. Graficar: f(x) = 7 - |x - 2|

20. Graficar la función:

f(x) = 4x(x + m) + m2 ; m < 0

e) N.A.

CLAVES

01 d 02 a 03

c

04 d 05 c 06

e

07 e 08 c 09

c

10 a 11 d 12

b

13 b 14 c 15

c

16 b 17 e 18

c

19 b 20 b

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el rango de:

F(x) =

a) <- ; 0 > b) < 0 ; + > c) Rd) [-2 ; 2] e) < -2 ; 2 >

02. Graficar la función:

E indicar como respuesta su domino y su rangoa) Dom f = R – {1}

Ran f = < -2; 1 >b) Domf = R Ranf = <- ; -2> {-1; 1}c) Dom f= R – {-1}

Ran f=<- ; -2> [1; +>d) Dom f= R – {-1}

Ran f =<-; -1> <1 ; +>e) N.A

03. Sea la función F cuya gráfica es:

Grafique: M(x) = F(x) ; x Dom (F)



e) N.A.

04. Dadas las siguientes premisas:

I.- La función signo tiene como rango el conjunto; {-1; 0; 1}

II.- La función escalón unitario tiene como dominio a los números reales (R)

III.- La función máximo entero tiene como rango a los números enteros (Z)

IV.- La función mantisa tiene como rango al intervalo [0; 1>

V.- El rango de la función Dirichlet es un conjunto binario

¿Cuál de ellas es falsa?

a) I b) II y III c) IVd) V e) N.A.

05. Graficar:

F(x) = Sgn

e) N.A.

06. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función:F(x) = sgn (x2 – 1) + Sgn ( )

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

07. Reconocer la gráfica de la función:

F(x) = 1 + U2

Donde U(x) función escalón unitario

08. Calcular:

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –3

09. Al resolver:

se obtiene como conjunto solución: < a ; b>Calcule: ab

a) – 11 b) 11 c) 13d) – 11/2 e) –9/11

10. Dada la función

Dom (F) = [0; 2>Identifique la gráfica cartesiana aproximada de la función: y = F(x)

11. Determina cuántas asíntotas verticales tiene la función:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

12. Determinar las

asíntotas de: y =

a) x = 0 ; y = 4 b) x = 4 ; y = 0c) x = - 4 ; y = 0 d) x = 0 ; y = - 4 e) N.A.

13. De las gráficas:F(x) = 8X ; G(x) = 4X ; H(x) = 2X

Hallar: a – c + b

a) 2/3 b) 8 c) 5/4d) 7/4 e) 14/3

14. La gráfica de la función: f(x) = x – 3 + 2 es:

15. Indicar la gráfica de:

f(x) = - 3



16. Graficar: y = (x + 1)2

– 2

17. Graficar la función “G” definida así:

G(x) = x + 1 - 2

e) N.A.

18. Sea la función “F” descrita por el gráfico adjunto:

Indicar el gráfico que describe: F (2 – x)

20. Hallar la gráfica de la función:

y = x2 - 2x , x R


Tema 03 grafico de funciones en ir

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