Tema 1 Funciones

Tema 1 Relaciones y funciones

Introduccin al Clculo Superior

Tema 1- Relaciones y funciones

Bibliografa bsica

(AF) Afined. lgebra y Principios del Anlisis, Tomo II. Lumbreras. Cap. 5. (S) Stewart, Clculo de una variable . Cengage Learning Editores. Cap. 1 y 7. (SHE) Salas, Hille y Etgen. Calculus, Volumen I. Revert. Cap 1 y 7. (LHE) Larson, Hostetler y Edwards. Clculo, Volumen I. Cap. 1, 7 y 8.

Introduccin al Clculo Superior


ndice1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin.6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales.

4Introduccin al Clculo Superior

1. Conjuntos (repaso)

En esta seccin se har un breve repaso a la teora elemental deconjuntos. Se realizar a travs de la resolucin de algunosejercicios. Esta seccin servir e introduccin a los conceptos deproducto cartesiano y relacin.

Lecturas bsicas: tu libro de secundaria

Recursos en internet: Wikipedia, monografias.com , ditutor, udea entre muchos otros


1. Conjuntos (repaso)Repaso de algunos smbolos matemticos tiles...

Smbolo Significado= Igual a.

:= Se define como. Es equivalente. Implica que. Si entonces Si y solo s, sii. Equivalencia. O lgico. Y lgico. y No. Negacin. Existe (al menos un). No existe.! Existe un nico.

Smbolo Significado/|:

Tal que.

Pertenece a. Es elemento de{ , , } Enumerando los elementos deun conjunto.:| El conjunto de los elementos tales que Por tanto La funcin mapea Para todo.

\ menos, sin. Es subconjunto dems smbolos


1. Conjuntos (repaso)Recordatorio.

Conjunto: agrupacin de objetos elementos- (en este tema nos interesan elementos que pertenezcan a lo nmeros reales )

Conjunto A:{2,4,5,7,12.3,23}

2

5

4

12.37

Conjunto B:{1,8,13,17,23,102}

1

813

17

102

Ejercicios. Define los conjuntos ; B; ; ; #Verdadero o Falso: ; ; B # ; % &'()*+,'; \A # ;A=B

2323


Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,13,17,23,102}

1: 0 0 0 # ?2: 0 0 0 # ?3: : cardinal nmero de elementos- |A|=?4: card( ): cardinal del conjunto ( ) card( )=?5:#: cardinal # #?6: Sea A={1,1,1,3,3,5,5} y B={5,3,1}. A=B?

Algunos ejercicios:

Realiza los diagramas de Venn de las cuestiones 1 y 2.



Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,513,17,23,102}

1: 3 4 0, 0 0 es ?2: ; es ?3: B # es ?4: % &'()*+,' 0 0 % &'()*+,' es ?5: \A 7 . 0 \A 0 30 4. \A # es ?6: # 0, 0 0 . # es ?

Verdadero o Falso?

Ilustra con diagramas de Venn las cuestiones 1 a 5



Cuestiones adicionales:Para dos conjuntos A y B cualesquiera, calcula :

(A B) (A \ B) = ?(A B) (A \ B) = ?(A B) 3\A4 = ?

1.1- Conjuntos (repaso)


Definicin:

2. Producto cartesiano

Par ordenado : es un par de objetos matemticos ordenados, de tal manera quese distingue el primer elemento y el segundo elemento. Si el primerelemento es a y el segundo es b, el par ordenado se denota como(a,b). El par ordenado queda definido por sus elementos y el orden.Esta definicin se puede extender a ms de dos elementos.

(a,b)Primer elemento o componente

Segundo elemento o componente

1-El conjunto {a,b} es igual al {b,a}?2-El par ordenado (a,b) es igual al (b,a)?3-Cundo (a,b) ser idntico a (c,d)?

Ejercicios:4-Y el conjunto {a,b} al conjunto {c,d}?5-El trio ordenado (a,b,c) es igual al (b,c,a)?6-El conjunto {a,b} es igual al par ordenado

(a,b)?


2. Producto cartesiano

Producto cartesiano de dos conjuntos A y B: Es el conjunto formado portodos los pares ordenados que puedan formarse tomando la primeracomponente de A y la segunda de B. Se denota por : . Estadefinicin se puede extender a ms de dos conjuntos.

Verdadero o falso?1- 0, % : 0 % .2- 0, % : 0 % .3- : = A # # .

Ejemplo: Sea A={1,3,4} y B={1,5}. Entonces : ={(1,1),(1,5),(3,1),(3,5),(4,5),(4,1)}

Ejercicios: 1. Cmo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?

2. Demostrar que 3 : 43; : 30;4.


3. Plano cartesiano

Sea el conjunto de los nmeros reales. Entonces: # 0, % 0 % ?

Por lo que el producto cartesiano : es el conjunto de todas las parejasde nmeros reales. Su representacin geomtrica es el planocartesiano llamado tambin plano numrico, geomtrico, plano eucldeo oeuclideano (por cumplirse los 5 axiomas de Euclides) .

P(x,y)

x

y

Se establece una relacin biunvoca entre ? y el conjunto de los puntos delplano cartesiano, asocindose de esta forma el par ordenado (x, y) con el puntoP(x,y).


P(x,y)

x

y

3. Plano cartesiano

El plano cartesiano, tambin llamado eucldeo oeuclideano, es un sistema de referencia formado pordos rectas perpendiculares que se cortan en el origen(0,0) para representar puntos en dos dimensiones.

Cada punto de este plano representa un parordenado, y puede etiquetarse mediante dos nmeros:(x, y), que son sus coordenadas cartesianas,llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, y queson las distancias ortogonales de dicho punto respectoa los ejes cartesianos.

(0,0)

La ecuacin del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0. Se denomina eje de lasabscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacioen cuatro cuadrantes donde los signos de las coordenadas alternan de positivo anegativo .Para localizar las abscisas, se contarn las unidades correspondientes en direccinderecha, si son positivas y en direccin izquierda, si son negativas. Y luego, desde dondese localiz el valor de x, se localiza la ordenada contando las unidades correspondienteshacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo, en caso de ser negativas. De estamanera se localiza cualquier punto dada las coordenadas cartesianas.

(http://www.definicionabc.com)


3. Plano cartesiano

Ejercicios:

1. Sea el conjunto # 1,2,3,4.Calcula y grafica el producto cartesiano : .2. Sea B=C, el conjunto de los nmeros naturales. Grafica : y : .3. Sea C=D el conjunto de los nmeros reales positivos. Grafica : ;.4. Grafica ; : ;.5. Sean los conjuntos A = 0/0 10 G 1 } , y B = . Realiza el

grfico cartesiano de : .


ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones.

4.1 Definicin4.2 Representacin grfica

5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales


4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos

Definicin:

Relacin matemtica Una relacin H de los conjuntos I, ?, , K es unsubconjunto de su producto cartesiano. Es decir,

L 3MN : MO :: MQ4En el caso de relacin entre dos conjuntos , se denomina tambin relacinbinaria o correspondencia

L 3M : R4 (Relacin binaria heterognea)L 3M : M4 (Relacin binaria homognea)Como el producto cartesiano no es conmutativo, no es lo mismo la relacin entre A y B que entre B y A. Por tanto, se puede tambin decir que L es una relacin de A a B, hacia B o sobre B:

L:M R S HR aLb a, b L


A={1,2,3,4}B={2,7,8} : #{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}

Se pueden construir muchas relaciones (cuntas?). Por ejemplo:HI # , V : W V ={(3,2),(4,2)}

La regla que se utiliza para definir la relacin, es decir, para seleccionar los pares ordenados del producto cartesiano, se denomina Regla de Correspondencia.

