Tema 04- Sistemas abiertos Toberas y Difusores.pdf

INGENIERÍA TÉRMICA TEMA 4

Universidad de Jaén. Área de Máquinas y Motores Térmicos © José Manuel Palomar Carnicero ; Fernando Cruz Peragón ; Vicente Montoro Montoro

37

TEMA 4

SISTEMAS ABIERTOS: PRIMER Y SEGUNDO PRINCIPIO 4.1.- FLUJO PERMANENTE.-

La gran mayoría de elementos empleados en la ingeniería como toberas, compresores, turbinas, etc. se comportan como elementos de flujo permanente. Un proceso de flujo permanente es aquel durante el cual las propiedades de un fluido permanecen constantes con el tiempo en un punto fijo, pudiendo variar de un punto a otro dentro del volumen de control. Un proceso de flujo permanente se caracteriza por:

a) Ninguna propiedad (masa, volumen, etc.) Varía con el tiempo; así, la cantidad total de masa contenida en el volumen de control será constante. Igualmente ocurrirá con el volumen, y por tanto, el trabajo de la frontera será cero.

b) Ninguna propiedad cambia en las fronteras del volumen de control con el tiempo.

En un régimen permanente, el principio de conservación de la masa indica que

la cantidad total de masa que entra al volumen de control es igual a la cantidad total de masa que sale de él (recuérdese que la masa en el interior del volumen de control permanece constante con el tiempo). 4.2.- CONSERVACIÓN DE LA MASA.-

En sistemas cerrados la masa del sistema permanece constante durante todo el proceso; mientras que en el caso de los sistemas abiertos entra y sale masa al volumen de control (Fig.4.1)

El principio de conservación de la masa en su forma más general puede enunciarse como sigue: “El cambio experimentado por la masa del volumen de control es igual a la diferencia entre la masa total que entra y la que sale del volumen de control”, es decir:

saleentraVC mmm

Cuando se trabaja con procesos de flujo permanente, más que la cantidad de

masa, lo que se emplea es la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo; es

decir, el flujo másico (

m ). El flujo másico a través de un área diferencial (dA) puede expresarse como:

dAcmd n

(4.1)

donde cn es la componente normal de la velocidad que atraviesa dA.

Fig.4.1.- Conservación de la masa

VC mVC

m1 m2

m1 + m2



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Si queremos obtener el flujo másico por toda el área de la sección transversal de la tubería, bastará con integrar la ec.4.1; así:

A n skgdAcm )/( (4.2)

Estamos considerando flujo unidimensional, es decir que las propiedades del

fluido varían en una sola dirección (la del flujo); esto implica que todas las propiedades son constantes en toda sección transversal normal a la dirección del flujo, teniendo valores promedio en masa en la sección transversal. Por tanto, teniendo en cuenta esta suposición, la velocidad será constante en toda la sección transversal e igual a un valor medio (c); luego la ec.4.2 se convierte en:

v

cAcAm

(4.3)

Como dijimos anteriormente, para el caso de régimen permanente, se cumple:

saleentrasaleentraVC mmbienommCtem

:

Si nos referimos a sistemas de una sola corriente, como es el caso de la

mayoría de dispositivos que estudiaremos, denotaremos con el subíndice 1 las propiedades a la entrada y con el subíndice 2 las propiedades a la salida; entonces:

2

22

1

1122211121

v

cA

v

cAcAcAmm

(4.4)

donde: A = área de la sección transversal normal a la dirección del flujo (m2) c = velocidad media del flujo (m/s) v = 1/ρ = volumen específico (m3 / kg) ρ = densidad (kg / m3)

4.3.- CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.-

En un proceso de flujo permanente, la energía

total de un volumen de control permanece constante y por tanto, la cantidad de energía que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale del mismo.

