Tema 2 Funciones reales de varias variables

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Tema 2 Funciones reales de varias variables 2.1. El espacio n-dimensional Definición 2.1 El espacio n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de puntos, es el conjunto: R n = {( x 1 , x 2 ,..., x n )/ x 1 , x 2 ,..., x n R}. Espacio unidimensional (recta), bidimensional (plano) y tridimensional (espacio) Definición 2.2 La distancia (euclídea) entre dos puntos A, B R n es la aplicación d : R n × R n −→ R d(A, B) = p (b 1 a 1 ) 2 + ··· + (b n a n ) 2 con A = (a 1 ,..., a n ) yB = (b 1 ,..., b n ). Ejemplo 2.3 En R para a = 4 yb = 1 tenemos d(a, b) = |b a| = |1 (4)| = 5 En R 2 para A(2, 1) yB(4, 2) tenemos d(A, B) = p (4 2) 2 + (2 1) 2 = 5 En R 3 para A(1, 2, 3) yB = (3, 1, 1) tenemos d(A, B) = p (3 1) 2 + (1 2) 2 + (1 3) 2 = 3 69

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Tema 2

Funciones reales de varias variables

2.1. El espacio n-dimensional

Definición 2.1 El espacio n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de puntos, es el conjunto:

Rn = {(x1, x2, . . . , xn)/x1, x2, . . . , xn ∈ R}. ♣

Espacio unidimensional (recta), bidimensional (plano) y tridimensional (espacio)

Definición 2.2 La distancia (euclídea) entre dos puntos A, B ∈ Rn es la aplicación d : Rn×Rn

−→ R

d(A, B) =√

(b1 − a1)2 + · · · + (bn − an)2 con A = (a1, . . . , an) y B = (b1, . . . , bn). ♣

Ejemplo 2.3

En R para a = −4 y b = 1 tenemos d(a, b) = |b − a| = |1 − (−4)| = 5

En R2 para A(2, 1) y B(4, 2) tenemos d(A, B) =√

(4 − 2)2 + (2 − 1)2 =√

5

En R3 para A(1, 2, 3) y B = (3, 1, 1) tenemos d(A, B) =√

(3 − 1)2 + (1 − 2)2 + (1 − 3)2 = 3 ♣

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Definición 2.4 Sean x0 ∈ Rn y r ∈ R.

La bola abierta de centro x0 y radio r son los puntos cuya distancia a x0 es menor que r y la bola

cerrada de centro x0 y radio r son los puntos con distancia a x0 menor o igual que r:

B(x0, r) = {x ∈ Rn/d(x, x0) < r} B(x0, r) = {x ∈ Rn/d(x, x0) ≤ r}. ♣

Nota EnR la bola de centro x0 y radio r es el intervalo (x0−r, x0+r) si es abierta y el intervalo [x0−r, x0+r]

si es cerrada. ♣

Nota (bolas en el plano) La ecuación de la circunferencia con centro (x0, y0) y radio r es

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

En el plano la bola de centro (x0, y0) y radio r es el circulo correspondiente, sin la circunferencia si es

abierta y con ella si es cerrada. Por tanto, las bolas con centro en el origen de coordenadas son

B(x0, r) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < r} B(x0, r) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ r} ♣

Nota En R3 es la esfera maciza de centro x0 y radio r abierta sin su borde y cerrada con él. ♣

Definición 2.5 Sean A ⊆ Rn y x0 ∈ Rn.

x0 es un punto interior a A si existe una bola abierta con centro el punto contenida en A.

El conjunto de los puntos interiores a A se denomina interior de A y se representa por int(A).

A es abierto si coincide con su interior.

▶ Utilizamos el nombre de entorno del punto para referirnos a cualquier abierto que contenga

a un punto determinado y lo denotamos por U(x0).

x0 es un punto frontera de A si todo entorno suyo contiene puntos de A y puntos que no lo son.

El conjunto de los puntos frontera de A es la frontera de A y se representa por fr(A).

La unión de A con su frontera se denomina clausura de A, A.

A es cerrado si contiene a su frontera. o, equivalentemente, si coincide con su clausura.

▶ Si un cerrado además está acotado decimos que es compacto.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

x0 es un punto exterior a A si existe un entorno suyo que no contiene puntos de A. El conjunto de los

puntos exteriores a A es el exterior de A y se representa por ext(A). ♣

Nota Dados un conjunto y un punto, el punto o está en el interior del conjunto o está en el exterior o está

en la frontera. ♣

Nota Un punto de acumulación de A es un punto cuyos entornos siempre contienen puntos de A distintos

del punto en cuestión (un conjunto es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación). ♣

Ejemplo 2.6 Los conceptos de abierto y cerrado reproducen la distinción entre bola abierta y cerrada.

Así, un conjunto es abierto si no contiene a su frontera y es cerrado si la contiene.

Conjunto abierto Conjunto cerrado Frontera

Obsérvese que A es abierto si y sólo si su complementario es cerrado y que A es cerrado si y sólo si su

complementario es abierto (el complementario de A son los puntos que no están en A). ♣

Ejercicio 2.7 Representar los siguientes recintos, indicando si son abiertos o cerrados.

(a) {(x, y) ∈ R2 / y ≥ x2 − 1, y ≤ 1 − x2} (b) {(x, y) ∈ R2 / y < −x, y > x2, x2 + y2 < 1}

(c) {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 0, x2 + y2 < 4, x + y ≤ 2} (d) {(x, y) ∈ R2 / y < x, x + y2 < 1}

Definición 2.8

El espacio vectorial n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de vectores, es el conjunto de

las matrices columna de orden n × 1 que, por comodidad, se representan por n-tuplas:

Rn = {(u1, u2, . . . , un)/u1, u2, . . . , un ∈ R}. ♣

Nota En un sistema de coordenadas cartesianas un vector es un segmento orientado que queda determi-

nado por su longitud, dirección y sentido. Cada vector u = (u1, u2, . . . , un) representa a todos los vectores

con la misma longitud, dirección y sentido. Uno de ellos es al segmento con punto inicial el origen de coor-

denadas y cuyo punto final es el punto (u1, u2, . . . , un). A su vez, el segmento orientado que va de un punto

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

A(a1, a2, . . . , an) a otro B(b1, b2, . . . , bn) esta representado por el vector−−→AB = (b1 − a1, b2 − a2, . . . , bn − an) ♣

Nota (Producto escalar) Sean u, v ∈ Rn vectores con u = (u1, u2, . . . , un) y v = (v1, v2, . . . , vn). El producto

escalar (euclídeo) de u por v es:

u · v = u1v1 + u2v2 + · · · + unvn = ||u|| ||v|| cos(u, v),

donde u, v es el ángulo que forman u y v y ||u||| es el módulo o longitud de u que viene dado por

||u||| = +√

u · u = +√

u21 + u2

2 + · · · + u2n. ♣

Ejercicio 2.9 Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de vectores

(a) u1 = (1, 0); u2 = (1, 1) (b) u1 = (1, 2); u2 = (2, 1) (c) u1 = (1, 2, 1); u2 = (2, 1,−4) ♣

2.2. Conceptos generales

Definición 2.10 Sea f : D ⊆ Rn−→ R

El dominio de f , D, son los puntos (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn en los que está definida

Dom( f ) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn/∃ f (x1, x2, . . . , xn)}.

