CLASES 13 y 14

TEMA 11LOSAS MACIZAS ARMADAS EN UNA Y DOS DIRECCIONES1.- LOSAS MACIZAS

Las losas son elementos estructurales que hacen factible la existencia de entrepisos y techos, llevan la carga de uso a los elementos de apoyo y sirven como diafragma de unin de los elementos estructurales ante solicitaciones ssmicas.

Las losas se pueden apoyar en dos lados opuestos, en este caso su accin estructural es fundamentalmente en una direccin. Tambin se puede apoyar en los cuatro lados en este caso se obtiene una accin estructural en dos direcciones. En oportunidades las losas de concreto se apoyan directamente sobre las columnas, sin la utilizacin de vigas, este caso se conoce como el de losas planas, en estos casos es usual un sobre espesor de losa en la vecindad de las columnas (baco) un ensanchamiento en el extremo superior de la columna (capitel).

Las losas planas tambin pueden ser reticulares es decir una losa plana con viguetas en dos direcciones (se utilizan moldes), obteniendo una losa nervada en dos direcciones.

El acero de refuerzo de las losas se coloca principalmente en direccin paralela a la de las superficies de la losa usando casi siempre barras de refuerzo rectas.

En la actualidad se esta usando con mucha frecuencia losas pre-esforzadas utilizando torones de alta resistencia a la tensin.

Las losas de concreto reforzado se disean casi siempre para cargas que se suponen distribuidas de manera uniforme sobre la totalidad de los paneles de la losa. Cuando las cargas concentradas son pequeas pueden absorberse mediante la accin en dos direcciones del refuerzo (acero a flexin en las dos direcciones) o por el acero a flexin en una direccin ms el acero de reparticin lateral para losas armadas en una direccin. Cuando las cargas concentradas son grandes, requieren un anlisis especial y por lo general requieren vigas de apoyo.

2.- ANALISIS Y DISEO DE LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION

La accin estructural de una losa armada en una direccin puede visualizarse en trminos de la deformada de la superficie cargada, tal como se muestra en la figura siguiente. La losa apoyada en sus dos bordes largos opuestos, y libre de apoyo a lo largo de los dos bordes cortos, se deflectar como lo indican las lneas slidas, la curvatura, y en consecuencia, los momentos flectores son los mismos en todas las franjas "S" que se extienden en la direccin corta, no existiendo flectores para las franjas largas " L " paralelas a los bordes largos.

Para efectos de anlisis y diseo, una franja unitaria de tal losa, puede considerarse como una viga rectangular con ancho unitario, con una altura " h " igual al espesor de la losa y una luz " La " igual a la distancia entre los bordes apoyados.

La armadura calculada se colocar en la direccin de la luz corta y en la otra direccin se colocar armadura para controlar la contraccin de fragua y temperatura.

La cuanta mnima por contraccin y temperatura recomendada por el Reglamento Nacional es la siguiente:

- Losas donde se use barras lisas

0.0025

- Losas donde se use barras corrugadas con

esfuerzo de fluencia menor de 4200 Kg/cm.

0.0020

- Losas donde se use barras corrugadas o mallas

electro soldadas con esfuerzo de fluencia de

4200 g/cm.

0.0018

- Losa donde se usen barras corrugadas con es-

fuerzo de fluencia mayor que 4200 Kg/cm me-

didos a una deformacin unitaria de fluencia de

0.35%

(pero no menor de 0.0014).

Las losas armadas en una direccin se disean normalmente con cuantas de acero a traccin muy por debajo de los valores mximos admisibles de 0.75 pb . Las cuantas comunes varan aproximadamente de 0.004 a 0.008.

El esfuerzo cortante raramente controlar el diseo de losas armadas en una direccin, sobre todo, cuando las cuantas de acero a traccin son efectivamente bajas; la capacidad a cortante del concreto VC, estar, casi sin excepcin muy por encima de la resistencia a cortante requerida VU para las cargas mayoradas.

3.- ANALISIS DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONESA.- Anlisis elstico de una losa armada en dos direcciones.-

Las losas armadas en dos direcciones requieren de un anlisis tridimensional. Son elementos estticamente indeterminados en sus momentos flectores y fuerzas cortantes.

Usualmente se han analizado como placas delgadas hechas de material homogneo y elstico, que tienen igual resistencia y rigidez en todas las direcciones (material isotrpico).

A partir de esta hiptesis y mediante la resolucin de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, ha sido posible encontrar soluciones generales. Sin embargo ninguno de estos procedimientos puede considerarse til desde el punto de vista prctico; aunque por medio de ellos ha sido posible deducir los mtodos aproximados que comnmente se utilizan.

