TEMA 10.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

10.1. DOMINIO.

2° BACH(CN)

El dominio de definición de una función y = f{x) (valores para los cuales existe la

función) es, en principio, todo iR, salvo que haya operaciones imposibles o que,

expresamente, se nos limite:

Recordemos las principales imposibilidades:

• Si hay denominadores, la función no está definida donde éstos se anulan.

• Si hay ráíces cuadradas, no está definida cuando lo que hay dentro de la raíz es

negativo.

• Ellogaritmo sólo está definido para valores positivos.

• Cuando hay una función definida a trozos y expresamente no aparece algún punto.

10.2. SIMETRÍAS.

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

f{x) = f(-x).

b) IMPAR: Una función es simétrica con respecto al oriqen de coordenadas si

verifica: f{x)=-f(-x).

10.3. PERIODICIDAD.

Saber que una función es periódica facilita mucho su representación. Las únicas

funciones periódicas que hasta ahora estudiamos son las, trigonométricas. Para hallar el

periodo habrá que tener en cuenta cómo son los periodos de las funciones seno y coseno.

y Ejemplo: f{x)=sen2x.

Buscamos T tal que f{x)=f(x+T), es decir: sen2x=sen2(x+T). El seno tiene un

periodo de 2íT , luego 2x + 2Jr = 2(x + T) .

Despejando: 2x + 2íT = 2x + 2T ~ 0= 2T + 2kíT~T = íT

En este caso el periodo es íT.

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TEMA 10.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

10.4. ASÍNTOTAS y RAMAS INFINITAS.

2° BACH(CN)

Habrá que buscar las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas que tenga la función

como ya hemos explicado en el tema 7:

~ Verticales: Cuando el límite en un punto es infinito o menos infinito,

( lim f(x) = ±oo) gráficamente estamos hablando de una asíntota vertical en el punto x = a .x--+a

~ Horizontales: Cuando hacemos x ~ +00 o x ~ -00, si el resultado es un número

real entonces tendremos una asíntota horizontal.

~ Oblicuas~ Para calcular una asíntota oblicua se busca una recta y = mx + n a la que

la función se aproxime. Para ello se procede como sigue:

1er Paso: Calcular lim f(x) = ±oox--+±oo

20 Paso: m = lim f(x)x--+±oo x

si m existe y es un número real (no es infinito):

3er Paso: n = lim [f(x) - mx] si n existe y es un número real, entonces ya tendremosx--+±oo

la asíntota oblicua.

10.5. MONOTONÍA. EXTREMOS.

A partir del signo de la primera derivada se estudiarán los intervalos de crecimiento,

de decrecimiento y se obtendrán los extremos como ya hemos explicado en el tema 9:

Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1:

• Si J'( xo) > O para todo Xo del intervalo, entonces J es estrictamente creciente en I.

• Si 1'(xo) < O para todo Xo del intervalo, entonces f es estrictamente decreciente en I.

. I {Si f"(xo) < O ~ Xo es un máximo.·SI f(xo)=O~

Si J"(xo) > O ~ Xo es un mínimo.

10.6. CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.

A partir del signo de la segunda derivada se estudiarán los intervalos de concavidad,

de convexidad y se obtendrán los puntos de inflexión como ya hemos explicado en el tema 9:

Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1:

• Si J"(xo) > O para todo Xo del intervalo, entonces la función es convexa.

• Si J"(xo) < O para todo Xo del intervalo, entonces la función es cóncava.

• Si J" (xo) = O Y J'" (xo) =1:- O ~ Xo es un punto de iriflexión.

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TEMA 10.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

10.7. CORTES CON LOS EJES.

2° BACH(CN)

a) Cortes con el eje Y: Se hace x = O Y se calculan los valores de y. Obtendremos

puntos de la forma (O,b).

b) Cortes con el eje X: se iguala la función a O, y = O, Y se calculan los valores de x.

Obtendremos puntos de la forma (a,O).

