Tema 10: Problemas métricos en el plano

10.1 Relaciones angularesEjemplo1. Construye un polígono de cinco lados, divídelo en triángulos para averiguar la suma de los

ángulos interiores del pentágono.

Nuestro pentágono ha quedado dividido en tres triángulos, por lo que la suma de los ángulosinteriores será 3 � 180 � 540Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

2. Dibuja una circunferencia; sobre ella dibuja dos ángulos inscritos que tengan el mismo arcosobre la circunferencia. Dibuja también el ángulo central correspondiente. Mide todos losángulos que se forman con ayuda del transportador para comprobar que se da la relación entrelos ángulos inscritos y el ángulo central correspondiente.

Relación entre un ángulo inscrito y su ángulo central correspondiente.Tareas 06-03-17: todos los ejercicios de la página 185

10.2 Semejanza de triángulosEjemploCriterio 1 de semejanzaSi dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales entonces son semejantes.Para verlo, construimos dos ángulos agudos cualesquiera, Â y B� . Vamos a construir dos triángulosdistintos que tengan estos dos ángulos. Para ello, dibujaremos primero el ángulo Â, para luego sobre unode sus lado, construir el otro ángulo B� , y cerrar el triángulo.Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condicionespara que dos triángulos sean semejantes:

1

�aa�

� bb�

� cc�

� C � C�,B � B�,A � A�Criterio 2 de semejanzaSi dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido es el mismo,son semejantes.

Para verlo, construimos dos segmentos, a y b, de longitud libre y determinamos un ángulo C � 90º.Elegimos un valor para la razón de semejanza r � 1.3. Multiplicamos los segmentos dados por dicharazón para obtener dos nuevos segmentos, a� y b�. Ahora con estos datos construimos los dos triánguloscorrespondientes, siendo C � C�.Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condicionespara que dos triángulos sean semejantes:

�aa�

� bb�

� cc�

� C � C�,B � B�,A � A�Criterio 3 de semejanzaSi dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, son semejantes.Para verlo, construimos tres segmentos, a, b y c de longitud libre. Elegimos un valor para la razón desemejanza r � 0.8. Multiplicamos los segmentos dados por dicha razón para obtener tres nuevossegmentos, a� ,b� y c� Ahora con estos datos construimos los dos triángulos correspondientes.Sobre ellos comprobaremos, tomando medidas de longitud y de ángulos, que se cumplen las condicionespara que dos triángulos sean semejantes:

�aa�

� bb�

� cc�

� C � C�,B � B�,A � A�Teorema de TalesSi dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una delas rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

ABA�B�

� ACA�C�

Para verlo construimos los siguientes elementos:� tres rectas paralelas� dos rectas secantes que corten a las anteriores� determinamos los puntos A,B,C,A�,B�,C�

� medimos los segmentos correspondientes para calcular los cocientes y comprobar su igualdad.

Ejemplo1.

2

Será:

� x � 40 de resolver ACA�C�

� CBC�B�

� x � 422

� 5226

� y � 29.5de resolver ABA�B�

� CBC�B�

�2y � 1

30� 52

262.

3.

Teniendo en cuenta que tenemos un espejo en el suelo, por la leyes de la òptica el ángulo conque la luz “sale”del ojo del hombre y entra en el espejo es el mismo con el que la luz llega a lapunta del árbol. Por lo tanto tenemos dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo igual.Entonces en realidad tenemos dos triángulos que tienen dos ángulos respectivos que soniguales, por lo tanto son semejantes. En particular se cumple que:

3

41.42.8

� h1.8

, Solution is: 26. 614� 26.6

Tareas 15-03-17: todos los ejercicios de la página 187

10.3 Teorema de PitágorasEjemploCalcula los elementos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos:

� Triángulo ABC

AB � CB2� CA2

� 9.432 � 52 � 7. 9953� Triángulo DEF

DF � FE2� DE2

� 62 � 52 � 7. 8102Tareas 16-03-17: todos los ejercicios de la página 188, 189

10.4 Aplicación algebraica del Teorema de PitágorasTareas 22-03-17: todos los ejercicios de la página 190

EjemploCalcula la altura del siguiente trapecio:1.

Como el triángulo ADE es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura,teniendo en cuenta que esta es un cateto.

DE � DA2� AE2

� 8.062 � 42 � 6. 9974es la medida de la altura2

4

El lado AE � 16�102 � 3

Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AED, donde la altura deltrapecio es un cateto.

AE � DA2� AE2

� 6.712 � 32 � 6. 002es la altura del trapecio

10.5 Lugares geométricosTareas 24-03-17; todos los ejercicios de la página 191

10.6 Las cónicas como lugares geométricosTareas 06-05-16; todos los ejercicios de la página 193

10.7 Áreas de los polígonosEjemplo1.

