Tema 1: Introducción · Electricidad y Magnetismo -Grupo 21.1 Curso 2010/2011 Rotacional -Derivada...

Electricidad y Magnetismo - Grupo

21.1

Curso 2010/2011

Rotacional - Derivada Temporal

Tema 1: Introducción

� Concepto de campo

� Repaso de álgebra vectorial

� Sistemas de coordenadas

�Cartesiano

�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

� Operadores vectoriales.

�Gradiente

�Divergencia

�Rotacional

�Derivada temporal

�Combinación de operadores: Laplaciana

�Expresiones con operadores

�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos

J.L. Fernández JambrinaEyM 1d-1

Circulación sobre contornos cerrados

• Ya se ha mencionado la circulación de uncampo vectorial a lo largo de contornos cerrados:

• Interpretación:

– Si se supone que el campo representa la velocidadde un fluido de densidad y viscosidad homogéneas,y que el contorno representa la guía de una cadenacon paletas, entonces la circulación muestra la tendencia de dicha cadena a desplazarse sobre la guía:

– Si la circulación es positiva, la cadena tenderá a moverseen el sentido definido como positivo.

– Si es negativa, en sentido contrario.

– Si es nula, no se moverá.

• Importante:

– La circulación no mide el que las líneas de campo den vueltas en un sentido u otro, aunque se ve influenciada por dicho hecho.

J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-2

C

dlr

∫ ⋅C

ldArr


21.1

Curso 2010/2011


Rotacional

• Definición:

– Es un vector que se define componente a componente según la expresión:

– Cu es un contorno contenido en una superficie u=cte

– Su es el área de la superficie u=cte limitada por Cu.

– La normal de la superficie se debe tomar según û, y el sentido positivo de la circulación se debe relacionar con û según la regla del sacacorchos.

• El rotacional cuantifica la contribución del campo en cada punto a las circulaciones sobre contornos cerrados.


( ) ( )u

C

SC

uuS

ldAAA u

u

u

∫ ⋅=×∇=

→→

vrrr

00

limrot


• Comenzando por la componente û1, se puede

considerar el contorno de la figura y la superficieu1=cte correspondiente.

– Empezando a calcular la circulación por ellado de la derecha:

– Sólo contribuye la componente A3.

– A medida que la longitud del tramo tiende a cero, se puede aproximar el integrando por su valor en el centro del tramo y, a continuación, expresar a partir del valor en en punto P :

Expresión en curvilíneas ...

u1

u2

u3

P

∆∆∆∆u2

∆∆∆∆u3333

u1

u2

u3

P

∆∆∆∆u2

∆∆∆∆u3333

2

22

2

2 333

2

22

2332

33333

33

33

ˆu

u

uu

uuuu

uu

uu

b

aduhAduhuAldA

∆+

∆+∆−∆

+

∆+∆− ∫=∫ ⋅=⋅∫

rrr

32

2

3333

2

33322

2

uu

u

hAhAuhAldA

P

Puu

b

a∆

∆∂∂

+→∆→⋅∆

+∫

rr


21.1

Curso 2010/2011



–

– Trabajando con el lado opuesto:

– Combinado las contribuciones:

– La contribución de los otros dos lados es:

32

3

222

3

3

2222

23

3

2222

2

2

uuu

hAu

ad

u

u

hAhA

cb

uu

u

hAhAldAldA

a

d

c

b

∆∆−=∆

→

∆−+

+

→

∆

∆+−→⋅+⋅ ∫∫

∂∂

∂∂

∂∂

444 3444 21

4444 34444 21

rrrr

Expresión en curvilíneas ...(2)

u1

u2

u3

P

∆∆∆∆u2

∆∆∆∆u3333

a

b

32

2

3333

2

22

3332

uu

u

hAhAuhAldA

P

Pu

u

d

c∆

∆∂∂

−−→∆−→⋅∆

−

∫rr

u1

u2

u3

P

∆∆∆∆u2

∆∆∆∆u3333

c

d

32

2

3333

2

22

3332

uu

u

hAhAuhAldA

P

Pu

u

b

a∆

∆∂∂

+→∆→⋅∆

+

∫rr

32

2

33 uuu

hAldAldA

P

d

c

b

a∆∆

∂∂

→⋅+⋅ ∫∫rrrr

u1

u2

u3

P

∆∆∆∆u2

∆∆∆∆u3333

c

d

b

a


Expresión en curvilíneas ...(3)

• Finalmente:

• La componente 2:

• La componente 3:

( )

