TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300...

1

1

TEMA 1:Introducción a la transmisión de

calor

1. Termodinámica y Transmisión de Calor

2. ¿Qué y Cómo?

3. Mecanismos de transmisión de calor3.1. Conducción3.2. Convección3.3. Radiación Térmica

4. Primer principio de la termodinámica4.1. Aplicación a un volumen de control4.2. Aplicación a una superficie de control

2

2

¿Qué y Cómo?

q ′′

Conducción

Fluido en Movimiento, ∞T∞> TTs

q ′′

Convección

1q ′′

Radiación térmica

21 TT >

1T 2T

sT

1T

2T

2q ′′

TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor

3

3

Mecanismos de transmisión de calor Conducción

dxdT

kq −=′′

LTT

dxdT 12 −

=

LT

kL

TTk

dxdT

kq 21 ∆=

−=−=′′

Ley de Fourier

q ′′

1T

2T

T

xL

[ ]

[ ] tdxdT

kAtqAtqJQ

;qAWq

∆−=∆′′=∆=

′′=


4

4

Mecanismos de transmisión de calor Convección

( )∞−=′′ TThq s

q ′′

∞u

Ley de Enfriamiento de Newton

Proceso

h (W/m²·k)

Convección libre Gases 2-25 Líquidos 50-1000 Convección Forzada Gases 25-250 Líquidos 50-20000 Convección con cambio de fase Ebullición y condensación 2500- 100000

y∞Ty

( )yu ( )yT

sT


5

5

Mecanismos de transmisión de calor Radiación Térmica

4emitido Tq σε=′′

iq ′′

( )∑=

−=′′n

1j

4j

4iiji TTDq

absorbidoemitidoi qqq ′′−′′=′′

iT

ρ

τα


6

6

Principio de conservación de la energía

dtdE

EEEEE acusalacusalgenent +=+=+ &&&&&

entE&

acusalgenent EEEE +=+

Para un instante dado (t)

Para un intervalo de tiempo (∆t)

condq ′′radq ′′

convq ′′

∞T

salent EE && =

radconvcond qqq ′′+′′=′′

Volumen de control

Superficie de control

salE&genE&

acuE&

1T

2TT

x


7

7

TEMA 2:Fundamentos de transmisión de

calor por conducción

1. Definiciones y Ley de Fourier

2. Las propiedades térmicas de la materia2.1. La conductividad térmica2.2. Otras propiedades importantes

3. La ecuación general de transmisión de calor por conducción3.1. Casos particulares

4. Condiciones iniciales y de contorno

8

8

Definiciones y Ley de Fourier

xq

x∆

xq ′′

xT

Aqx ∆∆

∝

dxdT

Akqx −=

dxdT

kAq

q xx −==′′

x

2T1T,A

x

2T

1T

( )xT

TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción

9

9

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−=′′zT

kyT

jxT

ikTkqrrrrr

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=

′′′′′′

=′′

zT

k

yT

k

xT

k

qqq

q

z

y

xr

[ ]C)t,z,y,x(T °

C0T °=

C10T °=

[ ]2m/W)t,z,y,x(qr

′′

qr

′′

nr

A

α∫∫ α′′=′′=AA

dAcosqAd·qqrr


10

10

0.01 0.1 1 10 100 1000Conductividad térmica (W/m·K)

Gas

Líquido

Aislamiento

Sól. No-metálico

Aleación

Metal

CO2 H2

HgH2OAceites

Espumas Fibras

Plásticos Hielo Oxidos

Ni Al

Zn Ag

420Plata

390Cobre

200Aluminio

16Acero inoxidable

0.80Hormigón

0.04Aislante (Poliestireno)

Sólidos:

0.613Agua (300 K, sat.)

0.242Etilenglicol (300 K)

0.145Aceite Motor (300 K)

Líquidos:

0.248Vapor de agua (100°C, 1 atm)

0.0247Amoniaco(300 K, 1 atm)

0.0263Aire (300 K, 1 atm)

Gases:

Conductividad Térmica(W/m·K)

Material


11

11

Las propiedades térmicas de la materiaConductividad

SólidosLíquidos

Gases


12

12

La ecuación general de transmisión de calor

xqyqE yxent ∆′′+∆′′=&

xq′′ xxq ∆+′′

yq ′′

yyq ∆+′′

almsalgenent EEEE &&&& +=+

xqyqE yyxxsal ∆′′+∆′′= ∆+∆+&

yxqEgen ∆∆= &&tT

yxcE palm ∂∂

∆∆ρ=&

xT

kqx ∂∂

−=′′

yT

kqy ∂∂

−=′′

...xx

qqq x

xxx +∆∂

′′∂+′′=′′ ∆+

...yy

qqq y

yyy +∆∂

′′∂+′′=′′ ∆+

Ley de Fourier:

tT

cqyT

kyx

Tk

x p ∂∂

ρ=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ &

y

y∆

x∆

x


13

13

tT

cq

zT

kz

Tk

r1

rT

krrr

1

p

2

∂∂

ρ=+

∂∂

∂∂

+

θ∂

∂θ∂

∂+

∂∂

∂∂

&

tT

cqT

senksenr1

Tk

senr1

rT

krrr

1

p22

222

2

∂∂

ρ=+

φ∂

∂φ

θ∂∂

φ

+

θ∂

∂θ∂∂

φ+

∂∂

∂∂

&

x

y

z

r

z

θ

x

y

z

zy

xtT

cqzT

kzy

Tk

yxT

kx p ∂

∂ρ=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ &

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

x

y

z

rz

θ

φ

K Uniforme:tT1

kq

zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

∂∂

α=+

∂∂

+∂∂

+∂∂ &

K Uniforme, sin generación (Ec. Fourier): t

T1zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

∂∂

α=

∂∂

+∂∂

+∂∂

K Uniforme, régimen permanente (Ec. Poisson):

