UNIVERSIDAD NACIONAL

DE GUINEA ECUATORIAL

DEPARTAMENTO

MECANICA

Y TECNOLOGIAS

APUNTES DE CLASES

ASIGNATURA

RESISTENCIA DE MATERIALES

AUTORES: Dr. C. Osmundo Héctor Rodríguez Pérez Ing. Hortensia Santiago

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Marzo/2010

CURRICULUM VITAEHOJA DE VIDA

Dr. C. OSMUNDO HECTOR RODRIGUEZ PEREZ

CATEGORIAS DOCENTES Y CIENTIFIICAS:PROFESOR EMÉRITO, PROFESOR CONSULTANTE, PROFESOR TITULAR

Y DOCTOR EN CIENCIA TÉCNICAS.Osmundo Héctor Rodríguez Pérez es Ingeniero Mecánico con una experiencia de 40 años en la docencia universitaria y en el desarrollo de investigaciones científicas en el campo de la soldadura y la recuperación de piezas. Ha realizado más de 30 trabajos científico técnicos y 15 de ellos de una repercusión notable desde el punto de vista científico técnico y con un efecto económico total de varias decenas de millones de dólares. Posee 7 libros escritos nacionalmente, dos digitalizados y en otros dos como coautor, 5 monografías científicas, varios artículos de revistas nacionales e internacionales y un libro publicado en Venezuela como coautor.Ha impartido un total de 14 conferencias magistrales nacionalmente y 14 a nivel internacional y ha participado en 48 eventos nacionales y en 6 internacionales.Ha impartido 6 cursos y diplomados internacionales y 27 cursos y diplomados en Cuba.PREMIOS: Ha obtenido la Distinción Especial del Ministro en el trabajo Científico en dos ocasiones y posee 11 medallas y ordenes. Tiene 12 Premios al Mérito Científico Técnico y 3 menciones; 4 Premios Relevantes y Destacados Nacionales en Forums de Ciencia y Técnica, 9 Relevantes a nivel de provincia y 9 Relevantes a nivel de municipio. Tiene 11 Premios Provinciales de la Academia de Ciencias de Cuba y un Reconocimiento Nacional. Posee 11 Premios del Rector en el trabajo de las Investigaciones y 5 como Profesor mas Destacado Integralmente. Fue Premio Nacional de Ingeniería en el año 2001. Además tiene 6 logros Científico Técnicos y varios software. Ostenta la Orden Carlos J. Finlay, que es el Reconocimiento más alto que otorga la Academia de Ciencia de Cuba Ha realizado colaboración científico técnica en 5 países y 7 Universidades en el extranjero. Tiene 5 Maestrías tutoradas, una de ellas en el extranjero, una especialidad de postgrado y ha participado en 5 tribunales de Grados Científicos y realizado 3 oponencias. Dirige actualmente dos doctorados Ha ocupado diferentes cargos administrativos, docentes y científicos tales como: Jefe del Dpto, Presidente del Grupo Provincial de Soldadura en Holguín, Miembro de Unión Nacional de Arquitectos e Ingenieros de Cuba, Miembro del Consejo Científico Nacional de Soldadura, Consejo Científico Universidad de Holguín, , Comisión de Grados Científicos de la Provincia Holguín. . Jefe del Grupo Científico de Fabricación y Recuperación de Piezas y Jefe de la Disciplina Integradora de la carrera de Mecánica.

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ASIGNATURA: RESISTENCIA DE MATERIALES

TEMA 1. GENERALIDADES1.1. Introducción. Breve reseña histórica.1.2. Objetivos de la resistencia de materiales.1.3. Sistema real y esquema de análisis. Formas simples de los elementos.1.4. Hipótesis (Suposiciones) introducidas en la resistencia de materiales.1.5. Sistema de unidades.1.6. Fuerzas exteriores. Clasificación.1.7. Deformaciones y desplazamientos1.8. Método de las secciones.1.9. Tensiones.1.10. Tipos de apoyos1.11. Ejemplos

Bibliografía: Texto básico: Resistencia de Materiales (Tomo I, II) Gilda Fdez Levy Resistencia de Materiales (P.A. Stiopin) INTRODUCCIÓNLa asignatura de Resistencia de Materiales tene como antecedentes a la Mecánica Teórica, Análisis matemático y las Físicas, a su vez forman parte de la preparación para próximas asignaturas como el Diseño de elementos de máquinas, Tecnología en construcción de Maquinarias, Mediciones, etc. Los objetivos generales que se deben lograr al finalizar la misma son los siguientes:1) Realizar cálculos de comprobación ó dimensionamiento, para elementos de

configuraciones típicas en equilibrio, sometido a un sistema particular o general de carga según las condiciones de resistencia, rigidez y estabilidad.

