Tema 1- Componentes Simetricas

Análisis de redes eléctricas Componentes simétricas

1

1. Introducción.

En este tema se estudia el comportamiento de los sistemas eléctricos de

potencia cuando ocurre una falta. El sistema funciona habitualmente en régimen permanente equilibrado, pero cuando ocurre una falta o cortocircuito el funcionamiento es en régimen desequilibrado.

No se estudia aquí el régimen transitorio que se produce en los primeros milisegundos de falta, sino el estado de régimen permanente desequilibrado. El método usado generalmente a este fin es el de las componentes simétricas. Las variables que utilizamos en el desarrollo del tema van a ser variables complejas en magnitudes unitarias. 2. Transformación de componentes simétricas. La transformación de las componentes simétricas no es más que la transformación de un sistema desequilibrado de intensidades o de tensiones, en tres secuencias trifásicas de intensidades o tensiones equilibradas:

• Secuencia directa. • Secuencia inversa. • Secuencia homopolar.

Las impedancias y f.e.m de todos los componentes equilibrados de un

circuito eléctrico, como generadores, transformadores, líneas y cargas están desacoplados entre sí, en el espacio de las componentes simétricas, aunque el circuito funcione en condiciones de desequilibrio. Todo circuito desequilibrado puede describirse mediante tres circuitos equivalentes secuenciales independientes de secuencia positiva, negativa y homopolar. La transformación de las componentes simétricas se lleva a cabo mediante el Teorema de Fortescue: “Toda secuencia trifásica desequilibrada puede descomponerse en tres secuencias trifásicas equilibradas: una directa, inversa y homopolar”. Como cada una de estas secuencias trifásicas es equilibrada. A cada una le corresponderá un circuito monofásico equivalente. Matemáticamente se expresa así:

[ ] [ ] [ ]σuAu

uuu

aaaa

uuu

F

o

T

S

R

⋅=

⋅

=

2

12

2

11

111

a es igual a 1/120º


2

uR, uS, uT, son tensiones trifásicas desequilibradas u0, u1, u2, son las tensiones de la fase R de secuencia homopolar, directa e inversa correspondientes.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FF uAuuAu ⋅=⇒⋅= −1σσ

[ ]

−=−

aaaaA

2

21

11

111

31

Análogamente se puede escribir para las intensidades:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FF iAiiAi ⋅=⇒⋅= −1σσ

Algunas relaciones vectoriales:

3. Ecuaciones en componentes simétricas. A continuación se expresas las ecuaciones en el espacio de componentes simétricas de cada elemento trifásico equilibrado: 3.1. Máquina síncrona. El esquema muestra el funcionamiento de un generador síncrono en régimen de desequilibrio.


3

Las ecuaciones que gobiernan el funcionamiento de dicho generador son:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

222111000

2

1

0

2

1

0

22

21

0

2

1

01

211

11

;;0

0

:00

0000

izuizeuizuiii

zzzzzz

zzz

euuu

zaazzz

azzazzzzzz

dondez

zz

AzAz

aeea

eAeAe

izeuiAzAeAuiAzeuA

izeu

iii

zzz

zzz

zzz

eee

uuu

R

acb

bac

cba

S

cba

cba

cba

F

R

R

R

F

FFFF

FFFF

T

S

R

acb

bac

cba

T

S

R

TN

SN

RN

−=−=−=⇒

⋅

−

=

++=

++=

++=

=⋅⋅=

⋅==

⋅−=⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅

⋅−=

⋅

−

=

−

−−

−−

σ

σ

σσσσ

σσσσ

De todo este desarrollo podemos sacar las siguientes conclusiones: 1. [ ]σz , es una matriz diagonal y por tanto no hay acople entre las componentes simétricas. 2. Solo la componente de secuencia directa presenta f.e.m.


