Tema 1. Funciones trascendentes

MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: FUNCIONES

TRASCENDENTES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Funciones trascendentes.

Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- FUNCIONES INVERSAS.

Definición de función uno a uno. Criterio de la recta horizontal.

Definición 1.1. Función uno a uno.

Se dice que una función f es uno a uno si cada número de su contradominio corresponde a

exactamente un número de su dominio; es decir, para toda 1x y 2x del dominio de f

Si 21 xx , entonces )()( 21 xfxf ↔ )()( 21 xfxf sólo cuando 21 xx .

Esta definición quiere decir que si y es una función de x uno a uno (denotada también 1-1),

dos valores distintos de x no pueden corresponder al mismo valor de y, y recíprocamente.

Otro nombre para una función uno a uno es inyectiva.

Criterio de la recta horizontal.

Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la

función a lo más en un punto.

En los ejercicios siguientes, utilice el criterio de la recta horizontal para determinar si la

función es uno a uno.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)



(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)



(19)

(20)

Función monótona.

Si una función es creciente o decreciente en un intervalo, entonces se dice que es monótona

en ese intervalo.

Teorema 1.1.

Sea f una función continua en el intervalo cerrado ],[ ba y diferenciable en el intervalo

abierto ),( ba :

i) Si 0)( xf para toda x en ),( ba , entonces f es creciente en ],[ ba .

ii) Si 0)( xf para toda x en ),( ba , entonces f es decreciente en ],[ ba .

Teorema 1.2.

Si una función es monótona en un intervalo, entonces es uno a uno en el intervalo.

Definición 1.2. La inversa de una función.

Si f es una función uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados ),( yx ,

entonces existe una función 1f , llamada inversa de f, que es el conjunto de pares

ordenados ),( xy definida por )(1 yfx si y sólo si )(xfy

El dominio de 1f es el contradominio (rango) de f y el contradominio (rango) de

1f es

el dominio de f.

Existencia de la función inversa.

No todas las funciones tienen inversa. De hecho, para que una función f tenga inversa, es

necesario que f sea uno a uno.



En los ejercicios siguientes, usar la derivada para determinar si la función es estrictamente

monótona en su dominio y, como consecuencia, tiene inversa.

21. xxxxf 126)( 23 22. 32)( xxxf 23. 2

4

24

)( xx

xf

24. 7

13)(

2

x

xxf 25.

1

32)(

x

xxf 26. x

x

xxf 2

15

42)(

27. )3(ln)( xxf 28. )12(ln2)( 2 xxxf 29. xxf sen 2)(

30.

2

3cos)(

xxf

Restricción del dominio para que la función inversa exista.

Es posible que una función f definida en un intervalo I no sea uno a uno, y por lo tanto no

posea función inversa en dicho intervalo. Un ejemplo tal es la función ilustrada en la figura

siguiente, la cual no posee inversa en el intervalo ),( .

En estos casos es posible restringir el dominio de la función f como un subintervalo de I en

el cual la función inversa exista. La función inversa existirá siempre que tomemos

subintervalos de I que no contengan puntos críticos de f (en otras palabras, subintervalos

que no contengan extremos relativos ni asíntotas verticales de la gráfica de la función).

Para el ejemplo citado en la figura, la función inversa existe si tomamos los intervalos

)1,( , )3,1( y ),3( o cualesquiera intervalos que estén contenidos en ellos.

Matemáticamente, para seleccionar intervalos apropiados en los cuales la función inversa

exista, debemos definir subintervalos delimitados por puntos críticos sucesivos de la gráfica



de la función, esto es, valores de x en los cuales 0)( xf ó )(xf no existe. Es importante

resaltar que si una función es uno a uno en un intervalo I, será uno a uno en un intervalo de

menor tamaño contenido en I.

Cálculo de la inversa de una función.

Para determinar la función inversa de una función dada, se debe:

1.- Despejar x de la función original: )(yfx

2.- Hacer el intercambio de variables: )(1 xfx , xy

En los ejercicios siguientes, determine si la función tiene inversa. Si la inversa existe,

determínela y establezca su dominio y rango. Si la función no tiene inversa, restringir el

dominio para que tenga inversa.

31. 34)( xxf 32. 25)( xxf 33. 13

)( x

xf

34. 13)( 2 xxxf 35. 2)( 3 xxf 36. 3)2()( xxf

37. 22 )1()( xxf 38.

2

13)(

x

xxf 39.

42

13)(

x

xxf

40. 63

3)(

x

xxf 41.

2

2

3

2)(

x

xxf

42. 13)( xxf

Teorema 1.3.

Si f es una función uno a uno y tiene a 1f como su inversa, entonces

1f es una función

uno a uno y tiene a f como su inversa. Además,

xxff ))((1 para toda x en el dominio de f.

y

xxff ))(( 1 para toda x en el dominio de

1f .

En las siguientes funciones determine )(1 xf y demuestre que xxff )]([1

;

xxff )]([ 1.

43. 35

21

)2(1)( xxf 44. 35

23

)2(1 xy 45. 5)2()( 33 xxf



46. 3)2(1 xy 47.

53

11

1)(

5

3

xxf 48. 53 )1()( xxf

49. 5

32 )13()( xxf 50.

92

82

3

3

31

31

x

xy 51. 44 24 xxy

Es posible que una función sea su propia inversa. Esta situación ocurre cuando al

determinar la inversa de la función, se encuentra que es la misma función original, esto es,

)()( 1 xfxf . Otra forma de determinar que una función es su propia inversa es haciendo

la composición de la función consigo misma, en cuyo caso el resultado debe ser x

xxff ))(( .

En los ejercicios siguientes, demuestre que la función es su propia inversa.

52. 1

6)(

x

xxf 53.

1

2)(

x

xxf

54. 216)( xxf , 40 x

55. Determine el valor de k de modo que la función uno a uno f, definida por kx

xxf

5)(

sea su propia inversa.

En los ejercicios siguientes, demuestre que la función f es su propia inversa para cualquier

constante k.

56. 1

)(

x

kxxf 57.

kx

xkxf

1)(

58. Muestre que la función definida por 1

)(

xk

hxxf es su propia inversa para

cualesquiera valores de las constantes h y k.

Gráfico de la función inversa.

Una propiedad importante de una función y su inversa es la simetría con respecto a la recta

y = x cuando se grafican simultáneamente en un sistema de coordenadas cartesianas.



La gráfica de f contiene el punto ),( ba si y sólo si la gráfica de 1f contiene el punto

),( ab .

59. En los ejercicios siguientes, haga un esbozo de la gráfica de la función inversa de la

función dada.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)



(7)

(8)

(9)

60. Verdadero o falso.

En los ejercicios siguientes, determinar cuál de las sentencias es verdadera o falsa. Si es

falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.

a) Si f es una función par, 1f existe.

b) Si la función inversa de f existe, entonces la intersección en y de f es una intersección en

x de 1f .

c) Si nxxf )( donde n es impar, entonces

1f existe.

d) No existe ninguna función f tal que 1 ff .

1.2.- FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones algebraicas.

Funciones en cuya ecuación funcional intervienen sumas, diferencias, productos, cocientes,

potencia y raíces de polinomios. Ejemplos: Polinomios, funciones racionales, funciones con

radicales.

Funciones transcendentes.

Funciones cuya ley de asociación no se puede representar mediante términos racionales o

algebraicos. Ejemplos: Exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas

inversas.

Funciones trigonométricas.

Equivalencia entre unidades de medición de ángulos.

radº180

1. En los ejercicios siguientes, obtenga la medida equivalente en radianes.

a) 60º b) 135º c) 210º d) –150º e) 20º f) 450º

g) –75º h) 100º i) 45º j) 120º k) 240º l) –225



m) 15º n) 540º ñ) –48º o) 2º

2. En los ejercicios siguientes, obtenga la medida equivalente en grados.

a) rad 41 b) rad

32 c) rad

611 d) rad

21 e) rad

21 f) rad 3

g) rad 2 h) rad 121 i) rad

61 j) rad

34 k) rad

43 l) rad 5

m) rad 31 n) rad 5 ñ) rad

1211 o) rad 2.0

Evaluación de funciones trigonométricas en ángulos notables.

(rad) (º) sen cos tan csc sec cot

0 0° 0 1 0 1

61 30° ½ 2/3 3/1 2 3/2 3

4

1 45° 2/1 2/1 1 2 2 1

3

1 60° 2/3 ½ 3 3/2 2 3/1

2

1 90° 1 0 1 0

32 120º 2/3 – ½ 3

3/2 – 2 3/1

43 135º 2/1 2/1 – 1 2 2 – 1

65 150º ½ 2/3 3/1 2 3/2 3

180° 0 – 1 0 – 1

67 210º – ½ 2/3 3/1 – 2 3/2 3

45 225° 2/1 2/1 1 2 2 1

34 240º 2/3 – ½ 3 3/2 – 2 3/1

2

3 270° – 1 0 – 1 0

35 300º 2/3 ½ 3

3/2 2 3/1

47

315º 2/1 2/1 – 1 2 2 1

6

11 330º – ½ 2/3 3/1 – 2 3/2 3

2 360° 0 1 0 1

Valores notables de las funciones trigonométricas. Para Zn (n es un número entero):

0)(sen n 1])14[(sen 2 n 1])34[(sen

2 n

0])12[(cos2 n 1)2(cos n 1])12[(cos n

Fórmulas de reducción.

sen)(sen csc)csc( cos)(cos

sec)(sec tan)(tan cot)(cot



3. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función.

a) 61sen b)

41cos c) )(sen

23 d)

31cos

e) 41sen f) )(cos

21 g) )2(sen h)

65cos

i) 43sen j) 3cos k) )5(sen l)

34sen

m) )(cos61 n) 7sen ñ) )(cos

25 o)

31tan

p) 41cot q) )(sec r)

21csc s)

61cot

t) 41tan u) )(csc

23 v) sec w) )(sec

61

x) 43csc y)

65tan z) )(cot

43 aa) )(csc

31

ab) 65csc ac)

43tan ad)

23cot

4. En los ejercicios siguientes, obtenga todos los valores de t en el intervalo ]2,0[ que

satisfagan la ecuación.

a) 1sen t b) 1cos t c) 1tan t d) 1sec t

e) 1sen t f) 1cos t g) 1tan t h) 1csc t

i) 0sen t j) 0cos t k) 0tan t l) 0cot t

m) 21sen t n) 2

1cos t ñ) 1cot t o) 2sec t

p) 21sen t q) 2

1cos t r) 1cot t s) 2csc t

t) 2sen21t u) 2cos

21t v) 3tan

31t w) 3cot

31t

Gráfico de las funciones trigonométricas.

xy sen xy cos xy tan



xy csc xy sec xy cot

Propiedades de los gráficos de las funciones trigonométricas (Caso general).

