TEMA 1. NÚMEROS ENTEROS Y DIVISIVILIDAD · antiguos romanos que utilizaban piedras ... cero) y a...

MATEMÁTICAS 3º ESO ÁMBITO CIENTÍFICO –TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ORIENTACIÓN

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TEMA 1.

NÚMEROS ENTEROS Y DIVISIVILIDAD

Roger Bacon, científico inglés, en el siglo XIII, dijo: “El olvido de las

matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las

ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este

mundo”.

Se dice que una cuenta bancaria está en números rojos cuando tiene un saldo

negativo (se ha sacado más dinero del que había y le debemos una cantidad al

banco).

La expresión números rojos viene de que antiguamente en los libros de contabilidad se

registraban las cifras positivas en negro y las negativas en color rojo para que no

hubiera errores.

La palabra ARITMÉTICA es de origen

griego. Aritmos significa número.

La palabra CÁLCULO viene de los

antiguos romanos que utilizaban piedras

pequeñas para echar sus cuentas. En

latín, calculus significa piedra pequeña.

¿Hay faltas de ortografía?

Los signos matematicos + y -, no se empezaron a husar hasta el

siglo XV. La primera vez que aparecierón fue en una aritmetica

comercial escrita en 1489 por Johan Widman un maestro

calculista aleman. Antes se usaban las letras p y m, de latin plus y

minus.



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TEMA 1. NÚMEROS ENTEROS Y DIVISIBILIDAD

1. NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

Los números naturales son los números que utilizamos para contar los elementos de un conjunto.

El conjunto de los números naturales se designa con la letra N

N = 0,1,2,………,30,…..90…. Pero hay situaciones que no se pueden expresar con números naturales, como por ejemplo: Tengo 4€ en mi cuenta y me llega una factura de 10€ ¿cuál es mi nuevo saldo? 4 -10 = ¿ El resultado de esta operación se sale del conjunto de los números naturales, ya que es un número negativo.

El conjunto de los números enteros reúne a los números naturales (positivos y cero) y a los correspondientes negativos. Se designa por la letra Z Z = …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….

Números enteros en la recta. La representación gráfica del conjunto de los números enteros en la recta sería:

La distancia desde un punto al origen es lo que se llama valor absoluto.

El valor absoluto de un número entero es el que resulta al eliminar el signo y se representa entre dos barras verticales.

33y33-

Dos números enteros son opuestos si tienen distinto signo e igual valor

absoluto 5 y -5 son opuestos

Hay cuatro macetas



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ACTIVIDADES:

1. Representa mediante un número entero: a) He adelgazado 10 kg.

b) He ingresado en mi cuenta 2000€

c) Perdí en la lotería 400€

d) Me han regalado por mi cumpleaños 50€

e) Platón nació en el año 427 antes de Cristo

f) La temperatura es de 8 grados centígrados bajo cero

g) He crecido 10 cm.

2. ¿Cuántos números naturales hay entre -6 y 6? ¿Y enteros?

3. Ordena los siguientes números de menor a mayor: 3,+8,0,-1,-3,-4.

4. Indica el valor absoluto de los siguientes números:

a) |+222|= c) |-48|=

b) |-323|= d) |48|=

5. En el ejercicio anterior, qué número tiene mayor valor absoluto? ¿y menor?

6. Escribe dos números enteros que tengan el mismo valor absoluto.

7. Representa en una recta numérica los siguientes números y ordénalos de mayor a menor.

7, 3, -6, -9,5, 0, 1, -1 y -4



4

8. Escribe:

a) Todos los números enteros cuyo valor absoluto sea menor que 5.

b) Todos los números enteros cuyo valor absoluto sea mayor que 7.

c) Todos los números enteros cuyo valor absoluto sea igual a 8

2. OPERACIONES

Suma y resta.

Para sumar números positivos y negativos:

Si los dos números tienen el mismo signo, se suman y el resultado tiene ese mismo signo.

+3 +7=+10

- 3 -7=-10

Si tienen signos distintos se restan y el resultado tendrá el signo del mayor.

