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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2.2.4. INDETERMINACIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Una sucesión de números reales Nnna )( es una aplicación que asocia a cada número natural un número real. Cada uno de los elementos de esta secuencia ordenada de números reales se denomina término de la sucesión y se denota mediante naaa ,...,, 21 , donde el subíndice indica el lugar que ocupa cada término en la sucesión.
CONCEPTO DE LÍMITE
Sea
2
213
13
)(2 xsix
xsi
xsix
xf y analicemos la tendencia de la función cuando x se aproxima a 1.
x f(x)
0,8 2,4
0,9 2,7
0,99 2,97
0,999 2,997
0,9999 2,9997
0,99999 2,99997
0,999999 2,999997
0,9999999 2,9999997
x f(x)
1,2 3
1,1 3
1,01 3
1,001 3
1,0001 3
1,00001 3
1,000001 3
1,0000001 3
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que el límite de la función )(xf , cuando x tiende a 0x , es L si cualquier sucesión de valores Nnnx )( que tienda a 0x verifica que la sucesión determinada por sus imágenes
Nnnxf ))(( tiende a L y se expresa mediante: Lxfxx
)(lim0
.
Diremos que el límite lateral por la izquierda de la función )(xf , cuando x tiende a 0x es M si cualquier sucesión de valores Nnnx )( que tienda a 0x , con 0xxn , verifica que la sucesión
determinada por sus imágenes Nnnxf ))(( tiende a M y se expresa mediante: Mxf
xx
)(lim0
.
Diremos que el límite lateral por la derecha de la función )(xf , cuando x tiende a 0x es N si cualquier sucesión de valores Nnnx )( que tienda a 0x , con 0xxn , verifica que la sucesión
determinada por sus imágenes Nnnxf ))(( tiende a M y se expresa mediante: Nxf
xx
)(lim0
.
EJEMPLOS: 1) Dada
12
1)(
3
xsix
xsixxg calcular )(lim
1xf
x
2) Sea f(x) una función cuya gráfica viene dada por la figura: Calcula a partir de ella los siguientes límites: a) )(lim
0
xfx
b) )(lim0
xfx
c) )(lim1
xfx
d) )(lim1
xfx
e) )(lim0
xfx
f) )(lim2
xfx
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REGLAS BÁSICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
Función constante Kxf )( KKxx
0
lim
Función identidad xxf )( 00
lim xxxx
Función exponencial 1,0,)( aaaxf x 0
0
limxx
xxaa
Función potencial de
exponente natural 2,)( nxxf n nn
xxxx 0
0
lim
Función potencial de
exponente entero negativo 2,1
)( nx
xxfn
n
0,11
lim 0
00
xxx nnxx
Función logarítmica 1,log)( axxf a 00
logloglim xx aaxx
, 0 0x
10,log)( axxf a 00
logloglim xx aaxx
, 0 0x
Función seno xsenxf )( 00
lim xsenxsenxx
Función coseno xxf cos)( 00
coscoslim xxxx
Función tangente xtgxf )( 00
lim xtgxtgxx
, Zkkx ,2/0
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLOS.
55lim3
x, 4lim
4
x
x, 822lim 3
3
x
x, 1)1(lim 33
1
x
x,
271
31
3lim xx
, 0)ln(lim1
xx
, 327logloglim 3327
xx
, 0lim0
xsenx
,
0coslim2/
xx
, 1lim4/
xtgx
.
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Si Axfxx
)(lim0
y Bxgxx
)(lim0
, con BA, finitos, entonces se verifica:
a) BAxgxfxx
)()(lim0
b) BAxgxfxx
)()(lim0
c) si 0, kRk , Akxfkxx
)(lim0
d) BAxgxfxx
)()(lim0
e) BAxgxfxx
/)(/)(lim0
si 0B f) si RAB , Bxg
xxAxf
)(
0
)(lim
g) Axfxf axx
aaxx
log)(limlog)(loglim00
si 0A
h) Asenxfsenxfsenxxxx
)(lim))((lim
00 i) Axfxf
xxxxcos)(limcos))(cos(lim
00
j) Atgxftgxftgxxxx
)(lim))((lim
00, si ZkkA ,2/ .
