Tema 04-Propagacion de Errores

TEMA 4Propagacion de Errores

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 1 / 15

Propagacion de Errores

Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valoresencontrados en las medidas de otras magnitudes.

Conocemos x x , y y ,...Calculamos z = f (x , y , ...)

Cual es el error de z?



Propagacion de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar unerror a z , conocidas las incertidumbres de x e y ,...

Permiten asignar un error al resultado final.

Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.

Planificacion del experimento.



Hipotesis de partida

Medidas dependientes.- Hipotesis pesimista. Siempre en lasituacion mas desfavorable. Conjunto de reglas practicas.

Medidas independientes.- Errores cuadraticos medios. Formulageneral de propagacion de errores.



Propagacion de errores en sumas y diferencias

Datos iniciales: x x y ySea su suma q = x + y y su diferencia q = x - y

Cual es la incertidumbre, q?

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes esla suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:

q = x y q x + y



Ejemplo:En un experimento se introducen dos lquidos en un matraz y se quierehallar la masa total del lquido. Se conocen:

M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 10 gm1 = Masa del matraz 1 = 72 1 gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 20 gm2 = Masa del matraz 2 = 97 1 g

La masa de lquido sera:

M = (M1 m1) + (M2 m2) = 1311 gSu error:

M = M1 + m1 + M2 + m2 = 32 g

El resultado se expresara:

M = 1311 32 gTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 6 / 15


Propagacion de errores en productos

Datos iniciales: x x = x(

1 x|x |)

y y = y(

1 y|y |)

Sea su producto q = x y


El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos:

q = xy q|q| x

|x | +y

|y |



Propagacion de errores en cocientes

Datos iniciales: x x = x(1 x|x |) y y = y(1 y|y |)

Sea su producto q = xy


El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos:

q =x

y q|q|

x

|x | +y

|y |



Ejemplo: Para medir la altura de un arbol L, se mide la longitud de susombra L1, la altura de un objeto de referencia L2, y la longitud de susombra L3. Por semejanza:

L = L1L2L3

Realizadas las medidas resultan:

L1 = 200 2 cm, L2 = 100.0 0.4 cm, L3 = 10.3 0.2 cmPor tanto

L = 200 10010

= 2000 cm

Su error sera

L

|L| L1|L1| +

L2|L2| +

L3|L3| =

2

200+

0.4

100+

0.2

10.3

= (1 + 0.4 + 2) % = 3.4 % L = 3.4100 2000 = 68

L = 2000 68 cmTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 9 / 15


Comparando este metodo con el binomio: Para ejemplificar la eficaciade este metodo con el metodo estrictamente teorico, calcularemos elangulo y su respectivo error en el sin( ). Del binomio tenemos

sin( ) = C .O.H.(

C .O.

H.+

C .O H.H.2

)Sea C.O. = 40 0.2 cm y H. = 80 0.2 cm, sustituyendo tenemos

sin( ) = 4080(

0.2

80+

40 0.2(80)2

)sin( ) = 0.5 (0.0025 + 0.00125)

sin( ) = 0.5 0.0038



Comparando este metodo con el binomio: De este metodo tenemos

sin( ) = C .O.C .O.H.H. = Z Z

Z

|Z | =C .O.

|C .O.| +H.

|H.|Sea C.O. = 40 0.2 cm, H. = 80 0.2 cm y Z = C .O./H. = 0.5,sustituyendo tenemos

Z

0.5=

0.2

40+

0.2

80= 0.005 + 0.0025

Z = 0.5 0.0075 = 0.0038

sin( ) = 0.5 0.0038 = Z ZTEMA 4: Propagacion de Errores J.P. Torres-Papaqui Laboratorio de Mecanica 11 / 15


Error del producto por una constante

Datos iniciales: x x . Sea q = Ax


Aplicando la regla del producto

q

|q| A

|A| +x

|x | +x

|x | q = |A|x

El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igualal producto de la constante por el error absoluto de la magnitud

q = |A|x



Error de una potencia

Datos iniciales: x x . Sea q = xn = x x x


Aplicando la regla del producto

q

|q| x

|x | +x

|x | + +x

|x | = |n|x

|x |El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el errorrelativo de la magnitud.

q

q= |n| x|x |



Error en funciones de una variable

Datos iniciales: x x . Sea q = f (x) una funcion cualquiera.

Cual es la incertidumbre, q?Graficamente

q =qmax qmin

2

Analticamente

q = f (x + x) f (x) = df (x)dx

x

Si x se mide con un error x y se utiliza para calcular q = f (x), el errorabsoluto de q viene dado por:

q = |df (x)dx|x



Error en funciones de varias variables

Las reglas para el calculo de errores que hemos visto se pueden deducir deuna formula mas general que nos permite resolver casos mas complicados.

Sean las medidas x ,y y con errores x , y y usadas para calcular:

q = f (x , y)

Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:

f (x + x , y + y) = f (x , y) +f

xx +

f

yy +

Con lo que:

q = f (x + x , y + y) f (x , y) |fx|x + |f

y|y


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