TEMA 2. Cálculo integral
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Matemática aplicada Página 1 de 12 1 Cálculo integral Matemáticas Farmacia TEMA 2. Cálculo integral 2.1. Definición de primitiva Dada una función de dominio (a,b), decimos que P es primitiva de f en (a,b), si y sólo si P’(x)=f(x) en ese intervalo. Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce como integración o antiderivación. Ejemplo: 2 ) ( x x f , una primitiva será 3 / ) ( 3 x x P . Atentos, existen infinitas funciones primitivas de la forma C x 3 / 3 , siendo C una constante cualquiera. La integración o primitivización empezó como dos métodos aparentemente sin relación uno con el otro para calcular el área debajo de una curva y como operación inversa a la derivación. Fueron Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que se descubrió que ambas operaciones son equivalentes. Siendo así, llamando integración definida al cálculo de un área, e integración indefinida o primitivización a la operación inversa de la derivada. ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x F x f x f x f x f x F ando primitiviz ando primitiviz derivando derivando dx x f x F dx x f y dx x f dy x f dx dy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C x F dx x f ) ( ) (
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1 Cálculo integral
Matemáticas Farmacia
TEMA 2. Cálculo integral
2.1. Definición de primitiva
Dada una función de dominio (a,b), decimos que P es primitiva de f en (a,b), si y sólo
si P’(x)=f(x) en ese intervalo. Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso
inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce como integración o antiderivación.
Ejemplo: 2)( xxf , una primitiva será 3/)( 3xxP . Atentos, existen infinitas
funciones primitivas de la forma Cx 3/3, siendo C una constante cualquiera.
La integración o primitivización empezó como dos métodos aparentemente sin relación
uno con el otro para calcular el área debajo de una curva y como operación inversa a
la derivación.
Fueron Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al
teorema fundamental del cálculo, que se descubrió que ambas operaciones son
equivalentes. Siendo así, llamando integración definida al cálculo de un área, e
integración indefinida o primitivización a la operación inversa de la derivada.
)()()('
)(')()(
xFxfxf
xfxfxF
andoprimitivizandoprimitiviz
derivandoderivando
dxxfxFdxxfydxxfdyxfdx
dy)()()()()(
CxFdxxf )()(
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2.2. Operaciones básicas
Nunca separaremos un producto o una división ya que los resultados serian totalmente
erróneos.
2.3. Métodos de integración
1. Cambio de variable
2. Integración por partes
3. Integrales racionales
4. Integrales trigonométricas
2.3.1 Cambio de variable
Se basa en la regla de la cadena de la derivación de funciones compuestas, es decir,
tendremos que identificar una función compuesta y la derivada de la composición para
poder aplicar n cambio de variable y obtener una función de integral directa o
conocida.
Recordatorio: una vez integrada la función deberemos deshacer el cambio para
obtener la expresión final ya integrada.
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
escalarunksiendodxxfkdxxfk
)()()()(
)()()()(
)(·)(·
dtt
dtdxx
txdxxx
)('
)()(')·(
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Ejemplo:
2.3.2. Integración por partes
Se basa en la derivación de un producto de funciones, el método nos permitirá poder
integrar una expresión compuesta por dos funciones sin integrar una de las dos.
Un día Vi Una Vaca MENOS fea Vestida De Uniforme
La clave radica en escoger adecuadamente qué función es la sencilla de integrar y
cual es la que nos interesa derivar. Para escoger esta nos fijaremos en dos factores,
primero que no sepamos integrarla o segundo que al derivarla desaparezca.
Ejemplo:
CxCtdttdtdx
x
tx
dxxx
cambiodeshacer
))ln(ln()ln(1
1
)ln(
)·ln(
1
dxxfxgxgxfdxxgxfvduuvudvvduudvuv
dvvdxduudxyvuuvuvxgvyxfu
)(')()()()(')(
,'')'()()(
duvvudvu
Ceexeexdxex xxxxx
·1···
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Integrales cíclicas
Son unas integrales acotadas a unas expresiones muy particulares que resolveremos
por partes, aplicando tantas veces como sea necesario hasta encontrar la expresión
inicial y aislarla para obtener el resultado final.
Ejemplo:
2.3.3. Integrales racionales
Este tipo de integrales son inconfundibles, ya que integraremos divisiones de
polinomios
Diferenciaremos siempre según dos factores, el tipo de raíces del denominador y
quien de entre el numerador y el denominador tiene mayor grado.
Caso 1 El grado del numerador es superior o igual al del denominador
Lo que haremos será dividir ambos polinomios para obtener expresiones integrables
de forma directa o más sencilla:
Caso 2 El grado del numerador es inferior al del denominador
En este caso lo que observaremos serán el tipo de raíces del denominador, si se trata
de raíces complejas o de raíces reales.
2
)cos()sin()sin()cos()sin()sin(2
)sin()cos(
)sin()cos()sin()·cos()sin()·sin(
xexedxxexexedxxe
xexe
dxxexexedxxexedxxe
xxxxxx
xx
xxxxxx
)()(
)(
)()()()(
)(
)(
xCxR
dxxQ
xRdxxCxQxPdx
xQ
xP
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5 Cálculo integral
Dependiendo del tipo de raíces atacaremos la integral por un método u otro, aunque
como veremos la integral se puede ir transformando y tendremos que aplicar mas de
uno para resolver una sola integral.
Raíces complejas
Cuando en el numerador tengamos una constante y en el denominador unas raíces
complejas conjugadas aplicaremos las siguientes integrales directas.