)(sen DxCABy ó )(cos DxCABy

Amplitud: AAmplitud Periodo: C

T2

Desfase horizontal: C

D Desplazamiento vertical: B

Dominio: fDom Rango: ],[ ABABfRgo

Procedimiento para graficar funciones trigonométricas en un periodo (seno o coseno).

1.- Determinar la amplitud.

2.- Determinar el periodo.

3.- Determinar el desfase.

4.- Determinar el paso: k

Th (k + 1 es el número de puntos a graficar).

5.- Completar la tabla de valores x – y, donde los valores de x van desde el desfase,

incrementándose un paso cada vez, hasta completar los k+1 puntos y los valores de y son

los obtenidos al sustituir cada valor de x en la función a graficar.

6.- Graficar los puntos obtenidos en el paso 5.

5. Determinar el desfase, la amplitud, el periodo, dominio, gráfica y rango de las siguientes

funciones.

a) xy 3sen 2 b) xy 2cos2 c) )(sen xy

d) xy 3cos21 e) xy 3sen 1 f) )(sen 321 xy

g) )(sen 21

21 xy h) xy 12cos4 i) xy 10cos5

j) xy43cos2 k) )(sen

21 xy l) )(sen

21

21 xy

m) )(sen 31

31 xy n)

63sen 4

xy ñ)

43

2sen 4

xy

o) 24

2sen 2

xy p) )(cos3 xy q) )2(cos4 xy

r)

25

3sen 2

xy s)

25

3sen 2

xy t)

24sen 5

xy



u)

23cos12

xy v) 1)3(cos2 xy

Derivadas de las funciones trigonométricas.

xd

uduu

xd

dcos)sen (

xd

uduu

xd

dsen )(cos

xd

uduu

xd

d 2sec)(tan

xd

uduuu

xd

dcotcsc)(csc

xd

uduuu

xd

dtansec)(sec

xd

uduu

xd

d 2csc)(cot

7. En los ejercicios siguientes, determinar la derivada de la función.

a) )3(sen2

xy b) xxxxf sen)(

c)

xxxf

1cos)( d) )2(sen)3(cos)( xxxh

e) 3 2 )3(sen)3(cos)( xxxf f)

xxxf

1cos

1sec)(

g) )3(cos1

)3(sen)(

2

2

x

xxf

h)

xx

xxf

22

3

sencos

sec)(

i)

1

1cos)(

x

xxg j)

)3(cos1

)3(sen)(

x

xxh

k) xxf sen)( l) )32(sen)( 33 xxf

m) )12(sec)( 23 xxf n) xxxh tan3sec4)( 2

ñ) xxxf 22 tan3sec4)( o) xxxh 23 csccot)(

p)

1

1cos)( 3

x

xxf q) )13(csc2)( 222 xxxf

r) xx

xxxf

2

2

sen

sen)(

s) 3 2cos1)( xxf

t) 32 2

cos)(

xxf u) xxxf 22 tansec)(

v) xxxf 33 tansec)( w) xxxf 2sen2cos)( 32

x) 243 sec2cossec)( xxxxg y)

235 )cos1()4sen1()( xxxf

z) 2

1

])2(sen1[])2(cos1[)( 232 xxxf aa) 33 2 )1(cossen1)( xxxf



ab)

3

2tan21

sen )(

x

xxxf ac) )(sencos)( 32 xxf

ad) )(cossen)(cossen)( 2332 xxxf ae) ])(cossen[cos)( 2xxf

af) }])(sen[{sensen)( 5432 xxf

8. Calcule xd

yd mediante diferenciación implícita.

a) xyxyx 2)2(tan)3(sen b) yxyxyx )(sec)(cos

c) yxyxyx )(sec)(cos d) 223 )()(tan yxxyyx

e) 0)2(coscossen yyyx f) yyxyxyx tan32)(sen 3322

g) 3332 )4(cos yxxx h) yxyx )(sec

i) 1)(sen)(cos yxyx j) )(sec1)(cos yxyx

k) xyyyx 23 sec)(tan l) 332 )()(tansec yxyxy

m) 7sec

x

y

y

x n) )(tan3)(sen 23323 yyxyx

ñ) yx

yxy

)(cos1 o)

xy

yyxyx

sen

cos2

p) yxy

ycossen

cos

sen1

q)

xxyx

yx 1

tan

r) )(sencos 22 xbaxy

Aplicaciones de las funciones trigonométricas.

9. Un cuerpo de peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal mediante una fuerza

P cuya línea de acción forma un ángulo con el plano. La magnitud de la fuerza viene

dada por:

cossen

m

WmP

donde m denota el coeficiente de rozamiento. ¿Para qué valor de es mínima la tracción?

10. Dos lados de un triángulo miden 4 cm. ¿Cuál debe ser el ángulo entre esos dos lados

para que el área del triángulo sea máxima?

Funciones trigonométricas inversas.

Dominio y rango de las funciones trigonométricas, para que la función inversa exista.

Función. Domino Rango



Seno xy sen ],[21

21 [ – 1 , 1 ]

Coseno xy cos ],0[ [ – 1 , 1 ]

Tangente xy tan ),(21

21 R

Cosecante xy csc ],0()0,[2

1

2

1 (– , – 1 ] [1 , )

Secante xy sec ],(),0[2

1

2

1 (– , – 1 ] [1 , )

Cotangente xy cot ),0( R

Definición 1.3. Las funciones trigonométricas inversas.

Definición Dominio Rango

xy 1sen si y sólo si xy sen [–1 , 1 ] ],[21

21

xy 1cos

si y sólo si xy cos [–1 , 1 ] ],0[

xy 1tan si y sólo si xy tan (– , ) ),(21

21

xy 1csc si y sólo si xy csc (– , –1 ] [1 , ) ],0()0,[2

1

2

1

xy 1sec si y sólo si xy sec (– , –1 ] [1 , ) ],(),0[2

1

2

1

xy 1cot si y sólo si xy cot (– , ) ),0(

Evaluación de las funciones trigonométricas inversas.

11. En los ejercicios siguientes determine el valor exacto de la función.

a) 211sen b) )(sen

211 c)

211cos d) )(cos

211

e) 2

31sen f) )(sen2

31 g) 2

31cos h) )(cos2

31

i) 3

11tan j) )3(tan 1 k) 3

21sec l) )(sec3

21

m) 3

11cot n) )3(cot 1 ñ) 3

21csc o) )(csc3

21

p) 1sen 1 q) )1(sen 1

r) 1csc 1 s) )1(csc 1

t) 0sen 1 u) 1cos 1

v) )1(cos 1 w) 1sec 1

x) )1(sec 1 y) 0cos 1



Gráfico de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

xy 1sen

xy 1cos xy 1tan

xy 1csc

xy 1sec xy 1cot

20. Determinar el desfase, la amplitud, el periodo, dominio (para que la función inversa

exista), gráfica (en su dominio) y rango de las siguientes funciones trigonométricas. Hallar

la función inversa de cada una con su dominio y rango correspondiente. Graficar en un

mismo sistema de coordenadas )(xf y )(1 xf .

a)

62

3sen

4

3 xy b)

3sen1

xy

c)

4sen

xy

d)

2cos

xy e)

32cos3

xy f)

2cos32

xy

21. Hallar la función inversa de cada una de las siguientes funciones.

a) ])(sen[ 2231

23 xy b) )2(sen 1

31 xy

c) ])2(sen[ 1

41 xy d)

2

31 )3(cos xy

e) ])6([cos2 1 xy f) ]3)4([cos 1

21 xy

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

xd

ud

uu

xd

d

2

1

1

1)sen(

xd

ud

uu

xd

d

2

1

1

1)(cos



xd

ud

uu

xd

d2

1

1

1)(tan

xd

ud

uuu

xd

d

1

1)(csc

2

1

xd

ud

uuu

xd

d

1

1)(sec

2

1

xd

ud

uu

xd

d2

1

1

1)(cot

22. En los ejercicios siguientes, determinar la derivada de la función.

a) )(sen)(211 xxf b) xxf 2tan)( 1 c) xxf 3cos)( 1

d) xxf 2sec)( 1 e) xxf 1cos2)( f) xxxf 5csc5sec)( 11

g) 2121 cottan)( xxxf h) 21 1sen)( xxf i)

xxf

2cot)( 1

j) x

xf1

tan2)( 1 k) xxxf 1cos)( l) )sen (cos)( 1 xxf

m) 2

211 4)(sen 4)( xxxxf n)

2

1

1

2tan)(

x

xxf

ñ) 4sec)( 21 xxf o) xxxxxf 11 cossen )(

p) xxf 1csc)( q)

x

xy

cos1

cos1tan 1

r) 521 )23(sec xy s) 21 412cos xxy

t) )1(sen1 213 2 xxy u) )(sen 39 3112 xxy

v)

a

xaxa

xxf 1

222 sen

22)( w) ])1(cos[sen 1 xy

x) )3(sen12)sen()( 21231 xxxxxf y) xxxy 12 cos1

z)

xba

xaby

cos

coscos 1 aa)

1

1tan 1

x

xy

23. Calcule xd


a) )(cos)(sen 11 yxyx b) )(sec)(sen 11 xy

c) x

yyx

y

x

21 2tan

24. Un cuadro de 7 pie de altura se coloca en una pared con su base a 9 pie sobre el nivel de

los ojos de un observador. ¿Qué tan alejado debe estar el observador para que tenga la

“mejor vista” del cuadro?

