TEMA 11.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS. 11.1. PRIMITIVAS...

TEMA 11.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.


11.1. PRIMITIVAS. INTEGRAL INDEFINIDA.

Primitiva de una función

2° BACH(CN)

• Se llama primitiva de una función f(x), a otra función F(x) tal que F' (x)=f(x).

• Cada función tiene infinitas primitivas que difieren en constantes.

• Se suele escribir: f¡{x}dx=F{x}+c.

• f¡{x}dx se le llama también integral indefinida.

• f es el símbolo que indica "integrar".

• dx es "diferencial de x" indica que integramos con respecto a la variable x.

• c es la constante que indica que cada función posee infinitas integrales (o primitivas).

> Ejemplo: F(x) = x3 => F'(x) = 3x2

G(x) = x3 + 5 => G'(x) = 3x2

En este tema lo que queremos resolver es que dada f(x)=3x2, encontrar una función

de la cuál f sea su derivada, esta función se llamará primitiva de f (F). Y la notación que se

utiliza es: f3x2dx = x3 +c

Ejercicios: Calcula las siguientes integrales:

a) fldx =

e) f7xdx =

DAVID RIVIER SANZ

b) f2dx = c) f2xdx =

k) fNdx=

d) fxdx =

1) fcosxdx =

1/7


Propiedades de las primitivas

2° BACH(CN)

Operación/ Expresión simple/ Expresión compuestaTipo de función

Integrales inmediatasf g'(f(x)). f'(x}dx = g(f(x)) + k

Suma

nf(x) + g(x)]dx = ff(x)lrr+ fg(x)dx ------------------

Producto por un

flif(x)dx = k ff(x)dx------------------número

.xn+1

f f(x t .f'(x}dx = f(x t+1 + kxn,n"* 1 fxndx=-+kn+1

n+1Potencias

fj~ dx = Inlf(x ~+ k

-1 1fx-1dx = f!dx = lnlxJ+ kX =- X

X

fexdx = eX +k

fe/ex) . f'(x}dx = e/ex) + k

Exponenciales

aXfa/(x). f'(x}dx =_l_a/(x) + kfaxdx=-+k lnalna

flnxdx = xlnx -x+ k

flnf(x). f'(x}dx = X lnf(x)- f(x) + k

Logarítmicas floga xdx = _l_(xlnx-x)+kfloga f(x). f'(x}dx = _1 (xlnf(x)- f(x)) + klna

lna

fsenxdx = -eosx + k

fsenj(x). f'(x}dx = -eosf(x)+ k

fcosxdx = senx + k

feos f(x). f'(x}dx = senj(x)+ k

ftgxdx = -lnleos xl + k

ftgf(x). f'(x}dx = -lnleos f(x ~+ k

f(l +tg2x}ix = f \ dx = tgx+ k

f(1 + tg2 f(x) )f'(x}dx = tgf(x) + keos xTrigonométricas

f f'~ \, dx ~ arctgf(x)+ kf_1_2 dx = arctgx + k l+x

1+ f x

fhdx = arcsenx + k

f~ f'(x) dx = arcsenf(x)+ k1-x2

1- f(xY

f -1

f~- f'(x) dx = arceos f(x)+ k-J17" dx = arccos x + k1-x2

1- f(xY

DAVID RIVIER SANZ 2/7


11.2. OTRAS TÉCNICAS INTEGRACIÓN.

20 BACH(CN)

Integrales inmediatas

Cuando en el integrando vemos la derivada de una función, integramos directamente:

f- senxdx =cosx+c

Pero en ocasiones el integrando no es exactamente la derivada de una función sino que

tiene números multiplicando (o dividiendo) que debemos "ajustar":

f x fI 2x 1 22 dx = -. 2 dx = -ln(x + 3) + cx +3 . 2 x +3 2

A estas integrales se les llama "cuasi-inmediatas". Saber "ver" una integral de este tipo

ahorra mucho trabajo.

1) fx}. (x4 - 8}i.x = ~ Aquí la función x3 es J4: de la derivada de x4 - 8, por ejemplo.

Entonces fx3 .(x4 -s)1x= f;4x3~4 -s)1x=; f4x3~4 -s)1x=~(X4 -S/ +k.

f X2 + 2x 1 1 3 21Entonces 3 2dx=-lnx +3x +k.x +3x 3

flnx , ( )' 13) -dx=~YaqUl lnx =-x x

Entonces f_ln_xdx =~(ln_x~)_2+ k .x 2

Método de sustitución (cambio de variable)

Consiste en hacer un cambio de variable para integrar una función más sencilla y una

vez obtenida la primitiva deshacer el cambio de variable.

