Tema 12: Fenómenos magnéticos II

Transiciones orden-desorden: aleaciones binarias

Modelo Lenz-Ising y variantes: Modelo de Heisen-berg, cristal magético, gas reticular, red de neuronas

Soluciones -matricial y combinatorial- en dimensiónuno

Teorema de Peierls: existencia de cambio de fase endimensión dos.

Solución en dimensión dos.

Soluciones en aproximación campo medio (d =∞).

Teoría Curie-Weiss del ferromagnetismo.

Introducción

En temas anteriores, al estudiar el paramagnetismo, vimos que estafase no es estable a bajas temperaturas y aparece un cambio de fa-

se hacia estados ferromagnéticos, antiferromagnéticos o vidrios deespín. Esto ocurre porque a bajas temperaturas las interaccionesvan a ser muy importantes luego el tratamiento de un sistema de

espines como sistema ideal no es posible. En este tema vamos aestudiar esta transición y nos va a servir para introducir ciertas

técnicas matemáticas utilizadas en el modelado de sistemas com-plejos (soluciones exactas, aproximaciones campo medio, etc.) que

han jugado papel esencial en teoría de cambios de fase.La fase paramagnetica es una fase desordenada con los espines

orientados en todas las direcciones mientras que la fase ferro o an-tiferro son fases ordenadas con los espines orientados en ciertasdirecciones. Comenzamos primero estudiando de forma genérica la

transición de fase orden-desorden.

Transiciones orden-desorden. Modelo de aleación binaria.

Muchos sistemas (ej, aleaciones binarias Al-Zn y Au-Cu) presen-

tan transiciones entre un estado ordenado —a bajas T ’s— y otrodesordenada —a altas T ’s. El ejemplo ideal más sencillo:

2

Sea red regular cuyos nudos (intersecciones) están ocupados

por objetos de dos especies distintas, ej, ión tipo A o ión tipoB. En dimensión dos, una configuración posible es:

| | | |— A — A — B — A —

| | | |— B — A — B — B —

| | | |— A — B — A — B —

| | | |— B — B — A — A —

| | | |

Supongamos que dos objetos interaccionan sólo cuando son ve-cinos próximos (líneas); sean ϕAB, ϕAA, ϕBB las contribucionesde parejas AB, AA y BB, respectivamente, a la energía total

consecuencia de esta interacción.

Si no hay otro efecto (es decir, el sistema está a T = 0K) :

1. si ϕAB > 12 (ϕAA + ϕBB) , se obtiene menor energía fa-

voreciendo los enlaces AA y BB sobre los AB, luego las

configuraciones contendrán regiones que sólo contenganpartículas A y otras regiones que sólo contengan B’s. Por

ej, si la red es finita y las A’s son minoritarias, mínimaenergía requiere todas las A’s agrupadas en esfera rodea-da de un medio con sólo B’s

2. si ϕAB <12(ϕAA + ϕBB) , la configuración energéticamen-

te más favorable tiene las partículas A y B alternadas enla red, formando una especie de super-redes entrelazadas,

una de A’s y otra de B’s, con especiado doble que la origi-nal, si lo permite la simetría de la red y la proporción de

A’s y B’s.

Estas situaciones ocurren de hecho en aleaciones.

3

1. Al-Zn, Cu-Ti, Ni-Si, Au-Pt,... tendencia agrupamiento, como

modelo 1 (pero complicada pues la red cúbica-simple —en laque pensamos— es casi una excepción, hay nudos vacíos, y

deformaciones y defectos donde quizás la tendencia es a otrotipo de orden, o los segundos vecinos pueden interaccionar,

etc.)

2. Au-Cu, Au-Cd, Mg-Cd, Cu-Zn,... presentan tendencia a for-

mar super-redes (también complicada por otros factores)

Si, partiendo estados orden perfecto, elevamos T, la energía térmica

kBT induce aleatoriedad que tiende destruir el orden perfecto; ej,en caso 1, esfera segregará en partes no esféricas que, siendo ricas

en A’s, contienen B’s en interior: A mayor T : menos compacta laforma de grumos de A’s, y contendrán más B’s.

Las siguientes ideas parecen importantes aquí:

Se tiene

ρ = xρA + (1− x) ρB;

ρA, ρB = densidades de las dos fases (rica en A’s y B’s, res-pectivamente), y ρ = la densidad media sistema. Si ρ = const.

(puede ser apropiado para aleaciones), x puede ser dado yρA, ρB variar con la T : en T = 0K, ρA, ρB son máximas y

disminuyen al aumentar T :

4

No trozos en que se divide fase rica en A’s y la irregularidad

típica de éstos puede caracterizarse mediante longitud de corre-

lación, ξ, que será f (T ) : es pequeña, igual —o proporcional—

al radio de la esfera para T = 0K, y crece para T → TC (dehecho, ‘diverge’ en TC).1

Para T > TC, sólo hay una fase homogénea, mezcla de A’sy B’s, pero orden de corto alcance, es decir, agrupamientos

microscópicos (ej, ξ del orden de unos pocos espaciados de lared)

Para T →∞, tiende a dominar agitación térmica que conducea estado completamente homogéneo, desordenado, incluso a

nivel microscópico.

La función de partición canónica para este modelo es, obviammente:

ZN (T ) =∑

todas las configu-raciones de la red

exp

−β

∑

todas lasparejas de vp

ϕij

Veamos cómo escribir esta expresión de forma útil:

Sea una red en dimensión d, con N nudos.

Definimos variables concentración tales que:

cAi = 1

cBi = 0

=⇒ A en icAi = 0

cBi = 1

=⇒ B en i

En consecuencia, proponemos el hamiltoniano:

H =∑

i,ji 6=j; vp

[cAi c

Aj ϕAA (rij) + cBi c

Bj ϕBB (rij) + 2cAi c

Bj ϕAB (rij)

]

−∑

i

[cAi µA (~ri) + cBi µB (~ri)

]

1En este contexto es suficiente esta definición fenomenológica. Una definición precisarequiere el concepto de función de correlación; ej, G (r) ≡ 〈s (0) s (r)〉 , donde s (r) es lavariable de ocupación en la posición r ≡ |r| y 〈· · · 〉 es el promedio canónico. En muchasocasiones de interés se tiene que la correlación decae con la distancia en la forma: G (r) ∼exp (−r/ξ) , que define ξ (T ) .

5

donde µA (~ri) = potencial químico local asociado con la especieA. La primera suma se extiende sobre qN/2 parejas de vecinos

próximos donde q es el número de coordinación de la red.

Introducimos variables ocupación tales que:

si =

+1 (A)−1 (B)

=⇒ cAi = 12 (1 + si)

cBi = 12(1− si)

que permiten escribir el hamiltoniano:2

H = H0 −∑

i,ji 6=j: vp

Jij si sj −∑

i

Hi si

donde

2Jij ≡ ϕAB (rij)−1

2[ϕAA (rij) + ϕBB (rij)]

y

Hi ≡∑

j(6=i)

1

4[ϕBB (rij)− ϕAA (rij)] + µA (~ri)− µB (~ri)

Este hamiltoniano puede todavía simplificarse3:

H = −JqN/2∑

i,ji 6=j: vp

si sj −H∑

i

si,

donde hemos supuesto

2con H0 = qN8 (ϕAA + ϕBB + 2ϕAB)− 1

2

∑

i(µA(~ri) + µB(~ri)).3Como veremos, éste es el llamado hamiltoniano de Ising con interacciones entre a vecinos

próximos.

6

• H0 = 0 (reescalamiento de la energía)

• isotropía, de modo que Jij = J ∀i, j, con

J > 0 : se favorecen los productos si sj = +1, es decir,

parejas AA y BB, luego hay tendencia a la formaciónde grumos,

J < 0 : se favorecen los productos si sj = −1, es

decir, parejas AB, luego hay tendencia a la formaciónde super-redes, y

• homogeneidad, de modo que Hi = H > 0 ∀i.

Así la función de partición es (G =energía libre de Gibbs,〈ij〉 =parejas i, j que sean vecinos próximos)4:

ZN (T,H) = exp [−βG (T,H, N)]

=∑

s1=±1

· · ·∑

sN=±1

exp

−β

−J∑

〈ij〉si sj −H

∑

i

si

Para medir el grado de orden,5 definimos el exceso de unaespecie sobre la otra:

〈M〉 = (ρA − ρB)N,

donde

M =N∑

i=1

si

4Esto es así porque la P = 0 y en el hamiltoniano hay un término restando proporcional alo que hemos llamadoH. Si esto lo interpretamos como el campo magnético y lo consideramosvariable independiente se tiene algo como A−HM que no es más que la energía de Gibbs deun sistema magnético. En el caso de que hablemos de mezcla binaria H no es una variableindependiente y por lo tanto tenemos A.

5Al escribir ZN (T,H) estamos implicando, además del H, una energía térmica kBTque puede interpretarse consecuencia de las vibraciones de la red (o sistema de fonones)coexistiendo con los grados de libertad de ocupación, representable como baño térmico, demodo que ∃ tendencia al orden, medida por J y H, y tendencia a la aleatoriedad, medidapor T.

7

es no relativo de nudos ocupados por A’s y B’s en una confi-guración. Es decir, 〈M〉 es el promedio de M sobre todas lasconfiguraciones, cada una con su peso:

〈M〉 =∑

s1=±1

· · ·∑

sN=±1

M exp [−β H (si)] = kBT∂

∂H lnZN (T,H)

De acuerdo con la curva de coexistencia presentada antes, el

modelo tiene transición cuando, para H = 0 (‘campo nulo’),se tiene orden por debajo de cierta T, es decir, cuando

〈M〉 6= 0 (ρA − ρB 6= 0) para H → 0, T < TC.

Es decir, planteamos el problema de demostrar esto, ej, cal-

culando ZN (T,H) , derivando respecto de H, y haciendo ellímite H → 0.

Antes de discutir este problema, escribimos ZN (T,H) en for-ma explícita.

• Es conveniente puesto que las configuraciones son muy

degeneradas: muchas están caracterizadas por el mismovalor de H.