La Regla de Correspondencia se puede expresar:

Mediante una expresin algebraica, que puede ser una ecuacin, inecuacin o un sistema de ecuaciones simultneas.

Mediante una tabla que representa los pares ordenados de H. Mediante alguna representacin grfica (grfico sagital, plano cartesiano)

Ejemplo 1



Ejemplo 1

A={1,2,3,4}B={2,7,8} 0 #{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7)

,(4,8)}Se pueden construir muchas relaciones (cuntas?). Por ejemplo:

HI # , V : W V ={(3,2),(4,2)}A B

1234

2

7

8Conjunto de partida o inicial

Conjunto de llegada o final

HI

Esta representacin se denomina diagrama o grfico sagital



HI # a, b : W V ={(3,2),(4,2)}A B

1234

2

7

8

HI

A los elementos del conjunto de

llegada que definen la relacin se les

denomina RANGO o conjunto IMAGEN

A los elementos del conjunto de

partida que definen la relacin se les

denomina DOMINIOo conjunto ORIGEN DomHI # , V HI}RangHI # V , V HI}

Ejemplo 1

Extensin de una relacin: Dominio y Rango



Ejemplo 2

A=B= : # :

Un estudiante de la UDEP, a fin de investigar la RELACIN entre el aumento depeso y la edad de un pavo del campus de Piura, lo va pesando cada mes, desdeque nace hasta el momento de su total desarrollo, que se produce cuando abresus plumas por primera vez. Obtiene la siguiente tabla:

Edad en meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Kg 0.1 0.6 2.1 4.0 6.2 8.4 10.6 12.2 14.6

H? A : :H?={(0,0.1);(1,0.6);(2,2.1); (3,4.0);(4,6.2);(5,8.4);(6,10.6);(7,12.2);(8,14.6)}

NOTA: para evitar confusiones se ha empleado el punto como separador decimal, tambin se podra haber sustituido la coma del separador del par ( , ) por ( ; )

H? # , V : eslaedaddelpavo Vessupeso



Ejemplo 2 Un estudiante de la UDEP, a fin de investigar la RELACIN entre el aumento depeso y la edad de un pavo del campus de Piura, lo va pesando cada mes, desdeque nace hasta el momento de su total desarrollo, que se produce cuando abresus plumas por primera vez. Obtiene la siguiente tabla:

Edad en meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Kg 0.1 0.6 2.1 4.0 6.2 8.4 10.6 12.2 14.6

Podemos representar la relacin en el plano cartesiano (Cul sera la de : ?)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5

0

5

10

15



En general, para graficar una relacin en el plano cartesiano es til seguir los siguientes pasos:

1. Definir la extensin de la relacin en el plan cartesiano: dominio y rango2. Analizar el comportamiento en los extremos, cuando x e y van hacia infinito. As

podemos tambin encontrar asntotas (una asntota es una recta a la que la funcin se acerca pero no llega a alcanzar, no la corta nunca). Las asntotas tambin suelen aparecer cuando hay un denominador que puede anularse.

3. Identificar la interseccin con los ejes. Imponiendo y = 0, o x=0, se encuentra las intersecciones con el eje X, o el Y, respectivamente.

4. Analizar simetras, que faciliten la representacin. Para encontrar la simetra con el eje X, se reemplaza y por -y y se comprueba si la relacin de correspondencia cambia. Igualmente, la simetra con el eje Y se analiza cambiando x por -x. Para encontrar la simetra respecto al origen, se reemplaza x por -x e -y por y .

5. Tabulacin: asignamos valores a x dentro del dominio de la relacin para encontrar los respectivos valores de y y ubicarlos en el plano.

X

Y (x, y)

(x, -y) X

(x, y)

Y(-x, y)

X

Y (x, y)

(-x, -y)

Simetra con el origenSimetra con el eje X Simetra con el eje Y

4. Relaciones/4.2 Representacin grfica


Ejemplo 1: Sean 0, % y sea la regla de correspondencia % # 10 7 1Graficar la relacin.

Otra forma, ms matemtica, de definir esta relacin es:e # 0, % : 0, % ? % # 0 7 1 fIPaso 1: Dominio y Rango.

DomHI # 0 0 g 1}RangHI # y % g 0

% # 10 7 1 0 # 1% > 10 g 1 % g 0

Solucin:




% # 10 7 10 # 1% > 1

Si 0 % 0DSi 0 7 % 0f

Paso 2: comportamiento en los extremos

Si y 0 1DSi y 7 % 1f

Solucin:




% # 10 7 10 # 1% > 1Si 0 # 0 % # 71Paso 3: interseccin con los ejes

Si % # 0 0 # >Paso 4: simetras. No tienePaso 5: asignamos algunos valores

X y

Solucin:



Usando WinPlot

Informacin complementaria sobre WinPlot: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Se trata de una ecuacin explcita (la y est despejada)



Usando WinPlot



Ejemplo 2: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? % # 0/ 0 7 1 .

Solucin:



Ejemplo 3: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% # 12}.

X

Y

4

3

R A cada0le corresponde una sola %Se puede denotar por % # e304R(0)=3

La ecuacin es implcita (no est despejada la y)

Con WinPlot

Solucin:



Ejemplo 4: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% k 12}.

X

Y

4

3

R

Tenemos una inecuacin implcita.A cada x le corresponden ms de un valor de y (infinitos).

Solucin:




Con WinPlot, a partir del grfico del Ejemplo 3:Solucin:




Con WinPlot, a partir del grfico del Ejemplo 3:

4 3 2 1 1 2 3 4

3

2

1

1

2

3

x

y

Solucin:



Ejemplo 5: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0?% 7 0 7 4% # 0.

Solucin:



Ejemplo 6: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 2% > 6 W 0}.

Ejemplo 7: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 20 > 5% > 10 G 0}.

Solucin:

Solucin:



Ejemplo 8: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0 > 2% # 4 20 > 3% # 7}.

Tenemos dos ecuaciones simultaneas que se deben cumplir. Su solucin es x=2, y=1, por lo que R es slo el punto (2,1)

Ejemplo 9: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.

Para poder hacer la figura de la derecha con winplot tenemos que utilizar ecuaciones explcitas

Solucin:

Solucin:



Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.

0? > %? k 1 % k m 1 7 0?Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas % # 1 7 0?% # 7 1 7 0?

Solucin: (cont.)




0? > %? k 1 % k m 1 7 0?Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas % # 1 7 0?% # 7 1 7 0?

Aadimos la tercera ecuacin explcita % # 0?

Solucin: (cont.)




Cmo lo he obtenido?



Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}. Solucin: (cont.)



Ejemplo 10: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 7 4% > 1 k 3}.

