TEMA 2: DETERMINANTES -...
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Alonso Fernández Galián
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TEMA 7: DETERMINANTES
El determinante de una matriz cuadrada es cierto número que se calcula a partir de ella y que
contiene información significativa sobre la matriz.
7.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3
El cálculo de determinantes es recursivo. Es decir, un determinante de orden 3 se calcula a partir
de determinantes de orden 2, un determinante de orden 4 se calcula a partir de determinantes de
orden 3… Así, debemos empezar definiendo los determinantes de orden 2.
Determinantes de orden 2. Dada una matriz cuadrada de orden 2,
2221
1211
aa
aaA
su determinante es el número A obtenido al multiplicar en cruz y restar:
21122211
2221
1211aaaa
aa
aaA
Veamos algún otro ejemplo.
Determinantes de orden 3. Dada una matriz cuadrada de orden 3,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
su determinante es el número A que se calcula mediante la siguiente expresión:
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes de orden 2:
(a) 30330
21
(b) 54)42(12
46
73
Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:
63
54A
Debemos multiplicar en cruz y restar:
91524356463
54A
Matemáticas II
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Observamos que los distintos sumandos son los elementos de la primera fila de A multiplicados
por el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y la columna en la que está el
elemento (además, el segundo sumando tiene signo negativo):
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
Veamos un ejemplo:
La regla de Sarrus. Si desarrollamos completamente la fórmula del determinante de orden 3
llegamos a una expresión que podemos aplicar directamente:
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Para memorizar esta fórmula se usa el siguiente esquema, conocido como regla de Sarrus:
signo más signo menos
Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:
605
241
532
A
Debemos desarrollar por la primera fila:
64)20(54324205
415
65
213
60
242
605
241
532
El determinante de la matriz A es, por tanto:
64A
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes mediante la regla de Sarrus.
(a) 39)12()5(0)8(030
534
231
012
(b) 4210000032
850
240
031
Tema 7: Determinantes
- 3 -
7.2 DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN
Los determinantes de orden superior a 3 se definen de la misma forma que el determinante de
orden 3. Antes de verlo, conviene introducir algo de terminología.
Matriz complementaria de un elemento. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea ija un
elemento suyo. Se denomina matriz complementaria de ija a la matriz de orden 1n que
resulta de eliminar la fila y la columna en las que se encuentra ija (es decir, la fila i y la
columna j). La matriz complementaria de ija se denota por ijM .
Adjunto de un elemento. Se denomina adjunto del elemento ija al determinante de su matriz
complementaria precedido de un signo + ó – según la suma ji sea par (signo positivo) o
impar (signo negativo). El adjunto del elemento ija se denota por ijA . Podemos resumir lo
anterior simplemente como:
ij
ji
ij MA
1
Ejemplo: Consideremos una matriz de orden 4:
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
La matriz complementaria del elemento 23a es aquella que resulta de eliminar la fila 2 y la
columna 3. Es decir:
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M
Ejemplo: Consideremos una matriz de orden 4:
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A .
Los adjuntos de los elementos de la primera fila son:
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
A
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
A
444241
343231
242221
13
aaa
aaa
aaa
A
434241
333231
232221
14
aaa
aaa
aaa
A
Matemáticas II
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Para determinar el signo de los adjuntos podemos usar el siguiente esquema:
...............
...
...
...
...
Definición de determinante. Sea A una matriz de orden 2n . Su determinante es igual a la
suma de los productos de cada elemento de la primera fila por su adjunto. Es decir:
nn
nnnnn
n
n
n
AaAaAaAa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 11131312121111
321
3333231
2232221
1131211
...
...
............
...
...
...
El determinante de la matriz A también se denota a veces por Adet .
Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:
2120
3014
1260
3152
A
Debemos multiplicar los elementos de la primera fila por sus adjuntos y sumar:
14131211 31)5(2 AAAAA
Calculemos primero los adjuntos correspondientes:
27
212
301
126
11
A 12)12(
210
304
120
12 A
56
220
314
160
13
A 40)40(
120
014
260
14
A
Así, el determinante de la matriz A es:
58403)56(112)5(272
2120
3014
1260
3152
Tema 7: Determinantes
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7.3 DESARROLLO POR CUALQUIER FILA O COLUMNA
Se puede demostrar que, de hecho, para calcular un determinante no es necesario desarrollar por
los elementos de la primera fila, sino que podemos desarrollar por los elementos de cualquier
otra fila o columna. Es decir:
El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de
cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos.
Así, para hacer menos cálculos, conviene desarrollar por la fila o columna que tenga más ceros.
Determinante de una matriz triangular. Es fácil ver que el determinante de una matriz
triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (pues el resto de
sumandos son nulos).
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:
(a)
2302
1142
0200
1231
(b)
2305
6110
1270
3023
(a) Desarrollemos por la segunda fila, con lo que todos los sumandos serán nulos excepto
uno. Además, el adjunto correspondiente es negativo. Así:
36128682
202
142
131
2
2302
1142
0200
1231
(b) Desarrollemos por la primera columna, con lo que habrá dos sumandos no nulos:
578)49(51113
611
127
302
5
230
611
127
3
2305
6110
1270
3023
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes.
(a) 70)1(572
1000
5500
0270
6282
(b) 6035)1(2)2(
31309
05831
00160
00023
00002
Matemáticas II
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7.4 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
El cálculo de un determinante de orden alto desarrollando por alguna fila o columna es muy
pesado. Sus propiedades nos permitirán simplificarlo.
Casos de determinante nulo. Veamos en qué casos el determinante de una matriz es nulo:
(1) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante es cero.
(2) Si una fila o columna es combinación lineal de otras, su determinante es cero.
(3) Si dos filas o columnas son iguales, el determinante es cero.
Transformaciones en filas y columnas. Veamos cómo afectan al determinante las
transformaciones que efectuemos en sus filas o columnas.
(1) Si intercambiamos dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. Por ejemplo:
ihg
cba
fed
ihg
fed
cba
(2) Si sumamos o restamos a una fila o columna por una combinación lineal de otras, el
determinante no varía. Por ejemplo:
ihg
cfbead
cba
ihg
fed
cba
222
(3) Si multiplicamos una fila o columna por un número, el determinante queda multiplicado por
dicho número. Por ejemplo:
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
3
333
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:
(a) 0
1825
2431
0000
7049
(b) 0
5323
2020
3676
5212
(c) 0
0625
7240
12963
4321
(d) 0
7460
5133
5312
0241
Pues:
(a) La segunda fila es nula.
(b) Las columnas primera y tercera son iguales.
(c) La segunda fila es el triple de la primera.
(d) La tercera fila es la suma de las dos primeras.
Tema 7: Determinantes
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Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes. Las propiedades anteriores
permiten simplificar el cálculo de determinantes haciendo 0´s en el mayor número posible de
posiciones de una fila o columna.
Descomposición de un determinante en suma de dos. Si una fila o columna está expresada
como una suma, podemos descomponer el determinante en suma de dos: uno para cada una de
las filas o columnas. Por ejemplo:
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
ihg
fed
ccbbaa
Veamos por último dos propiedades de carácter más teórico.
El determinante de la matriz traspuesta. El determinante de una matriz coincide con el de su
matriz traspuesta:
AAt
El determinante de un producto. El determinante de un producto de matrices es igual al
producto de los determinantes:
BABA
Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:
532
321
321 aaa
La primera fila puede descomponerse como suma de dos:
aaaa
aaaaaa
31
21
312
211
001
532
321
111
532
321
532
321
321
532
321
321
0
Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:
8620202
105
213
422
1050
2130
4220
0241
1211
2130
42102
0241
*)*(*(**)(*)
Hemos hecho:
(*) Sustituimos 2F por 12 2FF , y sustituimos 4F por 14 FF .
(**) Desarrollamos por la primera columna.
