Tema 1. Integrales Multiples

Tema 1: Integrales Múltiples

Cálculo II

(Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo de Productos)

Departamento de Matemáticas

Índice1. Integral doble: Definición. Propiedades.

1. Funciones integrables.

2. Cálculo de la integral doble.

3. Teorema de la media.

4. Interpretación geométrica.

5. Cambio de variables.

2. Integral triple: Definición. Propiedades.

1. Funciones integrables.

2. Cálculo de la integral triple.

3. Cambio de variables.

3. Aplicaciones: Cálculo de áreas, volúmenes, ...

Integral indefinida

• Considerando la integración como la operación inversa a la derivación, podemos razonar como sigue:

Sea f (x, y) una función de dos variables tal que:

entonces:

xyyxfyxfx x 2,,

dxxyyxf 2,*

x variabley constante

dxxy 2 yCyx 2

Por lo tanto: integrando respecto a x sólo es posible recuperar f (x, y) ‘parcialmente’.

Integral definida

• Considerando la siguiente integral definida, e integrando con respecto a x (y = cte), obtenemos:

• Al ser los resultados de las integrales funciones de x e y, respectivamente, pueden ser integradas de nuevo.

yy

yxdxxy2

1

2

1

22 22 12 yyy yy 34

xx

xydyxy2

1

2

1

22

El resultado es una función de x

22 12 xxx xx 34El resultado es

una función de y

Integral definida

• Integrando respecto de x (y = cte):

• Integrando respecto de y (x = cte):

yyhfyyhfyxfdxyxf

yh

yh

yh

yhx ,,,, 12

2

1

2

1

Función de y

xgxfxgxfyxfdyyxf

xg

xg

xg

xg y 12 ,,,,2

1

2

1

Función de x

Ejemplos

1. Evaluar:

x

xdyxyc

dxy

xxyb

dyy

xxya

2sin)

46)

46)

3

1

2

2

1

2

Usando Maxima

Integrales iteradas

1. Orden de integración: dy dx

2. Orden de integración: dx dy

b

a

xg

xgdxdyyxf

2

1

,

Función de x

b

a

xg

xgdxdyyxf

2

1

, kk,

d

c

yh

yhdydxyxf

2

1

,

Función de y

d

c

yh

yhdydxyxf

2

1

, kk,

Integrales iteradas

1. Los límites de integración de una integral iterada definen dos conjuntos de intervalos frontera para las variables, que definen la región R de integración:

1. Orden de integración: dy dx

a x b; g1(x) y g2(x)

2. Orden de integración: dx dy

c y d; h1(y) x h2(y)

2. El resultado de la integral iterada será un número real k .

Integrales iteradas

dxdyyyxx

2

1 1

22 22

Calcular la integral:

Usando Maxima

Integrales iteradas

3. Los límites de integración de la variable interior son, en general, función de la(s) variable(s) exterior(es).

4. Por el contrario, los límites de integración de la variable más exterior siempre serán constantes (valores numéricos)

dxdyyyxx

2

1 1

22 22

Calcular la integral:

Integrales iteradas

5. El orden de integración no afecta al resultado de la integral. Sin embargo, sí influye en la simplificación del procedimiento para obtener el resultado.

6. La notación que se utiliza y el procedimiento de cálculo es similar al que se vio al estudiar las derivadas parciales sucesivas: se integra primero con respecto a la variable de integración más próxima a la función, manteniendo constantes las restantes, y a continuación respecto de la siguiente, ...

Área de una región plana

• Estudiar el área encerrada por una región plana R, limitada por: a x b; g1(x) y g2(x)

1er Método: Una sola integral definida.

y = g1(x)

y = g2(x)

a b

R

212 (ud) kdxxgxgA

b

a


2º Método: Integrales iteradas.

1. Orden de integración dy dx: Elemento representativo vertical.

212 (ud)

2

1

kdxxgxgdxdyAb

a

b

a

xg

xg

a x b g1(x) y g2(x)y = g1(x)

y = g2(x)

a b

R


2º Método: Integrales iteradas.