0kq

zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂ &

K Uniforme, sin generación y régimen permanente (Ec. Laplace):

0T;0zT

yT

xT 2

2

2

2

2

2

2

=∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

Casos particulares:


14

14

Condiciones iniciales y de contorno

sT)t,0(T =

1. Temperatura superficial impuesta

s0x

qxT

k ′′=∂∂

−=

2. Flujo superficial impuesto

sq ′′

0xT

k0x

=∂∂

−=

( )[ ]t,0TThxT

k0x

−=∂∂

− ∞=

3. Convección superficial

h,T∞

x

x

x

x

( )t,xT

( )t,xT

( )t,xT

( )t,xT

sT

( )t,0T


15

15

TEMA 3:Conducción Unidimensional en

Régimen Permanente

1. La pared plana1.1. Distribución de temperaturas1.2. Resistencia térmica1.3. Pared compuesta1.4. Resistencia de contacto

2. El cilindro

3. La esfera

16

16

La pared plana

0dx

Td0

dxdT

kdxd

2

2

=→=

( ) ( ) 1,s1,s2,s Tex

TTxT +−=

( )2,s1,sx TTe

kAdxdT

Akq −=−= ( )2,s1,sx

x TTek

Aq

q −==′′

xq ′′

1,T∞

x

1,sT

2,sT

2,T∞

( )xT

Ecuación diferencial Condiciones de contorno

2,s

1,s

TTex

TT0x

=→=

=→=

Distribución de temperaturas

Flujo de calorFlujo de calor por unidad de área

e

TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente

17

17

Resistencia térmica

( ) ( )

Ake

TTTT

eAk

q 2,s1,s2,s1,sx

−=−=

Flujo de calor por conducción

1V 2VR

I

RVV

I 21 −=

Ley de Ohmxq ′′

1,T∞

x

1,sT

2,sT

2,T∞

( )xT

1,conv,tR cond,tR 2,conv,tR

1,T∞ 1,sT 2,sT 2,T∞

Ake

R cond,t =

Flujo de calor por convección

( ) ( )

Ah1

TTTTAhq

1

1,s1,1,s1,1x

−=−= ∞

∞ Ah1

R1

1,conv,t =

( ) ( ) ( ) ( )

Ah1

Ake

Ah1

TT

Ah1

TT

Ake

TT

Ah1

TTq

21

2,1,

2

2,2,s2,s1,s

1

1,s1,x

++

−=

−=

−=

−= ∞∞∞∞

( ) ( )total,t

2,1,

2,conv,tcond,t1,conv,t

2,1,x R

TT

RRR

TTq ∞∞∞∞ −

=++

−=


18

18

Pared compuesta

( ) ( )

Ah1

Ake

Ake

Ake

Ah1

TT

R

TTq

2C

C

B

B

A

A

1

2,1,

t

2,1,x

++++

−=

−= ∞∞∞∞

∑

xq1,T∞

x

1,sT

2,sT

2,T∞

( )xT

Ah1

1

1,T∞ 1,sT 2,sT 2,T∞1,iT 2,iT

1,iT

2,iT

Ake

A

A

Ake

B

B

Ake

C

C

Ah1

2

A B C

( )2,1,x TTAUq ∞∞ −=

2C

C

B

B

A

A

1 h1

ke

ke

ke

h1

1U

++++=

Coeficiente global de transferencia de calor

A

B

ATBT

( ) ( )

AR

TTR

TTq

c,t

BA

c,t

BAx ′′

−=

−=

Resistencia térmica de contacto


19

19

El cilindro

0drdT

rdrd

0drdT

krdrd

r1

=

→=

Ecuación diferencial

Condiciones de contorno

2,s2

1,s1

TTrr

TTrr

=→=

=→=


Flujo de calor

2,T∞

1,T∞

2,T∞

1,sT2,sT

1,sT

2,sT

1r2r

cond,tR2,conv,tR

1,T∞

1,sT 2,sT

1,conv,tR

( ) ( )

−+=

112

1,s2,s1,s r

rln

r/rln

TTTrT

( )( )12

2,s1,sr r/rln

TTLk2

drdT

Akq−π

=−=

( )( )

