Tema 1 Preliminares de Cálculo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1.La Recta...

Tema 1Preliminares de Cálculo

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

1. La Recta Real

2. Números Reales, Racionales e Irracionales

3. Orden y desigualdades

4. Conjuntos

5. Intervalos de la recta real

6. Intervalos acotados

7. Intervalos no acotados

8. Valor absoluto

9. Distancia entre dos puntos

10. El plano cartesiano

11. Distancia entre dos puntos del plano

12. La gráfica de una ecuación

13. Modelos matemáticos

14. Función real de una variable real

15. Gráfica de una función

16. Gráficas de funciones básicas

17. Clasificación de las funciones. Funciones elementales

18. Función compuesta

19. Funciones pares, impares y ceros de funciones

20. Función inversa

La Recta Real


Tema 1. Preliminares de Cálculo 1

-1 0 1 2 3 4-2-3-4

origen

números

enteros

números

naturales

Coordenada: nº real que corresponde a un punto de la recta real

Números Reales, Racionales e Irracionales



Recta Real

Números RacionalesPueden expresarse como cociente de dos enteros

Números IrracionalesNo pueden expresarse como decimales finitos ni periódicos-2,6 -2/3 5/4 2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Decimales finitos

2

5

=0,4

Periódicos

1

3

=0,333...=0,3

0 1 2 3 4

2 e

2 1,414213562

3,141592654

e 2,718281828

Orden y desigualdades



a , b IR a es menor que b si b-a es positivo

Este orden se denota por la desigualdad

a bAnálogamente mayor que

menor o igual que

mayor o igual que

Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se invierte la desigualdad

x 3 -4 x -12

Conjuntos



Un conjunto es una colección de elementos

Conjunto de los números Reales IR

Conjunto de los números reales positivos xIR : x 0

Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0

El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición x : condición sobre x

Nota

ció

n

Unión de dos conjuntos:

A B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos

Intersección de dos conjuntos:

A B es el conjunto de elementos de A y de B

Intervalos de la recta real



(a, b) = x : a x b Intervalo abierto

extremos

[a, b] = x : a x b Intervalo cerrado

Intervalos acotados



Intervalo acotado abierto (a, b) x : a x b ( ) a b

x

Intervalo acotado cerrado [a, b] x : a x b [ ] a b

x

Intervalos acotados [ a, b) x : a x b [ ) a b

x

ni abiertos ni cerrados (a, b] x : a x b ( ] a b

x

Notación de intervalos

Notación de conjuntos

Gráfica

Intervalos no acotados



Intervalos no acotados (-, b) x : x b ) b

x

abiertos (a, ) x : x a ( a

x

Notación de intervalos

Notación de conjuntos

Gráfica

Intervalos no acotados (-, b] x : x b ] b

x

cerrados [a, ) x : x a [ a

x

Recta real (-,) x : xIR xa b

Valor absoluto



Si a es un número real, el valor absoluto de a es

| a | = a si a 0

-a si a 0

Ejemplo: a = -4

| a | = | -4 | = - (-4) = 4

Distancia entre dos puntos



La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es

d = | a - b | = | b - a |

| a - b |a b

Distancia entre a y b

El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el valor medio de a y b

Punto medio de (a,b)= a + b 2

El plano cartesiano



Sistema de coordenadas rectangular utilizado para representar pares ordenados (x,y) de

números reales

Cuadrante II

Cuadrante I

Cuadrante IVCuadrante III

x

y

(x,y)y

xorigen

Eje x

Eje y

Distancia entre dos puntos del plano



distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano

221212 yyxxd

| x2 - x1 |x1 x2

| y2 - y1 |

y1

y2

d

(x1,y2) (x2,y2)

(x1,y1)

La gráfica de una ecuación



Ecuació

n

3x + y =7 Solu

ción

(2,1) porque se satisface cunado

sustituímos x por 2 e y por 1

Despejamos y en la ecuación inicial y = 7 - 3x

Elaboramos una tabla numérica sustituyendo varios valores de x

x 0 1 2 3 4

y 7 4 1 -2 -5

Pers

pecti

vas e

n e

l C

álc

ulo

Analítica

Numérica

Gráfica El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación

2 4

2

4

6

(2,1)

