- 1 -

TEMA 1 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión (1, 2, 3, 4, 5…).

Definición de números naturales

Con origen en el latín números, el concepto de números hace referencia a los signos o conjunto de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. Existen distintos grupos de números, como los números enteros, los números reales y otros.

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.

Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

No obstante, además de esas dos grandes funciones citadas, con los números naturales también podemos llevar a cabo lo que es tanto la identificación como la diferenciación de los diversos elementos que forman parte de un mismo grupo o conjunto. Así, por ejemplo, dentro de un club de fútbol cada socio cuenta con un número que le distingue del resto. Como muestra de ello serviría la frase siguiente: “Manuel es el socio número 3.250 del Fútbol Club Barcelona”.

Además de lo expuesto no podemos pasar por alto el hecho de que una de las principales señas de identidad o características que definen a los citados números naturales es el hecho de que los mismos están ordenados. De esta manera, gracias a dicho orden se pueden comparar los números entre sí. Así, por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que el 8 es mayor que el 3 o que el 1 es menor que el 6.

De la misma forma, otra de las cualidades que diferencian a los citados números que nos ocupan es el hecho de que son ilimitados. Eso lo que significa es que siempre que le sume el 1 a uno de ellos nos dará lugar a otro número natural absolutamente diferente.

Por todo ello, nos encontramos con el hecho de que estos números se pueden representar en una línea recta y siempre se ordenan de menor a mayor. Así, una vez que señalemos en aquella el 0 procederemos a establecer el resto de número (1, 2, 3…) a la derecha de aquel.

Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión (1, 2, 3, 4, 5…).

Sin embargo, los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33).

- 2 -

El conjunto de los números naturales, orden y representación

Los números naturales son los números que sirven para contar cosas. Por ejemplo,1 ,6 y 100 son números naturales, ya que podemos decir:1 libro, 6zapatos, 100 personas. Se discute si el 0 es un número natural porque apareció más tarde, y de hecho no sirve para contar nada (normalmente no decimos "Hay 0 sillas"). Nosotros pensaremos que sí que es un número natural.

No son números naturales los decimales (por ejemplo 6, 1 0,3) o los números negativos (por ejemplo -1o -6), ya que no nos sirven para contar objetos o personas.

Así pues, los números naturales son: 0,1,2, 3,…y todos los que vienen detrás. Para representar el conjunto de los naturales se utilizara la n de natural, pero se escribe del siguiente modo para distinguirla de las letras que usamos para escribir:N . Se puede pensar que N es una caja donde están todos los números naturales.

Orden y representación de los números naturales

Los números naturales están ordenados: el es menor que el, él es menor que el, etc... En vez de escribirlo así, para ahorrar tiempo y espacio en matemáticas se escribe con el símbolo. Por ejemplo, para decir: "el es menor que el " se escribe: .

De la misma forma, para decir "es mayor que" usaremos el símbolo. Por ejemplo: " es mayor que " se escribe: .

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Para hacerlo, se señala un punto sobre la recta para determinar el número cero. A continuación se escriben a la derecha del cero los números naturales de mayor a menor, cada uno a la misma distancia del anterior:

Algunas propiedades del conjunto de los números naturales

Los números naturales poseen propiedades únicas que los diferencian de los demás conjuntos numéricos, te invitamos a conocerlas.

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Operaciones en el conjunto de los números naturales

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

- 3 -

TALLER Nro.1

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

PROPONER EJEMPLO DE NUMEROS NATURALES DE ACUERDO A NUESTRO ENTORNO

ORDINALES PRIMER, SEGUNDO TERCERO……

SUMAR, MULTIPLICAR, DIVISION

MEDIR LA PROFUNDIDA DEBAJO DEL MAR (ENTERO )

TEMPERATURA POR ENSIMA DEL CERO

- 4 -

TEMA 2 PROPIEDADES NÚMEROS REALES CON EXPONENTE ENTERO

Potencias de exponente entero

El exponente de una potencia puede ser un número entero y tener por tanto signo positivo o negativo.