2. Orden de integración dx dy: Elemento representativo horizontal.

212 (ud)

2

1

kdyyhyhdydxAd

c

d

c

yh

yh

h1(y) x h2(y)c y d

x = h1(y)

x = h2(y)

c

d

R


3. Usar una integral iterada para hallar el área de la región limitada por las gráficas f (x) = sen x y g(x) = cos x entre x = /4 y x = 5/4.

4. Hallar el área de la región R situada bajo la parábola y = 4x – x2, sobre la recta y = 3x + 6.

5. Calcular el área de la región R del plano xy limitada por las dos parábolas de ecuaciones y2 = x/2 e y2 = x – 4.

Integral doble

• Sea z = f (x, y) una función continua de dos variables tal que f (x, y) 0 (x, y) R, siendo R una región del plano XY.

Objetivo: Calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficie z = f (x, y) y su proyección sobre el plano XY.

• Para el cálculo del volumen se divide la región R en una serie de subregiones infinitesimales, tomando como referencia para la deducción un elemento prismático infinitesimal de dicha región.

Integral doble• Integrar f (x, y) = 25 – x2 – y2

Región R: Área comprendida entre las curvas: y = x2 – 4; y = 4 – x2.

Región RCurvas en el plano XY

y = x2 – 4

y = 4 – x2

Partición interior de la región R en 40 rectángulos

Integral doble• El área del i-ésimo rectángulo será:

Ai = xi yi = 0,5 1 = 0,5

• Se evalúa f (x, y) = 25 – x2 – y2 en el punto medio (xi, yi) de cada rectángulo de la partición.

El volumen del i-ésimo prisma de base Ai y altura f (xi, yi) será:

Vi = f (xi, yi) Ai

• Podemos aproximar el volumen de la región mediante una suma de Riemann de los n = 40 prismas:

= 418,75

n

iiiii yxyxf

1

,

Integral doble

z = f (x, y)

Partición tridimensional del volumen comprendido entre la superficie z = f (x, y) y la región R.

V = 418,75

Integral doble

• La aproximación puede mejorarse considerando una partición más fina de la región R.

iiiAiiiiAAyxfyxyxf

ii

,lim,lim00

Integral doble

• Si el límite existe y es independiente de los puntos (xi, yi) y de la partición realizada, se le denomina integral doble y se denota por:

• En nuestro ejemplo:

n

iiiiΔA

RR

ΔAyxfdAyxfdydxyxfi 1

0,lim ,,

438,248 25lim251

22

0

22

n

iiiiΔA

R

ΔAyxdydxyxi

Integral doble: Interpretación geométrica

• La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la región R del plano XY.

R

Integral doble: Propiedades

1. Propiedad aditiva del integrando:

2. Propiedad lineal: Sea k

3. Propiedad aditiva del dominio de integración: Sea R = R1 R2, R1 R2 =

RRR

dydxyxgdydxyxfdydxyxgyxf ,,,,

RR

dydxyxfkdydxyxfk ,,

21

,,,RRR

dydxyxfdydxyxfdydxyxf

R

R1R2

Integral doble: Propiedades

4. Si (x, y) R, f (x, y) (x, y), entonces:

5. El módulo de la integral doble de una función es menor o igual que la integral doble del módulo de la función:

Nota: Si f (x, y) = 1 entonces:

RR

dydxyxdydxyxf ,,

RR

dydxyxfdydxyxf ,,

RR

dydxdydxyxf ,

Área plana encerrada por el dominio R

Integral doble: Cálculo

Teorema de Fubini: Si R es una región horizontal o verticalmente simple y f es continua en R, la integral doble de f en R es una integral iterada y se calcula como sigue:

1. Orden de integración dx dy:

dc,yhyh

yhxyhdyc

dydxyxfdydxyxfd

c

yh

yhR

en continuas y

;

,,

21

21

2

1


Integrar con respecto a x para obtener el área de la sección, y

luego integrar con respecto

a y para obtener el

volumen del sólido.