Raíces complejas
Cuando en el numerador tengamos un grado inferior al del denominador lo que
intentaremos será obtener la derivada del denominador en el numerador para aplicar
una integral directa.
Este tipo de integral no es exclusivo para denominadores con raíces complejas,
también lo podremos encontrar en denominadores con raíces reales.
Ckxal
kxal
la
Al
Cl
kxa
la
Al
lkxacbxaxcomplejasraicesdxcbxax
A
)(
)(ln
20
)(arctan
·0
)( 22
2
1.2
1)
2()ln(
2
)2
()2(2
2
2
2
2
tipo
cbxaxa
nbncbxax
a
mdx
cbxax
a
nbnbax
a
m
complejasraicesdxcbxax
nmx
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Raíces reales y distintas
Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:
Haremos la siguiente descomposición:
Donde nAAA ,...,, 21 son constantes reales. Vemos que una vez hecha la
descomposición, la integral es inmediata.
Raíces reales alguna con multiplicidad distinta de uno
Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haberlas repetidas, por cada factor lineal
aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este factor, por
ejemplo para el factor kr
kax )( habrá kr fracciones parciales.
naxaxaxxQ ·...··)( 21
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
...
)(
)(
3
3
2
2
1
1
CaxAdxax
Aii
i
i ln
)(
k
k
r
k
r
kk ax
A
ax
A
ax
A
...
2
21
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Donde nAAA ,...,, 21 son constantes reales. De nuevo como en el caso anterior la
integración de las fracciones parciales es sencilla, para kr > 1, se resuelven por un
sencillo cambio de variable.
Raíces complejas combinadas con reales
No pudiendo obtener la derivada del denominador en el numerador lo que haremos
será descomponer en fracciones parciales de la siguiente forma:
Las raíces reales como ya hemos visto en los apartados 2.3 y 2.4 mientras que el
factor cuadrático lo haremos de la siguiente manera:
cbxax
BAx
2 Donde A y B son constantes reales.
La integral que se obtenga se resolverá como ya hemos visto en los apartados
anteriores, dependiendo siempre del valor de las constantes A y B.
Raíces complejas con multiplicidad superior a uno
Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos
de la forma ncbxax )( 2 sin raíces reales, a cada uno de estos factores le
corresponderán n fracciones parciales de la forma
Obteniendo integrales que se resolverán por alguno de los métodos ya estudiados.
n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
)(...
)()( 222
22
2
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2.3.4. Integrales trigonométricas
Productos seno y coseno dxnxmxsen ))·cos((
Utilizaremos:
Potencias de seno y coseno dxxxsen mn cos
o m impar positivo
o m impar positivo
o m y n par positivo
2
)cos()cos(coscos
2
)cos()cos(sinsin
2
)sin()sin(cossin
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
1cossinsin 22 xxrecordaryxucambio
1cossincos 22 xxrecordaryxucambio
2
)2sin(cossin;
2
)2cos(1cos;
2
)2cos(1sin 22 x
xxx
xx
x
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Potencias de secantes y tangentes xdxx nm sectan
o n par positivo
o m impar positiva
o m par positivo y n impar positivo
Sustitución trigonométrica
Interesante si aparecen los siguientes radicales:
1tansectan 22 xxrecordaryxu
1sectansec 22 xxrecordaryxu
1sectansec 22 xxrecordaryantedepotenciasareducir
taxcambioax
taxcambioax
taxcambioxa
tan
cos
sin
22
22
22
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2.4. Integral definida
Dada una función )(xfy , la superficie S, comprendida entre la función y el eje x, y
acotada por a y b, viene determinada por la integral definida:
Si sabemos de antemano calculamos:
A esta relación entre la integral definida y la superficie bajo la función se le denomina
Teorema fundamental del cálculo integral. También se le llama regla de Barrow, en
honor a Isaac Barrow.
2.4.1. Propiedades
Si 0f entonces 0 dxxfb
a
Si )()( xgxf para todo x de (a,b) entonces b
a
b
adxxgdxxf )()(
b
adxxfS )(
)()()()( aFbFSCxFdxxf
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2.5. Teoremas
Teorema del valor medio
Si Mxfm )( para todo x contenido entre (a,b) entonces
b
aabMdxxfabm )()()( y
b
aabdxxf )()( . Además el valor
b
adxxf
ab)(
1 representa el valor medio de la función en el intervalo [a,b].
Teorema fundamental
Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por
x
adttfxF )()( con ba, fijo. El teorema dice que si f es continua en bac , ,
entonces F es derivale en c y F’(x)=f(c).
2.6. Integral impropia
Las integrales impropias son integrales del tipo.
Si este límite existe, es decir su solución es un número real, diremos que la integral
converge, por el contrario si no es así diremos que la integral diverge.
t
aa tdxxfdxxf )(lim)(
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Ejemplo:
Puede ser que siendo a un punto conflictivo de la función primitiva de f(x) también
tengamos que trabajarlo como un infinito y calcular su imagen como un límite. Un claro
ejemplo seria el caso que fuera un punto que anulara el denominador de F(x).
Otra consideración importante seria el siguiente caso:
Sea f continua en [a,b) verificando que no está definida en b, o no es continua en b,
o no esta acotada en b. Se define la integral impropia:
2.7. Integración numérica
Trapecios
En análisis numérico la regla del trapecio es un método de integración, es decir, un
método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se
basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal, que pasa a
través de los puntos a y b. La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la
gráfica de la función lineal.
)()(lim)( aFxFdxxfa t
)(lim)(lim)( xFxFdxxftt
b
a
b
abtdxxfdxxf )(lim)(