La regla de correspondencia equivale a: 73 k 330 7 4% > 14 k 3Puede interpretare como dos inecuaciones simultneas:

30 7 4% > 4 W 030 7 4% 7 2 k 0

Solucin:



5. Funciones. Definicin

Definicin de funcin:

Dados dos conjuntos n e o, una funcin (o aplicacin, o mapeo) es una asociacin f que a cada elemento del conjunto X le asigna un nico elemento del conjunto Y.

Se denota por p: n oo 0 % # p 0% # p304es lo que ya conocemos como regla de correspondencia.Una funcin es un caso particular de relacin, en la que los primeros elementos de los pares ordenados 30, %4estn formados por todos los elementos de n, y donde a cada primer elemento slo se le asigna un elemento del conjunto o. X Y

1234

2

7

8

Esta relacin no es una funcin, pues hay elementos de X sin imagen

XY

1234

2

7

8

Esta relacin s es un funcin. Todos los elementos de X tienen una, y slo una, imagen.


De forma algo ms formal, una funcin es: q # 3r, s4|r t! s uVerdadero o falso? f es un conjunto (x,f(x)) es un par ordenado de n : Y La regla de correspondencia se denota por f(x) p 0I # p 0? 0I # 0?

En este curso nos interesan principalmente las funciones sobre valores reales, donde n : o ?. Se denomina funcin real en variable real. Se pueden as representar grficamente en el plano cartesiano.

X

Y=f(x) P(x,f(x))El lugar geomtrico* de los puntos P(x,f(x)) recibe el nombre de Grfico de f , Gr(f).

Gr(p4 # w30, %4|% # p 0 Gr p # 0, % % # p 0 ? ?

*Lugar geomtrico=figura geomtrica=representacin de un conjunto de puntos que cumplen cierta propiedad



A B1234

2

7

8

Decir si corresponden o no a funciones las siguientes representaciones

A B1234

2

7

8

A B1234

2

7

8

1 2 3

4 5 6

test de la vertical



X Y1234

2

7

8

Una funcin es un caso particular de relacin. Tiene los mismos componentes. Se suele emplear la letra X para el conjunto origen (o conjunto de partida) y la letra Y para el imagen (o de llegada)

El Dominio de f es elconjunto X.A X tambin se le suele denotar como variable independiente, o argumento de la funcin f(x)

Dom f# 0 nRang f# p304 o 0 nGr(f)=30, p 0 4|0 Dom f}

El Rango, o recorrido, o codominio, de f son slo los elementos de Y que son imgenes de algn elemento de X. A Y tambin se le suele denotar como variable dependiente.

Nota: cuando no se especifica el dominio, se asume que es el conjunto de nmeros reales para los que est definida f(x).



Ejemplo: Halla el rango y el dominio de la funcin p 0 # 40 7 15 7 0

Calcular el dominio equivale a hallar los valor de x para los que est definida la funcin en . En este caso es5 7 0 W 0 0 k 5 Dom p # 37, 54

El rango es la imagen de f(x),es decir, su variacin al recorrer x.

Si 0 5 p 0 Si0 7 p 0 # 7

Solucin:



Ejemplo: Halla el rango de la funcin real p 0 # 3 7 5 > 0?; 0 374; 2x

El dominio es claramente (-4;2]. En ese intervalo, la variacin de f(x) se puede calcular fcilmente de la siguiente manera:

74 k 0 G 2 0 G 0? k 16G 5 > 0? k 21 5 G 5 > 0? k 21 7 21 k 7 5 > 0? G 7 5 3 7 21 k 3 7 5 > 0? G 3 7 5 71.58 k % G 0.76

Solucin:



Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente funcin p 0 # 0 > 10? > 0 7 6Para que f(x) sea un nmero real se debe cumplir que 0? > 0 7 6 g 0. Las races de esa ecuacin son x=-3 y x=2. Por tanto, el dominio es0 7,73 73,2 32,4

p 0 # 0? > 0 7 6 p 0 # 0 > 10? > 0 7 6

Solucin:



Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente funcin

Ahora se necesita que 4 7 0? z 0 y que 0 7 1 g 0 . lo que lleva a 0 G 2 y 0 g 1.Por tanto el dominio es 72,1 31,2x

p 0 # 4 7 0?0 7 1Solucin:



X Y1234

2

7

8

Si a cada valor del rango de p le corresponde slo un elemento de su dominio, la funcin se llama inyectiva, univalente o monovalente.

NO es inyectiva, por que los elementos 1,2 y 4 en X tienen la misma imagen (sera una funcin polivalente o multivalente)

X Y1234

12 4 6 8910

S es inyectiva. Los elementos de X tiene una y slo una imagen.

S es inyectiva No es inyectiva



X Y1234

2

7

8

Una funcin es sobreyectiva, o suprayectiva, o exhaustiva cuando cada elemento de Y es la imagen de como mnimo un elemento de X.

NO es suprayectiva, pues el elemento 2 en Y no es imagen de ningn elemento en X.(tampoco e inyectiva)

S es suprayectiva con % No es suprayectiva para % , pues y


Una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysuprayectiva (univalente y exhaustiva). Todos los elementos de Y sonimagen de un solo elemento de X. A cada elemento del conjunto dellegada le corresponde slo un elemento del conjunto de salida.

X Y1234

12 4 6




Ms formalmente:

Inyectiva: , V np # p V # VSobreyectiva: % Y 0 n|p 0 # %Biyectiva: % Y ! 0 n|p 0 # %


Ejemplo: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcinp 0 # 0 > 30 > 2 ; 0 7 72

Solucin:Para analizar la inyectividad debemos comprobar que p 0I # p 0? 0I # 0?0I > 30I > 2 # 0? > 30? > 2 1 > 10I > 2 # 1 > 10? > 2 0I > 2 # 0? > 2 0I # 0?

Es inyectiva

La funcin tiene una asntota en % # 1, por lo queno puede tomar ese valor. No existe un 0 tal quep304 # 1. No es por tanto sobreyectiva


% # 0 > 30 > 2 %0 7 2% # 0 > 3 0 % 7 1 # 3 > 2% 0 # 3 > 2%% 7 1


Ejemplo: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcin p:C CSolucin:

Al estar definida en C? va a ser inyectiva, pues al excluirse valores negativos se comprueba que 0I? # 0?? 0I # 0? 0I # 0?. (Ntese que si fuese definida en ?no sera inyectiva, pues el mismo valor de p 0 se puede conseguir con0 y con 70.

p 0 # 0?

No es sobreyectiva en C? pues hay valores del conjunto de llegada que no pueden obtenerse, como el 3,5,7,8. Y en ??



Problemas: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguientes funciones

(b) p 0 # 75 7 0 > 4; 0 74; 0(c) p 0 # 20; 0 C(a) p 0 # 0?; 0 D

(d) p 0 # 60 > 9; 0



ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales


6. Forma explicita, implcita y paramtrica

Forma implcita vs explcita

Lo habitual es expresar la regla de correspondencia en la forma y=f(x). Por ejemplo % # p 0 # 30 > 2 . Esta forma se denomina explcita, pues queda clara (explcita) la relacin entre x e y. La y est despejada.

En este contexto, a x se le denomina variable independiente, o argumentode la funcin. A y se le denomina tambin variable dependiente.