Una potencia de signo negativo es igual a 1 dividido por la misma potencia con signo positivo:

X-n = 1 / Xn

Veamos un ejemplo:

4-3 = 1 / 43

1.- Propiedades de las potencias:

1.- El producto de 2 potencias con diferentes bases e iguales exponentes es igual al producto de sus bases manteniendo el mismo exponente.

33 x53 = 153

2.- La división de 2 potencias con diferentes bases e iguales exponente es igual a la división de sus bases manteniendo el mismo exponente.

122 :42 = 32

3.- El producto de 2 potencias con iguales bases y diferentes exponentes es igual a la misma base siendo su exponente la suma de los exponentes.

43 x45 = 43 + 5 = 48

4.- La división de 2 potencias con iguales bases y diferentes exponentes es igual a la misma base siendo su exponente la resta de los exponentes.

56 :54 = 56 - 4 = 52

5.- Una potencia elevada a otra potencia mantiene la misma base siendo el exponente el producto de sus exponentes.

( 52 )3 = 52 x 3 = 56

6.- Una fracción elevada a un exponente es igual a numerador y denominador elevados a dicho exponente.

( 2 / 6)3 = 23 / 63

7.- Una fracción elevada a un exponente negativo es igual a la fracción inversa elevada al exponente positivo.

( 2 / 6)-3 = ( 6 / 2)3

- 5 -

2.- Operaciones con potencias

A la hora de resolver operaciones combinadas el orden de resolución es el siguiente:

1.- Los paréntesis, comenzando por los paréntesis interiores

2.- Las potencias

3.- Las multiplicaciones y las divisiones

4.- Las sumas y las restas.

Veamos algunos ejemplos:

1º ejemplo

(2 / 3)2 x (2 / 3)-2 =

(2 / 3)2 x (3 / 2)2 = (En rojo: la potencia negativa de una fracción es igual a la potencia positiva de la fracción inversa)

(2 / 3 x 3 / 2)2 = (En rojo: el producto de dos potencias de igual exponente es igual al producto de sus bases elevado a dicho exponente)

(6 / 6)2 = 1

2º ejemplo:

(42)3 – 46 =

46 – 46 = 0 (En rojo: una potencia elevada a otra potencia es igual a la base elevada al producto de sus exponentes)

3º ejemplo:

32 x 34 – (1 / 3)-6 =

32+4– (3 / 1)6 = (En rojo: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base elevada a la suma de los exponentes; En azul: la potencia negativa de una fracción es igual a la potencia positiva de la fracción inversa)

36 – 36 = 0

- 6 -

TALLER Nro.2

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Calcular las potencias 32, 53, 111, 70, 122, 62 y 020.

Calcular las siguientes potencias de números negativos: (−1)2, (−2)3, (−5)2 y (−1)5

Comprobar que (−3)3 = −(33) y que (−5)2 = 52.

Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:

- 7 -

TEMA # 3 RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO REALES Raíz enésima de un número. ... El índice radical nos indica cuantas veces debemos multiplicar por si

mismo un número para así obtener el radicando. • La raíz es aquel número que si se multiplica por si

mismo las veces que indica el índice radical, da como resultado el radicando

Para comprender lo que es la raíz enésima de un número, es necesario tener en claro los términos de la radicación, estos son el radicando, el índice radical y la raíz:

• El radicando es el número al cual queremos hallar su raíz.

• El índice radical nos indica cuantas veces debemos multiplicar por si mismo un número para así obtener el radicando.

• La raíz es aquel número que si se multiplica por si mismo las veces que indica el índice radical, da como resultado el radicando.

1- Índice par y radicación positivo:

La radicación de un número positivo con un índice radical natural par posee dos resultados con el mismo valor absoluto, pero uno de estos valores es positivo y el otro es negativo. Veamos un ejemplo:

2- Índice par y radicando negativo:

No hay ningún número real que su cuadrado de como resultado un número negativo. Esto solo es posible con las unidades imaginarias (cuyos cuadrados son negativo) Un radicando negativo no tiene raíz si su índice radical es par.

Un producto de factores positivos (tanto si la cantidad es par o impar) resulta siempre en un número positivo y una serie par de factores negativos da par. Un radicando negativo con índice radical par no tendrá raíz.

