TEMA 1: Introduccin a las ecuaciones...
21
TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Transcript of TEMA 1: Introduccin a las ecuaciones...
TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
7
INTRODUCCIÓN
El propósito de este tema es introducir a los alumnos en la terminología
básica de las Ecuaciones Diferenciales y examinar brevemente como se
deducen las ecuaciones diferenciales al tratar de formular o describir fenómenos
físicos o geométricos en términos matemáticos.
En la Lección 1 se introduce la definición de ecuación diferencial, se
clasifican las ecuaciones diferenciales en ecuación diferencial ordinaria y
ecuación diferencial parcial y se establecen criterios para determinar el orden, el
grado y la linealidad de una ecuación diferencial.
Ya que uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones
Diferenciales es resolver ecuaciones diferenciales, es decir, encontrar sus
soluciones, en la Lección 2 se estudia lo que significa que una función sea
solución de una ecuación diferencial y se analizan los tipos de soluciones que
puede tener una ecuación diferencial. Se plantean algunos problemas físicos y
geométricos cuya formulación matemática conduce al planteamiento de
ecuaciones diferenciales las cuales al ser resueltas y estar sujetas a condiciones
sobre la función desconocida y/o sus derivadas nos llevan a la obtención de
soluciones particulares. Este tipo de problemas se conocen como problemas de
valor inicial y problemas de valor de frontera.
Para finalizar en la Lección 3 se muestra como a partir de conocer un
haz de curvas se pueden obtener ecuaciones diferenciales por medio de un
proceso conocido como eliminación de las constantes arbitrarias esenciales.
8
LECCIÓN 1: DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
JUSTIFICACIÓN:
Muchos problemas importantes y significativos en ingeniería, en las
ciencias físicas y en las ciencias sociales, cuando están enunciados en términos
matemáticos, requieren la determinación de una función que satisfaga a una
ecuación que contiene derivadas de la función desconocida. Tales ecuaciones se
denominan Ecuaciones Diferenciales.
El propósito de esta lección es iniciar al alumno en el estudio de las
ecuaciones diferenciales, comenzando con introducir el concepto de ecuación
diferencial y su clasificación según tipo, orden y linealidad.
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1- Clasificar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones diferenciales
ordinarias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
2- Determinar el orden de una ecuación diferencial
3- Determinar el grado de una ecuación diferencial
4- Establecer cuando una ecuación diferencial es lineal y cuando no lo es
9
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
Ecuación Diferencial:
En cursos anteriores se han encontrado frecuentemente con la palabra
ecuación, la cual se utiliza en muy variadas ocasiones. ¿Podrían darme algunos
ejemplos de ecuaciones que ustedes conozcan?
♦ x2 + 2x + 1 = 0
♦ x3 - 1 = 0
♦ senx = 0
♦ ex - 1 = 0
♦ tgx = cosx
♦ 2x + y = 2
♦ x2 = 8y
♦ x2 - 10y = 1
Muy bien (deben anotarse en la pizarra las respuestas dadas por los
alumnos). ¿Podrían darme una definición de lo que para ustedes es una
ecuación?
♦ Una ecuación es una igualdad que se satisface para uno o más valores de
la (s) incógnita (s) que interviene (n) en ella.
Correcto. Cuándo se les pide resolver una ecuación ¿qué les sugiere?
♦ Obtener él (los) valor (es) de la (s) variable (s) que hace (n) que se
cumpla la igualdad.
10
Exacto. Habrá casos en los cuales el número de soluciones o valores que
satisfacen la ecuación es finito y en otros casos es infinito.
Según han visto en los cursos de Análisis Matemático II, Algebra
Lineal, Física y Química existen numerosos problemas en estas áreas que
conducen a plantear ecuaciones pero en las cuales las incógnitas no son
números, sino otros objetos matemáticos: matrices, funciones, aplicaciones
lineales, velocidad, reacción química, etc.
Veamos algunos ejemplos que nos conducirán a la definición de
ecuación diferencial.
EJEMPLO 1:
Determine la ecuación matemática que representa el siguiente
enunciado: la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos es igual
a la abscisa de dicho punto.
De acuerdo con los conocimientos previos que traen del curso de
Análisis Matemático I, si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar y
el punto (x, y (x)) es un punto cualquiera de la curva ς ¿Cómo pueden escribir
la pendiente de la recta tangente a la curva ς en el punto (x, y (x))?
♦ Se puede escribir: dx
)x(yd
11
Exactamente, la pendiente de la recta tangente a la curva ς en el punto
(x, y(x)) es igual a la derivada de la ecuación de la curva evaluada en dicho
punto.
¿Quién es la abscisa del punto?
♦ La abscisa del punto (x, y(x)) es x.