Las "curvas de nivel" ayudan a visualizar la reparticin de momentos en una losa, tal como se aprecia en la figura siguiente. En una losa cuadrada simplemente apoyada en sus cuatro bordes, una franja que pase por el centro (corte A-A), corta el mayor nmero de "curvas de nivel". y muestra la curvatura ms pronunciada y por consiguiente el mayor momento.

En una losa rectangular muy larga y angosta apoyada en sus cuatro bordes, la mxima deformacin ocurre en el sentido corto y se flexionan en la mayor parte de la longitud del tablero. La franja central en el sentido largo permanece esencialmente plana y sin momentos, excepto en la vecindad de los apoyos, ver corte B-B.

En losas continuas, todas las franjas de losa en cada direccin tienen momentos negativos cerca de los apoyos y positivos cerca de la mitad del claro . Un caso excepcional es el de la franja central larga de una losa rectangular alargada porque su momento positivo no ocurre en el centro, sino en el punto donde la franja comienza a curvarse hacia arriba y son muy pequeos o nulos en el centro del claro; las franjas centrales actan casi exactamente como las losas reforzadas en una direccin.

El anlisis matemtico demuestra que el momento negativo que acta en una faja muy larga de una losa rectangular es independiente de la longitud de la misma y aproximadamente igual al momento de una losa cuadrada de lado igual a la dimensin de la losa rectangular en el sentido corto.

La losa se comporta en cada sentido de la misma manera que una losa armada en un solo sentido, con la diferencia que la accin de las fajas perpendiculares no es independiente. el momento total se reparte en ambos sentidos de manera que cada faja esta solicitada por fuerzas menores a las que actan en un solo sentido.

Dos fajas perpendiculares debern sufrir la misma deformacin en el punto de interseccin; por lo tanto la rigidez relativa es un factor importante en la reparticin de la carga en cada sentido. En una losa de espesor constante, una faja en el sentido largo es ms flexible y soportar por consiguiente menos carga, en cambio una faja en el sentido corto es ms rgida (menos flexible) y soportar por consiguiente ms carga.

Sera un trabajo excesivo el que se pretendiera analizar una losa por este camino, excepto si se usan computadoras.

B.- Consideraciones inelsticas en el diseo de losas armadas en dos direcciones .-

En 1926 el profesor WESTERGAARD recomend una serie de coeficientes para los momentos en losas, y estos daban considerable importancia a los reajustes inelsticos que tienen lugar antes de la falla en los momentos elsticos de las losas.

En la prctica no se pretende calcular para la distribucin real de momentos. Estos momentos varan a travs de la losa. Si una losa cuadrada se considera dividida en fajas de un metro de ancho, puede verse que la deformacin y curvatura de la faja central son mximos y disminuyen casi hasta cero al aproximarse a los apoyos.

La losa no se rompe cuando el refuerzo de la faja central alcanza el limite elstico. lo que ocurre es que esta faja se vuelve mas flexible y fuerza a las fajas adyacentes a cooperar ms activamente a resistir la carga .

Existen mtodos de diseo que no consideran los esfuerzos obtenidos por un anlisis elstico sino que estudian al elemento cuando se forman las denominadas "lneas de falla" o lneas de Rotura, planteando el equilibrio de los momentos que puede admitir la losa en base a un refuerzo dado.

En este caso debe resaltarse que el diseo cumplir las condiciones de resistencia, pero que debe tenerse cuidado con la verificacin de las condiciones de servicio ( deflexiones y/o fisuracin).

C.- COMPORTAMIENTO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONESa) Apoyadas sobre vigas.-

Las cargas aplicadas sobre la losa provocan momentos flexionantes en dos direcciones, tambin generan torsin y flexin en las vigas de borde. Generalmente los esfuerzos cortantes, que tambin existen, son secundarios.

La carga debe viajar en dos direcciones a los bordes de la losa y luego transmitirse por cortante, torsin y flexin a las vigas que a su vez transmiten la carga por flexin y cortante a las columnas.

Si se analiza el comportamiento de una losa apoyada sobre vigas con varios paos continuos, se puede precisar la siguiente secuencia de comportamiento:

- La carga se incrementa hasta que se observa la primera cedencia en la regin de momentos negativos de las columnas interiores. Esta cedencia se extiende a lo ancho de toda la losa en la seccin de momentos negativos interiores. (Aparecen fisuras a cada lado de la superficie superior de las vigas interiores).