Forma explcita

Forma implcita

De forma alternativa, y bajo ciertas condiciones (Teorema de la funcin implcita*) se podra expresar la regla de correspondencia como una ecuacin F(x,y)=0. Por ejemplo } 0, % # 30 7 % > 2 # 0. En este caso, la relacin entre x e y est implcita, pues la y no est despejada. No toda funcin explcita se puede reescribir en forma implcita. Cuando la regla de correspondencia de una funcin no puede expresarse de forma explcita, se denomina funcin implcita (no confundir con forma implcita)

* El Teorema de la funcin implcita no forma parte del temario de este captulo. Se menciona slo como observacin.


Forma paramtrica vs forma cartesianaEn ocasiones es conveniente expresar los elementos de una funcin (x, y) en funcin de una tercera variable llamada parmetro (por ejemplo t )

Estas ltimas sera la forma paramtrica de la funcin. Si logramos relacionar x con y eliminando la presencia de t obtendremos la representacin clsica o cartesiana.

Una posible representacin paramtrica: 0 # 2+ > 5% # 3+ > 5Operando, tenemos:

0 # 2+ > 5 + # 30 7 54/2% # 3+ > 5 # 32 0 7 5 > 102 # 30 7 52

Representacin explcita :} 0, % # 30 7 2% 7 5 # 0 % # p 0 # ~f? (rep. implcita)

Las tres representaciones: explcita, implcita, paramtrica, son equivalentes.

Ejemplo:

(puede haber muchas)t es ahora la v. independiente



Ejemplo: Sea la funcin p: n o formada por las ecuaciones paramtricas0 # +? 7 4% # +2 ,con 0 G + G 4.Escribir la funcin en forma explcita e implcita. Haz el grfico.

Operando tenemos que + # 2% 0 # 4%? 7 4La ecuacin implcita sera F x, y # 4%? 7 0 7 4 # 0.Si no restringimos el rango y dominio, esta ecuacin F(x,y) no representa una funcin (ver figura).

Vemos que no hemos utilizado an0 G + G 4

Solucin:

continua



Como 0 G + G 4 0 G ? G 4 Rangp: 0 G % G 4 Slo utilizamos la parte positiva del eje YEn la variable x tenemos 0 # +? 7 4

Como 0 G + G 4 0 G +? G 16 74 G +? 7 4 G 12 Domp:74 G 0 G 12El grfico de } 0, % # 4%? 7 0 7 4 # 0, con estas restricciones de Dominio y Rango, queda:

continua



4%? 7 0 7 4 # 0 4%? # 0 > 4 % # m12 0 > 4Veamos ahora la funcin explcita

Como tenemos las restricciones de dominio y rangoRangp: 0 G % G 4Domp:74 G 0 G 12

Con ellas vemos que se cumple la restriccin, para que % , que 0 > 4 z 0 0 z 74. Por tanto la forma explcita de la funcin es p 0 # 12 0 > 4, 0 74; 12x

continua



Tenemos en este caso, tres formas equivalentes de representar esta funcin:

Explcita:

p # 30, %4|% # I? 0 > 4 0 74; 12x p 0 # I? 0 > 4; 0 74; 12xImplcita: p # 30, %4|4%? 7 0 7 4 # 0 % 0; 4x

Paramtrica:

0 # +? 7 4,% # +2 ,con 0 G + G 4.



Ejemplo: Sea la relacin e # 0, % ? 0? > %? # 1a) Es una funcin?b) Cuantas funciones podramos obtener basndonos en esa relacin?c) Haya la funcin explcita que, basada en dicha relacin, cumpla que 0, % z 0

a) No es funcin. Para que lo fuese cada valor de x debera tener slo un valor f(x). En este caso, al ser la ec. de la circunferencia, cada x tiene dos valores de y

b) Infinitas. Cualquier arco de circunferencia que para cada x tuviese slo un valor de y.

c) Operando, y puesto que necesitamos que y>0, resulta % # 1 7 0?. La funcin esp 0 # 1 7 0?; 0 z 0.

Solucin:



ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones

7.1 Monotona7.2 Acotacin7.3 Periodicidad7.4 Simetras7.5 Funciones por tramos

8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales


7.1 Monotona.

Funcin montona creciente (estrictamente creciente)Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I W p 0?

Funcin montona no decreciente (creciente dbil)

Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I z p 0?

Funcin montona decreciente (estrictamente decreciente)Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I k p 0?

Funcin montona no cecreciente (decreciente dbil)

Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I G p 0?


7.1 Monotona.

Aunque una funcin no sea montona, se suele describir su carcter creciente o decreciente por intervalos

Describe la monotona de esta funcin en cada intervalo


7.2 Acotacin

Una funcin f es acotada cuando el valor absoluto de la funcin es menor que cierto nmero real fijo. Otra definicin algo ms formal es

f acotada 0 DompM D| p 0 k MLa funcin puede tener slo cota superior o inferior (seran, entonces, no acotados)


Una funcin es peridica si los valores de la funcin se repiten conforme se aade a la variable independiente un determinado periodo, quedandop 0 # p 0 > w 0 Domp

Donde P>0 es el periodo. Si se repite cada P periodos hay F=1/P ciclos por periodo.

Algunos grficos sacados de internet

7.3 Periodicidad


7.4 Simetras (paridad)Algunas funciones muestran un comportamiento simtrico respecto a losejes. Esta simetra se denomina paridad. Las funciones puedenser pares, impares o no tener paridad.

Funcin parUna funcin es par si p 70 # p 0 , con0, 70 Domp.De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al eje Y.

Funcin imparUna funcin es impar si p 70 # 7p 0 con 0, 70 Domp.De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al origen.

Cmo sera una funcin que fuese simtrica respecto al eje X?Puede una funcin ser par e impar al mismo tiempo?

370, p 70 4

70

30, p 0 40

370, p 70 40

7030, p 0 4

30, 7p 0 4


Ejemplo: Determinar la paridad de las siguientes funciones definidas en

e4p 0 # 05 > |0|a4 p 0 # 2 0 > 0?

b4 p 0 # 0? > 1 fI

c4 p 0 # 0~

4p 0 #0

5 > 0

a) p 70 # 2 70 > 70 ? # 2|0| > 0? luego es par

b) p 70 # 70 ? > 1 fI # 0? > 1 fI luego es par

c) p 70 # 70 ~ # 70~ # 7p304 luego es impar

d4p 70 #f

fg 7p 0 ytambin g p 70 ,no tiene paridad

e) p 70 # fD|f|

# 7

D # 7p304, luego es impar

Solucin:

7.4 Simetras (paridad)


Una funcin puede tener diferentes reglas de correspondencia en diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se les denomina por tramos o a trozos (piecewise definedfunction). Esta funcin por tramos puede interpretarse como la unin de funciones de dominios que no se solapan.