Teorema de Fubini: Si R es una región horizontal o verticalmente simple y f es continua en R, la integral doble de f en R es una integral iterada y se calcula como sigue:

2. Orden de integración dy dx:

ba,xgxg

xgyxgbxa

dxdyyxfdxdyyxfb

a

xg

xgR

en continuas y

;

,,

21

21

2

1


Integrar con respecto a y para obtener el área de la sección, y

luego integrar con respecto

a x para obtener el

volumen del sólido.

xg

xgdyyxfxA

2

1

,

Integral doble: Casos de interés

1. Si la región R es rectangular:

Calcular:

siendo R la región dada por 0 x 1, 0 y 1.

R

dAyx 22 24


1. Si la región R es rectangular:

Calcular:

siendo R la región dada por 0 x 1, 0 y 1.

Reflexiones:

• La integral se reduce a dos integrales simples.

• Los límites de integración (interiores y exteriores) son constantes.

R

dAyx 22 24


2. Cualquier región R:

Calcular:

siendo R la región triangular limitada por las rectas x y = 1, x + y = 1 e y = 3.

Reflexiones:

• ¿Cómo interpretamos el hecho de que el resultado sea negativo?

• Si la integral se plantease para calcular el volumen, ¿el resultado brindado sería lógico?

R

dAyx 22


3. Uso de las condiciones de simetría y paridad:

a) Si f es par en x, es decir, f ( x, y) = f (x, y) con (x, y) R, y R es simétrico respecto del eje OY, entonces:

donde R1 = {(x, y) R / x 0}.

a) Si f es par en y, es decir, f (x, y) = f (x, y) con (x, y) R, y R es simétrico respecto del eje OX, entonces:

donde R2 = {(x, y) R / y 0}.

1

,2,RR

dAyxfdAyxf

2

,2,RR

dAyxfdAyxf



c) Si f es impar en x, es decir, f (x, y) = f (x, y) con (x, y) R, y R es simétrico respecto del eje OY, entonces:

c) Si f es impar en y, es decir, f (x, y) = f (x, y) con (x, y) R, y R es simétrico respecto del eje OX, entonces:

0, R

dAyxf

0, R

dAyxf



e) Si f es par en x y en y, es decir, f ( x, y) = f (x, y) y f (x, y) = f (x, y) con (x, y) R, y R es simétrico respecto de ambos ejes coordenados, entonces:

donde R3 = {(x, y) / x 0; y 0}.

Ejemplo: Integrar f (x, y) = 25 – x2 – y2 siendo R el área comprendida entre las curvas: y = x2 – 4; y = 4 – x2.

3

,4,RR

dAyxfdAyxf

Integral doble

3. Calcular:

4. Sea f (x, y) = (sin x)/x para x 0 y f (0, y) = 1. Calcular la integral:

1y ,

rectas laspor limitado recinto el R siendo )

1,1/, siendo tan1

sin)

1/, siendo 3sin)

2

22

23

22

xxyxy

dydxxc

yxyxRdydxyx

yxb

yxyxRdydxyxa

R

R

R

dydxyxfy

y1

0,

Integral doble

5. Calcular el volumen encerrado por el paraboloide z = 4 – x2 – 2y2 y el plano oxy.

Nota: Lo práctico a la hora de plantear la integral doble que nos permita el cálculo del volumen no es trabajar con la representación en R3, sino con las proyecciones sobre los planos cartesianos que nos brinden la información que nos interesa en cada momento:

– Para identificar la función subintegral

– Para identificar los límites de integración

Integral doble

6. Hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el paraboloide z = 1 – x2 – y2

e inferiormente por el plano z = 1 – y.

7. Calcular el volumen del sólido en el primer cuadrante que está delimitado por los planos z = 0, x = 0, y = x y el cilindro z = 4 – y2.