La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma en R

Im( f ) = {y ∈ R/∃(x1, x2, . . . , xn) ∈ D con f (x1, x2, . . . , xn) = y}.

La gráfica de f es el conjunto de puntos de Rn+1

Graf( f ) = {(x1, x2, . . . , xn, y) ∈ Rn+1/ f (x1, x2, . . . , xn) = y}.

La curva de nivel k de f es la curva de Rn

Ck( f ) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn/ f (x1, . . . , xn) = k}. ♣

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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Nota La gráfica de una función real de dos variables z = f (x, y) es una superficie de R3 y su curva de

nivel k corresponde a su corte con el plano z = k (paralelo al plano XY). En todos los puntos de una curva

de nivel la función toma el mismo valor, cuando la función representa una cantidad, como la producción,

cada una curva de nivel es una isocuanta. ♣

Ejemplo 2.11 Estudiar las curvas de nivel de la función f (x) = x2 + y2.

Solución

Esta función está definida para cualquier par de nú-

meros y su resultado es positivo. Por tanto, su domi-

nio es R2 y su imagen el intervalo [0,+∞).

La gráfica de f (x) = x2 + y2 es la superficie de R3

z = x2 + y2 y sus curvas de nivel para k ≥ 0 son

circunferencias en R2 de la forma

x2 + y2 = k

Las curvas de nivel x2 + y2 = k son los cortes de la

gráfica de la función con planos paralelos al plano

XY y son curvas en cuyos puntos la función toma el

mismo valor. Como son circunferencias con centro el

origen y radio√

k, cuando k crece también lo hace el

radio de la circunferencia. ♣

Ejemplo 2.12 Representar los dominios y curvas de nivel de las siguientes funciones, indicando la curva

de nivel que pasa por el punto (1, 1)

f (x, y) =√

x + y g(x, y) = ln(x + y)

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Solución

Los dominios de ambas funciones son

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/x + y ≥ 0} D(g) = {(x, y) ∈ R2/x + y > 0}

En ambos casos la frontera está formada por la recta x + y = 0. En la raíz el dominio incluye la recta

x + y = 0 con lo que es cerrado. Sin embargo, el dominio del logaritmo no incluye la recta y es abierto.

Las curvas de nivel correspondientes a f son todas rectas con la misma pendiente al igual que las

correspondientes a g que tienen distintos puntos de corte con los ejes

√x + y = k ⇔ x + y = k2 ⇔ y = −x + k2

ln(x + y) = k ⇔ x + y = ek ⇔ y = −x + ek

En el primer caso no hay curvas de nivel negativo, ya que la raíz cuadrada sólo toma valores positivos

pero en el segundo hay curvas de nivel positivas y negativas. Para determinar la curva de nivel que pasa por

un punto basta calcular cuál es el nivel correspondiente. Así en el primer caso es la curva√

x + y =√

2 y

en el segundo ln(x + y) = ln 2. En ambos casos corresponde a la recta x + y = 2. ♣

Ejercicio 2.13 Estudiar y representar el dominio y las curvas de nivel de las siguientes funciones

(a) f (x, y) = xy

(b) f (x, y) =√

yx

(c) f (x, y) =√

2x2 − y

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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Maxima 2.14 Representar la función f (x, y) = x2 + y2 y sus curvas de nivel.

( % i4) wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x, -5,5,y,-5,5))$

wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x,-5,5,y,-5,5),contour=map)$

wxdraw3d(explicit(xˆ2+yˆ2,x, -5,5,y,-5,5),contour=both)$

wxcontour_plot(xˆ2+yˆ2, [x, -5,5],[y,-5,5]);

( % t1 % t2)

( % t3 % t4)

Definición 2.15 Sean f : D ⊆ Rn−→ R, x0 = (x01, x02, . . . , x0n) ∈ D.

f es continua en x0 si su límite cuando x tiende a x0 es el valor de la función en x0

lımx→x0

f (x) = f (x0)

donde el límite de f (x) cuando x tiende a x0 es l si

∀ϵ > 0 ∃δ > 0/x ∈ D y 0 < d(x, x0) < δ =⇒ | f (x) − l| < ϵ.

f es continua en un conjunto si es continua en todos los puntos del conjunto. ♣

Nota Una función es continua en x0 si toma valores “muy cercanos” a f (x0) cuando nos aproximamos “lo

suficiente” a x0. De este modo, una función es continua si cambios pequeños en las variables independientes

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

producen cambios pequeños en los valores de la función (consideramos sólo puntos de acumulación del

dominio en los que siempre se puede tomar límite). ♣

Proposición 2.16 Sean f : D1 ⊆ Rn−→ R, g : D2 ⊆ R

n−→ R y α ∈ R.

Si f y g son continuas en x0 ∈ Dom( f ) ∩ Dom(g) entonces también son continuas en x0:

(a)α f (α ∈ ℜ) (b) f + g (c) f · g (d)fg

(si g(x0) , 0). ♣

Proposición 2.17 Sean f : D1 ⊆ Rn−→ R y g : D2 ⊆ R −→ R.

f continua en x0 ∈ D1 y g continua en f (x0) ∈ D2 entonces g ◦ f es continua en x0. ♣

Ejemplo 2.18 Estudiar la continuidad de f (x, y) =xy

x2 + y2 .

Solución

Esta función es continua en todo su dominio, que es

Dom( f ) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 , 0} = {(x, y) ∈ R2/(x, y) , 0} = R2\ {(0, 0)}

Curvas de nivel Gráfica de la función

La función es continua en todos los puntos me-

nos en el origen, ya que es el cociente de dos po-

linomios y el denominador sólo se anula cuando

x e y son cero simultáneamente (el problema de

estudiar qué tipo de discontinuidad presenta no

se aborda aquí). ♣

Ejemplo 2.19 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y representar sus dominios y curvas de

nivel.

f (x, y) =√

x + yx − y

y g(x, y) = ln(

x + yx − y

)

Solución

Los dominios de ambas funciones son

D( f ) ={

(x, y) ∈ R2/x + yx − y

≥ 0, x − y , 0}

D(g) ={

(x, y) ∈ R2/x + yx − y

> 0, x − y , 0}

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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

En ambos casos la función es continua en su dominio. Para representar estos dominios es mejor expresar

cada uno como la unión de dos recintos:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x + y ≥ 0, x − y ≥ 0

}∪

{(x, y) ∈ R2/x + y ≤ 0, x − y ≤ 0

}(raíz)

D(g) ={(x, y) ∈ R2/x + y > 0, x − y > 0

}∪

{(x, y) ∈ R2/x + y < 0, x − y < 0

}(logaritmo)

Como cada recta divide al plano en dos partes y estos recintos están limitados por las bisectrices de los

cuadrantes formados por los ejes se forman cuatro regiones en cada uno de los dominios.

