Tema 2. Combinatoria

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Tema 2: Combinatoria. Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 17 ÍNDICE 1. COMBINATORIA 3 1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3 1.2. Utilidad ....................................................................................................................................................... 3 1.3. Origen.......................................................................................................................................................... 3 1.4. Principios básicos en combinatoria ..................................................................................................... 3 1.4.1. Introducción ................................................................................................................................................ 3 1.4.2. Principio de la suma .................................................................................................................................... 3 1.4.3. Principio del producto................................................................................................................................ 3 2. EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 4 2.1. Definición ................................................................................................................................................... 4 2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 4 2.3. Uso de la calculadora científica.......................................................................................................... 5 2.4. Operaciones: división ............................................................................................................................. 5 2.5. Otra definición ........................................................................................................................................ 5 3. NÚMEROS COMBINATORIOS 6 3.1. Definición ................................................................................................................................................... 6 3.2. Uso de la calculadora científica.......................................................................................................... 7 3.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 7 4. BINOMIO DE NEWTON 8 4.1. Definición ................................................................................................................................................... 8 4.2. Aplicaciones .............................................................................................................................................. 8 5. MÉTODOS DE CONTEO 11 5.1. Variaciones sin repetición ....................................................................................................................11 5.1.1. Definición .................................................................................................................................................... 11 5.1.2. Ejemplos ..................................................................................................................................................... 12 5.2. Variaciones con repetición ................................................................................................................. 13 5.2.1. Definición ................................................................................................................................................... 13 5.2.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 13 5.3. Permutaciones sin repetición ............................................................................................................. 14 5.3.1. Definición ................................................................................................................................................... 14 5.3.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 15

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Tema 2: Combinatoria.

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ÍNDICE

1. COMBINATORIA 3

1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3

1.2. Utilidad ....................................................................................................................................................... 3

1.3. Origen .......................................................................................................................................................... 3

1.4. Principios básicos en combinatoria ..................................................................................................... 3

1.4.1. Introducción ................................................................................................................................................ 3

1.4.2. Principio de la suma .................................................................................................................................... 3

1.4.3. Principio del producto ................................................................................................................................ 3

2. EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 4

2.1. Definición ................................................................................................................................................... 4

2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 4

2.3. Uso de la calculadora científica .......................................................................................................... 5

2.4. Operaciones: división ............................................................................................................................. 5

2.5. Otra definición ........................................................................................................................................ 5

3. NÚMEROS COMBINATORIOS 6

3.1. Definición ................................................................................................................................................... 6

3.2. Uso de la calculadora científica .......................................................................................................... 7

3.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 7

4. BINOMIO DE NEWTON 8

4.1. Definición ................................................................................................................................................... 8

4.2. Aplicaciones .............................................................................................................................................. 8

5. MÉTODOS DE CONTEO 11

5.1. Variaciones sin repetición .................................................................................................................... 11

5.1.1. Definición .................................................................................................................................................... 11

5.1.2. Ejemplos ..................................................................................................................................................... 12

5.2. Variaciones con repetición ................................................................................................................. 13

5.2.1. Definición ................................................................................................................................................... 13

5.2.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 13

5.3. Permutaciones sin repetición ............................................................................................................. 14

5.3.1. Definición ................................................................................................................................................... 14

5.3.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 15

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5.4. Combinaciones sin repetición ............................................................................................................. 16

5.4.1. Definición ................................................................................................................................................... 16

5.4.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 16

5.5. Tabla – Resumen .................................................................................................................................... 17

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1. COMBINATORIA

1.1. Definición

La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia colecciones finitas de objetos que

satisfacen unos criterios especificados.

1.2. Utilidad

La combinatoria se ocupa, en particular, del “recuento” de los objetos de dichas colecciones

(combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto “óptimo” existe

(combinatoria extremal). Nosotros nos centraremos en el estudio de la combinatoria enumerativa.

1.3. Origen

La combinatoria surge en Occidente en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de

Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la

teoría de la probabilidad, contenían así mismo los principios para determinar el número de

combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre

combinatoria y probabilidad.

1.4. Principios básicos en combinatoria

1.4.1. Introducción

El análisis combinatorio, que incluye el estudio de las permutaciones, variaciones y

combinaciones, está relacionado con la determinación del número de posibilidades lógicas de que un

suceso ocurra. Existen dos principios fundamentales para el cálculo.