8. Calcular el volumen del sólido de base el recinto limitado por la parábola y2 = 4x y la recta x = 1, y parte superior limitada por la superficie z = x1/2.

Cambio de variables

Objetivo: Facilitar el cálculo de las integrales dobles en aquellos casos en que las regiones de integración, o los elementos diferenciales sean:

– Círculos

– Secciones esféricas

– Secciones cilíndricas

– Aparezca el término subintegral x2 + y2

Cambio de variables

Planteamiento general. Jacobiano de la transformación:

Sean: x = x (u, v)

y = y (u, v)

las ecuaciones que relacionan las variables cartesianas con otras variables genéricas u, v.

Entonces:

RR

dvduvu

yxJvufdydxyxf

,

,,,

Cambio de variable


1.Cambiar f (x, y) por f (x(u, v), y(u, v)) = f (u, v)

2.Cambiar los límites de integración de x e y por los de u y v.

3. Sustituir

El jacobiano se toma en valor absoluto puesto que dxdy representa a un diferencial de área y, por tanto, es positivo.

dvdu

vu

yxJdydx

,

,

Cambio a polares

RR

ddfdydxyxf sin,cos,

x = cos

y = sin

22 sincos

cossin

sincos

,

, yxJ

Cambio a polares

1. Orden de integración d d :

Cambio a polares

2121

2121

en continuas y

;

,,2

1

2

1

,gg

gg

ddfddfg

gR

Sector mayor

Sector menor

Cambio a polares

2. Orden de integración d d :

El orden de integración más habitual es d d.

2121

2121

en continuas y

;

,,2

1

2

1

r,rhh

hhrr

ddfddfr

r

h

hR

Cambio a polares

• El cambio a polares se aplica, de forma general, cuando la región de integración (R) es un círculo. Este cambio simplifica el cálculo de la integral doble al eliminar las integrales irracionales que aparecen al trabajar en cartesianas.

• El cambio a polares general es:

dd

yxJ

by

ax

,

,

sin

cos

Cambio a polares

1. Evaluar la integral:

2. Calcular el volumen encerrado por el paraboloide z = 1 – x2 – y2 y el plano oxy.

3. Hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el paraboloide z = 1 – x2 – y2

e inferiormente por el plano z = 1 – y.

4. Calcular , donde R es la región del

primer cuadrante situada en el interior de la circunferencia dada por = 4cos y en el exterior de la circunferencia dada por = 2.

dydxyxy

y

1

0

222

2

R

dAsin

Cambio a polares

5. Usar coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superior-mente por el hemisferio e inferiormente por la región circular R dada por x2 + y2 = 4.

6. La esfera x2 + y2 + z2 = 4 está atravesada por el cilindro x2 + y2 – 2y = 0. Calcular el volumen encerrado por las dos superficies.

7. Calcular el volumen de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 4. ¿Cuál sería el volumen de la esfera anterior si en vez de estar centrada en (0,0,0) lo estuviese en el punto (2,3,4)?

2216 yxz

Cambio a elípticas

• Cuando la región de integración es de tipo elíptico, el cálculo del volumen se simplifica notablemente al plantear la integral doble a través de un cambio de variables apropiado.

• Este cambio es el denominado cambio elíptico, que utiliza las ecuaciones paramétricas de la elipse.

• La simplificación se produce al eliminarse las integrales irracionales que resultan al plantear el cálculo en coordenadas cartesianas.

Cambio a elípticas

• Planteamiento: 1

20

20

22

b

yy

a

xx

sin

cos

0

0

byy

axx Ecuaciones paramétricas de la elipse

Cambio a elípticas

• Ecuaciones paramétricas de la región plana encerrada por una elipse:

• Jacobiano de la transformación:

abab

bb

aayxJ

22 sincos

cossin

sincos

,

,

ddabdydx

10 consin

cos

0

0

byy

axx

Cambio a elípticas

• Límites de integración:

111sincos 2222

1sincos

12

222

2

222..