- Posteriormente comienzan a desarrollarse fisuras de momentos positivos y avanzan diagonalmente desde el centro de los paneles hacia las esquinas del pao.

- En determinado instante la carga ya no puede seguir aumentndose pues la losa se sigue deformando sin carga adicional.

b) Losas armadas en dos direcciones sin vigas .-

El problema principal de las losas planas es la transmisin del cortante en el permetro de las columnas. A menudo se debe aumentar el tamao de la columna (capitel) el espesor de la losa (abaco) Se debe aumentar, para reducir el efecto de los esfuerzos cortantes. Este problema es especialmente crtico en los tableros exteriores donde no hay losa en el exterior de las columnas.

En pruebas realizadas se ha obtenido la siguiente secuencia de comportamiento:

Las primeras grietas que se observan son las que ocurren encima de las columnas interiores.

- Luego se desarrolla el agrietamiento, siempre en la cara superior, cerca de las columnas y a lo largo de las lneas de las columnas y siguiendo una lnea que corre entre los centros de los paneles (En el lugar donde estara la viga s esta existiera).

- Posteriormente aparecen las grietas en el borde inferior a lo largo de todas las lneas a la mitad del claro.

De todo lo anterior podemos establecer como premisas de anlisis y diseo las siguientes :

La posibilidad de una redistribucin extensa de fuerzas en las losas, producida por los efectos inelsticos, hace innecesario basar el diseo en las distribuciones exactas del esfuerzo elstico.

Casi todos los procedimientos de diseo se basan en coeficientes empricos que no reflejan las variaciones locales en los esfuerzos, aunque otorgan seguridad global y comportamiento satisfactorio.

La cantidad total de refuerzo en un pao es ms importante que su colocacin precisa.

4.- Distribucin de Momentos en las Losas ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

La carga en un sistema de losas de piso debe viajar en ambas direcciones a las vigas ( franjas de columnas si no hay vigas) para luego llegar a las columnas.

En consecuencia es conveniente evaluar el momento total en cada direccin.

El Momento Total Mo, definido como la suma de los momentos mximos negativo y positivo en un claro debe ser igual al momento esttico de la viga simple, que para una carga uniformemente repartida "w" es :

( En la direccin de la luz L1 )

Las pruebas de laboratorio indican que se puede usar un momento reducido, en lugar de "L1" se puede usar (Luz libre entre caras de columnas), por tanto :

Si la losa estuviera empotrada en sus apoyos, los momentos positivos y negativos estaran distribuidos como en una viga doblemente empotrada.

Esta distribucin tambin se puede considerar correcta cuando se tenga claros adyacentes de luz igual y con la misma carga w.

Cuando los claros adyacentes son desiguales o si las cargas no son las mismas en los paos, la distribucin de Mo variar. Sin embargo, no son importantes las pequeas variaciones en las magnitudes relativas de los momentos positivos y negativos, debido a la capacidad de redistribucin de momentos en las losas, lo que es importante es cubrir el momento total.

Veremos ahora como estos momentos positivos y negativos totales, en el ancho L2 del claro, se distribuyen en las diferentes franjas del pao.

Examinando la franja de columna podemos estimar su carga considerando el rea tributaria mostrada en la figura (a) :

En la figura (b) se representa un lmite inferior al momento soportado por la franja de columna, en tanto la figura (c) se representa un lmite superior ya que sobreestima el momento, pues la carga considerada est cerca del centro del claro.

Los momentos totales sern :

Por lo tanto, el valor estimado del momento total en la franja de columna esta entre :

0.5 Mo y

En el caso de una losa cuadrada donde L2 = L1 , los momentos de la franja de columna estarn entre 0.5 Mo y 0.75 Mo.

Para el caso de una losa donde L1 = 1.5 L2 tendremos valores de los momentos de la franja de columna comprendidos entre 0.5 Mo y 0.89 Mo. Por lo tanto podemos estimar aproximadamente que el momento total de la franja de columna variar entre un 60 y 70% de Mo.

Como el perfil deformado de una losa indica que existe relativamente ms momento positivo que momento negativo en la franja central se puede aproximar que la franja de columna soporte aproximadamente un 60% de Mo positivo y un 70% de Mo negativo.

Por lo tanto, si consideramos que el Mo total de un pao continuo se distribuye 2/3 partes hacia el negativo y 1/3 hacia el positivo, y si tenemos en cuenta lo indicado anteriormente para la franja de columna, se tendr aproximadamente la siguiente distribucin de momentos en cada franja:

FRANJA DE COLUMNA

EN EL POSITIVO 60% de

EN EL NEGATIVO 70% de

FRANJA CENTRAL

EN EL POSITIVO 40% de

EN EL NEGATIVO 30% de

Investigaciones experimentales han confirmado los coeficientes aproximados obtenidos en base a estas consideraciones relativamente simples de equilibrio.

