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TEMA 2Espacios vectoriales y espacios vectoriales

euclıdeos

Ingenierıa Civil - Administracion y Direccion de Empresas

MatemáticaDepartamento de

Aplicada

Curso 2018-2019

5 de abril de 2019

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ındice Departamento de Matemática Aplicada

1. Espacio vectorial. Subespacio vectorial. Subespacio complementario1.1 Espacio vectorial1.2 Subespacio vectorial

2. Combinacion lineal. Espacio generado por un conjunto de vectores. Sistemade generadores. Dependencia e independencia lineales2.1 Combinacion lineal. Espacio generado por un conjunto de vectores2.2 Dependencia e independencia lineales

3. Base de un espacio vectorial. Dimension. Coordenadas. Cambio de base3.1 Base de un espacio vectorial3.2 Dimension de un espacio vectorial3.3 Coordenadas3.4 Cambio de base

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ındice (cont.) Departamento de Matemática Aplicada

4. Ecuaciones parametricas e implıcitas de un subespacio vectorial4.1 Ecuaciones parametricas4.2 Ecuaciones implıcitas o cartesianas4.3 Ejemplos de ecuaciones parametricas y cartesianas

5. Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo5.1 Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo

6. Base ortogonal y base ortonormal. Metodo de ortogonalizacion deGram-Schmidt. Complemento ortogonal6.1 Base ortogonal y base ortonormal6.2 Metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt6.3 Complemento ortogonal

7. Aproximacion por mınimos cuadrados7.1 Aproximacion por mınimos cuadrados

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1.1. Espacio vectorial (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 1.1Un espacio vectorial real V es un conjunto, cuyos elementosdenominaremos vectores, dotado de dos leyes de composicion,llamadas suma (+) y producto por un numero real o producto porescalares (·), que verifican las propiedades siguientes.

1. Asociativa de la suma.

(u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v ,w ∈ V

2. Conmutativa de la suma.

u + v = v + u, ∀u, v ∈ V

3. Existencia de elemento neutro para la suma.

∃ 0 ∈ V t.q. u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V

4. Existencia de elemento opuesto para la suma.

∀u ∈ V ∃ − u ∈ V t.q. u + (−u) = −u + u = 0

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Definicion 1 (1.1 cont.)

5. Distributiva respecto de la suma de vectores.

α(u + v) = αu + αv , ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V

6. Distributiva respecto de la suma de reales.

(α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V

7. Pseudo-asociativa.

α(βu) = (αβ)u, ∀α, β ∈ R, ∀u ∈ V

8. Elemento identidad para el producto.

1u = u, ∀u ∈ V (1 ∈ R)

El espacio vectorial V se denota por (V ; +, ·).

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Ejemplo 1.2

Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas.

I El conjunto de n-uplas de Rn = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, . . . , n} con lasuma de vectores y el producto por un numero real usuales.

I El conjunto de matrices Mn×m(R) con la suma de matrices y el productopor un numero real usuales.

I El conjunto Pn = {a0 + a1x + · · ·+ anxn | a0, a1, . . . , an ∈ R} con la suma

de polinomios y el producto por un numero real usuales.

I El conjunto de vectores x ∈ Rn tales que Ax = 0V , donde A ∈Mn×m(R)y 0V ∈ Rm es el vector nulo.

I El conjunto de funciones definidas en un intervalo f : [a, b]→ R, con lasuma de funciones y el producto por un numero real.

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Resultado 1.3Si V es un espacio vectorial, entonces se satisfacen las propiedadessiguientes.

I α0 = 0, ∀α ∈ R (0 ∈ V ).

I 0u = 0, ∀u ∈ V .¡OJO! El 0 a la izquierda de la igualdad es un numero real y el de la

derecha es un vector.

I Si αu = 0, entonces α = 0 ∈ R o u = 0 ∈ V .

I (−α)u = −(αu), ∀u ∈ V .

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1.2. Subespacio vectorial. Subespacio complementario (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 1.4Sean V un espacio vectorial y U un subconjunto de V . Diremosque U es un subespacio vectorial de V si U es un espacio vectorialpara las mismas leyes (suma y producto por un numero real)definidas en V .