22

22

b

b

a

a

b

y

a

x VC

R’

Circunferencia de radio 1

Región R

y

x

Región R’

y

x

20

10

C.V.

• Si x0 = y0 = 0:

Cambio a elípticas

• Con el cambio a elípticas la región R se transforma en una nueva región, R’, que es una circunferencia de radio unidad.

• Esta nueva región es la que se toma como referencia para fijar los nuevos límites de integración.

• Si el volumen es simétrico, podemos aplicar esta propiedad para simplificar los cálculos.

RR

ddabfdydxyxf ,,

-2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3694 22 yx

2xy

R1 R2

Cambio a elípticas

1. Calcular el área encerrada por la elipse:

2. Hallar el volumen de la región sólida que está limitada por el paraboloide z = 4 – x2 – 2y2 y el plano oxy.

3. Hallar , siendo R el recinto indicado

en la figura:

194

22

yx

R

dydxxy

Teorema de la media

• Sea z = f (x, y) una función acotada en un recinto R de área A: m f (x, y) M, (x, y) R, entonces:

A

dydxyxf

Mm R

,

:,

Valor medio o promedio integral de f (x, y) en el recinto R

Teorema de la media

1. La temperatura de una placa es proporcional a su distancia al origen. Dicha placa se encuentra situada en la región:

R = {(x, y) / x2 + y2 25}

Sabiendo que en el punto (1,0) la temperatura es de 100ºC, hallar la temperatura media de dicha placa.

Teorema de la media

2. Los beneficios de una firma automovilística al comercializar dos tipos de vehículos industriales vienen dados por:

B = 192x + 576y – x2 – 5y2 – 2xy – 5000

donde x e y representan el nº de unidades de cada producto. La dirección comercial quiere disponer de una expresión analítica que le permita estimar los beneficios semanales medios en función del nº de unidades de x e y. Si se supone que x e y varían de forma lineal entre a y b para la variable x, y entre c y d para la variable y, obtener la expresión analítica solicitada. Particularizar los cálculos considerando que x varía entre 40 y 50 e y varía entre 45 y 60 unidades, respetivamente.

Aplicaciones

• Cálculo de áreas de superficies.

Si f (x, y) y sus derivadas parciales primeras son continuas en una región cerrada R del plano XY, el área de la superficie z = f (x, y) sobre R viene dada por:

R

yx

R

dydxyxfyxfdS 22 ,,1

Aplicaciones

• Cálculo de áreas de superficies.

1. Calcular el área de la porción del cono z2 = x2 + y2 que es interior al cilindro x2 + y2 = 2x

2. Obtener el área de la superficie de la porción del paraboloide z = x2 + y2 que está debajo del plano z = 1.

3. Hallar el área S de la porción del hemisferio x2 + y2 + z2 = 9 que está sobre la región R limitada por la elipse x2 + 4y2 = 9.

Aplicaciones

• Cálculo de la distribución de una función escalar a través de una placa plana de espesor despreciable (lámina).

Supongamos que (x, y) representa la densidad superficial (masa por unidad de área) de una película continua de algún material que ocupa la región plana R. Si (xi, yj)Aij representa aproximadamente la masa del elemento Aij, la suma de Riemann será aproximada-mente igual a la masa total de la región R.

Si (x, y) es una función continua tal que (x, y) 0 (x, y) R, entonces la suma anterior tiene límite cuando A 0 y la masa total de la lámina será:

R

dAyxM ,

(xi, yj) es la densidad superficial

media de la materia en Aij

Aplicaciones


La función de densidad es, en general, una función continua que depende de las coordenadas del punto considerado.

La densidad se expresa normalmente como masa por unidad de volumen, sin embargo, para una lámina plana se considera la densidad como la masa por unidad de área.

El razonamiento hecho para obtener la distribución de una masa es igualmente válido cuando se trata de una distribución de carga eléctrica, cantidad de calor, etc.

