Tema 2. Combinatoria
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Tema 2: Combinatoria.
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ÍNDICE
1. COMBINATORIA 3
1.1. Definición .................................................................................................................................................... 3
1.2. Utilidad ....................................................................................................................................................... 3
1.3. Origen .......................................................................................................................................................... 3
1.4. Principios básicos en combinatoria ..................................................................................................... 3
1.4.1. Introducción ................................................................................................................................................ 3
1.4.2. Principio de la suma .................................................................................................................................... 3
1.4.3. Principio del producto ................................................................................................................................ 3
2. EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 4
2.1. Definición ................................................................................................................................................... 4
2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 4
2.3. Uso de la calculadora científica .......................................................................................................... 5
2.4. Operaciones: división ............................................................................................................................. 5
2.5. Otra definición ........................................................................................................................................ 5
3. NÚMEROS COMBINATORIOS 6
3.1. Definición ................................................................................................................................................... 6
3.2. Uso de la calculadora científica .......................................................................................................... 7
3.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 7
4. BINOMIO DE NEWTON 8
4.1. Definición ................................................................................................................................................... 8
4.2. Aplicaciones .............................................................................................................................................. 8
5. MÉTODOS DE CONTEO 11
5.1. Variaciones sin repetición .................................................................................................................... 11
5.1.1. Definición .................................................................................................................................................... 11
5.1.2. Ejemplos ..................................................................................................................................................... 12
5.2. Variaciones con repetición ................................................................................................................. 13
5.2.1. Definición ................................................................................................................................................... 13
5.2.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 13
5.3. Permutaciones sin repetición ............................................................................................................. 14
5.3.1. Definición ................................................................................................................................................... 14
5.3.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 15
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5.4. Combinaciones sin repetición ............................................................................................................. 16
5.4.1. Definición ................................................................................................................................................... 16
5.4.2. Ejemplos .................................................................................................................................................... 16
5.5. Tabla – Resumen .................................................................................................................................... 17
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1. COMBINATORIA
1.1. Definición
La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia colecciones finitas de objetos que
satisfacen unos criterios especificados.
1.2. Utilidad
La combinatoria se ocupa, en particular, del “recuento” de los objetos de dichas colecciones
(combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto “óptimo” existe
(combinatoria extremal). Nosotros nos centraremos en el estudio de la combinatoria enumerativa.
1.3. Origen
La combinatoria surge en Occidente en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de
Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la
teoría de la probabilidad, contenían así mismo los principios para determinar el número de
combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre
combinatoria y probabilidad.
1.4. Principios básicos en combinatoria
1.4.1. Introducción
El análisis combinatorio, que incluye el estudio de las permutaciones, variaciones y
combinaciones, está relacionado con la determinación del número de posibilidades lógicas de que un
suceso ocurra. Existen dos principios fundamentales para el cálculo.
1.4.2. Principio de la suma
Supongamos que un suceso E puede ocurrir de m maneras y un segundo suceso F puede ocurrir de n maneras, y supongamos que ambos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Entonces, los
sucesos E o F pueden ocurrir de m + n maneras.
Ejemplo 1: Un restaurante tiene en su menú del día cuatro primeros, tres segundos y cinco
postres. ¿Cuántos platos distintos el restaurante oferta en total a sus clientes?
Solución: El restaurante oferta en total 4 + 3 + 5 = 9 platos distintos a sus clientes.
Ejemplo 2: Una carrera cuenta con 4 grupos de matemáticas, 2 de química y 3 de física en un
curso de primero y a horarios distintos. ¿Cuántos grupos distintos la universidad en total oferta en
primero a su alumnado?
Solución: La universidad en total oferta en primero 4 + 2 + 3 = 9 posibilidades si escogemos
un curso de cada.
1.4.3. Principio del producto
Supongamos que un suceso E puede ocurrir de m maneras y, que, independientemente de este suceso, existe otro F que puede ocurrir de n maneras. Entonces las combinaciones de E y F pueden
ocurrir de m·n maneras.