(***) Al llegar a un determinante de orden 3, hemos aplicado la regla de Sarrus (también
podíamos haber seguido haciendo 0´s para llegar a un determinante de orden 2).
Matemáticas II
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7.5 EJEMPLOS
Veamos más ejemplos de cálculo de determinantes:
Hagamos un ejemplo más complicado.
El determinante de Vandermonde. Se llama determinante de Vandermonde a aquél en el que
cada columna está formada por las potencias sucesivas de cierto número: 1, a, 2a ,
3a ,…
Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:
(a) 5...
210
310
331
7103
972
331
71003
9702
3301
0214
7817
9702
3513
0214
(b) 2)1()1)(1(
100
110
11
1
11
11
1
1
aaaaa
a
aa
a
a
aa
a
a
a
aaa
aa
aa
Ejemplo: Calcular el determinante de Vandermonde de orden 3,
222
111
cba
cba
Hagamos 0´s en la primera columna:
)()(
0
0
111111
22
22
(*)
222 accabb
acab
accabb
acab
accabb
acab
cba
cba
))()((11
))(( bcacabcb
acab
(En el paso (*) hemos sustituido 3F por 23 aFF y 2F por 12 aFF )
Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:
3(**)(*)
)1)(3(
1000
0100
0010
1113
1001
0101
0011
111
111
111
111
111
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
Hemos hecho:
(*) Restamos la primera fila a las restantes.
(**) Sumamos a la primera columna todas las restantes.
Tema 7: Determinantes
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7.6 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
Recordamos que el rango de una matriz se define como el número de filas o columnas
linealmente independientes que tiene la matriz. Para simplificar la exposición, nos referiremos
únicamente de las columnas (aunque lo que digamos será igualmente válido para las filas).
Menores de una matriz. Sea A una matriz cualquiera (no necesariamente cuadrada). Se
denomina menor de A al determinante de cualquier matriz cuadrada que resulte de eliminar
ciertas filas y columnas de A.
Menores y dependencia lineal. Si una matriz tiene un menor no nulo de orden k, ninguna de las
columnas correspondientes puede ser combinación lineal del resto. Es decir, son linealmente
independientes (l.i.). Escribámoslo con más detalle:
mnmm
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A
CCC
...
.........
...
...
...
21
22221
11211
21
-Si existe un menor no nulo de orden 2, las dos columnas correspondientes son linealmente
independientes. Por ejemplo:
02221
1211
aa
aa1C y 2C son l.i.
-Si existe un menor no nulo de orden 3, las tres columnas correspondientes son linealmente
independientes. Por ejemplo:
0
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1C , 2C y 3C son l.i.
…
Recíprocamente, si los menores que podamos formar a partir ciertas columnas son nulos,
entonces estas columnas son linealmente dependientes.
Cálculo del rango usando determinantes. Según lo dicho, para calcular el rango de una matriz
debemos partir de dos columnas linealmente independientes e ir añadiendo otras una a una de
modo que den lugar a menores no nulos. Cuando no podamos añadir columnas con las que
formar menores no nulos, es que ya habremos alcanzado el rango de la matriz.
Ejemplo: El menor resultante de eliminar la segunda fila y las dos últimas columnas de una
matriz de orden 43 es:
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A 3231
1211
aa
aa
Matemáticas II
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Condición de rango máximo para matrices cuadradas. De acuerdo con lo que hemos visto, si
A es una matriz cuadrada de orden n su rango será exactamente n si y sólo si 0A .
0 AnAr
Ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:
11915
3330
0421
A
(i) Las columnas 1C y 2C son linealmente independientes, pues:
0330
21
(ii) La columna 3C es combinación lineal de 1C y 2C , pues:
03603027
915
330
421
,,det 321
CCC
(iii) La columna 4C es combinación lineal de 1C y 2C , pues:
033033
1115
330
021
,,det 421
CCC
Así, concluimos que A tiene dos columnas linealmente independientes. Por lo tanto:
2Ar
Ejemplo: Determinar el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro a.