-3 + 7 = +4

+3 – 7 = -4

Al suprimir un paréntesis que tiene delante un signo más, los signos interiores no varían:

+(5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4 = 2

Al quitar un paréntesis que tiene delante un signo menos, los signos interiores se cambian: mas por menos y menos por mas.

-(5 – 7 +4) = -5 + 7 – 4 = - 2

SIGNOS CON PARÉNTESIS

+(+a) = +a +(-a) = - a

-(+a) = - a

-(-a) = +a



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ACTIVIDADES:

9. Primero quita paréntesis y después calcula:

a) 11 –(3 – 2 + 4 – 6)

b) (6 – 5 + 7) –(3 – 2 – 8)

c) (2 – 5) – (3 – 7) – ( 6 + 1)

d) 5 – ( 3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 2)

e) –(-2 +10 -3) + (7 -1 + 5)

f) 7 -[5 –(4 + 3) - 7]

g) 9+ (5 – 3 + 4) –[4 +( 123-56) – (525 – 436)]



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h) 2537 – (5494-354+254) – ( 437 – 563 +25)

10. Calcula:

a) 3 – 6 + 8 + 1 – 10 – 4 + 2

b) 15 - [ 13 – (6 – 8)]

c) 2 - [6 – (12 – 3 – 1)]- 8

d) (6 – 10) - [(5 – 3) – (4 – 6)]

Multiplicación y división

En la multiplicación y la división se emplea la misma regla de signos, que es la siguiente:



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El producto de dos números es:

- Positivos si los factores tienen signos iguales.

- Negativo si los factores tienen signos distintos

REGLA DE SIGNOS

ACTIVIDADES:

11. Realiza las siguientes operaciones:

a) (- 1)·(+2)·(-3)

b) (-3) ·(-4)·(-2)

c) (-30):(-2)·(+5)

d) (-30): [(-2)·(+5)]

e) (+75): (-25): (+3)

f) (-30) : [(-24) : (+4)]

+ · + = +

+ · - = -

- · + = -

- · - = +



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12. Calcula el valor de estas expresiones:

a) (+60) : (+10) : (-2)

b) (+60) : [(+10):(-2)]

c) [(+8)·(-9)] : [(+6)·(-12)]

Operaciones combinadas

En las operaciones combinadas, la regla de prioridad es:

1. Se hacen las operaciones que están dentro del paréntesis

2. Las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el que aparecen.

3. Las sumas y restas

ACTIVIDADES:

13. Calcula:

a) 5·(3-7) + 4·(8:2) – 5· (2-10)

b) 3 -2·[5 -4·(7 -3·2)]

c) 22-[5·3-4·(8-3)]- 6·4



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d) 2(3-7) :4:2(3-5)

e) [2(8-6):4(7-3)]: [2(8-6):4(7-3)]

f) -2(8:4-3) + 4(9-5)

4. LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD

La relación que existe entre dos números cuando uno contiene al otro una cantidad exacta de veces, recibe el nombre de relación de divisibilidad.

Ejemplo: Se puede dividir una clase de 10 alumnos y alumnas en equipos de 5? ¿Y en equipos de 7?

10 : 5 = 2 → DIVISIÓN EXACTA

10 = 5 · 2

☺☺☺☺☺

☺☺☺☺☺

El 5 cabe exactamente dos veces en 10

10 : 7 → DIVISIÓN NO EXACTA

10 = 7·1 +3

☺☺☺☺☺☺☺

☺☺☺

El 7 no cabe un número exacto de veces en 10



10

Se dice que 10 es divisible entre 5 pero no entre 7

Múltiplos y divisores

Cuando dos números están emparentados por la relación de divisibilidad, a uno lo llamamos múltiplo y a otro divisor.

✏ 10 : 5 es exacto, 10 es múltiplo de 5 y 5 es divisor de 10

ACTIVIDADES:

14. ¿Se pueden envasar 125 litros en un número exacto de bidones de 5 l? ¿y en bidones de 10l?

15. Busca todos los números x, tales que la división

80 :x sea exacta.

16. ¿Es 1209 múltiplo de 13? Razona tu respuesta.

17. Busca: a) Tres múltiplos de 20; b) tres divisores de 20.

Múltiplos de un número.

Los múltiplos de un número son otros números que lo contienen una cantidad exacta de veces.