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Ejemplo 1 (continuación): Un restaurante tiene en su menú del día cuatro primeros, tres
segundos y cinco postres. ¿De cuántas formas diferentes el cliente se puede comer el menú?
Solución: Un cliente que acuda al restaurante y consuma íntegramente la oferta del menú, puede
comer de 4 · 3 · 5 = 60 formas diferentes.
Ejemplo 2 (continuación): Una carrera cuenta con 4 grupos de matemáticas, 2 de química y 3
de física en un curso de primero y a horarios distintos. ¿De cuántas formas diferentes el alumno/a
puede hacer el horario?
Solución: Pero si un alumno debe matricularse en las tres materias, esto significa que puede
escoger un total de 4 · 2 · 3 = 24 horarios diferentes.
Ejemplo 3: Pedro dispone de 2 pares de zapatos y 3 pantalones para vestirse. ¿De cuántas
formas diferentes podrá hacerlo?
Solución: Pedro vestirá de modo distinto si cambia de zapatos y pantalón, por lo que el número
de combinaciones es 2 · 3 = 6. Esto se puede ver con el siguiente diagrama de árbol.
P1
Z1
P2
P1
Z2
P2
2. EL FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
2.1. Definición
Para todo número natural n, se llama factorial de n al producto de todos los naturales desde 1
hasta n.
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · ... · 3 · 2 · 1
Ejemplo 1: Calcula el factorial de todos los números del 1 al 10.
1! = 1
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · 1 = 6
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5.040
8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320
9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362.880
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3.628.800
Ejemplo 2: Desarrolla el factorial de los siguientes números y calcula su valor:
a) 12! = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 479.001.600
b) 15! = 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1.307.674.368.000
2.2. Propiedades
El factorial de cero es uno. 0! = 1
El factorial de uno es uno. 1! = 1
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2.3. Uso de la calculadora científica
Para hallar los factoriales de un número con la calculadora científica, se usa la tecla x! .
Ejemplo: Calcula el factorial de los siguientes números, usando la calculadora científica:
a) 12! 12 x! = 479.001.600
b) 15! 15 x! = 1.307.674.368.000
2.4. Operaciones: división
Ejemplos: Haz las operaciones siguientes, desarrollando previamente cada factorial:
a) 15612131234567891011
12345678910111213
!11
!13
b) 80013,0720
1
8910
1
12345678910
1234567
!10
!7
c) 730.2131415123456789101112
123456789101112131415
!12
!15
2.5. Otra definición
Otra forma de definir el factorial de n es:
n! = n · (n – 1)!
Ejemplo: Expresa los siguientes factoriales siguiendo esta fórmula.
3! = 3 · 2!
4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2!
5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3!
6! = 6 · 5! = 6 · 5 · 4!
7! = 7 · 6! = 7 · 6 · 5!
8! = 8 · 7! = 8 · 7 · 6!
9! = 9 · 8! = 9 · 8 · 7!
10! = 10 · 9! = 10 · 9 · 8!
NOTA: Las divisiones entre factoriales son muy fáciles de simplificar si aplicamos esta
fórmula.
!
!
!
!
n
nm
n
m si m n ó
!
!
!
!
mn
m
n
m
si m n
Ejemplos (anterior): Haz las operaciones siguientes, sin hacer el desarrollo completo de cada
factorial:
a) 1561213!11
!111213
!11
!13
13! 11!
b) 80013,0720
1
8910
1
!78910
!7
!10
!7
7! 10!
c) 730.2131415!12
!12131415
!12
!15
15! 12!
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Ejemplos: Haz las operaciones siguientes, sin hacer el desarrollo completo de cada factorial:
a) 900.999100!98
!9899100
!98
!100
100! 98!
b) 5678123
678
!5123
!5678
!5!3
!8
8! 5!
c) 520.212
78910
12!6
!678910
!2!6
!10
10! 6!
3. NÚMEROS COMBINATORIOS
3.1. Definición
Dados dos números naturales, m y n, tales que n m , se define el número combinatorio m
sobre n a la siguiente expresión y se escribe
n
m.