~ Ejemplo:

fsen4x. cosxdx Si hacemos el cambio: t = senx, entonces dt = cosxdx nos queda:

f 4 f 4 t5 sen5 xsen x· cosxdx = t dt = "5 + c = -5- + c

Aunque esta integral se podría haber considerado "cuasi-inmediata"



> Ejemplo:

2° BACH(CN)

Si hacemos el cambio: t = 3x + 1, entonces dt = 3dx , luego dx = !dt3

Je3x+1dx = Jet. !dt =! Jet dt = !et + e = !e3x+1 + e3 3 3 3

Esta integral también se podría haber considerado "cuasi-inmediata"

Integración por partes

Esta técnica 'Ia utilizaremos cuando bajo el signo de la integral tengamos el producto de

una función por la derivada de otra función cuya integral sea inmediata o cuasi-inmediata.

Utilizaremos la siguiente fórmula:

fu(x). dv(x) = u(x). v(x)- fv(x). du(x)

donde dv(x) = v'(x)dx y du(x) = u'(x)dx .

En la práctica se suele poner del siguiente modo

fudv = u .v - fvdu

Para memorizar esta fórmula se puede utilizar la siguiente oración:

"un día vi, un valiente soldado vestido de uniforme"

(f ) un día vi (=) un valiente soldado (f ) vestido de uniforme"

A continuación os doy una tabla en la que aparecen los tipos de integrales que se

resuelven utilizando este método de integración por partes:

TIPOS DE INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR PARTES

fX"exdx

ndv = eXdxu=x

fX"senxdx

u =x"dv = senxdx

fx" cosxdx

"dv= cosxdxu=x

fx" lnxdx

u = lnxdv = x"dx

farctgxdx

u = arctgxdv=dx

farcsenxdx

u = arcsenxdv=dx



~ Ejemplos:

1) Calcular fx. senxdx.

{U = x dv = senxdxHacemos

du = dx v = - cos x

y tenemos fx. senxdx = -xcosx + fcosxdx = -xcosx + senx + k

2) Calcular f4x3 ·lnxdx .

{U = In x dv = 4x3 dxHacemos "du= ~dx v = x4X

y tenemos f4x3 ·lnxdx = x4lnx - fx4 ~dx = x4lnx - ~X4 + kx 4

2° BACH(CN)

Integración de funciones racionales

Denominamos integrales racionales a las integrales que son del tipo f P(x) dx, donde elQ(x)

numerador y el denominador son polinomios.

Para el nivel de 2° de Bachillerato solo consideramos tres casos:

a) Denominador de grado uno.

Si el numerador es un número todas las primitivas corresponderán a un logaritmo. El

caso general es: f-C-dx = ~ lnlax + bl + kax+b a

Si el numerador es un polinomio de grado igualo mayor que el denominador, haremos

la división entre esos polinomios.

b) Denominador con raíces reales simples.

En este caso se utiliza la descomposición en fracciones simples, es decir:

P(x) A B ,-- = -- + -- donde x] y x2 son las ralces de Q(x) y A y B hay queQ(x) x-x] x-x2

determinarlas. La integral nos quedaría:


Il


c) Denominador con raíces reales múltiples.

2° BACH(CN)

En este caso también se utiliza la descomposición en fracciones simples, por ejemplo, si

tenemos una raíz doble y una simple:

P(x) A B C-- = -- + + ( )2 Y procedemos como en el caso anterior a determinarQ(x) X-Xl x-x2 x-x2

A, B Y C para convertir la integral en tres integrales inmediatas o cuasi-inmediatas.

~ Ejemplos:.

x2

1) Calcular f--dx.x+1

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador hacemos la división:

x2 1-- = X -1+ -- . A continuación calculamos la integral:x+1 x+1

f X2 f 1 f f 1 1-dx= (x-1+-)dx = (x-1)dx+ -dx=-2 -x+lnlx+11+k.x+1 x+1 x+1 X

2) Calcular f-+-dx.X -1

Descomponemos en factores el denominador: x2 -1 = (x + 1Xx-1) y ahora ponemos en

fracciones simples el integrando:

2 A B 2 A(x-1)+B(x+1) (A+B)x+(B-A)-- =--+-- ~-- =-------= -------x2 -1 x + 1 x -1 x2 -1 x2 -1 x2 -1

{ A+B=OIgualando numeradores tenemos que ~ 2B = 2 ~ B = 1=> A = -1

-A+B=2

Luego nuestra integral se queda como:

f-+-dx = f~dx+ f-1-dx = -lnlx+11+1nlx+11+kx -1 x+1 x-1

f 2x+53) Calcular { ,_ dx.x+3

2x+5 =~+ B + C = A(x+3Y +B(x+3)+C =(x+3Y x+3 (x+3Y (x+3Y (x+3Y

_ AX2+ (6A + B)x + (9A + 3B + C)

- (x +3)3



Identificando los numeradores:

{ A=O {A=O

6A+B=2 => B=2

9A+3B+C=5 C=-l

Luego la integral nos queda:

f 2x +5 dx = rr_O_ + 2 + -1 Jdx = f 2 dx + f -1 dx =(x + 3)3 Jl x+ 3 (x+3Y (x+3Y (x +3Y (X+3)3

-2 1=--+. +kx+3 2(x+3)2

2° BACH{CN)

Integrales trigonométricas

Son aquellas cuyo integrando es una expresión trigonométrica. Consideraremos el caso

más sencillo, que es cuando se tiene un producto de senos y cosenos, es decir son del tipo:

fsenmxcosn xdx

a) Si m es impar, m = 2k + 1, la integral la desglosamos como

fsen2k+1xcosn xdx = fsen2kxsenxcosn xdx = J(1- cos2 x) senxcosn xdx

b) Si n es impar, n = 2k + 1, desglosaremos como

fCOS2k+1xsenmxdx = fCOS2kxcosxsenmxdx = f(l- sen2x) cosxsenmxdx

c) Si rn y n son pares se utilizan las expresiones del ángulo doble:

2 1- cos 2x 2 1+ cos 2xsen x = --2-- Y cos x = --2--

~ Ejemplos:

1) Calcular fsen3xdx.

f sen3xdx = f sen2 xsenxdx = f(l- cos 2 x ~enxdx = f senxdx - f COS 2 xsenxdx =1

= -cosx + -cos3 x + k3

2) Calcular fcos3 sen2xdx.

fcos3 xsen2xdx = fcos2 xcosxsen2xdx = f~-sen2x)cosxsen2xdx =

= fcosxsen2xdx - fsen4xcosxdx = ~sen3x -~sen5x + k


T,IÁ-t'R -~

('TEMA j): c6lC.\JL.O be P((.IM.'TI VA<; _

- f.:rE g c. ( C-lo S (2..~ ~ U EL 1() S. .-

Forma potencial

Calcula las siguientes integrales:

a) 1 = f( ; x2 -2x + 3) dx

b) 1 = f 1 - x3 dxx2

2

f 2 +3x dxe) 1 = -G

d)I= f( 3x;5)(x2_1)dX

e) 1 = f6X(3X2 -7)4dx

f) 1 = f x -J x2 + 1dx

g) 1 = f ( 3ixrdx

f 3xh)I= ~ dx

i) 1 = f sen2 x cas x dx

j) 1 = f tg x sec2 x dx

7 x3 x2' 7x3?a) 1 = - . - - 2 - + 3x + k = - - x- + 3x + k

3 3 2 9-

f 1 f f -? f x-1 x2b) 1 = - dx - x dx = x - dx - x dx = - - - + k =

x2 -1 2

?1 E-+k

= --;; - 2

. f( 2 3X2) f fe) 1 = {; + {; dx = 2 x-1/2 dx + 3 x3/2 dx =

X 1/2 x5/2 ./ 6.~= 2 -- + 3-- + k = 4" x + -" x) + k1/2 5/2 5

d) 1 = f 3x3 - 5x2 - 3x + 5 dx = .l (3X4 _ 5x3 _ 3X2 + 5X) + k22432

e) 1 = J~:(?~_:~}/dx = C3x2 - 7)'1 + k'/'lx) j\x)

f) 1=.lf2xcx2+1)1/2dx=.l. (x2+1)3/2 +k- .yCx2+1)32 ~ '----r-" 2 3/? - ----"-- + k.f'ex) /ex) -

o) I=_2f_2(3-5X)3dx=_2 . .l(3-5X)4 +k=,b 5 2 2 5 4 2 l'~ -------f'ex) .f<x)

