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Tema 1.
Repaso de Teoría de Circuitos
Joaquín Vaquero López
Joaquín Vaquero López 1Electrónica, 2007
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1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito
1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff
1.3) Principio de Superposición
1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton
1.5) Divisores de voltaje y corriente
1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga
1.7) Método gráfico de resolución de circuitos
1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja
Electrónica, 2007
Repaso de Teoría de Circuitos: índice
Joaquín Vaquero López 2
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Conceptos preliminares
CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puedecircular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.
Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.Señales de entrada, salida y función de transferencia.
Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.
VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P
Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)
ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:
Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros concentrados.
Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.
Pasivos: R,L,C.
Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.
ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO
Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.
Electrónica, 2007 Joaquín Vaquero López 3
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Electrónica, 2007
Característica I-V de un elemento de un circuito:
Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje através de sus terminales.
Recta de carga:
Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dichodispositivo en el circuito en que se halla.
Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 4
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Electrónica, 2007
Ejemplos:
Característica I-V. Recta de carga
Joaquín Vaquero López 5
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Electrónica, 2007
Ejemplos:
Recta de carga
Característica I-V de entrada de un transistor
Punto de operación Q
IBQ
VBEQ
Característica I-V. Recta de carga
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Electrónica, 2007
Ejemplos:
Joaquín Vaquero López 7
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Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltaje-corriente en cualquier red, lineal o no:
1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.
2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuitoes igual a cero.
Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.
Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dosnudos
Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.
Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cadaelemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NOhay una única forma de resolverlo.
Electrónica, 2007
Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff
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21 ·· ibiav
Electrónica, 2007
ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:
ó
con a, b, c, d constantes.
En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral)
la característica v-i es de la forma:
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del
circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las
respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.
Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se
apliquen en la misma localización.
dtibdt
diav 2
1
21 ·· vdvci
Principio de superposición
Joaquín Vaquero López 9
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Electrónica, 2007
Equivalente de Thévenin:
Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por unasola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina“Equivalente de Thévenin” del circuito original.
Vth representa todas las fuentes.
Rth representa todas las resistencias.
Equivalente de Norton:
Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistenciaequivalente está conectada en paralelo.
Teoremas de reducción de circuitos
Joaquín Vaquero López 10
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Divisor de tensión:
Las impedancias son atravesadas por la misma corriente
Divisor de corriente:
Las impedancias está sometidas a la misma tensión
21
22
21
11
222111
21
21
·;
·
·;·
RR
VRV
RR
VRV
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VII
ii
i
21
12
21
21
2
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212211
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·
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RR
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RR
IRI
R
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ii
ii
i
R1
R2
Vi
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V2
R1 R2Vi I1 I2
Electrónica, 2007
Divisores de tensión y corriente
Joaquín Vaquero López 11
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Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuacióndiferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjuntocualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elementoalmacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.
Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta
natural del sistema.
Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del
sistema forzada por una excitación exterior.
Ejemplo 1: Circuito RC
VinR
Ci
Electrónica, 2007
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
0)(1
)0()(·0
t
C dttiC
utiR
Homogénea:
Completa:
Joaquín Vaquero López 12
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fRC ·21
;
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución homogénea:
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Constante de tiempo:
;0)(1
)0()(·0
t
C dttiC
utiR
teKti ·)(
R
VitvVu inC
00 )0(0)(;)0(
RC
t
eR
Vti
·)( 0
000 ·)( VeVVtu RC
t
C
0)0( VuC
t
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)0()(RC
t
C eVtu
·)( 0
%95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 13
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)(·)0()0()( tfefftft
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en el condensador:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
)0()·()(
0
0 C
t
RC
t
inC ueVVtu
inRC
t
inC VeVVtu
)·()( 0
t
CC dttiC
utu0
)(1
)0()(
teKti ·)(
R
VViVtvVu in
ininC0
0 )0(;)(;)0(
RC
t
in eR
VVti
·)( 0
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 14
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Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones senoidales:
1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.
3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.
4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales.
5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener.
6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema.
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 15
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iinI ,
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
(Ec.trascendentes mediante métodos
numéricos, vectorialmente
ó mediante complejos)
t
Cin dttiC
utiRtv0
)(1
)0()(·)(
)·cos()( iin tIti
2;0
tt
)·cos()( vinin tVtv siendo
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)0()cos(· viniinCiin tVtIC
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)·cos()sin(1
)0()cos(· viniinCiin VIC
uIR
)·sin()cos(1
)0()sin(· viniinCiin VIC
uIR
comodidad porpara izandoparticular 0)0( Cu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 16
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C
Iin
inIR
inV
i
v
2
2
22
)(·
C
IIRV in
inin
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución vectorialmente (trigonometría).