)!(!
!
nmn
m
n
m
Se lee “m sobre n” o “número combinatorio m sobre n”.
Ejemplo: Calcula los siguientes números combinatorios, aplicando la definición:
a) 1012
45
!312
!345
!3!2
!5
)!25(!2
!5
2
5
b) 3612
89
12!7
!789
!2!7
!9
)!79(!7
!9
7
9
c) 56123
678
123!5
!5678
!3!5
!8
)!58(!5
!8
5
8
d) 2101234
78910
1234!6
!678910
!4!6
!10
)!610(!6
!10
6
10
e) 560123
141516
!13123
!13141516
!13!3
!16
)!316(!3
!16
3
16
f) 4951234
9101112
!81234
!89101112
!8!12
!12
)!412(!4
!12
4
12
g) 003.312345
1112131415
!1012345
!101112131415
!10!5
!15
)!515(!5
!15
5
15
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3.2. Uso de la calculadora científica
Para hallar los números combinatorios con la calculadora científica, se usa la tecla nCr .
Ejemplo: Calcula los siguientes números combinatorios, usando la calculadora científica:
a)
1
3 3 nCr 1 = 4
b)
2
5 5 nCr 2 = 10
c)
7
9 9 nCr 7 = 36
3.3. Propiedades
1) mm
1
Ejemplo:
5!41
!45
!4!1
!5
)!15(!1
!5
1
5
2) 10
m
mm
Ejemplo:
1!5!0
!5
)!05(!0
!5
0
5
1!0!5
!5
)!55(!5
!5
5
5
15
5
0
5
3)
nm
m
n
m
Ejemplo:
1012
45
!312
!345
!3!2
!5
)!25(!2
!5
2
5
1012
45
12!3
!345
!2!3
!5
)!35(!3
!5
3
5
3
5
2
5
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4) Fórmula de Stiegel:
1
1
1 n
m
n
m
n
m ó
m
n
m 1
n 1
m 1
n
La Fórmula de Stiegel nos permite obtener el famoso triángulo de Tartaglia.
Ejemplo:
4
8
4
7
3
7 ó
3
6
2
6
3
7
NOTA: Las propiedades de los números combinatorios quedan reflejadas en el llamado
triángulo de Tartaglia o de Pascal.
4. BINOMIO DE NEWTON
4.1. Definición
Para calcular las potencias de un binomio de la forma mba )( , llamado binomio de Newton, se
utiliza la siguiente fórmula:
m
i
iimm bai
mba
0
)(
Esta expresión es equivalente a:
mmmmmm bbam
mba
mba
maba
1221
1...
21)(
4.2. Aplicaciones
La fórmula del binomio de Newton se utiliza en el desarrollo de la potencia de un binomio.
Los números combinatorios calculan los coeficientes de la potencia de un binomio.
Ejemplo: Desarrolla y simplifica las siguientes potencias, utilizando la fórmula del binomio de
Newton:
a)
5041322314055
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5yxyxyxyxyxyxyx
54322345
504132231405
510105
15101051
yyxyxyxyxx
yxyxyxyxyxyx
b)
40312213044
34
43
3
43
2
43
1
43
0
43 xxxxxx
4234
4031221304
1085412
134363431
yxxxx
yxxxxx
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c)
302112033
123
312
2
312
1
312
0
312 xxxxx
16128
121123123121
23
300211122033
xxx
xxxx
d)
22312402552 22
52
1
52
0
52 yxyxyxyx
1066243245
1000611
622433244055
520421322
1040808032
2125
2102102521
23
52
4
52
3
5
yyxyxyxyxx
yxyx
yxyxyxyx
yxyxyx
e)
25216207272 32
73
1
73
0
73 yxyxyxyx
7625446
382101214
770662554446
3382210120014
702612
522432342
187.2103.5103.5835.2
94518921
3137321335
3353213731
37
73
6
7
35
73
4
73
3
7
yyxyxyx
yxyxyxx
yxyxyxyx
yxyxyxyx
yxyx
yxyxyx
f)
302112033
73
37
2
37
1
37
0
37 xxxxx
34314721
71737371
23
30211203
xxx
xxxx
g)
40312213044
524
452
3
452
2
452
1
452
0
452 xxxxxx
625000.160016016
521524526524521
234
400311222133044
xxxx
xxxxx
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Ejemplo: Binomio de Newton.