La energía total de un sistema compresible está

formada por tres tipos de energía: cinética, interna y potencial. El fluido que entra o sale de un volumen de control posee una energía adicional llamada energía de presión o energía del flujo y cuyo valor es p v = p / ρ. Así, la energía total de un flujo viene dada por:

vpuzgc

e 2

2

(4.5)

y teniendo en cuenta que (h = u + p v ) se transforma en:

zgc

he 2

2

(4.6)

Fig.4.2.- Flujo a través de una máquina

Wt

m2

VC

m1

Q



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Consideremos el caso más general de un flujo que pasa por una máquina (se produce intercambio de energía mecánica We ) y además que hay un intercambio de calor (Fig.4.2). Si aplicamos el primer principio de la termodinámica o principio de conservación de la energía para un flujo permanente, tendremos:

12 eeWQ t (4.7)

y teniendo en cuenta la ec.4.6, se convierte en:

tWzzgcc

hhQ

12

21

22

12 2 (4.8)

que se conoce como ecuación de la energía o primer principio de la Termodinámica en sistemas abiertos. Esta ecuación será válida sea cual sea el signo del calor (siempre y cuando tengamos en cuenta el convenio establecido) y haya o no rozamientos internos.

Como casos particulares a esta ecuación tenemos:

Procesos de derrame.- Son aquellos en los que el flujo no pasa por una máquina, y por tanto el trabajo técnico es nulo, entonces la ec.4.8 se convierte en:

2

21

22

12

cchhQ

(4.9)

en estos casos la variación de energía cinética y potencial puede despreciarse, luego:

12 hhQ (4.10) y si además no existiesen pérdidas de calor a través de las paredes del sistema:

12 hh (4.11) En lo sucesivo el término g z lo despreciaremos por ser insignificante su valor

frente al de los demás. 4.4.- VÁLVULAS DE ESTRANGULAMIENTO.-

Son elementos pequeños en los que podemos suponer que el flujo a través de ellos es adiabático 0Q , debido a que no hay ni tiempo ni área lo suficientemente grande como para que se produzca transferencia de calor. Además, no se produce trabajo y las variaciones de energía cinética y potencial resultan despreciables. Por tanto, la ecuación de conservación de la energía (ec.4.8) se convierte en:

12 hh (4.12) es decir que la entalpía a la entrada y a la salida de una válvula de estrangulamiento son iguales, lo cual no quiere decir que la entalpía sea constante, ya que entre la entrada y la salida puede variar.



40

4.5.- TRABAJO REVERSIBLE DE UN FLUJO PERMANENTE.-

Aplicando la ecuación de la energía a un dispositivo de flujo permanente, sometido a un proceso reversible, y sabiendo que dh = du + p dv + v dp , se obtiene:

rev rev c p

rev rev c p

dq dw dh de dedq dw du p dv v dp de de

dh du p dv v dp

(4.13)

Como el proceso es reversible, se cumple que dqrev = du + p dv , y por tanto la

ec.4.13 quedará como sigue:

21

22

21

2zzg

ccdpveedpvwdededpvdw pcrevpcrev

Teniendo en cuenta que las variaciones de energía cinética y potencial son despreciables, se obtiene la ecuación del trabajo en sistemas abiertos, que es:

dpvwrev (4.15)

A continuación vamos a ver el significado gráfico de dpv y su valor para las

distintas transformaciones teóricas estudiadas.

El trabajo en sistemas cerrados (valorado por

dvp ) viene dado, en un diagrama p-v, por el área

comprendida bajo la curva y el eje de abscisas. En sistemas abiertos, el trabajo (valorado por dpv ) viene

dado, en coordenadas p-v, por el área comprendida entre la transformación, las abscisas extremas y el eje de ordenadas (Fig.4.5).

2

121 21 dpvppárea

El valor de la integral dpv , para las distintas transformaciones teóricas, será:

Isóbaras.- (p=cte) dp=0 02

1 dpv

Isócoras.- (v=cte) 21

2

1ppvdpv

Isotermas.-(T=cte.) 2 2

2 1

1 11 2

ln lnp pR T

v dp dp R T R T Wp p p

Adiabáticas.- (pvγ=cte)

2

1

/1/12

1

/12

1dppCtedp

p

Ctedpv

/)1(/)1(/)1(112

/1211

/111

/122

1/1

1

2

1

/)1(/1 vppppvpppp

vpp

vp

Fig.4.3.- Valoración de

p1 1

v dp

2 p2

p

dp

v v



41

Sabemos que

/1

2

1

1

22211 p

p

v

vvpvp ; por tanto, la ecuación

anterior queda como:

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1) cerrado

v v v p p v v p p v p v p vW

Para las transformaciones Politrópicas (pvn= cte), la ecuación del trabajo será

la misma que la de las adiabáticas, pero sustituyendo el exponente adiabático γ por el politrópico n. 4.6.- ENERGÍA DISPONIBLE DE UN FLUJO.-

La disponibilidad de un flujo representa el máximo trabajo técnico que puede obtenerse del mismo. Un sistema da el máximo trabajo cuando se le somete a un proceso reversible desde el estado inicial hasta las condiciones del medio ambiente, no existiendo energía cinética ni potencial, ni ninguna otra fuente que no sea el medio ambiente.

Consideremos un sistema sometido a un proceso de flujo permanente como el representado en la Fig.4.2 (el intercambio de calor es con el medio ambiente, cuyo estado viene definido por pa y Ta ). Si aplicamos el primer y segundo principio, tendremos:

aeess

ee

eess

sser

T

QsmsmSincipio

zgc

hmzgc

hmWQincipio

Pr2

22Pr1

0

22

Despejando

Q de la segunda ecuación, sustituyendo en la primera y simplificando, se obtiene:

STsTzgc

hmsTzgc

hmW asass

sseaee

ee

22

22

(4.17)

que es el trabajo real realizado durante el proceso y que coincide con el trabajo técnico, ya que en los dispositivos de flujo permanente no hay trabajos efectuados por o contra los alrededores.

El trabajo reversible se obtendrá en ausencia de rozamientos, es decir, cuando

la entropía generada sea nula; luego:

sass

sseaee

eerev sTzgc

hmsTzgc

hmW22

22

(4.18)



42

Considerando una única corriente de flujo (m1 para la entrada y m2 para la salida), la ec.4.18 se convierte en:

21

22

21

2121

21

22

21

2121

2

:2

zzgcc

ssThhW

bienozzgcc

ssThhmW

arev

arev

(4.19)

Por tanto, identificando el estado de entrada con un estado determinado (p, T) y el de salida con el medio ambiente (pa , Ta) , y teniendo en cuenta que edisp. = Wrev , la energía disponible de un flujo vendrá dada, según la ec.4.19, por:

00:2 00

2

zycsiendozgc

ssThhe aaad

que al despreciar el término zg , se convierte en:

2

2cssThhe aaad (4.20)

La energía total de un flujo viene dada por la ec.4.6 , donde los términos de energía cinética y potencial son totalmente disponibles; mientras que la entalpía tiene parte disponible y no disponible. Si despreciamos el término de energía potencial y teniendo en cuenta además la ec.4.20, podremos escribir:

2

2

2

2

d d

d a a a

d a a a

ce h

h h h T s sc

e h h T s s

(4.21)

Esta ecuación coincidirá con la energía disponible de un flujo cuando la variación

de energía cinética sea despreciable.

La parte no disponible de la entalpía se obtendrá de la siguiente forma:

d nd nd d a a ah h h h h h h T s s (4.22)



43

4.8.- TOBERAS Y DIFUSORES. 4.8.1.- Velocidad del sonido en un gas. Número de Mach.- La velocidad del sonido en un gas se define como la velocidad a la cual una onda de presión infinitesimal viaja a través del medio. Consideremos una tubería llena de un fluido en reposo y un émbolo que se desplaza sin rozamiento (Fig.4.4) de izquierda a derecha con velocidad constante da , creando una onda sónica. El frente de onda se moverá hacia la derecha a través del fluido a la velocidad del sonido a , separando el fluido en movimiento (el que está junto al émbolo) del que está en reposo. El fluido que está a la izquierda del frente de onda incrementa sus propiedades termodinámicas, mientras que el de la derecha no sufre ninguna variación.