No se necesitar mayor exactitud debido a las excelentes propiedades de redistribucin de momentos y de resistencia de reserva de las losas.

Si se utilizan vigas, las franjas de columnas atraern ms carga que los valores anteriormente obtenidos. Para comparar la rigidez de la viga en relacin a la losa se define el siguiente valor :

donde la losa se considera del ancho total del pao (L2) . Esta relacin vara desde cero para losas sin vigas, hasta aproximadamente 5 para losas con vigas rgidas.

5.- PERALTE MINIMO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

El peralte mnimo de losas armadas en dos direcciones que tengan una relacin de tramo largo a tramo corto no mayor de 2 deber calcularse con las siguientes ecuaciones :

pero no menor que :

Adems el peralte no necesita ser mayor que :

Donde : = Relacin de luz libre mayor a luz libre menor.

s = Relacin de la longitud de los bordes continuos al permetro total de un pao de losa.

= Relacin de la rigidez a flexin de la seccin de la viga a la rigidez a flexin de un ancho de losa limitado lateralmente por las lneas centrales de los paos adyacentes en cada lado de la viga.

m= Promedio de los valores de en todo el permetro del pao. ( m = 0, para losas sin vigas ).

Adicionalmente deben cumplirse los siguientes mnimos :

a) Losas sin vigas ni bacos

h 12.5 cm.

b) Losas sin vigas con bacos

h 10cm

c) Losas con vigas en 4 bordes

con un valor de m2

h 9 cm.

6.- PROCEDIMIENTOS DE ANALISIS Y DISEO SEGUN LA NORMA E - 060

De acuerdo a la Norma Nacional E-060 el anlisis de una losa armada en dos direcciones se puede realizar mediante cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad si se demuestra que cumple con los requisitos de resistencia requerida (amplificacin de carga y reduccin de capacidad) y las condiciones de servicio relativas a deflexiones y agrietamiento.

Para losas armadas en dos direcciones que tienen paos rectangulares cuadrados, con sin vigas de apoyo, considerando cargas uniformemente repartidas, se pueden utilizar los siguientes mtodos aproximados :

- Mtodo de los Coeficientes.- ( Solo se puede usar para losas apoyadas en todos sus bordes ).

- Mtodo Directo.- ( Se puede usar para losas apoyadas en los bordes y para losas apoyadas solamente en las columnas ).

7.- METODO DE LOS COEFICIENTES

La complejidad del "mtodo de diseo directo" ha llevado a muchos ingenieros a usar el otro mtodo alternativo indicado en la Norma Nacional, el "mtodo de los coeficientes".

Este mtodo se usa en forma amplia para losas soportadas en los bordes por muros, vigas de acero, vigas monolticas de concreto.

El mtodo utiliza tablas de coeficientes de momento que cubren varias condiciones. Estos coeficientes se basan en anlisis elsticos pero tambin tienen en cuenta la redistribucin inelstica. En consecuencia, el momento de diseo en cada direccin es menor en cierta cantidad que el momento mximo elstico en esa direccin.

a) Limitaciones para su uso .-

Se considera que las losas consisten de franjas en cada direccin, de acuerdo a lo siguiente :

- Franja Central : Es aquella de ancho igual a la mitad del tablero del pao, simtrica respecto a la lnea central del tablero y que se extiende en la direccin en la que se consideran los momentos.

- Franja de Columna : Es aquella de ancho igual a la mitad del pao tablero, que ocupa las dos reas de una cuarta parte del tablero, fuera de la franja central.

En los bordes discontinuos se considerar un momento negativo igual a un tercio del momento positivo.

b.- Determinacin de Secciones Crticas, Momentos y Cortes.-

Las secciones crticas para momentos de flexin sern :

- Para momentos negativos : a lo largo de los bordes del tablero en las caras de las vigas de apoyo.

- Para momentos positivos : a lo largo de la lnea media de los tableros.

Los momentos de flexin para las franjas centrales se calcularn mediante las siguientes expresiones :

Ma = C wu A2

Mb = C wu B2

donde :

Ma = Momento de flexin en la direccin A.

Mb = Momento de flexin en la direcci B.

C = Coeficiente de momentos mostrado en TABLAS N 1, N 2 y N 3.

wu = Carga ltima uniformemente repartida por unidad de rea de la losa.