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Calcula:
a) 853lim 2
2
xx
x b)
32
53lim
2
2
x
xx
x
c) )32(
154lim
x
xx d) ))35((loglim 2
7
x
x
e) xxxx
33log4lim 2
3
3
f) )7421(loglim 2
54
xx x
x
g) )9(log47lim 3
233
0
xe xx
x h) 553lim 2
2
xx
x
2. Calcula los siguientes límites:
a) 934lim 2
2
xx
x b) 2)1(log2lim 2
1
xxx
x
c) 1083lim 2
5
xx
x d)
1537323
0lim
xx
xx
x
e) x
xxxx 43
26lim
1
3
1
f) 722lim 8243
2
xx
xxx
g) x
xx 25lim 2
3
h) x
xx
8
156lim
i) 2
12
0)8(loglim
x
xx j)
323
7lim
32
xx
x
x
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: EJERCICIOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLO: Sea la función 2
5)(
x
xf calculemos sus límites laterales en x=2
Observemos estas dos tablas:
x 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f(x) -25 -50 -500 -5000 -50000 -500000
25
2
limx
x
X 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f(x) 25 50 500 5000 50000 500000
25
2
limx
x
Observemos la gráfica de la función en un entorno del
punto x=2:
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que
)(lim0
xfxx
, si cuando los valores de la variable
independiente x se aproximan a 0x , con 0xx , entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes )( . FIGURA 1
Diremos que
)(lim0
xfxx
, si cuando los valores de la variable
independiente x se aproximan a 0x , con 0xx , entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas )( . FIGURA 2
FIGURA 1 FIGURA 2
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que
)(lim0
xfxx
, si cuando los valores de la variable
independiente x se aproximan a 0x , con 0xx , entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente grandes )( . Figura 3
Diremos que
)(lim0
xfxx
, si cuando los valores de la variable
independiente x se aproximan a 0x , con 0xx , entonces los valores de sus imágenes se hacen infinitamente pequeñas )( . Figura 4
FIGURA 3 FIGURA 4
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que
i)
)(lim)(lim)(lim000
xfxfxfxxxxxx FIGURA 5
ii)
)(lim)(lim)(lim000
xfxfxfxxxxxx FIGURA 6
FIGURA 5 FIGURA 6
En todos los casos diremos que la recta 0xx es una asíntota vertical de la gráfica de la función )(xfy .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
ALGUNOS LÍMITES INFINITOS
nx x
k
0lim
nx x
k
0
lim
nx x
k
0lim
nx x
k
0
lim
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
LIMITES INFINITOS DE FUNCIONES LOGARITMICAS
xax
loglim0
xax
loglim0
EJERCICIO.
Calcula los siguientes límites: a)
xx
7
0lim
b) 48
0lim
xx c)
33
0lim
xx
d) 87
0lim
xx
e) x
x3/1
0
loglim
f) xx
70
loglim
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
LÍMITES DEL TIPO K/0
0
k Si k>0 entonces:
0
k y
0
k
Si k<0 entonces: 0
k y
0
k
EJEMPLO: Calcular con pseudosustitución 1
3lim
21 x
x
x y
107212
5lim
xx
x
x
EJERCICIOS. 1) Calcula los siguientes límites:
a) 57
5lim
xx
b) 3)3(
3
3lim
xx c) 5
8
0lim
xx d)
652237
1lim
xxx
x
x
e) 74
0lim
xx
f)
4425
2lim
xx
x
x g)
6522312
1lim
xxx
x
x h) 25102
8
5lim
xxx
i) )7(loglim 5
7
xx
j) )2(loglim 3/1
2
xx
2) Interpreta gráficamente el significado de los límites:
a)
)(lim5
xfx
b)
)(lim2
xfx
c)
)(lim0
xfx
d)
)(lim3
xfx
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.2. LÍMITES INFINITOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que Lxfx
)(lim si para cualquier sucesión de valores de la
variable independiente que se hace cada vez más grande,
( Nnnx ), entonces los valores de sus imágenes Nnnxf ))(( se
aproximan a L. En este caso diremos que Ly es una asíntota horizontal. FIGURA 1
Diremos que Mxfx
)(lim si para cualquier sucesión de valores de la
variable independiente que se hace cada vez más pequeña,
( Nnnx ), entonces los valores de sus imágenes Nnnxf ))(( se
aproximan a M. En este caso diremos que My es una asíntota horizontal. FIGURA 2
Lxfx
)(lim Mxfx
)(lim
FIGURA 1 FIGURA 2
EJEMPLO: Consideremos las funciones 1/x , ex , e-x
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que
)(lim xfx
si para cualquier sucesión de valores de la variable independiente que se hace
cada vez más pequeña, ( Nnnx ), entonces los valores de sus imágenes Nnnxf ))(( . FIGURAS 1,2
Diremos que
)(lim xfx
si para cualquier sucesión de valores de la variable independiente que se hace
cada vez más grande, ( Nnnx ), entonces los valores de sus imágenes Nnnxf ))(( . FIGURAS 3,4
FIGURA 1 FIGURA 2
)(lim xfx
)(lim xfx
FIGURA 3 FIGURA 4
)(lim xfx
)(lim xfx
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO
A) funciones polinómicas
Si naxxf )( es un monomio de grado n, entonces se verifica:
0 si
0 silim
a
aaxn
x.