25. Demuestre que en el ejercicio 21 otra ecuación que define a en términos de x es



144

7tan

2

1

x

x

Utilice esta ecuación para determinar que tan lejos de la pared debe estar ubicado el

observador para que tenga la “mejor vista” del cuadro.

26. Un anuncio de 3 pies de altura está colocado en una pared con su base a 2 pie por arriba

del nivel de los ojos de una mujer que intenta leerlo. Calcule que tan retirada de la pared

debe estar la mujer a fin de que tenga la “mejor vista” del anuncio; es decir, de modo que el

ángulo subtendido por el anuncio en sus ojos sea un máximo.

27. Un cartel de 6 m de alto, se coloca encima de un edificio, con su orilla inferior a una

altura de 20 m sobre el nivel de los ojos de un observador. Use funciones trigonométricas

para calcular a qué distancia del edificio debe colocarse el observador para que el ángulo

entre las rectas que van del ojo del observador a las orillas superior e inferior del cartel sea

máximo.

28. La arista inferior de un cartel de 12 metros de altura, está situado a 6 metros por encima

de los ojos de un observador. Suponiendo que la visión más favorable se obtiene cuando el

ángulo subtendido por el cartel y los ojos es máximo. Calcular la distancia de la pared a la

que se debe situar el observador.

29. El borde inferior de una pintura mural de 10 m de altura está a 2 m arriba de los ojos de

un observador. Encuentre la distancia ideal a la que debe alejarse del mural el observador

para ver la pintura, es decir, encuentre la distancia que maximice el ángulo subtendido por

las visuales del observador.

30. Los ejercicios 21 - 26 son casos particulares de la situación más general: un objeto (por

ejemplo, un cuadro o anuncio) de a pies de altura está colocado en una pared con su base a

b pies sobre el nivel de los ojos de un observador. Demuestre que el observador tiene la

“mejor vista” del objeto cuando la distancia del observador desde la pared es )( bab

pies.

31. Dada la siguiente figura:



a) Exprese en función de x , siendo x la distancia DC .

b) Encuentre x para que sea máximo.

32. En la siguiente figura, encuentre la longitud AB mínima.

Funciones logarítmicas.

Definición 1.4. La función logarítmica de base a (logax).

Si 0a y 1a , entonces bxa log si y sólo si xab .

( bxa log se lee <<el logaritmo en base a del número x es b>>).

Definición 1.5. El logaritmo natural.

La función logaritmo cuya base es e (el exponencial) se llama función logaritmo natural y

se denota por xxe lnlog . Formalmente la función logaritmo natural está definida como

x

tdt

x1

1ln

Definición 1.6 El número e (El exponencial).

xxex

1

)1(lim0

(Con doce dígitos significativos, e = 2.71828182846).



Dominio de las funciones logarítmicas.

33. En cada caso, determine el dominio de la función.

a) )23(log 2 xy b) )(ln)( 2 xxxf

c)

4ln)(

2x

xxh d)

13

2ln)(

x

xxf

Evaluación de las funciones logarítmicas.

34. En los ejercicios siguientes, obtenga el valor del logaritmo con cinco dígitos

significativos en una calculadora.

a) 7log3 b) 10log 2 c) 361log 2 d) 2log3 e) 4728log 4 f) 10log 6

g) e5log h) e10log

Gráficos de las funciones logarítmicas.

Características de las funciones logarítmicas y = logax.

Dominio: ( 0 , ) Recorrido: (– , ) Intersección: ( 1 , 0 )

Siempre creciente.

xa

loglimx

xa

loglim0x

(Asíntota vertical).

Continua.

35. En los ejercicios siguientes, dibuje la gráfica de la ecuación.

a) xy 3log b) )5(log3 xy c) xy 2log d) xy 2log1

e) xy3

1log f) xy ln g) )2(ln xy h) )(ln xy

i) xy ln j) 1

1ln

xy k) xxy ln l) xxy ln2

m) xy sen ln



Derivadas de las funciones logarítmicas.

Propiedades de los logaritmos.

01log a 1log aa yxyx aaa loglog).(log

yxy

xaaa logloglog

xnx a

n

a log)(log xn

x an

a log1

log

a

xxa

ln

lnlog (Cambio de base).

a

xx

b

b

alog

loglog

ab

b

alog

1log

(Idénticas propiedades son válidas si xalog es sustituido por xxe lnlog ).

Derivadas de funciones logarítmicas.

xx

xd

d 1][ln

xaxex

xd

daa

1

ln

11)(log][log

u

u

xd

ud

uu

xd

d

1][ln

u

u

au

ue

xd

ud

ueu

xd

daaa

ln

1)(log

1)(log][log

36. En los ejercicios siguientes, derive la función y simplifique el resultado.

a) )54(ln)( xxf b) xxf 54ln)(

c) )41(ln)( 2xxf d) 241ln)( xxf

e) )28(ln)( xxf f) 5)28(ln)( xxf

g) 2)13(ln)( xxf h) )13(ln)( 2 xxf

i) )2(ln)( xxf

j) ])72()35[(ln)( 324 xxxf

k) ])4()12([ln)( 523 xxxf l) 3 24ln)( xxf

m) 2

3

243

1ln)(

x

xxf

n) 52

13ln)(

x

xxf

ñ) 32 1

1ln)(

x

xxf

o) 3

5

2

)2(

)2(ln

x

xxy

p) )(ln xaxay

q) )21(ln)( 3 2 xxxf

r) xxf tanln)( s) xxxf ln)(

t) x

xxf

ln)( u)

x

x

x

xxf

ln

ln)(

v) )5sen (ln)( xxf w) )(lncos)( xxf



x) )(lncsc)( xxf y) )(lnsen)(senln)( xxxf z) )]2sen([lncos xy aa) )(lnln)( xxf ab) )(lnln xy

ac) xxf cosln)(

ad) )2tan2(secln)( xxxf ae) ) 2sen 2(cosln)( xxxf af) )11(ln1)( xxxf ag) )33(ln)( xxxf

ah) 1

)1(ln)(

x

xxf ai)

x

xxxf

ln21

cossen 2)(

aj) )]2([lnsec 1 xy ak) 21 1lntan)( xxxxf

al) )(tanln)(lnsen 11 xxy am) )1(lntan)1(tanln)( 11 xxxf

an) ])(sec[ln)( 23 xxf añ) 3 3ln)( xxf

ao) x

xxy2ln

1)(lncossen 221 ap)

42 ])ln1(1[)( xxf

aq) )(lnln)(ln)( xxxf ar) )1(log xy

as) )(senlog)( 3 xxf at) 2

3log

3

x

xy

au) )2(lnlog2 xy av) )(loglog)( 2xxh aw) )(loglog)( 3

210 xxf ax) )](ln[loglog 23 xy

ay) ])(loglog[ln)( 32 xxf az) )(logsec)( 2

10 xxg

ba) )3(lnlog3

2 xy bb) )(lnlog)( 22

4 xxf

37. Calcule xd


a) 2ln yxyx b) 2)(ln yxyx

c) 1ln yxy

x

d) 123ln 222 xyyxx

e) )1(ln yxx f) 223)(ln yxyx

g) 4)(ln)(ln yxyx h) yxxyyx lnln i) )(lnln)1(ln 3 yxyxy j) 4ln yxyx

k) 0)1(ln 22 yxyx

l) xyyxy cossen ln 2

m) )(lntanln 2xy n) )13(senln1 23 xy

ñ) yxyx 1sen )(ln o) 21 ])(ln[sen yxyx

p) ])1(ln[tanln 13 xy q)

y

xyx 122 tan2)(ln



Derivación logarítmica.

Las propiedades

yxyx lnln).(ln

yxy

xlnlnln

xnxn ln)(ln

Se utilizan ventajosamente para calcular derivadas de productos, cocientes, raíces y

potencias. Este método, conocido como derivación logarítmica, consiste en tomar

logaritmos en los dos miembros de una ecuación:

)(xfy

)]([lnln xfy

Simplificar cuanto se pueda la expresión )]([ln xf mediante las propiedades y derivar

después implícitamente con respecto a x.

38. En los ejercicios siguientes obtenga xd

yd mediante diferenciación logarítmica.

a) 4322 )1()1( xxxy b) )53()3()45( 32 xxxy

c) 4 223 3)12()( xxxf d) 5

322

)4(

)2()1(

x

xxxy

e) 3

)2(5

x

xxy f)

5 7

3

1

2

x

xxy g)

2

2

1

1

x

xy

h) 3

2

)1(

1 2

x

xy i) 12 xxy j)

xxy )(tan

k) xxxg )(ln)( l) xxxf

2ln)( m) 3sec xxy

n) 2

)( xxxh ñ)

x

xy

3 o)

xxxg sen )(tan)(

p) xxxf ln)(ln)( q)

)sen (ln)sen ( xxy r) xxy )(cos

s) x

xy

x

2ln

)(ln t)

)1(ln2 )]1([ln)( xxxf u) 22)( yxyx y



Aplicaciones de las funciones logarítmicas.

39. Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación de movimiento

)1(ln)1( 2 tts , donde s pies es la distancia dirigida de la partícula desde el punto

inicial a los t segundos. Calcule la velocidad y la aceleración cuando 3t .

Funciones exponenciales.

Definición 1.7 La función exponencial de base a.

Si 0a y 1a , entonces nos referimos a xay como la función exponencial de base a.

Propiedades de los exponentes.

10 a aa 1

yxyx aaa .

yx

y

x

aa

a

yxyx aa )( xxx baba .).(

x

xx

b

a

b

a

Relación entre funciones exponenciales (Cambio de base).

axx ea ln para todo a > 0.

Evaluación de las funciones exponenciales.

40. En los ejercicios siguientes, obtenga el valor del exponencial con cinco dígitos

significativos en una calculadora.

a) 5.1)6.1( b)

3.3)5.2( c) 7.1)2.4( d)

5log22 e) 7.3log66 f)

8.2e

g) 6.0e h)

4.1lne i) 4lne

Gráficos de las funciones exponenciales.

Características de las funciones exponenciales a–x

y ax.

Gráfica de xay , 1a

Dominio: (– , )

Recorrido: ( 0 , )

Intersección: ( 0 , 1 )

Siempre creciente.

xa

x

lim

0lim

xa

x

(Asínt. Horiz.).

Reflexión de xay en el eje y.

Continua.



Gráfica de xay ( 1a )

Dominio: (–,)

Recorrido: ( 0 , )

Intersección: ( 0 , 1 )

Siempre decreciente

0lim

xa

x

(Asínt. Horiz.)

xa

x

lim

Reflexión de xay en el eje y.

Continua.

41. En los ejercicios siguientes, dibuje la gráfica de la ecuación.

a) xy 3 b)

13 xy c) xy 2 d)

xy 3 e) 2

2 xy f) 2xey

42. En los ejercicios siguientes, mostrar que las funciones dadas son inversas entre sí

dibujando sus gráficos en un mismo sistema coordenado.

a) xxf 3)( y xxg 3log)( b)

xxf 4)( y xxg 4log)(

c) xexf 2)( y xxg ln)( d) 1)( xexf y )1(ln)( xxg

e) 1)( xexf y xxg ln1)(

Propiedades inversas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Si 0a y 1a , entonces:

uau

a )(log

uaua

log ueu )(ln ue u ln

Propiedades inversas y cambio de base.

uaa b

u

b )(log)(log

au bb ualoglog

au ua lnln



43. Simplifíquese cada una de las expresiones siguientes.

a) xeln b)

)/1(ln xe c) xe ln2ln d)

xxe ln e)

xe ln2 f)

yxe ln2ln

g) )/1(ln xe h)

)(ln 2xe i) )(ln xe j) )(ln /1 xe k) )(ln

2xe l) )(ln2xxe

m) )(ln 22 xex n) )/1(ln xe

Derivadas de las funciones exponenciales.

xx eexd

d][ xx aaa

xd

d)(ln][

Si u es una función diferenciable de x, entonces:

ueexd

d uu ][ uaaaxd

d uu )(ln][

44. Derive y simplifique.

a) xxf 2)( b)

2

5)( xxf c) 35)(2

xxg

d) 3

)( xexf e) xey tan f) x

ey

g) )(ln2)(

xxh h) x

x

y ln2 i) )(lnsen1 2

)(x

exf

j) 32 xexy k)

2

)(sen 21 xexxy

l) )4ln(sen xexy

m) )2sen (tan 12

xey x n) 0;3)(4

aaxf xx

ñ) 43 )1()1()( xx eexf

o) xx ey22 cossen2 p) )1(ln)( 3 22

xexf x

q) )(log)( 2

3 xexfx

r) )(log)( 3

xe eexhx

s) xx

exxh2

ln)(

t) 342 )1(])3(ln1[)( xexxf

u) x

x

e

exf

1

2)(

v)

x

x

ex

exxg

22

22

)(

w) 1

ln)(

x

x

e

xexf

x)

3

2

ln

ln)(

xe

xxxf

x

y)

xx

xx

ee

eexw ln)(

z) )(sen)(23 xexf

aa) )3(senlog)( xxf ab) )(senlog)( 3

5

xexf



ac) 1lncos)( 2 xx eexf

ad) )(ln xexy

ae) xexf 1

21 sen)(

af) )(sen

21 xey

ag) )2(sec)( 31 xexf ah) )]([tanln 31 xey

ai) )(sen 41 xey

aj) )(sen 4

12xey

ak) )(ln)( xexxf al) )(logcos)( 3

xexxh

am) )(cos)(sen)( 43 xx eexh an) xx exexf tansen )(

añ) xxxxf 2sen 2)( 21cos

ao) xxay )( 12

ap) xxy 2tan)2(2

aq) )1(cos 11

)2(

xx eey

ar) 2

2

3x

x

ey as) x

a exf log)(

at) )(log)(2

2

xexf au) )(log)(3

3

xexf

av) ])(log[log)(3

23

xexf

aw) )2(ln 2 xexy

ax) )(ln 2 xexy ay) 3

][ln 3)sen(cos 21 xey

az) xxeey 2112tanln

sec ba)

1ln22

1ln2)(

x

exxf

bb)

32

sen ln

x

ey

x

bc) )(log 23

xeey

bd) 2

2

23

3 log)1(tanlog)( xexxf

be) )1(lntanlog 211

3

2

xey

x

bf) x

aa exxf lnlog)1(logln)(

bg) 21

521 coslogsen 3

5 55log)(xxxf

bh) 1log1ln

3333log)(

xexxf

bi)

xx ee

xxxf

ln2

ln)(

bj)

4

ln1

)(

x

e

xxu

x

bk)

x

x

a

ay

2

1

)1(ln



bl) )]2([logtan 2

4

3 xy bm) )(tanlog

2

2

tan

xy

x

bn) x

x

e

exf

4

3 41sen)(

bñ) 52sen )](cosln[2

xey x

bo) )1(ln)( 32 xexxf

bp) 3

4

3

3ln)(

xe

xxf

bq) 4

1

3

)(ln)(

sen

x

ext

x

br) )(lncos2)(lncos)( xexxf

bs) xexxg

sen)(cosln)( bt)

3])(cosln[)(

x

exf

x

45. Calcule xd


a) )(lnln xe y b) 0112 xex y

c) xey x2

ln

d) )(sen)(sen 21 xx eexyx

e) xexy 1tanln f)

xex

ey 222

g) xexyx yeex 3ln2 ln h) )(ln ln yxy eee

i) )(cosln 1

ln yxxy ee

j) yxeyx ln)(ln

k) 131ln 22

ln

xxy eee l) xexye 3ln

m) 22

32.)(log 222 xxx ayex n) xyxeyx 4)(ln

ñ) yxee yx lnlnsensen o) 3lncoscos xx eye

p) yxyy eee )(tan)(sec q) xyyex cossec2

r) )3(tan)3(cos)3(sec23

yyyyex s) yx eyxe 12 cos

t) yyx yxe 3)(ln u)

212 2tanln exey yx

v) yxeyx ln w)

yxyx

yx2

2

2 2

46. Calcule xd


a) xexxf )(sen)( b)

xexxg )(tan)( c) 3

)(ln)(xexxg



d) x

exxf )sen ()( e) 22

)sen()( 1 xexexf f) xexxf

3sec1 )3(sec)(

g) x

xxf32

3 )3(log)(

h) xx xy ln2tan )1(3

Funciones hiperbólicas.

Definición 1.8 Las funciones hiperbólicas.

2senh

xx eex

2cosh

xx eex

1

1tanh

2

2

x

x

xx

xx

e

e

ee

eex

Funciones recíprocas.

xx

senh

1csch

xx

cosh

1sech

xx

tanh

1coth

xx eex

2csch

xx eex

2sech

1

1coth

2

2

x

x

xx

xx

e

e

ee

eex

Evaluación de las funciones hiperbólicas.

47. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función. Si el valor exacto

no es un número racional, exprese el valor con cuatro dígitos significativos.

a) 0senh b) 0cosh c) 1senh

d) 1)(senh e) 0tanh f) 0sech

g) 1cosh h) )1(cosh i) 2tanh

j) )2(tanh k) )2(lncosh l) )5.0(lncosh

m) )5.0(coth n) )5.0(coth ñ) 2)ln(senh

o) )5.0ln(senh p) 2sech q) 2)(sech

r) )1(coth s) )5.1(lncsch t) 2csch

u) )2(csch v) 1tanh w) )51ln(sech .

Gráficos de las funciones hiperbólicas.

xy senh xy cosh xy tanh



xy csch xy sech xy coth

Identidades hiperbólicas.

Identidades hiperbólicas fundamentales.

1cschsenh xx 1sechcosh xx 1cothtanh xx

x

xx

cosh

senh tanh

x

xx

senh

coshcoth

Identidades pitagóricas.

1senhcosh 22 xx 1sechtanh 22 xx 1cschcoth 22 xx

Otras identidades.

xexx senhcosh xexx senhcosh

Angulo doble.

xxx coshsenh22senh xxx 22 senhcosh2cosh 1senh22cosh 2 xx

1cosh22cosh 2 xx x

xx

2tanh1

tanh22tanh

Angulo triple.

xxx senh 3senh 43senh 3 xxx cosh3cosh43cosh 3

x

xxx

2

3

tanh31

tanhtanh33tanh

Angulo mitad.