A = Luz libre del tramo CORTO.

B = Luz libre del tramo LARGO.Los momentos de flexin para las franjas de columnas, sern reducidos gradualmente desde el valor total en el borde de la franja central hasta un tercio de estos valores en el borde del tablero. (Ver figura siguiente).

Cuando el momento negativo a un lado del apoyo sea menor que el 80% del momento en el otro lado, la diferencia ser distribuida en proporcin a las rigideces relativas de las losas.

Las fuerzas cortantes en el tablero, sern calculadas partiendo de la hiptesis de que la carga es distribuida a los apoyos de acuerdo a lo indicado en la tabla N 4.

c) Carga sobre las Vigas de Apoyo .-

La carga sobre las vigas de apoyo se calcularn mediante la tabla N 4 para los porcentajes de carga en las direcciones "A" y "B".

B.- EJEMPLO .-

Diseo de una losa armada en dos direcciones y apoyada sobre vigas.

1.- Determinacin peralte de la losa :

A

B C

asumiremos: e = 17 cm.

2.- Determinacin de cargas :

Carga muerta :

p.prop. 0.17 x 2400 = 408 +

p.term. 100

508 Kg/m x 1.5 = 762 Kg/m

Sobrecarga

700 Kg/m x 1.8 = 1260 Kg/m

wu = 2022 Kg/m.

Relacin de lados :

3.- Clculo de los momentos para la franja central de la losa :

- Momentos Negativos en Bordes Continuos

- Momentos Positivos Para Carga Muerta y Carga Viva

= 0.039 x 762 x = 966

= 0.048 x 1260 x = 1965

= 2931 Kg x m.

= 0.016 x 762 x = 1045

= 0.020 x 1260 x = 1306

= 2351 Kg x m.

- Momentos negativos en Bordes Discontinuos (1/3 x momento positivo).

Maneg = 1/3 x 2931 = 977

Mbneg = 1/3 x 2351 = 783

4.- Diseo del refuerzo requerido en la franja central:

A : Direccin corta

Peralte efectivo : d = 17 - 2.5 = 14.5

a) Centro de la luz :

a = 1.35

a /2 = 0.68

OK

1/2 @ 22 3/8 @ 12

b) Borde continuo :

a = 2.15

a /2 = 1.07OK

1/2 @ 14 5/8 @ 20

( 1/2 + 3/8) @ 20

c) Borde discontinuo :

3/8 @ 37

B : Direccin larga

a) Centro de la luz :

1/2 @ 25

3/8 @ 15

b) Borde continuo :

1/2 @ 20

c) Borde discontinuo :

3/8 @ 44

5.- Disposiciones Reglamentarias :

* Acero mnimo por temperatura

AS = 0.0018 x 100 x 17 = 3.06 cm/m 3/8 @ 23

* Espaciamiento mximo

3 x .17 = 0.51 @ 45

* Acero mnimo por flexin

AS = 0.0012 x 100 x 17 = 2.04 cm/m.

6.- En las franjas de columnas se pondr 2/3 de la armadura que corresponde a la franja central.

Tambin se puede armar as :

3 / 8 @ 44 3 / 8 @ 45

1 / 2 @ 24 1 / 2 @ 25

9.- METODO DIRECTO

9.1 Definiciones bsicas:

a. Franja de Columna.- Es una franja de diseo con un ancho a cada lado del eje de la columna igual a 0.25 L2 0.25 L1 , el que sea menor. Las franjas de columna incluyen a la viga si estas existen.

b. Franja intermedia.- Es una franja de diseo limitada por 2 franjas de columnas.

9.2Limitaciones :

a) Deben tener como mnimo 3 paos continuos en cada direccin.

b) Los paos deben ser rectangulares con una relacin largo a corto ( eje a eje) no mayor de 2.

c) Las luces de los paos sucesivos deben ser parecidas no difiriendo en ms de un tercio de la luz mayor.

d) Las columnas deben estar alineadas, permitindose como mximo un desalineamiento del 10% del claro del pao desde cualquier eje que una los centros de columnas sucesivas.

e) Las cargas sern solo de gravedad y sern uniformemente repartidas en todos los paos.

f) La sobrecarga o carga viva no exceder 3 veces la carga muerta.

g) Para un pao con vigas, la relacin de rigideces de las vigas en las dos direcciones no ser menor de 0.2 ni mayor de 5.

9.3 Momento esttico total para un pao :

El momento total esttico se determinar para una porcin comprendida lateralmente por el eje central del tablero en cada lado del eje de los apoyos.