Módulo:
Argumento:
Solución:
Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados
RCarctgvi
1;
2
2
)(
1
CR
VI in
in
)cos(
)(
1)(
2
2
vin t
CR
Vti
)(1
)(
1)(
2
2
vin
C tsenC
CR
Vtu
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 17
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ReRe)·cos()()(
j
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tj
e
)cos( t
)( tsen
tjj
in
tjj
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tjj
in eeVeeIjC
eeIR Vii
·
11·
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC
Resolución mediante complejos
Euler:
Solución tipo:
Solución para régimen senoidal permanente
)()cos(
)()cos(
tsenjte
tsenjte
tj
tj
tj
tj
etsen
et
Im)(
Re)cos(
)2
(
2
2
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V
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CR
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CjR
VeI
)
2(
2
2
·Re
)(
1Re
Vi
jinj
in e
CR
VeI
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 18
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tjj
in
tjj
in eeItieeVtu iV ·)(;·)(
Electrónica, 2007
Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:
Resistencia Bobina Condensador
)()( tiRtu
tjj
in
tjj
in eeIReeV iV ··
in
in
I
VR
2 iV
Corriente y la tensión en fase
dt
diLtu )(
tjj
in
tjj
in eeILjeeV iV ··
2··
iV j
in
j
in eILeV
inin ILV
LjZL
La corriente retrasa 90º a la tensión
iV 2 Vi
dt
duCti )(
tjj
in
tjij
in eeVCjeeI V ··
2··
Vi j
in
j
in eVCeI
inin VCI
CjZC
1
La corriente adelanta 90º a la tensión
2 Vi
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 19
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RCjV
VjH
RCj
V
CjR
VCj
Vin
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in
out
1
1)(
11
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Vin
R
Cj
1Vout
tj
ininin eVtVtv Re)·cos()( Siendo
Electrónica, 2007
)·cos()(1
Re)(·Re2
tRC
VejHeVV injtj
inout
Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
2)(1
1)(
RCV
VjH
in
out
)()0()( RCarctgarctg
V
VjH
in
out
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 20
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Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia. Representación gráfica.
Módulo Fase o argumento
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
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Ejemplo 1: Circuito RC.
Resolución a la completa.
La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos.
La homogénea es la respuesta transitoria:
Solución tipo
La solución completa resulta
Con la condición inicial
RC
t
inC eKt
RC
Vtu
·)·cos()(1
)(2
Electrónica, 2007
t
C eKtu ·)(
0)0( VuC
RC
t
C eKtu
·)(
)·cos()(1 2
0 RC
VVK in
RC
t
ininC e
RC
VVt
RC
Vtu
·)·cos(
)(1)·cos(
)(1)(
20
2
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 22
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RC
t
inRC
t
ininout et
RC
Ve
RC
Vt
RC
VV )·cos()cos(·
)(1)··cos(
)(1)·cos(
)(1 222
Electrónica, 2007
Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 23
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VinR
L
Electrónica, 2007
Solución a la homogénea (transitorio):
Ejemplo 2: Circuito RL
Condiciones iniciales:
Solución tipo:
Tensión en la resistencia:
Constante de tiempo:
dt
diLtiRtvin )(·)(
0)(· dt
diLtiR
Homogénea:
Completa:
teKti ·)(
RIutvIi Lin ·)0(;0)(;)0( 00 tL
R
eIti·
0·)(
tL
R
L eRIdt
diLtu
·
0 ··)(
fR
L·2
1;
%95
·3
%63
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 24
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dt
diLtiRtvin )(·)(
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):
Condiciones iniciales y finales:
Solución genérica a los sistemas de 1er orden:
Tensión en la bobina:
tL
R
ininL eIRVtu·
)··()(
dt
diLtuL )(
R
ViVtvIi in
inin )(;)(;)0( 0
)(·)0()0()( tfefftft
R
Ve
R
VIti in
tL
R
in
·
0 ·)(
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 25
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Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:
Solución tipo:
Particularizando para:
dt
diLtiRtvin )(·)(
)·cos()( iin tIti
2;0
tt
)·cos()( vinin tVtv siendo
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin tVtILtIR
)·cos()sin(·)cos(· viniiniin VILIR
)·sin()cos(·)sin(· viniiniin VILIR iinI ,
Circuitos RC: Circuitos de 1er orden
Joaquín Vaquero López 26
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LIin
i
Vin
RI in
v
Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL
Resolución vectorialmente.
Módulo:
Argumento:
Solución:
R
Larctgvi
;
2222 ·)(·inin
ILIRVin 22 )( LR
VI in
in
)cos()(
)(22
vin t
LR
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Vin
R
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Electrónica, 2007
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1
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1
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2
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L
R
Vt
L
R
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Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.
Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.
Función de transferencia.
Módulo Fase o argumento
LjR
Lj
V
VjH
LjR
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RV
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V
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Electrónica, 2007
Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L. F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH
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