3322

32

323

22

2

33

32

3232

32

3

22

2

33

100

1

11

lim 1

1

1

hAhA

uuhhu

hA

u

hA

hh

uuhh

uuu

hA

u

hA

S

ldAA

C

SC

∂∂

∂∂

=

∂∂

−∂∂

=

=∆∆

∆∆

∂∂

−∂∂

=⋅

=×∇∫

→→

rr

u1

u2

u3

( )1133

13

131

33

3

11

13

2

11

hAhA

uuhhu

hA

u

hA

hhA ∂

∂∂∂

=

∂∂

−∂∂

=×∇

( )2211

21

213

11

1

22

21

3

11

hAhA

uuhhu

hA

u

hA

hhA ∂

∂∂∂

=

∂∂

−∂∂

=×∇

u1

u2

u3

u1

u2

u3


21.1

Curso 2010/2011



• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas Esféricas

332211

321

332211

321

ˆˆˆ

1

hAhAhA

uuu

uhuhuh

hhhA

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇r

zy

A

x

Ay

x

A

z

Ax

z

A

y

A

AAA

zyx

zyx

A xyzxyz

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

−+

−+

−==×∇

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂r

zAAA

z

z

A

ϕρ ρ∂∂

∂ϕ∂

∂ρ∂

ϕρρ

ρ

ˆˆˆ1

=×∇r

ϕθ θ∂ϕ∂

∂θ∂

∂∂

ϕθθ

θ=×∇

ArsenrAAr

rsenrr

senrA

r

ˆˆˆ

12

r

Expresiones del rotacional


Teorema de Stokes

• Enunciado:

La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno

cerrado es igual al flujo de del rotacional del campo a través de una

superficie abierta limitada por el contorno siempre que el sentido de

circulación y la normal a la superficie estén relacionados por la regla

del tornillo y únicamente estén involucrados puntos ordinarios.

CS

$n

∫∫∫ ⋅×∇=⋅SC

SdAldArrrr

Nota: Cada contorno tiene asociadas infinitas

superficies a efectos de este teorema.


21.1

Curso 2010/2011



Teorema de Stokes (2)

• Demostración:

– La superficie escogida se puede dividir en un número arbitrario de subsuperficies manteniendo el sentido de circulación a sus contornos.

– Al sumar la circulación a lo largo de todos los contornos de la superficies, se cancelan las contribuciones de los lados interiores. Sólo queda la circulación a lo largo del contorno exterior:

– Si los contornos son suficientemente pequeños, a partir de la definición de rotacional:

– Si el número de subsuperficies tiende a infinito y su tamaño a cero:

C

( ) ∑∫∫∫

⋅×∇=⋅⇒⋅×∇=⋅⇒⋅

=×∇→→

N

i

iiC

iiC

u

C

SC

u nSAldAnSAldAS

ldAA

i

u

u

u

ˆˆlim

00

rrrrvrvr

r

+ = ∑∫∫ ⋅=⋅N

iCC i

ldAldArrrr

∫∫∑∫ ⋅×∇=⋅×∇=⋅∞→ S

N

i

iiNC

SdAnSAldArrrrr

ˆlim


Definición alternativa del rotacional.

• La definición del rotacional utilizada:

– Permite una interpretación directa útil.

– Al definir el rotacional a través de sus componentes no permite comprobar fácilmente que el rotacional es un vector.

• Algunos textos utilizan la definición:Esta definición:

– No permite una interpretación directa útil.

– Hace evidente que el rotacional es un vector.

– Por su parecido con la definición de la divergencia, esta definición lleva directamente a la siguiente expresión integral:

– La verificación de esta expresión es prueba de que ambas definiciones con equivalentes (y de que el rotacional es un vector).

( )u

C

SC

uS

ldAA u

u

u

∫ ⋅=×∇

→→

vrr

00

lim

V

SdAA S

SV

∫∫ ×−=×∇

→→

rrr

00lim

∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV

SdAdVArrr


21.1

Curso 2010/2011



Definición alternativa del rotacional. (2)

– Se va a realizar la demostración término a término en coordenadas cartesianas:

» Definiendo un vector auxiliar de la formaes evidente que:

» Análogamente:

» Y ...

» Queda demostrado

∫∫∫∫∫ ×−=×∇SV

SdAdVArrr

( )y

AyAyA z

zz ∂∂

=⋅∇ ˆ;ˆ

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂∂

Syz

Sz

Vz

V

z dSASdyAdVyAdVy

A rˆˆ

( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅∇=∂

∂S

zyS

yV

yV

ydSASdzAdVzAdV

z

A rˆˆ

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

×−=×∇

×−=−=

∂∂

−∂

∂=×∇

×−=−=

∂∂

−∂∂

=×∇

×−=−=

∂

∂−

∂∂

=×∇

SV

Sz

Syxxy

V

xy

Vz

Sy

Sxzzx

V

zx

Vy

Sx

Szyyz

V

yz

Vx

SdAdVA

SdAdSAdSAdVy

A

x

AdVA

SdAdSAdSAdVx

A

z

AdVA

SdAdSAdSAdVz

A

y

AdVA

rrr

rrr

rrr

rrr


El operador nabla: ∇

• Repetidamente se ha utilizado el símbolo ∇∇∇∇ en la nomenclatura de los operadores descritos.