Donde L2 , para un pao interior, es el promedio de los anchos de los dos paos contiguos, y ser la luz entre el borde extremo y el centro del pao para el caso de un pao exterior; Ln ser la luz libre entre apoyos, tal como se muestra en la figura :

Momento Negativo y Positivo :

Para paos interiores : M (-) = 0.65 Mo

M (+) = 0.35 Mo

Para paos exteriores :

CASO(1)(2)(3)(4)(5)

M (-) interior0.750.700.700.700.65

M (+)0.630.570.520.500.35

M (-) exterior0.000.160.260.300.65

donde cada caso representa :

(1) borde exterior no restringido al giro.

(2) losa con vigas.

(3) losa sin vigas, sin viga de borde exterior.

(4) losa sin vigas, con viga de borde exterior.

(5) borde exterior restringido totalmente.

El caso normal y ms usado en el Per ser el de losas con vigas, y por tanto :

9.4 Momentos para la franja de columna :

La franja de columna debe disearse para resistir los siguientes porcentajes:

- Momento Negativo Interior :

L2 / L10.512

LL 757575

1 L2 / L1 1907545

- Momento Negativo Exterior :

L2 / L10.512

LL t = 0

t2.5100

75100

75100

75

1 L2 / L1 1 t = 0

t 2.5100

90100

75100

45

- Momento Positivo :

L2 / L10.512

LL 606060

1 L2 / L1 1907545

En todos los casos, se podr efectuar interpolaciones lineales.

- Momentos para la Viga y para la Losa Comprendida en la Franja de Columna:

Las vigas tomarn el 85% de los momentos asignados para la franja de columna si :

Para cuando , no hay vigas, y por lo tanto toda la franja de columna ser de losa.

Para valores de mayores de cero y menores de 1 (vigas poco rgidas) se interpolar entre el 85% y el 0% para obtener el porcentaje que toma la viga.

Adicional a estos momentos obtenidos para la viga deber considerarse los momentos actuantes debido a cargas aplicadas directamente sobre ella.

9.5 Momentos para la franja central o franja intermedia:

La porcin de momento negativo o positivo no resistido por la franja de columna ser resistido por la franja central.

Cada franja central debe resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades.

9.6 Definicin de y t :

es la relacin de la rigidez a flexin de la viga entre la rigidez a flexin de la losa con un ancho igual a L2 (L2 es igual al promedio de 2 paos si se tienen luces diferentes).

b = beam (viga)

s = Slab (losa)

Normalmente Ecb = Ecs ; por lo tanto

Si se determina en la direccin L1 se denomina 1 y si se determina en la direccin L2 se denomina 2.

t es la relacin de la rigidez torsional de la viga de borde (perpendicular a L1) a la rigidez flexin de un ancho de losa igual a L2.

donde

Para la viga de borde cuya rigidez a torsin comparamos.

Para efectos de calcular C la viga se considera como una viga T.

A continuacin un ejemplo de clculo del valor c:

Viga 30 x 60 y losa h = 15

Definido el ancho de la viga T evaluamos C dividiendo esta en dos rectngulos de lados x e y siendo x < y.

a)

b)

Se escoge el mayor valor de "C"

Para el clculo de Lb se considera una viga T con un ancho definido como: el ancho que incluya una porcin de losa a cada lado de la viga, igual a lo descrito anteriormente.

Para el clculo de " Is " se considera L2 como ancho y por tanto ser :

10.- EJEMPLO

Diseo de un tablero de losas por el mtodo directo

Paso1.- Revisin de las limitaciones para poder usar el mtodo:

En el mismo orden en que son solicitadas:

a) Se cumple. Hay 3 claros en una direccin y 4 en la otra.

b) Relacin entre claro largo y claro corto

Se cumple.

c) Diferencia mxima entre claros sucesivos:

5 4 = 1 m < 5 / 3 = 1.7 m. Se cumple.

d) Las columnas estn alineadas. Se cumple.

e) Las cargas son uniformemente repartidas. Se cumple.

f) Carga muerta: w losa = 2400 x 0.14 = 336 Kg /m

w piso terminado = 110 Kg / m

Carga muerta

446 Kg / m

Carga viva: 800 Kg /m

Se cumple.

g) Relacin de rigideces

I Vigas interiores de 6 m. de largo:

II Vigas de borde de 6 m de largo:

III Vigas interiores de 5 m. y 4 m.:

IV Vigas de borde de 5m. y 4 m.:

V Resumen de valores

Para el tablero I

En la direccin horizontal

OK

En la direccin vertical

OK

Para el tablero II

En la direccin horizontal

OK

En la direccin vertical

OK

Para el tablero III

En la direccin horizontal

OK

En la direccin vertical

OK

Para el tablero IV

En direccin horizontal

OK

En la direccin vertical

OK

En todos los casos se cumple la limitacin (g).