Ejemplo:

Esto se cumple de tal forma ya que si fuera (+4) daría (+4)x(+4)=(+16) y si fuera (-4)x(-4)=(+16) y nunca daría como resultado (-16)

3- Índice impar y radicando positivo:

La radicación de un número positivo con índice radical natural impar posee solo una raíz positiva. Una serie de factores positivos que se multiplican por si mismos, resultan en un número positivo, tanto si la cantidad de factores son pares o impares. Entonces,

- 8 -

Si se tiene un producto de factores negativos, cada producto de dos factores dará un total con signo positivo. Esto no se cumple si la cantidad de factores es impar y el total será negativo. Sea un número natural impar I y la raiz,

donde se tendrá que +R=CxCxC…etc I veces y según lo que hemos enunciado anteriormente, C debe ser positivo y no negativo para dar +R.

Ejemplos:

4- Índice impar y radicando negativo:

El resultado será un real negativo. La raíz de un radicando negativo, con índice radical impar, es negativa. Si multiplicamos una cantidad par de veces un número cualquiera (-A), obtenemos un total positivo (+T) y si ese total (+T) se multiplica una vez mas por (-A), el número de factores va a ser impar, con un resultante (+T)x(-A)=+Total, como explica la regla de signos de los enteros.

Ejemplo:

RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO REAL

Definición

Ejemplo

1Determinemos:

Es importante identificar los elementos de este radical según la definición

El índice del radical n es 2 y no se escribe

La cantidad subradical a es 81

y b es el valor que debemos hallar

- 9 -

Para hallar b debemos buscar un número que elevado a la n genere a

TALLER Nro.3

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Proponer ejercicio en clase

- 10 -

TEMA # 4 MATEMÁTICA RADICALES Signos y radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.

Para comprobar si dos radicales son semejantes o no, se simplifican si se puede y se extraen todos los factores que sea posible, como puedes observar en la escena.

Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando.

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.

Ejercicios

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

- 11 -

TALLER Nro.4

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

- 12 -

TEMA # 5 OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES

1. Sumas y restas

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

c) No son semejantes

se suman los que son semejantes

y ya no podemos hacer nada más

2. Multiplicaciones y divisiones

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

d)

e)

- 13 -

f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

ahora si se pueden multiplicar

g)

TALLER Nro.5

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Proponer ejercicio en clase para resolverlo

- 14 -

TEMA # 6 POTENCÍACIÓN DE NÚMEROS REALES CON EXPONENTE RACIONAL

Potencia de exponente racional. Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo: Índice es el denominador y el radicando es la base elevada al numerador.

Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo:

Índice es el denominador y el radicando es la base elevada al numerador.

Por lo tanto al resolver una potencia con exponente racional quedaría:

Veamos algunos ejemplos:

Potencias de exponente racional. Propiedades

:

En un tipo de levadura, el factor de crecimiento cada 20 minutos es 3. En el momento de iniciar el control hay 30 células de levadura. Si la ecuación que describe el crecimiento de la levadura es

,¿qué número de células existirán a los 30 minutos de comenzada la medición?

Para resolverlo debes sustituir en la ecuación la variable t por 30, por lo que en el factor resulta

que es una potencia de exponente racional y no entera como has trabajado en los temas anteriores.

¿Cómo calcular esta potencia?

Para calcular esta potencia debes estudiar las potencias de exponente racional.

Ampliación del concepto de potencia

Si a > 0:

- 15 -

Calcula:

a)

b)

c)

Propiedades de las potencias de exponente racional

Para todos los números reales a y b (a > 0 y b > 0) y todos los números enteros m, n, p, q (n > 1 y q > 1) se cumple:

1.

2.

3.

4.

5.