El primer recinto corresponde a los puntos que están simultáneamente:

• por encima de la bisectriz del segundo cuadrante

x + y ≥ 0⇔ y ≥ −x (raíz) x + y > 0⇔ y > −x (logaritmo)

• por debajo de la bisectriz del primer cuadrante

x − y > 0⇔ y < x (ambos)

El segundo recinto corresponde a los puntos que están simultáneamente

• por debajo de la bisectriz del segundo cuadrante

x + y ≤ 0⇔ y ≤ −x (raíz) x + y < 0⇔ y < −x (logaritmo)

• por encima de la bisectriz del primer cuadrante

x − y < 0⇔ y > x (ambos)

En el caso de la raíz el dominio no es ni abierto ni cerrado ya que incluye la recta x + y = 0 pero no la

recta x − y = 0. Sin embargo, el dominio del logaritmo es abierto ya que no incluye ninguna. ♣

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Page 10: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Las curvas de nivel correspondientes a f son

√x + yx − y

= k ⇔x + yx − y

= k2 ⇔ x + y = xk2 − yk2 ⇔ y + yk2 = xk2 − x⇔ y = k2−11+k2 x

Las curvas de nivel correspondientes a g son

lnx + yx − y

= k ⇔x + yx − y

= ek ⇔ x + y = xek − yek ⇔ y + yek = xek − x⇔ y = ek−11+ek x

Obsérvese que en ambos casos todas pasan aparentemente por el origen. Sin embargo, esto último no es

posible. Por un punto sólo pasa una curva de nivel, ya que el nivel corresponde al valor de la función en el

punto. En realidad, el origen no pertenece al dominio de la función y, por tanto, la explicación está en que

la función no es continua en el origen y éste no está incluido en ninguna curva de nivel. ♣

Ejercicio 2.20 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, representando sus dominios y curvas

de nivel.

(a) f (x, y) = 3

√2x + yx − 2y

(b) g(x, y) = ln(2x − yx + y

)(c) g(x, y) =

√y − x2

2.3. Derivadas parciales y vector gradiente

Definición 2.21 Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ int(D).

La derivada parcial de f con respecto a xi en x0 es

∂ f∂xi

(x01, . . . , x0n) = lım△xi→0

f (x01, . . . , x0i + △xi, . . . , x0n) − f (x01, . . . , x0i, . . . , x0n)△xi

.

f es derivable con respecto a xi si este límite existe. ♣

Nota La derivada parcial también se denota por Di f (x0) y Dxi f (x0). ♣

Nota f es derivable con respecto a xi en un abierto U si es derivable con respecto a xi ∀x ∈ U. La función

derivada parcial de f con respecto a xi asocia a cada x ∈ U la correspondiente derivada y se obtiene

derivando con respecto a xi considerando que el resto de las variables son constantes (su existencia no

garantiza la continuidad de la función en el punto).

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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Maxima 2.22 Calcular las derivadas parciales de f (x, y, z) = sen(x + y2 − 4 ∗ z3)

( % i1) f(x,y,z):=sin(x+yˆ2-4*zˆ3);

f (x, y, z) := sin(x + y2 + (−4) z3

)( % o1)

( % i4) diff(f(x,y,z),x,1);

cos(4z3 − y2 − x

)( % o2)

diff(f(x,y,z),y,1);

2y cos(4z3 − y2 − x

)( % o3)

diff(f(x,y,z),z,1);

−12z2 cos(4z3 − y2 − x

)( % o4)

Nota (La derivada parcial como tasa de variación) Si tenemos unos valores x = x0 e y = y0, a los que les

corresponde un valor f (x0, y0), y sólo cambia la primera variable, tomando ésta un nuevo valor x = x1 al

que le corresponde un valor f (x1, y0), el incremento de la variable x es △x = x1 − x0 y el incremento de la

variable z es △z = f (x1, y0) − f (x0, y0). La tasa media de variación de z con respecto a x indica la variación

relativa de la variable z con respecto a la variable x cuando la variable y se mantiene constante:

△z△x=

f (x1, y0) − f (x0, y0)x1 − x0

=f (x0 + △x, y0) − f (x0, y0)

△x.

La tasa instantánea de variación de z con respecto a x es El límite de la tasa media de variación

cuando el incremento de la variable x tiende a cero y coincide con la derivada parcial de f con respecto a x

en (x0, y0) en la que la variable y se mantiene constante

lım△x→0

f (x0 + △x, y0) − f (x0, y0)△x

De manera análoga, si consideramos que sólo cambia la segunda variable y que toma un nuevo valor

y = y1, manteniéndose constante la primera variable (sigue tomando el valor x = x0), el incremento de la

variable y es △y = y1 − y0 y el incremento de la variable z es △z = f (x0, y1) − f (x0, y0).

Por tanto, la tasa media de variación de z con respecto a y, que nos indica la variación relativa de la

variable z con respecto a la variable y cuando la variable x se mantiene constante, es:

△z△y=

f (x0, y1) − f (x0, y0)y1 − y0

=f (x0, y0 + △y) − f (x0, y0)

△y.

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

El límite de esta tasa media de variación cuando el incremento de la variable y tiende a cero es la tasa

instantánea de variación de z con respecto a y y coincide con la derivada parcial de f con respecto a y en

(x0, y0) en la que la variable x se mantiene constante.

En general, cuando una función tiene un número cualquiera de variables, y = f (x1, . . . , xn), la tasa media

de variación de f con respecto a xi en la que la variable xi se incrementa en △xi y el resto de las variables

se mantienen constantes es el cociente

f (x01, . . . , x0i + △xi, . . . , x0n) − f (x01, . . . , x0i, . . . , x0n)△xi

La tasa instantánea de variación con respecto a xi es su límite y en él se considera que sólo esta variable

cambia mientras el resto permanecen constantes. ♣

Nota (Interpretación geométrica) Podemos interpretar geométricamente las derivadas parciales de una

función de dos variables, z = f (x, y), si consideramos la función φ(x) = f (x, y0) y calculamos su derivada

en x0:

φ′(x0) = lım△x→0

φ(x0 + △x) − φ(x0)△x

= lım△x→0

f (x0 + △x, y0) − f (x0, y0)△x

=∂ f∂x

(x0, y0).

La derivada de la función φ en x0 coincide con la derivada parcial de f con respecto a x en (x0, y0). Como

la gráfica de la función φ corresponde a la intersección de la gráfica de la función f con el plano y = y0 y

éste es paralelo al eje x, la derivada parcial de f con respecto a x es la pendiente de la recta tangente a la

superficie z = f (x, y) en la dirección del eje x.

Definiendo una función ψ(y) = f (x0, y) y siguiendo un procedimiento análogo, podemos interpretar la

derivada parcial de f con respecto a y como la pendiente de la recta tangente a la superficie z = f (x, y) en

la dirección del eje y.

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Page 13: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

En el caso general, la derivada parcial de f con respecto a xi en x0 es la pendiente de la recta tangente a

la superficie z = f (x1, . . . , xn) en la dirección del eje xi. ♣

Nota (Interpretación económica) Podemos interpretar la derivada parcial de f con respecto a xi como

la tasa marginal de variación con respecto a xi, que corresponde al incremento de la función cuando la

variable xi se incrementa en una unidad y el resto permanecen constantes. Al igual que sucede cuando solo

hay una variable, tiene la salvedad de que solo es válida si el incremento es relativamente pequeño con

respecto a las unidades en las que medimos la variable. ♣

Maxima 2.23 El volumen de la cosecha de un bien (Y) depende del capital invertido (K) y el trabajo (L)

mediante la siguiente función de producción de Cobb-Douglas

Y = F(K, L) = 10 K1/2L2/3

Representar la función y sus curvas de nivel y calcular las tasas de variación a las que aumenta el

volumen cuando un factor se incrementa y el otro permanece constante (productividades marginales).