1.4.2. Principio de la suma

Supongamos que un suceso E puede ocurrir de m maneras y un segundo suceso F puede ocurrir de n maneras, y supongamos que ambos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Entonces, los

sucesos E o F pueden ocurrir de m + n maneras.

Ejemplo 1: Un restaurante tiene en su menú del día cuatro primeros, tres segundos y cinco

postres. ¿Cuántos platos distintos el restaurante oferta en total a sus clientes?

Solución: El restaurante oferta en total 4 + 3 + 5 = 9 platos distintos a sus clientes.

Ejemplo 2: Una carrera cuenta con 4 grupos de matemáticas, 2 de química y 3 de física en un

curso de primero y a horarios distintos. ¿Cuántos grupos distintos la universidad en total oferta en

primero a su alumnado?

Solución: La universidad en total oferta en primero 4 + 2 + 3 = 9 posibilidades si escogemos

un curso de cada.

1.4.3. Principio del producto

Supongamos que un suceso E puede ocurrir de m maneras y, que, independientemente de este suceso, existe otro F que puede ocurrir de n maneras. Entonces las combinaciones de E y F pueden

ocurrir de m·n maneras.

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Ejemplo 1 (continuación): Un restaurante tiene en su menú del día cuatro primeros, tres

segundos y cinco postres. ¿De cuántas formas diferentes el cliente se puede comer el menú?

Solución: Un cliente que acuda al restaurante y consuma íntegramente la oferta del menú, puede

comer de 4 · 3 · 5 = 60 formas diferentes.

Ejemplo 2 (continuación): Una carrera cuenta con 4 grupos de matemáticas, 2 de química y 3

de física en un curso de primero y a horarios distintos. ¿De cuántas formas diferentes el alumno/a

puede hacer el horario?

Solución: Pero si un alumno debe matricularse en las tres materias, esto significa que puede

escoger un total de 4 · 2 · 3 = 24 horarios diferentes.

Ejemplo 3: Pedro dispone de 2 pares de zapatos y 3 pantalones para vestirse. ¿De cuántas

formas diferentes podrá hacerlo?

Solución: Pedro vestirá de modo distinto si cambia de zapatos y pantalón, por lo que el número

de combinaciones es 2 · 3 = 6. Esto se puede ver con el siguiente diagrama de árbol.

P1

Z1

P2

P1

Z2

P2

2. EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL

2.1. Definición

Para todo número natural n, se llama factorial de n al producto de todos los naturales desde 1

hasta n.

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · ... · 3 · 2 · 1

Ejemplo 1: Calcula el factorial de todos los números del 1 al 10.

1! = 1

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5.040

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320

9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362.880

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3.628.800

Ejemplo 2: Desarrolla el factorial de los siguientes números y calcula su valor:

a) 12! = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 479.001.600

b) 15! = 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1.307.674.368.000

2.2. Propiedades

El factorial de cero es uno. 0! = 1

El factorial de uno es uno. 1! = 1

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2.3. Uso de la calculadora científica

Para hallar los factoriales de un número con la calculadora científica, se usa la tecla x! .

Ejemplo: Calcula el factorial de los siguientes números, usando la calculadora científica:

a) 12! 12 x! = 479.001.600

b) 15! 15 x! = 1.307.674.368.000

2.4. Operaciones: división

Ejemplos: Haz las operaciones siguientes, desarrollando previamente cada factorial:

a) 15612131234567891011

12345678910111213

!11

!13

b) 80013,0720

1

8910

1

12345678910

1234567

!10

!7

c) 730.2131415123456789101112

123456789101112131415

!12

!15

2.5. Otra definición

Otra forma de definir el factorial de n es:

n! = n · (n – 1)!

Ejemplo: Expresa los siguientes factoriales siguiendo esta fórmula.

3! = 3 · 2!

4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2!

5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3!

6! = 6 · 5! = 6 · 5 · 4!

7! = 7 · 6! = 7 · 6 · 5!

8! = 8 · 7! = 8 · 7 · 6!

9! = 9 · 8! = 9 · 8 · 7!

10! = 10 · 9! = 10 · 9 · 8!