• De hecho, la energía de una configuración en el modelo nodepende de los valores que toman todas las variables si,

sino de unos pocos parámetros, por ej:

NA = no total de partículas A (o de nudos con A), y

NAA = no total de parejas AA que sean vecinos próximos

• Para comprobar este hecho, definimos también:

NB = no total de partículas B; NB = N −NA

NBB = no total de parejas BB vecinos proximos

8

NAB = NBA = no total de parejas AB vecinos proximos

Tenemos inmediatamente que6

qNA = 2NAA +NAB

qNB = 2NBB +NAB

• Se sigue que:

NB = N −NA (de N = NA +NB)

NAB = qNA − 2NAA (de la 1aigualdad)

NBB = 12qNB − 1

2NAB (de la 2aigualdad)

= 12q (N −NA)−1

2 (qNA − 2NAA) (de las anteriores)

= 12qN − 1

2qNA − 12qNA +NAA

= 12qN − qNA +NAA

• de donde:∑

〈ij〉 si sj = NAA +NBB −NAB = 4NAA − 2qNA + 12qN

∑

i si = NA −NB = 2NA −N

• luego

H (NA, NAA) = −J(

4NAA − 2qNA +1

2qN

)

−H (2NA −N)

= −4JNAA + 2 (qJ −H)NA −(

1

2qJ −H

)

N

6En efecto, tomemos un nudo A cualquiera y lanzamos uniones a sus vecinos próximos:habremos dibujado q líneas. Repetimos con todos los A’s: habremos dibujado qNA líneas.Pero éstas pueden también contarse notando que:

entre cada AA habrá dos líneas → 2NAA

entre cada AB habrá una línea → NAB

no habrá línea entre las parejas BB

Esto justifica la 1a igualdad; un argumento similar lleva a la 2a

9

• y, finalmente, la función de partición es7:

ZN (T,H) = e−βG =∑

NA,NAA

g (NA, NAA) exp [−βH (NA, NAA)]

= eβ( 12qJ−H)N

N∑

NA=0

e−2β(qJ−H)NA

×∑

NAA

g (NA, NAA) eβ4JNAA

La dificultad aquí reside en el cálculo de g (NA, NAA) ,

g (NA, NAA) = node configuraciones (con NA y NAA) o

g (NA, NAA) = node formas distintas de colocar N objetos A

y B en la red de modo que se tengan números dados paraNA y NAA

¡CALCULAR ZN (T,H) EQUIVALE A DETERMINARg (NA, NAA)!

¡UN PROBLEMA COMBINATORIAL!

(de sencillo planteamiento pero, generalmente, difícil solución:tanto más cuanto más complicada sea la red)

Veremos cómo resolver este problema en algunos casos;

obtendremos soluciones exactas y aproximadas

7La suma es sobre todos los valores posibles de NA, primero, y luego sobre todos los NAA

compatibles con el NA en cuestión.

10

11

Modelo Lenz-Ising y variantes

Al tiempo que Uhlenbeck+Goudsmit convencían de que electróntenía espín 1

2, y su dirección estaba cuantizada en presencia de

campo magnético, Lenz (1920) propuso a su alumno doctoral Isingexplicar ferromagnetismo a partir del concepto espín.

Lenz intuyó que considerando interacción entre los espines en una

red cristalina, de modo que primase el que los espines próximosfuesen paralelos y desfavoreciese cuando fuesen antiparalelos, podíaesperarse estabilidad de un estado ordenado a T ’s suficientemente

bajas, cuando interacción predominase sobre agitación térmica.

Si esto ocurría por debajo de una T bien definida, setendría el primer modelo microscópico del

ferromagnetismo.

Concretamente, Lenz propuso el hamiltoniano

H = −J∑

〈ij〉si sj −H

∑

i

si,

con la interpretación

si =

+1 espín ‘up’−1 espín ‘down’

,

es decir, los dos posibles estados de un espín-12

Notad que requiere una notable intuición en la época el que un tra-tamiento tan simplificado de las interacciones entre los espines de

los electrones tendría que explicar la ∃ de magnetización espontá-nea por debajo de cierta T en algunos materiales.

Se espera, pues, que ZN (T,H = 0) describa transiciones entre con-

figuraciones paramagnéticas (espines desordenados, luego ‘magne-tización’M = 0) a T ’s altas y configuraciones ferromagneticas (con

12

M 6= 0) o antiferromagnéticas a bajas T ’s.

Este modelo puede resolverse exactamente para d = 1 y 2.

Ising (1925) lo resolvió para d = 1, con el resultado de que no hay

transición a T finita, es decir, TC = 0.

Ernst Ising (1900-1998) demostró8 que el modelo unidimensional

no presentaba la transición esperada, y no reparó en el papel fun-damental de la dimensión en este problema. Este fallo (aparente)

llevó a Heisenberg a proponer una interacción más complicada en-tre espines, que consideró vectoriales. Pero Peierls demostró la ∃de estados ordenados en el modelo de Ising en d = 2 a bajas T ’s yOnsager presentó el primer cálculo exacto de la función de particióndel modelo de Ising con una red cuadrada en ausencia de campo.

El caso d = 3 sigue sin solución exacta.8Wilhelm Lenz (1888-1957) introdujo el modelo en

W. Lenz, Phys. Zeitschrift 21, 613 (1920).La solución para d = 1, y su extensión —errónea— a d = 3, aparecieron en

E. Ising, Thesis (in German), Hamburg, 1924, yE. Ising, Zeitschrift f. Physik 31, 253 (1925)

Los otros trabajos pioneros que se mencionan sonW. Heisenberg, Zeitschrift f. Physik 49, 619 (1928)R. Peierls, Proc. Cambridge Phil. Soc. 32, 477 (1936)L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944)

Interesantes notas pueden encontrarse enS.G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883 (1967)

13

Nota: La ausencia de transición en d = 1 puede entenderse: Sea

estado ordenado, con todos los espines ‘down’. Es posible que unafluctuación térmica del equilibrio invierta una serie de espines con-

secutivos en la cadena. Esta inversión no puede ser contrarrestadapor efecto de los espines no invertidos en los extremos, pues hay

tendencias misma intensidad y distinto signo:

En consecuencia, las fluctuaciónes pueden destruir, y destruirán, elestado ordenado, es decir, no es estable en d = 1 para T > 0.

Notad que el mismo argumento es válido si la interacción sobrepa-sa los vecinos próximos, con tal de que sea de alcance limitado y

menor que la anchura de la fluctuación.

La probabilidad de una fluctuación —por grande que ésta sea— esno nula, luego el modelo d = 1 sólo puede tener TC > 0 para

interacciones de alcance ilimitado o infinito.

El argumento falla para d > 1, pues las interacciones pueden pro-

pagarse por otros caminos.

Ising, que calculó exactamente d = 1, presentó también un argu-mento y unos cálculos aproximados (incorrectos) para d = 2 y 3

que sugerían ausencia de transición también para esos valores de d.

Heisenberg (1928) se basó en esta supuesta falta de realidad del mo-

delo Lenz-Ising para justificar otro modelo basado en interaccionesmás complicadas.

Onsager (1944)9 presentó la primera solución para d = 2 —red

9Phys. Rev. 65, 117 (1944);B. Kaufman Phys. Rev. 76, 1232 (1949); B. Kaufman $ L.Onsager Phys. Rev. 76, 1244 (1949)

14

cuadrada—, con vecinos próximos, H = 0. Hoy se considera una de

las contribuciones más importantes en física teórica de las últimasdécadas: por primera vez —y casi única— se llegaba a reproducir

un cambio de fase y fenómenos críticos en el límite N → ∞ parauna interacción razonable; además se sabe ahora que es extraordi-

nariamente realista para multitud de fenómenos.

Nunca se ha resuelto en d = 3, pero sus propiedades ya se cono-

cen muy bien por métodos aproximados (Monte Carlo + GrupoRenormalización).

Modelo de Heisenberg y variantes.

El hamiltoniano Lenz-Ising (Ising en adelante) tiene su generaliza-

ción natural en:

H =∑

i,j; i<j

Jij ~s(D)i · ~s (D)

j − ~H ·∑

i

~s(D)i

las (tres) sumas se extienden a todos los nudos de una redd−dimensional

la ‘variable de espín’ ~s(D)i son vectores de módulo unidad D-

dimensionales (D puede ser distinto a d)

Por ejemplo, puede tenerse:

15

Las variables ~s(D)i pueden interpretarse como espines cuanti-

zados,10 capaces de presentarse en 2s + 1 estados, con s =

nocuántico de espín; el modelo requiere entonces tratamientocuántico, con límite clásico para s→∞.

Este hamiltoniano sólo puede tratarse con cierta sencillez ma-

temática en unos pocos casos particulares, no siempre los demayor interés físico. Afortunadamente, el caso más sencillo

(D = 1, ∀d : Ising) es el físicamente más relevante: de hecho,muchas propiedades, incluyendo las críticas, sólo dependen dé-

bilmente de s.

‘Modelo de Heisenberg’: d = D = 3.

La versión clásica (s→∞) , fue estudiada por Heller & Kra-

mers (1934) a bajas T ’s.

La versión cuántica (s finito; generalmente, se normaliza la

magnitud de cada espín dividiendo por√

s (s+ 1)), y repre-senta aceptablemente algunos materiales,11 como compuestos

ferromagnéticos del europio (EuO, EuS) y los materiales anti-ferromagnéticos RbMnF3 y KMnF3 (incluso MnO, CoO y otrosóxidos) tomando Jij < 0 ∀i, j, que favorece la alineación anti-

paralela de espines (formación de super-redes entremezcladastal que dado un espin en una red, todos sus vecinos próximos

están en la otra red) como en estados antiferromagnéticos.

Para D > 3, sigue estando bien definido, y es interesante puestiene solución exacta cuando:

· D →∞ con d = 1, 2, 3, incluso para H 6= 0 e interaccionesvarias (ej, a vecinos próximos e interacciones de largo alcance

de la forma J (r) ∼ ra, a > d. Este modelo coincide,12 enel sentido de que ambos tienen la misma función de partición,

con el celebrado modelo esférico de Kac (1947), cuyos espi-nes tienen longitud arbitraria (no necesariamente unidad) sólo

10En realidad, representan el momento angular intrínseco de espín.11Involucra, sin embargo, algunas propiedades poco realistas: completa isotropía, ausencia

de defectos, espines, perfectamente localizados, etc. Ver L. J. de Jongh & A. R. Miedema,Advances in Physics 23, 1 (1974).

12Este hecho fue probado por Stanley 1969.

16

restringida por la condición∑s2i = N

· d = 1 para cualquier D

El caso D = 2 (cualquier d) se conoce como el modelo pla-nar de Heisenberg o modelo X-Y, estudiado (Vaks & Larkin

1966) en relación con la superfluidez en sistema de bosones

Cristal Magnético

Nos podemos preguntar el por qué el hamiltoniano de Ising o Hei-senberg es una buena hipótesis para describir un cristal magnético,

en qué pudo basar Lenz su intuición para proponerselo a Ising.