m=0 10
0
m=1 10
1
; 1
1
1
m=2 10
2
; 2
1
2
; 1
2
2
m=3 10
3
; 3
1
3
; 3
2
3
; 1
3
3
m=4 10
4
; 4
1
4
; 6
2
4
; 4
3
4
; 1
4
4
m=5 10
5
; 5
1
5
; 10
2
5
; 10
3
5
; 5
4
5
; 1
5
5
NOTA: Los números combinatorios coinciden con los coeficientes del Triángulo de Tartaglia o
de Pascal.
Ejemplo: Comparativa entre Binomio de Newton y Triángulo de Tartaglia o de Pascal.
Binomio de Newton Triángulo de Tartaglia o de Pascal
m=0
0
0
m=1
0
1
1
1
m=2
0
2
1
2
2
2
m=3
0
3
1
3
2
3
3
3
m=4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
m=5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
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NOTA: La suma de los elementos de la fila n-ésima del triángulo de Tartaglia es 2n.
Ejemplos:
a) En la 4ª fila: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
b) En la 5ª fila: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
5. MÉTODOS DE CONTEO
Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibles
resultados que existen al realizar un experimento.
Si disponemos de “m” elementos y queremos formar agrupaciones de “n” de ellos, hay que
preguntarse tres cosas importantes:
a) ¿Influye o importa el orden de los elementos?
b) ¿Se pueden repetir los elementos?
c) ¿Se trabaja con todos los elementos?
Según las respuestas, tendremos alguno de los siguientes métodos de conteo:
a) Variaciones.
b) Permutaciones.
c) Combinaciones.
5.1. Variaciones sin repetición
5.1.1. Definición
Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las
distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si
están situados en distinto orden.
1-n-m...1
!
!,,
mmV
nm
mV nmnm con n < m
Sabemos que:
m es el total de elementos.
n es el número de elementos que contiene el grupo.
Características:
SÍ influye el orden de los elementos.
NO se pueden repetir los elementos.
NO trabaja con todos los elementos.
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5.1.2. Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 2 cifras distintas se pueden formar con los números
1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } m = 6 elementos n = 2
V6,2 = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), …… , (6,5) }
30563056
!4
!456
!4
!6
!26
!62,62,6
VV Son variaciones sin
repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.
Solución: 30 números diferentes se pueden formar.
Ejemplo 2: ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con las cifras
2, 3, 4, 7, 8 ?
Importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 2, 3, 4, 7, 8 } m = 5 n = 3
V5,3 = { (2,3,4), (2,3,7), (2,3,8), (3,2,4), (3,2,7), (3,2,8), (4,2,3), …… , (8,7,4) }
6034560345
!2
!2345
!2
!5
!35
!53,53,5
VV Son variaciones
sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 60 números diferentes se pueden formar.
Ejemplo 3: En una tómbola, se reparten 3 premios distintos: jamón, queso y refresco, entre 20
personas. ¿De cuántos modos posibles se pueden repartir estos premios?
Importa el orden en que se saca la papeleta de la tómbola, no pueden aparecer elementos
repetidos en una misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …… , 18, 19, 20 } m = 20 n = 3
V20,3 = { (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,4,2), (1,2,5), (1,5,2), …… , (20,19,18) }
840.6181920840.6181920
!17
!17181920
!17
!20
!320
!203,203,20
VV
Son variaciones sin repetición de 20 elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 6.840 posibilidades se pueden formar.