- 16 -

TALLER Nro.6

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Clasifica los números:

Representa en la recta:

Calcula los valores de las siguientes potencias:

1

2

3

4

Proponer y resolver ejercicio con los estudiantes

- 17 -

TEMA # 7 INTERVALO DE UN NÚMERO REAL Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Un intervalo de números reales es el conjunto de números que se encuentran entre dos de dados; estos dos números pueden estar o no en dicho conjunto. Debe tenerse en cuenta que se trata de números reales y, por lo tanto, por ejemplo, el intervalo cerrado [-5,5] contiene todos los números reales entre el -5 y el 5, ambos incluidos. Así, estos números pertenecen a dicho intervalo:

−2√,−1,0,12,2√,1.8643,3,4.223⌢,5

Los intervalos pueden ser cerrados o abiertos, según si incluyen (cerrados) o no (abiertos) sus extremos. Así,

Definimos el intervalo [a,b] siendo a<b como el conjunto formado por todos los números (reales) que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

Los números a

y b

son los extremos del intervalo.

Representación en la recta real del intervalo [a,b]

Ejemplos:

• El número 3 está en el intervalo [0,5]

porque 3 es mayor o igual que 0 y menor o igual que 5. Matemáticamente, se expresa como 3∈[0,5]

El número 6 no está en el intervalo [0,5]

porque es mayor o igual que 0 pero no es menor o igual que 5. Matemáticamente, se expresa como 6∉[0,5]

Extremos

Los corchetes cerrados, [,]

, indican que los extremos a y b

están incluidos en el intervalo.

- 18 -

Para excluir uno o los dos extremos utilizamos los corchetes abiertos o los paréntesis. Por ejemplo:

• En el intervalo ]a,b[

no se incluye a a ni a b

El intervalo ]a,b[

está formado por todos los números que son mayores que a y menores que b

En el intervalo [a,b[

no se incluye a b pero sí a a

En el intervalo ]a,b]

no se incluye a a pero sí a ,b

También podemos escribir paréntesis, (,)

, para excluir a los extremos. Por ejemplo:

• En el intervalo (a,b)

no se incluye a a ni a b.

En el intervalo [a,b)

no se incluye a b pero sí a a

En el intervalo (a,b]

no se incluye a a pero sí a b

Intervalos abiertos y cerrados

• Cuando se incluyen ambos extremos, se dice que el intervalo es cerrado. • Cuando ninguno de los extremos se incluye, se dice que el intervalo es abierto. • Cuando sólo se incluye uno de los extremos, el intervalo no es ni abierto ni cerrado.

- 19 -

TALLER Nro.7

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1) Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real.

a) b)

c) d)

e) f)

- 20 -

TEMA # 8 OPERACIONES CON INTERVALOS, DIFERENCIA Y COMPLEMENTO

OPERACIONES CON INTERVALOS

1) REUNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS:

Al operar con intervalos se aplica las definiciones de las operaciones entre conjuntos, pero el trabajo se

realiza en la recta numérica para los números reales.

Al operar con intervalos el conjunto universo es el conjunto de los números reales, a menos que se

especifique otra cosa.

A) REUNIÓN DE INTERVALOS

Es la agrupación de los elementos de los conjuntos.

Ejemplo:

Si A = á- 3; 6ñ y B = [1; 9]. Calcula A U B

Solución:

B) INTERSECCIÓN DE INTERVALOS Está formado por los elementos comunes a los dos conjuntos.

Ejemplo:

Si A = á- 2; 5] y B = á0; 7ñ. Calcula A Ç B

Solución:

- 21 -

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 1 Dados los conjuntos: A = á- 3; 5] ; B = á0; 7ñ y C = [- 1; 6]. Calcula: 1) A È B 2) A Ç B 3) A È C 4) (B È C) Ç A 2) DIFERENCIA Y COMPLEMENTO DE INTERVALOS:

A) DIFERENCIA DE INTERVALOS

Está formado sólo por los elementos del primer conjunto

Ejemplo:

Si A = á- 1; 4] y B = á2; 5ñ. Calcula A – B

Solución:

B) COMPLEMENTO DE INTERVALOS

Es el conjunto formado por los elementos que le faltan al conjunto para ser igual al conjunto universal

Ejemplo:

Si A = [- 3; 2ñ Calcula A ¢ Solución:

Se interpreta como, que le falta al intervalo A = [- 3; 2ñ para ser igual al conjunto de números reales.