2

1cosh

2senh

xx

2

1cosh

2cosh

xx

1cosh

1cosh

2tanh

x

xx



1cosh

senh

2tanh

x

xx

x

xx

senh

1cosh

2tanh

xx

xcschcoth

2tanh

1cosh

1cosh

2coth

x

xx

1cosh

senh

2coth

x

xx

x

xx

senh

1cosh

2coth

xxx

cschcoth2

coth

)12(coshsenh

2

12 xx )12(coshcosh2

12 xx

Suma y diferencia de dos ángulos.

yxyxyx senhcoshcoshsenh)(senh

yxyxyx senhsenhcoshcosh)(cosh

49. En los ejercicios siguientes, demuestre la identidad.

a) xx 22 sechtanh1 b) xx 22 cschcoth1

c) xxx coshsenh22senh d) xxx 22 senhcosh2cosh

e) x

xx

2cosh1

2senh tanh

f)

x

xx

2tanh1

tanh22tanh

g) xxx senh 3senh 43senh 3 h) xxx cosh3cosh43cosh 3

i) xe

x

x 2

tanh1

tanh1

j)

1

1)(lntanh

2

2

x

xx

k) yxyxyx senh coshcoshsenh )(senh

i) yxyxyx senh senh coshcosh)(cosh

Derivadas de las funciones hiperbólicas.

xd

uduu

xd

dcosh)senh (

xd

uduu

xd

dsenh )(cosh

xd

uduu

xd

d 2sech)(tanh xd

uduuu

xd

dcothcsch )csch (

xd

uduuu

xd

dtanhsech )sech (

xd

uduu

xd

d 2csch)(coth

50. Demuestre que:

a) xxDx senh )(cosh b) xxDx

2csch)(coth

c) xxxDx cothcsch)csch(



51. En los ejercicios siguientes, calcule la derivada de la función.

a) 2senh )( xxf b) )(1senh )( 2xxf c) 3cosh)( xxf

d) xxf 3 coth)( e) )1(sech)( xxf f) x

xf1

coth)(

g) )(lncoth)( xxf h) xxxf 21

41 )(2senh )( i) xxxf coth)(

j) xxf 3sech)( 2 k) xxf 4 sech)( 2 l) xxf 3tanh)(

m) )senh (ln)( xxf n) )(coshln)( xxf ñ) )(tanhln)( xxf

o) )]([tanhln)( 21 xxf p) ])2(tanh[ln xy q) )senh (tan)( 1 xxf

r) )2(senh tan)( 1 xxf s) )tanh(sen)( 21 xxf t) xexf senh )(

u) )1(tanh 2 xey v) )(lncosh xey w) ])(tan[senh 31 xey

x) )(sech senh xey

52. Derive y simplifique las siguientes funciones:

a) 2)senh (cosh)( xxxf b) xxxxf coshsenh )(

c) xexf x cosh)( d) )2(senh xey x

e) xexxy coshsenh f) 533 ])3(cosh).3(sech[ xxy

g) 43 )sech( xy h) 5 22 )13(csch xxy

i)

xxy

1sech

1 j)

x

xy

cosh1

senh

k) ])5(csch)5(coth[ln xxy l) ])(senh[ln xy

m) ])3(ln[tanh

13 x

y n) ])(tanh[ln23 xey

ñ) 42 ))](cos(senh [ xey o) )(tanh 3 xexy

p) )](senh sen [sen 1 xy q) xe

xxy

2

)(2senh

r) )(tanh sen 3 xey s) )(cosh

)(cosx

x

e

ey

t) )2senh (log4

3 xy u) xx

xx

ee

eey

v)

1

1ln

4

4

x

x

e

ey w)

xx

xx

ee

eey

tantan

tantan 1

4

53. Calcule xd


a) xy tansenh



54. En los ejercicios siguientes obtenga xd


a) xxy )senh( b) xxxf )(cosh)( c) xxxf senh )(

d) xxxf cosh)(

Definición 1.9. Las funciones hiperbólicas inversas.

Definición Domino Rango

Seno hiperbólico inverso )1(lnsenh 21 xxx R R

Coseno hiperbólico inverso )1(lncosh 21 xxx [ 1 , ) [ 0 , )

Tangente hiperbólica inversa x

xx

1

1lntanh 1 (–1 , 1 ) R

x

xx

1

1lntanh

2

11

Cosecante hiperbólica inversa

x

xx

2

111

lncsch (– , 0 ) (0 , ) (– , 0 )

(0 , )

2

21 11

lncschx

x

xx

Secante hiperbólica inversa

x

xx

2

111

lnsech ( 0 , 1 ] [ 0 , )

2

21 11

lnsechx

x

xx

Cotangente hiperbólica inversa1

1lncoth 1

x

xx (– , –1 ) ( 1 , ) (– , 0 )

( 0 , )

1

1lncoth

2

11

x

xx



Evaluación de funciones hiperbólicas inversas.

55. En los ejercicios siguientes, determine el valor exacto de la función.

a) 1cosh 1 b)

211tanh c) 1senh-1

d) 2coth 1 e)

21-1senh f) )2(coth 1

g) 2cosh 1 h) )(tanh 2

11

57. Deducir las siguientes definiciones. (Especifique el intervalo donde cada función está

definida):

a)

x

xx

11ln)(csch

2

1 b) )1(ln)(cosh 21 xxx

c)

x

xx

2

1 11ln)(sech d)

1

1ln)(coth 2

11

x

xx

Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas.

xy 1senh xy 1cosh xy 1tanh

xy 1csch xy 1sech xy 1coth

Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.

xd

ud

uu

xd

d

1

1)senh(

2

1

xd

ud

uu

xd

d

1

1)(cosh

2

1



xd

ud

uu

xd

d2

1

1

1)(tanh

xd

ud

uuu

xd

d2

1

1

1)csch(

xd

ud

uuu

xd

d2

1

1

1)sech(

xd

ud

uu

xd

d2

1

1

1)(coth

58. Demuestre que:

a) uDu

uD xx

1

1)(cosh

2

1

b) uD

uuD xx 2

1

1

1)(tanh

c) uDuu

uD xx 2

1

1

1)csch(

d) uD

uuuD xx 2

1

1

1)sech(

e) uDu

uD xx 2

1

1

1)(coth

59. En los ejercicios siguientes, calcule la derivada de la función.

a) xxf 4senh)( 1 b) xxf 3cosh)( 1 c) xxf 311cosh)(

d) xxf 211tanh)( e) 31tanh)( xxf f) 21coth)( xxf

g) )13(coth)( 1 xxf h) )(tansenh)( 1 xxf i) )(tancosh)( 1 xxf

j) )(costanh)( 1 xxf k) )3sen(tanh)( 1 xxf l) )2sen (coth)( 1 xxf

m) )sen 3(coth)( 1 xxf n) )2(cossech)( 1 xxf ñ) )sen(tanh)( 1 xexf

o) xexf 21senh)( p) )(lncosh)( 1 xxf q) )(cosh31 xey

r) ])(log[tanh2 23

1 xy

60. Derive y simplifique las siguientes funciones:

a) 21 )csch()( xxf b) 321 )(coth)( xxf

c) 212senh)( xxxf d) 21 1senh)( xxxxf

e) 21 412senh 2)( xxxxf f) xxxxf 12 tanh1ln)(

g) 21 1lntan)( xxxxf h) ])(sech[tan)(tanh 11 xy

i) )13(senh1

)(cosh21

21

x

xy j) 2

3

])(senh[ln 21 xey

k) }])(lnsech[ln{ln21 xey l) 4

2

2

1

1ln)(

x

xxf

m) 22 1)1(ln)( xxxxxf n) 1ln1 22 xxxy

ñ) 5

sen1

sen1ln

x

xy

o) 3

sen

sen1

1

1csch

x

x

e

ey



p) xba

xbay

ln q) ])11([lntanh 21 xey x

r)

3

2

2

1

1ln)(

x

xxxf

61. Calcule xd


a) xyx 1221 tanh)(senh 3 b) )1(ln)(tanh 21 yyxyx

c) yxyxyx lnln)11(ln)(cosh 21221

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.1.- FUNCIONES INVERSAS.

Definición de función uno a uno. Criterio de la recta horizontal.

1. Uno a uno. 2. No es uno a uno. 3. Uno a uno.

4. Uno a uno. 5. No es uno a uno. 6. Uno a uno.

7. Uno a uno. 8. Uno a uno. 9. No es uno a uno.

10. No es uno a uno. 11. No es uno a uno. 12. Uno a uno.

13. Uno a uno. 14. Uno a uno. 15. Uno a uno.

16. Uno a uno. 17. Uno a uno. 18. Uno a uno.

19. No es uno a uno. 20. No es uno a uno.

Existencia de la función inversa.

21. No existe la inversa. 22. Existe la inversa. 23. No existe la inversa.

24. No existe la inversa. 25. Existe la inversa. 26. No existe la inversa.

27. Existe la inversa. 28. No existe la inversa. 29. No existe la inversa.

30. No existe la inversa.

Cálculo de la inversa de una función.

31. Tiene inversa, 4

3)(1 x

xf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .


2)(1 x

xf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .

33. Tiene inversa, 33)(1 xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .

34. No tiene inversa, ),(23 , ),(

23 .

35. Tiene inversa, 31 2)( xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .

36. Tiene inversa, 2)( 31 xxf , )( Dom 1 xf , )( Rgo 1 xf .

37. No tiene inversa, )1,( , )0,1( , )1,0( , ),1( .

38. Tiene inversa, x

xxf

3

21)(1

, ),3()3,()( Dom 1 xf ,

),2()2,()( Rgo 1 xf .



