TEMA 1_Forma Canónica y Estándar
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F ORMA E STANDAR Y F ORMA C ANONICA D E U N M ODELO D E P ROGRAMACION L INEAL .- 1. FORMA CANÓNICA: Las características de esta forma son: 1. To das las va riabl es de dec isión so n positi vas; 2. To das la s rest ricc iones s on del t ipo “ ≤ ”; 3. La func ión obje tivo es de “ a!imi"ar” # es decir: To do proble ma de pro$ra mac ión lin eal puede lle var se a la for ma can óni ca uti li" ando al$una s de las si$uie nte s tra nsf ormaci one s elementales: 1. Minimizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn es equivalente a: a!imi"ar: %& ' ()1*1 ( )2*2 ( . . . ( )n*n (y viceversa) 2. +na desi$ualdad del tipo “ ≥ “ puede cambiarse a una desi$ualda d del tipo “≤ “ multiplicando ambos lados de la desi$ualdad por ,(1-: a1X1 + a2X2 b es equivalente a: (a1*1 ( a2*2 ≤ (b 3. a1X1 + a2X2 = b es equivalente a: a1*1 a2*2 ≤ b (a1*1 ( a2*2 ≤ (b 4. a1X1 + a2X2 b es equivalente a: a1*1 a2*2 ≤ b (a1*1 ( a2*2 ≤ b 5. /a riabl e irre stric ta en si$no: es a0uel la 0ue puede ser positiva# ne$ativa o cero. * es irrestricta en si$no# por lo tanto: X = X 1 – X 2 donde * 1 * 2 : son variables no ne$ativas )uando X 1 > X 2 X > 0 (!"i#i$a% X 1 & X 2 X & 0 (n'a#i$a% X 1 = X 2 X = 0 EJEMPLO: Escribir en for! c!n"nic! e# si$%ien&e o'e#o 'e (ro$r!!ci"n #ine!#: inimi"ar: *& ' 3*1 ( 3*2 *3 ujeto a: *1 *2 3*3 ≤ 45 *1 6*2 ( *3 ≥ 75 7*1 3*2 ' 25 7*2 8*3 ≤ 155 *1 # *2 ≥ 5# *3: 9rrestricta en si$no $ina 1 de 3 Maximizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn b2 . . . . . . . . . . . . am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn bm X1 , X2 , . . . , Xn 0 (a1X1 + a2X2 ≥ b) X ≤ b = X ≤ b X ≥ -b ⇒ -X ≤ b
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Forma Estandar Y Forma Canonica De Un Modelo De Programacion Lineal.-
1. Forma Cannica: Las caractersticas de esta forma son:1. Todas las variables de decisin son positivas;2. Todas las restricciones son del tipo ;3. La funcin objetivo es de Maximizar, es decir:
Maximizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn b2. . .. . . . . . . . .am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn bm X1 , X2 , . . . , Xn 0Todo problema de programacin lineal puede llevarse a la forma cannica utilizando algunas de las siguientes transformaciones elementales:1. Minimizar: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn es equivalente a: Maximizar: GO = -C1X1 - C2X2 - . . . - CnXn (y viceversa)
2. Una desigualdad del tipo puede cambiarse a una desigualdad del tipo multiplicando ambos lados de la desigualdad por (-1):a1X1 + a2X2 b es equivalente a: -a1X1 - a2X2 -b
3. a1X1 + a2X2 = b es equivalente a:
(a1X1 + a2X2 b) a1X1 + a2X2 b -a1X1 - a2X2 -b
4. a1X1 + a2X2 b es equivalente a:
X b = X b X -b -X b a1X1 + a2X2 b-a1X1 - a2X2 b
5. Variable irrestricta en signo: es aquella que puede ser positiva, negativa o cero. X es irrestricta en signo, por lo tanto: X = X1 X2donde X1 y X2 : son variables no negativasCuando X1 > X2 X > 0 (positiva)X1 < X2 X < 0 (negativa)X1 = X2 X = 0
EJEMPLO: Escribir en forma cannica el siguiente modelo de programacin lineal:Minimizar: XO = 3X1 - 3X2 + 7X3 Sujeto a: X1+X2+3X340X1+9X2-7X3505X1+3X2=205X2+ 8X3100 X1 , X2 0, X3: Irrestricta en signo2. Forma Estndar: Las caractersticas de esta forma son:1. Todas las variables de decisin son positivas;2. Todas las restricciones son del tipo = (ecuaciones);3. Los elementos del lado derecho de cada ecuacin son no negativos.
Las desigualdades en las restricciones pueden cambiarse a la forma = introduciendo nuevas variables en el lado izquierdo de estas restricciones.
1. Si se tiene: a1X1 + a2X2 b, entonces, esta restriccin en forma estndar es: a1X1 + a2X2 E1 = b, donde E1 es la variable de excedencia no negativa (lo que sobra para llegar a la igualdad).
2. Max. o Min.: XO = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn Sujeto a: a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn + S1 = b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn + S2 = b2 . . .. . . . . . . . . . . . am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn +Sm = bm X1 , X2 , . . . , Xn, S1, S2,, Sm 0S1, S2, , Sm: variables de holgura o excedencia (H o E)Si se tiene: a1X1 + a2X2 c, entonces, esta restriccin en forma estndar es: a1X1 + a2X2 + H1 = c, donde H1 es la variable de holgura no negativa (lo que falta para llegar a la igualdad).
3. El resto de las transformaciones aplicadas para el modelo cannico son igualmente vlidas para este modelo.
EJEMPLO: Escribir en forma estndar el modelo de programacin lineal anterior:Minimizar: XO = 3X1 - 3X2 + 7X3 Sujeto a:X1+X2+3X340 X1+9X2-7X3505X1+3X2=205X2+8X3100 X1 , X2 0, X3: Irrestricta en signoSolucin.-
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