OPERACIONES CON LOS EXTREMOS DE LOS INTERVALOS

Presentamos las operaciones con los extremos de los intervalos:

- 22 -

TALLER Nro.8

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Veamos por ejemplo la unión entre los intervalos ( 3, 9 ) y : ( 7, 11 )

Otro ejemplo, veamos la unión de los intervalos ( -1,0 ) y ( 0, ∞ )

Consideremos los intervalos ( 0 + ) y .( - ∞ ,1 )

- 23 -

TEMA # 9 LOGARITMOS Matemáticas Exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtener otro número determinado. "el logaritmo en base 10 de 100 es 2"

• matemáticas

Logaritmo decimal

Logaritmo que tiene por base el número 10.

• matemáticas

Logaritmo neperiano (o logaritmo natural)

Logaritmo que tiene por base el número e (2,718281828).

Definición y cálculo de logaritmos

En esta página definimos el logaritmo y calculamos logaritmos de distintas bases a partir de su definición, es decir, sin calculadora, sin aproximar, sin aplicar sus propiedades y sin cambiar la base ya que tenemos otras páginas específicas para ello:

• Propiedades de los logaritmos • Cambio de base

También, resolveremos unas cuantas ecuaciones logarítmicas muy sencillas y algunos problemas teóricos sobre el concepto del logaritmo.

Nivel orientativo: educación secundaria y preuniversitaria.

Definición de logaritmo

El logaritmo en base b

de un número a>0 se representa por logb(a) y es el número c que cumple bc=a

logb(a)=c⇔bc=a

Nota: la base b

debe ser un número real positivo distinto de 1. El número a

recibe el nombre de argumento del logaritmo.

Ejemplos

• El logaritmo en base 10

de 1000 es 3 porque 103=1000

log10(1000)=3

El logaritmo en base 5

- 24 -

de 125 es 3 porque 53=125

log5(125)=3

• El logaritmo en base 10

de 1 es 0 porque 100=1

log10(1)=0

Las bases que más se utilizan en los logaritmos son 10, 2 y e. Por esta razón, solemos referirnos a ellos directamente como logaritmo decimal, binario y natural, respectivamente:

Logaritmo decimal

El logaritmo decimal es el logaritmo en base 10

:

log10(x)

Ejemplo: log10(1000)=3

Es habitual no indicar la base en el logaritmo decimal, pero nosotros lo haremos para evitar confusiones.

Ver Gráfica

Observad de que se trata de una función que siempre crece: primero lo hace muy rápidamente (0<x≤1) y después muy lentamente (x≥1).

- 25 -

TALLER Nro.9

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Calculad los siguientes logaritmos binarios:

log2(1) log2(1)=log2(20)=0

log2(8)

log2(1/32)

log2(0.25)

log2(0.5) El número decimal 0.25 es la fracción 1/2, es decir, la potencia 2−1

. Por tanto,

log2(0.5)=log2(2−1)=−1

log3(27) log5(0.2)

log6(22⋅32) 22⋅32=4⋅9=36 log6(22⋅32)=2

log7(1/49) log7(1/49)=−2

log9(1)

- 26 -

TEMA # 10 FUNCIÓN AFÍN

Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).

Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje de abscisas (eje X). Si m es positiva (m>0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m<0), entonces la función es decreciente.

La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la m es positiva, conforme aumentemos la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, conforme se aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).

La ordenada en el origen es la n, es decir, el punto donde la recta corta el eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son (0,n).

Ahora tenemos la función afín f(x) = –x+3. En este caso, la pendiente es m = -1 y la ordenada es n = 3, siendo ambos diferentes de 0.

A diferencia del primer ejemplo, la pendiente es negativa (m = -1), por lo que la función es decreciente.

- 27 -

La ordenada es n = 3, por lo que el punto de corte entre la función y el eje de ordenadas es el punto (0,3).

Ejercicio 1

Sea una función f(x) = 2x-2. En este caso, m que es el coeficiente que multiplica a la x es m = 2 y la ordenada es n = -2.

La función es afín porque tanto m como n son diferentes de 0 (m ≠ 0 y n ≠ 0).