Resultado 1.5Sean V un espacio vectorial y U ⊆ V . Entonces U es unsubespacio vectorial de V si, y solo si, se cumplen las propiedadessiguientes.

1. Para todo u, v ∈ U se verifica que u + v ∈ U.

2. Para todo u ∈ U y todo α ∈ R se verifica que αu ∈ U.

Resultado 1.6Sean V un espacio vectorial y U ⊆ V . Entonces U es unsubespacio vectorial de V si, y solo si, para cualesquiera u, v ∈ U ypara todo α, β ∈ R se verifica que αu + βv ∈ U.

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Ejemplo 1.7

Veamos algunos ejemplos de subespacios vectoriales.

I Si V es un espacio vectorial, entonces {0} y V son subespaciosvectoriales de V (los llamados subespacios vectoriales triviales oimpropios). El resto se denominan subespacios propios o no triviales.

I Si V = Rn, el subconjunto {(0, x2, . . . , xn)} (formado por los vectores deV cuya primera componente es nula) es un subespacio vectorial.

I En V =Mn×n(R) son subespacios vectoriales? el conjunto de las matrices triangulares inferiores;? el conjunto de las matrices triangulares superiores;? el conjunto de las matrices diagonales;? el conjunto de las matrices simetricas (A = At);? el conjunto de las matrices antisimetricas (At = −A);? el conjunto de las matrices de traza nula.

I Si V = Pn, el conjunto U = {a0 + a2x2 + · · ·+ anx

n} (formado por lospolinomios que no tienen termino en x) es un subespacio de V .

I Si V = {f : [a, b]→ R}, el conjunto U formado por las funcionescontinuas en [a, b] es un subespacio vectorial de V .

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Definicion 1.8Sea V un espacio vectorial y sean U1 y U2 subespacios de V .

I U1 + U2 := {v1 + v2 | v1 ∈ U1, v2 ∈ U2}.I U1 ∩ U2 := {v ∈ V | v ∈ U1, v ∈ U2}.

Resultado 1.9Sea V un espacio vectorial. Si U1,U2 son subespacios vectorialesde V , entonces U1 + U2 y U1 ∩ U2 tambien son subespaciosvectoriales de V .

Definicion 1.10Sean un espacio vectorial V y un subespacio vectorial suyo U. Sedenomina subespacio complementario de U a cualquier subespaciovectorial Uc ⊆ V tal que U + Uc = V y U ∩ Uc = {0}.

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2.1. Combinacion lineal. Sistema de generadores (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 2.1Sea V un espacio vectorial y sean v1, . . . , vm vectores de V. Sellama combinacion lineal de dichos vectores a cualquier vector vobtenido de la forma

v = α1v1 + · · ·+ αmvm, α1, . . . , αm ∈ R,

donde α1, . . . , αm son los escalares de la combinacion lineal.

Resultado 2.2Sea S = {v1, . . . , vm} un conjunto de m vectores. Entonces elconjunto de vectores de la forma

v = α1v1 + · · ·+ αmvm, α1, . . . , αm ∈ R,

(esto es, las combinaciones lineales de vectores de S) es unsubespacio vectorial de V . Ademas, si U es un subespacio vectorialde V tal que S ⊆ U, entonces L(S) ⊆ U.

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Definicion 2.3El subespacio vectorial descrito en el Resultado 2.2 se denominaespacio generado por S y es denotado por L(S).

Definicion 2.4Diremos que un conjunto de vectores S = {v1, . . . , vm} ⊆ V es unsistema de generadores (o conjunto generador) de un subespaciovectorial U si todo vector u ∈ U se puede expresar de la formau = α1v1 + · · ·+ αmvm para ciertos escalares α1, . . . , αm ∈ R(equivalentemente, si U es el espacio generado por S ; esto es,U = L(S)).

Observacion 2.5Un subespacio vectorial puede admitir un sistema de generadoresformado por infinitos vectores. Sin embargo, nosotros estamosinteresados en espacios vectoriales con sistemas de generadoresfinitos.

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Ejemplo 2.6

Un sistema de generadores de P[x ] es {xn}∞n=0, que no es finito.

Observacion 2.7En este tema vamos a suponer que cualquier espacio vectorial V esfinitamente generado, es decir, que V admite un sistema degeneradores S finito (o sea, S esta compuesto por numero finito devectores).