Un cristal magnético ideal puede suponerse constituido por unared cuyos nudos están ocupados por átomos con momento dipolar

magnético13

~µ = g µB ~s donde

g, µB son constantes~s = m. angular total del átomo, capaz

de 2s+ 1 orientaciones

Así, el sistema tiene (2s+ 1)N configuraciones posibles, cada unacon cierta energía (sin duda, degenerada) consecuencia de la in-teracción mutua entre los ~µ y de éstos con un campo magnético

externo.

Limitémonos a sustancias ferromagnéticas. Es un hecho que el fe-

rromagnetismo es principalmente consecuencia del espín (y no delmovimiento orbital) electrónico, es decir, s = 1

2; hay evidencia teó-rica en este sentido (ej, suponiendo s parámetro ajustable en teoría

de Weiss —ver Pathria 393) y los experimentos giromagnéticos —Barnett 1944, Scott 1952— conducen a g ≃ 2, como corresponde

al electrón.

Así, suponemos ~µ = 2µB ~s y s = 12 , luego hay dos posibles orienta-

ciones del m. magnético, µz = ±µB (y sz = 12) y 2N configuraciones

posibles.

13Ver lecciones 29,30 y 31

17

¿Cómo es la interacción entre ~si y ~sj vp’s? La mecánica cuántica

nos dice que es:

Kij±Jij, donde

Kij = energía directa o culombiana entre los espines

Jij = energía de intercambio, de naturaleza cuántica

+ :

para espines ‘antiparalelos’, es decir, para estado

singlete ↑↓, antisimétrico, de espín total S = 0

− :

para espines ‘paralelos’, es decir, para el estado

triplete ↑↑, simétrico, de espín tot. S = 1

Luego, la diferencia de energía entre los estados singlete y tripletees

ε↑↑ − ε↑↓ = Kij − Jij − (Kij + Jij) = −2Jij, (1)

donde vemos que

Jij > 0 =⇒ ε↑↑ < ε↑↓ =⇒ se favorece el triplete ↑↑,→ puedenpresentarse estados ferromagnéticos

Jij < 0 =⇒ ε↑↑ > ε↑↓ =⇒ se favorece el singlete ↑↓,→ pueden

presentarse estados antiferromagnéticos.

Pues bien, el resultado (1) se puede derivar rigurosamente del ha-miltoniano de Heisenberg, es decir, es un caso particular de la ex-

presión en éste para la energía de una pareja de vecinos próximos,por ejemplo (el 2 puede incluirse arbitrariamente):

εij = −2Jij (~si · ~sj) ,

donde εij representa indistintamente ε↑↑ o ε↑↓.

En efecto,

~si · ~sj =1

2

[

(~si + ~sj)2 − ~s 2

i − ~s 2j

]

que tiene valores propios14

1

2[S (S + 1)− s (s+ 1)− s (s+ 1)] =

1

2S (S + 1)− s (s+ 1) ≡ α

de modo que se tiene para cada una de las posibilidades:

14De hecho es diagonal en la base |si, sj , S, m〉 con ~S = ~si + ~sj .

18

triplete(s = 1

2, S = 1

): α = 1

4, ε↑↑ = −2Jij

(14

)

singlete(s = 1

2, S = 0)

: α = −34, ε↑↓ = −2Jij

(−3

4

)

luego

ε↑↑ − ε↑↓ = −2Jij

(1

4

)

+ 2Jij

(

−3

4

)

= −2Jij

QED15

En este contexto, Ising equivale a reemplazar el producto

~si · ~sj = sixsjx + siysjy + sizsjz

por uno de sus términos sizsjz.

Desde un punto de vista matemático esta aproximación se jus-tifica por su sencillez: el modelo no requiere tratamiento cuánticopuesto que los operadores resultantes conmutan.

Desde un punto de vista físico, esta aproximación introduce an-isotropía: la cuantización sólo ocurre a lo largo del eje z, luego sólo

el término sizsjz es diagonal (y nulos los valores esperados de losotros términos).16

El término con campo magnético exterior ya ha sido justificado enla lección sobre paramagnetismo: representa la acción de ~H (en la

dirección del eje z) sobre cada espín, lo que produce e. potencialadicional ∓µHz, o bien −µHzsi con si = ±1, respectivamente.

Por último, resulta que Jij, aunque es del mismo orden de magni-

tud que Kij, decrece mucho más rápidamente con la distancia y, dehecho, es relativamente pequeña para vecinos segundos.

15De hecho, esto es una prueba de consistencia, pero puede demostrarse, salvouna cte. aditiva (K. Stevens, Phys.Rep. 24C, 1 (1976) y apéndice 1 de tesina deParra), partiendo del hamiltoniano para dos átomos en el q figuren los tnos. de enrgíacorrespondientesa los electrones de las capas atómicas incompletas. En definitiva,

se entiende el hamiltoniano de Heisenberg.16Se sabe (Matsubara & Matsuda 1956, Betts et al. 1968-70) que también es interesante el

modelo con dos términos en el hamiltoniano, sixsjx +siysjy , pues simula ciertas propiedadesdel helio y de sustancias ferromagnéticas aislantes.

19

Otras variantes: Gas reticular.

Sencillas modificaciones, a veces sólo conceptuales, del modelo de

Ising permiten aplicarlo a otras situaciones físicas caracterizadaspor cooperatividad consecuencia de interacciones.

Caso familiar: interpretar si = ±1 como existencia o no de unapartícula en nudo i, de modo que se simula la ∃ de un potencial

entre partículas:

ϕ (r) =

∞ si r = 0−ε0 si r = a = cte red

0 en otro caso

que, como muchos potenciales realistas, contiene una parte esfera

dura y una atracción.

Propuesto por Yang & Lee (1952) para estudiar fluidos y sus tran-

siciones:

de hecho, interesante cuando a → 0 y, a los valores así obte-nidos para propiedades emergentes, se les añade los términos

correspondientes a un gas ideal, que representan energía ciné-tica

para ε0 > 0 (atracción), reproduce transición gas-líquido en elpunto crítico

para ε0 < 0 (repulsión), se favorece distribución alternante de

nudos y partículas a bajas T ’s, mimetizando la solidificación.

El problema que plantea este modelo puede interpretarse como elde distribuir NA partículas entre los N nudos de la red con no de

coordinación q, teniéndose una energía total para cada configura-ción:

E = −ε0NAA,

luegoZNA

(T,N) =∑

NAA

g (NA, NAA) eβε0NAA,

20

y el cálculo se reduce, como en Ising, al de la degeneración g (NA, NAA).17

Para comparar propiamente con el modelo de mezcla binaria, escri-

bimos la función de partición macrocanónica:

Ξ (T,N, µ) = eβNP (P = presión)

=N∑

NA=0

zNAZNA(T,N)

=N∑

NA=0

eβµNA

∑

NAA

g (NA, NAA) eβε0NAA .

Es decir, los dos modelos son matemáticamente equivalentes con

las correspondencias:

z = eβµ ←→ e−2β(qJ−H)

P ←→ −(

GN + 1

2qJ −H)

ε0 ←→ 4J

Es decir, hay perfecto isomorfismo matemático y físico si Ising seplantea en la canónica y gas reticular en la macrocanónica.

Para acabar de explotar esta relación, notemos que, para una mezclabinaria (como vimos):

E = ϕAANAA + ϕABNAB + ϕBBNBB

= ϕAANAA + ϕAB (qNA − 2NAA) + ϕBB

(1

2qN − qNA +NAA

)

=1

2qϕBBN + q (ϕAB − ϕBB)NA +NAA (ϕAA − 2ϕAB + ϕBB)

17N hace el papel de volumen total accesible al gas (en unidades de volumen de una celdade la red);NAA = nototal de parejas de nudos vecinos próximos ocupados;g (NA, NAA) = node formas distintas de distribuir NA partículas indistinguibles en N nudos,de modo que se obtengan NAA parejas de partículas vp;la suma extendida a todos los posibles valores de NAA compatibles con los valores dados deNA y N

21

En definitiva:

mezcla binaria gas reticular Ising ferromagn.

NA NA N+

NB N −NA N−ϕAA − 2ϕAB + ϕBB −ε0 −4J

P −(

GN + 1

2qJ −H)

A− 12qϕBBN − q (ϕAB − ϕBB)NA A

Relevancia física del modelo de Ising:

modelo magnético

ferromagnetismo

antiferromagnet.

aleación binaria

agrupamientos, Al-Zn

super-redes, Au-Cu

gas reticular

condensación

solidificación

sistemas desordenados

sists.magn. diluidos

interacciones q compitenvidrio de espinescampos aleatorios

biología

encimas: Thompson, p.177hemoglobina: ”

DNA: ”redes de neuronas: ver

otros

invasión, propagación, fuegos,...: M&Dvotantes: M&D

autómatas celulares en hidrodinámicaetc

=⇒

Contiene la física esencial en fenómenos cooperativos, que sonmuy numerosos; clases de universalidad, Ising muy amplia;

simetrías!!

22

23

Solución Ising d=1: método matricial.

El caso d = 1 es muy interesante, a pesar de no presentar cambiode fase (como veremos), puesto que tiene solución exacta y per-

mite estudiar la naturaleza de métodos para tratar problemas máscomplejos.

Veamos el método matricial, introducido por Kramers & Wannier

(1941) y usado por Onsager (1944) para resolver el caso d = 2.

Sea cadena linear con N espines, con interacciones entre vecinospróximos, sometida a un campo magnético externo H.

La energía de cada configuración es

H (~σ) = −J∑

〈ij〉σiσj −H

N∑

i=1

σi, ~σ = σi = ±1; i = 1, . . . , N

Hay condiciones periódicas en los límites de la cadena, luego:

de modo que:

24

H (~σ) = −JN∑

i=1

σiσi+1 −1

2H

N∑

i=1

(σi + σi+1)

= −N∑

i=1

[

Jσiσi+1 +1

2H (σi + σi+1)

]

y se tiene:

Z (H, T ) =∑

~σe−βH(~σ)

=∑

σ1=±1

· · ·∑

σN=±1

exp

βN∑

i=1

[

Jσiσi+1 +1

2H (σi + σi+1)

]

.