La pendiente de la recta de la función es positiva (m = 2), por lo tanto, la función es creciente.

Como la ordenada es n = -2, la recta corta al eje de ordenadas por el punto (0,-2).

- 28 -

TALLER Nro.10

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1) Grafique las siguientes rectas en un mismo plano cartesiano:

y = 2x + 5

y = 2x – 3

y = 2x

2) Grafique las siguientes rectas en un mismo plano cartesiano:

y = -3x

y= -3x – 3

y = -3x + 1

3) ¿Qué tienen en común las funciones de la actividad Nº 1? 4) ¿Qué tienen en común las gráficas de las funciones de la actividad Nº 1? 5) ¿Qué tienen en común las funciones de la actividad Nº 2? 6) ¿Qué tienen en común las gráficas de las funciones de la actividad Nº 2?

- 29 -

CLASE # 11VECTORES FIJOS Un vector fijo es un segmento orientado entre dos puntos llamados origen y extremo. Los vectores se representan con letras minúsculas con una flechita encima o mediante dos letras mayúsculas que representan los puntos origen y extremo.

Vectores fijos

Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B.

Lo simbolizamos .

Características de un vector:

• El módulo del vector es la longitud del segmento

, se representa por . • La dirección del vector es la dirección de la recta que

contiene al vector o de cualquiera de sus paralelas. • Cada dirección admite dos sentidos opuestos: el que va

de A a B y el que va de B a A. Gráficamente se representa con una punta de flecha.

[editar]

Vectores equipolentes. Vectores libres

Dos vectores, y , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos).

Lo simbolizaremos

Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un

vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha:

Vectores equipolentes

Vectores equipolentes Descripción: [Mostrar]

Vectores libres Descripción: [Mostrar]

[editar]

Vector nulo

El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo

simbolizaremos .

[editar]

Vectores opuestos

Dos vectores, y , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma

dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos .

Vectores opuestos:

- 30 -

[editar]

Operaciones con vectores

Operaciones con vectores (5´24") Sinopsis:[Mostrar]

[editar]

Producto de un vector por un número

El producto de un número real por un vector es otro

vector que tiene las siguientes características:

• Módulo: ( es el valor absoluto del

número real )

• Dirección: la misma que .

• Sentido: el mismo que si y opuesto si .

Producto de un vector por un número Descripción:

[Mostrar]

[editar]

Suma y resta de vectores

Suma de vectores:

Dados dos vectores y , para sumarlos se elige un representante

del vector que tenga como origen el extremo de . De esta

manera el vector suma será otro vector, , que tendrá como

origen el origen de y por el extremo, el extremo de .

Suma de vectores Descripción: [Mostrar]

Resta de vectores:

Para restar dos vectores y , sumamos al vector el opuesto

de . Es decir, .

Resta de vectores Descripción: [Mostrar]

TALLER Nro.11

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

Vector fijo

- 31 -

REPRESENTE GRAFICA MENTE UN VECTOR FIJO

TEMA # 12 VECTORES EQUIPOLENTES

Dos o más vectores son equipolentes cuando las magnitudes físicas que representan tienen el mismo

valor y producen los mismos efectos. En general, para que dos o más vectores sean equipolentes

basta que tengan el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo modulo, dirección, y distinto sentido. Los vectores opuestos

son aquellos que están orientados en direcciones opuestas. es decir, el vector opuesto tiene sus

coordenadas con signos cambiados.

Definición de vectores opuestos

- 32 -

En el ámbito de la física, los vectores son magnitudes que se definen por su cuantía, su dirección, su punto de aplicación y su sentido. Es posible clasificar a los vectores de distintas formas de acuerdo a sus características y al contexto en el que actúan.

Se conoce como vectores opuestos a aquellos que tienen la misma dirección y la misma magnitud, pero cuentan con sentidos contrarios. De acuerdo a otras definiciones, los vectores opuestos tienen igual magnitud, aunque dirección contraria debido a que la dirección también señala el sentido.