NOTA: Las divisiones entre factoriales son muy fáciles de simplificar si aplicamos esta

fórmula.

!

!

!

!

n

nm

n

m si m n ó

!

!

!

!

mn

m

n

m

si m n

Ejemplos (anterior): Haz las operaciones siguientes, sin hacer el desarrollo completo de cada

factorial:

a) 1561213!11

!111213

!11

!13

13! 11!

b) 80013,0720

1

8910

1

!78910

!7

!10

!7

7! 10!

c) 730.2131415!12

!12131415

!12

!15

15! 12!

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Ejemplos: Haz las operaciones siguientes, sin hacer el desarrollo completo de cada factorial:

a) 900.999100!98

!9899100

!98

!100

100! 98!

b) 5678123

678

!5123

!5678

!5!3

!8

8! 5!

c) 520.212

78910

12!6

!678910

!2!6

!10

10! 6!

3. NÚMEROS COMBINATORIOS

3.1. Definición

Dados dos números naturales, m y n, tales que n m , se define el número combinatorio m

sobre n a la siguiente expresión y se escribe

n

m.

)!(!

!

nmn

m

n

m

Se lee “m sobre n” o “número combinatorio m sobre n”.

Ejemplo: Calcula los siguientes números combinatorios, aplicando la definición:

a) 1012

45

!312

!345

!3!2

!5

)!25(!2

!5

2

5

b) 3612

89

12!7

!789

!2!7

!9

)!79(!7

!9

7

9

c) 56123

678

123!5

!5678

!3!5

!8

)!58(!5

!8

5

8

d) 2101234

78910

1234!6

!678910

!4!6

!10

)!610(!6

!10

6

10

e) 560123

141516

!13123

!13141516

!13!3

!16

)!316(!3

!16

3

16

f) 4951234

9101112

!81234

!89101112

!8!12

!12

)!412(!4

!12

4

12

g) 003.312345

1112131415

!1012345

!101112131415

!10!5

!15

)!515(!5

!15

5

15

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3.2. Uso de la calculadora científica

Para hallar los números combinatorios con la calculadora científica, se usa la tecla nCr .

Ejemplo: Calcula los siguientes números combinatorios, usando la calculadora científica:

a)

1

3 3 nCr 1 = 4

b)

2

5 5 nCr 2 = 10

c)

7

9 9 nCr 7 = 36

3.3. Propiedades

1) mm

1

Ejemplo:

5!41

!45

!4!1

!5

)!15(!1

!5

1

5

2) 10

m

mm

Ejemplo:

1!5!0

!5

)!05(!0

!5

0

5

1!0!5

!5

)!55(!5

!5

5

5

15

5

0

5

3)

nm

m

n

m

Ejemplo:

1012

45

!312

!345

!3!2

!5

)!25(!2

!5

2

5

1012

45

12!3

!345

!2!3

!5

)!35(!3

!5

3

5

3

5

2

5

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Tema 2: Combinatoria.

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4) Fórmula de Stiegel:

1

1

1 n

m

n

m

n

m ó

m

n

m 1

n 1

m 1

n

La Fórmula de Stiegel nos permite obtener el famoso triángulo de Tartaglia.

Ejemplo:

4

8

4

7

3

7 ó

3

6

2

6

3

7

NOTA: Las propiedades de los números combinatorios quedan reflejadas en el llamado

triángulo de Tartaglia o de Pascal.

4. BINOMIO DE NEWTON

4.1. Definición

Para calcular las potencias de un binomio de la forma mba )( , llamado binomio de Newton, se

utiliza la siguiente fórmula:

m

i

iimm bai

mba

0

)(

Esta expresión es equivalente a:

mmmmmm bbam

mba

mba

maba

1221

1...

21)(

4.2. Aplicaciones

La fórmula del binomio de Newton se utiliza en el desarrollo de la potencia de un binomio.

Los números combinatorios calculan los coeficientes de la potencia de un binomio.

Ejemplo: Desarrolla y simplifica las siguientes potencias, utilizando la fórmula del binomio de

Newton:

a)

5041322314055

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5yxyxyxyxyxyxyx

54322345

504132231405

510105

15101051

yyxyxyxyxx

yxyxyxyxyxyx

b)

40312213044

34

43

3

43

2

43

1

43

0

43 xxxxxx

4234

4031221304

1085412

134363431

yxxxx

yxxxxx

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Tema 2: Combinatoria.