39. Tiene inversa, x

xxf

23

14)(1

, ),(),()( Dom

23

231 xf ,

),2()2,()( Rgo 1 xf .


36)(1

x

xxf , ),(),()( Dom

31

311 xf ,

),2()2,()( Rgo 1 xf .

41. No tiene inversa, )3,( , )0,3( , )3,0( , ),3( .


1)(

21

xxf , ),0[)( Dom 1 xf , ),[)( Rgo 3

11 xf .

43. 21 ]2)1[()( 5

3

xxf 44. 3

2

5

3

]2)1[()(1 xxf

45. 3

1

3

1

]2)5[()( 21 xxf 46. 2)1()( 3

121 xxf

47. 31

51

3

5

]1)1[(

1)(1

xxf 48. 31 )1()( 5

1

xxf

49. 3

1)()(

2

32

151

x

xf 50.

33

1 21

98)(

x

xxf

51. 21

21

)2()(1 xxf

55. 1k

60. a) Falso, b) Verdadero, c) Verdadero, d) Falso.

1.2.- FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones trigonométricas.

Equivalencia entre unidades de medición de ángulos.

1. a) rad 31 b) rad

43 c) rad

67 d) rad

65

e) rad 91 f) rad

25 g) rad

125 h) rad

95

i) rad 41 j) rad 3

2 k) rad 34 l) rad 4

5

m) rad 121 n) rad 3 ñ) rad

154 o) rad 90

1

2. a) 45º b) 120º c) 330º d) –90º

e) 90º f) 540º g) –114º36´ h) 15º

i) 30º j) 240º k) 135º l) –900º

m) 19.10º n) –286.48º ñ) 165º o) 11.46º

Evaluación de funciones trigonométricas en ángulos notables.

3. a) 21 b) 2

21 c) 1 d)

21

e) 221 f) 0 g) 0 h) 3

21

i) 221 j) –1 k) 0 l) 3

21

m) 321 n) 0 ñ) 0 o) 3

p) 1 q) –1 r) 1 s) 3



t) 1 u) 1 v) –1 w) 3

2

x) 2 y) 331 z) 1 aa)

3

2

ab) 2 ac) –1 ad) 0

4. a) rad 21 b) rad c) rad

41 d) 0, rad 2

e) rad 23 f) 0, rad 2 g) rad

43 h) rad

21

i) 0, rad , rad 2 j) rad 21 , rad

23 k) 0, rad , rad 2 l) rad

21 , rad

23

m) rad 61 , rad

65 n) rad

32 , rad

34 ñ) rad

41 o) rad

31 , rad

35

p) rad 67 , rad

611 q) rad

31 , rad

35 r) rad

43 , rad

47 s) rad

61 , rad

65

t) rad 45 , rad

47 u) rad

41 , rad

47 v) rad

65 , rad

611 w) rad

31 , rad

34 .

Gráfico de las funciones trigonométricas.

5.-

a) 0 , 2A , 32T , Rf Dom ,

]2,2[ Rgo f

b) 0 , 2A , T , Rf Dom ,

]2,2[ Rgo f

c) 0 , 1A , 2T , Rf Dom ,

]1,1[ Rgo f

d) 0 , 2A , 32T , Rf Dom ,

]3,1[ Rgo f

e) 0 , 1A , 3

2T , Rf Dom ,

]2,0[ Rgo f

f) 0 , 1A , 4T , Rf Dom ,

]4,2[ Rgo f



g) 0 ,

21A , 4T , Rf Dom ,

],[ Rgo 21

21f

h) 0 , 4A , 61T , Rf Dom ,

]4,4[ Rgo f

i) 0 , 5A , 51T , Rf Dom ,

]5,5[ Rgo f

j) 0 , 2A , 38T , Rf Dom ,

]2,2[ Rgo f

k) 0 , 1A , 4T , Rf Dom ,

]1,1[ Rgo f

l) 0 , 21A , 4T , Rf Dom ,

],[ Rgo 21

21f



m) 0 ,

31A , 6T , Rf Dom ,

],[ Rgo 31

31f

n) 21 , 4A , 6T , Rf Dom ,

]4,4[ Rgo f

ñ) 83 , 4A , 3T , Rf Dom ,

]4,4[ Rgo f

o) 81 , 2A , T , Rf Dom ,

]4,0[ Rgo f

p) , 3A , 2T , Rf Dom ,

]3,3[ Rgo f

q) 2 , 4A , 2T , Rf Dom ,

]4,4[ Rgo f

r) 21 , 2A , 3

10T , Rf Dom ,

]2,2[ Rgo f

s) 65 , 2A , 3

10T , Rf Dom ,

]2,2[ Rgo f

t) 2 , 5A , 8T , Rf Dom ,

]5,5[ Rgo f

u) 21 , 12A ,

32T , Rf Dom ,

]12,12[ Rgo f

v) 31 , 2A , 3

2T , Rf Dom ,

]3,1[ Rgo f

Derivadas de las funciones trigonométricas.

7. a) )3(cos3 2x

b) )cossen(

2

3 xxxx

c)

xxx

1sen

11cos d)

)2(sen

)3(cos)2(cos)3(sen)2(sen3

x

xxxx

e) 3

22

3sen

3sen33cos2

x

xx f) 0



g) 0 h) xx tansec3 3

i)

1

1sen

)1(

22 x

x

x j)

)3(cos1

3

x

k) x

x

sen2

cos

l) )32(cos)32(sen18 2222 xxx

m) )12(tan)12(sec12 223 xxx n) )3tan8(sec2 xx

ñ) xx tansec2 2 o) )cot32(cotcsc2 xxx

p)

1

1sen

1

1cos

)1(

6 2

2 x

x

x

x

x q) ])13(cot61[)13(csc4 222 xxxx

r) 22 )sen(

)sen cos2(sen 2

xx

xxxx

s)

3 22 )cos1(3

2sen

x

x

t) 3 22

2

)(cos3

)(sen4

x

x

x u) )sec(tantansec2 222 xxxx

v) )1tan2(tansec3 223 xxx w) )2sen2cos3()4sen 2sen ( 22 xxxx

x) 22434323 tansec4)sen4costan3(sec xxxxxxxxx

y) )]4sen1(sen)cos1(4cos4sen30[)4sen1()cos1(2 5425 xxxxxxx

z) )4(sen)]3(cos1[)6(sen)]2(sen1[9)]2(sen1[

)]3(cos1[ 22

2

2

xxxxx

x

aa) 3 22

22

)sen1(3

)sen119()1(cossen

x

xxx

ab) ]tan4tan)1(2tan[)tan21(2

2sen 3 42

42

2

xxxxxxx

xx

ac) xxx 2sensen)sen2(sen 3

2

3

ad) )]cos2(sen)(cossencos)cos2([sen)2(sen3 223 xxxxx

ae) )](cos[sensen)(coscossen2 222 xxxx

af) )2(sen)(sen)](sen2[sen)]([sensen)]([sensen2sen15 55254545434 xxxxxx



8. a) )2(sec2)3(cos3

)2(sec)3(cos2

2

yxyx

yxyxx

b)

xyxyxyx

yyxyxyx

)(tan)(sec)(sen

)(tan)(sec)(sen

c) xyxyxyx

yyxyxyx

)(tan)(sec)(sen

)(tan)(sec)(sen d)

yxyyxx

yxxyxy222

22

23)(sec

22)(sec

e) yyxy

y

sen cos2sen 2

sen

f) yyxy

yxxx

2sec323

23)(cos222

22

g) 2

22

3

])4(sen6)4(cos[)4(cos23

y

xxxxxx

h) x

y

i)

x

y

j) x

y k)

)(sec)(tan3tansec2

)(sec)(tan34222

22

yxyxyy

yxyxy

l) ])(sec)(tan)([3tansec2

])(sec)(tan)([32222

222

yxyxyxxyy

yxyxyxx

m) x

y n)

)(cos2)(sec63

]1)(cos[3233222

2322

yxyxyyy

yxyx

ñ) )cos()(sen)()(

)cos()(sen)(2 yxyxyxyx

yxyxyx

o))]/(sencossen[sen

)]2/(sencos[cos

2

2

12

212

xxyxyyyyx

yxxyxyyxy

p) yx

yx

sensen21

coscos

q)

yxx

yxxyx

2

)1(sec23

2

2

r) xy

xyxbba

cos2

sen)(cos 22

Aplicaciones de las funciones trigonométricas.

9. marctan ; 8) 2

Funciones trigonométricas inversas.

Evaluación de las funciones trigonométricas inversas.

11. a) rad 61 b) rad 6

1 c) rad 31 d) rad 3

2

e) rad 31 f) rad 3

1 g) rad 61 h) rad 6

1

i) rad 61 j) rad 3

1 k) rad 61 l) rad 6

7



m) rad 31 n) rad 6

1 ñ) rad 31 o) rad 3

1

p) rad 21 q) rad 2

1 r) rad 21 s) rad 2

1

t) 0 u) 0 v) rad w) 0

x) rad y) rad 21 .