4

3. Las impedancias de secuencia directa, inversa y homopolar son en general diferentes entre sí.

Los esquemas secuenciales son:


5

3.2. Línea eléctrica. Las ecuaciones que la gobiernan son las siguientes:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

:

)3(:

2:

:00

00

00

3)2(:

0000

00

)(

:

)(0

)(0

:

000

222

111

0000

0

2222

1111

000

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

01

esquemasiguienteeldefinirpermitenosEstouizuuizu

uizzuobtenemosy

zzzzzz

defimosSiuizu

uizuuizu

definirpodemosbieno

uuu

iii

z

zz

uuu

zzzzzz

zzzzdondey

zz

z

AzzAz

dondeuizu

uiAzzuAizuizu

uizzuizuizu

compactamasformade

iii

zzz

zzz

zzz

uuu

iii

zzz

zzz

zzz

uuu

BLA

BLA

BGLA

baL

baL

BA

BA

BoA

B

B

B

A

A

A

ba

ba

Gba

FGFL

BA

BFGFLA

FFGFBFFLFA

FBFFGFLFA

FFGFBFFLFA

T

S

R

GGG

GGG

GGG

TR

SR

RR

T

S

R

acb

bac

cba

TA

SA

RA

=−=−

=+−

−=

+=

=−=−=−

=

⋅

−

−=−=

++=

=+−=

−⋅−=⋅+−⋅

=⋅−−⋅−

=⋅+−=⋅−−⋅−

=

⋅

−

−

⋅

−

−σ

σσσσ

σσσ


6

3.3. Carga equilibrada tipo impedancia.

El esquema de una carga equilibrada que funciona en régimen de

desequilibrio es el siguiente:


7

Los circuitos secuenciales son:


8

Las ecuaciones que gobiernan dicho circuito son:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

:exp

:00

0000

:tan

2:

3:

32:

0000

00

)(

:

)()(

222

111

00

2

1

0

2

1

0

2

1

0

0

2

1

00

2

1

0

2

1

01

comoresarpuedesetambienizuizuizu

bieno

iii

z

zz

uuu

toPorzzz

zzzdefimosSi

zzzz

zzzdefinirpodemosbieno

zzzzzz

zzzzdondey

zz

z

AzzAz

dondeizu

iAzzuAizzu

iuizu

iii

zzzzzz

zzz

iii

zzzzzz

zzz

uuu

o

baC

baC

C

C

GC

ba

ba

Gba

FGFC

FGFC

FFGFCF

FFGFFCF

T

S

R

GGG

GGG

GGG

T

S

R

acb

bac

cba

T

S

R

===

⋅

=

−=

+=

==

+=

−=−=

++=

=+=

⋅=⋅+=⋅

⋅+=⋅+⋅=

⋅

+

⋅

=

−σ

σσσ

σσ


9

22

11

000 )3(

izuizu

izzu

C

C

GC

==

+=

4. Circuitos secuenciales equivalentes. Los circuitos secuenciales equivalentes de un tranformador son:


10


11


12

5. Faltas en redes en vacío. En este apartado, vamos a ver los tipos de faltas que hay y la forma de resolverlas. 5.1. Falta simétrica. Este tipo de falta se tratará igual que una carga trifásica equilibrada, tipo impedancia de valor nulo. 5.2. Faltas no simétricas. Los pasos para la resolución de este tipo de faltas son los siguientes:

1. Determinación de los circuitos secuenciales de la red que sufre la falta. Cálculo del circuito Thévenin visto desde el punto de vista de la falta.

2. Establecer las condiciones de falta en el espacio de las componentes de fase.

3. Determinación de las condiciones de falta en el espacio de las componentes simétricas.

4. Conexión de los circuitos Thévenin obtenidos en 1 según las condiciones de falta obtenidas en 3.

5. Cálculo de las tensiones e intensidades del circuito anterior en el espacio de las componentes simétricas.

6. Determinación, en caso necesario, de intensidades y tensiones en nudos y ramas cualesquiera, teniendo en cuenta los desfases introducidos por los transformadores estrella/triángulo o triángulo/estrella.


13

7. Paso de las tensiones e intensidades del espacio de componentes simétricas al espacio de fases.

5.3. Resolución de las faltas. El esquema que se presenta a continuación muestra las intensidades y tensiones en el punto de falta.