Correcto. Según el enunciado del problema ¿qué relación existe entre la
pendiente de la recta tangente y la abscisa del punto?
♦ Se dice que son iguales (se copia la ecuación en la pizarra).
dx)x(yd = x (1)
Esta es la ecuación asociada al problema. ¿Podrían explicar ustedes que
se está pidiendo en el problema?
♦ Se pide obtener la curva y(x) que satisface la relación de igualdad (1)
Muy bien. Pasemos a otro ejemplo.
EJEMPLO 2:
Determine la primitiva de la función f (x) = 3x2 + 2x
Según lo estudiado en el curso de Análisis Matemático II ¿qué significa
para ustedes obtener la primitiva de f(x)?
12
♦ Significa buscar una función F(x), tal que su derivada respecto de x sea
igual a f (x), es decir, igual a 3x2 + 2x.
Exactamente
dx)x(Fd = 3x2 + 2x (2)
Hagamos un ejemplo más.
EJEMPLO 3:
Representar a través de una ecuación matemática, que involucre a la
derivada, el siguiente enunciado: familia de curvas cuya primitiva es la función
f(x) = x1
¿Qué se está pidiendo en este ejemplo?
♦ Se está pidiendo hallar una función F(x) tal que su derivada respecto de x
sea igual a f(x) (se escribe la ecuación en la pizarra)
x1
dx)x(Fd
= (3)
Observen las ecuaciones (1), (2) y (3) ¿qué características comunes
hay en esas tres ecuaciones?
♦ Aparece la derivada de una función desconocida respecto de x en un
lado de la igualdad y en el otro una función conocida que depende de x.
13
¿Podrían identificar quién es la variable dependiente y quién es la
variable independiente en cada uno de los tres ejemplos?
♦ La variable independiente en las tres ecuaciones es x y la variable
dependiente es la función desconocida F(x).
Si yo les dijera que esas tres ecuaciones representan un tipo especial de
ecuación, denominada Ecuación Diferencial, ¿cómo definirían una ecuación
diferencial?
♦ Una ecuación diferencial es una ecuación donde la incógnita es una
función de una o más variables independientes y en dicha ecuación aparecen
derivadas de la función incógnita.
Leamos la definición que aparece en sus guías en la página 2
Una ecuación difer
relación entre una
incógnita y sus deriv
Clasificación de las Ec
Observa los eje
a) x2 y'' - x y' +
b) (y''')2 - 3 y' y''
c) 2dx
y2d3dx
y3d+
ECUACIÓN DIFERENCIAL encial es una ecuación en la que se establece una
o más variables independientes y una función
adas
uaciones Diferenciales:
mplos que están escritos en la pizarra
y = 6 ex
+ (y')4 = 0
6y33
dxdy2 =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
14
d) xcosxyz2
yyz
xz
=∂∂
∂−
∂∂
+∂∂
e) xyyzy
xzx =
∂∂
−∂∂
f) 02z
V2
2y
V2
2x
V2=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Para los ejemplos a) b) y c) ¿podrían identificar cuántas variables
dependientes y cuántas variables independientes hay?
♦ Una sola variable dependiente y una sola variable independiente.
Para los ejemplos d) e) y f) ¿podrían identificar cuántas variables
dependientes y cuántas variables independientes hay?
♦ Una sola variable dependiente y una, dos o tres variables
independientes.
¿Qué diferencia hay entre el tipo de derivada que aparece en los
ejemplos a) b) y c) y el tipo de derivada que aparece en los ejemplos d) e)
y f)?
♦ En los tres primeros ejemplos el tipo de derivada que aparece es
ordinario, mientras que en los otros tres ejemplos las derivadas son parciales.
Exactamente y esa diferencia nos lleva a una primera clasificación de
las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que involucran. Leamos
15
en sus guías en la página 2 la clasificación las ecuaciones diferenciales según
el tipo de derivada que involucran
es
or
ap
el
eje
de
de
CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEGÚN EL
TIPO DE DERIVADA QUE INVOLUCRA
Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cual
aparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto de
una sola variable independiente.
Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: es una ecuación
diferencial en la cual aparecen derivadas parciales de una sola variable
dependiente respecto de dos o más variables independientes.
Observen nuevamente los ejemplos de ecuaciones diferenciales que
tán en la pizarra ¿podrían indicar en cada uno de esos ejemplos hasta que
den aparece derivada la función incógnita o variable dependiente?
En el ejemplo a) aparece derivada hasta el orden dos; en el ejemplo b)
arece derivada hasta el orden tres; en el ejemplo c) aparece derivada hasta
orden tres; en el ejemplo d) aparece derivada hasta el orden dos; en el
mplo e) aparece derivada hasta el orden uno; en el ejemplo f) aparece
rivada hasta el orden dos.