( % i3) f(K,L):=10*Kˆ(1/2)*Lˆ(2/3)$

diff(f(K,L),K);

diff(f(K,L),L);

5L23

√K

( % o2)

20√

K

3L13

( % o3) ( % t4)

( % i4) wxdraw3d(explicit(f(K,L), K,0,15,L,0,15), contour=both)$

Ejemplo 2.24 (Demanda en función del precio de otro bien) En el ejemplo 1.5 consideramos que la de-

manda de un bien, A, dependía de su precio, que aquí se denota por pa, según la función D(pa). En este

ejemplo vamos a considerar que la demanda de este bien también depende del precio, pb, de otro bien, B,

por lo que tenemos que la demanda del bien A depende de estos precios según una función Da(pa, pb).

La derivada parcial de esta función con respecto al precio pa representa la variación de la deman-

da cuando el precio del bien A se incrementa en una unidad y siempre es negativa, ya que la demanda

Página 81 PROYECTO MATECO 3.14159

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Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

disminuye cuando el precio de este bien aumenta

∂Da

∂pa(pa, pb) < 0.

La derivada parcial con respecto al precio pb, representa la variación de la demanda cuando el precio

del bien B se incrementa en una unidad y su signo depende de la naturaleza de los bienes:

Si los bienes son sustitutivos (pueden utilizarse de forma alternativa) cuando aumenta el precio de

uno la demanda del otro aumenta y se tiene ∂Da∂pb

(pa, pb) > 0.

Si los bienes son complementarios (son consumidos conjuntamente) cuando aumenta el precio de uno

la demanda del otro disminuye y se tiene ∂Da∂pb

(pa, pb) < 0.

Si los bienes son indiferentes el precio de uno no influye en la demanda del otro y se tiene

∂Da∂pb

(pa, pb) = 0. ♣

Maxima 2.25 Determina la relación entre dos bienes en los que la demanda de un bien A depende de su

precio, pa, y del precio de otro bien B, pb, según la función D(pa, pb) = 500 − 20pa − p2b − 2pa pb.

( % i1) D(pa,pb):=500-20*pa-pbˆ2-2*pa*pb$

( % i2) diff(D(pa,pb),pa);/* siempre negativa*/

−2pb − 20 ( % o2)

( % i3) diff(D(pa,pb),pb); /* negativa =⇒ complementarios*/

−2pb − 2pa ( % o3)

Ejemplo 2.26 Calcular las derivadas parciales con respecto a x e y de f (x, y) = ln(√

x + yx − y

)PROYECTO MATECO 3.14159 Página 82

Page 15: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Solución Vamos a realizar esta operación de dos maneras

Simplificamos la función previamente utilizando las propiedades de logaritmos y potencias (sólo es

válida para x + y > 0, x − y > 0)

f (x, y) = ln(√

x + yx − y

)= ln

(x + yx − y

) 12

=12

ln(

x + yx − y

)=

12

(ln(x + y) − ln(x − y))

con lo que las parciales son

∂ f∂x

(x, y) =12

(1

x + y−

1x − y

)=

−2y2(x + y)(x − y)

=−y

x2 − y2

∂ f∂y

(x, y) =12

(1

x + y−−1

x − y

)=

2x2(x + y)(x − y)

=x

x2 − y2

Aplicamos la regla de la cadena derivando la función directamente y simplificando después.

∂ f∂x

(x, y) =1√x + yx − y

1

2√

x + yx − y

−2y(x − y)2 =

1

2x + yx − y

−2y(x − y)2 =

−y(x + y)(x − y)

∂ f∂y

(x, y) =1√x + yx − y

1

2√

x + yx − y

2x(x − y)2 =

1

2x + yx − y

2x(x − y)2 =

x(x + y)(x − y)

Ejercicio 2.27 Calcular las siguientes derivadas parciales

(a)∂ f∂z

(1, 1, 1) para f (x, y, z) =2x2zez

x2 + yzy f (x, y, z) =

exyz − 1e2xyz

(b)∂ f∂x

(1, 1) para f (x, y) = arc tg(

x − yx + y

)y f (x, y) = (2x2 + 3y2) cos(πx2y4)

(c)∂ f∂y

(2, 1, 2) para f (x, y, z) = (yz)xy2z y f (x, y, z) = ln(x + 3√xz + 4

)Ejemplo 2.28 (Elasticidad cruzada de la demanda) Como medida relativa de la respuesta de la demanda

a los cambios en los precios, además de su elasticidad precio, se considera la elasticidad cruzada de la

demanda, que informa del grado de influencia que tiene en la demanda de un producto la variación en el

precio de otro producto diferente y corresponde a la variación porcentual en la demanda ante variaciones

porcentuales en el precio del otro bien. Cuando los cambios son infinitesimales es el cociente entre la

derivada parcial de la función de demanda con respecto al precio del bien B y la cantidad demandada por

unidad monetaria

Eb(pa, pb) =∂Q(pa, pb)/∂ pb

Q(pa, pb)pb

=Q(pa, pb)

pb

∂Q(pa, pb)∂ pb

Página 83 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 16: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

El signo de la elasticidad cruzada depende del signo de la derivada parcial y es mayor que cero para un

bien sustituto y menor que cero para un bien complementario. En ambos casos mide el grado de respuesta

de la demanda del bien A a los cambios en el precio del bien B y dependiendo de su valor absoluto será

elástica si es mayor que uno e inelástica si es menor. ♣

Maxima 2.29 Suponiendo que la demanda del bien A responde a la misma función que en la práctica 2.25,

calcular sus elasticidades precio y cruzada y determinar el tipo de elasticidad en cada caso cuando ambos

precios son de cinco euros.

( % i1) D(pa,pb):=500-20*pa-pbˆ2-2*pa*pb$

( % i2) define(elaspre(pa,pb),expand(pa*diff(D(pa,pb),pa,1))/D(pa,pb));

elaspre (pa, pb) :=−2pa pb − 20pa

−pb2− 2pa pb − 20pa + 500

( % o2)

( % i3) elaspre(5,5); /* siempre negativa */ /* |elaspre|<1 =⇒ inelástica */

−6

13( % o3)

( % i4) define(elascruz(pa,pb),expand(pb*diff(D(pa,pb),pb,1))/D(pa,pb));

elascruz (pa, pb) :=−2pb2

− 2pa pb−pb2

− 2pa pb − 20pa + 500( % o4)

( % i5) elascruz(5,5); /* complementarios =⇒ negativa */ /* |elascruz|<1 =⇒ inelástica */

−4

13( % o5)

Definición 2.30 Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

Si existen todas las derivadas parciales de f en x0 el vector gradiente de f en x0 es:

∇ f (x0) =(∂ f∂x1

(x0), . . . ,∂ f∂xn

(x0)). ♣

Ejemplo 2.31 Obtener el vector gradiente de la función f (x, y) = xy.

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 84

Page 17: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Solución Está función esta definida y es derivable en Dm( f ) ={(x, y) ∈ R2/x > 0

}El vector gradiente se obtiene mediante las derivadas de primer orden

∂ f∂x

(x, y) = y xy−1

∂ f∂y

(x, y) = xy ln x=⇒ ∇ f (x, y) =

∂ f∂x

(x, y)

∂ f∂y

(x, y)

=

y xy−1

xy ln x

x > 0

Ejemplo 2.32 Obtener el vector gradiente de f (x, y) = y cos x sen y + xy sen x sen y en (π, π).