Si definimos la matriz P de elementos :18

〈σi |P|σi+1〉 = exp

β

[

Jσiσi+1 +1

2H (σi + σi+1)

]

,

P =

(eβ(J+H) e−βJ

e−βJ eβ(J−H)

)

,

se sigue: 19

Z (H, T ) =∑

σ1=±1

⟨σ1

∣∣PN

∣∣σ1

⟩= traza

(PN)

= λN+ + λN

− ,

18Es decir, los posibles elementos de matriz son

〈+1 |P|+ 1〉 = eβ(J+H); 〈−1 |P| − 1〉 = eβ(J−H)

〈+1 |P| − 1〉 = 〈−1 |P|+ 1〉 = e−βJ

19En efecto, teniendo en cuenta la definición de producto de matrices:

Z (H, T ) =∑

σ1=±1

· · ·∑

σN =±1

〈σ1| P|σ2〉 〈σ2|︸ ︷︷ ︸

=1

P|σ3〉 〈σ3|︸ ︷︷ ︸

=1

· · ·

× · · · |σN−1〉 〈σN−1|︸ ︷︷ ︸

=1

P|σN 〉 〈σN |︸ ︷︷ ︸

=1

P |σ1〉

25

donde λ± son los valores propios de la matriz P, esto es las solu-

ciones de la ec secular:

∣∣∣∣

eβ(J+H)−λ e−βJ

e−βJ eβ(J−H)−λ

∣∣∣∣= 0,

de donde:

λ2 − 2λ eβJ cosh (βH) + 2 senh (βJ) = 0,

cuyas soluciones son

λ± = eβJ cosh (βH)±√

e2βJ cosh2 (βH)− 2 senh (2βJ)

o, equivalentemente:

λ± = eβJ

[

cosh (βH)±√

e−4βJ + senh2 (βH)

]

.

En esta última expresión vemos que, al ser el radicando positivo

para todo H, se tiene λ+ > λ−. Además al ser el radicando menorque e2βJ cosh2 (βH), se tiene que las dos soluciones son definidaspositivas.

Por lo tanto λ+ > λ− > 0, y sólo el mayor es relevante en el límitetermodinámico, es decir,

1

NlnZ (H, T ) =

1

Nln(λN

+ + λN−)

=1

Nln

(

λN+

λN+ + λN

−λN

+

)

= lnλ+ +1

Nln

[

1 +

(λ−λ+

)N]

→N→∞

lnλ+

26

En definitiva:

1

NlnZ (H, T ) →

N→∞J

kT+ln

[

cosh (βH) +

√

e−4βJ + senh2 (βH)

]

,

de donde se siguen las propiedades del sistema:

energía libre de Helmholtz por espín:

a (H, T ) = −kT lımN→∞

1

NlnZ (H, T )

= −J − kT ln

[

cosh (βH) +

√

e−4βJ + senh2 (βH)

]

energía libre en ausencia de campo:

a (0, T ) = −J − kT ln(1 + e−2βJ

)

= −kT ln [2 cosh (βJ)]

calor específico:

c0V = −T(∂2a

∂T 2

)

N,V

= k (βJ)2 sech2 (βJ) ,

que se comporta:

27

0

0.2

0.4

0 1 2

c0 V /k

kT/Jes decir, nunca singularmente (como se esperaría en cambio defase), sino que tiene pico ancho para kT/J ∼ 1, lo que indica

transición gradual desde orden completo cuando T = 0 haciadesorden completo a altas T ’s.:

magnetización por espín::

m (H, T ) = −(∂a

∂H

)

T

=1

λ+senh (βH)

=senh (βH)

√

e−4βJ + senh2 (βH)

que se comporta:

28

T1

T2

T1 < T2

+1

-1

H

m(H ,T)

lo que contrasta con el caso en el que hay transición a un estadoferromagnético, para el que

m (H = 0, T ) 6= 0,

es decir, hay magnetización espontánea.

Otras soluciones exactas.

Vamos a citar una serie de modelos con motivación física y mate-mática que tienen solución exacta:

El método matricial pudo ser generalizado por Onsager —

con gran ingenio— para d = 2, H = 0, vecinos próximos. Esconveniente/necesario estudiar esta solución (la veremos más

adelante). Parte de la bibliografía relevante es:

• C.J. Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, Prin-ceton Univ. Press, 1970.

29

• C. Itzykson & J.M. Drouffe, Statistical Field Theory, vol.

1, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1990.

• C.J. Thompson, ‘Algebraic Derivation of the PartitionFunction of a Two-dimensional Ising Model’, Journal of

Mathematical Physics 6, 1392-1395 (1965)

• T.D. Schultz, D.C. Mattis & E.H. Lieb, ‘Two-dimensionalIsing Model as a Soluble Problem of Many Fermions’, Re-

view of Modern Physics 36, 856-871 (1964)

• T.T. Wu, ‘Theory of Toeplitz Determinats and the Spin

Correlations of the Two-dimensional Ising Model, I’, Phy-

sical Review 149, 380-401 (1966)

• McKoy & Wu, The Two-dimensional Ising Model, Har-

ward Univ. Press 1973.

• L.P. Kadanoff, ‘Spin-spin Correlations in the Two-dimensionalIsing Model’, Il Nuovo Cimento XLIVB, 276-304 (1966)

• R.P. Feymann, Statistical Mechanics, Benjamin (1981),p.127.

La solución de Onsager oculta que se trata simplemente de unproblema combinatorial, aunque no trivial, como hemos

puesto en evidencia anteriormente. Ising resolvió combinato-rialmente el caso d = 1, H = 0, a vecinos próximos (Ejerci-

cio).

Modelo unidimensional de Heisenberg para espín in-

finito

• M.E. Fisher, ‘Magnetism in One-dimensional Systems -the Heisenberg Models for Infinite Spin’, American Jour-

nal of Physics 343 (1963)

Hamiltoniano:

H = −2J

N∑

i=1

~si ~si−1 − gN∑

i=1

~H · ~si, |~s| → ∞

Solución exacta sencilla.

30

Cadena unidimensional con espines de dimensión ar-

bitraria

• H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Cri-

tical Phenomena, Clarendon Press, Oxford 1971, p. 124.

Hamiltoniano: H(D) = −J∑

〈ij〉~s

(D)i · ~s (D)

j

Interesante; necesita algo de investigación y es sencillo.

Interacción coulombiana en d = 1

• A. Lenard, ‘Exact Statistical Mechanics of a On-dimensional

System with Coulomb Forces’, J. Math. Phys. 2, 682 (1961)20.

Sistema unidimensional de planos infinitos cargados mo-viéndose perpendicularmente a su dirección. Muy bien

explicado.

También interesante por introducir nueva colectividad (pre-sión cte), y usar grafos para calcular la Función de parti-

ción y fracciones continuas.

• K.D. Scholte & T.T. Truong, ‘Phase Transition of a One-dimensional Coulomb System’, Phys. Rev. A22, 2183 (1980)

Planos infinitos cargados en un circuito alternando cargas.

Usa colectividad macrocanónica, introduce un interesantetruco. Muestra ∃ de cambio de fase de 2o orden (excepción—largo alcance— del teorema de van Hove).

• R.J. Baxter, ‘Statistical Mechanics of a One-dimensional

Coulomb System with a Uniform Charge Background’,Proc. Cambr. Phil. Soc. 69, 779 (1963)

Similar al caso de Lenard. Al incluir sustrato de carga

opuesta, es modelo de plasma. Claridad y belleza de laexposición.

Vidrios de espines unidimensionales:

20Reimpresiones de éste y de otros de los trabajos citados en esta sección en Mathematical

Physics in One Dimension, E.H. Lieb & D.C. Mattis, Academic Press, New York 1966.

31

• J. Joffrin, ‘Disordered Systems – Experimental Viewpoint’,

Ill-condensed Matter, Les Houches 1978, p. 63, North-Holland.

S. Kirkpatrick et al, ‘Infinite-ranged Models of Spin-glasses’,

Phys. Rev. B13, 4384 (1978)

El sist tiene hamiltonianoH = −∑〈ij〉 Jij si sj con las Jij

distribuidas independientemente sobre la red con probabilidad

p (Jij) =1

J√

2πexp

[

− (Jij − J0)2

2J2

]

lo que genera competencia ferro-antiferro. Motivado porsituación en aleaciones magnéticas diluidas como ya vi-

mos. Es muy interesante el uso de la teoría de réplicas.

• D.C. Mattis, ‘Solvable Spin Systems with Random Inter-actions’, Physics Letters A56, 421 (1976)

• P.W. Anderson, ‘Lectures on Amorphous Systems’, Ill-

condensed Matter, Les Houches 1978, p. 159, North-Holland.

Redes de neuronas

• D.J. Amit, H. Gutfreund & H. Sompolinsky, ‘Spin GlassModels of Neural Networks’, Phys. Rev. A32, 1007 (1985)

J.L. van Hemmen, ‘Spin Glass Models of a Neural Net-work’, Phys. Rev. A34, 3435 (1986)

Es exactamente igual al modelo de vidrio de espín intor-ducido antes pero ahora

Jij =1

N

P∑

µ=1

ξµi ξ

µj

donde las ξµi = ±1 son configuraciones aleatorias fijas de

la red o memorias

32

Además todas neuronas j actúan sobre una dada i con

intensidad Jij Puede resolverse por completo con técnicade réplicas.

Modelo de Ising con energía de intercambio aleatoria

• C. Fau & B. McCoy, ‘One-dimensional Ising Model withRandom Exchange Energy’, Phys. Rev. 182, 614 (1969)

• McKoy & Wu, The Two-dimensional Ising Model, Har-ward Univ. Press 1973, p. 345.

Notar: no es un vidrio de espines; no hay competencia

ferro-antiferro. En d = 1 :

H = −N∑

n=1

Jn sn sn+1 −HN∑

n=1

sn

Resuelto para N finito. Ecuaciones integrales.

En d = 2 :

H = −J1

∑

jk

sj,k sj.k+1 −∑

jk

Jj sj,k sj+1.k

Modelo de Ising diluido

• Stinchcombe, ‘Phase Transitions and Critical Phenome-na’, vol. 7, Academic Press (1983)

• Dotsenko & Dotsenko, Advances in Physics 32, 129 (1983)

• Labarta, Marro & Tejada, J. Phys. C19 (1986) (y otrospapers míos relacionados)

Hamiltoniano:

H = −∑

〈ij〉Jij si sj

con si = 0 en una fracción p de nudos elegidos al azar (sitedilution), o Jij = 0 en una fracción p de parejas vecinos

33

próximos (bond dilution). Modela impurezas en sistemas

reales y es también muy interesante por la dependencia desu comportamiento crítico con d, por ser una especie de

percolación a T finita, etc.