Ejemplo:

p 0 # 1 7 0si0 G 10?si0 W 1Evala p304, p314yp324y dibuja el grfico de la siguiente funcin

Para 0=0, se tiene que la funcin es p 0 # 1 7 0 p 0 # 1Para 0=1, se tiene que la funcin es p 0 # 1 7 0 p 1 # 0Para 0=2, se tiene que la funcin es p 0 # 0? p 2 # 4

Solucin:

7.5 Funcin definida por tramos


Ejemplo: Encuentra la regla de correspondencia para la funcin del siguiente grfico

Solucin:

p 0 # 170?, 0 k 10 7 1, 1 G 0 k 21, 0 z 2

7.5 Funcin definida por tramos


ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones

8.1 Funcin inversa8.2 lgebra de funciones8.3 Transformacin de una funcin8.4 Composicin de funciones

9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales


Dada una funcin p biyectiva se define su funcin inversa o recproca, que denotaremos por p la que cumple que% # p 0 0 # p % , 0 Domp

Se tiene entonces que:

Domp # Rangp # 0Rangp # Domp # %Para el clculo de la funcin inversa tenemos que:

1. Comprobar que f es biyectiva.2. Despejar 0 0 # %3. Cambiar la notacin y se reemplaza % por 0 , y se denota p.

Nota: es preferible la notacin q a la notacin qfN,pues sta puede ser confundida con la inversa de afuncin q; es decir, 1/q . No hay que confundir la funcin inversa con la inversa de la funcin.

Las grficas que representan f y f* son simtricas con relacin a la primera diagonal, es decir, la recta y = x. Esta propiedad puede verse intuitivamente pues: p 0 # 0I, %I , 0?, %? , 0~, %~ , p # %I, 0I , %?, 0? , %~, 0~ ,

8.1 Funcin inversa


Ejemplo: Calcular la funcin inversa de p 0 # 20 y la inversa de la funcin, definida en ?.

La funcin es biyectiva, como puede comprobarse en el grfico (lnea roja). Puede entonces calcularse la funcin inversa. Despejando x:

Solucin:

0 # %2 p 0 # 02Que en la figura es la lnea azul.Por otra parte, la inversa de la funcin f ser

0 # 1p304 # 120 ,que es la lnea verde.

8.1 Funcin inversa


y=x

8.1 Funcin inversa


Ejemplo: Calcula la funcin inversa de f(x), si existe.

Solucin:

p 0 # 0 > 30 > 2

Calculamos dominio y rango:

Domp: 0 > 30 > 2 z 0 0 37;73x 372;4Rangp: 0; 1 31;4En ese dominio y rango hay biyectividad.

% # 0 > 30 > 2 0 # 72 > 1%? 7 1

p 0 # 3 7 20?0? 7 1 ; 0 D 7 1

8.1 Funcin inversa


y=x

8.1 Funcin inversa


Problemas Calcula y grafica la funcin inversa de las siguientes funciones, si existe. p 0 # 75 7 0 > 4; 0 74; 0V p 0 # 0? 7 20; 0 1; 3 p 0 # 0?; 0 D p 0 # 30 > 1; 0 0,2 p 0 # 3 7 0~; 0 72; 2p p 0 # 0 > 0~

8.1 Funcin inversa


Se denomina lgebra de funciones al conjunto de relaciones uoperaciones entre dos o ms funciones. Si dos funciones p 0 y 0 estndefinidas en , entonces es posible hacer operaciones numricas reales comola suma, resta, multiplicacin y divisin (cociente) con ellas.

SUMA DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, la suma f+g se define como

p > : p > 0 # p 0 > 0 ; 0 Dom3p > 4Dom3p > 4 # Domf DomgDadas las funciones f={(2,4),(3,1),(4,8),(9,4)} y g={(1,2),(2,4),(9,3)}, halle f+gEjemplo:

Los dominios son: 4 # 8, 3p > 439)=4+3=7. Por tantop > # 32,84, 39,74

8.2 lgebra de funciones


Ejemplo: Dadas las funciones p 0 # 0 > 3 y 0 # 5 7 0 7 2(a) Halla el dominio de cada una de ellas(b) Determina el dominio de p > .(c) Especifica 3p > 4304

Solucin:

3a4Domp # 73; ; Dom # 37; 5x3b4Dom p > # Domp Dom # 73,5x3c4 p > 0 # 0 > 3 > 5 7 0 7 2



SUSTRACCIN DE FUNCIONESDadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, se define la funcin diferencia como

Seanp 0 # 0~ 7 50 > 7; 0 374; 2x y 0 # 20? > 70 7 9; 0 73; Halla 3p 7 4304

Ejemplo:

p 7 0 # p 0 7 0 ; conDom p 7 # Domp Dom

Solucin: Dom p 7 # 373,2xp 7 0 # 0~ 7 20? 7 120 > 16



MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FUNCIONESDadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, se define el productop y la divisin p/ como C

Ejemplo:

conDom p # Domp Dom%Dom p/ # Domp Dom 0 g 0Dadas las funciones p 0 # 0? 7 5; 0 72,1 y 0 # 0? 7 3calcula (a)p (b)

Solucin:3p 4 0 # 30? 7 5430? 7 34p 304 # 0? 7 50? 7 3 # 1 7 20? 7 3

Dom3p 4 # 72,1Dom3p/4 # 72,1 -{ 3

p 0 # p 0 0 ; 3f/g4 0 # p304/ 0



Mediante transformaciones simples podemos obtener funciones ms complejas a partir de funciones simples.Mediante la adicin de constantes podemos conseguir trasladar el grfico.

Traslacin en el eje XLa transformacin 0 # p 0 > permite desplazar la funcin en horizontal.Si W0, se traslada hacia la izquierda. Si k 0 se traslada hacia la derecha.p 0 > # 30 > 4?; # 72,0,2 p 0 > # 0 > sin30 > 4; # 0,1

8.3 Transformacin de una funcin


Traslacin en el eje YLa transformacin 0 # p 0 > permite desplazar la funcin en vertical.Si W0, se traslada hacia arriba. Si k 0 se traslada hacia abajo.p 0 > 0 # 0? > ; # 72,0,2 p 0 > # 0 sin 0 > # 0,2



Mediante la multiplicacin de contantes W 1 podemos comprimir o expandir el grficoComprime/expande horizontalmente

La transformacin p 0 comprime horizontalmente por un factor c. La transformacin p 0/ expande horizontalmente por un factor c.

p 0 # 304?; # 1,2,0.5 p 0 # 0 sin304 ; # 1,2



Comprime/expande verticalmente

La transformacin p 0 expande verticalmente por un factor c La transformacin 31 4p 0 comprime verticalmente por un factor c

p 0 # 0?; # 1,2,0.5 p 0 # 0 sin304 ; # 1,2



Comprime/expande verticalmente

La transformacin p 0 expande verticalmente por un factor c La transformacin 31 4p 0 comprime verticalmente por un factor c



Podemos conseguir una imagen reflejada segn un eje multiplicando por (-1)

El grfico de 7p 0 es un reflejo de la funcin en el eje X El grfico de p3704es un reflejo de la funcin en el eje Y



La composicin es una operacin entre dos (o ms) funciones que consiste en aplicar una funcin al resultado (imagen) de la otra, es decir aplicar p33044. Se denota p (p compuesta con )

La composicin es por tanto la funcin p 0 # p3 0 4El dominio de esta nueva funcin ser aquel en el que 0 y p3304 estn definidas

Ejemplo: Si p 0 # 0? y 0 # 0 7 3, encuentra las funciones p y p .Solucin: p 0 # p 0 # p 0 7 3 # 0 7 3 ? p 0 # p 0 # 0? # 0? 7 3

8.4 Composicin de funciones


Ejemplo:

Solucin:

Si p 0 # 0y 0 # 2 7 0 encuentra p V p p p

p 0 # p3 2 7 0)= 2 7 0El dominio es 2 7 0 z 0 0 G 2

V p 0 # 0 # 2 7 0Para que p304 est definida su dominio debe ser 0 z 0. Para que pest definida su dominio debe ser 2 7 0 z 0 0 G 2. Por tanto el dominio es [0,4]

p p 304 # 0 ; 0 0,4 0 # 2 7 2 7 0;0 72,2x



Ejemplo:

Solucin:

Encuentra la composicin p dondep 0 # DI ; 0 # 0I; 0 # 0 > 3

p 0 # p3 0 # p3 0 > 3 # p 0 > 3 I# 0 > 3 I0 > 3 I > 1 ; 0



Ejemplo:

Solucin:

Transforma la siguiente funcin en una composicin de funciones ms elementales

} 0 # cos?30 > 94

0 # 0 > 9; 0 # cos 0 ; p 0 # 0?De esta forma se tiene que 3p 4304 # cos?30 > 94



En esta seccin se har una panormica de los tipos de funciones matemticas mscomunes. Se pueden plantear infinidad de funciones. Sin embargo, un gran nmero deellas admite una clasificacin sencilla, que ayuda a entender su naturaleza, por lo que espertinente presentarlas, de forma resumida, en este tema.

Funciones elementales Funciones no elementales

FUNCIONES

Funciones polinmicas. Funcin exponencial. Funciones trigonomtricas. Funciones que pueden obtenerse a partir de las anteriores

mediante alguna de las siguientes operaciones:o Operaciones algebraicas ( +,-,*,/).o Transformaciones o Composicin de funciones

elementales.o Inversa de funciones elementales.

El resto

9. Tipos de funciones



FUNCIONES

Algebraicas Trascendentes

Una funcin se dice algebraica si en suformulacin solo intervienen las operacionesalgebraicas de suma, diferencia, multiplicacin,divisin y potenciacin, si una funcin no esalgebraica es trascendente

Una funcin trascendente es una funcin quetrasciende al lgebra en el sentido de que nopuede ser expresada en trminos de unasecuencia finita de operaciones algebraicas desuma, resta y extraccin de races




FUNCIONES


Polinmicas Potencial Racionales

p 0 # > I0 > ?0?>> 0p 0 # 0, p 0 # w304304,*w 0 , 0 polinomios



ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas

10.1 Polinmicas10.2 Potenciales10.3 Racionales

11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales


Una funcin p304 se llama polinmica si es de la formap 0 # > I0 > ?0? >> 0; * C

, I, , son constantes, y se denominan coeficientes del polinomio. Si g 0 el polinomio es de orden n. Por ejemplo, la siguiente funcin es polinmica de orden 5.w304 # 3 > 50 7 60n=0 Funcin constante p304 #

Veamos algunos casos:

Se suele utilizar para construir funciones por tramos

10.1 Funciones polinmicas


n=1 Funcin lineal p 0 # > V0

Si a=0 y b=1 se denomina funcin identidad p 0 # 0(Dibjala)

pendienteinters. con eje Y



n=2 Funcin cuadrtica p 0 # 0? > V0 > Tienen siempre forma de parbola. Si es p 0 # 0?, la parbola tiene elvrtice en (0,0). En cualquier otro caso, es una parbola desplazada. Si W 0 se abre hacia arriba (convexa*), y si k 0 se abre hacia abajo(cncava*). Cuanto mayor es || ms cerrada es la parbola.

*La convencin para denotar una curva como cncava o convexa es mirndolas desde el 7 del eje Y.Tambin se usa la terminologa convexa=cncava hacia arriba y cncava=cncava hacia abajo



n=3 Funcin cbica p 0 # 0~ > V0? > 0 > Su comportamiento depende de los coeficientes. Podra cambiar hasta dos veces de curvatura (pasar de cncava a convexa).

Una funcin polinmica de orden n puede cambiar hasta n-1 veces de curvatura.



Una funcin potencial es de la forma p 0 # 0; (en las polinmicas se tena que C)

Si # C es un caso particular de funcin polinmica

Si n es par es similar a la parbola. Si es impar, es no decreciente.

Si n es grande, para |0| W 1la funcin va hacia m muy rpido, mientras que para 0 k 1 va a cero muy rpidamente

Veamos algunos casos de inters especial.

10.1 Funciones potenciales


Si # N/ C se denominan tambin p)*&,*' &', pues se tiene que p 0 # 0 # 0

Si # 7 C tenemos funciones con forma de hiprbola. Si * # 71se denomina funcin recproca. Estas funciones pueden escribirse como p 0 # I . Se suelen usar para 0 z 0.

p304 # 1/0~p304 # 1/0?

p304 # 10

10.1 Funciones potenciales


Una funcin racional es el resultado de dividir dos funciones polinmicas

p 0 # w304304 ,donde w 0 y 304 son funciones polinmicas. El dominio sern todos los valores de 0 tales que 0 g 0. En las races del denominador habr asntotas.

p 0 # 0~2 7 0?

10.3 Funciones racionales


ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes

11.1 Trigonomtricas11.2 Exponenciales11.3 Logartmicas11.4 Hiperblicas

12. Funciones no elementales



FUNCIONES


Bsicas Otras

Trigonomtricas HiperblicasLogartmicaExponencial

Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente, y sus inversas

seno hiperblico, coseno hiperblico, etc, y sus inversas.

11. Funciones elementales trascendentes


Funciones trascendentes

Algunos nmeros reales satisfacen ecuaciones con coeficientes enteros* (ecuacin algebraica): 89 satisfacelaecuacin90 7 8 # 05satisfacelaecuacin0? 7 5 # 0Estos nmeros se llaman algebraicos.

Otros nmeros reales no son algebraicos; es decir, no son las races de polinomios de coeficientes enteros. Por ejemplo, el nmero . Se llaman trascendentes.Con las funciones puede realizarse una analoga similar. Algunas funciones satisfacenecuaciones algebricas; es decir, ecuaciones polinomiales con coeficientespolinomiales. Por ejemplo

p 0 # 2 0 7 30?satisfacelaecuacin p 0 ? > 60?p 0 > 90 7 40 # 0Estas funciones se denominan algebraicas. Las que no lo son, se denominantrascendentes.

*Una ecuacin algebraica con coeficientes racionales siempre puede convertirse en una ecuacin con coeficientes enteros.

11. Funciones elementales trascendentes


Funciones trigonomtricas:

0,0 A(1,0)

B(cos , sin )

gradosgradosgradosgrados # O radianesradianesradianesradianes

log. arco=un radio

1 grado 0.0175 radianes 1 radian 57.3 grados

Crculo unidad

Radian: medida del ngulo (ensentido antihorario) cuyos lados cortanun arco igual en longitud al radio de lacircunferencia. Como la longitud deeste arco es un radio, la medida deeste ngulo se denomina radin.