Ejemplo 2.8

Sea {v1, . . . , vm} un sistema de generadores de un espacio vectorial V .Entonces tambien son sistema de generadores de V los siguientes conjuntos.

I {v1, . . . , vi , . . . , vj , . . . , vm, vm+1}, vm+1 ∈ V .

I {v1, . . . , vj , . . . , vi , . . . , vm}.I {v1, . . . , αvi , . . . , vj , . . . , vm}, α ∈ R, α 6= 0.

I {v1, . . . , vi + βvj , . . . , vj , . . . , vm}, β ∈ R.

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2.2. Dependencia e independencia lineales (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 2.9I Diremos que los vectores {v1, . . . , vm} de V forman un

conjunto linealmente independiente si, dada una combinacionlineal del tipo

α1v1 + · · ·+ αmvm = 0,

entonces se cumple necesariamente que

α1 = α2 = . . . = αm = 0.

I En cualquier otro caso se dice que v1, . . . , vm son linealmentedependientes.

Resultado 2.10Los vectores v1, . . . , vn de V son linealmente dependientes si, ysolo si, uno cualquiera de ellos es una combinacion lineal de losrestantes.

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2.2. Dependencia e independencia lineales (2) Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 2.11Sea {v1, . . . , vm} un conjunto de vectores de V . Entonces severifican los resultados siguientes.

I Los vectores {v1, . . . , vm, 0} son linealmente dependientes.

I Si los vectores {v1, . . . , vm} son linealmente dependientesentonces, para cualquier v ∈ V , los vectores {v1, . . . , vm, v}son linealmente dependientes.

I Si {v1, . . . , vm−1, vm} son linealmente independientes entonceslos vectores {v1, . . . , vm−1} son linealmente independientes.

I Si v1 6= 0 entonces {v1} es un conjunto de vectoreslinealmente independiente.

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3.1. Base de un espacio vectorial Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 3.1Se dice que un conjunto de vectores B = {v1, . . . , vm} de V es unabase del espacio vectorial V si verifica las propiedades siguientes.

i) B = {v1, . . . , vm} es un conjunto generador de V , esto es,V = L(B).

ii) B es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Resultado 3.2Sean un espacio vectorial V y B = {v1, . . . , vn} una base de V .Entonces todo vector v ∈ V puede expresarse de forma unica comouna combinacion lineal de los vectores B.

Definicion 3.3Sea B = {v1, . . . , vn} una base del espacio vectorial V . Si un vectorv ∈ V se expresa (de forma unica) como v = a1v1 + · · ·+ anvn,entonces los coeficientes a1, . . . , an se denominan coordenadas dev en la base B, denotandose por v = (a1, . . . , an)B .

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3.2. Dimension de un espacio vectorial Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 3.4Dado un espacio vectorial V , todas las bases de V tiene el mismonumero de vectores.

Definicion 3.5Llamaremos dimension de un espacio vectorial V al numero devectores de cualquiera de sus bases.

Resultado 3.6I Sea V un espacio vectorial de dimension n y consideremos

S = {v1, . . . , vm} (conjunto de m vectores linealmenteindependientes de V ).

I Entonces existe un conjunto con n −m vectores de V ,S ′ = {wm+1, . . . ,wn}, tal que {v1, . . . , vm,wm+1, . . . ,wn}es una base de V .

I Ademas, el subespacio vectorial L(S ′) es un subespaciocomplementario de L(S).

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3.3. Coordenadas Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 3.7Dado un espacio vectorial V , se verifican las propiedadessiguientes.

i) Las coordenadas de un vector en una base dada son unicas.(¡OJO! Este es el Resultado 3.2).

ii) Los vectorese1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 1) ∈ Rn

forman la llamada base canonica de Rn (denotada por Bc).

iii) Las coordenadas del vector v = (a1, . . . , an) ∈ Rn en la basecanonica son sus componentes, es decir, v = (a1, . . . , an)Bc .

Observacion 3.8La dimension de Rn es n ya que la base canonica tiene n vectores.

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3.4. Cambio de base (1) Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 3.9I Sean B = {v1, . . . , vn} y B ′ = {v ′1, . . . , v ′n} dos bases de un

espacio vectorial V de dimension n y v ∈ V .