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c)

302112033

123

312

2

312

1

312

0

312 xxxxx

16128

121123123121

23

300211122033

xxx

xxxx

d)

22312402552 22

52

1

52

0

52 yxyxyxyx

1066243245

1000611

622433244055

520421322

1040808032

2125

2102102521

23

52

4

52

3

5

yyxyxyxyxx

yxyx

yxyxyxyx

yxyxyx

e)

25216207272 32

73

1

73

0

73 yxyxyxyx

7625446

382101214

770662554446

3382210120014

702612

522432342

187.2103.5103.5835.2

94518921

3137321335

3353213731

37

73

6

7

35

73

4

73

3

7

yyxyxyx

yxyxyxx

yxyxyxyx

yxyxyxyx

yxyx

yxyxyx

f)

302112033

73

37

2

37

1

37

0

37 xxxxx

34314721

71737371

23

30211203

xxx

xxxx

g)

40312213044

524

452

3

452

2

452

1

452

0

452 xxxxxx

625000.160016016

521524526524521

234

400311222133044

xxxx

xxxxx

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Ejemplo: Binomio de Newton.

m=0 10

0

m=1 10

1

; 1

1

1

m=2 10

2

; 2

1

2

; 1

2

2

m=3 10

3

; 3

1

3

; 3

2

3

; 1

3

3

m=4 10

4

; 4

1

4

; 6

2

4

; 4

3

4

; 1

4

4

m=5 10

5

; 5

1

5

; 10

2

5

; 10

3

5

; 5

4

5

; 1

5

5

NOTA: Los números combinatorios coinciden con los coeficientes del Triángulo de Tartaglia o

de Pascal.

Ejemplo: Comparativa entre Binomio de Newton y Triángulo de Tartaglia o de Pascal.

Binomio de Newton Triángulo de Tartaglia o de Pascal

m=0

0

0

m=1

0

1

1

1

m=2

0

2

1

2

2

2

m=3

0

3

1

3

2

3

3

3

m=4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4

m=5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

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NOTA: La suma de los elementos de la fila n-ésima del triángulo de Tartaglia es 2n.

Ejemplos:

a) En la 4ª fila: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

b) En la 5ª fila: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

5. MÉTODOS DE CONTEO

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibles

resultados que existen al realizar un experimento.

Si disponemos de “m” elementos y queremos formar agrupaciones de “n” de ellos, hay que

preguntarse tres cosas importantes:

a) ¿Influye o importa el orden de los elementos?

b) ¿Se pueden repetir los elementos?

c) ¿Se trabaja con todos los elementos?

Según las respuestas, tendremos alguno de los siguientes métodos de conteo:

a) Variaciones.

b) Permutaciones.

c) Combinaciones.

5.1. Variaciones sin repetición

5.1.1. Definición

Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las

distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si

están situados en distinto orden.

1-n-m...1

!

!,,

mmV

nm

mV nmnm con n < m

Sabemos que:

m es el total de elementos.

n es el número de elementos que contiene el grupo.

Características:

SÍ influye el orden de los elementos.

NO se pueden repetir los elementos.

NO trabaja con todos los elementos.

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5.1.2. Ejemplos

Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 2 cifras distintas se pueden formar con los números

1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

Importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } m = 6 elementos n = 2

V6,2 = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), …… , (6,5) }

30563056

!4

!456

!4

!6

!26

!62,62,6

VV Son variaciones sin

repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.

Solución: 30 números diferentes se pueden formar.

Ejemplo 2: ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con las cifras

2, 3, 4, 7, 8 ?

Importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 2, 3, 4, 7, 8 } m = 5 n = 3

V5,3 = { (2,3,4), (2,3,7), (2,3,8), (3,2,4), (3,2,7), (3,2,8), (4,2,3), …… , (8,7,4) }

6034560345

!2

!2345

!2

!5

!35

!53,53,5

VV Son variaciones

sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 60 números diferentes se pueden formar.

Ejemplo 3: En una tómbola, se reparten 3 premios distintos: jamón, queso y refresco, entre 20

personas. ¿De cuántos modos posibles se pueden repartir estos premios?

