Tema 13 Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cadavalor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Maneras de definir una función:

1.– Por una tabla 2.– Por su gráfica 3.– Por una fórmula

3f (x) 5x 3= −

x f(x)

–2 4

–1 1

0 0

1 1

1,5 2,25

… …

Cardiograma

1. Concepto de función

MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 13. FUNCIONES Javier Fernández

D(f) = [–1, 1]

f(D) =

[0, 1]y = f (x) =

2. Elementos determinantes de una función


Variableindependiente

Regla ofórmula

Variable dependiente

x f f(x)D(f) = [–1, 1] f(x) = f(D) = f([–1, 1]) = [0, 1]

x + 1 si x ≤ 0 x – 1 si x >0

X

Y

D = R

1

-1

-1

1

3. Funciones definidas a trozos


f x= {x1 si x≤0x−1 si x0

Para encontrar los puntos de corte de una función con el eje OX, basta obtenerlos puntos de la gráfica para los que la segunda coordenada es 0.

Los puntos de corte con el eje OX de la función: 2

1 xy

x

−= se obtienen así:

2

1 xy 0 0 x 1

x

−= ⇒ = ⇒ =

La función corta al eje OX en el punto (1, 0)

4. Puntos de cortes con el eje OX


• Para encontrar el punto de corte de una función con el eje OY, basta obtener,• si existe, el punto de la gráfica para el que la primera coordenada es 0. • El 0 ha de ser del dominio para que dicho punto exista, y sus coordenadas• serán (0, f(0)).

Los puntos de corte con el eje OY de la función:2

2

x 1y

x 1

−=+

se obtienen así:2

2

0 1x 0 f (0) 1

0 1

−= ⇒ = = −+

La función corta al eje OY en el punto (0, –1)

• (0, –1)

5. Puntos de cortes con el eje OY


El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de lafunción al pasar de un punto a otro. Representaremos la tasa de variación por tv.

Si h es el incremento de la variable, la tasa de variación en x será, pues:tv = f(x + h) – f(x)

6. Tasa de variación


• Una función es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del• intervalo x y x' se cumple que si x < x' ⇒ f(x) < f(x').• Si una función es creciente en un intervalo, su tasa de variación en el intervalo• es mayor o igual que cero.

Función creciente

7. Funciones crecientes


• Una función es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera• del intervalo x y x' se cumple que si x < x' ⇒ f(x) > f(x').• Si una función es decreciente en un intervalo, su tasa de variación en el• intervalo es menor o igual que cero.

Función decreciente

8. Funciones decrecientes


Una función es periódica de período T ≠ 0 si se cumple que:f(x + T) = f(x)

siempre que x y x + T pertenezcan a su dominio.

x

f(x) • •

x + T

f(x + T) =

Tperiodo

9. Funciones periódicas


• Una función es par cuando su gráfica presenta simetría respecto al eje de• ordenadas.• Si una función es par: f(– x) = f(x), ∀x ∈ D (siendo D el dominio de la• función)

x–x

•P(x, f(x))P(–x, f(–x)) •

x = 0

f(– x) = f(x)

10. Simetrías respecto al eje OY


• Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría respecto al origen• de coordenadas.• Si una función es impar: f(– x) = – f(x), ∀x ∈ D (siendo D el dominio de• la función).

•P(x, f(x))

P(–x, f(–x)) •

x

f(x)

f(–x) = – f(x)

– x

11. Simetría respecto al origen de coordenadas


• Dadas dos funciones f y g, se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Diferencia: (f – g) (x) = f(x) – g(x).

x

f(x) f(x) + g(x)

g(x)

12. Suma y diferencia de dos funciones


• Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas•funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x).

• Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas•funciones y g(x) ≠ 0 se define:• Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x).

13. Producto y cociente de funciones


•La función h(x) = 22x es la composición de dos funciones:

• g(x) = 2x = t • f(t) = 2t

x 2x = t 2t = 22x

R Rg

Rf

x 22x

h(x) = f(g(x)) = f(2x) = 22x

g(x) = 2x

f(t) = 2t

Salida 2xEntrada x

Entrada t= 2xSalida2t = 22x

h(x) = f(g(x))

La composición de una función f con otra función g es una función denotadapor fog, definida del siguiente modo: (fog)(x) = f[g(x)]

14. Composición de funciones


EntradaFunción directa

Salida

f(x) = x2

SalidaFunción recíproca Entrada

Dos funciones son recíprocas si su composición es la función identidad.La función recíproca de f se denota por f–1.

1(x) xf − =

15. Funciones recíprocas


Las gráficas de dos funciones recíprocas son simétricas respectoa la bisectriz del primer cuadrante.

16. Gráficas de funciones recíprocas


x

f(x) = x3

0 1 2 3 4 5 …

0 1 8 27 64 125 …

y = g(x) =

x

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