I Sea P la matriz cuyas columnas son las coordenadas de losvectores de B en la base B ′.

I Sean X = (x1, . . . , xn) y X ′ = (x ′1, . . . , x′n) las coordenadas de

v en las bases B y B ′, respectivamente.

I Entonces se cumple la igualdad X ′ = PX .

Definicion 3.10I La igualdad X ′ = PX (dada en Resultado 3.9) se denomina

ecuacion del cambio de base de B a B ′.

I La matriz P (descrita en Resultado 3.9) se denomina matrizdel cambio de base de B a B ′.

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3.4. Cambio de base (2) Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 3.11I Sean B = {v1, . . . , vn} y B ′ = {v ′1, . . . , v ′n} dos bases de un

espacio vectorial V de dimension n y v ∈ V .

I Sea P la matriz formada por las coordenadas de los vectoresde B en la base B ′ (dispuestas por columnas).

I Entonces P−1 es la matriz del cambio de base de B ′ a B yesta constituida por las coordenadas de los vectores de B ′ enla base B (dispuestas por columnas).

I Ademas, la ecuacion matricial del cambio de base de B ′ a Bes X ′ = P−1X .

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4.1. Ecuaciones parametricas (1) Departamento de Matemática Aplicada

A continuacion vamos a describir que son y como llegar a las ecuacionesparametricas de un subespacio vectorial.

I Sean V un espacio vectorial de dimension n y BV = {v1, v2, . . . , vn} unade sus bases.

I Sean U un subespacio vectorial de V de dimension m < n yBU = {u1, u2, . . . , um} una de sus bases.

I Si x ∈ U, entonces existen escalares λi , 1 ≤ i ≤ m, tales que

x = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λmum. (1)

I Por otra parte, puesto que tambien x ∈ V , entonces existen escalares xi ,1 ≤ i ≤ n, tales que

x = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn. (2)

I ¿Que relacion hay entre las coordenadas (x1, . . . , xn)BV y las coordenadas(λ1, . . . , λm)BU ?

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I Como cada vector ui pertenece al espacio vectorial V , entonces existenescalares aij tales que

u1 = a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvn,

u2 = a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn,

...

um = am1v1 + am2v2 + · · ·+ amnvn.

I Sustituyendo estas expresiones en (1), obtenemos

x = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λmum

= λ1(a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvn)+

λ2(a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn)+

...

λm(am1v1 + am2v2 + · · ·+ amnvn).

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I De donde,

x = (λ1a11 + λ2a21 + · · ·+ λmam1)v1+

(λ1a12 + λ2a22 + · · ·+ λmam2)v2+

...

(λ1a1n + λ2a2n + · · ·+ λmamn)vn.

I Ahora, teniendo en cuenta (2) y la unicidad de coordenadas (en unamisma base), deducimos que

x1 = λ1a11 + λ2a21 + · · ·+ λmam1

x2 = λ1a12 + λ2a22 + · · ·+ λmam2

...xn = λ1a1n + λ2a2n + · · ·+ λmamn

. (3)

Estas son las ecuaciones parametricas de U (en la base BV ).

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I En forma matricial, las ecuaciones parametricas de U (en la base BV )viene dadas por

x1

x2

...xn

=

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2

......

...a1n a2n · · · amn

λ1

λ2

...λm

.

Ejemplo 4.1

Consideremos el subespacio vectorial de R4 dado por

U = L ({(2, 3,−1, 1), (0, 2, 1, 4), (4, 4,−1,−2), (2, 1, 0,−3)}) .

Calculemos sus ecuaciones parametricas en la base canonica de R4.

I Tomamos

u1 = (2, 3,−1, 1), u2 = (0, 2, 1, 4), u3 = (4, 4,−1,−2), u4 = (2, 1, 0,−3).

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Ejemplo (4.1 cont.)

I Para calcular una base de U, formamos la matriz cuyas filas son losvectores generadores de U y estudiamos su rango.

2 3 −1 10 2 1 44 4 −1 −22 1 0 −3

.

I Mediante transformaciones elementales, obtenemos una forma escalonadaequivalente de dicha matriz.