Si n es par
0 si
0 silim
a
aaxn
x.
Si n es impar
0 si
0 silim
a
aaxn
x.
Sea 01
1
1 ...)( axaxaxaxp n
n
n
n
un polinomio. Si n
nxa es el
monomio de mayor grado de )(xp se verifica que n
nxx
xaxp
lim)(lim y n
nxx
xaxp
lim)(lim .
EJEMPLOs
23lim xx
,
23lim xx
,
)3(lim 2xx
,
)3(lim 2xx
,
32lim xx
,
32lim xx
,
)2(lim 3xx
,
)2(lim 3xx
.
)353(lim 3 xxx
y
)353(lim 3 xxx
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
b) LIMITES EN EL INFINITO DE FUNCIONES RACIONALES
Sea 01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
bxbxbxb
axaxaxa
xq
xpxf
m
m
m
m
n
n
n
n
, tal que nxpgrado )( y
mxqgrado )( . Entonces se verifica:
a) Si mn mn
m
n
xxx
b
axf
lim)(lim y
mn
m
n
xxx
b
axf
lim)(lim ;
b) Si mn
)(lim xfx
0)(lim
xfx
;
c) Si mn
)(lim xfx
m
n
x b
axf
)(lim .
Por ejemplo,
35
4344limx
xx
x.
C) LÍMITES EN EL INFINITO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
100
1lim
a
aa x
x,
10
10lim
a
aa x
x y
10
1loglim
a
axa
x
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
D) COMPARACIÓN DE INFINITOS
SI
)(lim xfx
y
)(lim xgx
diremos que f(x) es un INFINITO DE
ORDEN SUPERIOR a g(x) si se verifica que
)(
)(lim
xg
xf
x o bien 0
)(
)(lim xf
xg
x.
Si lxg
xf
x
)(
)(lim se dice que f(x) y g(x) SON INFINITOS DEL MISMO ORDEN
REGLAS: 1) DADAS DOS POTENCIAS DE x LA DE MAYOR EXPONENTE ES DE ORDEN SUPERIOR:
EJEMPLOS:
xx
x5
4 4lim
xx
x5
3 4
lim
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
D) COMPARACIÓN DE INFINITOS
2) DADAS DOS FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE >1. LA FUNCIÓN DE MAYOR BASE ES UN INFINITO DE ORDEN SUPERIOR.