• Este símbolo representa un operador bien definido en coordenadas cartesianas:

• En otros sistemas de coordenadas su definición no es tan clara, pero resulta útil para simplificar la nomenclatura.

• Tiene carácter vectorial y diferencial: se deben seguir las normas correspondientes para su aplicación.

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇z

zy

yx

x ˆˆˆ


21.1

Curso 2010/2011



El operador nabla: (2)

• Gradiente:

– Producto de un escalar por un vector:

• Divergencia:

– Producto escalar de dos vectores:

• Rotacional:

– Producto vectorial de dos vectores:

zz

Uy

y

Ux

x

UU

zz

yy

xxU ˆˆˆˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

( )z

A

y

A

x

AzAyAxA

zz

yy

xxA zyx

zyx ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆr

( )zyx

zyx

AAA

zyx

zyx

zAyAxAz

zy

yx

xA∂∂

∂∂

∂∂

=++×

∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ


El operador nabla: ∇ (3)

• Existe una definición general:

×−=×∇⇔×∆

=×∇

⋅=⋅∇⇔⋅∆

=⋅∇

=∇⇔∆

=∇

⇒∆

=∇

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫∫

∫∫

∆→∆

∆→∆

∆→∆

∆→∆

V SSV

V SSV

V SSV

SV

SdAdVAASdV

A

SdAdVASdAV

A

SUdUdVSUdV

U

SdV

rrrrr

rrrrrr

rr

or

o

1lim

1lim

1lim

1lim

0

0

0

0


21.1

Curso 2010/2011



Derivada Temporal

• En rigor debería hablarse de derivada de un campo vectorial respecto de un parámetro, pero como este parámetro suele ser el tiempo se habla de derivada temporal

• Los detalles que se desea resaltar se entenderán mejor con un ejemplo:

– Dado un campo vectorial y un móvil cuya posición está dada por : Calcule el vector derivada del campo respecto al tiempo según se observa desde el móvil.

» Sin olvidar que los vectores unitarios dependen de la posición.

» donde:

• Las expresiones de la forma dependen de cada caso:

( )tuuuA ,,, 321

r

( ) ( ) ( )( )tututur321

,,r

Ar

( )dt

udA

dt

udA

dt

udA

dt

dAu

dt

dAu

dt

dAuuAuAuA

dt

d

dt

Ad3

32

21

13

32

21

1332211

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++++=++=

r

t

A

dt

du

u

A

dt

du

u

A

dt

du

u

A

dt

dA iiiii

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= 3

3

2

2

1

1dt

du

u

u

dt

du

u

u

dt

du

u

u

dt

ud iiii 3

3

2

2

1

1

ˆˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

j

i

u

u

∂∂ ˆ


Derivada Temporal (2)

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

0ˆˆˆ

0ˆˆˆ

0ˆˆˆ

=========dz

zd

dy

zd

dx

zd

dz

yd

dy

yd

dx

yd

dz

xd

dy

xd

dx

xd

0ˆ

0ˆ

0ˆ

0ˆ

ˆˆ

0ˆ

0ˆ

ˆˆ

0ˆ

==ϕ

=ρ

=ϕ

ρ−=ϕϕ

=ρϕ

=ρ

ϕ=ϕρ

=ρρ

dz

zd

d

zd

d

zddz

d

d

d

d

ddz

d

d

d

d

d

θθ−θ−=ϕϕ

=θϕ

=ϕ

ϕθ=ϕθ

−=θθ

=θ

ϕθ=ϕ

θ=θ

=

ˆcosˆsenˆ

0ˆ

0ˆ

ˆcosˆ

ˆˆ

0ˆ

ˆsenˆˆˆ

0ˆ

rd

d

d

d

dr

dd

dr

d

d

dr

d

d

rd

d

rd

dr

rd

Tema 1: Introducción · Electricidad y Magnetismo -Grupo 21.1 Curso 2010/2011 Rotacional -Derivada...

Documents

Transcript of Tema 1: Introducción · Electricidad y Magnetismo -Grupo 21.1 Curso 2010/2011 Rotacional -Derivada...