2 3 −1 10 2 1 44 4 −1 −22 1 0 −3

→

2 3 −1 10 2 1 40 −2 1 −40 −2 1 −4

→

2 3 −1 10 2 1 40 0 2 00 0 0 0

.

I Observemos que las transformaciones en

? el primer paso han sido F3 − 2F1 y F4 − F1;? el segundo paso fueron F3 + F2 y F4 − F2.

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Ejemplo (4.1 cont.)

I Por tanto, en la matriz resultante

? la primera fila corresponde al vector u1 y la segunda a u2;? la tercera fila esta asociada al vector (u3 − 2u1) + u2 y la cuarta a

(u4 − u1) + u2.

I De esta forma,

U = L ({u1, u2, u3 + u2 − 2u1, u4 + u2 − u1})= L ({(2, 3,−1, 1), (0, 2, 1, 4), (0, 0, 2, 0), (0, 0, 0, 0)})= L ({(2, 3,−1, 1), (0, 2, 1, 4), (0, 0, 2, 0)}) .

I Como el rango de la matriz resultante es igual a tres, una base de U es

{(2, 3,−1, 1), (0, 2, 1, 4), (0, 0, 2, 0)} .

Por cierto, los vectores de la base estan expresados en coordenadasrespecto de la base canonica de R4.

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Ejemplo (4.1 cont.)

I Si (x1, x2, x3, x4)T son las coordenadas de un vector de U, en la basecanonica de R4, entonces

x1

x2

x3

x4

= λ1

23−11

+ λ2

0214

+ λ3

0020

, λ1, λ2, λ3 ∈ R.

I Ası, concluimos que

x1 = 2λ1

x2 = 3λ1 + 2λ2

x3 = −λ1 + λ2 + 2λ3

x4 = λ1 + 4λ2

(4)

son las ecuaciones parametricas de U.

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4.2. Ecuaciones implıcitas o cartesianas (1) Departamento de Matemática Aplicada

Veamos ahora que son y como llegar a las ecuaciones implıcitas ocartesianas de un subespacio vectorial.

I Consideremos un subespacio vectorial U de un espacio vectorial V .

I Supongamos que las ecuaciones parametricas de U (con respecto acierta base BV ) vienen dadas por conjunto de n ecuacionesparametricas que involucran m parametros.

I Entonces es posible despejar los parametros de ciertas ecuaciones ysustituirlos en las restantes, con lo que obtenemos n−m ecuacionesen las que no aparecen los parametros y que, ademas, constituyenun sistema homogeneo.

I El conjunto de dichas n −m ecuaciones se conoce como ecuacionesimplıcitas o cartesianas de U.

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Resultado 4.2I Sea U = L(S) el subespacio vectorial generado por los

vectores del conjunto finito S linealmente independiente de unespacio vectorial V .

I Entonces el numero de ecuaciones cartesianas de U es igual adimV − dimU.

Ejemplo 4.3

I Aplicando el Resultado 4.2 al subespacio U del Ejemplo 4.1, tenemos queel numero de ecuaciones cartesianas de U es igual a 4− 3 = 1.

I A partir de las ecuaciones parametricas de U dadas en (4),

? λ1 = 12x1;

? λ2 = 12 (x2 − 3λ1) = 1

2x2 − 34x1;

? λ3 = 12 (x3 + λ1 − λ2) = 1

2x3 + 58x1 − 1

4x2.

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Ejemplo (4.3 cont.)

I Ahora, sustituyendo en la ultima ecuacion de (4), tenemos quex4 = x1

2+ 2x2 − 3x1, de donde (tras operar adecuadamente)

5x1 − 4x − 2 + 2x4 = 0

es la ecuacion cartesiana de U.

I Obtengamos el mismo resultado usando notacion matricial. En efecto, lamatriz

M =

2 3 −1 10 2 1 40 0 2 0x1 x2 x3 x4

no debe alcanzar rango 4 (¿por que?).

I Ası, un vector cualquiera (x1, x2, x3, x4) de U debe ser combinacion linealde los vectores de la base {(2, 3,−1, 1), (0, 2, 1, 4), (0, 0, 2, 0)} de U.

I Imponiendo que detM = 0, resulta que 5x1 − 4x2 + 2x4 = 0 es laecuacion cartesiana de U.