Lk2r/rlnTT

q12

2,s1,sr

π

−=

( )Lk2r/rln

R 21cond,t π

=1111

1,conv,t hLr21

hA1

Rπ

==

Resistencias térmicas

( )( )12

2,s1,sr r/rln

TTk

r1

drdT

kq−

=−=′′

Densidad de flujo de calor

L


20

20

La esfera

0drdT

rdrd

0drdT

krdrd

r1 222

=

→=

Ecuación diferencial

Condiciones de contorno

2,s2

1,s1

TTrr

TTrr

=→=

=→=


Flujo de calor

2,T∞

1,T∞

2,T∞

1,sT2,sT

1,sT

2,sT

1r2r

cond,tR2,conv,tR

1,T∞

1,sT 2,sT

1,conv,tR

( ) ( )1,s2,s

2

1

1

1,s TT

rr

1

rr

1TrT −

−

−+=

( )( ) ( )21

2,s1,sr r/1r/1

TTk4

drdT

Akq−

−π=−=

( )( ) ( )

k4r/1r/1

TTq

21

2,s1,sr

π−−

=

( ) ( )k4

r/1r/1R 21

cond,t π−

=

12111

1,conv,t hr41

hA1

Rπ

==

Resistencias térmicas

( )( ) ( )[ ]21

22,s1,s

r r/1r/1r

TTk

drdT

kq−

−=−=′′

Densidad de flujo de calor


21

21

TEMA 4:Superficies extendidas. Aletas

1. Introducción1.1. Objetivo y aplicaciones1.2. Clasificación

2. Ecuación general de aletas2.1. Aletas rectas de sección transversal

uniforme2.2. Solución aproximada2.3. Evolución del campo de temperaturas

3. Eficiencia3.1. Eficiencia de aleta3.2. Eficiencia global de superficie aleteada

4. Diseño térmico de aletas

22

22

Objetivo y aplicaciones

( )∞−= TTAhq s

( )∞−= TTAhq s

A,Ts

h,T∞

h,T∞

sT

A

TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas

23

23

Clasificación

Longitudinales o Rectas:

Transversales o Anulares:

Agujas o Espinas:


24

24

Ecuación general de aletas

convdxxx dqqq += +

Balance en una sección:dxdT

Akq cx −=

dxdxdT

Adxd

kdxdT

Akdxdxdq

qq ccx

xdxx

−−=+=+

( )∞−= TTdAhdq sconv

( ) 0TTdxdA

kh

dxdT

Adxd s

c =−−

∞


25

25

h,T∞

0T

L

w

δ

ctewAc =δ=

xPAs =

δ+= 2w2P

( ) 0TTAkPh

dxTd

c2

2

=−− ∞


Aletas rectas de sección transversal uniforme:

Adimensionalización:

( ) ( )∞

∞

−−

=θTTTxT

x0

0LmdXd 22

2

2

=θ−θ

cc

2

AkPh

m;AkPh

m ==

Condiciones de contorno:Lx

X =

0TT0x =→= 10X =θ→=

( )( )∞=

−=−→= TLThdxdT

kLxLx

θ−=θ

→== k

LhdXd

1X1X

Solución:

( )[ ] [ ]

)Lm(senhkm

h)Lm(cosh

)X1(Lmsenhkm

h)X1(Lmcosh

X+

−+−=θ

)Lm(senhkm

h)Lm(cosh

)Lm(coshkm

h)Lm(senh

)TT(mAkdxdT

Akq 0c0x

c

+

+−=−= ∞

=


26

26


Problema aproximado:

0LmdXd 22

2

2

=θ−θ

Condiciones de contorno:

0TT0x =→= 10X =θ→=

0dxdT

AkLxLx

c =−→==

0dXd

1X1X

=θ

→==

Solución:

( ) [ ])mL(cosh

)X1(LmcoshX

−=θ )mL(tgh)TT(mAkq 0c ∞−=

L

δ

cL

2/δLongitud corregida:

2/LLC δ+=

)mL(tgh)TT(mAkq c0c ∞−=

mkh

k2h

wkhw2

2AkPh

22m

c

=δ

=δ

δ≈

δ=

δ

2mLmLm c

δ+=


27

27

∞

∞

−−

=θTTTT

0

k2/hδ

( )∞− TTmkA/q 0c

Solución exacta vs. aproximada:

Evolución del campo de temperaturas:

Solución aproximada mL>5:

01X =θ→= ( ) ( )XmexpX −=θ ( )∞−= TTmAkq 0c


28

28

Eficiencia de aleta

Definición:

base la de tª la a aleta la toda concalor de Flujocalor de realFlujo

a =η

Aleta recta de sección transversal uniforme:

( )c

ca mL

mLtgh=η

( )∞−η=η= TTAhqq 0samaxa

( )

( ) ∫ ∫∫

θ=θ=−−

=−

−

=η∞

∞

∞

∞

s s

s

A As

ss

0s0s

sA

a dAA1

dATTTT

A1

TTAh

dATTh

Interpretación física de la eficiencia:


29

29

Eficiencia global de la superficie

( ) ( )∞∞ −+−η=+= TTAhTTAhqqq 0p0aaprimaria.supaletastotal

Interpretación física de la eficiencia:

( )( )∞−+η= TTAAhq 0paatotal

base la de tª la a aletas la todas concalor de Flujocalor de realFlujo

s =η

( )total

paa

max

totals A

AA

qq +η

==η

∞

∞

∞

∞

−

−=+

−

−=η

TT

TT

A

A

TT

TT

AA

0

s,med

total

p

0

a,med

total

as

( )∞−η= TTAhq 0totalstotal

∞TiT

ii Ah1 ( )

Lk2r/rln 21

π totalse Ah1

η

Resistencia térmica de una superficie aleteada:


30

30

Diseño térmico de aletas

¿Añadir aletas incrementa siempre la transmisión de calor?