Descomponemos la pieza de la siguiente forma:

5

Tareas 29-03-17: todos los ejercicios de la página 194

10.8 Áreas de figuras curvasEjemplo1.

Tareas 29-03-17: todos los ejercicios de la página 195

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.

6

d Tenemos dos rectas paralelas con una oblicua que corta a las dos. Por lo tanto, elángulo al otro lado del lado que define � es igual a 35º. Entonces � � 180� 35 � 145

Tareas 30-03-17: todos los ejercicios que faltan del 12

d Tenemos un paralelogramo dividido por su diagonal, por lo que cada uno de lostriángulos formados son iguales. En particular, se cumpler que X � 180� 18� 120 �42º

Tareas 30-03-17: todos los ejercicios que faltan del 23

d Tenemos un polígono regular de diez lados siendo X un ángulo central, entoncesX � 360

10� 36º

Por otro lado, el triángulo que contiene al angulo X, es un triángulo isósceles por

7

tener dos de sus lados como los radios de la circunferencia que pasa por los diezvértices del decágono. Entonces, cada uno de los otros dos ángulos, (que soniguales), mide: 180� 36

2� 72

Y el ángulo�Y � 2 � 72 � 144

En el vértice donde está�Z, por dentro está

�Y, por lo que claramente

�Z � 360� 144 �

216ºOTRA FORMA DE CALCULAR

�Y

Se trata de un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es 8 � 36 � 288

De ahí que�Y � 288

2� 144

Tareas 30-03-17: todos los ejercicios que faltan del 34

Tenemos que calcular la medida de dos ángulos inscritos en la circunferencia que van a dar almismo ángulo central. Entonces,

P � Q � AOB2

� 702

� 35º

Tareas 30-03-17: 5,67

La razón de semejanza se obtiene de los siguientes cocientes:ABA�B�

� CBC�B�

� ACA�C�

� 1.2

Entonces de esto se obtiene que:

�ABA�B�

� 1.2 � A�B� � 161.2

� 13. 333cm

�CBC�B�

� 1.2 � C�B� � 251.2

� 20. 833cm

�ACA�C�

� 1.2 � A�C� � 391.2

� 32. 5cm

Admite otra solución que sería los lados de A�B�C� entre los correspondientes de ABCTareas 31-03-17; 8,910

8

Para empezar el trapecio es isósceles. Por lo tanto a la base mayor le quitamos la base menorpara obtener el cateto del triángulo rectángulo que está a la derecha: 24� 12

2� 6cm

En dicho triángulo el valor x es un cateto por lo tanto;x � 102 � 62 � 8cm

Tareas 31-03-17: todos los ejercicios que faltan del 1011

La situación gráficamente queda representada por:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC.

BC � 372 � 122 � 35cmEl perímetro será 2�12� 35� � 94cm

Tareas 31-03-17: 1213

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la izquierda tenemos que:132 � x2 � h2

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha tenemos que:

9

152 � y2 � h2

Además, sabemos que: x � y � 14Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:

x2 � h2 � 132

�14� x�2 � h2 � 152

Restando en columna x2 � �14� x�2 � 132 � 152

x2 � �142 � 28x � x2� � 169� 225x2 � 142 � 28x � x2 � �5628x � 196� 56

x � 14028

� 5cm

Sustituimos este valor de x para hallar el resto de los valores:52 � h2 � 132

h � 169� 25 � 12cmy � 14� 5 � 9cm

14

d El mayor es 25mCalculamos:� 72 � 242 � 625� 252 � 625

Como los dos son iguales, el triángulo es rectángulo.Tareas 31-03-17; todos los ejercicios que faltan del 1415

Nos quedarían dos rectas con la recta dada en medio de las dos.Tareas 03-04-17: 16, 18,19,2017

10

� Circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.Es decir, el circuncentro es el lugar geométrico del plano que está a la misma distanciade los tres vértices del triángulo.Como pequeño recordatorio, el circuncentro se calculaba hallando el punto de corte delas tres mediatriaces de los lados del triángulo.

� Incentro es el centro de la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo..Es decir, el incentro es el lugar geométrico del plano de los puntos que están a la mismadistancia de los lados del triángulo.Como pequeño recordatorio, el incentro se calculaba hallando el punto de corte de lastres bisectrices de los ángulos del triángulo.

21

h

�coloreada � �cuadrado� �pentagono

�cuadrado � l 2

La medida 10 cm es la del lado del pentágono.