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4.3. Ejemplos de ecuaciones parametricas y cartesianas (1) Departamento de Matemática Aplicada

Ejemplo 4.4

I Siendo S = {(−1, 0, 2, 1), (3, 0, 0,−1), (1, 0, 4, 1), (0, 0, 6, 2)}, calculemosuna base de U = L(S), su dimension y sus ecuaciones tanto parametricascomo cartesianas.

I Efectuando transformaciones elementales en la matriz

A =

−1 0 2 13 0 0 −11 0 4 10 0 6 2

,

obtenemos la matriz equivalente (por filas)1 0 −2 −10 0 3 10 0 0 00 0 0 0

.

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Ejemplo (4.4 cont.)

I Por tanto, una base de U es {(1, 0,−2,−1), (0, 0, 3, 1)}, su dimension esdimU = 2 y las ecuaciones parametricas viene dadas por

x1 = λ

x2 = 0

x3 = −2λ+ 3µ

x4 = −λ+ µ

. (5)

I Despejando λ en la primera ecuacion y µ en la cuarta, podemos sustituirambos parametros en la tercera.

I Ası, teniendo en cuenta la segunda ecuacion del sistema (5) (que no tieneparametros), obtenemos las ecuaciones cartesianas de U,

x1 − x3 + 3x4 = 0

x2 = 0

}.

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Ejemplo (4.4 cont.)

I Veamos un modo diferente de obtener las ecuaciones implıcitas de U.Para ello en el sistema (5) consideramos que λ, µ son las incognitas.

I En tal caso, la matriz ampliada viene dada por

−1 0 x1

0 0 x2

2 3 x3

1 1 x4

.

I Aplicando transformaciones elementales, tenemos la matriz escalonada1 0 −x1

0 1 x1 + x4

0 0 −x1 + x3 − 3x4

0 0 x2

.

I Como este sistema es compatible determinado (pues las coordenadas deun vector cualquiera de U en la base calculada existen y son unicas),deducimos que los dos ultimos terminos independientes deben ser nulos.

I Ası tenemos que las ecuaciones cartesianas de U son

x1 − x3 + 3x4 = 0

x2 = 0

}.

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Ejemplo 4.5

I Sea el subespacio vectorial de U ⊆ R4 con ecuaciones cartesianas

x1 − 2x2 + x4 = 0x1 − 3x3 + 2x4 = 0

x1 + 2x2 − 6x3 + 3x4 = 0

.

Calculemos las ecuaciones parametricas, una base y la dimension de U.Por cierto, ¿pertenece el vector (1, 1, 1, 1) a este subespacio vectorial?

I Las ecuaciones parametricas se pueden obtener como la solucion delsistema compatible indeterminado que constituyen las ecuacionescartesianas.1 −2 0 1 0

1 0 −3 2 01 2 −6 3 0

−→1 0 −3 2 0

0 1 − 32

12

00 0 0 0 0

.

(¡Compruebese que la matriz reducida obtenida es correcta!).

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Ejemplo (4.5 cont.)

I Por tanto, las ecuaciones parametricas de U son

x1 = 3λ− 2µ

x2 = 32λ− 1

2µ

x3 = λ

x4 = µ

.

I Ası, B = {(6, 3, 2, 0), (4, 1, 0,−2)} es una base de U (¿por que?) ydimU = 2.

I Finalmente, podemos asegurar que el vector (1, 1, 1, 1) pertenece a Upuesto que verifica sus ecuaciones cartesianas.

I Otra forma de comprobar la pertenencia de (1, 1, 1, 1) a U es viendo que

(1, 1, 1, 1) =1

2(6, 3, 2, 0)− 1

2(4, 1, 0,−2),

lo que equivale a decir que (1, 1, 1, 1) =(

12,− 1

2

)B

.

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5.1. Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 5.1Sea V un R-espacio vectorial. Un producto escalar en V es unaaplicacion

〈·, ·〉 : V × V → R

que verifica las siguientes propiedades.

1. 〈u, v〉 = 〈v , u〉 para todo u, v ∈ V .

2. 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todo u, v ,w ∈ V .

3. 〈u, αv〉 = α〈u, v〉 para todo u, v ∈ V y todo α ∈ R.

4. 〈u, u〉 ≥ 0 para todo u ∈ V .