( ) ( )↓∆↑= TAhq total

Relación de flujos:( )

( ) sin

totals

0sin

0totals

aletassin

aletacon

AA

TTAhTTAh

q

qRF

η=

−−η

==∞

∞

Lkh2

Lkh2

tghL2

RF

⋅δ

⋅

δ⋅

δ=

- 1 aleta recta de sección transversal uniforme:


31

31

TEMA 5:Fundamentos de la Transmisión de

Calor por Convección

1. Introducción1.1. Clasificación de problemas de convección

2. Teoría de capa límite2.1. Capa límite de velocidad o hidrodinámica2.2. Capa límite de temperatura o térmica

3. Flujo laminar y turbulento

4. Ecuaciones generales de convección4.1. Ecuaciones simplificadas4.2. Ecuaciones adimensionales4.3. Forma funcional de las soluciones

32

32

Introducción

( )∞−= TTAhq ss

( )∫∫ ∞−=′′=ss A ssA s dAhTTdAqq

( )∞−= TTAhq ss

∫=sA s

s

dAhA1

h ∫=L

0dxh

L1

h

∞∞ T,u∞∞ T,v

r

snr

ss T,A

sdA

snr

ss T,A

x dx

( )∞−=′′ TThq s

Ley de enfriamiento de Newton:

Clasificación de los problemas de convección:

- Según el origen del movimiento: Forzada / Natural o Libre

- Según el régimen de flujo:Laminar / Turbulento

- Según el confinamiento:Flujo interno / Flujo externo

- Según la naturaleza del proceso:Sin cambio de fase / Con cambio de fase

TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección

33

33

Teoría de Capa Límite

∞u

δ

( )xδτ

2/uC

2s

f∞ρτ

=0y

s yu

=∂∂

µ=τ

∞T

tδ

( )xtδ

sT

0yfs y

Tkq

=∂∂

−=′′

∞

=

−

∂∂−=

TT

yTkh

s

0yf

∞u

uτ

x

y

x

y

∞T

T


34

34

Flujo Laminar y Turbulento

∞u

δ

( )xδ

Laminar Transición Turbulento

∞u

∞u

uu

xcx

y

x

δ,h ( )xh

( )xδ

µρ

= ∞xuRex


35

35

Ecuaciones Generales de Convección(Navier-Stokes)

Xyv

xu

y

yv

xu

32

xu

2xx

pyu

vxu

u

+

∂∂

+∂∂

µ∂∂

+

∂∂

+∂∂

−∂∂

µ∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

ρ

Ley de conservación de la materia (Ecuación de continuidad):

( ) ( )0

yv

xu

=∂ρ∂

+∂ρ∂

2ª ley del movimiento de Newton (Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento):

Yxv

yu

x

yv

xu

32

yv

2yy

pyv

vxv

u

+

∂∂

+∂∂

µ∂∂

+

∂∂

+∂∂

−∂∂

µ∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

ρ

Ecuación de conservación de la energía térmica:

qyv

xu

32

yv

xu

2xv

yu

yv

xu

pyT

kyx

Tk

xye

vxe

u

2222

&+

∂∂

+∂∂

−

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+∂∂

µ+

∂∂

+∂∂

−

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂

ρ+∂∂

ρ


36

36

Ecuaciones de convección simplificadas

2

2

yu

xp1

yu

vxu

u∂∂

ρµ

+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

0yp

=∂∂

2

2

p yT

ck

yT

vxT

u∂∂

ρ=

∂∂

+∂∂





37

37

Ecuaciones de convección Adimensionales

2*

*2

L*

*

*

**

*

**

y

uRe1

xp

yu

vxu

u∂

∂+

∂∂

−=∂∂

+∂∂

0yv

xu

*

*

*

*

=∂∂

+∂∂

2*

*2

L*

**

*

**

y

TPrRe

1yT

vxT

u∂

∂=

∂∂

+∂∂

2*

s

s*

****

Vp

p;TTTT

T

Vv

v;Vu

u;Ly

y;Lx

x

ρ=

−−

=

====

∞

ν=

µρ

=VLVL

ReL

αν

=µ

=k

cPr p





38

38

Forma Funcional de las soluciones

0y*

*

0ys

*yu

LV

yu

== ∂∂

µ=

∂∂

µ=τ

=

*

*

L**

1*

dxdp

,Re,y,xfu

)geometría(fLibre Corrientedxdp

*

*

==

( )geometría,Re,xfyu

L*

2

0y*

*

*

=∂∂

=

( )geometría,Re,xfRe2

yu

Re2

VC L

*2

L0y*

*

L2

sf

*

=∂∂

=ρ

τ=

=

( )geometríaPr,,Re,y,xfT L**

3* =

( )0y

*

*f

0ys

f

*yT

Lk

yT

TTk

h==∞ ∂

∂=

∂∂

−−=

( )geometríaPr,,Re,xfNukhL

yT

L*

4Lf0y

*

*

*

===∂∂

=

( )geometríaPr,,RefkLh

Nu L5f

L ==


39

39

TEMA 6:Convección Forzada,

Flujo Externo

1. Introducción

2. Placa plana, flujo paralelo2.1. Descripción2.2. Correlaciones

3. Cilindro, flujo perpendicular y Esfera3.1. Descripción3.2. Correlaciones

4. Banco de tubos, flujo perpendicular4.1. Descripción4.2. Correlaciones

40

40

∞u

δ

( )xδ

Laminar Transición Turbulento

∞u

∞u

uu

xcx

y

x

δ,h ( )xh

( )xδ

Placa plana, flujo paralelo

TEMA 6: Convección forzada flujo externo

41

41

Cilindro, flujo cruzado y Esfera

v

0xp

<∂∂

0xp

>∂∂

Punto de separaciónInversión de flujo

x θ

D


42

42

Cilindro, flujo cruzado y Esfera


43

43

Banco de tubos, flujo perpendicular

SL

ST

D

SL

ST

D

SD

A1

A1

A2

A2∞T,V ∞T,V

En línea: Cruzada:


44

44

TEMA 7:Convección Forzada,

Flujo Interno

1. Introducción

2. Conducto circular2.1. Descripción hidrodinámica2.2. Descripción térmica2.3. Correlaciones

3. Conducto no circular

45

45

Conducto circular

Región de entrada hidrodinámica Región completamente desarrollada

µρ

=Du

Re mD

2300Re cr,D ≈

D

lam

h,ent Re05.0D

x≈

60

D

x10

turb

h,ent ≤

≤

µπ=

Dm4

ReD

&

cmAum ρ=&

( )x,ruu0rr

xh,entx

TEMA 7: Convección forzada flujo interno

46

46

Conducto circular

Coeficiente de fricción o factor de fricción de Faning

Factor de fricción de Moody ( )2/u

Ddx/dpf

2mρ

−=

2/uC

2m

sf ρ

τ=

4f

Cf =

DRe64

f =

Laminar

( )6

D

2D

10·5Re3000

64.1Reln790.0f

≤≤

−= −

Turbulento


47

47

Conducto circular

Región de entrada térmica Región completamente desarrollada

PrRe05.0D

xD

lam

t,ent ≈

10

D

x

turb

t,ent ≈

cteTs = cteqs =′′

( )mss TThq −=′′v

A cv

m cm

TdAucT c

&

∫ ρ=

( ) ( )( ) ( ) 0

xTxTx,rTxT

x ms

s =

−−

∂∂ ( )xf

TT

r/T

TTTT

r ms

rr

rrms

s 0

0

≠−

∂∂−=

−−

∂∂ =

=

( )msrr0y

s TThrT

kyT

kq0

−=∂∂

=∂∂

−=′′==

( )xfkh

≠

( )x,rT( )0,rT

xt,entx

r

0r


48

48

Convección Forzada Flujo InternoBalance de energía

mpcv dTcmdq &=

m& mT mm dTT +

dxPqdq scv ′′=

( )e,ms,mpcv TTcmq −= &

( )mspp

sm TThcmP

cmPq

dxdT

−=′′

=&&

Flujo de calor superficial constante

( )xfcmPq

dxdT

p

sm ≠′′

=&

( ) xcmPq

TxTp

se,mm &

′′+=

( )xTm

( )xTs

( )ms TT −

Temperatura superficial constante

( )msp

m TThcmP

dxdT

−=&

( )

−=

−−

xcmhP

expTT

xTT

pe,ms

ms

&

x dx0 L

T

x

( )ms TT −sT

( )xTm

T

x


49

49

TEMA 8: Convección Libre

1. Introducción

2. Ecuaciones de capa límite en convección libre2.1. Ecuaciones adimensionales2.2. Velocidad característica

3. Correlaciones

50

50

Convección Libre

0dxd

,0dxdT

<ρ

>

2T

1T

2ρ

1ρ

0dxd

,0dxdT

>ρ

<

xg

1ρ 1T

2ρ2T

g x

∞> TTs

∞∞ ρ,T

g

( )yu

u,x v,y

TEMA 8: Convección libre

51

51

Ecuaciones de capa límite

2

2

yu

xp

gyu

vxu

u∂∂

µ+∂∂

−ρ−=

∂∂

+∂∂

ρ

gxp

∞ρ−=∂∂

( )2

2

yu

gyu

vxu

u∂∂

µ+ρ−ρ−=

∂∂

+∂∂

ρ ∞∞

TT1

T1

p −ρ−ρ

ρ−≈

∂

ρ∂ρ

−=β∞

∞

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

µ+−ρβ=

∂∂

+∂∂

ρ ∞∞∞

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

2

2

p yT

ck

yT

vxT

u∂∂

ρ=

∂∂

+∂∂

∞> TTs

∞∞ ρ,T

g

( )yu

u,x v,y

0yp

=∂∂

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

µ+−ρβ=

∂∂

+∂∂

ρ ∞∞∞

Para y=δ:

Ecuaciones de cantidad de movimiento:

Coeficiente de dilataciónvolumétrica:


52

52

Ecuaciones adimensionales

( ) ( ) ( )2

3s

20

20

s2L2

0

sL

LTTgLuu

LTTgRe

uLTTg

Grν−β

=

ν

−β=

−β= ∞∞∞

( )

( )

( )

( )LL

LL2L

L

LLL2L

L

LL2L

L

RafNu

Pr,GrfNu1ReGr

Pr,Gr,RefNu1ReGr

Pr,RefNu1ReGr

=

=>>

=≈

=<<

( ) ( )να−β

=αν

ν−β

== ∞∞3

s2

3s

LL

LTTgLTTgPrGrRa

Convección Forzada:

Convección Mixta:

Convección Libre:

0yv

xu

*

*

*

*

=∂∂

+∂∂

( )2*

*2

L

*20

s*

**

*

**

y

uRe1

Tu

LTTgyu

vxu

u∂

∂+

−β=

∂∂

+∂∂ ∞

2*

*2

L*

**

*

**

y

TPrRe

1yT

vxT

u∂

∂=

∂∂

+∂∂


53

53

Velocidad Característica

( )2

2

yu

TTgyu

vxu

u∂∂

µ+−ρβ=

∂∂

+∂∂

ρ ∞∞∞

u0: Máxima velocidad que alcanza el fluido

∞> TTs

∞∞ ρ,T

g

( )yu

u,x v,y

( )∞−ρβ≈ρ TTgLu

s

20

Fuerzas de inercia ~ Fuerzas de flotación

( ) TLgTTLgu s0 ∆β=−β≈ ∞

Fluido T∞ (ºC) β (K-1) L (m) ∆T (ºC) u0 (m/s) 5 0,40

Aire 27 1/300 1 10 0,57 20 0,81 5 0,11

Agua 27 0,27 10-3 1 10 0,16 20 0,23


54

54

TEMA 9:Fundamentos de transmisión de

calor por radiación

1. Introducción1.1. El espectro de la radiación

electromagnética

2. Definiciones y Leyes2.1. Intensidad de radiación o Luminancia2.2. Emitancia, Irradiación y Radiosidad2.3. Cuerpo negro y Distribución de Planck2.4. Leyes de Wien2.5. Ley de Stefan-Boltzmann

3. Propiedades radiantes superficiales3.1. Emisividad3.2. Comportamiento frente a la recepción

de radiación.

4. Flujo de calor por radiación sobre una superficie

55

55

Introducción

EnergíaRadiante

Longitud de onda (λ)

θ

Carácter espectral:

Carácter direccional:

s/m10·99776.2c 80 =Velocidad de propagación en el vacío:

Velocidad de prop. en otro medio:nc

c 0=

νλ=c

Longitud de onda

Frecuencia

TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación

56

56

10

-51

0 -4

10

-31

0 -2

11

0

10

21

0 3

10

41

0 -1

λ (µm

)

Rayo

s X

Rayo

s Gam

ma

Infrarro

jo

Radar, T

elevisió

n y R

adio

Ultra

viole

ta

Ultra

viole

ta

VIS

IBLE

76

06

60

61

05

60

51

04

60

42

03

80

Rojo

Naran

jaAm

arilloVerd

eAzu

lverd

eAzu

lVio

letaIn

frarrojo

λ(n

m)

0.8

0.4

Rad

iación T

érmica


57

57

Intensidad de radiación o Luminancia

n

r

dA

θ

φ

n

dA

dA cosθ

θ

dl

r

dα ndA

rdl

d =α ωd 2n

rdA

d =ω

r

n

rdA

θ

φ

( )λωθ

=φθλλ ddcosdAdq

,,I d,

θφθ=θφθ

=ω ddsenr

drdsenrd

2

θφθ= drdsenrdAn

θdr

φθ dsenr

φd

θsenr

( )λφθθθ

=λωθ

=φθλλ dddsencosdAdq

ddcosdAdq

,,I d,


58

58

Potencia radiante total

( ) dAddsencosd,,Idq d, φθθθλφθλ= λ

( )∫ ∫ ∫π π ∞

λ

φθθθλ

2

0

2

0 0 d, dAddsencosdI

( ) dAddsencosdI0 d,∫∞

λ φθθθλ

Para todas las longitudes de onda:

Para todas las direcciones:

Para toda el área:

( )∫∫ ∫ ∫ ∫

φθθθλ

π π ∞

λA

2

0

2

0 0 d, dAddsencosdI

Flujo de calor neto sobre una superficie =

Radiación emitida – Radiación absorbida.