Gas de Takahashi

• Lieb & Mattis eds., Mathematical Physics in One Dimen-

sion, Academic Press, New York 1966, p.6

• Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, Prince-ton Univ. Press, 1970, p.81

Modelo (gas reticular):

ϕ (r) =

∞ |r| < aψ (r − a) 2a > |r| > a

0 |r| ≥ 2a

∣∣∣∣∣∣

Ilustra, en particular, el teorema de van Hove (potencialesde corto alcance no inducen cambio de fase).

Modelo esférico de gas

• Lieb & Mattis eds., Mathematical Physics in One Dimen-

sion, Academic Press, New York 1966, p.81

Se divide el sistema en celdas, de modo q cada una tenga1 ó 0 partículas; entre celdas hay un potencial de interac-

ción. Su solución ilustra física interesante.

Modelo X-Y

• D.D. Betts, Phase Transitions and Critical Phenomena,Domb & Green eds., vol. 6, p. 569

H = −∑

ij

Jij

(sxi s

xj + sy

i syj

)

34

Interés: sxsy no conmutan. Si parámetro de orden es m =∑

i sxi , no conmuta con H =⇒ estado fundamental no es

con todos los espines alineados.

Teorema de Lebowitz & Penrose

• Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, Prince-ton Univ. Press, 1970, p.218

Solución exacta en el límite termodinámico para potencial

tipo Kac (alcance infinito pero infinitamente débil)

Modelo de Ising cinético

• R.J. Glauber, ‘Time Dependent Statistics of the Ising Mo-del’, Journal of Mathematical Physics 4, 294 (1963)

• Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical

Phenomena, Clarendon Press, Oxford 1971, p. 284

Cadena unidimensional exacta. Ecuación maestra; proba-bilidades de transición resueltas en Ising unidimensional.Dinámica para solución campo medio. Retardamiento crí-

tico.

• S.P. Heins, ‘Master Equation for Ising Models’, Phys. Rev.

A138, 587 (1965)

• B. Felderhof, ‘Spin Relaxation of the Ising Chain’, Reports

on Mathematical Physics 1, 215 (1971)

35

Teorema de Peierls.

Veamos los argumentos de Peierls21 que, aparte de un interés histó-rico, como se discutió, se han usado con éxito en otros problemas.

Demuestra que debe haber cambio de fase en el modelo de Ising end = 2

Sea red cuadrada con hamiltoniano ferromagnético:

H (~σ) = −J∑

〈ij〉σiσj −H

∑

i

σi, J > 0

Sea conjunto finito, Ω, de NΩ nudos de la red, descrito por HΩ dela forma anterior, con las sumas restringidas a i, j ∈ Ω. La función

de partición canónica es:

ZΩ =∑

σ1

· · ·∑

σNΩ

e−βHΩ = e−βNΩaΩ,

donde ZΩ es real positivo y aΩ es la energía libre por nudo.

Sabemos que aΩ es función cóncava de H, incluso en el lím termo-

dinámico,22 luego la magnetización,

m = − ∂a

∂H ,

es no-decreciente y bien definida (salvo quizás en conjunto nume-rable de puntos.).23

Además, implica la definición que

HΩ (H, σi, σj) = HΩ (−H,−σi,−σj) ∀i, j,21De hecho, las versiones de Griffiths (1964) y Dobrushin (1965), que eliminan algunos

defectos de la prueba original.22Vimos el teorema general. Ver Griffiths en Domb & Green, vol. 1, sec. II, B.4, para una

demostración explícita en el caso de modelos reticulares.23Sabemos (teorema de Yang-Lee) que m es analítica, salvo posiblemente en H = 0,

pero conviene evitar usar este resultado pues el argumento de Peierls es aplicable con másgeneralidad que el T. Yang-Lee.

36

luego aΩ es simétrica dada T,

aΩ (H) = aΩ (−H) ,

y se tiene la antisimetría

m (−H) = −m (H) .

En definitiva, ha de ser:

Figura 1

Ahora bien, dadas esas simetrías, se tiene que el límite (para H ≥0):

me = lımH→0+

m (H)

siempre ∃ y es no-negativo.24 En Figura 1 es me = 0, pero loanterior no excluye la situación representada en la Figura 2, en

cuyo caso el sistema presentaría el cambio de fase que se observa enla naturaleza. El teorema de Peierls establece que el modelo de Ising

presenta el comportamiento de Figura 2 en ciertas condiciones.

24Según esta definición, me sólo depende de a (en el lím-T), luego es independiente de lascondiciones en los límites, etc. (ver Griffiths 1966, y tesis de Bortz p.5)

37

Figura 2

Dividimos la prueba en dos partes:

Parte 1: La magnitud/nudo en sistema finito Ω con condición

límite especial (que indicaremos ˆ), es decir,

mΩ = − ∂aΩ

∂H =1

NΩ

∑

i∈Ω〈σi〉i∈Ω ,

donde la 2aigualdad es una definición equivalente y 〈· · · 〉 es el

promedio canónico25, en ciertas condiciones, tiene una cotainferior:

mΩ ≥ α ≥ 0, con α independiente de Ω

Parte 2: α es también un límite inferior para me (definida antes)

25〈σi〉Ω = Tr(σi e−βHΩ

) [Tr(e−βHΩ

)]−1

38

Parte 1: Sea Ω un cuadrado, y la condición límite especial σi =

+1 en todo el contorno del cuadrado,26 como en este ejemplo:

Dada una ~σ cualquiera, dibujamos líneas que separen espines

con distinta orientación, encerrando los negativos. Con las con-diciones límites elegidas, obtendremos polígonos cerrados27 o

‘fronteras’ (físicamente, la interfase).

¿Qué propiedades tienen estas fronteras?

Si b = perímetro (nolíneas unidad), contiene ≤ (b/4)2 espines− (caso de polígono regular sin ‘huecos’).

Sea νb el no de fronteras distintas con perímetro b que puedenformarse en Ω (para cualquier ~σ); las numeramos j = 1, . . . , νb.Se tiene con facilidad una cota, por ej:28

νb ≤ 4NΩ3b−1/b26Los espines del contorno pueden tomarse como parte del sistema o no, pero teniendo

siempre en cuenta su interacción con los del interior. Tal tipo de condición sería adecuadapara un gas rodeado de vacío o de otras partículas que representaran el contenedor.

27Para evitar ambigüedades será necesario a veces recortar esquinas, como en la figura.28OJO aclararlo

39

En efecto, para formar estos polígonos de b lados, podemos partir de un nudo

cualquiera de la red, y podemos seguir en cualquiera de las direcciones del

espacio, luego hay 4NΩ formas distintas de empezar en una red cuadrada. Cada

uno de los restantes lados puede trazarse, como mucho, en 3 direcciones, pues

no puede volverse por el camino recorrido, luego pueden formarse 4NΩ3b−1

fronteras con longitud b siguiendo este método. Puesto que cualquiera de los b

vértices del polígono podría haberse tomado como punto de partida, se sigue

νb ≤ 4NΩ3b−1/b, QED. (Como b ≥ 4, también puede escribirse νb ≤ NΩ3b−1,

pero no es necesario para el argumento.)

(De hecho, νb es menor de lo indicado, pues el polígono ha de ser cerrado, y la

frontera no puede cortarse a sí misma, pero no es necesario afinar más en la

práctica.)

Dada una ~σ, sea

X(j)b =

1 si la frontera (j, b) está presente en ~σ0 en otro caso

El no N− de espines − en cualquier ~σ con las condiciones

límites elegidas, está acotado:

N− ≤∑

b=4,6,...

(b

4

)2 νb∑

j=1

X(j)b

y, tomando promedios canónicos:

〈N−〉 ≤∑

b=4,6,...

(b

4

)2 νb∑

j=1

⟨

X(j)b

⟩

Supongamos que podemos determinar la parte derecha aquí ymostrar que es

〈N−〉 ≤ (1− α)NΩ

2, α ≥ 0. (2)

En este caso, puesto que

mΩ =〈N+〉 − 〈N−〉

NΩ= 1−2

〈N−〉NΩ

, pues 〈N+〉+〈N−〉 = NΩ

40

se tendría

mΩ = 1− 2〈N−〉NΩ

≥ 1− (1− α) = α,

luego hemos de probar (2).

Para demostrar

〈N−〉 ≤ (1− α)NΩ

2, α ≥ 0 :

Sea C el conjunto de todas las ~σ en las que aparece unafrontera dada, (j, b)

Sea C∗ la frontera que se obtiene de C invirtiendo (es decir, σi → −σi)todos los espines dentro de esa frontera.29

Entonces, para H = 0 (el caso en cuestión):

H (C∗) = H (C)− 2bJ,

pues, al hacer C → C∗, el sistema, en los bordes, pierde b

parejas distintas (+−), cada una con energía −Jσiσj = J, ygana b parejas iguales (++), cada una con energía −Jσiσj =J.

Se sigue que

⟨

X(j)b

⟩

≡

∑

toda ~σ

X(j)b e−βH

∑

toda ~σ

e−βH=

∑

Ce−βH(C)

∑

toda ~σ

e−βH≤

pues ‘toda ~σ’ ≥C∗

∑

Ce−βH(C)

∑

C∗e−βH(C∗)

=

∑

Ce−βH(C)

e+β2bJ∑

C∗e−βH(C)

=hay correspondencia uno a uno entre C y C∗

e−β2bJ

29Es decir, en la frontera grande del ejemplo se invierte también el espín central +→ −.

41

En consecuencia:

〈N−〉 ≤∑

b=4,6,...

[(b

4

)2][

νb∑

j=1

][⟨

X(j)b

⟩]

≤∑

b=4,6,...

[b2

16

] [4NΩ3b−1

b

][e−β2bJ

]

=NΩ

12

∑

b=4,6,...

b(3 e−β2bJ

)b(a comparar con la expresión de arriba)

Es decir, para completar la prueba (de la parte 1) ha detenerse:

1

6

∑

b=4,6,...

b(3 e−β2bJ

)b ≤ 1− α

que siempre es posible para β suficientemente grande (T pe-queña)30, es decir, mΩ ≥ α ≥ 0, con α independiente de Ω,

QED

Parte 2: α es también un límite inferior parame = lımH→0+ m (H) :

Suponemos el sistema sometido a H ≥ 0. Se comprueba in-

mediatamente que mΩ ≥ α implica aΩ (H) ≤ aΩ (0)− αH,31

luego

lımΩ→∞

aΩ (H) ≤ lımΩ→∞

aΩ (0)− αH.30Esto es, la serie converge para x ≡ 3 exp (−2βJ) ≪ 1, es decir, T ≪ 2J (k ln 3)

−1. En

este caso, puede hacerse la suma y se tiene

〈N−〉NΩ

≤ x4(2− x2

)

6 (1− x2)2 .