Ejemplos:
x
x
x 5,1
2lim 0lim6
4
x
x
x
3) CUALQUIER FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE >1 ES UN INFINITO DE ORDEN SUPERIOR A CUALQUEIR POTENCIA
Ejemplos:
32limxx
x
0lim3
6
x
x
x
4) LAS EXPONENCIALES DE BASE >1 Y LAS POTENCIAS DE X SON INFINITOS DE ORDEN SUPERIOR A CUALQUIER FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Ejemplos:
xx
x
ln2lim
x
x
x 3
6
loglim
5) DOS POLINOMIOS DEL MISMO GRADO O DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE SON INFINITOS DEL MISMO ORDEN 6) SI EN UNA SUMA HAY VARIOS SUMANDOS INFINITOS EL ORDEN DE LA SUMA ES EL DEL SUMANDO DE ORDEN SUPERIOR
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES EN EL INFINITO
Si Axfx
)(lim y Bxgx
)(lim , con A,B },{ R ,entonces se verifica:
a) BAxgxfx
)()(lim b) BAxgxfx
)()(lim
c) BAxgxfx
)()(lim d) BAxgxfx
/)(/)(lim
e)
Bxg
xAxf
)()(lim
)()(
k k 0, ksik 0, ksik
0, ksik 0, ksik
0k
0 ksik
10,0 ksik 1, ksik
Estas igualdades únicamente tienen sentido si proceden de límites. INDETERMINACIONES
0
0 , 1 0
0
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLOS:
1) Calcula los siguientes límites:
a) )36(lim 23
xxx
b) )53(lim 52 xxx
2) Calcula los límites:
a) 736
3233lim
xx
xx
x b)
736
3233lim
xx
xx
x c)
253
346lim
x
xx
x
d) 253
346lim
x
xx
x e)
14257
2563lim
xx
xx
x f)
14257
2563lim
xx
xx
x
3) Calcula los siguientes límites:
a) x
xx 4loglim 3
b) x
xx
3124lim
c) xx
x
3lim
d) 56lim xx
x
e)
22limx
x
x
f)
33limx
x
x
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1. Calcula los siguientes límites:
a) )53(lim 62 xxxx
b) 655lim xxx
c) )434(lim 23
xxx
d) )33(lim 23
xxx
2. Calcula los siguientes límites:
a) 533
2336lim
x
xx
x b )
533
2336lim
x
xx
x c)
223
133lim
x
xx
x
d) 223
133lim
x
xx
x e)
223
134lim
x
xx
x f)
223
134lim
x
xx
x
3. Calcula los siguientes límites:
a) xxx
x
2/1log2lim b) )22(
16lim
x
xx
c) 31lim xxx
d) )5(3log17lim
x
x
x
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.3. LÍMITES EN EL INFINITO: EJERCICIOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0/0
a) Dividiendo numerador y denominador por (x-a) y simplificando la expresión
resultante: Ejemplo 12
1
1lim
x
x
x
b) Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:
)22)(22(
)22)(2(lim)
0
0(
22
2lim
22
xx
xx
x
x
xx
c) Regla de L’Hôpital (la revisaremos en las aplicaciones de la derivada)
INTETERMINACIONES TIPO
a) Para el caso de funciones racionales: en función de los grados del numerador y del denominador. b) En otros casos se dividirá el numerador y el denominador por la potencia de mayor grado que aparezca en el denominador, teniendo en cuenta que la potencia de un monomio bajo un radical es su exponente dividido por el índice del radical. Por ejemplo:
)(7
lim4
x
x
x
c) Regla de L’Hôpital
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
INDETERMINACIÓN
a) Desarrollando la expresión algebraica inicial y luego resolver el límite.
Por ejemplo:
11lim
2
32
x
x
x
x
x.
b) En otras ocasiones es necesario multiplicar y dividir la expresión por su conjugada, Por ejemplo :
)2(lim
xxx
INDETERMINACIÓN 1
Si 1)(lim
xfx
y
)(lim xgx
entonces 1)()(lim
)( )1()(lim
xfxgxxg
xexf
Por ejemplo: x
x x
x
2
1lim .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
INDETERMINACIÓN 0
A) Multiplicando las expresiones algebraicas:
Por ejemplo, 2
852
2lim
xxx
x.
B) Transformado la indeterminación en otra de los tipos 00 o
y resolviendo la
indeterminación resultante según las indicaciones expuesta para cada una de ellas.
Por ejemplo, 5lim 7
xx
x
INFINITÉSIMOS
Diremos que )(xf es un infinitésimo en 0x 0)(lim0
xfxx , siendo
000 ,,0 xxx .
Por ejemplo: xsenxf )( y xxg )( son infinitésimos en 0x pues 0limlim
00
xxsen
xx.