10.8 REPRESENTACION DE LA FUNCIÓN.

Para representar la función se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Subrayar y señalar todos los resultados de los pasos anteriores, para no omitir

ningún dato.

2) Dibujar los puntos clave: cortes con los ejes, máximos, mínimos y puntos deinflexión.

3) Dibujar todas las asíntotas.

4) Ir dibujando a mano alzada la curva teniendo en cuenta los intervalos de

crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.

5) Comprobar que los datos no se contradicen entre sí, en ese caso habría algún error

en algún apartado.

6) En el caso de función par o impar dibujarla sólo en el eje positivo de las X y luego

copiar de forma simétrica (con respecto al eje Yo con respecto al origen de coordenadas) en

el otro eje.

10.9. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

En estos casos hay que tener en cuenta dónde está definida cada parte de la función, es

decir, calcular dominios por separado. En general no habrá ni simetría ni periodicidad, pero si

habrá que estudiar las asíntotas, la monotonía, la concavidad y convexidad en cada uno de

los intervalos. Los cortes con el eje Y sólo afectarán a un intervalo, sin embargo los cortes

con el eje X hay que calcularlos en todos.

{2X -1 si x ~ O~ Ejemplo: f(x) = 1 . O-- SI x>

x-1

Por un lado Dom(2x-l)= 91, luego donde está definida ((-00,0]) no hay problemas y

por otro Dom(-l-) = 91- {l}, en (0,+00) tendremos una asíntota vertical en x = 1 .x-l

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10.10. FUNCIONES EN VALOR ABSOLUTO.

2° BACH(CN}

Cuando una función está expresada en valor absoluto (toda la función, no una parte),

se dibujará sin tener en cuenta este hecho y luego se proyectará simétricamente la parte

negativa sobre el semi plano positivo. También podemos redefinirlas teniendo en cuenta la

{a si a ~ Odefinición del valor absoluto: lal = .- a SI a < O

Es decir, If(x ~ = { f(x) si f(x) ~ O- f(x) si f(x) < O·

~ Ejemplo: y = IX-31

{X -3 SIY = Ix - 31 = ( ) .- x -3 SI

x-3~O

x-3<O

La condición x - 3 ~ O y la x - 3 < O son inecuaciones sencillas de resolver, x ~ 3 y

x < 3, respectivamente, con lo que nos queda la función definida a trozos:

{X - 3 si x ~ 3Y = Ix - 31 = _ (x _ 3) si x < 3

Además, se nos pueden presentar otros casos:

_ () I ( ~ - {f(x) + g(x) si g(x)~ Oa)y-fx+gx}J::::::>Y- () () . ()f x - g X SI g X < O

~ Ejemplo: y=x+lx-31

I I {X+(X-3) si x-3~O {2X-3 si x~3y=x+x-3::::::>y= ::::::>y=

x - (x - 3) si x - 3 < O 3 si x < 3

f(x) + g(x) si f(x) ~ O Y g(x) ~ O

If( ~ I ( ~ J f(x) - g(x) si f(x) ~ O Y g(x) < Ob) y= xJj+gxJj::::::>Y=,- f(x) + g(x) si f(x) < O Y g(x) ~ O

- f(x) - g(x) si f(x) < O Y g(x) < O

Las condiciones que tenemos ahora (f(x) ~ O Y g(x) ~ O, ... ) son sistemas de

inecuaciones muy sencillas de resolver, y que puede que alguna de ellas no tenga solución

(no tend rá sentido).