Gráfico de las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

20. a) 91 ; 1A ; 3

4T ; ],[Dom 9

4

9

2 f ; ],[Rgo 47

41f ;

])(sen[)(64

31

321 xxf ; ],[Dom

47

411 f ; ],[Rgo 9

4

9

21 f

b) 0 ; 1A ; 6T ; ],[Dom 23

23f ; ]2,0[Rgo f ; )1(sen)( 131 xxf

;

]2,0[Dom 1 f ; ],[Rgo 23

231 f

c) 4 ; 1A ; 8T ; ]6,2[Dom f ; ]1,1[Rgo f ; )sen()( 141

xxf ;

]1,1[Dom 1 f ; ]6,2[Rgo 1 f

d) 21 ; 1A ; 2T ; ],[Dom 22

f ; ]1,1[Rgo f ; 2

11 cos)( xxf ;

]1,1[Dom 1 f ; ],[Rgo 22

1 f

e) 61 ; 1A ; T ; ],[Dom

32

6f ; ]4,2[Rgo f ; ])3([cos)( 3

1

211 xxf ;

]4,2[Dom 1 f ; ],[Rgo3

26

1 f

f) 2 ; 3A ; 4T ; ]4,2[Dom f ; ]5,1[Rgo f ;

3

2cos

2)( 11 x

xf

; ]5,1[Dom 1 f ; ]4,2[Rgo 1 f

21. a)

22

3sen

2

3)(1 x

xf b) )3(sen2 xy

c) )4(sen2 xy d)

2

3cos3

xy

e)

2cos6

xy f) )32(cos4 xy

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

22. a) 24

1

x b)

241

2

x

c) 291

3

x d)

14

12 xx

e) 2

1

xx f) 0

g) 0 h) 21 xx

x



i) 24

2

x j)

1

22

x

k) 2

1

1cos

x

xx

l)

x

x

cos

cos

m) 242 x n) 1

22 x

ñ) 3)4(2 22 xx

x o) 2

1

p) 12

1

xx q)

x

x

sen2

sen

r) 1)23()23(

301022 xx

x s)

241

)21(2

x

x

t) 223 22 21)1(3

2

xx

x

x

x

u)

x

x

3

3

v) 22 xa w) 2)1(1

1

x

x

x) 4

2

2

21

2

2131

91

112

1

)3(sen2

1

)(sen 3)sen(

x

xx

x

xx

x

xxx

y) 212 x z) xba

ba

cos

22

aa) 1

12 x

23. a) 22

22

)(1)(1

)(1)(1

yxyxx

yxyxy

b)

1

121

xx

yy

c) 26243

53323

222

442

yxxyxx

yxyxyxy

Aplicaciones de las funciones trigonométricas inversas.

24. m 12x 25. Se demuestra.

26. pie 10x 27. m 392x

28. m 36x . El ángulo subtendido es 6

max rad.

29. m 62x . El ángulo subtendido es 79560.0max rad.

30. Se demuestra.



31. a)

xx

6arctan

18arctan ; b) 36x m. El ángulo subtendido es

6

max rad.

32. 500 m.

Funciones logarítmicas.

Dominio de las funciones logarítmicas.

33. a) ),(23 b) ),0()1,(

c) ),2()0,2( d) ),()2,(31

Evaluación de las funciones logarítmicas.

34. a) 1.77124; b) 3.32193; c) 8.49586; d) 0.63093; e) 6.10351; f) 1.28510; g) 0.62133; h)

0.43429.

Gráficos de las funciones logarítmicas.

35.

(a)

(b)

(c)

(d)



(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)



(k)

(l)

(m)

Derivadas de las funciones logarítmicas.

36. a) x54

5

b) )54(2

5

x

c) 241

8

x

x

d) 241

4

x

x

e) 4

1

x f)

4

5

x

g) 13

6

x

h) 13

)13(ln6

x

x

i) x2

1

j) )72()35(

)35925(4

72

12

35

202

2

2

xx

xx

x

x

x

k) )4()12(

)12513(2

4

10

12

62

2

2

xx

xx

x

x

x

l) )4(3

22 x

x

m) )43()1(2

)384(32

2

xx

xx

n) )13()52(2

17

xx

ñ) )1()1(3

212

2

xx

xx

o) )2(3

5

3

2

)2(3

1

xxx

p) )(2

32

xax

xa



q) )2()1(6

647

)2(3

2

)1(2

12

2

2

xx

xx

x

x

x

r) )2(csctan2

sec2

xx

x

s) 1ln x t) 2)(ln

1ln

x

x

u)

22

1

ln

1)1(ln

xxx

v) x5cot5

w) x

x)(lnsen

x)

x

xx )(lncot)(lncsc

y) x

xx

)(lncoscot

z) )]2sen([lnsen2cot2 xx

aa) xx ln

1

ab)

xx ln

1

ac) x

x

2

tan

ad) x2sec2

ae) xx

xx

2sen 2cos

2cos22sen 2

af)

11

12

12

1

x

x

x

ag)

xxx 32

11

33

3

ah) 2)1(

)1(ln1

x

x

ai)

xxx

x

xxxxxx

2)ln21(ln21

2sen

)2(senln)2(cos2)2(cos

aj)

1)2(ln)2(ln)2(

12 xxx

ak) x1tan

al) xxxx

122 tan)1(

1

ln1

1

am) ]1)1([ln)1(

1

)1(tan]1)1[(

1212

xxxx

an) )]([secln)(tg6 222 xxx añ) xx 3

2

)(ln

1

ao) xxx

xx

xx 2ln

1)ln2(senln2

2

122

ap) x

xx 32 ])ln1(1[)ln1(8

aq) x

x)(lnln1

ar)

10ln)1(2

1

xx



as) 3ln2

cot

x

x

at) )(ln

)2(ln3ln322

2

x

xy

au) 2ln2ln

1

xx

av) 10lnln

1

xx

aw) 10lnln

1

xx

ax) 3ln)ln(lnln

1

xxx

ay) )log(lnln

1

321 xxx

az) 10ln

)log2(tan)log2(sec2 1010

x

xx

ba) 2ln3ln

)3(lnlog3 2

2

xx

x

bb) 4lnln

)(lnlog4 22

4

xx

x

37. a) )1(ln

xx

yx

b) )1(

)1(

yx

xy

c) )1(

)1(

yxx

yxy d) )6ln2(

42 2

yxx

xyx

e) yx f) 322

3222

2

yxy

yxx

g) x

y h) )ln(

)ln(

yxxyxx

yxyxyy

i) ]1)(ln)1(ln[)1(

])(ln)1([32

32

yxxyxx

yxyxxy

j) )(

)(

yyxx

xyxy

k) yyxyx

xyxyx

2222

2222

l) 2sen cos

)cossen (2

yxyxy

xxy

m) x

xy )(lnsec2 2

n) yyxx 3

2

)ln1()13(cos)13(sen18

ñ) )1(

)1sen(1

2

12

yxyx

yxyy

o) ]1)(ln12[

]1)(ln1[

22

2

yxyx

yxxy

p) )]1(ln1[)1(3 2 xx

y q)

xy

xy

38. i) 4 3)1(4

23

xx

x j)

x

xxxx x

tan

sec)(tanln)(tan

2



k)

xxx x

ln

1)(lnln)(ln

l) xx x 21ln ln32

m)

xxxxxx x 1

lntan3sec 32sec3 3

n) )1(ln 212

xx x

ñ)

1

3ln

3

xx

x

o) x

xx x

cos

]1)tan(ln[cos)(tan 2sen

p) x

xx x ])(lnln[)(ln ln

q) )sen (lncot)sen (2 )sen (ln xxx x

r)

xx

x

xx

xtan

2

)(cosln)(cos

s)

xx

xxx x

ln

)2()(lnln)(ln 2

t)

)1(ln)1(

)1(ln2

1

))1((lnln)]1([ln

22

2)1(ln2

xx

xx

x

xx x

u) )()(2)(ln)()(

)()(22222

22

yxyyxyyxyxyx

yxyyxx

Aplicaciones de las funciones logarítmicas.

39. pie/s )44ln8()3( v , /spie )34ln2()3( 2a

Funciones exponenciales.

Gráficos de las funciones exponenciales.

41.

(a)

(b)



(c)

(d)

(e)

(f)

42.

(a)

(b)



(c)

(d)

(e)

43. a) x b) x

1 c) x2 d) xex e)

2x f) 2y

x

g) x h) 2

1

x i) x j)

x

1 k)

2x l) 2xx

m) xx 2ln2 n) x

Derivadas de las funciones exponenciales.

44. a) 2ln2x b) 5ln52

2xx c) 5ln522xx

d) 323 xex e) f)

g)

h)

i)

j) k)

l)

xe x 2tan secx

ex

2

x

x

2

2ln2ln

x

xx

x

2

ln

ln

2ln)1(ln2

)(lnsen12

)(lnsen

2

)(lnsen122

xx

exx

)32( 33

xexy x )21(1

2 2

4

2

xex

x x

)]4(lncos1[)4(lnsen xe x



m) n)

ñ) o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

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aa) ab)

ac)

ad)

ae)

af)

ag)

ah)

ai) aj)

ak)

al)

am)

)2(sen1

)2(cos)2sen (tan2

2

12

x

xxxe x

)ln43(ln3 34

axa xx

)431()1()1( 32 xxxx eeee )12ln() (2sen 222 cossen xe xx

)1(3

])1(ln)1(1[22

222

x

xxex x

3ln2

)ln4( 2

xx

xxex

3ln2

)1ln(

x

xexe xex

xx

xxe x

ln2

)ln61( 2

32

3

2

])3(ln1[3)1()3(ln8

)1(])3(ln1[ 2232 xex

exex x

x

x

2)1(

3x

x

e

e

222

2

)(

)1(4x

x

ex

exx

xx

x

x

exx

xeex

xe

ln

1)1(

)1(

ln2

1

2 2

2

)ln3(

)lnln3ln(2

xe

xexexxex

xxx

x

x

coth

csch 2

)(cos622 33 xx eex

3log3ctg3 10

xx

5ln

cot3 xe x

1sen

2

2

x

xxx

e

eee

x

x

ex

e

1

x

x

e

e212

2

2

21

2

x

x

e

ex

14

36 xe )(arctan)1(

336

3

xx

x

ee

e

xx

x

ee

e841

4

1)(sen

2

12ln)(cos124 44)(sen 4 xxe ee

x

x

x

ex

e

1

xx e

xex

3ln

1)(logsen 3

)](sen)(sen 4)(cos)(cos3[)(cos)(sen 32 xxxxxxxx eeeeeeee



an)

añ) 2ln22 cos2sen 212

2ln1sen22

3

21

1cos

xxx

x

xxx

x

ao)

ap)

aq) 2ln)1(1

)1(cos)2(2

1211)1(cos 11

x

xxxee

e

eeey

xx

ar)

ex

e

x3

ln3

2

21

as)

at)

au)

av)

aw)

ax)

ay)

az) ba)

bb)

bc)

bd)

be)

bf)

bg)

bh)

bi)

bj)

bk)

bl) bm)