(3,-2)

(1,4)

(0,7)3x + y

=7

Modelos matemáticos



Descripción de un problema (frecuentemente de la vida real)

utilizando una formulación matemática (por ejemplo con una

ecuación) con precisión y sencillez

Ejem

plo:

Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por millón) en la atmósfera terrestre

Solución:

Haciendo t=75

y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6

r2=0,984

y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95

r2=0,997

Es mejor el modelo cuadrático puesto que

la correlación r2 es más próxima a 1

¿Qué modelo es mejor?

¿Podríamos predecir en el año 2035 la cantidad de CO2 en la atmósfera?

Modelo lineal Modelo cuadrático

y = 313,6 + 1,24 t y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2

Cálculos realizados con el Método de ajuste por Mínimos Cuadrados

360

355

350

345

340

335

330

325

320

315

310

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

------

5 10 15 20 25 30

360

355

350

345

340

335

330

325

320

315

310

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-------

X X X

Función real de una variable real



Dominiox

Recorridoy=f(x)

f

x

y

: variable independiente

: variable dependiente

Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

• El conjunto X se llama dominio de f.

• El número y se denomina la imagen de x for f y se denota por f(x).

• El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.

X

Y

Notación de funcionesEcuación en forma explícita

Ecuación en forma implícita

)1(21 2xy 122 yx )1(

21

)( 2xxf

Gráfica de una función



La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde x pertenece al dominio de f y se denota por f(x).

(x,f(x)) y =f(x)

x

f(x)

x = distancia desde el eje yf(x) = distancia desde el eje x.

Gráficas de funciones básicas

f(x) =x

1 2 3-3 -2 -1-1

-2

1

2 f(x) =x2

1 2 3-3 -2 -1-1

-2

1

2

4 f(x) = x3

1 2 3-3 -2 -1-1

-2

1

2

Gráficas de funciones básicas



f(x) =x

1 2 3

1

2 f(x) = | x |

1 2 3-3 -2 -1-1

-2

1

2

1 2 3

-3 -2 -1

-1

-2

1

2

33

4

f(x)=x 1

f(x) = sen x

-1

1

-1

1

f(x) = COS x

Clasificación de las funciones. Funciones elementales



Funciones algebraicas

Función polinómica

011

1)( axaxaxaxaxf ii

nn

nn

Coeficiente dominante

grado

Coeficientes

Término constante

Función racionalp(x), q(x) polinomios

0)( , )()(

)( xqxqxp

xf

Funciones radicales. Por ejemplo, 1)( xxf

Funciones trigonométricas

Funciones exponenciales y

logarítmicas

Seno, coseno, tangente,...

1 2-2 -1-1

-2

1

2

3

f(x) = ln x

f-1(x) = ex

Función compuesta



x

g(x)g

Dominio de g

Dominio def

f ( g(x) )

f

Sean f y g dos funciones.

La función dada por (f o g)(x)=f(g(x)) se llama función compuesta de f con g.

El dominio de es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f

f o g

Ejemplo:

)32cos())(())((

3cos23)(2))(())((

cos)( 32)(

xxfgxfg

xxgxgfxgf

xxgxxf

Funciones pares, impares y ceros de funciones



•Si la gráfica de una función f, corta al eje x en el punto (a,0), entoces a se denomina un cero de f

•Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) =0

(a,0)

f(x) = 0

Criterio para funciones pares e impares

•La función y=f(x) par si f(-x) = f(x) •La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x)

Función inversa



f

f -1

•Dominio de f = Recorrido de f-1

•Dominio de f-1= Recorrido def

Una función g es la inversa de una función f si

f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g

g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f

La función g se denota por f-1

Ejemplo:Ejemplo:

33

2

1)( , 12)(

xxgxxf Son funciones inversas

Bibliografía



Cálculo y Geometría AnalíticaLarson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill

Ejercicios y problemas

Problemas de Matemáticaspara ingeniería técnica agrícola y veterinariaAlejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)

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