421
82
21
a
a
A
El determinante de A es:
24 aA
Veamos en primer lugar para qué valores se anula el determinante de A:
40402
aaA
Así, si 4a el determinante no se anula y la matriz tiene rango 3. Por otro lado se
comprueba que para 4a la matriz resultante tiene rango 1. Recapitulando:
34 Ara
14 Ara
Tema 7: Determinantes
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7.7 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
Finalmente, veamos una fórmula para calcular la inversa de una matriz. Antes debemos
introducir un nuevo concepto: el de matriz adjunta.
La matriz adjunta. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se denomina adjunta de A a la matriz
que tiene por elementos los adjuntos de los elementos correspondientes de A. Por ejemplo, si A
es una matriz de orden 3, su adjunta es:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
Adj
AAA
AAA
AAA
A
aaa
aaa
aaa
A
La matriz inversa. Sea A una matriz cuadrada. A es invertible únicamente si su determinante es
distinto de cero 0A . En tal caso, su matriz inversa es:
tAA
A Adj11
Ejemplo: Calcular la matriz adjunta de:
201
120
311
A
Los adjuntos de A son:
411 A 112 A 213 A
221 A 522 A 123 A
731 A 132 A 233 A
Por tanto, la matriz adjunta es:
217
152
214
Adj A
Ejemplo: Calcular la inversa de la siguiente matriz:
101
422
013
A
El determinante de A es:
4A
La matriz adjunta de A es:
8124
131
222
Adj A
[...]
Matemáticas II
- 12 -
Veamos la inversa de una matriz de orden 2:
Ecuaciones con matrices. Una ecuación con matrices se resuelve de forma similar a una
ecuación numérica, pero recordando que para despejar una incógnita que está multiplicando a
una matriz debemos multiplicar por la matriz inversa de dicha matriz:
Caso 1: BAX BAAXA 11 BAX 1
Caso 2: BXA 11 BAXAA 1 BAX
* En ocasiones no podemos multiplicar por la inversa para despejar la incógnita. Por ejemplo en
la ecuación XAAX . En tal caso, no nos queda más remedio que plantear un sistema de
ecuaciones con los elementos de la matriz X como incógnitas.
[…]
Por lo tanto, la matriz inversa de A es:
24/12/1
34/32/1
14/12/1
812
1232
412
4
1 Adj
11 tA
AA
Ejemplo: Calcular la inversa de la siguiente matriz:
54
32A
El determinante de A es 2A . Calculemos la matriz adjunta:
23
45 Adj A
(El determinante de una matriz de orden 1 es igual a su único elemento). Por lo tanto, la
matriz inversa de A es:
12
2/32/5
24
35
2
1 Adj
11 tA
AA
Ejemplo: Resolver la ecuación XBAX , siendo
31
32A y
12
01B .
(i) Despejamos X:
BIAXBXIABXAXXBAXIXX
1
(ii) La inversa de IA es:
11
321IA .
(iii) Así:
11
34
12
01
11
321BIAX
Tema 7: Determinantes
- 13 -
ANEXO: DEFINICIÓN DE DETERMINANTE USANDO PERMUTACIONES
Veamos una manera alternativa de definir el determinante de una matriz.
Permutaciones. Una permutación de n elementos es una reordenación de los n primeros enteros
positivos (1, 2, 3,…, n). Por ejemplo, las permutaciones de 3 elementos son:
1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1
Se denomina permutación identidad a aquella en la que los elementos están en su orden natural:
1,2,3,…,n
* Es fácil probar que el número de permutaciones de n elementos es:
nn ...432!
Por ejemplo, el número de permutaciones de 4 elementos es 24432!4 .
Trasposiciones. Se denomina trasposición al intercambio de dos elementos de una permutación.
Por ejemplo, al aplicar la trasposición “intercambiar los elementos primero y tercero” a la
permutación 4,2,3,1 obtenemos 3,2,4,1. Esquemáticamente:
1,4,2,31,3,2,4º3º1
Signo de una permutación. Las permutaciones tienen signo positivo o negativo dependiendo
del número de trasposiciones que hay que aplicarles para obtener la permutación identidad:
-Si se necesita un número par de trasposiciones para obtener la permutación identidad se dice
que la permutación tiene signo positivo.