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5.2. Variaciones con repetición
5.2.1. Definición
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las
distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún
elemento como si están situados en distinto orden.
n
nm mVR , con n ≠ m
Sabemos que:
m es el total de elementos.
n es el número de elementos que contiene el grupo.
Características:
SÍ influye el orden de los elementos.
SÍ se pueden repetir los elementos.
NO trabaja con todos los elementos.
5.2.2. Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números 2, 3, 4, 7, 8 ?
No importa el orden de colocación de las cifras, sí pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 2, 3, 4, 7, 8 } m = 5 elementos n = 3
VR5,3 = { (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), (2,2,7), (2,2,8), (2,3,2), (2,3,3), (2,3,4), …… , (8,8,8) }
12553
3,5 VR Son variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 125 números diferentes se pueden formar.
Ejemplo 2: Un ordenador codifica en binario, por lo que trabaja con 2 dígitos, 0 y 1. ¿Cuántos
números de 3 cifras se pueden formar?
No importa el orden de colocación de los dígitos, sí pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 0, 1 } m = 2 elementos n = 3
VR2,3 = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) }
823
3,2 VR Son variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 8 números diferentes se pueden formar.
Tema 2: Combinatoria.
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Ejemplo 3: Se tiran cinco dados al aire y se quiere anotar los puntos de las caras superiores.
¿Cuántos resultados diferentes se producen?
No importa el orden de colocación de los dados, sí pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dados m = 6 elementos n = 5
Puntos de las caras de un dado = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
VR6,5 = { (1,1,1,1,1), (1,1,1,1,2), (1,1,1,1,3), (1,1,1,1,4), (1,1,1,1,5), (1,1,1,1,6),
(1,1,1,2,1), (1,1,1,3,1), (1,1,1,4,1), (1,1,1,5,1), (1,1,1,6,1), …… ,
(6,1,1,1,1), (6,1,1,1,2), (6,1,1,1,3), (6,1,1,1,4), (6,1,1,1,5), (6,1,1,1,6),
…… , (6,6,6,6,6) }
776.765
5,6 VR Son variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 5 en 5.
Solución: 7.776 posibilidades se pueden formar.
5.3. Permutaciones sin repetición
5.3.1. Definición
Las permutaciones sin repetición de m elementos se definen como las distintas formas de
ordenar los m elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación
de sus elementos. Básicamente, son variaciones de m elementos tomados de m en m.
!, mVP mmm con n = m
Sabemos que:
m es el total de elementos.
n = m es el número de elementos que contiene el grupo.
Características:
SÍ influye el orden de los elementos.
NO se pueden repetir los elementos.
SÍ trabaja con todos los elementos.
Tema 2: Combinatoria.
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5.3.2. Ejemplos
Ejemplo 1: En un festival intervienen 8 participantes. ¿De cuántas formas se puede programar
el orden de actuación?
Importa el orden de actuación de los participantes, no pueden aparecer elementos repetidos en
una misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } m = 8 elementos n = 8
P8 = V8,8 = { (1,2,3,4,5,6,7,8), (1,2,3,4,5,6,8,7), (1,2,3,4,5,7,6,8), …… , (8,7,6,5,4,3,2,1) }
320.4012345678!88,88 VP Son variaciones sin repetición de 8
elementos tomados de 8 en 8. Son permutaciones sin repetición de 8 elementos.
Solución: 40.320 posibilidades de actuación.
Ejemplo 2: ¿Cuántas banderas se pueden formar con los colores de la bandera de Francia? La
bandera de Francia no repite color: blanco, azul y rojo.
Importa el orden de colocación de los colores, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .
A = { B, A, R } m = 3 elementos n = 3
P3 = V3,3 = { (B,A,R), (B,R,A), (R,B,A), …… , (A,R,B) }
B R A
B A R
R B A
R A B
A B R
A R B
6123!33,33 VP Son variaciones sin repetición de 3 elementos tomados de 3
en 3. Son permutaciones sin repetición de 3 elementos.
Solución: 6 banderas se pueden formar.
Ejemplo 3: ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra CINE ?