Por favor, abran su guía en la página 2 y leamos la definición de orden
una ecuación diferencial que allí aparece.
El orden d
que aparec
ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
e una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden
e en la ecuación diferencial.
16
Abran sus guías en la página 2 y realicen el Problema 1 para consolidar
los conceptos estudiados hasta el momento.
PROBLEMA 1:
Clasificar cada una de las ecuaciones que se dan a continuación:
Ecuación Tipo Orden
1) y' = x2 + 5y
2) y'' - 4y' - 5y = e3x
3) yU
2x
U24
tU
∂∂
+∂
∂=
∂∂
4) φ=φ
rddr
5) ysenx32dx
y2d=−
6) 3yV
2x
V2
∂∂
=∂
∂
7) (2x + y) dx + (x - 3y) dy = 0
8) 02y
V24
yxV2
42x
V2=
∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂
9) 2y
T24
2x
T29
∂
∂=
∂
∂
10) y dx + (2x - 3) dy = 0
Disponen de tres minutos para realizar el Problema 1.
¿Qué procesos siguieron para poder resolver el Problema 1?
17
♦ Observamos cada ecuación diferencial. Identificamos sus características:
número de variables dependientes, número de variables independientes, el tipo
de derivada que aparece, esto es, si son derivadas ordinarias o derivadas
parciales y hasta que orden aparece derivada la variable dependiente (se copian
las respuestas en la pizarra).
Excelente. Podrían irme dando las respuestas que obtuvieron en el
Problema1.
Muy bien. El Problema 2 les queda como asignación.
PROBLEMA 2:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a
continuación, según tipo y orden
Ecuación Tipo Orden
1) (senx) y''' - (cosx) y' = 2
2) (1 - y2) dx + x dy = 0
3) x 0y4
dxdy2
3dx
y3d=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
4) (1 - x) y'' - 4xy' + 5y = cosx
5) xseny92dx
y2d=+
6) yyU∂∂ - 2U = 6x - 4y
7) 02y2x
U4=
∂∂
∂
18
8) zyzy
xzx =
∂∂
+∂∂
Observemos nuevamente los ejemplos, a), b), c), d), e) y f) de las
ecuaciones diferenciales, que aún están escritos en la pizarra. ¿Podrían decirme
cual es la potencia a la cual aparece elevada la derivada de mayor orden en cada
uno de esos ejemplos?
♦ En el ejemplo a) la potencia es uno; en el ejemplo b) la potencia es
dos; en el ejemplo c) la potencia es uno; en el ejemplo d) la potencia es uno;
en el ejemplo e) la potencia es uno; en el ejemplo f) la potencia es uno.
Leamos en la guía del estudiante en la página 4 el concepto de grado de
una ecuación diferencial
El grad
elevada
Re
Pueden tra
PROBLE
Cla
continuaci
GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
o de una ecuación diferencial es la potencia a la cual está
la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
suelvan el Problema 3 que aparece en sus guías en la página 4.
bajar en grupos de tres personas.
MA 3:
sifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a
ón, según tipo, orden y grado
19
Ecuación Tipo Orden Grado
1) 03
dydxxsen
2dy
x2d=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2) V2y
V22
2x
V2=
∂
∂+
∂
∂
3) 0xydxdy
2dx
y2dx =++
4) x2 xcosy2
dxdyx
2dx
y2d=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
5) 04y
z42
2y2x
z42
4x
z4=
∂
∂+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂−
∂
∂
Tienen tres minutos para realizar el Problema 3. Veamos algunas
respuestas.
Buen trabajo. El Problema 4 les queda como asignación.
PROBLEMA 4:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a
continuación, según tipo, orden y grado
Ecuación Tipo Orden Grado
1) 03y
z3
2yx
z33
y2x
z33
3x
z3=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
20
2) 02
dxdyx2
2dx
y2d=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
3) 02U2
2r
1rU
r1
2r
U2=
φ∂
∂+
∂∂
+∂
∂
4) x2 y'' + 2xy' - 12y - 2x2 = 0
5) y''' - y' = x ex
6) 0yyzy7
xyz2
xy63x
z33x =+∂∂
+∂∂
∂+
∂
∂
Observen ahora los ejemplos que voy a escribir en la pizarra.
A) xxlnydxdyxcos
2dx
y2dx =++
B) 0xeydxdyxy
2dx
y2d2y =++
C) xcosyxedxdyx
3
2dx
y2d2x =++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
En el ejemplo A) ¿quiénes son los coeficientes de la variable
dependiente y de sus derivadas?
♦ Los coeficientes de las variables dependientes y de sus derivadas en el
ejemplo A) son: x, cosx, lnx.
Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas?
♦ Tienen potencia 1.