A continuación, se va a ver el procedimiento de resolución de cada tipo de falta: Falta fase-tierra. Las condiciones de falta en el espacio de componentes de fase son:

iR≠0 uR=iRzf iS=0 uS≠0 iT=0 uT≠0

Esto se refleja en el siguiente esquema:

En componentes simétricas las condiciones de falta son:


14

f

fT

Sf

R

TSf

R

TSf

R

TSf

R

T

S

fR

R

R

R

R

R

ziuuuiii

sonfaltadescondicionelassimétricasscomponentedeespacioelEnziuuuobtenemosaaComo

aau

aauziuuutreslasSumando

auuaziu

uaauziuuuziu

dondede

uu

zi

aaaa

uuu

escribirpodemostensioneslasPara

iiiiiiiiii

bieno

i

aaaa

iii

1210

210

12102

2

2210

20

21

0

2

2

2

1

0

210

2

1

0

2

2

2

1

0

3

:3:01

)1(

)1(3)(3:

3

33

:11

111

31

:

31

333

:

00

11

111

31

=++

==

=++=++

+++

++++=++⇒

++=

++=

++=

⋅

=

===⇒

===

⋅

=

La conexión del circuito Thévenin en este caso es:

Cuya resolución es:


15

[ ] [ ]

⋅=

⋅=

−=+=

−=

⇒+++

===

2

1

0

222

11

000

210

:

3

uuu

Auuu

iii

Aiii

fasedescomponenteapasarquehayAhora

ziuizeu

ziu

zzzze

iii

T

S

R

T

S

R

T

S

R

Th

fcba

Th

Falta bifásica Las condiciones de falta bifásica en el espacio de componentes de fase son:

iR = 0 uR ≠ 0 iS ≠ 0 uS ≠ 0 iT = -iS uT = uS- iSzf

El esquema muestra las condiciones de falta:



16

1121

0

21

0

12

221

22

21

0

2

2

2

1

0

21022

2

221

0

2

2

2

1

0

0

0:

3:int

)()(3

)(3

)(3

3

:11

111

31

:

;0

)(3

)(303:

0

11

111

31

ziuu

uii

isonfaltadescondicionelassimétricasscomponentedeespacioelEn

iaa

i

obtenemosensidadeslasde

aaziuu

ziuauauu

ziuaauuu

ziuuuu

dondedeziu

uu

aaaa

uuu


iii

aaiiaiai

aaiiaaiiibieno

ii

aaaa

iii

S

fS

fSSSR

fSSSR

fSSSR

fSs

S

R

SSS

SSR

S

S

=−

=−=

=

−=

−=−⇒

−++=

−++=

−++=

−

⋅

=

−==⇒

−=−=

−=−=

=

−

⋅

=




17

[ ] [ ]

⋅=

⋅=

−=+=

=

⇒++

=−==

2

1

0

222

111

0

21210

:

0

;0

uuu

Auuu

iii

Aiii

fasedescomponenteapasarquehayAhora

ziuzieu

u

zzze

iii

T

S

R

T

S

R

T

S

R

Th

fTh

. Falta bifásica a tierra. Las condiciones de falta bifásica a tierra en el espacio de componentes de fase son:

iR = 0 uR ≠ 0 iS ≠ 0 uS = iS(zf+ zg)+iTzg iT ≠ 0 uT = iT(zf+ zg)+iSzg

El esquema muestra las condiciones de falta



18

int.log

)()()(3

:sec

33

33

:3

:33

33:

3:

0

3

3

3:

0

11

111

31

:

))(())((3

))(())((3

)()(3

:)(

)(11

111

31

10

2212

022

2

20

21

0

20

222

20

21

0

2102

2

21

0

2

2

2

1

0

22

21

0

2

2

2

1

0

tierraabifásicafaltadescondicionelasestablecerpodemosensidaddeecuacioneslasempleamosSiuyuparahacerpuedeseamenteAná