Solución La función está definida y es derivable en R2 y las derivadas de primer orden en (π, π) son:

∂ f∂x

(π, π) = xy cos x sen y|(π,π) = 0

∂ f∂y

(π, π) = [x sen x sen y + xy sen x cos y + cos x sen y + y cos x cos y]|(π,π) = π

Por tanto, su vector gradiente es ∇ f (π, π) = (0, π) ♣

Ejercicio 2.33 Calcular el vector gradiente de f (x, y) =x + y

ex+y − 1en un punto genérico, indicando las

condiciones que debe verificar este punto.

Solución

La función f (x, y) = x+yex+y−1 está definida y es derivable cuando el denominador es distinto de 0:

D ={(x, y) ∈ R2/ex+y , 1

}=

{(x, y) ∈ R2/x + y , 0

}

Sus derivadas de primer orden son

∂ f∂x

(x, y) =1(ex+y − 1) − (x + y)ex+y

(ex+y − 1)2 =ex+y − (x + y)ex+y − 1

(ex+y − 1)2

∂ f∂y

(x, y) =1(ex+y − 1) − (x + y)ex+y

(ex+y − 1)2 =ex+y − (x + y)ex+y − 1

(ex+y − 1)2

Por tanto, su vector gradiente es:

∇ f (x, y) =

∂ f∂x

(x, y)

∂ f∂y

(x, y)

=

ex+y − (x + y)ex+y − 1(ex+y − 1)2

ex+y − (x + y)ex+y − 1(ex+y − 1)2

x + y , 0

Ejercicio 2.34 Determinar el vector gradiente de las siguientes funciones

(a) f (x, y) =√

(x − 2)2 + (y + 1)2 (b) f (x, y) = ln(x2 − y) (c) f (x, y) = ln(2x − 4Y2

)(d) f (x, y) =

1xy

En todos los casos estudiar la continuidad de la función y la existencia del gradiente, especificando

ambos dominios. Representarlos junto con las curvas de nivel e indicar si son abiertos o cerrados. ♣

Página 85 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 18: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

2.4. Aproximación lineal y diferencial

Para aproximar localmente una función con varias variables por una aplicación lineal en torno al punto

no basta con que existan sus derivadas parciales y es necesario que la aproximación sea buena, caso en

el que decimos que la función es diferenciable. En este caso, aproximamos la función por la aplicación

que a los incrementos de las variables independientes les asocia el incremento aproximado de la variable

dependiente que se obtiene mediante el plano tangente recibe el nombre de diferencial.

Definición 2.35 Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

La diferencial de f en x0 es la aplicación

D f (x0)[(dx1, . . . , dxn)] =∂ f∂x1

(x0)dx1 + . . . +∂ f∂xn

(x0)dxn.

f es diferenciable en x0 si para △x = (△x1, . . . ,△xn)

lım△x→θf (x0+△x)− f (x0)−D f (x0)(△x)

||△x|| = 0. ♣

▶ Si f es diferenciable en x0 su diferencial es D f (x0)[dx] = ∇ f (x0) · dx.

Nota (Aproximación lineal y diferencial) Si en vez de tomar los valores reales de la función tomamos los

valores correspondientes al plano tangente, obtenemos la aproximación lineal de la función

f (x, y) ≈ f (x0, y0) +∂ f∂x

(x0, y0)(x − x0) +∂ f∂y

(x0, y0)(y − y0) (2.1)

La diferencial de f en (x0, y0) es la función lineal que a los incrementos de las variables independientes les

asocia el incremento aproximado de la variable dependiente.

En esta aproximación se comete un error que corresponde a la diferencia entre el incremento que real-

mente sufre la función y el incremento aproximado que se obtiene mediante la diferencial

rx0,y0(△x,△y) =△z︷ ︸︸ ︷

f (x0 + △x, y0 + △y) − f (x0, y0) −

dz︷ ︸︸ ︷∂ f∂x (x0, y0)△x + ∂ f

∂y (x0, y0)△y,

Al igual que para funciones de una variable, lo que hace que una función sea diferenciable es que el error

tienda a cero más rápido de lo que lo hace el incremento de las variables independientes. ♣

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 86

Page 19: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Nota La matriz jacobiana de la función en el punto es su gradiente traspuesto y permite escribir la apro-

ximación lineal y la diferencial como

f (x1, x2, . . . , xn) ≈ f (x01, x02, . . . , x0n) + J f (x01, x02, . . . , x0n)(x1 − x01, x2 − x02, . . . , xn − x0n).

D f (x01, x02, . . . , x0n)(dx1, dx2, . . . , dxn) = J f (x01, x02, . . . , x0n)(dx1, dx2, . . . , dxn). ♣

Maxima 2.36 La demanda de un bien A depende de su precio, pa, y del precio de otro bien B, pb, según la

función D(pa, pb) = 500 − 20pa − p2b − 2pa pb (práctica Maxima 2.25). Determinar el valor de la demanda

mediante la aproximación lineal cuando ambos precios son de 5 e y el precio del bien A disminuye en dos

céntimos y el del B sube en uno. ¿Cuál sería el valor exacto?.

( % i1) D(pa,pb):=500-20*pa-pbˆ2-2*pa*pb$

( % i2) m1:at(diff(D(pa,pb),pa),[pa=5,pb=5]);

−30 (m1)

( % i3) m2:at(diff(D(pa,pb),pb),[pa=5,pb=5]);

−20 (m2)

( % i6) /*Aproximación lineal*/

∆x:-0.02$ ∆y:0.01$

D(5,5)+m1*∆x+m2*∆y;

325.4 ( % o6)

( % i7) /*Valor exacto*/

D(4.98,5.01);

325.4003 ( % o7)

Maxima 2.37 Determinar la diferencial de f (x, y) =√

x2 + y2 en el punto (5, 3) y su matriz jacobiana

(se obtiene en Maxima con el comando jacobian), utilizándolas para obtener la aproximación lineal de la

función en torno al punto .

( % i1) f(x,y):=sqrt(xˆ2+yˆ2);

f (x, y) :=√

x2 + y2 ( % o1)

( % i2) diff(f(x,y));

y del(y)√y2 + x2

+x del(x)√

y2 + x2( % o2)

( % i3) D:at(diff(f(x,y)),[x=5,y=3]);

3 del(y)√

34+

5 del(x)√

34(D)

Página 87 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 20: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

( % i4) DD:subst([del(x)=x-5,del(y)=y-3],D);

3 (y − 3)√

34+

5 (x − 5)√

34(DD)

( % i5) define(h(x,y), f(5,3)+DD);

h (x, y) :=3 (y − 3)√

34+

5 (x − 5)√

34+√

34

( % o5)( % i6) wxdraw3d(explicit(h(x,y), x, -10,10,y,-10,10),explicit(f(x,y), x, -10,10,y,-10,10));

( % i7) define(J(x,y), jacobian([f(x,y)],[x,y]));

J (x, y) :=( x√

y2 + x2

y√y2 + x2

)( % o7)

( % i8) define(h(x,y), f(5,3)+[x-5,y-3].J(5,3));

h (x, y) :=3 (y − 3)√

34+

5 (x − 5)√

34+√

34

( % o8)

Proposición 2.38 (Condiciones necesarias de diferenciabilidad)

Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

Si f es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0.