2) Conocer como se obtienen los parámetros que caracterizan las propiedades mecánicas de los materiales.

3) Saber utilizar las diferentes tablas que simplifican los cálculos, así como, trabajar con las tablas de perfiles laminados.

4) Calcular los coeficientes de seguridad a que trabajan los elementos de maquinas y estructuras según las condiciones de resistencia a al fatiga, la estabilidad y la resistencia a las sobrecargas.

5) Tener en cuenta el factor económico.

OBJETIVOS DEL TEMA 1 1) Conocer cual es el objeto de estudio de la asignatura.2) Conocer las hipótesis o principios fundamentales en que se basa la misma

para su estudio.3) Conocer que es un esquema de análisis y como se construye.4) La clasificación de las fuerzas internas y las tensiones.

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DESARROLLO

1.1Introducción. Breve reseña histórica.Fundamento:Las estructuras y máquinas que diseñan los ingenieros en su actividad práctica deben tener la propiedad de resistencia mecánica, o sea, deben oponerse a la rotura y las deformaciones al ser sometidos a la acción de fuerzas externas (cargas)De esta forma los elementos (piezas) deben ser fabricados del material adecuado y con las dimensiones necesarias.Breve reseña histórica.La resistencia de Materiales como ciencia física es parte de la mecánica general y pertenece a la mecánica de los sólidos deformables.Sus orígenes se pueden relacionar con el nombre del celebre científico italiano Galileo Galilei (1564-1642) que fue el primero que estudió la resistencia de las vigas. En esa época era aún desconocida la relación que existe entre las fuerzas actuantes y la deformación de los materiales. Defiende la teoría heliocéntrica y por eso se le acusa de herejíaPuede plantearse que la ciencia Resistencia de Materiales se inicia con la Ley de Hooke. El científico inglés Robert Hooke (1635-1703) formula en 1660 su conocida ley sobre la dependencia lineal entre las fuerzas actuantes y las deformaciones, esta ley, válida hasta el límite de proporcionalidad; constituye un elemento básico para el posterior desarrollo de la teoría matemática de la Resistencia de Materiales. En el año 1870 el científico inglés Thomas Young expresa matemáticamente esa relación. Mas tarde Leonard Euler (siglo XVIII), miembro de la academia de Ciencias de San Petesburgo elabora el cálculo de la estabilidad de las barras comprimidas, posteriormente y en siglo XIX D. I. Zhurovski elabora las fórmulas para el cálculo de las tensiones tangenciales originadas por la flexión.En el siglo XX S. P. Timoshenko escribe libros acerca del desarrollo de la Resistencia de Materiales 1.2 Objetivos de la resistencia de materiales.La Resistencia de Materiales es la ciencia que estudia los sólidos deformables en equilibrio, así como los métodos teóricos experimentales que permiten realizar los distintos diseños con la máxima seguridad y economía del material. Es una ciencia teórica práctica ya que por una parte se fundamenta en los resultados de las investigaciones de los materiales y de su comportamiento bajo distintas cargas y por otra parte se basa en las leyes de la mecánica teórica y las matemáticas superiores.Sus objetivos son:1. Exposición de los métodos de calculo de la resistencia delos materiales de las construcciones y determinar las variaciones de la forma y dimensiones (deformaciones) que sufren los elementos de las construcciones sometidas a cargas. Los cuerpos absolutamente rígidos e indeformables que se estudian en la mecánica teórica en realidad no existen, es decir pueden existir deformaciones aunque sean muy pequeñas las cuales no tienen gran influencia sobre las leyes de equilibrio y del movimiento del sólido. Sin embargo sin el estudio de

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las deformaciones es imposible resolver el problema de gran importancia en la ingeniería que consiste en averiguar (investigar) las condiciones en que la pieza puede fallar o las condiciones en que al pieza puede servir sin el peligro de la rotura.

1. Exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de las piezas.La rigidez es la propiedad de las piezas de oponerse a las deformaciones, o sea el problema es ahora el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio en los cuerpos reales (deformables).La estabilidad es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones del equilibrio inalterado como resultado de acciones de perturbaciones pequeñas.El equilibrio es inestable si a un crecimiento limitado de la carga se corresponde a un crecimiento ilimitado de las deformaciones. El cambio súbito de una forma de equilibrio a otra constituye un síntoma de pérdida de estabilidad.

Figura 1 Pérdida de estabilidad de una vigaLa pérdida de estabilidad puede ocurrir para valores de carga mayores no peligrosas desde el punto de vista de la resistencia o rigidez de la pieza.2. Exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los

elementos de construcción.En estos cálculos se debe tener en cuenta la economía del material, o sea que las piezas no tengan dimensiones superiores a las necesarias; en esto influyen mucho la calidad de los materiales y las características de las cargas, lo cual se consigue con el desarrollo de las investigaciones experimentales 1.3. Sistema Real y Esquema de análisis. Formas simples de los

elementosEn la realización del cálculo de una construcción es necesario establecer que es lo esencial y que no es lo esencial y construir un esquema en el que se desprecien todos los factores que no influyen en el fenómeno. Esto es importante ya que un análisis que tenga en cuenta todos los factores que influyen prácticamente es imposible. Esto en realidad es un arte en la ingeniería.En la resistencia de materiales, como en cualquier rama de las ciencias naturales, el estudio de la resistencia de un cuerpo real comienza escogiendo su esquema de análisis. Antes de comenzar el calculo de una estructura

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conviene esquematizarla, prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen seriamente en le comportamiento de ellas.

La exactitud y la veracidad de los resultados del calculo de un elemento, dependen en gran medida de la correcta formulación del esquema de análisis.Si, por ejemplo, se trata de calcular la resistencia de un ascensor, lo esencial es el peso de este, su aceleración y, en el caso de gran longitud, el peso propio del cable.Al mismo tiempo se debe prescindir de la influencia de factores de poca importancia como la resistencia aerodinámica que ofrece el ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, la variación de temperatura con la altura y otros factores semejantes.El cuerpo real, así simplificado, se llama esquema de análisis. Un mismo cuerpo o sistema de cuerpo puede tener esquemas de análisis distintos, según la exactitud que se exija del cálculo y según el aspecto de trabajo que interese.Por ejemplo, en el caso concreto del ascensor, si lo que interesa es solamente la resistencia del cable, la cabina puede ser considerada, como un sólido indeformable y sustituido por una fuerza aplicada al cable. Si se trata de estudiar la resistencia de la cabina, esta ultima no podría considerarse como un sólido rígido.Otro ejemplo es el esquema constructivo de un transportador de rodillos el cual se muestra en la figura 2 y su esquema de análisis que se muestra en la figura 3

Figura 2. Esquema constructivo de un transportador de rodillos

Si lo que interesa es calcular los tirantes que sostienen el transportador, entonces la viga AB (Figura 3) se considerará como un sólido rígido y la carga transportadora se concentrará en el centro de masas del transportador. Cuando se quiera calcular la viga AB, entonces, esta será considerada como un sólido deformable y la carga se distribuirá a todo lo largo de la misma. Otro será el esquema de análisis si se tratara de calcular los rodillos, etc.

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Figura 3. Esquema de análisis de un transportador de rodillos

Formas simples de los elementos1) Forma de los elementos. Por complicado que sea la configuración de los

elementos esta puede reducirse a:Barra: Cuerpo que tiene dos dimensiones en comparación con la tercera. Puede ser de sección constante o variable, recta o curva.

Figura 4. BarraPlacaEs un cuerpo limitado por dos planos a una distancia muy pequeña comparado con las otras dos dimensiones

Figura 5. Placa

Bóveda: Es un cuerpo que tiene una dimensión pequeña en comparación con las otras dos. Esta limitado por dos superficies curvas. Un caso particular de las bóvedas son las placas.

Figura 6. Bóveda

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Bloque: Sus tres dimensiones son del mismo orden.

Figura 6. BóvedaEn la resistencia de materiales se estudian cuerpos en forma de barras de sección constante y los sistemas mas simples constituidas por estas. Las barras se consideran suficientemente rígidas, es decir, no sufren deformaciones considerables al ser sometidas a cargas

1.4 Hipótesis (Suposiciones) introducidas en la resistencia de materiales.En la resistencia de materiales se introducen ciertas suposiciones respecto a las propiedades del material, las cargas y la interacción con las piezas, con el objetivo de simplificar el complicado problema que esto representa para el cálculo de los elementos de las construcciones o piezas.La comprobación experimental de las fórmulas que se obtienen con estas hipótesis demuestran que el error que se conducen con los cálculos es insignificante y se pueden despreciar (no tener en cuenta) con fines prácticos Hipótesis.