( )( )

( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫

φθθθλ

−

φθθθλ=

π π ∞

λ

π π ∞

λ

A

2

0

2

0 0 absorbidad,

A

2

0

2

0 0 emitidad,

dAddsencosdI

dAddsencosdIq


59

59

Emitancia, Irradiación y Radiosidad

Emitancia o potencia emisiva:

( ) ( )( )∫ ∫π π

λλ φθθθ=λ2

0

2

0 emitidad, ddsencosIM

( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π

λ

∞

λ

λφθθθ=λλ=

0

2

0

2

0 emitidad,0dddsencosIdMM

Irradiación:

E

M

J

Radiosidad:

( ) ( )( )∫ ∫π π

λλ φθθθ=λ2

0

2

0 recibidad, ddsencosIE

( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π

λ

∞

λ

λφθθθ=λλ=

0

2

0

2

0 recibidad,0dddsencosIdEE

( ) ( )( )∫ ∫π π

λλ φθθθ=λ2

0

2

0 abandonad, ddsencosIJ

( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π

λ

∞

λ

λφθθθ=λλ=

0

2

0

2

0 abandonad,0dddsencosIdJJ

Si la intensidad es difusa (Ley de Lambert):

∫ ∫π π

π=φθθθ2

0

2/

0ddsencos

( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞

λ

∞

λ dIdMM0 emitida0

( ) ( )( )emitidaIM λπ=λ λλ

( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞

λ

∞

λ dIdEE0 recibida0

( ) ( )( )recibidaIE λπ=λ λλ

( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞

λ

∞

λ dIdJJ0 abandona0

( ) ( )( )abandonaIJ λπ=λ λλ


60

60

Cuerpo negro y Distribución de Planck

( ) ( )[ ] ( )[ ]1T/CexpC

1kT/hcexphc2

T,I2

51

05

200

−λλ=

−λλ=λλ

s/m10998.2c :vacío el en luz la de Velocidad

K/J103805.1k :Boltzmann de Constante

s·J106256.6h :Planck de Constante

80

23

34

×=

×=

×=−

−

( ) ( ) ( )[ ]1T/CexpC

T,IT,M2

5100

−λλπ

=λπ=λ λλ

1E+0

3E+7

6E+7

9E+7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

λ (µm)

M0 (

) [ W

/m²·

m]

5780 K

3000 K

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

1000000000

0.1 1 10 100

Longitud de Onda, λ (µm)

Emita

ncia

esp

ectra

l, M

0 ( λ) [

W/m

² µm

]

5780 K

3000 K

1000 K

300 K

500 K


61

61

Definiciones y LeyesLeyes de Wien:

K·m8.2897CT 3máx µ==λ

( ) ²m/WT10287.1M 510máx

0 −λ ×=λ

Ley de Stefan-Boltzmann:

( ) ( )[ ]4

02

51

0

00 Td1T/Cexp

CdT,MM σ=λ

−λλπ

=λλ= ∫∫∞∞

λ

428 K·m/W1067.5 :Boltzmann-Stefan de Constante −×=σσ T4

λ

0Mλ

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

1000000000

0.1 1 10 100

Longitud de Onda, λ (µm)

Emita

ncia

esp

ectr

al, M

0 ( λ) [

W/m

² µm

]

5780 K

3000 K

1000 K

300 K

500 K


62

62

Definiciones y LeyesEmisión de banda:

( ) ( ) ( )4000 TMdMM

2121

2

121

σ==λλ= λ→λλ→λ

λ

λ λλ→λ ∫ FF

1λ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10000 20000 30000 40000

λ T (µm·K)

F0-

λ

λ2λ

( )

( )

( )

( )( )Tf

T

dM

dM

dM4

0

0

0

0

0

0

0 λ=σ

λλ=

λλ

λλ=

∫∫∫

λ

λ

∞

λ

λ

λ

λ→F

( )

( ) ( )( ) ( )12

12

21

21 0040

0

0

0

4

0

T

dMdM

T

Mλ→λ→

λ

λ

λ

λλ→λλ→λ −=

σ

λλ−λλ=

σ=

∫∫FFF

0Mλ


63

63

Propiedades radiantes superficiales

Emisividad:

( ) ( )( )T,I

T,,,IT,,,

b,

e,, λ

φθλ=φθλε

λ

λθλ

Cuerpo negro

Cuerpo real

λ

( ) ( )( )T,M

T,MT,

0 λλ

=λελ

λλ

( ) ( )( )

( )40 T

TMTMTM

Tσ

==ε

λ

Cuerpo negro

B1

Cuerpo gris

B2

A1

A2

0Mλ

Cuerpo gris:

0Mλ


64

64

Propiedades radiantes superficiales

Comportamiento frente a la recepción radiación:

tra,abs,ref, EEEE λλλλ ++=

Radiación reflejadaRadiación incidente

Radiación absorbida

Radiación transmitida

1=τ+ρ+α λλλ

1=τ+ρ+α

Ley de Kirchoff:

λλ α=ε

α=ε

θλθλ α=ε ,,


65

65

Flujo de calor por radiación sobre una superficie

Flujo de calor neto sobre una superficie =

Radiación emitida – Radiación absorbida.