Importa el orden de colocación de las letras, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y entran todos los elementos en las variaciones m = n .
A = {C, I, N, E } m = 4 elementos n = 4
P5 = V5,5 = { (C,I,N,E), (C,I,E,N), (C,E,I,N), (E,I,N,C) …… , (E,N,I,C) }
12012345!55,55 VP Son variaciones sin repetición de 4 elementos
tomados de 4 en 4. Son permutaciones sin repetición de 4 elementos.
Solución: 120 palabras diferentes se pueden formar.
Tema 2: Combinatoria.
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5.4. Combinaciones sin repetición
5.4.1. Definición
Una combinación sin repetición de m elementos tomados de n en n se definen como las
distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, sin importarnos el orden y considerando una variación distinta a otra tanto si difieren
en algún elemento.
)!(!
!,
,nmn
m
n
m
P
VC
n
nm
nm
con n < m
Sabemos que:
m es el total de elementos.
n es el número de elementos que contiene el grupo.
Características:
NO influye el orden de los elementos.
NO se pueden repetir los elementos.
NO trabaja con todos los elementos.
5.4.2. Ejemplos
Ejemplo 1: ¿De cuántas formas es posible combinar de dos en dos las cifras 1, 2, 3 ?
No importa el orden de colocación de las cifras, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 1, 2, 3 } m = 3 elementos n = 2
C3,2 = { (1,2), (1,3), (2,3) }
(1,2) = (2,1) (1,3) = (3,1) (2,3) = (3,2) porque no importa el orden.
3!1!2
!23
!1!2
!3
)!23(!2
!3
2
2,3
2,3
P
VC Son combinaciones sin repetición de 3
elementos tomados de 2 en 2.
Solución: 3 números se pueden formar.
Ejemplo 2: ¿De cuántas formas es posible combinar de tres en tres las letras a, b, c, d ?
No importa el orden de colocación de las letras, no pueden aparecer elementos repetidos en una
misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { a, b, c, d } m = 4 elementos n = 3
C3,2 = { (a,b,c), (a,b,d), (a,d,c), (d,b,c)) } porque no importa el orden.
(a,b,c) = (a,c,b) = (c,b,a) = (b,a,c) = (c,a,b) = (b,c,a)
(a,b,d) = (a,d,b) = (d,b,a) = (b,a,d) = (d,a,b) = (b,d,a)
(d,b,c) = (d,b,c) = (c,b,d) = (b,d,c) = (c,d,b) = (b,c,d)
Tema 2: Combinatoria.
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4!1!3
!34
!1!3
!4
)!34(!3
!4
3
3,4
3,4
P
VC Son combinaciones sin repetición de 4
elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 4 palabras se pueden formar.
Ejemplo 3: En una reunión, hay diez personas. ¿Cuántos grupos de tres personas se pueden
formar?
No importa el orden de colocación de las personas, no pueden aparecer elementos repetidos en
una misma variación y no entran todos los elementos en las variaciones m ≠ n .
A = { 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10 } m = 10 elementos n = 3
C10,3 = { (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), …… , (8,9,10) }
(1,2,3) = (1,3,2) = (2,1,3) = (3,1,2) porque no importa el orden.
120123
8910
!7123
!78910
!7!3
!10
)!310(!3
!10
3
3,10
3,10
P
VC Son combinaciones sin
repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.
Solución: 120 grupos se pueden formar.
5.5. Tabla – Resumen
En la tabla siguiente, se presenta un resumen de los métodos de conteo.
¿Influye
el orden?
¿Se pueden
repetir los
elementos?
¿Se trabaja con
todos los
elementos?
Fórmula
Variaciones sin repetición Sí No No !!
,nm
mV nm
con n < m
Variaciones con repetición Sí Sí No n
nm mVR ,
con n ≠ m
Permutaciones sin repetición Sí No Sí !, mVP mmm
con n = m
Combinaciones sin repetición No No No )!(!
!,
,nmn
m
P
VC
n
nm
nm
con n < m