)seccos(

1sen

2

1 2 xxxx eexex

xe

axa xx ln)14(22

2ln)2sec2)(tan2(2 22tan2

xxxxy xx

aln

1

2ln

2 x

3ln

3 2x

x)3(ln

32

1

x

12

x

221 )]sen([cos6 xxy

1

2

12

12sec

4

2

xex

xy

11

222

x

x

x

x

)cot2()sen ln2(3 2 xxxy 3ln

2)(log 2

3xe

e

2ln

1

3ln)1(tan

)1(sec32

2

22

x

xx

)]1(ln1[)1(

2

3ln12222

xx

x

x

x

axxx ln

1

)1(ln)1(2

1

41

4

x

x

121ln2

1

x

x

e

e

xx 2

2

)2(

)ln1(2)ln1(

x

x

ex

xxxxxxe

2

)1(ln4

x

x x

x

x a

aa

a

a

2

ln)1(ln

)1(2

ln

xx 22 sectan3)(tanlntan

]12ln)ln(tan[tan2lnsec22

2tan

xx

xxxx



bn)

bñ)

bo)

bp)

bq)

br)

bs)

bt)

45. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

p)

q)

xx

xx

eeee

841

414

1)sen(3

4)sen(4

3

2

3

1

]tan)(cosln[cos)(cosln10 22224sen 5 2

xxxxex x

)1(ln)1(2

)1(ln32232

2

xx

xxx

exe

eexex

)ln1(

ln44

3

xxex

xx

1lncossen 12)(ln4

2sen

4

5

3

xxxxxx

e x x

xex x 1)(lncos2)(lnsen )(lncos2

)(coslncos)sen (2cossen 2

2

sen

2

3

xxxxx

ex

)(cosln

tan3)(cosln4 x

xxex

xxe y ln

112

12

2

1

y

y

ex

e

x

yex x

2

)14(22

x

xxxx

eyx

eeexyxe

4

44

1)(cos

21)1()(cos1

yx

e x

1

12

xy

ex

ex

4

)2ln22(

)12(

3ln34

xx

eyyx xex

1 yyx

x

eye

e

11

12

2

yxx

yxy

134

313413

xy

exxx

xx

yex x

ln

3ln

y

exaxa xx

8

log4)ln23(ln3 32

yx

yxx

eyx

eyx

)(1

1)4ln4()(

)1cos(

)1cos(sen

sen

yeyx

xexyy

x

)cos(

)(sen sen cos

x

xxx

e

eeyex

yxyyyyy

yx

exeeeee

ey

)(sec)(tan)(sec 2xyye

xyyex

x

costansec2

sen sec2



r)

s)

t)

u) v)

w)

46. a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Funciones hiperbólicas.

Evaluación de las funciones hiperbólicas.

47. a) 0 b) 1 c)

d) e) 0 f) No existe.

g)

h) i)

j)

k) l)

m) n) ñ)

)3(sec3)3(sen 3)3(cos)3(tan)3(sec6

)3(sec62

2

3

3

yyyyyye

yexx

x

2

122

1

)cos2(1

yex

yey

y

x

1)(3ln3)(

1)(

yxy

yx

eyxxyx

eyxy

)2()41(

]2)41([2

2

yx

yx

eyxx

xeyy

)1(

)ln(

yx

yx

ex

yey

)12ln(222ln22

1)43(223

yxx

yxxyy

y

)cotsen ln()sen ( xxex xex

x

xxex xex

tan

sectanln)(tan

2

xxxxex xe x

ln

1)(lnln3)(ln 233

)cotsen (ln2

)sen (xx

x

exxe

x

22

2

2222

21

11

1sen)sen(ln)sen(2

xx

xxexx

ee

eeeex

x

xxxxeeex xxxe x

3sec19

1)3(seclntan3sec)3(sec

12

1333sec1 3

)3(ln)3(

1)3(logln2ln32)3(log 3

32

3

3

xxxx xx

1

ln2)1ln()1(3)1(sec3

2

2ln2tanln22tan

x

xx

x

xxxx xxxx

175.1)( 1

21 ee

175.1)( 1

21 ee

543.1)( 11

21 ee 543.1)( 1

21 ee 9640.0

22

22

ee

ee

9640.022

22

ee

ee45

45

1639.25.05.0

5.05.0

ee

ee1639.2

5.05.0

5.05.0

ee

ee43



o) p)

q)

r) s) t)

u) v) w)

Derivadas de las funciones hiperbólicas.

51. a) b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k) l)

m)

n)

ñ)

o)

p)

q)

r) s)

t)

u) v) w)

x)

52. a) b) c) d)

e) f) 0

g)

h)

i) j)

k) l)

m)

n)

ñ)

o) p)

q) r)

43 2658.0

222

ee2658.0

222

ee

313.11

1

ee

ee5

12 2757.02

22

ee

2757.02

22

ee7616.0

1

1

ee

ee1312

2cosh2 xx )1(cosh2 2xx 32senh3 xx

x3csch 3 2 )1(tanh)1(sech xxxx

1csch

1 2

2

22 )1(

4

x

xx2senh x2coth

xx 3tanh3sech6 2 xx 4tanh4 sech 8 2x

xx

2

sechtanh3 22

xcoth xtanh x2csch2

xcsch xcsch2x

x2senh1

cosh

x2sech 22sech2 xx xe x coshsenh

)1(sech2 22)1(tanh 2

xex x

x

xe x )ln(senh )(lncosh

x

xx

e

ee6

313

1

])(tan[cosh3

xeee xxx cosh)(tanh)(sech senh senh senh 2)senh(cosh2 xx xxcoshxx exxe 2)senh cosh(

xxx eexxe 3

23

21)]2(senh )2(cosh[2

xexxx xsenhcoshsenh cosh

xx tanh)sech( 34

34 )13(coth)13(csch 3)(2 22

52 5

2

xxxxxy

1

1tanh

11sech

12 xxxx xcosh1

1

)5(csch5 xx

x

2

coth

)]3([lntanh2

)3(ln)]3([lnsech333

232

xx

xx

)(tanh

)(sech ])(tanh[ln62

222 22

x

xxx

e

eeex

32222 ))](cos(senh [))(cos(cosh)(sen2 xxxx eeee

)1()(sech 23

23

232 xxeex xcosh

xx exe 44

21

21 2 )(sech)(tanhcos3 sen 2sen 2sen xxx eexe



s)

t) u)

v)

w)

53. a)

54. a) b)

c) d)

Funciones hiperbólicas inversas.

Evaluación de funciones hiperbólicas inversas.

55. a) 0; b) ; e) ; f)

Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.

59. a) b)

c)

d) e) f)

g)

h)

i)

j) k)

l)

m)

n)

ñ)

o) p) q)

r)

60. a) b)

c)

d) e) f)

)(cosh

])(senh )(cos)(cosh)(sen [2 x

xxxxx

e

eeeee

3ln

2coth)2senh (log8 3

3 xxx

ee xx

2

2sech

)(

4

x

x

e

ex

x

2coth

2csch2

1

88

4

xe x 2tan

21 sec

y

x

cosh

sec2

]coth)senh ([ln)senh ( xxxx x ]tanh)(cosh[ln)(cosh xxxx x

x

xxxx x senh

lncoshsenh

x

xxxx x cosh

lnsenh cosh

3ln21 )5(ln 2

121 3lnln 2

131

21

116

42 x 19

32 x 9

12 x

24

2

x 6

2

1

3

x

x

41

2

x

x

2)13(1

3

xxsec

1tan

sec2

2

x

x

xcsc )3(sec3 x )2(sec2 x

x

x2sen91

cos3

x2sec2

xx ee sec

x

x

e

e4

2

1

2

1ln

12 xx 1

33

3

2

2

x

x

e

ex

)](log1[3ln

2

212

3 xx

2

1

1

csc2

xx

xh

4

221

1

)(coth6

x

xx

4

321

1

2)(senh2

x

xxx

x1senh x2senh2 1x

x

x 1

2tanh

1

2



g) h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ) o) p)

q)

r)

61. a) b)

c)

x1tanh

1sech

tanhsech )](sec[tansech2

12

x

xxx

1)13()]13(senh1[

6

1)(cosh

2

)13(senh1

)(cosh222142121

21

xx

x

xx

x

x

x

1)(senh

3421

2

xx

x

ee

e

)](sech[ln)(sech1

221214 xxxx

14 x

xx1senh

12

12

2

xx

xsec52

13

sec

)sen (tanh 1

32

x

e

x222 xba

ba

xe21

1

)()1(

1)(coth4

)(coth

344

21

32

21

32

x

x

exx

exx

)1(2

)1(6)(12

2222

xy

xxyx

xy

yyxy

1

}1cosh])(1{[1

2

122

)11(12

141

24

224

yxyxx

yxyxx



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DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,

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Tema 1. Funciones trascendentes

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