1. Hipótesis (suposición)El material se considera macizo (continuo), es decir no se tiene en cuenta los defectos posibles en la estructura del átomo (dislocaciones)

- Los granos son tan pequeños que el material se puede considerar continuo, incluso en materiales como la madera, hormigón y la piedra. Los resultados prácticos son satisfactorios

2. Hipótesis (suposición)El material de la pieza es homogéneo, es decir tiene iguales propiedades en todos los puntosLos metales son altamente homogéneos, es decir, sus propiedades son iguales en todos los puntos, sin embargo la madera, el hormigón, etc. son menos homogéneos. La madera tiene nudos y el hormigón esta compuesto de piedras, gravilla cuyas propiedades son distintas a las del cemento. Los experimentos demuestran que los resultados obtenidos, aceptando esta suposición son satisfactorios, por lo general se aplica para todos los materiales.

Figura 7. Propiedades iguales en todos los puntos

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3. Hipótesis (suposición).El material de la pieza es Isótropo, es decir poseen las mismas propiedades en todos los puntos en todas las direcciones.Los materiales que tiene granos finos tienen esta condición. Los materiales que tienen propiedades diferentes en diferentes direcciones son anisótropos por ejemplo el cobre 4. Hipótesis (suposición).Las fuerzas interiores originales que preceden a la carga son nulas. En realidad existen fuerzas moleculares; en el acero existen fuerzas interiores debido al enfriamiento no homogéneo, en la madera por el secado no uniforme y en el hormigón durante el fraguado. Cuando se procede a soldar una estructura o parte de una pieza se originan altos valores de tensiones térmicas los cuales pueden determinarse experimentalmente.5. Hipótesis (suposición).Principio de superposición de las cargas: el efecto de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones de las fuerzas del sistema, aplicadas en sucesión y en cualquier orden. Se entiende por efecto, según el caso concreto, las deformaciones, las fuerzas interiores que surgen en el sólido, y los desplazamientos de cada uno de los puntos de este.Estas suposiciones se cumplen cuando:

1) Los desplazamientos son pequeños en comparación con las dimensiones de sólido.

2) Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos (sistemas) se llaman s sólidos linealmente deformables.

6. Hipótesis (suposición).Principio de Saint_Venant. El carácter de la distribución de las fuerzas internas en una sección transversal, situado suficientemente lejos de los lugares de aplicación de la carga, depende muy poco del modo de aplicación de estas cargas. Este principio nos permite considerar una carga concentrada como equivalente de una carga distribuida cuando determinamos las reacciones en los apoyos de un elemento.Este principio permite sustituir (en muchos casos) un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo cual simplifica el cálculo.Ejemplo: Al calcular un carril (Figura) como una viga de apoyos múltiples (traviesas) la carga real que se transmite a la rueda y que se distribuye en el área de contacto según cierta ley (difícil de obtener) se puede sustituir por una fuerza concentrada

Figura 8. Sustitución de fuerzas distribuidas por una concentrada en una rueda de un carril.

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1.5. Sistema de unidadesEn resistencia de materiales aparecen magnitudes tales como: fuerza, masa, trabajo, potencia, etc. Estas magnitudes se miden en diversos sistemas de unidades

-Sistema MKSUnidad de longitud: MetroUnidad de fuerza: kilogramo-fuerza (kgf)Unidad de tiempo: segundoInconvenientes de este sistema

a) El Kgf es una magnitud variable que depende de la latitud del lugar, de la altura sobre el nivel del mar y varía aproximadamente en 0.2 %

b) Inaceptables para las unidades eléctricas y magnéticas y por seso no puede ser universal

-Sistema Internacional de Unidades (SI)Unidad de longitud: MetroUnidad de fuerza: kilogramo-fuerza (kgf)Unidad de tiempo: segundoUnidad de temperatura: Grado KelvinUnidad de intensidad de corriente: AmperioUnidad intensidad de luz: Candela

- En este Sistema Internacional por unidad de fuerza se toma la fuerza que comunica una aceleración de 1 m/seg2 a una masa de 1 kg y se denomina Newton (N)