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Los múltiplos de un número a se obtienen al multiplicar a por cualquier otro número k:

a · k → múltiplo de a

12 · 1 = 12 12 · 2 = 24 12 ·3 = 36 12· 4 = 48

12, 24, 36 y 48 son múltiplos de 12

4.3 Divisores de un número.

Los divisores de un número son otros números que caben en él una cantidad exacta de veces

12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12: 3 = 4 12: 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1

Los números 1,2,3,4,6 y 12 son todos los divisores de 12

ACTIVIDADES

18. Busca todos los divisores de :

a) 15

b) 18

c) 36

d) 100

19. Busca los cinco primeros múltiplos de 13

20. Busca el primer múltiplo de 13 mayor que 500.



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Mínimo común múltiplo de dos o más números

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números, es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y de todos los factores se toman los comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

ACTIVIDADES

21. Cacula el m.c.m de:

a) (12,18)

b) (84, 126)

c) (24,36)

d) (4,6,8)

e) (14,21)

f) (60,72,90)



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g) (36 ,45)

h) (50,100,125)

Máximo común divisor de dos o más números

El máximo común divisor (M.C.D) es el mayor de sus divisores comunes. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y se toman sólo los factores comunes elevados al menor exponente.

ACTIVIDADES

22. Calcula el M.C.D de:

a) (50, 75)

b) ( 12,18,24)

c) (63 ,99)

d) (20,30,40)



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e) (216, 240)

f) (24,36,60)

g) (165, 231)

h) (360, 450)

EJERCICIOS:

1. Calcula:

a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8

b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2

c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11

d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14



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2. Quita paréntesis:

a) a + (b + c)

b) a – (b +c)

c) a + (b – c)

d) a – (b – c)

3. Quita paréntesis y después opera:

a) 1 – (7 -2 – 10) – (3 – 8)

b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)

c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 -8)

d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)



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4. Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

a) (2- 6- 3) + (5 -3- 1) – (2 – 4 -6)

b) (8 – 11 – 5) – (12 – 139 + (11 + 4)

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)

5. Quita paréntesis y calcula:

a) 3 - [( 5 – 8) – (3 – 6)]

b) 1 – (3 -[ 4 – (1 – 3)])

c) (2 + 7) – ( 5 -[6 – (10 – 4)])



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6. Calcula:

a) (-7)·(+11)

b) (-6)·(-8)

c) (+5)·(+7)·(-1)

d) (-2)·(-3)·(-4)

e) (-45): (+3)

f) (+85) : (+17)

g) (+36) : (-12)

h) ( -85) : (-5)

i) (-100 ) : ( -10)

7. Opera las expresiones siguientes:

a) (+400) : (-40) : (-5)

b) (+400) : [(-40) : (-5)]



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c) (+7)·(-20) : (+10)

d) (+7)·[(-20): (+10)]

e) (+300) : (+30) · (-2)

f) (+300): [(+30)·(-2)]

8. Calcula:

a) 6·4-5·6-2·3

b) 15-6·3+2·5-4·3

c) 5·(-4)+(-2)·4-6·(-5)-3·(-6)

d) 18-3·5+5·(-4)-3·(-2)



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e) (-5)·(8-13)

f) (2+3-6)·(-2)

h) ( +4)·(1-9+2):(-3)

i) (-12-10):(-2-6-3)

j) 13-[8-(6-3)-4·3] :(-7)

k) 5·(8-3)-4·(2-7)+5·(1-6)

l) 12·(12-14)-8·(16-11)-4·(5-17)

9. Realiza las siguientes operaciones:

a) 18-40:(5+4-1)-36:12



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b) 4+36:9-50:[12+(17-4)]

c) 48:[5·3-2·(6-10)-17]

d) 3·4-15:[12+4·(2-7)+5]

10. Indica si es verdadero o falso:

a) 195 es múltiplo de 13

b) 13 es divisor de 195

c) 745 es múltiplo de 15

d) 18 es divisor de 258

11. Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 que sean mayores de 1000.

12. Escribe todos los divisores de140

13. Calcula cuánto debe valer a para que el número 71a:

a) sea múltiplo de 2

b) sea múltiplo de 3

c) sea múltiplo de 5

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