Importa el orden en que se saca la papeleta de la tómbola, no pueden aparecer elementos

repetidos en una misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …… , 18, 19, 20 } m = 20 n = 3

V20,3 = { (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (1,2,5), (1,5,2), …… , (20,19,18) }

840.6181920840.6181920

!17

!17181920

!17

!20

!320

!203,203,20

VV

Son variaciones sin repetición de 20 elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 6.840 posibilidades se pueden formar.

Page 13: Tema 2. Combinatoria

Tema 2: Combinatoria.

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5.2. Variaciones con repetición

5.2.1. Definición

Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las

distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún

elemento como si están situados en distinto orden.

n

nm mVR , con n ≠ m

Sabemos que:

m es el total de elementos.

n es el número de elementos que contiene el grupo.

Características:

SÍ influye el orden de los elementos.

SÍ se pueden repetir los elementos.

NO trabaja con todos los elementos.

5.2.2. Ejemplos

Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números 2, 3, 4, 7, 8 ?

No importa el orden de colocación de las cifras, sí pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 2, 3, 4, 7, 8 } m = 5 elementos n = 3

VR5,3 = { (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), (2,2,7), (2,2,8), (2,3,2), (2,3,3), (2,3,4), …… , (8,8,8) }

12553

3,5 VR Son variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 125 números diferentes se pueden formar.

Ejemplo 2: Un ordenador codifica en binario, por lo que trabaja con 2 dígitos, 0 y 1. ¿Cuántos

números de 3 cifras se pueden formar?

No importa el orden de colocación de los dígitos, sí pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 0, 1 } m = 2 elementos n = 3

VR2,3 = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) }

823

3,2 VR Son variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 8 números diferentes se pueden formar.

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Tema 2: Combinatoria.

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Ejemplo 3: Se tiran cinco dados al aire y se quiere anotar los puntos de las caras superiores.

¿Cuántos resultados diferentes se producen?

No importa el orden de colocación de los dados, sí pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dados m = 6 elementos n = 5

Puntos de las caras de un dado = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

VR6,5 = { (1,1,1,1,1), (1,1,1,1,2), (1,1,1,1,3), (1,1,1,1,4), (1,1,1,1,5), (1,1,1,1,6),

(1,1,1,2,1), (1,1,1,3,1), (1,1,1,4,1), (1,1,1,5,1), (1,1,1,6,1), …… ,

(6,1,1,1,1), (6,1,1,1,2), (6,1,1,1,3), (6,1,1,1,4), (6,1,1,1,5), (6,1,1,1,6),

…… , (6,6,6,6,6) }

776.765

5,6 VR Son variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 5 en 5.

Solución: 7.776 posibilidades se pueden formar.

5.3. Permutaciones sin repetición

5.3.1. Definición

Las permutaciones sin repetición de m elementos se definen como las distintas formas de

ordenar los m elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación

de sus elementos. Básicamente, son variaciones de m elementos tomados de m en m.

!, mVP mmm con n = m

Sabemos que:

m es el total de elementos.

n = m es el número de elementos que contiene el grupo.

Características:

SÍ influye el orden de los elementos.

NO se pueden repetir los elementos.

SÍ trabaja con todos los elementos.

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Tema 2: Combinatoria.

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5.3.2. Ejemplos

Ejemplo 1: En un festival intervienen 8 participantes. ¿De cuántas formas se puede programar

el orden de actuación?

Importa el orden de actuación de los participantes, no pueden aparecer elementos repetidos en

una misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } m = 8 elementos n = 8

P8 = V8,8 = { (1,2,3,4,5,6,7,8), (1,2,3,4,5,6,8,7), (1,2,3,4,5,7,6,8), …… , (8,7,6,5,4,3,2,1) }

320.4012345678!88,88 VP Son variaciones sin repetición de 8

elementos tomados de 8 en 8. Son permutaciones sin repetición de 8 elementos.

Solución: 40.320 posibilidades de actuación.

Ejemplo 2: ¿Cuántas banderas se pueden formar con los colores de la bandera de Francia? La

bandera de Francia no repite color: blanco, azul y rojo.

Importa el orden de colocación de los colores, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .

A = { B, A, R } m = 3 elementos n = 3

P3 = V3,3 = { (B,A,R), (B,R,A), (R,B,A), …… , (A,R,B) }

B R A

B A R

R B A

R A B

A B R

A R B

6123!33,33 VP Son variaciones sin repetición de 3 elementos tomados de 3

en 3. Son permutaciones sin repetición de 3 elementos.

Solución: 6 banderas se pueden formar.

Ejemplo 3: ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra CINE ?

Importa el orden de colocación de las letras, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .

A = {C, I, N, E } m = 4 elementos n = 4

P5 = V5,5 = { (C,I,N,E), (C,I,E,N), (C,E,I,N), (E,I,N,C) …… , (E,N,I,C) }

12012345!55,55 VP Son variaciones sin repetición de 4 elementos

tomados de 4 en 4. Son permutaciones sin repetición de 4 elementos.

Solución: 120 palabras diferentes se pueden formar.

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Tema 2: Combinatoria.

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5.4. Combinaciones sin repetición

5.4.1. Definición

Una combinación sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las

distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, sin importarnos el orden y considerando una variación distinta a otra tanto si difieren

en algún elemento.

)!(!

!,

,nmn

m

n

m

P

VC

n

nm

nm

con n < m

Sabemos que:

m es el total de elementos.

n es el número de elementos que contiene el grupo.

Características:

NO influye el orden de los elementos.

NO se pueden repetir los elementos.

NO trabaja con todos los elementos.

5.4.2. Ejemplos

Ejemplo 1: ¿De cuántas formas es posible combinar de dos en dos las cifras 1, 2, 3 ?

No importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 1, 2, 3 } m = 3 elementos n = 2

C3,2 = { (1,2), (1,3), (2,3) }

(1,2) = (2,1) (1,3) = (3,1) (2,3) = (3,2) porque no importa el orden.

3!1!2

!23

!1!2

!3

)!23(!2

!3

2

2,3

2,3

P

VC Son combinaciones sin repetición de 3

elementos tomados de 2 en 2.

Solución: 3 números se pueden formar.

Ejemplo 2: ¿De cuántas formas es posible combinar de tres en tres las letras a, b, c, d ?

No importa el orden de colocación de las letras, no pueden aparecer elementos repetidos en una

misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { a, b, c, d } m = 4 elementos n = 3

C3,2 = { (a,b,c), (a,b,d), (a,d,c), (d,b,c)) } porque no importa el orden.

(a,b,c) = (a,c,b) = (c,b,a) = (b,a,c) = (c,a,b) = (b,c,a)

(a,b,d) = (a,d,b) = (d,b,a) = (b,a,d) = (d,a,b) = (b,d,a)

(d,b,c) = (d,b,c) = (c,b,d) = (b,d,c) = (c,d,b) = (b,c,d)

Page 17: Tema 2. Combinatoria

Tema 2: Combinatoria.

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4!1!3

!34

!1!3

!4

)!34(!3

!4

3

3,4

3,4

P

VC Son combinaciones sin repetición de 4

elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 4 palabras se pueden formar.

Ejemplo 3: En una reunión, hay diez personas. ¿Cuántos grupos de tres personas se pueden

formar?

No importa el orden de colocación de las personas, no pueden aparecer elementos repetidos en

una misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .

A = { 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10 } m = 10 elementos n = 3

C10,3 = { (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), …… , (8,9,10) }

(1,2,3) = (1,3,2) = (2,1,3) = (3,1,2) porque no importa el orden.

120123

8910

!7123

!78910

!7!3

!10

)!310(!3

!10

3

3,10

3,10

P

VC Son combinaciones sin

repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.

Solución: 120 grupos se pueden formar.

5.5. Tabla – Resumen

En la tabla siguiente, se presenta un resumen de los métodos de conteo.

¿Influye

el orden?

¿Se pueden

repetir los

elementos?

¿Se trabaja con

todos los

elementos?

Fórmula

Variaciones sin repetición Sí No No !!

,nm

mV nm

con n < m

Variaciones con repetición Sí Sí No n

nm mVR ,

con n ≠ m

Permutaciones sin repetición Sí No Sí !, mVP mmm

con n = m

Combinaciones sin repetición No No No )!(!

!,

,nmn

m

P

VC

n

nm

nm

con n < m