Conversión del sistema MKS al SI Unidad de fuerza: 1 kgf = 9.80665 N=10 N; entonces 1N =0.10197 kgf = 0.1 Kgf Unidad de masa: 1 Kgf seg2/m = 9.81 = 10 Kg; entonces 1 Kg = 0.1 Kgfseg2/mUnidad de presión:1kgf/cm2 =10N/ cm2=105 N/m2;entonces1N/cm2= 0.1 kgf/ cm2

Unidad de trabajo (energía): 1 Kgf.m = 10 N.m = 10 J : 1 N.m = 1 J = 0.1 kgf.m.La unidad de trabajo en el sistema internacional (SI) es el trabajo realizado por 1 newton en un metro. Esta unidad se denomina Joule y se denota por JUnidad de potencia: 1 Kgf.m/seg = 10 N.m/seg = 10 J/seg = 10 W 1 Cv = 75 kgf.m/seg = 736 W = 0.736 Kw 1 kw = 1000 J/seg = 1000 N.m/seg = 100 Kgf.m/seg

1.6. Fuerzas exteriores. Clasificación.Las fuerzas (cargas) que actúan sobre las estructuras y sus elementos están constituidas por fuerzas y pares (momentos). Estas cargas pueden sr concentradas o distribuidas.1. Fuerza (carga) concentrada.En la naturaleza no existen fuerzas concentradas, todas las fuerzas reales son fuerzas distribuidas sobre cierta área o volumen.Ejemplo: la fuerza de la rueda sobre el carril de la figura 8.Sin embargo al determinar las fuerzas interiores que surgen en el carril y en la rueda es posible sustituir las cargas distribuidas por su resultante lo que simplifica el cálculo (Principio de Saint Venant).Las fuerzas concentradas se miden en Newton (N) o Kg o toneladas

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2. Fuerza (carga) distribuida.Las cargas distribuidas pueden ser de superficie (presión del viento o del agua sobre una pared) o de volumen (peso propio del cuerpo).El peso de una barra se interpreta no como una fuerza de volumen sino como una carga distribuida a lo largo de la barra (carga lineal) ya que las dimensiones transversales son pequeñas en comparación con la longitud.Las cargas distribuidas se miden en unidades de fuerza referidas a la unidad de longitud, área o volumen.Las cargas concentradas así como las distribuidas pueden ser estáticas o dinámicas.3. Fuerza (carga) estática.Las cargas cuya magnitud o punto de aplicación ( o dirección) varia muy lentamente, de tal manera que se pueda prescindir de ellas (no tener en cuenta) de las aceleraciones que surjan se llaman estáticas. Con estas cargas las vibraciones son insignificantes.3. Fuerzas (cargas) dinámicas.Las cargas que varían con el tiempo a una velocidad considerable (cargas de impacto) se llaman cargas dinámicas y con estas se producen vibraciones en las estructuras.Al variar la velocidad de las masas que vibran surgen fuerzas de inercia proporcionales a las masas que oscilan y a las aceleraciones (2 Ley Newton). La magnitud de estas fuerzas de inercia pueden superar en muchas veces a la de las cargas estáticas4. Fuerzas (cargas) de régimen estable o cargas de repetición periódica.Las leyes de la variación de las cargas en función del tiempo pueden ser complejas. Las cargas de régimen estable o cargas de repetición periódica son aquellas en las cuales la variación de la carga P puede ser de carácter periódico, es decir que los valores máximos y mínimos se repiten. (Figura 9).

Figura 9. Cargas de repetición periódica5. Fuerzas (cargas) repetidas a régimen no estable (no periódicas).Las cargas repetidas a régimen no estable son aquellas en que la variación de la carga en función del tiempo no tiene carácter estable.Ejemplo: Actúan sobre piezas de automóviles, tractores, tornos y las que actúan sobre estructuras (edificios, mástiles, etc.) por ejemplo el viento, la nieve, etc. Las cargas del viento son variables y dependen del lugar. (Figura 10)

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Figura 10. Cargas de repetición no periódica

1.7. Deformaciones y desplazamientosLas fuerzas exteriores aplicadas a un sólido lo deforman , o sea modifican sus dimensiones, su forma o ambas cosas, a continuación se estudian diferentes tipos de deformaciones.Deformación lineal: es la variación de las dimensiones lineales.Deformación angular: Variación de los ángulos.Alargamiento: Cuando las dimensiones aumentan.Acortamiento. Cuando las dimensiones disminuyen.Deformación lineal media ():

Deformación lineal media en el punto 2

Figura 11. Deformación lineal y angular

Al disminuir el segmento S y pasando al límite se tiene lim = deformación

lineal real en el punto 2 y en la dirección 2 y 3.Deformación angularEs la variación del ángulo inicial recto formado por los lados del rectángulo examinado el cual caracteriza la deformación angular o el ángulo de distorsión en el punto dado.