El estudio se simplifica considerando un volumen de control que encierra el frente de onda y se desplaza con él (Fig.4.5). Un observador que viajase con el frente de onda vería el fluido de la derecha moviéndose hacia el frente con velocidad a ; el

de la izquierda alejarse del frente con velocidad daa y al frente de onda en reposo. Por tanto, se trata de un proceso de flujo permanente. Aplicando el principio de conservación de la masa:

derecha izquierdam m a A d A a da

(4.23)

Despreciando los términos de orden superior, tendremos:

dada (4.24) Considerando que no existe paso de calor ni trabajo a través de los límites del volumen de control y depreciando la energía potencial, la ecuación de la energía quedará como:

daadh

daadhh

ah

22

22

(4.25)

La propagación de una onda sonora puede considerarse como un proceso isentrópico y por tanto, por el primer principio podremos escribir:

dpT ds dh v dp dh v dp

(4.26)

a

dhh

d

dpp

da

h

p

a daa

dhh

d

dpp

h

p

Fig.4.4.- Propagación de una onda de presión Fig.4.5.- Volumen de control moviéndose con el frente de onda



44

Combinando las ecs.4.24, 4.25 y 4.26, se obtiene:

vpfpp

aTs

,,2

(4.27)

y para el caso concreto de un gas perfecto:

TRaTR

TRpa

TT

2 (4.28)

que nos dice que la velocidad del sonido, en el caso de un gas perfecto, es sólo función de la temperatura. Otro parámetro importante al analizar un flujo compresible es el número de Mach M , que se define como el cociente entre la velocidad real del fluido y la velocidad del sonido, es decir:

ersónicoFlujoMSi

subsónicoFlujoMSi

sónicoFlujoMSi

dondea

cM

sup1

1

1

: (4.29)

4.8.2.- Flujo adiabático.- Un flujo permanente a través de un conducto (tobera, difusor, etc.) se produce de forma adiabática y sin ningún tipo de trabajo; por tanto, la ecuación de la energía quedará como:

21

21

22

2hh

cc

(4.30)

que nos dice que para un flujo adiabático a través de un conducto, una disminución de entalpía provoca un aumento de la energía cinética con independencia de que existan o no rozamientos internos.

En la Fig.4.6 vemos que para igualdad de condiciones de entrada y salida, el

incremento de entalpía teórico (sin rozamiento) es mayor que el real (con rozamiento), es decir que hhs , y por tanto al sustituirlo en la ec.4.30 resultará que Scc 22 , algo

1

2 2s

Ctep 1

Ctep 2 h Sh

1h

2h

Sh2

h

s

1

2

2s

Ctep 1

Ctep 2 h

Fig.4.6.- Tobera con y sin rozamiento en diagrama h-s Fig.4.7.- Difusor con y sin rozamiento en h-s

s



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que era de esperar ya que en el caso de rozamiento el flujo resulta frenado y por tanto su velocidad disminuye. Análogamente podemos analizar el caso del difusor (Fig.4.7), donde ahora se vuelve a cumplir que 2 2Sc c , (puede observarse al analizar la ec.4.32).

El rendimiento de la tobera se define como el cociente entre la energía cinética real y la teórica (Fig.4.6), y el del difusor como el cociente entre la energía cinética teórica y la real (Fig.4.7), es decir:

h

h

hh

hh

cc

cc

h

h

hh

hh

cc

cc SSSDifusor

SSSTobera

12

1222

21

22

21

21

2121

22

21

22 ; (4.31) y (4.32)

4.8.3.- Flujo isentrópico. Variación de la velocidad del fluido con el área del flujo.- El flujo de un fluido a través de toberas y difusores puede aproximarse con gran exactitud a un flujo isentrópico. La ecuación de la energía para un flujo isentrópico en el que no hay ningún tipo de trabajo adoptará la siguiente forma:

0 : 0dp

c dc v dp o bién c dc

(4.33)

Por otro lado, teniendo en cuenta la ecuación de conservación de la masa para un flujo permanente, y diferenciando, se obtiene:

ln ln ln ln 0c A dc dA d

m A c c A mv c A

(4.34)

Combinando las ecs.4.33 y 4.34, se tiene:

2

1dA dp d

A c dp

(4.35)

Teniendo en cuenta la ec.4.27 21 adpd y sustituyéndola en la ec.4.35, se llega a:

222

2

211 M

c

dp

a

c

c

dp

A

dA

(4.36)

De la ec.4.33 se deduce que dcdpc , y sustituyendo en la ec.4.36:

11 22 Mc

dcM

c

dc

A

dA (4.37)

4.8.4.- Toberas y Difusores.- Las toberas transforman energía potencial (energía de presión en fluidos incompresibles y entalpía en los compresibles) en energía cinética; mientras que los difusores transforman energía cinética en entalpía.