2. Revisin del Peralte Mnimo

Se verificar el tablero I, por ser el ms desfavorable.

Ln = 6.00 - .40 = 5.60 m.

Luego:

h = 8.0 cm.

( 1 )

h = 13.6 cm.

( 2 )

h = 17.0 cm.

Se toma el mayor valor entre ( 1 ) y ( 2 ) y por lo tanto el valor supuesto de 14 cm, es adecuado.

3. Clculo del Momento Esttico Total

Clculo de wu

wcarga muerta = 446 Kg / m

wcarga viva = 800 Kg /m

wu = 1.4 x 446 + 1.7 x 800 = 1980 Kg / m

wu = 1.98 Ton / m

EJE A, todos los claros:

EJE B, todos los claros:

EJE 1, claro A B

EJE 1, claro B C

EJE 2, claro A B

EJE 2, claro B C

4. Momentos Longitudinales

EJES A y D

M1-2 (-) = 0.16 Mo = 0.16 x 20.37 = 3.26 T x m.

M1-2 (+) = 0.57 Mo = 0.57 x 20.37 = 11.61 T x m.

M2-1 (-) = 0.70 Mo = 0.70 x 20.37 = 14.26 T x m.

M2-3 (-) = 0.65 Mo = 0.65 x 20.37 = 13.24 T x m.

M2-3 (+) = 0.35 Mo = 0.35 x 20.37 = 7.13 T x m.

M3-2 (-) = 0.65 Mo = 0.65 x 20.37 = 13.24 T x m.

EJES B y C

M1-2 (-) = 0.16 Mo = 0.16 x 34.93 = 5.59 T x m.

M1-2 (+) = 0.57 Mo = 0.57 x 34.93 = 19.91 T x m.

M2-1 (-) = 0.70 Mo = 0.70 x 34.93 = 24.45 T x m.

M2-3 (-) = 0.65 Mo = 0.65 x 34.93 = 22.70 T x m.

M2-3 (+) = 0.35 Mo = 0.35 x 34.93 = 12.23 T x m.

M3-2 (-) = 0.65 Mo = 0.65 x 34.93 = 22.70 T x m.

Se proceder de manera similar para los ejes 1, 5 y 2, 3, 4.

5. Distribucin de momentos longitudinales a lo ancho de las Franjas

Clculo del parmetro t :

Constante de torsin C para las vigas de borde del eje A:

Constante de torsin C para las vigas de borde del eje 1:

Parmetro t para las franjas A y D.

Para las franjas B y C:

Para las franjas 1, 2, 3, 4 y 5:

6.- Clculo de Momentos en la franja de columnas, franja central y viga:

Franjas de los ejes A y D:

SECCIONM

total

tPorcentaje

tablaM

Losa en Franja

Col.M

VigaM

Losa en franja col.M

Losa en Franja central

M1-2 (-)3.260.839.630.8992.93.032.580.450.23

M1-2 (+)11.610.839.6380.19.307.911.392.31

M2-1 (-)14.260.839.6380.111.429.711.712.84

M2-3 (-)13.240.839.6380.110.619.021.592.63

M2-3 (+)7.130.839.6380.15.714.850.861.42

M3-2 (-)13.240.839.6380.110.619.021.592.63

Franjas de los ejes B y C:

SECCIONM

total

tPorcentaje

tablaM

Losa en Franja

Col.M

VigaM

Losa en franja col.M

Losa en Franja central

M1-2 (-)5.590.755.920.9893.15.204.420.780.39

M1-2 (+)19.910.755.9282.516.4313.972.463.48

M2-1 (-)24.450.755.9282.520.1717.143.034.28

M2-3 (-)22.700.755.9282.518.7315.922.813.97

M2-3 (+)12.230.755.9282.510.098.581.512.14

M3-2 (-)22.700.755.9282.518.7315.922.813.97

De manera similar se puede proceder para:

Franjas de los ejes 1 y 5.

Franjas de los ejes 2, 3 y 4.

