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Fundamentos de Geometría

Computacional I.T.I. Gestión

Localización en subdivisiones

Tema 2

• Polígono convexo

Tema 2 Localización



Planteamiento

Casos simples • Polígono simple

Método de la banda

Introducción

• Polígono estrellado

Introducción





Planteamiento

Casos simples • Polígono simple

Método de la banda

Introducción


Elija su pais de destino:

Introducción

Introducción




Planteamiento

Casos simples


• Polígono simple

Método de la banda


Planteamiento del problema Dado un PSLG y un punto adicional, ¿en qué región se encuentra el punto?

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda


Planteamiento del problema Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de no dejar de observarlos una vez siquiera: Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada.

René Descartes

(1596-1650)

Discurso del método

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda


Dada una subdivisión del plano y un punto adicional, ¿en qué región se encuentra el punto?

Planteamiento del problema

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda


Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, ¿está p dentro del polígono P?

Casos simples: Polígono simple

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda


Casos simples: Polígono simple Dada un polígono simple cerrado P y un punto p adicional, ¿está p dentro del polígono P?

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda



p está dentro del polígono P

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda



Teorema: Toda línea poligonal cerrada C divide el plano en dos regiones, una acotada y la otra no. Además, se puede determinar si un punto p está en la región acotada contando el número de veces que cualquier semirrecta que comienza en p atraviesa a C; p estará en dicha región si y sólo si dicho número es impar.

Introducción




Planteamiento

Casos simples



Método de la banda


Algoritmo INCLUSIÓN-POLÍGONO l1,l2,…ln son las aristas de P; z es un nuevo punto; r es el rayo horizontal desde z a +∞; begin L:=0; for i:=1 until n do { if (li no es horizontal) then if (r intersecta a li en un punto que no sea su extremo inferior) then L:=L+1; } if (L es impar) then z es interior a P else z es exterior a P end

Casos simples: Polígono simple

Corolario: Es posible determinar si un punto está en el interior de una región acotada por una línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n).

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda



• Polígono simple q

Casos simples: Polígono convexo

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

Problema: Ver si un punto está en el interior de un polígono convexo.

En algunos tipos de polígonos podemos bajar del tiempo O(n) con un cierto preprocesamiento.

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda




Casos simples: Polígono convexo Alg. INCL.POL.CONVEXO

(punto medio entre dos vértices no consecutivos)

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

1) Obtener un punto q interior a P

q

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda






2) El plano queda dividido en cuñas (ordenadas angular-mente, p.e., en sentido positivo p1,p2,…,pn)

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

q


Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda







3) Determinar en qué cuña (pipi+1) está z

(si zqpi < 0 y zqpi+1 > 0)

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

q


Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda









(pipi+1z > 0)

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

q


4) z es interior a P si, y sólo si, está a la izquierda de pipi+1.

z es interior a P

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda









(pipi+1z > 0)

p1

p5

p4

p3 p2

p6

p7

z

q



O(1)

O(log n)

O(1)

O(n)

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda









(pipi+1z > 0)



Teorema: Es posible determinar si un punto está en el interior de un poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n) de preprocesamiento.

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda




Casos simples: Polígono estrellado Alg. INCL.POL.ESTRELLADO




(pipi+1z > 0)

1) Obtener un punto q del núcleo de P


q

p1

p8

p7

p6

p5

p3

p2

p4

Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda




Casos simples: Polígono estrellado

p1

p8

p7

p6

p5

p2

p4

p3

Alg. INCL.POL.ESTRELLADO

(Intersección de semiplanos)




(pipi+1z > 0)



Introducción




Planteamiento

Casos simples

Método de la banda




Casos simples: Polígono estrellado Alg. INCL.POL.ESTRELLADO




(pipi+1z > 0)



(Intersección de semiplanos)

O(n)

O(log n)

O(1)

O(n)

La intersección de n semiplanos puede calcularse en tiempo óptimo O(n log n)

El núcleo de un polígono de n vértices puede calcularse en tiempo óptimo O(n)

(Lee-Preparata 1978)

Teorema: Es posible determinar si un punto está en el interior de un poligono estrellado en tiempo O(log n), con O(n) de preprocesamiento.

Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda

Localización: Método de las bandas Dada una subdivisión del plano (pslg) y un punto adicional, ¿en qué región se encuentra el punto?

º

1) Ordenar los puntos por su ordenada.

2) Trazar n rectas hori-zontales (dando lugar a n+1 bandas)

3) Determinar en qué banda horizontal está z.

4) Ordenar, de izquierda a derecha, los segmentos que determinan cada región dentro de la banda

5) Determinar en cuál de estas regiones está z.

Método de las bandas

p1

p2

p3

p4

p5 p6

p7

p8

p9

p10

Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda

Localización: Método de las bandas



3) Ordenar los segmentos en todas las bandas.

4) Localizar, por búsqueda binaria, la banda en la que está z

5) Localizar, por búsqueda binaria, en qué región se encuentra z, dentro de la banda.


O(n log n)

O(n)

O(n2 log n)

Preproce-samiento

O(n2 log n)

O(log n)

O(log n)

O(log n)

O(n2)

Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda







O(n2)

pi

Pi+1 l1 l2

l3

l4

l5 l6

l7

l8 l9 l10

l11

Bi = { l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 , l7 , l8 }

Bi+1 = { l1 , l2 , l3 , l4 , l9 , l10 , l11 , l7 , l8 }


Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda







Teorema: Encontrar un punto en una subdivisión del plano puede hacerse en tiempo O(log n), con O(n2) de preprocesamiento y O(n2) de carga de datos.


Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda

Localización: Otros métodos

Método de la cadena:

Carga de datos: O(n)

Preprocesamiento: O(n log n)

Localización: O(log2n)

Mapas trapezoidales:

Carga de datos: O(n)

Preprocesamiento: O(n log n)

Localización: O(log n)

Introducción




Planteamiento



Casos simples


Método de la banda

Ejercicios

1.- Dar un ejemplo de un pslg en el que el método de las bandas requiera un preprocesamiento O(n2). 2.-Dar un ejemplo en el que el método de las bandas requiera un preprocesamiento O(n). 3.-Diseñar un algoritmo que resuelva el siguiente problema: Dada una colección P de n puntos en el plano, encontrar el mayor valor l>0 tal que si transformamos cada punto (x,y) de P en el punto (x+ly,y), el orden de los puntos de P no cambia en la dirección del eje X.

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