Deformación elástica.Las pruebas demuestran que las deformaciones lineales o angulares pueden desaparecer una vez retirada la carga (según el material y el grado de solicitación)

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ElasticidadEs la propiedad del sólido de volver a adquirir su forma inicial una vez retirada la carga.Deformación plástica (residual)Las deformaciones plásticas son aquellas que se mantienen una vez retirada la cargaPlasticidadEs la propiedad del material de admitir deformaciones residuales una vez retirada la carga.

Notas1. Al conocer las deformaciones del sólido en todos sus puntos y las condiciones de apoyo pueden calcularse los desplazamientos de todos los puntos y por lo tanto la posición que ellos ocuparan (nuevas coordenadas) una vez deformado el sólido.2. Para una explotación normal de una estructura las deformaciones deben ser elásticas (como regla general) y los desplazamientos que ellos originan inferiores a ciertos límites admisibles.3. Estas condiciones expresadas mediante ecuaciones se denomina condición de rigidez

Tipos de deformacionesLos tipos de deformaciones son las siguientes: tracción, compresión, cortante o deslizamiento, flexión y torsión; estas se muestran a continuación:Tracción – Compresión

P

P

P

P

Figura 12. Deformación tracción compresión

Cortante (Deslizamiento)

P

P

PP

Figura 13. Cortante (deslizamiento)

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Flexión

P

Y

Figura 14. Flexión

FLEXION EN VIGAS (CASO PARTICULAR)La flexión ocurre cuando la deformación que se produce es una curvatura en el eje de la barra, si la barra es recta o una variación de la curvatura del eje si la barra es curva. Las barras que están sometidas a flexión se denominan vigas, en el sgte esquema se muestra una viga a flexión (Figura 15)

Figura 15. Flexión en vigas

En dependencia de la forma de aplicar las cargas la flexión puede ser: plana si las cargas externas actúan en un plano que pasa a través de uno de los ejes centroidales de inercia. Para esta flexión la deformación del eje de la barra ocurre en el plano de acción de las fuerzas exteriores. Las fuerzas P1, q y M actuando independientemente provocan flexión plana. La flexión plana es pura si el momento flector es la única fuerza interior y es transversal si simultáneamente con el momento flector actúa una fuerza cortante.La flexión oblicua ocurre cuando en el plano de acción de las cargas externas no coincide con los ejes centroidales principales de inercia. Como consecuencia de tal tipo de solicitación pueden aparecer momentos torsores junto con los momentos flectores. Las fuerzas P2 y P3 ocasionan flexión oblicua

Torsión

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K

N

N

C

Cd

Mt

Figura 16 Torsión

1.8 Método de las secciones Se considera que las fuerzas interiores que se presentan en el sólido al aplicar la carga, se distribuyen de una manera continua, según la suposición de la continuidad del material sólidoLas fuerzas internas van a ser las resultantes de las fuerzas distribuidas en la sección transversal del elemento, que se producen en el interior de cuerpo por la acción de las cargas externas.Para determinar el valor de estas fuerzas internas empleamos el Método de las secciones estudiado en mecánica teórica.Este método se utiliza para determinar los esfuerzos interiores de las fuerzas y consiste en lo sgte: si un elemento se encuentra en equilibrio bajo la acción de cargas externas, cualquier parte separada de este elemento tiene que encontrarse en equilibrio (Figura 17 y 18).En el sólido que se encuentra en equilibrio en el lugar que interesa se traza mentalmente una sección, por ejemplo a-a y se retira una de sus partes, siendo conveniente retirar la que tenga mayor número de fuerzas o cargas. Cada sección es valida mientras no aparezca o desaparezca otra fuerza u ocurra un cambio de sección transversalLa interacción de ambas partes se sustituye por los esfuerzos interiores que equilibran las fuerzas exteriores que actúan sobre la parte separada. Si las fuerzas se encuentran en el mismo plano para equilibrarlas es necesario en el caso mas general aplicar a la sección tres fuerzas interiores: fuerza N dirigida según el eje de la barra y que se denomina fuerza axial, otra fuerza transversal o cortante Q que actúa en el plano de la sección transversal y un momento flector ubicado en el plano perpendicular al de la sección, este momento surge como consecuencia de la flexión de la barra y se denomina momento flector.