-Si se necesita un número impar de trasposiciones para obtener la permutación identidad se
dice que la permutación tiene signo negativo.
Ejemplo: Determinar el signo de las siguientes permutaciones de 5 elementos:
(a) 3,4,5,1,2.
5,4,3,2,14,5,3,2,14,3,5,2,12,3,5,4,12,1,5,4,3º5º4º4º3º5º2º4º1
Hemos necesitado cuatro trasposiciones (un número par): la permutación es positiva.
(b) 1,5,4,2,3.
5,4,3,2,15,3,4,2,15,2,4,3,13,2,4,5,1º4º3º4º2º5º2
Hemos necesitado tres trasposiciones (un número impar): la permutación es negativa.
Ejemplo: Escribir todas las permutaciones de 4 elementos.
1,2,3,4 2,1,3,4 3,1,2,4 4,1,2,3
1,2,4,3 2,1,4,3 3,1,4,2 4,1,3,2
1,3,2,4 2,3,1,4 3,2,1,4 4,2,1,3
1,3,4,2 2,3,4,1 3,2,4,1 4,2,3,1
1,4,2,3 2,4,1,3 3,4,1,2 4,3,1,2
1,4,3,2 2,4,3,1 3,4,2,1 4,3,2,1
Matemáticas II
- 14 -
Dada una permutación, hay varias series distintas de trasposiciones que nos conducen a la
permutación identidad, pero todas ellas tienen la misma paridad.
Definición de determinantes usando permutaciones. Dada una matriz cuadrada de orden n,
ijaA , su determinante es el número que se obtiene mediante la adición de varios sumandos,
cada uno de los cuales:
(i) Es el producto de n factores, de modo que haya un único elemento de cada fila y de cada
columna.
(ii) Si en cada sumando ordenamos los factores por orden ascendente de filas, el signo del
sumando corresponde al signo de la permutación de los índices de las columnas.
El determinante de la matriz A se representa por A o por Adet :
......det 2211
21
22221
11211
nn
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
AA
* El desarrollo de un determinante de orden n estará formado por !n sumandos, uno por cada
permutación. Así, por ejemplo, el desarrollo de un determinante de orden 4 tiene 24 sumandos,
y el de un determinante de orden 5 tiene 120 sumandos.
Ejemplo: Sea A una matriz de orden 3:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Escribamos los sumandos que aparecen en el desarrollo del determinante junto con su signo
(cada sumando debe estar ordenado en orden ascendente de filas, kji aaa 321 ):
1,2,3
2,1,3
1,3,2
3,1,2
2,3,1
3,2,1
312213
322113
312312
332112
322311
332211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Signocolumnaslasde
nPermutacióSumando
Tenemos así la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3:
322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Tema 7: Determinantes
- 15 -
Cálculo de determinantes
1. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:
71
53A
42
63B
15
57C
40
96D
2. Calcula los determinantes de las siguientes matrices aplicando la definición (es decir,
desarrollando por los elementos de la primera fila):