Si f es diferenciable en x0 entonces existen todas las derivadas parciales de f en x0. ♣

Proposición 2.39 (Condición suficiente de diferenciabilidad) Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

Si existen todas las derivadas parciales de f en un entorno de x0 y son continuas en x0 entonces f es

diferenciable en x0.

En este caso diremos que f es continuamente diferenciable en x0. ♣

Nota Los recíprocos de las condiciones necesarias no son ciertos: una función puede ser continua sin ser

diferenciable y pueden existir las derivadas parciales de la función sin que ésta sea diferenciable. Tampoco

es cierto el recíproco de la condición suficiente, ya que una función puede ser diferenciable sin que las

derivadas parciales sean continuas. ♣

Ejemplo 2.40 Estudiar la diferenciabilidad de f (x, y) =∑n,m

anmxnym

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 88

Page 21: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Solución∂ f∂x

(x, y) =∑n,m

anmn xn−1ym ∂ f∂y

(x, y) =∑n,m

m anmxnym−1. ♣

Obsérvese que las derivadas parciales de una función polinómica son también polinomios y, por tanto,

continuas. Esto hace que una función polinómica sea siempre continuamente diferenciable (este resultado

se cumple para polinomios con un número cualquiera de variables). ♣

Ejercicio 2.41 Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de las siguientes funciones

(a) f (x, y) = x 3√

xy − 1 (b) f (x, y, z) = ln(2x2z

y

)

Definición 2.42 Sean f : D ⊆ Rn−→ R, x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ int(D) y v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.

La derivada de f con respecto al vector v en el punto x0 es

Dv f (x0) =∂ f∂v

(x0) = lımt→0

f (x0 + tv) − f (x0)t

= lımt→0

f (x01 + tv1, . . . , x0n + tvn) − f (x01, . . . , x0n)t

.

f es derivable con respecto al vector v en el punto x0 si este límite existe.

Siempre y cuando el vector v sea unitario, ||v|| = 1, esta derivada recibirá el nombre de derivada

direccional de f según la dirección del vector v en x0. ♣

Nota La derivada direccional extiende el concepto de derivada parcial, ya que la derivada con respecto al

vector ei coincide con la derivada parcial con respecto a xi. ♣

Proposición 2.43 (Condición necesaria de diferenciabilidad) Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

Si f es diferenciable en x0 entonces f es derivable en x0 según cualquier vector v ∈ Rn, con:∂ f∂v

(x0) = D f (x0)[v]. ♣

Nota (La derivada direccional como tasa de variación) En las derivadas direccionales las variables varían

proporcionalmente y, a partir de unos valores x = x0 e y = y0, pasan a tomar valores x = x0+at e y = y0+bt,

de forma que la tasa media de variación es

△z||(△x,△y)||

=f (x0 + at, y0 + bt) − f (x0, y0)

||(at, bt)||=

f (x0 + at, y0 + bt) − f (x0, y0)t||(a, b)||

.

Página 89 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 22: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Cuando el vector v(a, b) es unitario, ||v|| = ||(a, b)|| = 1 la tasa media de variación es

f (x0 + at, y0 + bt) − f (x0, y0)t

.

Al calcular el límite de esta tasa media de variación cuando t tiende a cero, obtenemos la tasa instantánea

de variación de la función en la dirección del vector. ♣

Nota (Interpretación geométrica) Obsérvese que la derivada de la función g(t) = f (x0 + at, y0 + bt) en

t = 0 coincide con la derivada de f según el vector v en (x0, y0)

g′(t) = lımt→0

g(t) − g(0)t

= lımt→0

f (x0 + at, y0 + bt) − f (x0, y0)t

= Dv f (x0, y0).

Como la gráfica de la función g corresponde a la intersección de la gráfica de la función f con el plano

paralelo al eje z que contiene al vector v, podría pensarse que la derivada según el vector v en (x0, y0) es la

pendiente de la recta tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (x0, y0) en la dirección del vector v.

t

El concepto de pendiente depende de las unidades que estamos toman-

do sobre los ejes y en este caso la magnitud de las unidades la marca el

vector (cuando la variable t se incrementa en una unidad recorremos

sobre el plano una distancia equivalente al módulo del vector v).

t

La derivada según el vector corresponde a la pendiente de la recta tan-

gente a la superficie en la dirección del vector (derivada direccional)

sólo y exclusivamente cuando el vector es unitario . ♣

Proposición 2.44 Sean f : D ⊆ Rn−→ R, x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ int(D) y v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.

Si f es derivable con respecto a v también lo es con respecto a cualquier vector paralelo a él y

D(λ v) f (x0) = λDv f (x0). ♣

Nota Es importante distinguir entre la derivada según un vector y la derivada direccional, ya que sólo

esta última coincide con la tasa instantánea de variación en la dirección del vector. Para obtener esta tasa

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 90

Page 23: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

tenemos en cuenta que la tasa instantánea de variación en su dirección (derivada direccional) es la derivada

según cualquier vector con la misma dirección dividida por el módulo del vector. ♣

Ejercicio 2.45 Calcular la derivada direccional de f (x, y, z) =√

2x+zx−z en el punto (1, 1, 1) en la dirección

del vector v = (1, 0,−1)

Proposición 2.46 (Propiedades del gradiente)

Sea f : D ⊆ Rn−→ R diferenciable en x0 ∈ int(D) con ∇ f (x0) , θ.

∇ f (x0) es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto.

∇ f (x0) indica la dirección de máximo crecimiento de la función. ♣

Nota Que el vector gradiente indique la dirección de máximo

crecimiento de la función quiere decir que en su dirección la

pendiente de la recta tangente tiene el máximo valor de todas

las pendientes de las rectas tangentes en el punto. En el sentido

del gradiente tendremos el máximo crecimiento y en el sentido

opuesto el máximo decrecimiento. ♣

Maxima 2.47 La compañía Refresquillos S.A. produce dos tipos de refrescos que vende con un beneficio

B(x, y) = (x − 1)2 + (y − 2)2

donde x e y son las toneladas producidas de cada uno de los refrescos (beneficio en miles de euros). En estos

momentos produce 2 toneladas del primer refresco y 4 del segundo pero quiere incrementar su producción.

a) Representar la curva de nivel correspondiente al beneficio que obtiene actualmente e indicar cuál es

su significado.

b) ¿En que proporción aumentaría el beneficio si se produce un incremento de la producción del primer

refresco y la del segundo se mantiene constante?. ¿Y al contrario? ¿Qué proporción deben mantener

ambos factores para que se consiga el máximo incremento en los beneficios?.

c) Utilizar la aproximación lineal para determinar cuánto aumentarían los beneficios si la producción

de ambos refrescos aumentara en un 5 %. ♣

Página 91 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 24: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

( % i1) B(x,y):=(x-1)ˆ2+(y-2)ˆ2;

B (x, y) := (x − 1)2 + (y − 2)2 ( % o1)

( % i2) B(5,4);

20 ( % o2)( % i3) /*La curva de nivel corresponde a las

producciones de refrescos con los mis-

mos beneficios*/

wxdraw3d(explicit(B(x,y),x,0,10,y,0,10),

contour=’both,

contour_levels={B(5,4)})$( % t3)

( % i5) /* Beneficios marginales */

at(diff(B(x,y),x),[x=5,y=4]);

at(diff(B(x,y),y),[x=5,y=4]);

8 ( % o4)

4 ( % o5)

( % i6) /*El gradiente marca la dirección de má-

ximo incremento*/

/*Proporción 2 a 1 (equivale a 8 a 4)*/

grad:at(jacobian([B(x,y)],[x,y]),[x=5,y=4]);

(8 4

)(grad)

( % i7) /*Valor exacto*/;

at(B(x,y),[x=5*(1+0.05),y=4*(1+0.05)]);

22.9025 ( % o7)

( % i10) /*Aproximación lineal*/

∆x:0.05*5$ ∆y:0.05*4$

B(5,4)+grad.[∆x,∆y];

22.8 ( % o10)

Ejemplo 2.48 Sea f (x, y) = x√

3xy − 2y2

(a) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la función.