5. 〈u, u〉 = 0 si, y solo si, u = 0.

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5.1. Producto escalar. Espacio vectorial euclıdeo (2) Departamento de Matemática Aplicada

Ejemplo 5.2

Veamos algunos ejemplos de productos escalares en los espacios vectorialesindicados.

I 〈u, v〉 = u1v1 + · · ·+ unvn, para cualesquiera u = (u1, . . . , un) yv = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.

I 〈f , g〉 =

∫ b

a

f (x)g(x)dx , para cualesquiera f , g ∈ C [a, b] (es decir, f , g

funciones continuas en [a, b]).

I En particular, 〈p, q〉 =

∫ b

a

p(x)q(x)dx , para cualesquiera p, q ∈ Pn y

[a, b] ⊂ R.

I 〈A,B〉 =∑n

i=1

∑mj=1 aijbij , para cualesquiera A = (aij),B = (bij) ∈ Mn×m.

Definicion 5.3Un espacio vectorial V dotado de un producto escalar 〈·, ·〉 sedenomina espacio vectorial euclıdeo y se denota por (V ; 〈·, ·〉).

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6.1. Base ortogonal y base ortonormal (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 6.1Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y u, v ∈ V . Entoncesse define

I la norma del vector u como ‖u‖ =√〈u, u〉;

I el angulo que determinan u y v como el angulo (u, v) ∈ [0, π]tal que

cos(u, v) =〈u, v〉‖u‖‖v‖

.

Definicion 6.2I Decimos que dos vectores, u y v , son vectores ortogonales si〈u, v〉 = 0. Tal situacion se denota por u ⊥ v .

I Un vector u se dice unitario si ‖u‖ = 1.

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6.1. Base ortogonal y base ortonormal (2) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 6.3Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y B = {v1, . . . , vn}una base de V .

I Decimos que B es una base ortogonal de V si sus vectores sonortogonales dos a dos; es decir, si 〈vi , vj〉 = 0 para todo i 6= j .

I Decimos que B es una base ortonormal de V si es una baseortogonal y, ademas, todos sus vectores son unitarios; es decir,si 〈vi , vj〉 = 0 para todo i 6= j , y ‖vi‖ = 1 para todoi = 1, . . . , n.

Resultado 6.4Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y B = {v1, . . . , vn}una base ortonormal de V . Entonces, se verifica que

u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn para todo u ∈ V ;

es decir, (〈u, v1〉, 〈u, v2〉, . . . , 〈u, vn〉) son las coordenadas de u enla base B.

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6.2. Metodo de ortogonalizacion de Gram-Schmidt Departamento de Matemática Aplicada

Resultado 6.5 (Metodo de Ortogonalizacion de Gram-Schmidt)

Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y B = {v1, . . . , vn}una base dada de V .

I Los vectores {u1, u2, . . . , un} definidos por

u1 = v1,

u2 = v2 − 〈v2,u1〉‖u1‖2 u1,

u3 = v3 − 〈v3,u1〉‖u1‖2 u1 − 〈v3,u2〉

‖u2‖2 u2,...

un = vn − 〈vn,u1〉‖u1‖2 u1 − 〈vn,u2〉

‖un‖2 u2 − . . .− 〈vn,un−1〉‖un−1‖2 un−1,

forman una base ortogonal de V .

I Ademas,{

u1‖u1‖ , . . . ,

un‖un‖

}es una base ortonormal de V .

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6.3. Complemento ortogonal (1) Departamento de Matemática Aplicada

Definicion 6.6Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y U un subespaciovectorial de V .

I Un vector v ∈ V se dice ortogonal a U si es ortogonal a todovector de U, lo que se denota por v ⊥ U.

Resultado 6.7Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y U un subespaciovectorial de V .

I El conjunto U⊥ formado por todos los vectores ortogonales aU es un subespacio vectorial de V .

U⊥ se denomina complemento ortogonal de U (respecto de V ).

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6.3. Complemento ortogonal (2) Departamento de Matemática Aplicada

Ejemplo 6.8

I Sea S = {u1, . . . , um} una base de U. Entonces, por linealidad, tenemosque

v ⊥ U si, y solo si, 〈v , ui 〉 = 0 para todo i = 1, . . . ,m.