La idea de vectores opuestos, en definitiva, implica trabajar con dos vectores que tienen la misma magnitud (es decir, el mismo módulo) y la misma dirección, aunque con sentido opuesto. Puede decirse que un vector es opuesto a otro cuando cuenta con su misma magnitud, pero aparece a 180º. De este modo, el vector no solo es opuesto al otro, sino que también es su negativo.

Tomemos el caso del vector RS y el vector MN. Las coordenadas del vector RS son (4,8), mientras que las coordenadas del vector MN son (-4, -8). Ambos vectores son vectores opuestos: el vector MN es el vector negativo del vector RS. En una representación gráfica, quedaría claro cómo ambos vectores tienen el mismo módulo (ocuparían el mismo espacio en el esquema) pero sentido contrario.

Es importante destacar que si sumamos dos vectores opuestos obtendremos como resultado un vector nulo, también conocido como vector cero ya que su módulo es igual a 0 (carece de extensión).

La representación gráfica de los vectores siempre nos ayuda a comprender con más claridad sus características, y en el caso de los opuestos esto también se cumple, en parte gracias a la inclusión de otro concepto: los puntos cardinales. Si dejamos por un momento de lado las componentes (o términos) del vector, que podemos definir como sus valores en cada eje cartesiano, y nos centramos simplemente en su módulo y el ángulo que forma con el eje X, entonces podemos decir que el vector de 25 metros con ángulo de 50° hacia el Norte del Oeste es opuesto al de 25 metros con ángulo de 50° hacia el Sur del Este.

¿Cómo podemos representar dicho par de vectores opuestos en un gráfico? En primer lugar, cabe señalar que nos hallamos ante vectores bidimensionales, ya que simplemente hemos proporcionado información respectiva a dos ejes, los cuales suelen identificarse con las letras X e Y. Por lo tanto, el primer paso consiste en dibujar los dos ejes.

TALLER Nro.12

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

GRAFIQUE Y DIBUJE VECTORES EQUIPOLENTES

- 33 -

GRAFIQUE Y DIBUJE VECTORES OPUESTO

CLASE # 13 MATEMÁTICA

OPERACIONES CON VECTORES

Tipos de magnitudes Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. ... Gráficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flecha, siendo la longitud de esta flecha proporcional al módulo de la magnitud, y su dirección y sentido los de la magnitud vectorial.30 sept. 2015

Operaciones con vectores

Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en

dos dimensiones para simplificar:

- 34 -

Suma de vectores

Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.

Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vector a continuación del otro y dibujar el vector desde el origen del primero al final del segundo.

Producto escalar (·)

El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:

De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados:

- 35 -

Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que:

El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa.

Producto vectorial (x)

El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación:

El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que:

TALLER Nro.13

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

(1, -3) y D(2, 0).

A (3, 9) B(-1, 5).

A(4, -2) B (2, 6).

- 36 -

A(3, -2) B (-2, 5)

TEMA # 14 COMPONENTE DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTO

Digamos que el ángulo entre el vector y su componente x es θ . El vector y sus componentes forman un triángulo rectángulo como se muestra a continuación. ... Aquí, los números mostrados son las magnitudes de los vectores. Caso 1: Dados los componentes de un vector, encuentre la magnitud y la dirección del vector.

Componentes de un vector

En un sistema coordenado de dos dimensiones, cualquier vector puede separarse en el componente x y el componente y .

- 37 -

Por ejemplo, en la figura siguiente mostrada, el vector se separa en dos componentes, v x y v y . Digamos que el ángulo entre el vector y su componente x es θ .

El vector y sus componentes forman un triángulo rectángulo como se muestra a continuación.

En la figura anterior, los componentes pueden leerse rápidamente. El vector en la forma componente es

.

Las relaciones trigonométricas dan la relación entre la magnitud del vector y los componentes del vector.

v x = v cos θ

v y = v sin θ

Usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo con longitudes v x y v y :

Aquí, los números mostrados son las magnitudes de los vectores.

Caso 1: Dados los componentes de un vector, encuentre la magnitud y la dirección del vector.

Use las fórmulas siguientes en este caso.

- 38 -

La magnitud del vector es .

Para encontrar la dirección del vector, resuelva for θ .