Aplicaciones


4. Una hoja delgada de material cuya densidad superficial (masa por unidad de área) es proporcional al cuadrado de la distancia al origen, ocupa la región rectangular R acotada por el eje x, la recta y = x y la recta y = 2 x. Calcular la masa total M de la hoja.

5. Calcular la cantidad de calor en una placa redonda de radio r, si la densidad superficial de calor en cada punto de la placa es proporcional a la distancia del punto al centro de la placa, donde se encuentra situada la fuente de emisión.

Aplicaciones a la mecánica

i. Momentos lineales o de primer orden de una lámina plana (momentos estáticos).

ii. Centro de masas.

iii. Centro de gravedad y centroide.

iv. Momentos de inercia o de segundo orden.

v. Radio de giro

Momentos lineales

• El momento de una partícula con respecto a un eje se define, de forma general, como el producto de su masa por su distancia orientada al eje.

• Para una lámina de densidad variable, los momentos de masas o lineales se definen de forma similar a la usada para el caso de densidad uniforme.

Momentos lineales

• Si (x, y) es una función densidad continua de la lámina correspondiente a la región plana R, los momentos con respecto a los ejes x e y son:

y

x

yi

xi

R

R

y

R

x

dAyxxM

dAyxyM

,

,

• El momento de primer orden o lineal con respecto al origen es el vector: M0 = My i + Mx j

Mx y My son una medida de

la tendencia de giro

alrededor de los ejes x e y

Centro de masas

• Se define el centro de masas de una placa plana R, como el punto con respecto al cual el momento lineal es nulo.

• Las coordenadas del punto vienen dadas por:

siendo M la masa total de R:

M

M

M

Myx

dAyxyMM

My

dAyxxMM

Mx

xy

R

x

R

y

,,

,1

,1

R

dAyxM ,

Centro de masas

1. El centro de masas se asocia con el punto de equilibrio de la masa de R. Intuitivamente, es el punto donde está equilibrada la lámina.

2. Se considera que toda la masa de la lámina está concentrada en el centro de masas.

3. Si R representa una región simple (un alambre) en vez de una lámina, el centro de masas se conoce como centroide.

4. Si la placa y la función densidad son simétricas respecto a un mismo eje, el centro de masas estará situado sobre dicho eje.

Centro de masas

5. Si una región R está formada por dos sub-regiones tales que R = R1 R2, R1 R2 = . El centro de masa de la región total R es:

Entonces, el centro de masas de una región complicada se puede calcular dividiendo dicha región en subregiones más simples.

R

R1R2

21

2211

21

2211

MM

MyMyy

MM

MxMxx

Centro de gravedad

• Se define el centro de gravedad como el punto de coordenadas:

donde g(x, y) es la aceleración debida a la gravedad en el punto (x, y).

El centro de gravedad coincide con el centro de masas cuando el campo gravitacional es uniforme.

R

R

R

R

dAyxgyx

dAyxgyxy

ydAyxgyx

dAyxgyxx

x,,

,,

;,,

,,**

Centroide

• El centroide de una región bidimensional R es una propiedad puramente geométrica de la misma y no tiene que ver con masas ni con pesos. Se define como el punto de coordenadas:

• Si la densidad es constante entonces el centro de masas coincide con el centroide.

• Si la región R tiene un eje de simetría el centroide debe quedar en él.

R

R

R

R

dA

dAy

ydA

dAx

x ˆ;ˆ

El centro de masas y el centroide pueden estar en

distinto lugar si la distribución de masas no es uniforme.

Momentos de inercia

• Denotamos los momentos de segundo orden o momentos de inercia de una lámina respecto a una recta por Ix e Iy, y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de una distancia:

• Se define el momento polar de inercia, I0, como:

donde r es la distancia polar … de ahí el nombre.

R

y

R

x dAyxxIdAyxyI ,;, 22

RR

yx dAyxrdAyxyxIII ,, 2220

Para una lámina

situada sobre el eje xy, el momento polar de

inercia, I0, representa el momento de inercia de la

lámina respecto al

eje z.