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Figura 17. Aplicación del método de las secciones a un cuerpo

Figura 18. Aplicación del método de las secciones a un cuerpo

Posteriormente se escriben las ecuaciones de equilibrio de la parte separada del sólido con las que se obtienen N, Q y M flector. En efecto proyectando las fuerzas que actúan sobre la parte separada del eje de la barra e igualando a cero la suma de las proyecciones se obtiene la fuerza normal N, luego proyectando las fuerzas en la dirección perpendicular al eje de la barra e igualando a cero se obtiene la fuerza cortante Q, posteriormente igualando a cero la suma de los momentos respecto a un punto arbitrario se obtiene el momento flector.

PROBLEMA TRIDIMENSIONALCuando las fuerzas exteriores incluyendo las reacciones en los apoyos no se encuentran en el mismo plano, entonces en la sección transversal pueden aparecer 6 fuerzas interiores que son componentes del vector y los momentos principales de las fuerzas interiores.Estas fuerzas interiores son: fuerza axial N, las fuerzas cortantes Qx y Qy, momentos flectores Mx y My y el momento torsor Mz que tiende a torcer la barra.Para calcular estas 6 fuerzas serán necesarias 6 ecuaciones de equilibrio, o sea la sumatoria de las 3 proyecciones sobre los tres ejes coordenados y la sumatoria de los momentos de las fuerzas que actúan respecto a los tres ejes de origen en el centro de gravedad de la sección (Figura 19)

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Figura 19. Sistema tridimensional

Pasos para el cálculo de las fuerzas interiores.1. Seleccionar la barra o el sistema de barras.2. Retirar una de las partes.3. Aplicar en la sección las fuerzas que equilibren las cargas exteriores que actúan sobre la parte separada.4. Calcular los valores de las fuerzas interiores por las ecuaciones de equilibrio que se escriben para la parte separadaEN CASOS PARTICULARES PUEDE OCURRIR QUE EN LAS SECCIONES TRANSVERSALES OCURRA:1. Solo una fuerza axial n. En esta caso se denomina tracción si la fuerza N actúa hacia fuera y compresión si actúa a.C. adentro, o sea si está dirigida hacia la sección.2. Solo una fuerza cortante Qx o Qy. En esta caso tenemos cortante o deslizamiento puro.3. Solo un momento torsor, aquí tenemos torsión.4. Solo un momento flector Mx o My. En este caso se tiene flexión.5. varia fuerzas interiores que actúan simultáneamente, por ejemplo un momento flector y otro torsor. En este caso se tiene deformación compuesta (resistencia compuesta).Notas 1. Si el número de esfuerzos desconocidos es igual al número de ecuaciones entonces el problema es estáticamente determinado (isostático) y si es superior al de las ecuaciones de equilibrio el problema es estáticamente indeterminado (hiperestático)

1.9. TensionesEn la sección transversal de la barra actúan fuerzas distribuidas y no las concentradas N, Q, Mtors, etc. La intensidad puede variar punto apunto en la sección y tener diferente dirección.Tensión media y tensión real.La intensidad de las fuerzas interiores en un punto dado de una sección dada, por ejemplo en el punto A se mide de la sgte forma:Se selecciona una pequeña área ∆A alrededor el punto A, siendo ∆R la resultante de las fuerzas interiores que actúan sobre el área, entonces la

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magnitud media de las fuerzas interiores correspondientes a la unidad de superficie del área ∆A es:

Tensión media, que caracteriza la intensidad media de las fuerzas

InterioresDisminuyendo las dimensiones del área y pasando al límite se tiene:

Cuando R tiende a cero. Tensión real (tensión) en un punto dado

de la sección.Simplificando se puede decir que se denomina tensión a la fuerza interior correspondiente ala unidad de superficie en dicho punto de una sección dada.La tensión media se mide en unidades de fuerza entre unidades de área, en el sistema MKS (Kgf/m2) y en el Sistema Internacional (SI) (N/m2).ESTADOS TENSIONALESLa tensión completa P se puede sustituir por dos componentes, la normal al plano de la sección () que es la tensión normal y la situada en el plano de la sección () que es la tensión tangencial (Figura 20)