__ 1 (3 - 5x )4 + k- - 10 2

= l. .2 (x2 - 2) 1/2 + f<. = 3 -J x2 - 2 + k2

i) J = f (sen x)2 cos x dx = sen3 x + k---,,-.-' ---,,-.-'/ex) f'ex)

f to2 Xj) 1 = ~c;x sec2 x = _ó__ + k~ ---,,-.-' 2

f<x) /'(x)

T)l ...€~ - 2

2 Forma logarítmica

f x -1 dxa) 1 = x2 -2x + 1

b) I=f_e_x-dX1+ eX

c) 1 = f cotg x dx

d) 1 = f sen x + coS' x dxsen x -cos x

e) 1 = f 2x -3 dxx+2

a) 1= 1-f __ 2_x_-_2_dx = 1-ln (x2 - 2x + 1) + k = .lln (x - 1)2 + k2 x2 - 2x + 1 2 2

b) 1= In C1 + eX) + k

feas XIIe) 1= -- dx = In sen x + k

senx

d) 1= In Isen x - cos xl + k

(')f ( 7)e) 1 = 2 - x + 2 dx = 2x - 7 In Ix + 21 + k

dividendo resto(') Efectuamos la división y ponemos: divisor cociente + divisor

3 Seno, coseno, tangente, cotangente

b) 1 = f sen 2x + COS x dxcosx

c) 1 = f x cos (x2+ 1)dx

d) 1 = f eX sen eXdx

e)I= f3sec2(x+n)dX

f) 1 = f tg2 X dx

g) 1 = f 1- cos2 X dxsen 2x

- f 1+ sen x dxb) 1 - 1-sen x

a) 1 = x - 2 f .l cas x dx = x - 2 sen x + k2 2 2

b) 1=f 2senxcasx+casx dX=2fsenXdx+fdx=-2casx+x+kcosx

e) 1 = .l f 2x COS (x2 + 1)d.x = .l sen (x2 + 1) + k22·

d) 1= -cos eX + k

e) 1= 3 tg (x + n) + k

f) 1 = f C1 + tg2 x - 1)dx = f C1 + tg2 x)dx - f dx = tg :;:-- x + k

f sen2 x 1 f sen xli Ig) 1= -----dx = - --dx = -- In cosx + k. 2 sen x cos x 2 eas x 2

h) 1':.)f (1 + sen x)2 dx = f 1 + 2 sen x + sen2 x dx =1 - sen2 x eos2 x

= f d~ + 2f set~x dx + f tg2 X d.x =cos- x cos- x

= tg x + 2f sen x cos-2 x d.x + f (1 + tg2 x - 1)dx =

cos-1 X 2= 1.[1, x - 2 --- + tg x - x + k = 2 ta x + -- - x + k-1 15 cos x

(O) Multiplicamos numerador y denoininudor por (1 + sen x).

4 Forma exponencial

a) 1 = f e3x -2 dx

b) 1 = f 3x eXl -1dx

f? -e) 1 = 7-x-;> dx

d) 1 = Jese" x . cos x dx

h) 1 = 2f 2x eX' - 1 dx = 2 ('x' - 1 + k2 2

1f ?- 1 ).-c) 1 = - 2· ]-\ -l dx = __ . ]_\ -l + I~

2 2 In ]

d) 1 = érl11 x + k

5 Formas are sen y are tg

f x2

a)I= ~dx l-x6

f eX

b) 1= dx-11 _e2x

f 1

e) 1= dx1 . /,_,.2....•-:r~

d) 1 = f_l-? dx9+ x-

e) 1= f 1 dx4 + 5x2

f) 1= f 1 dx

x2 +2x +2

f ?