zaaizaaiuuobtienesetensiondeuacioneslasEmpleando

aiiaiaiiaiaaii

obtenemosiii

cuentaenteniendoyiaiaiai

iaiaaiiobtenemos

iiicuentaenteniendo

iiiaiiaiiaaii

iiidondede

ii

aaaa

iii


zizziazizziauizizziazizziauu

zizzizizziuu

bienozizzizizzi

u

aaaa

iii

fT

fS

TS

TT

TS

SS

SS

ST

TS

TS

TS

T

S

gS

gfT

gT

gfSR

gS

gfT

gT

gfSR

gS

gfT

gT

gfSR

gS

gfT

gT

gfS

R

−+−=−

−+−=

−+−=

−=

−+=

−+=

−=

=++⇒

+=

+=

+=

⋅

=

++++++=

++++++=

++++++=

++

++⋅

=

)3(

00

0110

2112

0

210

gff

ff

zziziuu

ziziuuu

iii

++−=

+−=

≠

=++



19


−=

−==

++++=

222

111

0

1021

0

:))(3)((

ziuzieu

u

restoelconigualzzzzzzz

ei

Th

fgffTh

6. Aportes a la falta. La intensidad de falta en un punto cualquiera de un circuito de energía eléctrica se compone de las aportaciones de las dos ramas concluyentes en ese punto. La intensidades de rama se calculan aplicando divisores de intensidad.

AB

BA

AB

BA

AB

BA zz

ziizz

ziizz

zii22

222

11

111

00

000 ;;

+=

+=

+=

Esto se puede ver separando en dos ramas las impedancias secuenciales equivalentes de los dipolos Thévenin.


20

7. Faltas en redes en carga. En este apartado, a diferencia de los anteriores, se van a analizar las intensidades previas a la falta, sabiendo que dichas intensidades solo van a tener secuencia directa, por funcionar el circuito en régimen equilibrado antes de la falta. Las intensidades previas a la falta son:

0

00ABi

Las intensidades después de la falta son:

AB

AB

AB

iii

2

1

0

Por superposición obtenemos:

+

AB

ABAB

AB

iii

i

2

01

0

De esta forma se pueden obtener todas las intensidades de rama u las

tensiones en los nudos. Esto también nos sirve para el caso de faltas simétricas, teniendo en

cuenta que las faltas simétricas solo tienen componente directa. Las intensidades de falta, son mucho mayores que las intensidades en

funcionamiento normal, por tanto se pueden despreciar las intensidades de funcionamiento normal previas a la falta.

8.Ejemplo.


21

8.1. Falta fase a tierra.

Las intensidades y tensiones de falta son:

pujj

iii 96427,11456,013893,025,0(

05,1210 −=

++===

4911,02860,0

7771,0

3

2

1

−=−=

=

uuu

En el espacio de componentes simétricas las tensiones se calculan:

[ ]

−

−⋅=

2860,07771,0

4911,0A

uuu

T

S

R

Para las intensidades se hace igual.


22

8.2.Falta bifásica.


pujj

ii

i

6900,3)1456,013893,0(

05,10

21

0

−=+

=−=

=

05373,05373,0

3

2

1

===

uuu


[ ]

⋅=

5373,05373,0

0A

uuu

T

S

R

Para las intensidades se hace igual.

8.3. Falta bifásica a tierra.


23


pujj

ji

pujj

ji

pujj

i

6734,1)1462,025,0(

1462,05464,4

8730,2)1462,025,0(

25,05464,0

5464,4)25,01456,013893,0(

05,1

3

2

1

=+

=

=+

=

−=+

=

4184,04184,04184,0

0

2

1

===

uuu


[ ]

⋅=

4184,04184,04184,0

Auuu

T

S

R

Para las intensidades se hace igual. 8.4. Red en carga. Falta bifásica a tierra.

Consideramos que antes de la de la falta el motor está trabajando con las siguientes condiciones: El motor absorbe una potencia aparente nominal con un cosφ=0,95 inductivo y a tensión del 5% por encima de la nominal.

..int

6734,19922,1

º55,1070006,3)º19,189524,01582,3(

0)º601(8808,0

º77,319130,1)º301)(º19,189524,013882,1(

:sup

º19,189524,08,1305.13

10005,1

0

1

1

0

1

1

0

formamismaladeharásetensioneslasParanteanteriormequeformamismaladefasesdeespacioalpasarlasdeberemosensidadesEstas

pujipuji

puji

ipui

puji

erposiciondeteoremaelapliando

pui

puu

l

l

m

l

l

l

l

F

==

−=−−−=

=

−=

−=−+−=

−=⋅⋅

=

=

Tema 1- Componentes Simetricas

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