Dos infinitésimos )(xf y )(xg son equivalentes en 0x 1)(
)(lim
0
xg
xf
xx. Se
denota por )()( xgxf en 0x .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
En 0x :
01ln
)1ln(
aaax
xx
xtgx
xsenx
x
En 1x : xx ln1
Si 0)(lim0
xfxx
son infinitésimos en 0x :
01ln)(
))(1ln()(
)()(
)()(
)(
aaaxf
xfxf
xftgxf
xfsenxf
xf
Si )(xf y )(xg son infinitésimos equivalente en 0x , entonces se verifica que:
)(
)(lim
)(
)(lim
00 xh
xg
xh
xf
xxxx y )()(lim)()(lim
00
xhxgxhxfxxxx
.
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLOS:
1) 11limlim)0
0(lim
000
0
xx
xenxxsenx x
x
x
xsen.
2)
5
1
5
1lim
5lim)
0
0(
5lim
00
0
0
xx
xen
xxsenx x
x
x
senx
3) 66lim
6lim)
0
0(
6lim
00
0
0
xx
xen
xxtgx x
x
xtg
x
4) 05lim5
lim5
lim)0
0(
5lim
02
3
0
02
0lim
2)2(2
3
0
0350
lim
35)35(2
3
0
x
x
x
xtg
x
xtg
xtg
xx
xx
puesxxtgx
xx
puesxxtgx
5) 111limlimlim 10lim
0
1
1
0lim
0
0
1
0lim
0
1
0
x
x
x
xen
xxe
x
xe
x
x
xen
xxtg
x
xe
x
x
x
xe
x x
x
x
xtg
x
xtg
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Calcula los siguientes límites:
a) 222
139lim
xx
x
x b)
32
12lim
x
x
x c) 4
12lim
x
x
x
d) 492
32
7lim
x
x
x e) 2
2
2lim
xx
x d) xx
x
x
12
1
1lim
2) Calcula los siguientes límites
a) 3324
5324lim
x
xx
xx
x b) 223
8252
lim
x
x
x
x c)
3
2
39lim
xx
xx
d) x
x
x
x
5
1331lim
e) x
x
x
x
4
243
43lim
f) 211lim
x
xx
g) 23 3lim xxxx
h) xxx
31lim 2
3) Calcula los siguientes límites:
a) 20
6lim
xtg
x
x b)
x
x
x 5
)1ln(lim
0
c)
)1ln(
1lim
0
x
ex
x
d) xsen
xsen
x 3
5lim
0 e)
1
)1(lim
21
x
xtg
x i)
)(lim
3
3
0 xsen
x
x
j) 4
)4(lim
4
x
xsen
x k)
13lim
5
0 xx
x l) xtg
x
xx)(coslim
0
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.4. INDETERMINACIONES : EJERCICIOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Diremos que una función real de variable real RRf : , es continua en un punto 0x si se verifican las siguientes condiciones: 1) )(0 fDomx , 2) Lxf )( 0 y
3) Existe Lxfxx
)(lim0
(con L un valor finito).
Si una función no es continua en un punto 0x entonces decimos que la función es discontinua en dicho punto.
EJEMPLO. Estudiar la continuidad de la función
3
325
20
215
11
12
)(
31
2
xsi
xsi
xsi
xsi
xsix
xsix
xf
x
En los puntos x=-1, x=1, x=2, x=3, x=5
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Discontinuidad inevitable de salto finito
Discontinuidad inevitable de salto infinito
Discontinuidad evitable de salto finito
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLOS
1) Determina el valor que debe tomar a para que la siguiente función
sea continua en x=2:
2
23)(
2
xsiax
xsiaxxf
2) Estudia la continuidad de la función
1
10
05
)(
11 xsi
xsie
xsix
xf
x
x
clasificando los puntos de discontinuidad en caso de existir.
Una función RRf : es continua en el intervalo ),( ba si es continua en cada uno de los puntos del intervalo.
Una función RRf : es continua en el intervalo ba, si: 1) Es continua en el intervalo ba, .