Por ej, si T suficientemente baja tal que x2 = 12 , se tiene 〈N−〉N−1

Ω ≤ 14 =⇒ mΩ ≥ 1

2 .31Pr ser aΩ (H) función cóncava de H, y mΩ monótonamente creciente. De hecho (alter-

nativamente), notad que

HΩ (H) = HΩ (0)−H∑

i∈Ω

〈σi〉 = HΩ (0)−HmΩNΩ =⇒ HΩ (H) ≤ HΩ (0)− αNΩH

luego, como∑

~σ

e−βHΩ = e−βNΩaΩ se sigue e−βNΩaΩ(H) ≥ eβαNΩH e−βNΩaΩ(0) QED. La

implicación contraria se sigue inmediatamente derivando respecto a H.

42

Pero sabemos que lımΩ→∞ aΩ (H) = a (H) , luego

a (H) ≤ a (0)− αH, H ≥ 0,

que implica me ≥ α,32 QED

En definitiva, el T. de Peierls establece que el modelo de Ising

bidimensional con interacciones entre los vecinos próximos ha deprsentar magnetización espontánea no-nula (en ausencia de campo

aplicado) a T ’s suficientemente bajas —en consecuencia, la energíalibre (o la presión) tienen una primera derivada discontínua— loque implica la ∃ de un cambio de fase en el sentido usual.

Otras implicaciones, aplicaciones y extensiones del T. de Peierls[1]

Se puede aplicar de forma sencilla al estudio de la función de

correlación 〈sisj〉 que también marca la ∃ del cambio de fasepor la divergencia de la longitud de correlación en el punto

crítico.

El teorema de Peierls Se puede extender fácilmente a d=3,

sin más que sustituir en las fronteras lineas por cuadrados deárea a2

0, con a0 la distancia entre nudos, para separar pare-

jas de vecinos próximos con distinta orientación, de modo quelas fronteras (interfase) son ahora poliedros. Practicamente la

única diferencia es que (b/4)2 ha de reemplazarse por (b/6)2/3 .La extensión a d > 3 es trivial.

32En efecto, se tiene de este resultado, en particular:

−a (∆H)− a (0+)

∆H ≥ α

luego

lım∆H→0

[

−a (∆H)− a (0+)

∆H

]

= lımH→0+

(

− ∂a

∂H

)

≡ lımH→0+

m (H) ≡ me ≥ α.

43

Más compleja es la extensión al caso de magnetización cons-

tante (como conviene a las mezclas binarias) con fases separa-das. El formalismo adecuado entonces es el canónico (en lugar

del macrocanónico que hemos usado hasta ahora). En la prác-tica, sólo hay que aplicar las relaciones generales entre los dos

formalismos.Por ej, la probabilidad de que magnetización =mΩ es

ΠmΩ∝∑

σ1

· · ·∑

σN

PmΩe−βHΩ = e−βNΩaΩ(mΩ)

donde

PmΩ=

1 si

∑

i σi = mΩNΩ

0 en otro caso

y aΩ (mΩ) es la energía libre a magnetización fija.

Usando métodos similares a los descritos para la ∃ del lím-Termodinámico, puede entonces mostrarse que aΩ (mΩ) →a (m) para Ω→∞ si mΩ → m, con a (m) convexa y simétricaenm, y que está relacionada con a (H) por una transformación

generalizada de Legendre: a (m) = supH [a (H)−mH] dadaT.

El TP permite entonces estudiar la propiedades de aΩ (mΩ)

y de su límite a (m) , para mostrar la ∃ de separación de fa-ses, e incluso describir algunas de las propiedades de las fasesseparadas (Minlos & Sinai 1967, 1968).

Extender el TP a sistemas distintos del Ising se reducegeneralmente a saber encontrar transformación C→ C∗ que

permita encontrar una cota superior a⟨

X(j)b

⟩

. Se ha podido

estudiar así, por ejemplo, d = 2 con:

espín semientero, s = n/2 : extensión casi trivial. Se con-cluye (hacer) que cota superior para TC tiende a cero cuan-

do n→∞. (Luego esta extensión no es muy interesante,salvo por mostrar una de las limitaciones del TP: el modelo

tiene transición, pero el TP establece una cota demasiadobaja para TC .)

44

espín entero, s = n : se llega a este mismo resultado, pero

la demostración es más complicada (Lebowitz & Gallavot-ti 1971).

Se ha extendido al modelo de Heisenberg, con interacciónisotrópica Eij = −J ~si · ~sj/s

2, si los componentes de ~s no to-

man valores cuantizados, se sigue una solución equivalente atomar s → ∞, y (para d = 2 y J > 0 —interacción ferro-magnética) puede demostrarse que no hay transisión (Mermin

& Wagner 1966). Podemos plantear aquí un problema intere-sante: cuánta anisotropía es necesaria para que este modelo

presente magnetización espontánea:

· argumentos cualitativos de Bortz (1971), basados en el mode-lo de gotas de Fisher parecen indicar que cualquier anisotropía

es suficiente para que presente transición

Esto se puede hacer aplicando el TP a un modelo de anisotro-

pía variable que incluye el modelo isotrópico de Heisenberg

Eij = −J[szi s

zj + α

(sxi s

xj + sy

i syj

)]s2

que muestra que ∃ cambio de fase para 0 ≤ α ≤ 0,0298, y queha sido también utilizado para estudiar antiferromagnetismo.

45

Bibliografía

[1] Otras implicaciones, aplicaciones y extensiones del Teorema de

Peierls (TP).

Un cambio de fase —de 2o orden— puede caracterizarse tam-bién por una sensibilidad especial de las funciones de correlacióna las condiciones límites, aun cuando el sistema sea infinito (es

decir, la longitud de correlación diverge en el punto crítico); verteoremas de Landford y Ruelle (1968). En consecuencia, es in-

teresante comprobar cómo el teorema de Peierls implica estasensibilidad. En efecto, hemos visto que la condición σi = +1

en los bordes conduce a 〈σi〉Ω ≥ A > 0 para T baja. Pero elmismo argumento puede aplicarse para la condición σi = −1 en

los bordes con el resultado de que 〈σi〉Ω ≤ −A para T baja. Deestos hechos, puede llegar a infereirse tal sensibilidad de 〈σiσj〉para Ω→∞.

Por otra parte, notamos que el teorema de Peierls puede ex-

tenderse inmediatamente al caso d = 3. En este caso, hay quecolocar cuadrados de área a2

0, con a0 la distancia entre nudos,

para separar parejas de vecinos próximos con distinta orienta-ción, de modo que las fronteras (interfase) son ahora poliedros.

Practicamente la única diferencia es que (b/4)2 ha de reempla-

zarse por (b/6)2/3 . La extensión a d > 3 es trivial.

Más compleja es la extensión al caso de magnetización cons-tante (como conviene a las mezclas binarias) con fases separa-

das. El formalismo adecuado entonces es el canónico (en lugardel macrocanónico que hemos usado hasta ahora).

En la práctica, sólo hay que aplicar las relaciones generales entre

los dos formalismos. Por ej, la probabilidad de que magnetiza-

46

ción = mΩ es

ΠmΩ∝∑

σ1

· · ·∑

σN

PmΩe−βHΩ = e−βNΩaΩ(mΩ)

donde

PmΩ=

1 si

∑

i σi = mΩNΩ

0 en otro caso

y aΩ (mΩ) es la energía libre a magnetización fija.

Usando métodos similares a los descritos para la ∃ del lím-

Termodinámico, puede entonces mostrarse que aΩ (mΩ) →a (m) para Ω→∞ si mΩ → m, con a (m) convexa y simétrica

en m, y que está relacionada con a (H) por una transformacióngeneralizada de Legendre: a (m) = supH [a (H)−mH] dada T.

El TP permite entonces estudiar la propiedades de aΩ (mΩ) y

de su límite a (m) , para mostrar la ∃ de separación de fases, eincluso describir algunas de las propiedades de las fases separa-das (Minlos & Sinai 1967, 1968).

Por ej, se demuestra, con espines + en los bordes, que los espi-

nes − tienden a agruparse dentro de una gran frontera que, paraT ’s suficientemente bajas, tiene aproximadamente la forma de

un cuadrado.

El sistema resulta entonces homogéneo dentro de esta frontera33

que se interpreta como la fase líquida, y los mismo es cierto con

la fase vapor. En definitiva, la fronteras de Peierls juegan unpapel fundamental en este problema.34

Extender el TP a sistemas distintos del Ising se reduce ge-

neralmente a saber encontrar transformación C→ C∗ que per-

mita encontrar cota superior a⟨

X(j)b

⟩

. Se ha podido estudiar

así, por ejemplo, d = 2 con:

espín semientero, s = n/2 : extensión casi trivial. Se concluye

33en el sentido de que la distribución de prob de pequeñas fronteras que rodeen ‘burbujas’(σi = +1) es independiente de la posición en el sistema.

34R.A. Minlos & Ya. G. Sinai, Sov. Phys. Dokl. 12, 688 (1967)

47

(hacer) que cota superior para TC tiende a cero cuando n→∞.(Luego esta extensión no es muy interesante, salvo por mostraruna de las limitaciones del TP: el modelo tiene transición, pero

el TP establece una cota demasiado baja para TC .)

espín entero, s = n : se llega a este mismo resultado, pe-ro la demostración es más complicada (Lebowitz & Gallavotti1971). En el caso más sencillo, s = 1 (3 posibles orientaciones),

la C→ C∗ que disminuya siempre la energía configuracionalno puede ser una simple inversión, pero no es difícil encontarla

(Bortz 1971 p.1526).

para el modelo de Heisenberg, con interacción isotrópicaEij = −J ~si · ~sj/s

2, si los componentes de ~s no toman valorescuantizados, se sigue una solución equivalente a tomar s→∞,y (para d = 2 y J > 0 —interacción ferromagnética) puededemostrarse que no hay transisión (Mermin & Wagner 1966).35

Podemos plantear aquí un problema interesante: cuánta aniso-

tropía es necesaria para que este modelo presente magnetizaciónespontánea:

· argumentos cualitativos de Bortz (1971), basados en el modelode gotas de Fisher parecen indicar que cualquier anisotropía es

suficiente para que presente transición;

· alternativamente, uno puede estudiar

Eij = −J[szi s

zj + α

(sxi s

xj + sy

i syj

)]s2,

que describe desde total anisotropía (Ising con s → ∞) para

α = 0 hasta la isotropía de heisenberg para α = 1. Puedo unoconvencerse con facilidad (Bortz & Griffiths 1972) de que ∃ tran-sición para 0 ≤ α ≤ 0,0298, al menos Este es un buen ejemplo

de la versatilidad del TP.