Momentos de inercia

• Energía cinética de rotación: Considérese un disco circular que gira alrededor de su centro (origen) con una velocidad angular de radianes por segundo. Un elemento de masa, dM, a distancia r del origen se mueve con velocidad (lineal) v = r. La energía cinética de ese elemento de masa será:

Sumando (por integración) sobre todo el disco se obtiene:

22

2

1

2

1rdMvdM

20

2222

2

1

2

1

2

1 IdMrdMrECRR

rot

Radio de giro

• El radio de giro de una lámina de masa M y con momento de inercia I con respecto a un eje se define como:

• El radio de giro con respecto a un eje se interpreta como la distancia al eje a la cual se debe concentrar toda la masa M de la región R para producir el mismo momento de inercia que la masa real distribuida.

M

IRy

M

IRx

M

IR

y

y

xx

eje

eje


6. Hallar el centro de masas de la lámina correspondiente a la región parabólica 0 y 4 x2, donde la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia entre (x, y) y el eje x.

7. Una lámina tiene la forma de un cuarto de círculo (del primer cuadrante) de radio a. Su densidad es proporcional a su distancia al origen. Calcular su masa y su centroide.

8. Localizar el centroide de la región semicircular R definida por x2 + y2 a2 donde y 0.


9. Calcular el momento de inercia con respecto al eje y del disco homogéneo de masa m y radio r.

10.Una placa delgada cuya densidad es proporcional a la distancia al eje y ocupa la región acotada por la recta y = 4 y la parábola y = x2. Calcular el momento de inercia de la placa respecto a la recta y = 4.

Integral triple

• Sea f (x, y, z) una función continua en la región sólida acotada Q (incluida la frontera) de R3. La integral triple de f sobre Q se define como:

siempre que el límite exista.

i = número de particiones de Q.

Vi = xi yi zi Volumen del elemento i-ésimo.

iiiiii

ΔzΔyΔxQ

n

iiiiiΔVQ

ΔzΔyΔxzyxfdzdydxzyxf

ΔVzyxfdVzyxf

iii

i

,,lim ,,

,,lim ,,

000

10

Integral triple

QQ

Vdzdydx

n

iiQ VV

1Vi =xi yi zi

Integral triple

1. Si f (x, y, z) = 1 en la región sólida Q, la integral triple representa el volumen de Q:

2. Si f (x, y, z) 1, la integral triple representa la distribución de la función escalar f en Q.

3. La integral triple es una extensión del concepto de integral doble para una función de tres variables.

QQ

Vdzdydx

Integral triple

• Sea f (x, y, z) una función continua y acotada en una región acotada Q de R3 definida por:

donde h1, h2, g1 y g2 son funciones continuas.

b

a

xh

xh

yxg

yxgQdxdydzzyxfdVzyxf

2

1

2

1

,

,,,,,

yxgzyxgxhyxhbxa ,,;; 2121

b

a

xh

xh

yxg

yxgQdzzyxfdydxdVzyxf

2

1

2

1

,

,,,,,

Integral triple

dV

Habitual

Integral triple

• Diremos que una región acotada Q de R3 es un recinto estándar si se puede escribir de alguna de las formas siguientes:

donde h1 y h2 son funciones continuas en [a, b] y g1 y g2 son funciones continuas en la región plana correspondiente.

zygxzygzhyzhbzazyxQ

zxgyzxgzhxzhbzazyxQ

yxgzyxgyhxyhbyazyxQ

zygxzygyhzyhbyazyxQ

zxgyzxgxhzxhbxazyxQ

yxgzyxgxhyxhbxazyxQ

,,;;/,,

,,;;/,,

,,;;/,,

,,;;/,,

,,;;/,,

,,;;/,,

21213

6

21213

5

21213

4

21213

3

21213

2

21213

1

Integral triple• Las dos variables más exteriores indican el plano sobre

el cual debe realizarse la proyección ortogonal del sólido Q para definir la región R de la integral doble externa.