(b) Determinar su diferencial en un punto genérico y en el punto (2, 1).

(c) Determinar su derivada direccional en el punto (2, 1) según la dirección del vector v = (3, 2).

(d) Determinar la dirección de máximo crecimiento en el punto (2, 1). ¿Cúal es la tasa instantánea de

variación en esta dirección?.

Solución

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 92

Page 25: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

(a) La función es continua en su dominio (el dominio es cerrado) D( f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y ≥ 0}

Las parciales son

∂ f∂x (x, y) =

√3xy − 2y2 +

3xy

2√

3xy − 2y2=

9xy − 4y2

2√

3xy − 2y2

∂ f∂x (x, y) =

3x2 − 4xy

2√

3xy − 2y2

El dominio del gradiente es D(∇ f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y > 0}

Como las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente (obsérvese que este dominio no coincide con el de la función original ya que

no es derivable en la frontera del dominio pues 3x − 2y tiene que ser distinto de cero).

(b) La diferencial y la diferencial en el punto (2, 1) son

D f (x, y)[dx, dy] =9xy − 4y2

2√

3xy − 2y2dx +

3x2 − 4xy

2√

3xy − 2y2dy

D f (2, 1)[dx, dy] =( 7

212

) dx

dy

= 72

dx +12

dy

(c) La derivada según el vector v = (3, 2) es

Dv f (2, 1) = D f (2, 1)[v] =( 7

212

) 3

2

= 232

La derivada direccional es la tasa instantánea de variación y debemos dividir por el módulo del vector,

que es ||v|| =√

32 + 22 =√

13,

m =Dv f (2, 1)||v||

=23

2√

13=

23√

1326

Página 93 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 26: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

(d) El vector gradiente indica la dirección de máximo crecimiento ( 72 ,

12 ) y la tasa instantánea de variación

en esa dirección coincide con el módulo del gradiente

||∇ f (1, 2)|| =

√(72

)2

+

(12

)2

=

√504=

5√

22

Ejemplo 2.49 Sean f (x, y) =√

3x − 2y f (x, y) = ln(3x − 2y) f (x, y) = 3√

3x − 2y

(a) Determinar y representar el dominio de f . ¿Es continua en su dominio?

(b) Determinar y representar el vector gradiente en el punto (2, 1) junto con la curva de nivel pasa por

este punto. ¿Es derivable con respecto a x e y en todo su dominio?.

(c) Determinar la diferencial de f en el punto (2, 1) y estudiar su diferenciabilidad en el dominio.

(d) Determinar la derivada de f en el punto (2, 1) según la dirección del vector v = (3, 2). ¿Cuál es la

tasa instantánea de variación en esta dirección?

Solución

• f (x, y) =√

3x − 2y

(a) La función es continua en su dominio (el dominio es cerrado e incluye a la recta 3x − 2y = 0).

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y ≥ 0}

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 94

Page 27: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

(b) Esta función no es derivable en la frontera del dominio (3x − 2y tiene que ser distinto de cero) y el

vector gradiente es

∇ f (x, y) =

3

2√

3x − 2y−1√

3x − 2y

con D(∇ f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y > 0}

La curva de nivel que pasa por el punto (2, 1) es la curva de nivel 2 (√

3 · 2 − 2 · 1 = 2). Por tanto,

corresponde a la recta √3x − 2y = 2⇔ 3x − 2y = 4

El vector gradiente es ∇ f (2, 1) =(34,−

12

)

(c) Las diferencial es D f (1, 3)[dx, dy] =( 3

4−12

) dx

dy

= 34

dx −12

dy

Como las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente. Obsérvese que este dominio no coincide con el de la función original y, por

tanto, la función sólo es diferenciable en {(x, y) ∈ R2/3x − 2y > 0}

(d) La derivada según el vector v = (3, 2) es

Dv f (2, 1) = D f (2, 1)[v] =( 3

4−

12

) 3

2

= 54

Para obtener la tasa de variación dividimos por el módulo del vector, ||v|| =√

32 + 22 =√

13,

Dv f (2, 1)||v||

=5

4√

13

• f (x, y) = ln(3x − 2y)

(a) La función es continua en su dominio (este dominio es abierto y no incluye a la recta 3x − 2y = 0).

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y > 0}

Página 95 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 28: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

(b) Esta función es derivable en todo el dominio (como el dominio es abierto la frontera no forma parte

de él) Obsérvese que también tiene que ser positivo para que exista la función (aunque el vector

gradiente parece existir en más puntos no es así)

∇ f (x, y) =

3

3x − 2y−2

3x − 2y

con D(∇ f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y > 0}

La curva de nivel que pasa por el punto (2, 1) es la curva de nivel ln 4 y corresponde a la recta

ln(3x − 2y) = ln 4⇔ 3x − 2y = 4

El vector gradiente es ∇ f (2, 1) =(34,−12

)

(c) Las diferencial es D f (1, 3)[dx, dy] =( 3

4−12

) dx

dy

= 34

dx −12

dy

Como las dos parciales son continuas en el dominio la función es diferenciable en todo el dominio.

(d) La derivada según el vector v = (3, 2) es

Dv f (2, 1) = D f (2, 1)[v] =( 3

4−

12

) 3

2

= 54

Para obtener la tasa instantánea de variación debemos dividir por el módulo del vector, que es ||v|| =√

32 + 2‘2 =√

13,Dv f (2, 1)||v||

=5

4√

13

• f (x, y) = 3√

3x − 2y

(a) La función es continua en todo R2 (D( f ) = R2)

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 96

Page 29: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

(b) Esta función no es derivable en la recta 3x − 2y (ya que 3x − 2y tiene que ser distinto de cero) y el

vector gradiente es

∇ f (x, y) =

1

3√

(3x − 2y)2

−2

3 3√

(3x − 2y)2

con D(∇ f ) = {(x, y) ∈ R2/3x − 2y , 0}

La curva de nivel que pasa por el punto (2, 1) es la curva de nivel 3√4 ( 3√3 · 2 − 2 · 1 = 3√4). Por tanto,

corresponde a la recta3√

3x − 2y =3√4⇔ 3x − 2y = 4

El vector gradiente es ∇ f (2, 1) =(

13√16

,−2

3 3√16

)