Con la misma técnica se han estudiado, por ej, modelo de Ising

35Uno puede plantearse entonces el interesante problema de determinar cuánta anisotropíaes necesaria para que este modelo presente magnetización espontánea. Argumentos cualita-tivos de Bortz (1971) basados en el modelo de gotas de Fisher parecen indicar que cualquieranisotropía es suficiente para que el modelo presente transición.

48

antiferromagnético (Griffiths, en Domb & Gree II, p. 5-13),

modelos no-reticulares y modelos cuánticos, y ciertas propieda-des especiales de modelos familiares:

por ej: a T ’s suficientemente bajas, todo estado de equilibrio

invariante para Ising con d ≥ 2 e interacciones ferromagn entrevp’s es una combinación lineal y convexa de sólo dos estados

extremos.

49

Solución del modelo de Ising en dimensión 2.

La ventaja del método de las matrices de tranferencia es que se pue-de generalizar fácilmente a dos o más dimensiones. Consideremos

el caso de dimensión d=2. Tomamos una red bidimensional (conm filas y n columnas) sobre un cilindro (condiciones de contorno

periodicas en columnas pero no en filas). La energía configuracionaldel sistema de espines es:

H(S) = −Jm−1∑

i=1

n∑

j=1

si,jsi+1,j − Jm∑

i=1

n∑

j=1

si,jsi,j+1 −Hm∑

i=1

n∑

j=1

si,j

(3)con si,n+1 = si,1.

Defino σj la configuración de la columna j, es decir

σj = (s1,j, s2,j, . . . , sm,j) (4)

hay 2m configuraciones posibles para cada columna. La energía con-

figuracional se puede poner como la suma de dos términos:

V1(σj) ≡ −Jm−1∑

i=1

si,jsi+1,j −Hm∑

i=1

si,j (5)

la energía de interacción cada columna j y

V2(σj, σj+1) ≡ −Jm∑

i=1

si,jsi,j+1 (6)

la energía de interacción entre la columna j y j + 1.

El hamiltoniano total queda (teniendo en cuenta que σn+1 = σ1)

H =n∑

j=1

[V1(σj) + V2(σj, σj+1)] (7)

50

La función de partición queda entonces como

Zn,m =∑

sexp(−βH(s))

=∑

σ1,...,σn

exp

[(n∑

j=1

V1(σj) + V2(σj, σj+1))]

=∑

σ1,...,σn

T (σ1, σ2)T (σ2, σ3) . . . T (σn−1, σn)T (σn, σ1)

=∑

σ1

T n(σ1, σ1)

(8)

donde la matriz de transferencia T (σ, σ′) viene dada por

T (σ, σ′) = exp[−βV1(σ)] exp[−βV2(σ, σ′)]

= exp

(

βJ

m−1∑

i=1

sisi+1 + βHm∑

i=1

si

)

exp

(

βJ

m∑

i=1

sis′i

)

(9)que se puede poner en forma simétrica como (Ejercicio)

T (σ, σ′) = exp[−β2V1(σ)] exp[−βV2(σ, σ

′)] exp[−β2V1(σ

′)]

= exp

(

βJ

2

m−1∑

i=1

sisi+1 +βH2

m∑

i=1

si

)

exp

(

βJm∑

i=1

sis′i

)

× exp

(

βJ

2

m−1∑

i=1

s′is′i+1 +

βH2

m∑

i=1

s′i

)

(10)que es una matriz 2m×2m. Entonces la función de partición queda:

Zn,m = Tr (T)n =2m∑

j=1

λnj (11)

donde como antes λ1 > λ2 ≥ . . . ≥ λ2m. Si ahora en el límitetermodinámico permitimos que n se aproxime a infinito antes que

51

m (aunque no es una condición necesaria) entonces

a(H) = −1

βlım

m→∞lımn→∞

1

mnlnZn,m

= lımm→∞

1

mlnλ1 + lım

m→∞

[

lımn→∞

1

mnln

(

1 +

2m∑

j=2

(λj/λ1)n

)]

= lımm→∞

1

mlnλ1.

(12)El problema se reduce también a encontrar el autovalor más grande

de la matriz T, pero mientras que para dimensión d = 1 se trata

de una matriz 2× 2, en dimensión d = 2 hay que diagonalizar unamatriz 2m × 2m con m→∞.

El método desarrollado hasta aquí puede ser generalizado a dimen-

sión d > 2. Por ejemplo para d = 3 definimos σj la configuracióndel plano bidimensional j y contruimos la red mediante estos pla-

nos. V1(σj) representa ahora la energía de interacción de un planoy V2(σj, σj+1) la energía de interacción entre los planos j y j + 1 yasí sucesivamente para dimensiones mayores.

Para campo H = 0 el problema bidimensional fue resuelto por On-sager en 1944 en uno de los artículos más celebrados de las últimasdécadas. Ha habido muchas simplificaciones de dicha demostración

pero incluso la más simple es bastante complicada. No vamos ademostrar explicitamente la solución de Onsager pero sí vamos a

discutir los resultados más relevantes que se derivan de su solución.

Usando algebras de Lie y teoría de grupos, Onsager encontró que el

autovalor más grande de la matriz de transferencia con H = 0 es:

λ1 = (2 sinh ν)m/2 exp[1

2(γ1 + . . .+ γ2m−1)], (13)

donde γk se define por la relación

cosh γk = cosh 2νcoth2ν − cos(kπ/m) (14)

y ν = βJ.

52

La energía libre por espín es entonces

−βa(H = 0) =1

2ln(2 sinh 2ν) + lım

m→∞1

2m

m−1∑

k=0

γ2k+1. (15)

En el límite m → ∞ la suma en la expresión anterior se puedesustituir por una integral,

−βa(0) =1

2ln(2 sinh 2ν)+

1

2π

∫ π

0

cosh−1(cosh 2ν coth 2ν−cos θ)dθ

(16)y usando la identidad

cosh−1 |z| = 1

π

∫ π

0

ln[2(z − cosφ)]dφ (17)

se tiene

−βa(0) =1

2ln(2 sinh 2ν)+

1

2ln 2+

1

2π2

π∫∫

0

ln(cosh 2ν coth 2ν−cos θ−cosφ)dθdφ

(18)

que da la fórmula simétrica de Onsager:

−βa(0) = ln 2+1

2π2

π∫∫

0

ln[cosh2 2ν−(sinh 2ν)(cos θ1+cos θ2)]dθ1dθ2

(19)

Podemos calcular la energía interna por espín u

u ≡ U

N=

(∂βa

∂β

)

= J

(∂βa

∂ν

)

= −J coth 2ν

×

1 + (sinh2 2ν − 1)1

π2

π∫∫

0

dθ1dθ2

cosh2 2ν − (sinh 2ν)(cos θ1 + cos θ2)

(20)

53

Aquí la integral diverge logarítmicamente en el origen (θ1 = θ2 = 0)

cuando cosh2 2ν = 2 sinh 2ν (Ejercicio: demostrarlo). Hay unasingularidad, o cambio de fase, por lo tanto cuando

δ ≡ cosh2 2ν − 2 sinh 2ν = 0 (21)

es decir cuando ν = νc = J/kTc solución a la ecuación

sinh 2νc = 1 (22)

Se sigue de esto que la energía interna u es contínua en ν = νc yque en una vecindad de dicho valor viene dada por (Ejercicio):

u ∼ −J coth 2νc[1 +A(ν − νc) ln |ν − νc|] (23)

con A constante. De este resultado se sigue que el calor específico

en la vecindad del punto crítico C = ∂U∂T presenta una divergencia

logarítmica simétrica (C ∼ B ln |ν − νc|) en el punto crítico.

Uno puede determinar la energía interna u de forma exacta calcu-lando de forma exacta la integral obteniendo (Ejercicio)

u = −J coth 2ν

[

1 + (2 tanh2 2ν − 1)2

πK(k1)

]

, (24)

donde

k1 =2 sinh 2ν

cosh2 2ν(25)

y K(k1) es la integral completa elíptica de primera especie definidapor

K(k1) =

∫ π/2

0

(1− k21 sin2 θ)−1/2dθ. (26)

54

-2

-1

0

1 2 3 4

u(H

=0)

/J

kT/J

-2 0 1 2

El calor específico queda por tanto

C =2k

π(ν coth 2ν)2

2K(k1)− 2E(k1)− 2(1− tanh2 2ν)

[π

2+ (2 tanh2 2ν − 1)K(k1)

]

(27)donde E(k1) es la integral completa elíptica de sengunda especie

definida como

E(k1) =

∫ π/2

0

(1− k21 sin2 θ)1/2dθ (28)

En la vecindad de k1 = 1 se tiene

K(k1) ∼ ln[4(1− k21)−1/2] (29)

que da la divergencia logarítmica del calor específico.

55

0

1

2

1 2 3 4

c0 V /k

kT/J

En presencia de un campo magnético el modelo de Ising en di-mensión d = 2 no ha sido resuelto todavía. Esto es necesario para

obtener el comportamiento de la magnetización expontánea cercadel punto crítico que es

m0 = lımH→0+

∂a(H)

∂H (30)

donde lımH→0+ se hace después de hacer el límite termodinámico,

lo cual sugiere resolver el modelo de Ising en presencia de campoexterno no nulo. Métodos alternativos que no vamos a describir

sugieren un comportamiento

m0 =

[1− (sinh 2ν)−4] T < Tc

0 T ≥ Tc

(31)

pero nadie ha probado que esta expresión deriva de la definiciónde m0. La expresión (31) fue derivada primero por Onsager en la

década de los 40 pero nunca publicó su derivación. No fue hasta elaño 1952 cuando C.N. Yang publicó una primera derivación de tal

expresión trabajando con campos H débiles y haciendo después ellımH→0+ . Tal derivación y otras más recientes son extremadamente

complejas, que en vista de la simplicidad del resultado es a la vezsorprendente y frustrante.

56

0

0.5

1

1 2 3 4

m0=

m(H

=0)

kT/J

57

Teorías de Campo medio

Los modelos de magnetismo descritos anteriormente son, en gene-ral, difíciles de resolver de forma analítica exacta. El modelo de

Ising sólo está resuelto en 1 y 2 dimensiones. Cuando no podemostrabajar de forma analítica podemos hacer simulaciones numéricas

del sistema, o bien utilizar aproximaciones. Entre éstas, están lasteorías de campo medio y teoría de perturbaciones.