087
654
321
A
322
645
131
B
122
052
131
C
3. Calcula los determinantes de las siguientes matrices de orden 3 mediante la regla de Sarrus:
146
132
312
A
315
432
211
B
150
431
012
C
8130
1016
321
D
4. Calcula el siguiente determinante de orden 4 aplicando la definición:
1122
3024
3220
4321
5. Calcula los siguientes determinantes desarrollando por la fila o columna más conveniente.
(a)
4014
2010
0321
1052
(b)
0111
1012
0101
1101
6. Calcula el siguiente determinante:
x
x
x
x
001
100
010
001
Propiedades de los determinantes
7. Los siguientes determinantes son todos iguales a 0. Indica por qué:
(a)
363
252
141
(b)
504
826
413
(c)
4105
173
532
EJERCICIOS DEL TEMA 7
Matemáticas II
- 16 -
8. Calcula mentalmente:
(a)
4000
8100
9320
3173
(b)
3021
7012
3068
2034
9. Calcula los siguientes determinantes haciendo 0´s en alguna fila o columna:
(a)
1012
2231
1211
2101
(b)
8259
3313
7104
4226
10. Calcula los siguientes determinantes:
(a)
1121
2401
3212
1131
(b)
0116
1210
1110
2001
11. Calcula los siguientes determinantes:
(a)
3
3
3
3
xxx
xxx
xxx
xxx
(b)
abcm
bbcm
cccm
mmmm
12. Usa las propiedades de los determinantes para comprobar que los siguientes determinantes
son nulos.
(a)
321
111
321 aaa
(b)
6352
4332
2312
xxx
xxx
xxx
13. Sabiendo que 6
17
10
13
z
y
x
, calcula los siguientes determinantes:
(a)
332/
32/
372/
xx
yy
zz
(b)
2060
217
210
213
z
y
x
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(a) 0
201
1
12 xx
xx
(b) 0
011
111
11
011
x
x
xx
x
Tema 7: Determinantes
- 17 -
Calculo del rango de una matriz
15. Calcula el rango de las siguientes matrices usando determinantes:
3103
2112
1015
A
77440
23121
54321
B
16. Calcula el rango de las siguientes matrices usando determinantes:
072
645
132
A
01313
4814
0212
2301
B
17. Discute el rango de la matriz
a
a
a
A
11
11
11
para los distintos valores del parámetro a.
18. Calcula el rango de la matriz
211
221
01
A en función del parámetro ℝ.
19. Calcula el rango de la matriz
0121
10
112
A en función del parámetro ℝ.
20. Discute el rango de la siguiente matriz para los distintos valores del parámetro k.
1
10
321
654
kkk
kk
k
k
A
21. Se consideran las siguientes matrices:
24
11A y
14
01B
Determina los valores de c tales que la matriz cBA no tenga rango 2.
22. Consideremos las matrices:
221
211A y
2
1
k
B
Se pide:
(a) La matriz AABBM tt .
(b) Determina el rango de la matriz M en función del parámetro k ℝ.
Matemáticas II
- 18 -
La matriz inversa
23. Calcula la inversa de las siguientes matrices:
73
21A
41
23B
55
13C
24. Calcula la inversa de las siguientes matrices:
223
012
222
A
100
212
111
B
867
015
432
C
25. Estudia para qué valores de m la siguiente matriz tiene inversa y, en caso de ser posible,
halla su inversa para 1m .
mm
m
0
110
10
26. Dada la matriz
100
011
001
A se pide:
(a) Encuentra la expresión para la potencia n-ésima de A. Es decir, calcula nA .
(b) Razona que la matriz nA tiene inversa para cualquier n ℕ, 1n , y calcula dicha inversa.
Ecuaciones con matrices
27. Resuelve la ecuación matricial 0 CBAX , donde:
01
14A ,
0112
1021B y
0301
1210C
28. Sean las matrices Resuelve la ecuación matricial BXAX , donde X es una matriz de
orden 22 y A y B son:
42
20A y
12
11B
29. Resuelve la ecuación matricial BXXA , donde:
12
11A y
20
11B
30. Resuelve la ecuación matricial IBXAC , donde las matrices A, B y C son:
21
43A
10
11B
11
01C .
Tema 7: Determinantes
- 19 -
31. Resuelve la ecuación IAAX 2 , siendo X una matriz cuadrada de orden 3, I la matriz
identidad de orden 3, y A la siguiente matriz:
102
010
011
A
32. Resuelve la ecuación matricial 222
IAXXAX , siendo 2I la matriz identidad
de orden 2 y
01
11A .
Selección de Ejercicios de PAEG
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Septiembre 2009-2010
Reserva II 2010-2011
Junio 2011-2012
Matemáticas II
- 20 -
Reserva I 2011-2012
Junio 2012-2013
Junio 2012-2013
Junio 2013-2014