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La ec.4.36 que describe la variación de la presión con el área del fluido nos permite definir la forma de las toberas y difusores. En dicha ecuación los parámetros

cA ,, son positivos y por tanto: Si 1M (flujo subsónico), el termino 21 M es positivo y por tanto dp y dA

han de tener el mismo signo, es decir que la presión del fluido aumentará al hacerlo el área del flujo y viceversa. Por tanto, a velocidades subsónicas la presión disminuye en conductos convergentes (toberas subsónicas) y aumenta en los divergentes (difusores subsónicos).

Si 1M (flujo supersónico), el termino 21 M es negativo y por ello dp y dA

tendrán signos contrarios, es decir que la presión del fluido aumentará cuando disminuya el área del flujo y viceversa. Así pues, a velocidades supersónicas la presión disminuye en conductos divergentes (toberas supersónicas) y aumenta en los convergentes (difusores supersónicos) (Fig.4.8).

En la ec.4.37, A y c son valores positivos y de ella podemos deducir:

01;01;01 dc

dAM

dc

dAM

dc

dAM

Para acelerar un fluido emplearemos una tobera convergente en el caso de flujo subsónico y una divergente si el flujo es supersónico. En las toberas convergentes la velocidad más alta que podemos obtener se presenta a la salida de la tobera y es la velocidad sónica 1M . Si queremos obtener velocidades supersónicas con una tobera, ésta tendrá que ser convergente-divergente; en ella el fluido pasa por la parte convergente y al ir disminuyendo el área del flujo, irá aumentando el número de Mach, llegando a tomar el valor unidad cuando llegamos al cuello de la tobera. El fluido comenzará a acelerarse a medida que vamos atravesando la parte divergente, obteniéndose a la salida de ésta velocidades supersónicas 1M .

,, Tp disminuyen

cM , aumentan

1M ,, Tp aumentan

cM , disminuyen

,, Tp disminuyen

cM , aumentan

,, Tp aumentan

cM , disminuyen

1M

1M

1M

FLUJO SUBSÓNICO

FLUJO SUPERSÓNICO

Tobera supersónica Difusor supersónico

Tobera subsónica Difusor subsónico

Fig.4.8.- Comportamiento de propiedades del flujo en toberas y difusores subsónicos y supersónicos



47

Las propiedades de un fluido en el cuello 1M reciben el nombre de

propiedades críticas y las designaremos con el subíndice c .,,,, etcapvT cccc .

4.8.5.- Relaciones teóricas entre propiedades de entrada y cuello para una tobera convergente-divergente.- A continuación vamos a obtener las expresiones que relacionan las propiedades termodinámicas a la entrada con las del cuello, suponiendo flujo isentrópico y gases ideales. Ya hemos visto que en este caso la ecuación de la energía viene dada por la ec.4.33. Si integramos esta ecuación entre la entrada y el cuello de la tobera, tendremos:

2 2

11 12 1

cc c

c cp v p v

Considerando despreciable la velocidad a la entrada y teniendo en cuenta la ec.4.28, tendremos:

ccccc vpvpvp

1112

Una simplificación (que no supone prácticamente error, como veremos más adelante) consiste en suponer que el exponente adiabático a la entrada es aproximadamente igual que en el cuello; así, la expresión anterior se convierte en:

1

1

1

1

/1

1

111

1

2

2

11

2

11

1

21

p

p

p

p

p

p

p

p

v

v

p

p

c

c

c

ccc (4.38)

Teniendo en cuenta que

cc vvppCtevp 11 y podremos escribir:

1

1

1

1

2

cv

v (4.39)

Dividiendo las ecs.4.38 y 4.39, tendremos:

1

2:

1

2

111

T

Tperfectogasparao

vp

vp ccc (4.40)

Multiplicando las ecs.4.38 y 4.39, tendremos:

1

1

1

1

1

2

v

p

v

p

c

c (4.41)

Si tenemos en cuenta la ec.4.40, la velocidad del flujo en el cuello, en función de las condiciones de entrada, vendrá dada por:



48

111

2vpvpac cccc

(4.42)

Otra relación que resulta de interés es el cociente

mAm , en función de los

valores de entrada; y que podemos obtenerlo a partir de la ecuación de continuidad y la ec.4.41; así:

1

11

1

1

2

v

p

v

p

v

vp

v

a

v

c

A

m

c

c

c

cc

c

c

c

c

m

(4.43)

esta ecuación nos permite conocer

m sabiendo mA o viceversa.

Las ecs.4.38 y 4.40 nos permiten obtener, para distintos valores de , las relaciones que existen entre la entrada y el cuello tanto para la presión como para la temperatura.

1 1

1 1

1 1

cos 1,66 0, 4881 ; 0,7519

cos 1, 40 0,5283 ; 0,8333

cos 1,33 0,5404 ; 0,8584

c c

c c

c c

Gases monoatómi p p T T

Gases biatómi p p T T

Gases triatómi p p T T

(4.44)

Aquí vemos que la temperatura crítica es del orden del 85% de la de entrada 1TTc . Este es el motivo por el que anteriormente dijimos que c , ya que

cTTc 1

.

Si llamamos ep a la presión del recinto donde desemboca el flujo, tendremos:

divergenteeconvergentToberappSi

econvergentToberappSi

ec

ec

Comprobación: Sea una tobera convergente como la representada en la Fig.4.9a. Si suponemos derrame isentrópico, en el cuello tenemos el valor cp , y entonces:

eic ppppppp 4321 .... eci ppppppp ...4321

Fig.4.9.- Tobera convergente (a). Tobera convergente-divergente (b)

(b)

1 2

cL

iL

c3 4 i ep

1 2 3 4 i c ep

iL

cL (a)



49

Si en el recinto donde desemboca el flujo hay una presión ep tal que ce pp , el

flujo de la tobera podrá entrar en el recinto. Si ce pp el flujo de la tobera no podrá entrar en el recinto a no ser que la

tobera se corte por una sección en la que el flujo se encuentre a ei pp .

Por tanto, podemos concluir diciendo:

Si ce pp vemos que el fluido no puede entrar en el recinto de presión

ep , pero si vamos acortando la tobera, llegará un momento en que la

presión en una sección determinada será ei pp y esto se dará para

una longitud ci LL y por tanto la tobera siempre será convergente.

Si la presión del recinto es ce pp , la tobera podrá ser de mayor

longitud que cL , con la única condición de que eic ppp , para que

así el flujo pueda penetrar en el recinto. Esto supone que la tobera es convergente-divergente (Fig.4.9b), obteniéndose así una mayor energía cinética a la salida, que es el fin perseguido en la tobera.

4.8.6.- Flujo a través de Toberas y Difusores reales.-

El motivo principal de las irreversibilidades en toberas es debido a los efectos de fricción en la capa límite; no obstante los rendimientos que se consiguen son del 90 al 99%. El rendimiento de las toberas y difusores se ha tratado en el epígrafe 4.8.2 y sus ecuaciones son respectivamente las ecs.4.31 y 4.32.

Otro parámetro empleado para expresar el rendimiento de una tobera es el

coeficiente de velocidad c , definido como el cociente entre la velocidad real 2c a la

salida de la tobera y la velocidad de salida que se obtendría en condiciones reversibles Sc2 , o sea:

Sc c

c

2

2

Podemos observar que el coeficiente de velocidad es igual a la raíz cuadrada del rendimiento de la tobera, o sea:

c

Las irreversibilidades también afectan al flujo de masa que fluye a través de la tobera. Esto motiva el definir otro coeficiente, llamado de descarga DC que se define

como la relación entre el flujo de masa real (

m ) a través de la tobera y el que circularía

en condiciones adiabáticas-reversibles ( sm

); luego:

s

D

m

mC

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