11.1 Funciones trigonomtricas


Recordatorio (siempre en radianes salvo que se diga lo contrario)'* # 3sin 4

tan # %

csc # %,' # % sec # %

cot # %



Funcin seno

p 0 # '* 0 ; 0 Funcin coseno

0 # ,' 0 ; 0

En ambas, el dominio es , y el rango es

Los ceros de '*304 son los mltiplos de , y los de cos304 los mltiplos de 2 . Son funciones llamadas tambin circulares, por ser peridicas de periodo 2.r '* 0 # '* 0 > 2* , cos 0 # cos 0 > 2* , * # 1,2,3, El seno es funcin impar, y el coseno es funcin par.



Funcin tangente

p 0 # +* 0 # '*304cos304 ; 0 7 * 7 12 , * El dominio es la recta real salvo los puntos en los que el coseno es nulo, es decir, los mltiplos de 2.El rango es 37,4Es una funcin peridica, de periodo .Es una funcin impar.



Funciones trigonomtricas inversas La funcin inversa del seno es el arcoseno: '* 0



Funciones trigonomtricas inversas

La funcin inversa del coseno es el arcocoseno: ,' 0



Funciones trigonomtricas inversas

La funcin inversa de la tangente es el arcotangente: +* 0

7 O

O



Funciones exponenciales

Una funcin exponencial es del tipo p 0 # ; D, 0

W 1

a=10a=5a=2

Rango: 0, Da=0.5a=0.2a=0.1

k 1Tambin se llaman exponencial en base a

11.2 Funciones exponenciales


Funciones exponenciales

Una funcin exponencial es del tipo p 0 # ; D, 0 Rango: 0, DAlgunas propiedades:

# D # V # V, , V W 0 0 k % W 1 k 0 k % 0 k k 1 W



El nmero eExiste un nmero W 0que tiene una gran importancia en matemtica. Se denomina nmero o de Euler (Oiler) (matemtico del s. XVIII) , o tambin constante de Napier (Neper) (matemtico el XVII).El nmero es irracional, como el nmero . Aproximadamente, 2.72

p 0 # 1.5 p 0 # p 0 # 5

pendiente en (0,1)=1



Funcin logartmicaEs La funcin inversa, o recproca, de la exponencial. Su notacin es p 0 # log304Se lee logaritmo en base a de x, y cumplelog # 0 y # 0


Algunas propiedades: si 0, % D y D 7 13a4 log 0% # log 0 > log %3b4 log 0% # log 0 7 log %3c4 log 10 # 7log 03d4 log 0 # % log 03e4 siy # log 0 % # log 0log obien log 0 # log : log 0 .

Las bases ms habituales son # y despus # 10.Si ln 25 # 3.22, y logI # 0.4343Cunto vale logI 25?

logI 25 # logI : log 25 # 0.4343 : 3.22 # 1.398

regla de la cadena

11.3 Funcin logartmica


Ejercicios: Usando el winplot grafica ln 0 , ln I , logI 0? Utilizando la regla de la cadena para conversin de bases, grafica:

log~ 0? log. 0 log 0fI

Calcula log 10 Demuestra queI # I Sabiendo que ln324 # 0.6931, calcula ln384



Ejercicio


Analiza y grafica la funcin p 0 # ln 1 > 0Solucin:

El dominio son los valores positivos del argumento de ln34. Es decir,Domp # 0 | 1 > 0 W 0 0 W 71

Para dicho dominio, el rango de la funcin es


Ejercicio


Analizemos ahora la funcin p 0 # 7ln 0 7 1Solucin:

De nuevo, el dominio son los valores positivos del argumento de ln34. Es decir,Domp # 0 | 0 7 1 W 0 0 W 1

Para dicho dominio, el rango de la funcin es tambin


Ejercicio


Analizemos ahora la funcin que resulta de sumar ambas funciones, es decir, p 0 # ln30 > 147ln 0 7 1

Solucin:Al tratarse de una suma de funcione, el dominio ser la interseccin de los dominios:

Domp # 0 W 71 0 W 1# 0 W 1Como ln es montonacreciente, al ser 0 > 1 W 0 71 ln 0 > 1 W ln 0 7 1 p 0 W 0. A medida que xcrece 0 > 1 0 7 1 por lo quela funcin tiende a cero. Elrango esRanp: % D


Ejercicio


Finalmente, analiza la funcin p 0 # ln DIfI y comprala con la del ejercicio anterior

Solucin: Al tratarse de un logaritmo, el dominioser el conjunto de valores de x quehaga que el argumento de ln seapositivo. Es decir:0 > 10 7 1 W 0

Para ello, el numerados y eldenominador deben tener el mismosigno

0 > 1 W 0 0 7 1 W 0 0 W 10 > 1 k 0 0 7 1 k 0 0 k 71


Ejercicio



Solucin: La funcin tiene entonces dos ramas. La ramacorrespondiente al caso

0 > 1 W 0 0 7 1 W 0 0 W 1Es sencilla de representar, pues (slo) en esa zona se cumple la propiedad de los logaritmos por la que

ln 0 > 10 7 1 # ln 0 > 1 7 ln 0 7 1Por tanto, en ese tramo es igual a la funcin representada anteriormente


Ejercicio



Solucin: La segunda zona corresponde al caso.

0 > 1 k 0 0 7 1 k 0 0 k 71En 0 # 71hay una asntota, al tenerse ln 0 # 7. Desde esa asntota la curva se va a cero a medida que x va hacia 7pues vuelve a cumplirse que

0 > 1 0 7 1 ln 0 > 10 7 1 0


Ilustracin de las llamadas secciones cnicas

circunferencia elipse parbola hiprbola

11.4 Funciones hiperblicas


La hiprbola es una curva plana, abierta, con dos ramas.Es el lugar geomtrico de lospuntos cuya diferencia dedistancias a otros dos fijosllamados focos es constante eigual a la distancia entre susvrtices AB.w}I 7 w}? #

Funciones hiperblicas: se generan a partir de las coordenadas cartesianas de un punto que recorre la hiprbola equiltera

P(x,y)

P


: 0? 7 %? # 1


P(x,y)

O M

P*

A

Q

AP: arco de la hiprbolaOAP: sector de la hiprbola



P(x,y)

O M

P*

A

Q

AP: arco de la hiprbolaOAP: sector de la hiprbola

u=2 x rea OAP

u


Funcin seno hiperblico: senh(u), sinh(u)

p ) # sinh ) # 7 f2 # 2 7 f2P(x,y)

0 # cosh)

% # sinh)

Funciones hiperblicas

Nota: se puede escribir sinh(x), pero usamos la letra u como argumento en esta transparencia para poder mostrar la representacin cartesiana de las funciones hiperblicas en los eje x e y.

u

f(u)=sinh(u)



Funcin seno hiperblico: senh(x), sinh(x)

p 0 # sinh 0 # 7 f2 # 2 7 f2Funciones hiperblicas

Dominio:Imagen:

cosecante hiperblicasech 0 # 1sinh304 Dominio:\0Imagen: \0arcoseno hiperblicosinhfI3x4 # ln30 > 0? > 14 Dominio:Imagen:

Aqu ya henos cambiado a la notacin y=f(x), ms habitual.