( )( )

( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫

φθθθλ

−

φθθθλ=

π π ∞

λ

π π ∞

λ

A

2

0

2

0 0 absorbidad,

A

2

0

2

0 0 emitidad,

dAddsencosdI

dAddsencosdIq

( )

( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫ ∫

φθθθλα

−

φθθθλε=

π π ∞

λλ

π π ∞

λλ

A

2

0

2

0 0 recibidad,d,

A

2

0

2

0 0

0d,

dAddsencosdI

dAddsencosdIq

Si las propiedades radiantes son independientes de λ y difusas:

( ) ( )∫∫∫∫ α−ε=AA

0 dAEdAMq

Si la superficie es isoterma, homogénea y está uniformemente excitada:

AEAMq 0 α−ε=


66

66

TEMA 10: Intercambio de radiación entre

superficies

1. Intercambio radiante entre dos superficies1.1. Factor de forma1.2. Propiedades de los factores de forma1.3. Cálculo de factores de forma

2. Intercambio radiante en recintos2.1. Ecuaciones del intercambio radiante en

recintos2.2. Analogía eléctrica

67

67

Factor de forma

( )ii0iiii EMAq α−ε=

2jj

iiiijiiiji R

dAcosdAcosIddAcosIdq

θθ=ωθ= −→

∫ ∫ π

θθ=→

i jA ijA 2ji

iji dAdAR

coscosJq

idA

iA

iθ

jθ

jdA

jA

Rωd

ji2ji

iji dAdAR

coscosJdq

π

θθ=→

ijiiji FAJq =→

∫ ∫ π

θθ=

i jA ijA 2ji

iij dAdA

R

coscos

A1

F

i

j

iE

∑=

→=N

1jij

ii q

A1

E

TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies

68

68

Propiedades de los factores de forma

jijiji FAFA =

NN2N1N

N22221

N11211

F...FF............F...FFF...FF

Reciprocidad:

Adición: 1FN

1jij =∑

= i

Superficies convexas o planas:

0Fii =

1F0 ij ≤≤Valores límite:

Superficies cóncavas: 0Fii >

Matriz de factores de forma:

Número de factores de forma a calcular:

( )1

23NN

+−


69

69

Cálculo de factores de forma

Gráficas:

Expresiones analíticas (2D ó 3D):

wj

L

wi

j

i( )[ ] ( )[ ]

i

2/12ij

2/12ji

ij W2

4WW4WWF

+−−++=

Placas paralelas con las líneas medias en la misma perpendicular.

L/wW ii =

L/wW jj =

Método de Hottel o de los hilos cruzados (2D):

L1

L2

a

b

c

d

12,1 L2

cruzados no hilos Sumacruzados hilos SumaF

−=

( ) ( )1

2,1 L2bdacbcad

F+−+

=


70

70

Intercambio radiante en recintos

( ) ( ) ii0iiii

0iiii

0iii E1ME1MEMJ ε−+ε=α−+ε=ρ+ε=

Hipótesis:

• Recinto 3D con n superficies

• Superficies isotermas, opacas, difusas y con flujos uniformes

• Medio no participativo

i

iJ

iiEρ0iiMε

i

jjJ

iE

jijjij FAJq =→

∑∑∑===

→ ===N

1jjij

N

1jjijj

i

N

1jij

ii JFFAJ

A1

qA1

E

Radiosidad:

Irradiación:

( ) ii0iii E1MJ ε−+ε=

Ecuación 1a

∑=

=N

1jjiji JFE

Ecuación 2


71

71

Intercambio radiante en recintos

( )

ε−ε=α−ε= ∑

=

N

1jjiji

0iiiii

0iiii JFMAEMAq

Flujo de calor por radiación:

Radiosidad (en función de la temperaturas):

( )iiii EJAq −=

i

iiAJ

iiAE

iii AEα

iii AEρ0iiMε

Ecuación 3a

Ecuación 3b

( )∑=

ε−+ε=N

1jjiji

0iii JF1MJ

Ecuación 1b

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

σε

σε

σε

=

ε−−ε−−ε−−

ε−−ε−−ε−−

ε−−ε−−ε−−

4nn

4ii

411

n

i

1

nnnnin1nn

iniiii1ii

n11i11111

T

T

T

J...J...J

F11...F1...F1...............

F1...F11...F1...............

F1...F1...F11


72

72

Intercambio radiante en recintosAnalogía Eléctrica

Circuito análogo:

ii

i

A1

εε−

0iM

iJ

1J

jJ

nJ

...

...

( )1ii FA/1

( )iji FA/1

( )ini FA/1

( ) ( )∑∑

==

−=−=

N

1j

iji

jiN

1jjiijii

FA1

JJJJFAq

( ) ( )

εε−

−=−

ε−ε

=

ii

i

i0i

i0i

i

iii

A1

JMJM

1A

q

11

1

A1

εε−

01M

1J ( )121 FA/1

22

2

A1

εε−

02M2J

11

1

A1

εε−

01M

1J ( )121 FA/1

22

2

A1

εε−

02M2J

3J

( )131 FA/1 ( )232 FA/1

03M

Ejemplo 2 superficies:

Ejemplo 3 superficies:

Ecuación 3c

Ecuación 3d


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