21
Muy Bien. Realicemos el mismo análisis para el ejemplo B) ¿quiénes
son los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas?
♦ Los coeficientes de las variables dependientes y de sus derivadas en el
ejemplo B) son: y2, xy, ex.
Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas?
♦ Tienen potencia 1.
Muy bien. Observe las respuestas obtenidas para los ejemplos A) y B)
compárenlas y establezcan las semejanzas y las diferencias entre ellas.
♦ En ambos ejemplos la potencia de la variable dependiente y de sus
derivadas es igual a 1. En el ejemplo A) los coeficientes de la variable
dependiente y de sus derivadas dependen solo de x (la variable independiente),
mientras que en el ejemplo B) los coeficientes de la variable dependiente y de
sus derivadas dependen tanto de x como de y.
Analicemos el ejemplo C) ¿quiénes son los coeficientes de la variable
dependiente y de sus derivadas?
♦ Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas en el
ejemplo C) son: x2, x, ex
Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas?
♦ Tienen potencia uno y potencia tres.
22
Observen las respuestas obtenidas en los ejemplos A) y C),
compárenlas y establezcan las semejanzas y las diferencias entre ellas.
♦ En ambos ejemplos los coeficientes de la variable dependiente y de sus
derivadas dependen solamente de x. En el ejemplo A) la variable dependiente
y sus derivadas tienen potencia uno, mientras que en el ejemplo C) no ocurre
así.
Si ahora yo les digo que la ecuación diferencial del ejemplo A) se
conoce como una ecuación diferencial lineal y las ecuaciones diferenciales de
los ejemplos B) y C) no son ecuaciones diferenciales lineales, ¿podrían
ustedes establecer cuáles son las características esenciales de una ecuación
diferencial lineal?
♦ Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen
sólo de la variable independiente.
♦ La variable dependiente y sus derivadas están elevadas a la potencia uno.
De acuerdo. Abran sus guías en la pagina 6 y leamos la definición de
ecuación diferencial lineal que allí aparece.
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial en la
cual se satisfacen simultáneamente las condiciones:
a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado
(esto es, están elevadas a la potencia uno).
23
b)
cons
PRO
conti
1
2
3
4
5
6
7
8
para
Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas
dependen solo de la variable independiente.
Realicen el Problema 5 de sus guías que está en la página 6 a fin de
olidar los conceptos estudiados hasta ahora.
BLEMA 5:
Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a
nuación según tipo, orden, grado y linealidad.
Ecuación Tipo Orden Grado Linealidad
) 2x2ydxdyx
2dx
y2d2x =++
) y'' - 2x (y')2 = 0
) y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0
) x2 y'' + 2xy' - 12y = x2 y2
) y'' + x y = sen y''
) y' = x2 + 5y
) (2x + y) dx + (x -3y) dy = 0
) x (y')2 + 2xy' + xyy'' = 0
Resuelvan el problema en grupos de tres. Disponen de cinco minutos
ello.
Veamos las repuestas que obtuvieron.
Muy bien. El Problema 6 les queda como asignación.
24
PROBLEMA 6:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a
continuación, según tipo, orden, grado y linealidad
Ecuación Tipo Orden Grado Linealidad
1) x2 y'' + x y' + y = sec(lnx)
2) xe2x2y2dx
y2d=−
3) y'' - 4y' + 4y = (12x2 - 6x) e2x
4) 6x2 y'' + 5xy' + (x2 - 1) = 0
5) 2xseny2dxdy3
2dx
y2d=+−
6) yxexydxdyx
2dx
y2d2x +=++
7) y'' - 2x(y')2 + xy = 0
8) x2seny42dx
y2d=+
9) xeyx3
3dx
y3d24dx
y4d=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
10) y y' - x y'' = x y senx
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta Lección?
♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales y su clasificación
25
¿Qué entendieron por ecuación diferencial?
♦ Una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas.
De acuerdo con el tipo de derivada que involucra ¿cómo se clasifican las
ecuaciones diferenciales?
♦ Se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.
¿Qué caracteriza a cada una de ellas?
♦ Las ecuaciones diferenciales ordinarias se caracterizan porque en la
ecuación aparecen derivadas de una variable dependiente respecto de una sola
variable independiente, mientras que las ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales se caracterizan porque en la ecuación aparecen a derivadas de una
variable dependiente respecto de dos o más variables independientes.
¿Quién es el orden de la ecuación diferencial?
♦ Es el de la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial
¿Quién es el grado de la ecuación diferencial?
♦ Es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden en la
ecuación diferencial.
¿Que características tiene una ecuación diferencial lineal?
26
♦ La función desconocida o variable dependiente y sus derivadas son
todas de grado uno y los coeficientes de la variable dependiente y de sus
derivadas vienen dados solo en función de la o las variables independientes.