Figura 20. Estados tensionales.La tensión tangencial se sustituye por sus componentes según los ejes coordenados.Las notaciones de las tensiones se indican en la figura 19, la tensión normal tiene un subíndice que señala el eje de las coordenadas paralelo a ella. La de tracción es positiva y la de compresión es negativa. Las tensiones tangenciales se señalan de acuerdo al eje en la cual son paralelas.SENTIDO FISICO DE LA TENSION NORMAL Y TANGENCIALLa tensión normal surge cuando las partículas del material tienden a separarse o acercarse al material y las tensiones tangenciales están ligadas al deslizamiento de la partícula del material en le plano de la sección.

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ESTADOS TENSIONALESSi alrededor de un punto se selecciona un elemento de forma cúbica infinitamente pequeño, en sus caras actuaran las tensiones que se muestran en la figura 21.

Figura 21. Estados tensionalesEl conjunto de tensiones que actúan en todos los planos elementales que se puedan trazar a través de un punto sólido forman el estado tensional del eje del punto.Si en las caras del cubo actúan solamente tensiones normales estas se denominan tensiones principales y los planos sobre las que ellas actúan planos principales. Las tensiones principales se designan por σ1 σ2 σ3 la máxima σ1 y la mínima σ3.TIPOS DE ESTADOS TENSIONALESLos estados tensionales se clasifican según el número de tensiones principales.1. Si las tres tensiones principales son diferentes de cero es triaxial o de volumen.2. Si una de las tensiones principales es igual a cero es biaxial o plano.3. Si dos de las tensiones principales son iguales a cero es monoaxial o lineal.La resistencia de la pieza se puede apreciar si se conoce el estado tensional en todos los puntos.RESISTENCIA DE LOS ELEMENTOSLa resistencia de la pieza se puede apreciar si se conoce el estado tensional en todos sus puntos. En los casos mas simples la resistencia de los elementos se realiza por el valor máximo de la tensión normal o por la tensión tangencial máxima (cizallamiento), resultando que la condición de resistencia es:

max = max =

Donde y son los valores admisibles de la tensión normal y la tensión tangencial respectivamente las cuales dependen del material y de las condiciones de trabajo de la pieza (elemento) que se calcula. Las magnitudes de y se seleccionan en base a que se garantice la explotación normal de la estructura.

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En los casos mas complicados la valoración de la resistencia se realiza en base a la tensión reducida o equivalente de acuerdo con las teorías de resistencia que se estudian posteriormente.

1.10 TIPOS DE APOYOSLos tipos de apoyos que se utilizan en la mecánica teórica y la resistencia de materiales se agrupan en tres grandes partes las cuales se muestran en la tabla No 1, las reacciones equivalentes que ocasionan se estudian a continuación 1. Reacciones equivalentes a una fuerza de línea de acción conocida.(Rodillos, balancines, superficies lisas, eslabones, cables cortos, collarín sobre varilla lisa y pasador con ranura lisa)Estos apoyos impiden el movimiento en una sola dirección, lo cual se muestra en la figura de la tabla con la reacción que producen, por eso tienen una sola incógnita que es la magnitud de la reacción. La línea de acción de la reacción es conocida y su sentido se debe señalar, en el caso de la superficie lisa se aleja de la superficie y en le caso de un cable la tensión es en la dirección del cable.2. Reacciones equivalentes a una fuerza de dirección desconocida.(Pasadores lisos en orificios ajustados, bisagras, superficies rugosas)Estos apoyos impiden la traslación del cuerpo en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo en la conexión, tienen dos incógnitas que se representan por sus componentes x e y. En el caso de la superficie rugosa la componente normal a la superficie debe salir de ella.3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par.(Apoyos fijos)Estos apoyos inmovilizan el cuerpo por completo, la constricción es total, producen fuerzas en toda la superficie de contacto y se puede reducir a una fuerza y un par. Tienen tres incógnitas

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TABLA No 1. TIPOS DE APOYOSNo Apoyo o Conexión Reacción Número

incógnitas1

1

2

1

3

1

22

4

2

5

3

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1.12. EJEMPLOS (EJERCICIOS)

BIBLIOGRAFIA

1. Resistencia de Materiales” Gilda Fdez Levy2. Resistencia de Materiales” P. A. Stiopin.

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