7. Clculo de reas de acero por flexin

a) Franja del eje B, franja de columnas, lo que corresponde a la losa:

SECCIONM

Ton-mR

Ton-mM / RwPASS

(barras 3 / 8)

M1-2 (-)0.7853.60.0150.0150.00074.6628

M1-2 (+)2.4653.60.0460.0500.00246.2126

M2-1 (-)3.0353.60.0570.0600.00297.5021

M2-3 (-)2.8153.60.0520.0550.00266.9923

M2-3 (+)1.5153.60.0280.0280.00134.6628

M3-2 (-)2.8153.60.0520.0550.00266.9923

pmin = 0.0018

Asmin = 0.0018 x 225 x 14.0 = 5.67 cm

Smax = 2h = 2 x 14 = 28 cm.

b) Franja del eje B, lo que corresponde a la franja central de la losa:

SECCIONM

Ton-mR

Ton-mM / RWPASS

(barras 3 / 8)

M1-2 (-)0.3953.60.00730.00730.00034.6628

M1-2 (+)3.4853.60.0650.0700.00338.5419

M2-1 (-)4.2853.60.0800.0900.004311.1314

M2-3 (-)3.9753.60.0740.0800.00389.8316

M2-3 (+)2.1453.60.0400.0420.00205.1731>28

M3-2 (-)3.9753.60.0740.0800.00389.8316

c) Franja del eje B, lo que corresponde a la viga:

SECCIONM

Ton-mR

Ton-mM / RWPASN de barras del N 6

M1-2 (-)4.42146.20.0300.0300.00144.702

M1-2 (+)13.97146.20.0960.1050.00507.123

M2-1 (-)17.14146.20.1170.1250.00608.553

M2-3 (-)15.92146.20.1090.1200.00578.123

M2-3 (+)8.58146.20.0590.0650.00314.702

M3-2 (-)15.92146.20.1090.1200.00578.123

Asmin = 0.0033 x 25 x 57 = 4.7 cm

De manera similar se puede proceder para el resto de paos.

11.- DISEO DE LOSAS POR FUERZA CORTANTE

El diseo por fuerza cortante en las losas en dos direcciones deber realizarse tomando en cuenta lo siguiente :

a).- Efecto de la fuerza cortante en la losa actuando como viga ancha:

b).- Efecto de la fuerza cortante en dos direcciones (PUNZONAMIENTO)

donde :

bo = permetro de la seccin crtica.

11.1 Fuerza cortante en losas con vigas.-

Las reas tributarias se obtienen de la siguiente forma :

( Para vigas cuyo parmetro sea mayor igual a 1 ).

Adems de los cortantes producidos por las cargas de la losa las vigas deben resistir el cortante producido por cargas directamente aplicadas sobre ellas.

11.2 Fuerza cortante en losas sin vigas.-

la seccin crtica para verificar el cortante actuante en un pao de losa sin vigas se localiza a una distancia d/2 del permetro de la columna.

El diseo ser tal que : ya que no recurrimos al acero de refuerzo

donde :

C = Es la relacin del lado largo al lado corto de la columna que recibe a la losa y..

bo = Es el permetro de la seccin crtica.

Cuando el cortante calculado excede de se recurre a un ensanchamiento del peralte de la losa (ABACO) a un ensanchamiento del rea de la columna (CAPITEL) puede colocarse refuerzo especial por cortante (Supone colocar estribos perfiles metlicos).

El cortante que acta en la seccin crtica ya definida debe incrementarse debido a la transmisin por cortante de una parte del momento flector que acta entre la columna y la losa.

12.- DISPOSICIONES REGLAMENTARIAS EN EL ARMADO DE LOSAS Refuerzo mnimo por contraccin y temperatura:

Para acero fy = 4200 Kg/cm p = 0.0018 (seccin total del concreto) puede colocarse en una dos capas dependiendo del espesor de la losa, y a una separacin menor igual a cinco (5) veces el espesor de la losa sin exceder 45 cm.

El espaciamiento del refuerzo principal por flexin ser menor igual a tres (3) veces el espesor de la losa sin exceder 45 cm.

El rea mnima de refuerzo en la cara inferior de losas armadas en dos direcciones [Momento (+)] y en la cara superior [Momento (-)] ser como mnimo 0.0012 bh .

Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento (+) perpendicular a un borde discontinuo, deber prolongarse hasta el borde de la losa y anclarse con una longitud de 15 cm, en las vigas muros perimetrales.

El refuerzo por momento (-) perpendicular a un borde discontinuo deber anclarse en las vigas o muros perimetrales para que desarrolle su refuerzo de traccin.

Las losas con vigas de apoyo tendrn un refuerzo especial en las esquinas exteriores tanto en la cara inferior como en la superior de la losa.

EMBED PBrush

PAGE 186CONCRETO ARMADO II / Julio Arango Ortiz

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