x-g)I= --dx 1+ x2

f x4

b) 1= dxx2 + 1

i) 1 = f -1 1 2 dx

4-3x

1 f 3x2 1 'a) ] = - -====-clx = - are sen.'le:> + k

3 -11_ Cx3)2 3

1 l"? 1e) ] = -J - e/x = - are tg 2x + f?2 1 + (2x)2 2

d) 1 = f 1/9 clx = f 1/9 clx = l.J 1/3 clx =1 + Cx219) 1 + Cx13)2 3 1 + (xI3)2

1 x= -are tg - + k3 3

e)]=f 1/4 e/x=l.'~J {S/2 e/x= 1·1 + C5x2/4) 4 {S 1 + C{SxI2)2

1 {SX= --areto -- + k

2{5 ó 2

f) 1 = f 1 dx = are tg(x + 1) + k(x + 1)2 + 1

g) 1 = f _x_2_+_1_-_1dx = f 1 dx - f 1, dx = x - are Ig x + f<1 + x2 1 + x2

11) ] = f (x2 - 1 + 1 )clx = ~ - x + are tg x + kx2 + 1 3

i) 1= f --==l=12==- dx = f --===1/=2==-clx =-14/4 - 3x2/4 -11 - ({3xI2)2

1 f {3/2 1 {3x .=, {3 -11 _ (-[3xI2)2 clx = {3.are sen 2 + k

6 Método de sustitución

a) Hacemos el cambio x = t2 -7 dx = 2t dt

c) Hacemos el cambio 1 -In x = t -7 _1.. dx = dtx

J= f -:f = -f r1/2 dt= _2t1/2 + k = -2../1-lnx + k

J = f ~ = f t-1/3 dt = 2 t2/3 + k = 2 ~o + ti x'? + k~ 2 2

_1-dx = dteos2 x

2 t dt - f 2 dt(1 + t2) -ft2 - 1 + t2 = 2 are tg t + le = 2 are tg ~ + kJ= f

b) Hacemos el cambio 1 + tg x = t -7

Los ejercicios anteriores sehan resuelto mediante cambiosde variable que se han efectuado mentalmente. En los siguientes ejercicios no son evidentesy es necesario explicitarlos:

a)¡=f dx(1 + x)'¡;

b)¡=f d_x __cos2 X ~ 1+ tg x

C)¡=f dxx "¡-1---ln-x-

x2 dxd) ¡ = f {/1 + 2x

f x dxe) ¡ = 1+'¡;t3 - 1 3t2dtd) Ponemos 1 + 2x = t3 -7 x = --' dx = --

2' 2

f) ¡ = f -Ve.>: -1 dx J = f (t3 - 1 )2 . 1.. . 3 t2 dt = 2f (tI - 2t4 + t)dt =2 t 2 8

= 3VO + 2x)2 ((1 + 2x)2 _ 2(1 + 2x) + 1..) + k8 5 2

e) Ponemos x = t2 -7 d:x = 2t dt

f 2t3 (') f ( ? 1 )J = -- dt = 2 t- - t + 1 - -- dt =

1+t t+1

( t3 t2 )= 2 3" - 2 + t - In 11 + ti + k =

= 2 [~ - ~ + iX -In (1 + iX)] + k

(') D = e + ~d d

f) Hacemos eX - 1 = t2 -7 eX dx = 2t dt -7 dx = 2t dtt2 + 1

f 2t dt f t2 f ( 1)J = t· -.-- = 2 -- dt = 2 1 - -- dt =

t2 + 1 t2 + 1 . t2 + 1

= 2(t - are tg t) + k = 2deX - 1 - are tg -Vex -'1) +k

7 Integración por part~:5

a) 1= f 2x2 cos2xdx

b) 1 = f eX sen x dx

a) {x2 = u ~ 2x dx = du2 Gas 2x dx = dv ~ sen 2x = v

1= x2 sen 2x - f 2x sen 2x dx C*)'-----v----'11

Aplicamos de nuevo la integración por partes:

{x= u ~ dx= du2sen 2x dx ~ -Gas 2x = v

11 = -x Gas 2x + f cos 2x dx = -x Gas 2x + ~ sen 2x

Sustituyendo 11 en (*):11= x2 sen 2x + x Gas 2x - - sen 2x + k2

b) {sen x = u ~ Gasx dx = dueX dx = dv ~ eX = v

1= eX sen x - f eX cas x dx (*)~

11

{Gas x = u ~ -sen x dx = dueX dx = dv ~ eX = v

11 = eX Gasx + f eX sen x dx = eX Gasx + 1

Nos encontramos con la integral inicial. Sustituimos 11 en C*) y despejamos 1:

1 = eX sen x - eX cas x - 1 ~ 21= eX sen x - eX Gasx

11= -(eX sen x - eX Gasx) + k2

ALGUNOS TIPOS DE INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR PARTES

f xn eX dxu = xn

dv = eX dx

f xn senxdx

u = xndv = senxdx

f xn eosxdx

u = xndv = eosxdx

f xn In xdx

u = In xdv = xn dx

f are tgxdx

u = are tg xdv = dx

f are senxdx

u = are sen xdv = dx

g(x) = -cas x - 1

La función que buscamos es:

9 Función primitiva

Halla una función g(x) quesea primitiva de f(x) = sen x,cuya gráfica pase por elpunto(n, O).