�pentagono�P � apotema

2Nos hace falta calcular la apotema del pentágono y el lado del cuadrado.Por un lado, consultando la página 194 del libro de texto sabemos que:

apotema� 10 �25�10 5

10 � 6. 8819� 6.9cm

Esto nos permite calcular �pentagono�5 � 10 � 6.9

2� 172. 5cm2

Ahora para poder calcula el lado del cuadrado consideramos el siguiente triángulorectángulo

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC tenemos que:radio � 6.92 � 52 � 8. 5212� 8.5cmPor lo tanto, el lado del cuadrado:l � apotema� radio � 6.9� 8.5 � 15. 4cm

11

De esta forma �cuadrado � 15.42 � 237. 16cm2

�coloreada � 237.16� 172.5� 64. 66cm2

Tareas 05-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2122

d

�coloreada � �circu log rande � �circulospequenos

�circu log rande � �R2

Ahora bien, el radio de la circunferencia grande es R � 2 � 10� 2 � 62

� 16cm

�coloreada � �162 � ��62 � �102� � 120� � 376. 99� 377cm2

Tareas 05-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2223 Halla el área de cada una de las siguientes figuras coloreadas:

d

�coloreada � �elipse� �circulo �

� � � 20 � 10� � � 102 � 314. 16cm2

Tareas 05-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2324

F

�coloreada � �circulo � �A � � � 0.52 �

Tareas 05-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2425

12

d 140º

� � 140360

� � � 152 � 1752

� � 274. 89cm2

P � 140360

� 2� � 15� 2 � 15 � 353

� � 30 � 66. 652cm

Tareas 06-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2526

b

�coloreada � �sectorcircular � �triángulo � 90360

� � � 182 � 182

2� 81� � 162 � 92. 469cm2

Tareas 06-04-17: todos los ejercicios que faltan del 2627

d los catetos serán 48 y 140� 482 � 1402 � 21904la hipotenusa 148� 1482 � 21904Como 21904� 21904triángulo rectánguloVamos a calcular su área de dos formas distintas:� Fórmula de Hérón

P � 48� 140� 148 � 336 � P2

� 3362

� 168

� � 168�168� 148��168� 140��168� 48� � 3360� 3360.0cm2

13

� � � base� altura2

� 48 � 1402

� 3360

Tareas 06-04-17: todos los ejercicios que faltan del 27Tareas 06-04-17: 2829

d Primero vamos a comprobar si es rectángulo:� los catetos serían 25 y 34� 252 � 342 � 1781� la hipotenusa sería 39� 392 � 1521

Como 1521� 1781triángulo acutángulo

P � 25� 34� 39 � 98 � P2

� 982

� 49

� � 49�49� 25��49� 34��49� 39� � 420 � 420.0cm2

Tareas 06-04-17: todos los ejercicios que faltan del 29Tareas 06-04-17: 30,3132

Primero realizamos el siguiente dibujo:

Entonces podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulosobtenidos:

252 � h2 � �28� x�2

172 � h2 � x2

14

Aplicamos el método de reducción para restar en columna:625� 289 � 784� 56x � x2 � x2

56x � 448

x � 44856

� 8

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de h:h2 � 289� 64h � 225 � 15Como se trata de una altura será h � 15Finalmente el área pedida es:

� � 28 � 152

� 210cm2

Tareas 19-04-17: 33,3435

La situación es la siguiente:

Tenemos la siguiente tabla de magnitudes directamente proporcionales:

longitud ángulo

31.4cm � x

471cm � 360

� 31.4471

� x360

� x � 31.4� 360471

� 24

El arco sería 24ºTareas 19-04-17: 36,3738

a. Por ser TP tangente a la circunferencia en el punto P, el triángulo OPT es rectangulo,por lo que se puede aplicar el Teorema de Pitágoras en dicho triángulo para calcularsu medida:TP � 162 � 82 � 8 3 � 13. 856cm

b. La parte coloreada será el área del triángulo menos el área del sector circular:

� � 13.856� 82

� � � 82 � 60360

� 55. 424� 323

� � 21. 914cm2

Tareas 19-04-17: 39,4041

15

Gráficamente tenemos el siguiente dibujo esquemático:

Como se refleja en el agua, los ángulos que están sobre el mismo vértice son iguales. Por lotanto, tenemos dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual, entonces sonsemejantes. De ahí, que los lados correspondientes sean proporcionales:1.24

� 1.62x � x � 1.62� 4

1.2� 5. 4

El árbol mide 5.4mTareas 19-04-17: 42,4344

Gráficamente la situación se puede describir así:

16

Trabajamos en el triángulo rectángulo BHC:BC2

� CH2� BH2

62 � 32 � BH2

BH � 36� 9 � 3 3 � 5. 1962� 5.2cmTrabajamos en el triángulo rectángulo BDE:BD2

� ED2� BE2

�BH � ED�2 � ED2� 32

�5.2� ED�2 � ED2� 32

5.22 � 10.4ED � ED2� ED2

� 918. 04� 10.4ED

ED � 18.0410.4

� 1. 7346� 1.7cm

Entonces el diámetro de la tubería sería 3.4 cmTareas 19-04-17: 45,46,47

17