Imponiendo estas m condiciones a un vector generico v ∈ V obtendremoslas ecuaciones cartesianas de U⊥. Por tanto dimU⊥ = n −m.

I Consideremos el subespacio vectorial U ⊆ R4 generado por los vectores{(6, 3, 2, 0), (4, 1, 0, 2)}.Entonces las ecuaciones cartesianas de U⊥ son

6v1 + 3v2 + 2v3 = 0

4v1 + v2 − 2v4 = 0

}.

Ademas, {(1,−4, 3, 0), (1,−2, 0, 1)} es una base de U⊥.

(Por cierto, ¿como se ha calculado dicha base? Hagase).

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7.1. Aproximacion por mınimos cuadrados (1) Departamento de Matemática Aplicada

I Sea (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo.

I Sea S = {u1, . . . , um} ⊂ V un conjunto de vectores linealmenteindependientes, U = L(S) y {um+1, . . . , un} una base de U⊥.

I Si v ∈ V , entonces

v = a1u1 + · · ·+ amum + am+1um+1 + · · ·+ anun

y, por tanto, v = u + w con

u = a1u1 + · · ·+ amum ∈ U,

w = v − u = am+1um+1 + · · ·+ anun ∈ U⊥.

Definicion 7.1Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo, U un subespaciovectorial de V y v ∈ V .Se llama proyeccion ortogonal de v sobre U al (unico) vectoru ∈ U tal que (v − u) ⊥ U, que se denota por u = pU(v).

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Para obtener u = pU(v) podemos proceder del modo siguiente.

I Consideramos {u1, . . . , un} base ortogonal de V tal que{u1, . . . , um} es base de U y {um+1, . . . , un} es base de U⊥.

I Si v ∈ V , entonces

v = 〈v ,u1〉‖u1‖2 u1 + · · ·+ 〈v ,um〉

‖um‖2 um+

〈v ,um+1〉‖um+1‖2 um+1 + · · ·+ 〈v ,un〉

‖un‖2 un.

I Por tanto, la proyeccion ortogonal de v sobre U es

pU(v) =〈v , u1〉‖u1‖2

u1 + · · ·+ 〈v , um〉‖um‖2

um.

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I Supongamos ahora que (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y queS = {u1, . . . , um} es una base (no necesariamente ortogonal) de unsubespacio vectorial U de V .

I Si v ∈ V y u = pU(v), entonces 〈v − u,w〉 = 0 para todo w ∈ U.Por tanto, 〈v − u, uj〉 = 0 para todo j = 1, . . . ,m.

I Ahora, si u = a1u1 + · · ·+ amum, entonces

〈v − a1u1 − · · · − amum, uj〉 = 0, j = 1, . . . ,m,

es decir,

〈u1, u1〉a1 + · · ·+ 〈um, u1〉am = 〈v , u1〉...

〈u1, um〉a1 + · · ·+ 〈um, um〉am = 〈v , um〉

.

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Resultado 7.2 (Teorema de la mejor aproximacion)

I Sean (V ; 〈·, ·〉) un espacio vectorial euclıdeo y U unsubespacio vectorial de V .

I Dado v ∈ V , la proyeccion ortogonal de v sobre U es el unicovector u = pU(v) ∈ U que hace mınima la expresion ‖v − u‖,esto es,

‖v − u‖2 < ‖v − w‖2 para todo w ∈ U, w 6= u.

Por tanto, u minimiza la distancia de v a los vectores de U.

Definicion 7.3En las condiciones del Resultado 7.2, u = pU(v) se denomina mejoraproximacion (o aproximacion por mınimos cuadrados) de v en U.

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Observacion 7.4I La mejor aproximacion de v sobre U es el unico vector

u = a1u1 + · · ·+ amum de U, siendo a = (a1, . . . , am) lasolucion del sistema compatible determinado

P aT = b,

donde

P =

〈u1, u1〉 · · · 〈um, u1〉...

...〈u1, um〉 · · · 〈um, um〉

y b = (〈v , u1〉, . . . , 〈v , um〉)T .

I La matriz (simetrica) P se denomina matriz de Gram asociadaa la base {u1, . . . , um} de U.

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Departamento de Matemática Aplicada

Departamento de Matematica Aplicada. Universidad de Granada

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