Dada la versatilidad del modelo de Ising ( válido para sistemas mag-

néticos, gas reticular, mezclas binarias, redes neuronales, sistemasbiológicos, etc) es interesante hacer un estudio previo de las dife-

rentes aproximaciones que existen en la literatura.

En esta lección vamos a ver un formalismo general para diferentesaproximaciones al modelo de Ising: Consideremos un sistema cons-

tituido por N espines en una red d-dimensional Λ, en contacto conun baño a temperatura T (producido por las vibraciones de la red).En un instante de tiempo t, tenemos una configuración de espines

s = si = ±1, ∈ Λ y de interacciones J = Ji,j ∈ ℜ, i, j ∈ Λ.Del conjunto de toda la red diferenciamos un cluster (ver figura),

ΛC , constituido por un conjunto ΛI de nudos que constituyen suinterior, y el conjunto de vecinos próximos de los mismos o frontera

ΛF , es decir:

c

c

ΛΛ

F

I

ΛC = ΛI

⋃

ΛF , ΛI

⋂

ΛF = ∅ΛI = i ∈ ΛC/si |i− j| = 1⇒ j ∈ ΛC. (32)

58

La aproximación de campo medio considera de forma exacta, en el

hamiltoniano, la interacción entre espines en el cluster. El resto delas interacciones se incluye en un campo medio en el hamiltoniano,

desconocido a priori, que se calcula de forma autoconsistente.

Existen diferentes grados u órdenes de aproximación, dependiendodel número de espines que constituyan el cluster. Así si card(ΛC) =

N tendremos el problema exacto. No existe una teoría general quenos dé, a cualquier orden n, la correspondiente aproximación de

campo medio. Vamos a ver estudiar los dos primeros órdenes.

A. Aproximación de orden 0 (Bragg-Willians).

Cuando el rango del “orden” se refiere a todo el sistema (orden delargo alcance). La hipótesis principal de la aproximación es que la

energía de un “átomo” en cualquier configuración del sistema estádeterminada por el grado promedio de orden en todo el sistema

(campo medio) mas que por las configuraciones fluctuantes de susátomos vecinos. En este caso las propiedades de la aproximaciónson insensibles a la estructura o dimensionalidad del sistema:

tanto mejor cuanto mayor sea la dimensionalidad (mayor nú-mero de vecinos q)

y mayor el rango de la interacción entre espines.

En ambos casos disminuye la importancia de las fluctuaciones. Esta

aproximación es equivalente a la teoría del campo molecular deCurie-Weiss.

Consideremos un sistema magético deN espines en los nudos de una

red Λ d-dimensional en presencia de un campo magnético externoH. La energía configuracional del sistema viene dada por,

H(s) = −1

2

∑

i,j∈ΛJi,jsisj −H

∑

i∈Λsi. (33)

Vamos a distinguir si la interacción Ji,j es a vecinos próximos o no.

59

Interacción a vecinos próximos:

Suponemos que, dado un espín en la posición i, se tiene para lainteracción de intercambio Ji,j = J, |i − j| = 1. La hipótesis de

campo medio consiste en suponer

H(s) = −∑

i∈ΛHisi (34)

conHi = H+

∑

|i−j|=1

Ji,jsj ≡ H + Jqm, (35)

q es el número de coordinación de la red y m el campo medio

autoconsistente definido

m =

⟨

1

q

∑

|i−j|=1

sj

⟩

(36)

que representa el efecto de los restantes espines. Vemos que Hi =

H∀i (no depende de i). La función de partición es

Z ≡∑

s

exp−βH(s) = 2Ncosh(βH)N . (37)

Podemos ahora calcular m definido por (36), imponiendo que seaigual a la magnetización promedio sobre toda la red, esto es,

m = 〈 1

N

∑

i∈Λsi〉 =

1

βN

∂

∂H lnZ = tanh(βH). (38)

Si el campo magético externo es H = 0, la ecuación anterior queda,

m0 = tanh(βJqm0), (39)

m0 es el campo medio para campo externo nulo. La ecuación (39)se resuelve numéricamente, obteniendo la solución trivial m0 = 0,

y una solución no trivial m0 6= 0 para T < Tc =Jqk

. Además sim0 6= 0 es solución, también lo es −m0. El sistema es por tanto

ferromagnético por debajo de Tc. A T = 0, tenemos totalmenteordenado el sistema. Si subimos la temperatura, las vibraciones en

la red hacen que los espines empiecen a orientarse al azar, de formaque m0 → 0 cuanto T → Tc. Para T > Tc, m0 = 0, es decir, el

sistema se comporta como un material paramagnético =⇒ tenemosun cambio de fase.

60

Interacción de largo alcance:

Consideramos ahora Ji,j de largo alcance: dos espines situados enposiciones lejanas sienten la interacción de intercambio. Sea Ji,j =JN ∀i, j ∈ Λ, siendo J intensivo (⇒ que H(s)/N no diverje en el

límite termodinámico N → ∞) . Si llamamos x(s) = 1N

∑

i∈Λsi, el

hamiltoniano queda

H(s) =J

2− JN

2x(s)2 −HNx(s). (40)

La función de partición es

Z =∑

s

e−βH(s) = e−βJ

2∑

s

expβJN

2 x(s)2 + βHNx(s)

.

(41)Utilizando la transformación gaussiana

ea2

=1√2π

∫ +∞

−∞dy e−y

2

2 +√

2ay, (42)

con

a =

(βJN

2

) 12

x(s), (43)

la función de partición queda

Z = eβJ2

1√2π

∫ +∞

−∞dy e

−y2

2∑

s

exp(βJN)12x(s)y + βHNx(s).

(44)

Haciendo el cambio y = (βJN)12m, y realizando la suma sobre

configuraciones de espines se tiene

Z = 2Ne−βJ

2 (βJN

2π)12∫ +∞

−∞dm e−Nf(m), (45)

con

f(m) =βJm2

2− lncosh(βJm+ βH). (46)

En el límite termodinámico, el único término que va a contribuir a

Z es el término dominante en la integral, que va a ser el punto desilla, determinado por la ecuación

∂f(m)

∂m= 0, (47)

61

que da como resultado:

m = tanh(βJm+ βH). (48)

Para campo magnético nulo (H = 0), la magnetización espontánea

esm0 = tanh(βJm0). (49)

Esta ecuación tiene solución no trivial para T < Tc = Jk

, de forma

que tenemos, al igual que para el caso de vecinos próximos, uncambio de fase ferromagnético-paramagnético.

B. Aproximación de orden 1

Esta aproximación se conoce también con el nombre de aproxima-ción de Bethe-Peierls. Trata con más precisión la interacción de un

espín dado con sus vecinos próximos. Más concretamente considerade forma exacta la interacción de un espín si0 con sus q vecinos

próximos, y el resto de las interacciones en la red a través de uncampo medio, que de nuevo obtenemos de forma autoconsistente.

Vamos a considerar de nuevo interacciones de intercambio sólo avecinos próximos. Llamamos ΛF al conjunto de espines que son ve-

cinos próximos a si0 y que constituyen su frontera. El hamiltonianode Ising queda de la forma

H(s) = −1

2

∑

|i−j|=1

Ji,jsisj −H∑

i∈Λsi ≈ HBP (sc)

HBP (sc) = −Jsi0

∑

j∈ΛF

sj −Hsi0 − (H+ h)∑

j∈ΛF

sj, (50)

donde sc = si0, sj, j ∈ ΛF. La interacción entre espines que no

pertenecen al cluster formado por si0 y ΛF , está incluida en el cam-po medio h (autoconsistente).

La función de partición asociada al hamiltoniano HBP (sc), vienedada por

ZBP =∑

sc

e−βHBP (sc) (51)

que, tras un poco de álgebra, queda de la forma

ZBP = Z+ + Z−

Z± = e±βH [2 coshβ(H+ h± J)]q . (52)

62

Para determinar el campo h, imponemos que el promedio del espín

ha de ser igual en el centro y la frontera del cluster, es decir,

〈si0〉 = 〈1q

∑

j∈ΛF

sj〉. (53)

Por definición,

〈si0〉 ≡1

ZBP

∑

sc

si0e−βHBP (sc) =

Z+ − Z−ZBP

(54)

y, por otra parte,

〈1q

∑

j∈ΛF

sj〉 =1

βq

∂

∂hlnZBP

=1

ZBP[Z+ tanhβ(H+ h+ J)

+Z− tanhβ(H+ h− J)], (55)

que queda como

e2βh =

[coshβ(H+ h+ J)coshβ(H+ h− J)

]q − 1. (56)

ecuación que se resuelve numéricamente, obteniendo h en función

T . La magnetización m se puede poner en función del campo medioh, quedando

m = 〈si0〉 = 〈1q

∑

j∈ΛF

sj〉

=sinh2β(H+ h)

cosh2β(H+ h)+ e−2βJ(57)

con h solución a la ecuación (56).

Estamos interesados en ver si, con esta aproximación, el sistema

presenta magnetización espontánea m0. La ecuación de autoconsis-tencia para H = 0 queda de la forma

βh0 =q − 1

2ln

cosh(βh0 + βJ)

cosh(βh0 − βJ)

. (58)

63

Esta ecuación tiene solución no trivial h0 y por tanto m0 (dada por

Eq. 57) para T < Tc, con

Tc =2J

kB ln(

qq − 2

). (59)

Esto es, se presenta el cambio de fase ferromagnético-paramagnético,

al igual que en Bragg-Willians, pero mejora sensiblemente el valorde la temperatura crítica (se aproxima más al resultado exacto de

Onsager, por ejemplo), y describe mejor las correlaciones en el sis-tema. (Ver figura 1)

Aproximaciones sucesivas al modelo de Ising consistirían en consi-derar clusters, cada vez con más espines, cuya interacción a vecinos

próximos sería tratada de forma exacta, y el resto mediante uncampos medios autoconsistentes.

64

-2

-1

0

0 1 2 3 4

u(H

=0)

/J

kT/J

OnsagerBethe-Peierls

Bragg-Willians

-2 0 1 2

0

0.5

1

0 1 2 3 4

m0

kT/J

OnsagerBethe-Peierls

Bragg-Willians

0

1

2

0 1 2 3 4

c0 V /k

kT/J

OnsagerBethe-Peierls

Bragg-Willians

Figura 1: Modelo de Ising en d = 2. Solución exacta (—–). Aproximación deBethe-Peierls. (−−−−). Aproximación de Bragg-Willians (− · −·)

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