2) )()(lim afxfax
y )()(lim bfxfbx
Ejemplo: Estudiar si la función del ejemplo 2) anterior es continua en (0,1) y en
[0,1]
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Determina los valores que deben tomar a y b para que sea continua la siguiente función:
14
10
03
)( 2
xsiax
xsibax
xsibx
xf
2) Estudia la continuidad de las siguientes funciones, indicando en su caso, los tipos de discontinuidades:
a)
053
0)1ln()(
2
xsix
xsixxf b)
5
524)(
55 xsi
xsixxg
x
c)
241
27
212
)(
2
xsix
xsi
xsix
xh d)
17
11
1)(
2
xsi
xsix
xxi
3) Dada la función:
13
11)(
2 xsiax
xsixxf
halla los valores de a para que f sea continua en 1x .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO :
EJERCICIOS
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sean f y g dos funciones continuas en el punto 0xx . Se verifican las siguientes propiedades: 1) gf es una función continua en 0xx . 2) gf es una función continua en 0xx . 3) gf es una función continua en 0xx . 4) gf / es una función continua en 0xx siempre que 0)( 0 xg Conclusiones:
1) Todas las funciones polinómicas son continuas en todo R.
2) Si )(),( xqyxp son dos polinomios entonces la función racional )(
)()(
xq
xpxf
es continua en todo R salvo en aquellos puntos que anulan el denominador.
3) Las funciones exponenciales xaxf )( (con 0a y 1a ) son continuas en
todo R. 4) Las funciones logarítmicas xxf alog)( (con 0a y 1a ) son continuas en el intervalo ),0( .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO [a,b]
TEOREMA DE BOLZANO. Sea )(xf una función continua en un intervalo cerrado ba,
tal que ))(())(( bfsignoafsigno entonces existe al menos un punto ),( bac tal que 0)( cf
Por ejemplo, la ecuación 023 23 xx tiene una solución en el intervalo 2,0 , pues la
función 23)( 23 xxxf es continua en 2,0 , 02)0( f y 02)2( f .
TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS. Sea )(xf una función continua en el
intervalo ba, . Entonces la función alcanza en dicho intervalos todos los valores
comprendidos entre )(af y )(bf .
Por ejemplo, dada la función 1
3)(
xxf , ¿existe algún punto en el intervalo 5,2 en el que
la función tome valor 1?
ACOTACIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS. Si )(xf es una función continua en el
intervalo ba, entonces )(xf está acotada, es decir, existen RNM , tales que MxfN )( para todo bax . .
M es una cota superior y N una cota inferior de la función en el intervalo
Por ejemplo, la función 1)( 2 xxf es continua en 1,0 por lo que está acotada.
Efectivamente, para cualquier 1,0x se tiene que 2)(1 xf .
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TEOREMA DE WEIERSTRASS. Sea )(xf una función continua en el intervalo ba, entonces la
función admite un máximo y un mínimo, es decir, existen baxx ,, 21 tales que )()()( 21 xfxfxf para todo bax ,
Por ejemplo, para la función 1)( 2 xxf anterior el mínimo se alcanza en el punto 0x y el máximo
en el punto 1x
EJERCICIOS: 1) Comprueba si la ecuación 032 xexx tiene alguna solución en el intervalo 2,0 .
2) Dada la función 2)( xxf encuentra el máximo y el mínimo de la función en el intervalo 3,1 .
3) Dada la función 2)( 2 xxxf :a) Determina sus cotas superior e inferior en el intervalo 4,0 , b)
Estudia si existe algún punto del intervalo 3,1 en el que la función tome como valor 4.
4) Demuestra que la ecuación 034577 x tiene una solución en el intervalo 2,1 .
5) Determina el máximo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos indicados:
a) 2)( 3 xxf en 2,0 b) 2)( xxg en 2,3 c) xxh )( en 4,1 d) xxi
3
1)( en 1,0 .
6) Demuestra que la función 24)( 2 xxxf corta al eje de abscisa en el intervalo )2,1( . ¿Existe
algún punto en el intervalo 2,1 en el que la función tome como valor 2?
7) Sea la función 107
2)(
2
3
xx
xxf ¿Se puede afirmar que la función está acotada en el intervalo
0,3 ? ¿Existe algún punto del intervalo 3,1 en el que la función corte al eje de abscisas?
2.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.2.5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN : EJERCICIOS