T AJ· E" R.- 6

La función g debe verificar g'(x) = ¡(x) y gen) = O.

Hallamos todas las primitivas de /:

J sen x dx = -cas x + c --j g(x) = -cas x + c

gen) = -cas n + c = O --j 1 + e = O --j I e = -1 I

~g(x) = --cos x - 1

f'(x) = J f"(x)dx = J 3x dx = 3~Z + Cl --j 1'(0) = Cl = 2

lO' Función primitiva

Halla f(x) sabiendo que:

feO) = 1, f'(O) = 2, fl/(x) = 3x

f'(x) = 3xz + ?2 ~

i r (3XZ ) x3¡ex) = J f'ex)dx = J -2- + 2 dx = 2 + 2x + Cz

¡ea) = Cz = 1 --j I ¡ex) = 4- + 2x + 11

~m:':.'H-mi.LJ: U2 _: ; ¡

: 1:

? I i 1_jG

1=';>'¡-i

,", 1°1

¡(x) = x3 + 2x + 12

a) Buscamos todas las Fex) tales que P(x) = ¡(x) = x e2x. Es decir,las primitivas de ¡ex).

Integramos por partes:

11 Función primitiva

a) Halla la familia de curvasen las que la pendiente de"las rectas tangentes a dichas curvas en cualquierpunto viene dada por lafunción f(x) = x e2x.

b) Obtén, de esa familia, lacurva que pasa por elpunto A (O, 2).

¡U = x --j du = dxdv = e2x dx --j v = ~ . e2x

J x eL>:dx = X· ~ . e2x - J ~ . eL>:dx = [ 2x eL>: k I

xe _~ +-2-- 4

b) Si queremos que la curva pase por A(O, 2), se debe cumplir:

O . e2 . o eZ . o 9------+k=2 --j k=-2 4 4

Ix e2x . eL>: 9 ILa curva pedida es: F(x) = -2- - 4 + '4 .

8 Integración de funciones racionales con solo raíces en el denominador

-f 2x3 -1 dxa) 1- x + 3

b)I=f 3x-2 dxx2 -1

C)I=f 1 dxx2 -x3

d) 1 = f (x + 2)2 dxx-l x

f( ) 55) 2.x~ 6x2a) J= 2.x--6x+1H---'-, dx:=---+lHx-'55/nlx+31+kx+3 3 2.

Puesto que el grado del denominador no es inferior al del numerador, hemos hecho la divisiÓn para poner:

dividendo 't resto----- = cOClen e + ---divisor divisor

h) Descomponemos el denominador en factores: x2 - 1 = (x + 1) (x - 1)

Descomponemos la fracción: 3x - 2. = ~ + _B_x2 _ 1 x + 1 x - 1

Calculamos A Y B -7 3x - 2. = A(x - 1) + E(x + 1)

Si x =1 -7 E =L si x =-1 -7 A =2.2. ' 2.

f 5/2 f 1/2 5 1J= --dx + --dx =-In Ix +11+-In Ix-11 +kx+1 x-1 2. 2.

c) Denominador: x2 - x3 = x20 - x)

Tiene una raíz doble y una simple,

Descomponemos:

A E C AxO - x) + EO - x) + Cx2=-+-+--=----------x x2 1 - X x20 - x)

Para x = O -7 1 = E

Para x = 1 -7 1 = C

Para x =2. -7 1 =-2A - B +4C -7 -2 =-2A -7 A =1

f 1 f 1 f 1 x-I1= -dx + -dx + --dx =I¡-¡Ixl + -' - -In 11 - xl + f:¿. =

x x2 1 - x -1

1 Ixl 1= f¡-¡ Ixl- In 11 - xl- - + k = In -- - - + f:¿.x 1-x x

d) Descomponemos la fracciÓn: (x+ 2)2 = _A_ +(,y - 1)2X X - 1

Calculamos A, B Y C: A = -3, B = 9, C= 4

, f -) f 9 ' f 41= --'-dx+ ---dx+ -dx=

x - 1 (x _ 1)2 X

e+.Y

909= -3 In Ix - 11- -- + 4 111 l.xl + k = In . , - --o + f:¿.

x-1 " Ix-115 x-1

~ :Te1Z.c.. \ e (a S Tf"M~ ).).- ~A R Té I.)Calcula las siguientes integrales inmediatas:

10 Resuelve las integrales siguientes:1

a) f (4x2 - 5x + 7)dx

e) f 1 dx2x + 7

f dxb) V;;;

el) f (x - sen x)dx

a) feos x sen3 x dx

)J xdxe ---

(x2 + 3)5

b)J 3 fdx(x + 1

el) J ~ ln3 x dx

2 Resuelve estas integrales:

a) f (x2 + 4x) (x2 - 1)dx b) f (x - 1)3 dx 11 i Resuelve las siguientes integrales:

e) f &dx • el) f (sen x + eX)dx a) J sen x eos x dx b)J senxdxeos5 x

5 ¡ Resuelve las siguientes integrales:

a)f~x-4 b)f~(x - 4)2

J 2xdxe) .~'19 - x2 J xdxd) >/x2 + 5

y resuélvelas:

f (1 + lnx)2e) -----dx

x

d) J 1(1+eas x)3 sen x dx

12 ! Resuelve las siguientes integrales:

a) f -vx2 - 2x (x - 1)d.x

b) f are sen x dx>/ 1 - x2

i15 ¡Aplica la descomposición en fracciones simples

Ipara resolver las siguientes integrales:

1, a) f 2 1 ,dxx +x-

1 f 3x3lb) x2 _ 4 dx

¡e) f ~ 1 dx

Id) f x2 + 1 dx¡ x2 +x

1 f 4le) - ---dx¡ x2 + x- 2¡,, 2

In f x di x2 + 4x + 3 x

If x3 - 2x2 + x - 11 g) x2 - 3x + 2 dx

lh)f 2 -16 dx¡ x - 2x- 15¡

141 Resuel~~ las siguientes integrales aplicando dos

Iveces la integración por partes:

la) f x2 sen x dx b) f x;,e2X dx

I c) f e:.:sen x dx d) f (x + 1)2 eX dxi,

dx

d) f ~1X)2

b) f e-2-" + <) dx

f dxel) 4 + x2

d)f~(x - 4)3

dx

b) f >/4 _ x2

b) J 5 dx

2x2 + 2x + 4 dxx + 1

f 2a) x - 5x + 4

x+ 1 dx

b) f

a) f --;:=d=x==>/1 - 4x2

f 4 dxe) --

3 + 3x2

a) f _2_d_x_-_1 + 9x2

a) f ('.Y - 4 dx

¡ e) f (5'[ dx

o ?

f XJ - 3x- + x - 1e) . dx

dividendo resto---- = cociente + .---

divisor divisor

8 :Expresa el integrando de las siguientes integra, les de la forma:

6 ¡ Halla las siguientes integrales del tipo exponeneial:

9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipoarco seno:

7 : Resuelve las siguientes integrales del tipo arcotangente:

I1

16 !Resuelve las siguientes integrales:j

j f 2x-4 . f 2x+3la) ------dx b) . dx! (x - 1)2 (x + 3) ex - 2)(x + 5)I¡

j f 1 f 3x- 2!c) (x _ 1)(x + 3)2 dx d) x2 _ 4 dx,

25 ,Resuelve por sustitución:

a) f x-fX+1 dx

f x dxe) ..Jx + 1

e) f 1..¡; dxx + x

do-

b) f x-~

d)f ~dXx x + 1

f 0.&D --dx

l+x

f -3xd) _ ,~ dx

b) f x3 sen x dx

d) f x5 e-x5 dx

llI/r a), e), d) Haz x + 1= t2 b) Haz x = t4e),j) Haz x = t2

26 ! Resuelve, utilizando un cambio de variable, estas integrales:

f dxb) e2x _ 3ex

d)f 1..¡; dx1 + x

a) f -VI - x2 dx

f e3x - eXc) ~__ dx

- a) Haz x = sen t.

29 ¡De todas las primitivas de la función y = 4x - 6,¿cuál de ellas toma el valor 4 para x = P

17 Resuelve las siguientes integrales:

a) f x4 eX' dx b) f x sen x2 dx

c) f ..J(x+ 3)" dx

18 Resuelve estas integrales:

a) f X· 2-X dx

c) f eX easx dx

19 ! Calcula las integrales racionales siguientes:

f x+ 2a) ? 1 dxx-+ b) f . ~1 .~ dx

30 ¡ Halla f(x) sabiendo que r(x) = 6x, 1'(0) = 1Y f(2) = 5.