~ Ejemplo: y=lx-31+lx+21

(x-3)+(x+2) si x-3~O y x+2~O

I I I I J (x-3)-(x+2) si x-3~O y x+2<Oy=x-3+x+2::::::>y=,-(x-3)+(x+2) si x-3<O y x+2~O

-(x-3)-(x+2) si x-3<O y x+2<O

4/5DAVID RIVIER SANZ

TEMA 10.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

Operando:

2° BACH(CN)

y = Ix - 31 + Ix + 21 =

2x -] si x 2. 3 Y x 2. -2

-] si x 2. 3 Y x <-25 si x < 3 Y x 2. -2

- 2x +] si x < 3 Y x <-2

La segunda línea no tiene sentido, ¿cómo es posible que al sumar dos valores absolutos

el resultado sea negativo? Además, ¿qué números son a la vez más grandes que 3 y más

pequeños que - 2? Con todo esto la función nos quedaría:

{ 2x-]

y = Ix - 31 + Ix + 21 = 5 si

- 2x +]

si x 2. 3 Y x 2. -2x < 3 Y x 2.-2

si x < 3 Y x <-2

~ Ejercicio: Representar las siguientes funciones:

si-l < x S 4

si x < 4

a) f(x) = ln(x + 3)

d) f(x) = cos(x + 7r)2

2x

4

g)f(x)=~x_3

3

DAVID RIVIER SANZ

SI

x

b) f(x) = x-2

x:S-1

c) f(x) = j;2;1

( 2 x+!f) f(x) = x -7x + 4JX-7x-3

i) f(x)=x-12x+41

5/5

t.rEA... el c.t oSr

R €?/2.~S.cf\JTACIOt\:J c;yE

::t= U AJ eA oAn5"Ss3 i Dihuja la gráfica de una función de la que se

, conocen las siguientes propiedades:

5 :Estudia y representa las siguientes funciones:

, lím /(x) = -co, lím fex) = +co~x -7 _00 X ~ +00

)x-ci) y = 9 _ x2

)x-f) y = (x _ 3)2

x4

h).1' = x2 _ 4

j) y = (x- 2)2x-l

Representa las siguientes funciones, estudiando:

- Dominio de definición, asíntotas y posiciónde la curva respecto de estas.

- Crecimiento y extremos relativos.

4x- 12 x

a)y= (x-2)2 b)y= ex-2)2

e) y = (x- l)(x- 3)x-2

e) y = x2 + 4x

2x-"

g) .1'= x2 + 1

x3

Dy= x+2

11

f) y = (x - 1)3 - 3x

, .,5x'l-x

d)y = 64

-1b)y = x2 + 1

e)y=x'i-5x'"

x4 9 •e) )J = - _-x2 + 10. 4 2

1

a) y = x2 _ 1

7 ! En las siguientes funciones, estudia su dominio,

, asíntotas y posición de la curva respecto de es­i tas, y represéntalas a partir de los resultados ob­tenidos:

;l'(x) = O si x = -2, x = O, x = 3, x = 4

Ife-2) = 2; fCO) = O; f(3) = 5; f(4) = 4

x

c) y = x2 _ 1

x---)e)y- 1+x-

x2 - 1(1) y = x

x2 - x + 1f) Y = x2 + x + 1

s 12 1 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función1 + x2

definida para x > O por fex) = --- x

8 iRepresenta estas nmciones estudiando previa­mente su dominio, asíntotas, posición y extre­mos relativos:

Indica sus intervalos de crecimiento y de decre­cimiento y SllS extremos relativos, ¿Tiene algÚnpunto de int1exión?

8a)v=2x+-, x

x-"

c) y = x2 _ 4

9 ¡Representa esta función:¡l

; { _x2 - ?y +? silfex) = ) -- -, .¡ x- - 2x + 2 SI

b)y=~

2

(!)y=x -2x+2x-1

x<O

x~O

b) Halla las regiones de crecimiento y de deCl-e­cimiento de f indicando sus máximos y mí­nimos locales y globales, si los hay,

c) Esboza la gráfica de .f

x+l

s 13 ! Dada la función fex) = ~' se pide:x2 + 1

a) Dominio de definición, asíntotas y posiciónde la curva respecto de estas.

b) Máximos y mínimos relativos, e intervalos decrecimiento y de decrecimiento.

c) Dibuja la gráfica de .r

s 14 i Representa gráficamente la función:

, 1. 2)pex) = x'l + (4/3).x-' + 2x- - 2

¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio p (x)?