Funcin coseno hiperblico: cosh p 0 # cosh 0 # > f2 # 2 > f2catenaria

Dominio: Imagen: 1,

secante hiperblicacsch 0 # 1cosh304 Dominio:Imagen: 0,14arcocoseno hiperblicocoshfI 0 # ln 0 7 0? 7 1 Dominio:1,4Imagen: 0,4



Funcin tangente hiperblica: tanh

p 0 # tanh304 # sinh304cosh304 # 7 f > f

Tambin se puede definir, de manera anloga a las funciones circulares, la cotangente, secante y cosecantes hiperblicas, as como sus inversas (arcotangente hiperblica)



Ejercicios:14sinh 0 #?24Demuestraque coshfI 0 # ln 0 7 0? 7 1 34Comprueba que las funciones hiperblicas se generan a partir

de las coordenadas cartesianas de un punto que recorre

la hiprbola equiltera 0? 7 %? # 1 44Demuestraque cosh 20 # cosh? 0 > sinh? 0



Solucin:

14sinh 0 # 2 7 f2 #12 7 12 # 0

24argcosh x # y 0 # ,' % , 0 z 0. Portanto 0 # 2 > f2 20 # > f 20 # ? > 1Si llamamos ) # ? )? 7 20) > 1 # 0 ) # 0 > 0? 7 2 % # ln 0? 7 2

340 # sinh); % # cosh); Si 0? 7 %? # 1 cosh? ) 7 sinh? ) # 1 > f2

? 7 7 f2? # ? > f? > 2f 7 ? 7 f? > 2f4 # 1



Solucin:

44cosh 20 # cosh? 0 > sinh? 0cosh 20 # ?2 > f?2

cosh? 0 > sinh? 0 # > f2? > 7 f2

?

# ? > f? > 2f > ? > f? > 2f4# 2? > 2f?4 # ?2 > f?2




12.1 Funcin indicatriz12.2 Funcin escalonada12.3 Funcin escaln unitario12.4 Funcin de parte entera12.5 Funcin signo12.6 Funcin valor absoluto



FUNCIONES

Bsicas especiales Otras

Funcin indicatriz Funcin escalonada Funcin escaln unitario Funcin de parte entera Funcin signo Valor absoluto

12. Funciones no elementales


Funcin indicatriz

La funcin indicatriz o caracterstica de un subconjunto nes una funcin definida en el conjunto nque indica la pertenencia o no de cada elemento de n en . (Se usa mucho multiplicando a otras funciones) 1: n 0,1

N 0 # 1si0 0si0 inEjemplo:X={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6} N 3 # 0

12.1 Funcin indicatriz


Queremos construir una funcin que valga 1 si0 2,3xy cero en el resto.Definimos A=[2,3]

N 0 # 1si0 0si0 in

Ejemplo:



Ahora queremos construir una funcin que sea p 0 # sinh 0 , 0 2,3xy cero en el resto.

p 0 # 1304 : sinh304

Ejemplo:



Funcin escalonadaUna funcin escalonada es una funcin por tramos, donde en cada tramo toma un valor constante. No necesariamente es creciente o decreciente.

Dado el intervalo [a, b] una particin P de dicho intervalo es un conjunto de puntos 0I k 0? k k 0f? k 0fI de dicho intervalo, no necesariamente equidistantes, que lo divide en n sub-intervalos. En cada subintervalo tiene un valor constante

a b0~ 0f? 0fI0?0I

12.2 Funcin escalonada


Funcin escaln unitarioLa funcin escaln unitario o funcin de Heaviside (en honor al matemticoingls Oliver Heaviside, s. XIX). Es un caso particular de funcin escaln, cuyo valor es) 0 =0 para 0 k 0 y ) 0 #1 para 0 z 0

) 0 0 # 0si0 k 01si0 z 0

Nota: tambin suele definirse como una funcin con valor 0 para r k , 1 para r W , y para x=0. As se tiene una funcin simtrica.

12.3 Funcin escaln unitario


Sea la funcin

f 0 # 0si0 k 101si0 z 10Reescrbela para que se tenga una funcin de escaln unitario

Solucin:

Ejemplo:

Para que sea de escaln unitario debe ser 1 cuando el argumento de la funcin sea positivo, y 0 en el resto. Definimos lafuncin # 304 # 0 710.Entoncesp 0 7 10 # 0si0 7 10 k 101si0 7 10 z 10 p 0 7 10 # 0si0 k 01si0 z 0

0 # 3p 4304 # 0si0 k 01si0 z 0Donde 304 consiste primero en obtener v=x-10 y luego aplicar f(v). Esta composicin equivale a escribir 0 7 10 ) 0 7 10 .

12.3 Funcin escaln unitario


) 0 0 # 0si0 k 1si0 z c

12.3 Funcin escaln unitarioPara dar flexibilidad a la definicin de escaln unitario, existe la siguiente definicin alternativa:

que es equivalente a escribir ) 0 7 y 0 7 , respectivamente.

0 a

1


La funcin de parte entera, es una funcin tal que para cualquier valor real de 0; p30) es nmero entero ms prximo a x. Es tambin un caso particular de funcin escalonada.

Es, por tanto, una funcin p: Existen varias alternativas para esta funcin:

Funcin piso o suelo: (tambin llamada mximo entero) a cada nmero real se le asigna el nmero entero ms prximo por defecto; es decir, el mayor nmero entero que es menor o igual que ese nmero real. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4.Para x=-2.8 sera -3. Notacin : E[x] [x] 0 , int(x), 0

Funcin techo: el nmero natural que se asigna es el ms prximo por exceso. Es el menor nmero entero que sea mayor que el real dado. Por ejemplo, para x=4.3, sera 5.Para x=-2.8 sera -2. Notacin 0

Funcin redondeo: A cada nmero real se le asigna el entero ms prximo segn su decimal. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4, y para x=4.5 sera 5. Para x=-2.8 sera -3, y para x=-2.3 sera -2.

Funcin truncamiento: a cada nmero real se le asigna el entero que resulta de ignorar la parte decimal. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4, y para x=4.5 sera 4. Para x=-2.8 sera -2, y para x=-2.3 sera -2.

Nota: no hay una notacin generalmente aceptada para estas funciones

12.4 Funcin de parte entera


Ejemplo: funcin parte entera suelo



A qu corresponden cada una de las siguientes expresiones, a funcin suelo, techo, redondeo, truncamiento, o ninguna de las anteriores?

4% # max | G 0 4% # min |0 G

4% # %: % 0 % G 0 G % > 1V4% # %: % 0 % 7 1 k 0 G %

4p 0 # 0 > 12p4p 0 # 0 7 124p304 # 0 si0 z 00 si0 k 0 4'*304 0 prximamente



Funcin signoLa funcin signo (signum) es un caso particular de funcin escaln, que proporciona el signo de un nmero real. Se representa generalmente mediante '*304

p 0 '* 0 # 1si0 W 00si0 # 071si0 k 0

Dom f?Ran f?Paridad?

12.5 Funcin signo


Funcin valor absolutoLa funcin valor absoluto o mdulo devuelve, para un nmero real, el mismo valor pero ignorando su signo

Es una funcin a trozos, uno para los valores positivos del argumento y otro para los negativos

p 0 # 0si0 z 070si0 k 0Notacin |x|

12.6 Funcin valor absoluto


Ejemplos

Graficar | sinh 0 |p 0 # sinh304 si0 z 07 sinh304 si0 k 0

p 0 # |sinh304|

12.6 Funcin valor absoluto

Tema 1 Funciones

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