1 Resuelve las integrales siguientes:

a)f lnx dx b)f l-senx dxx x + easx

f 1 f 1 + eXc) -1-- dx d) X dxxnx e +x

e) f sen (l/x) dx f) f 2x- 3 dxx2 x + 2

22

f 2x2 + 7x- 1c) O? dxXJ + x- - x-l

f are tg xg) 1 ?dx+ x-

f 2x2 + 5x- 1d) o dx

xJ + x2 - 2x

h)f senx dxeas4x

31 i Resuelve las siguientes integrales por sustitución:

a) f eX dx1-~

b) f -V eX - 1dx

rll/r a) Haz .y;; = t.

bj Haz -V eX - 1 = t.

2

f sen x dx.32 j Calcula 1 + easx

rll/r Multiplica el numerador y el denominador P01

1- eos x.

23 i Calcula las integrales indefinidas:

f seno.& f'a) -{; dx b) In (x - 3)dx

) f ln-{;c --dx

0.&

e) f (ln x)2dx

g)f_l_? dxl-x-

d) f In (x2 + l)dx

D f eX eas eXdx

h) f (1 - X)2 dxl+x

513 IAplica la integración por partes para resolver lassiguientes integrales:

:20 ¡Para resolver la integral f cas3 x dx, hacemos:: cos3 x = eas x eas2 x = cas x(l- sen2 x) =I

¡ = eas x - cas x sen 2 x

1 Así, la descomponemos en dos integrales Ínme'diatas. Calcúlala.

IRewelve, después, J sen 3 x dx.

53 :Calcula las integrales siguientes:

b) f x e2x dx

538 IDada la función f IR -¿ IR definida por

¡If(x) = In O + x2), halla la primitiva de f cuya:gráfica pasa por el origen de coordenadas.

539 ICalcula a para que una primitiva de la función

J(ax2 + x cos x + 1) dx pase por (11:, -1).

540 Halla f eax(x2 + bx + c) dx en función de los

parárhetros a, b y e.

541 Encuentra la función derivable 1: [-1, 1] -¿ IR

que cumple 10) = -1 y

1'(x):i {x2 - 2x si ~1 :S;x < OeX - 1 si O:S; x :S; 1

542 De una función derivable se sabe que pasa porel punto A (-1, -4) y que su derivada es:

{ 2 - x si x:S; 1f'(x) = l/x si x> 1

a) Halla la expresión de f(x).

b) Obtén la ecuac~ón de la recta tangente a f(x)en x = 2.

543 Calcula:

a) J 11-xl dx

b) J (3 + Ixl) dx

e) J 12x - 11 dx

d) JI~- 21~x

,

552 IPrueba que si F(x) es una primitiva de f(x) yie un número real cualquiera, la función

iFCx) + e es también una primitiva de f(x).j

f x4+2x-6b) -x-3-+-x-2-_-2x-dx

el) f 2_x_-_3 dxx3 - 2x2 - 9x + 18

Calcula:

f dxa) -2---x -x- 2

i ?

1 ) f Sr d¡c x3 _ 3x2 + 3x _ 1 x

521

536 ¡ Calcula la expresión de una función f(x) tal

que P(x) = x e-x' y que feO) = ~.

534 IEncuentra una primitiva de la¡fpnción:

f(x) = x2 sen x

cuyo valor para x = 11: sea 4.

535 ! Determina la función f(x) sabiendo que:e

f"(x) = x In x, p(n = O Y f(e) = 4'

524 IResuelve:

537 ¡ De una función y = f(x) , x> -1 sabemos que

tiene por derivada y' = _a_ donde a esl+xuna constante.

Detei'mina la función si, además, sabemos que

= 1 Y f(n = -1.

a)f_1-.dx1 + eX

,..- En el numeradol~ suma y resta eX.

J x+3b) .~ {-'Ix'19 - x2

'fflIr Descomponla en suma de otTaSdos.

. 1527 Encuentra la primitiva de ((x) = --~ que se

.. 1;1'3x

anula para x = o.

1)-;-

J ')el) -? dx1 + x-

b) J sen(x - 4)dx

d) J (eX + 3e-X) dx

b)J~x-1

d) f In (2x - 1) dx

t) f are tg x dx

h) f x2ln xdx

T~M~

Kj

J;.">r;a)~2dx

er€~C( c-ros

(PA.RTé

J 7e) --?--dxeas- x

a) f x ln x dx

c) f 3x cos x dx

e) f ;oc dx

g) J are cos x dx

54 ¡ Halla estas integr;l]es:

a) J ~dx

J x + ..¡;;e) ---dx

x2

TEMA 11.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS. 11.1. PRIMITIVAS...

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