Dadas las siguientes funciones, halla sus asínto­tas, es'tudia el crecimiento y la existencia de má­ximos y mínimos, Dibuja SLl gráfica:

10 i Representa la siguiente función:!

i {X3-3X+1 si x<O! {(x) =r ex - 1)2 si x ~ O

i Estudia sus intervalos de crecimiento y de decre­i cimiento, sus extremos relativos y su curvatura.

515

eX

a) y = x2 _ 3

4

c) y = x + (x _ 1)2

b)y = x3

d) Y = .,,¡x2 - 4 - x - 2

18 ¡ Representa las siguientes funciones:526 i Considera la función:

En el intervalo (-00, O], estudia la existencia de

puntos de corte con los ejes, si la función creceo decrece, la existencia de puntos de inflexión y

si tiene asíntotas. Dibuja la gráfica en todo IR.

x In xa) V = --::- b)y=--~ e·\ x

c) y = x In xel) y = (x - 1)é'

e) y = e-x'f) y =x2e-x

x3 h)y = In(x2 - 1)a) V =--

b. Inx

20 ¡Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

i ¡ 1i.I~X) = x2 + 1"

i -x + 1

si x < O

si x;:O:O

21

a) y = x + Ix + 21

c) y = Ixl + Ix - 31

Representa gráficamente:

1

a)y = Ixl- 2

b) Y = 2x -Ix - 31

d)y = xix -11

b) y = /2x/. -)-x- + 1

27 ' . 8;Dada la función {(x) = ax + h + -, calcula a' x

y b para que la gráfica de f pase por el punto(-2, -6) y tenga, en ese punto, tangente hori­

¡ zontal. Para esos valores de a y b, representalb función.

522 ¡ Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica2x

de la curva de ecuación y = ---? para x > l.1- x-

524 i La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de2x2 + 1

la función f(x) = k . Halla el valor de lex- ,y representa la función así obtenida,

h)

-2

a)

c)~. -V t \)-

28 :Halla los valores de a, h y c para los cuales la. ax2 + hx + c

función ¡ex) = x2 _ 4 tiene como asíntota

horizontal la recta y = -1 Y un mínimo en (O, 1).

536 iDa un ejemplo de una funciÓn que tenga un mí­nimo en x = 1 Y que no sea derivable en esepunto. Represéntala.

Relaciona, de forma razonada, cada gráfica consu correspondiente función.

537 i Da un ejemplo de una función que sea deriva­ble en x = 1 con f'( 1) = O Y que no tenga má­ximo ni mínimo en ese punto,

538 ! Si es posible, dibuja una fuq\ión continua en elintervalo [O, 4] que tenga, al' i11enos, un máximorelativo en el punto (2, 3) Y un mínimo relativoen el punto (3, 4), Si la función fuera polinómi­ea, ¿cuál habría de ser, como mínimo, su grado?

545 :Las siguientes gráficas corresponden a las fun­

ciones f(x) = x sen (nx); 8 (x) = x2 sell (nx);h(x) = x2 cos(nx) en el intervalo [-2, 2J.

¡Considera la función:I

l.. {sen x si x E [-2n, O)í}(x) =. x2 - 2x si x E [O, 3]

Determina los puntos de corte con los ejes y susextremos relativos. Dibuja su gráfica.

En el punto p( 2, - :) la deja y se desplaza a lo

largo de la recta tangente a dicha curva.

a) Halla la ecuación de la tangente.

b) Si se desplaza de derecha a izquierda, hallael punto en el que la partícula encuentra a laasíntota vertical más próxima al punto P.

c) Si el desplazamiento es de izquierda a dere­cha, halla el punto en el que la partícula en­cuentra el eje Ox.

523 i Considera la función f(x) = x21x - 31:

a) Halla los puntos donde f no es derivable,

b) Calcula sus máximos y mínimos.

c) Represéntala gráficamente.

525