Caso 2: Dada la magnitud y la dirección de un vector, encuentre los componentes del vector.

Use las fórmulas siguientes en este caso.

v x = v cos θ

v y = v sin θ

Ejemplo:

La magnitud de un vector es de 10 unidades y la dirección del vector es de 60° con la horizontal. Encuentre los componentes del vector.

F x = F cos 60°

= 5

F y = F sin 60°

Así, el vector es .

TALLER Nro.14

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Dada la siguiente figura, determinar las coordenadas del punto de la figura resultado de aplicar el vector al punto.

- 39 -

TEMA # 15 ECUACIONES DE LA RECTA, ECUACIONES VECTORIAL Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b . La ecuación que se pide es y = 3x + 10 . Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5 . Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

• Ecuación vectorial

- 40 -

Sea A(a,b) un punto de la recta y sea u=(u1,u2) un vector no nulo en la dirección de la recta, que lo llamaremos su vector de dirección, si X(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, tendremos que el vector AX tiene la misma dirección que el vector u, es decir AX= t u, siendo t un parámetro (un número real ),

• Ecuación paramétrica

Sabemos que AX= t u, es decir, X-A=t u, de donde X=A+t u, si X tiene de coordenadas (x,y) , A(a,b) y u=(u1,u2), tendremos:

(x,y)=(a,b)+ t (u1,u2)

(x,y)=(a,b)+t (u1,u2)

(x,y)=(a+t u1,b+t u2)

de donde:

Ejemplo. - Dada los puntos A(1,2) y B(3,5). Halla la ecuación continua de la recta. Solución.

• Ecuación punto pendiente

Si en la ecuación continua despejamos y-b, nos queda:

a se le denomina pendiente y la notaremos con "m". Veamos una interpretación geométrica de la pendiente.

Consideramos que le punto A tiene de coordenadas (0,0) para simplificar, y consideramos la recta y = mx.

Si x = 1 entonces y = m, es decir, si nos desplazamos 1 unidad a la derecha y aumenta o disminuye m unidades, dependiendo de si m es positivo o negativo.

Ejemplo. - Halla la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(2,3). Solución.

• Ecuación explícita

Si despejamos la y obtenemos la ecuación explícitay = m x + n, sabemos que m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.

Ejemplo. - Halla la ecuación explícita que pasa por los puntos A(0,2) y B(-1,4). Solución.

- 41 -

• Ecuación general

Si pasamos todos los términos a un mismo miembro se obtiene la ecuación general, su forma es A x + B y + C = 0.

Dados dos puntos D de coordenadas (a,b) y E(m,n), tendremos que:

A a + B b + C = 0

A m + B n + C = 0

restando miembro a miembro, obtenemos:

A (a-m) + B (b-n) = 0

observemos que (a-m,b-n) es un vector de la recta, y recordando la definición de producto escalar, tendremos que:

(a-m,b-n)*(A,B)=0

y los vectores (A,B) y (a-m,b-n) son ortogonales, de donde podemos concluir que el vector (A,B) es perpendicular a la recta A x + B y + C = 0 y el vector de dirección de la recta es (B,-

TALLER Nro.15

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

- 42 -

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(−1, 3).

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(−4, 5).

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(−4, 1).

TEMA # 16 ANGULOS ENTRE LAS RECTAS

Ángulos entre rectas. Dos rectas secantes y determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeño de los ángulos y se define como el ángulo entre las rectas y. ... Sean y vectores directores de las rectas y respectivamente.

Dos rectas secantes y determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeño de los ángulos y se define como el ángulo entre las rectas y .

Ahora, fijémonos que tomando un vector director de y uno de , el ángulo formado por dichos vectores coincide con el ángulo entre las dos rectas, si es agudo, o bien con su suplementario si es obtuso:

- 43 -

Ángulos entre dos rectas

Se llama ángulo formado por dos rectas al menor de los ángulos que determina.

Ejemplo:

Calcula el ángulo entre las rectas r ≡ 4x - y - 7 = 0 y s ≡ 4x - 7y - 6 = 0

- 44 -

TALLER Nro.16

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

Sus vectores directores

- 45 -