• Hallar primero los límites de la variable más interior, los cuales serán, en general, función de las dos variables más exteriores. Estos límites se obtienen proyectando Q sobre los planos que contengan a la variable más interior.

• Para obtener los límites de las dos variables más exteriores proyectar el sólido Q sobre el plano asociado a dichas variables. La forma de la región R resultante nos determinará la forma de proceder.

• Las propiedades de la integral triple son las mismas que las estudias para las integrales dobles pero formuladas en términos de integral triple.

Integral triple

1. Calcular la integral iterada:

2. Calcular el volumen de la región Q limitada por el cilindro parabólico x = y2 y los planos z = 0 y x + z = 1.

3. Hallar el volumen del elipsoide sólido dado por: 4x2 + 4y2 + z2 = 16

4. Calcular:

dxdydzzyex yx

x

2

0 0 02

dxdydzyx

2

0

2 3

1

2sin

Cambio de variables

Objetivo: Facilitar el cálculo de las integrales triples en aquellos casos en que las regiones de integración sean:

– Secciones cilíndricas

– Secciones esféricas

– Aparezca el término subintegral x2 + y2

Cambio de variables


Sean: x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w) tal que:

z = z(u, v, w)

las ecuaciones que relacionan las variables cartesianas con otras variables genéricas u, v, w.

Entonces:

QQ

dwdvduwvu

zyxJwvufdzdydxzyxf

,,

,,,,,,

0

,,

,,

wvu

zyxJ

Cambio a cilíndricas

QQdddzzfdydxdzzyxf ,,,,

P(, , z)

22 sincos

100

0cossin

0sincos

,,

,,

sin

cos

z

zyxJ

zz

y

x

Cambio a cilíndricas

5. Hallar la distribución de la función de temperatura dada por la ecuación T (x, y, z) = x2 + y2 en el recinto volumétrico Q limitado por el paraboloide x2 + y2 + z = 9 y el plano z = 0.

6. Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies x2 + y2 = 4z y z = 8 (x2 + y2)1/2.

7. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las siguientes superficies en el primer octante: z = 1 x2 y2, y = x, y = 31/2x, z = 0.

Cambio a esféricas

cos

0cossin

coscossinsincossin

cossinsincoscoscos

,,

,,

sin

cossin

coscos

2

zyxJ

z

y

x

z

x

yxy

z = sen

O

r

P(,,)

Cambio a esféricas

8. Calcular la distribución de la función escalar f (x, y, z) = x + y + z en el recinto volumétrico Q limitado por la semiesfera de centro el origen de coordenadas y radio 1 con y > 0.

9. Hallar el volumen del cuerpo limitado por las siguientes superficies: x2 + y2 + z2 = 2, x2 + y2 + z2 = 8, x2 + y2 = z2, para z > 0.

QQdddfdzdydxzyxf cos,,,, 2

Aplicaciones

En esencia son las mismas que las vistas para la integral doble, con las siguientes matizaciones:

1.En vez de estar referenciadas a una lámina plana (R), estarán referenciadas a un sólido (Q).

2.Se considera un dV en vez de un dA.

3.La función f será de tres variables en vez de dos.

4.Las fórmulas, en vez de estar planteadas a través de una integral doble, estarán plantearán a través de una integral triple.

Bibliografía

• Cálculo infinitesimal para técnicos. Vol. IX. Antonio Luis Álamo T. El Libro Técnico, Las Palmas de Gran Canarias (1997) 8492316101 o.c.

• Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2, 3ª Ed. Larson, R.E.; Hostetler, R .P. McGraw-Hill, Madrid, 1991. ISBN:847615240X

2225, yxyxfz

22 24, yxyxfz

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

2y2=x2-4

2

4 2xy

2

4 2xy

221, yxyxfz

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

x2=y-y2

2yyx

2yyx

221, yxyxfz

0222 xyx

11 22 yx

y

x

z

1

222 yxz

Tema 1. Integrales Multiples

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