(c) Las diferencial es D f (1, 3)[dx, dy] =

1

3√16−

2

3 3√16

dx

dy

= 13√16

dx −2

3 3√16dy

Como las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente. Obsérvese que este dominio no coincide con el de la función original, que es

todo el plano, y que, por tanto, para 3x−2y = 0 no existe vector gradiente y la función es diferenciable

en {(x, y) ∈ R2/3x − 2y , 0} ♣

(d) La derivada según el vector v = (3, 2) es

Dv f (2, 1) = D f (2, 1)[v] =

1

3√16−

2

3 3√16

3

2

= 5

3 3√16

Para obtener la tasa instantánea de variación debemos dividir por el módulo del vector, que es

||v|| =√

32 + 2‘2 =√

13,Dv f (2, 1)||v||

=5

3√

13 3√16

Obsérvese que el vector gradiente indica la dirección de máximo crecimiento y que es perpendicular a la

curva de nivel que pasa por el punto. En los tres casos lo único que cambia es la longitud del vector, que

Página 97 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 30: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

corresponde a la pendiente de la tangente en la dirección del gradiente. El motivo por el que las funciones

no son derivables en la recta 3x − 2y = 0 es que a medida que nos acercamos a ella esta pendiente se hace

cada vez más grande con límite infinito. ♣

Ejercicio 2.50 Para las siguientes funciones determinar el dominio de la función, el vector gradiente en

un punto genérico con su dominio y la diferncial, si es posible, en el punto P que se indica.

(a) f (x, y) =x + y

xyP(1, 1) (b) f (x, y) =

3√

x + yx − y

P(1, 1)

(c) f (x, y) =√

x2 + y P(1, 0) (d) f (x, y) = ln (x − y2) P(1, 0)

(e) f (x, y) =ey

ex + ey P(0, 1) (f) f (x, y) =x

ex − ey P(1, 1)

(g) f (x, y) = sen2(x + y) P(0, π) (h) f (x, y) = cos3(x − y) P(0, π/2)

(i) f (x, y, z) = (x + y)y+z P(1, 1, 1) (j) f (x, y, z, t) = (xt)yz P(1, 1, 1, 1)

Terminamos esta sección con un resultado de gran importancia teórica en el que se basan muchos de

los teoremas relativos a la diferenciación. Este teorema recibe el nombre de teorema del valor medio y

su importancia radica en que permite expresar la diferencia entre los valores de la función en dos puntos

distintos en función de la diferencial en un punto intermedio.

Teorema 2.51 (Teorema del valor medio) Sean f : D ⊆ Rn−→ R y a, b ∈ Rn.

Si f es diferenciable en un abierto G ⊇ L[a, b] entonces existe c ∈ L(a, b) tal que

f (b) − f (a) = D f (c)[b − a],

donde L(a, b) y L[a, b] representan el segmento que une los puntos (abierto y cerrado respectivamente)

L(a, b) = {tb + (1 − t)a/0 < t < 1} (abierto) y L[a, b] = {tb + (1 − t)b/0 ≤ t ≤ 1} (cerrado) . ♣

Ejercicio 2.52 Para las siguientes funciones determinar el conjunto en el que son diferenciables y para los

puntos P y Q que se indican aplicar, si es posible, el teorema valor medio para expresar f (Q) − f (P) en

función de sus derivadas parciales:

(a) f (x, y) = sen(x + y) P(π, 0) Q(0, π)

(b) f (x, y) = tan(xy) P(1, 0) Q(1, π)

(c) f (x, y) = x|y| P(2, 1) Q(1, 1)

(d) f (x, y) = |x|y P(1, 1) Q(1,−1)

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 98

Page 31: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

2.5. Derivadas sucesivas y matriz hessiana

Definición 2.53 Sean f : D ⊆ Rn−→ R y x0 ∈ int(D).

f admite derivada parcial de orden 2 con respecto a xi y x j si ∂ f∂xi

(x) existe en un entorno de x0 y es

derivable en x0 con respecto a x j.

En este caso se define la derivada parcial segunda en x0 con respecto a xi y x j como

Di j f (x0) =∂2 f∂x j∂xi

(x0) =∂

∂x j

(∂ f∂xi

)(x0). ♣

Definición 2.54 Sea f : D ⊆ Rn−→ R que admite todas las derivadas parciales de orden 2 en x0.

La matriz hessiana de f en x0, H f (x0), es:

H f (x0) =

∂2 f∂ x1 x1

(x0) ∂2 f∂ x1 x2

(x0) · · · ∂2 f∂ x1 xn

(x0)

∂2 f∂ x2 x1

(x0) ∂2 f∂ x2 x2

(x0) · · · ∂2 f∂ x2 xn

(x0)...

.... . .

...

∂2 f∂ xn x1

(x0) ∂2 f∂ xn x2

(x0) · · · ∂2 f∂ xn xn

(x0)

Teorema 2.55 Sea f : D ⊆ Rn−→ R tal que ∂ f

∂xi(x) y ∂ f

∂x j(x) existen en un entorno de x0 ∈ int(D).

(Teorema de Heffter-Young)

Si ∂ f∂xi

(x) y ∂ f∂x j

(x) son diferenciables en x0 entonces existen ∂2 f∂xi∂x j

(x0) y ∂2 f∂x j∂xi

(x0) con

∂2 f∂xi∂x j

(x0) = ∂2 f∂x j∂xi

(x0).

(Teorema de Schwarz)

Si ∂2 f∂xi∂x j

(x) existe en un entorno de x0 y es continua en x0 entonces existe ∂2 f∂x j∂xi

(x0) con

∂2 f∂x j∂xi

(x0) = ∂2 f∂xi∂x j

(x0). ♣

Nota Obsérvese que si se cumplen las hipótesis del teorema de Schwarz o de Heffter-Young se garantiza

que en ese caso la matriz hessiana es simétrica.

Ejercicio 2.56 Calcular la matriz hessiana de f (x, y) = 40x − 7x2 + 20y − 4y2 − 4xy − 120 en un punto

genérico, indicando las condiciones que debe verificar este punto.

Página 99 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 32: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Solución Esta función es un polinomio y es indefinidamente derivable en todo R2, por lo que calculamos

directamente sus derivadas de primer y segundo orden, que son:∂ f∂x

(x, y) = 40 − 14x − 4y

∂ f∂y

(x, y) = 20 − 8y − 4x=⇒ H f (x, y) =

∂2 f∂ x2 (x, y) ∂2 f

∂ y∂ x (x, y)

∂2 f∂ x∂ y (x, y) ∂2 f

∂ y2 (x, y)

= −14 −4

−4 −8

Ejemplo 2.57 Obtener la matriz hessiana de f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y en el punto (−3, 2).

Solución Esta función es un polinomio y es indefinidamente derivable en todo R2, por lo que calculamos

directamente sus derivadas de primer y segundo orden, que son:

∂ f∂x (x, y) = 3x2 + 3y2 − 15

∂ f∂y (x, y) = 6xy − 12

=⇒

∂2 f∂ x2 (x, y) = 6x

∂2 f∂ y∂ x (x, y) = ∂2 f

∂ x∂ y (x, y) = 6y

∂2 f∂ y2 (x, y) = 6x

Por tanto, la matriz hessiana de f en el punto es:

H f (x, y) =

∂2 f∂ x2 (−3, 2) ∂2 f

∂ y∂ x (−3, 2)

∂2 f∂ x∂ y (−3, 2) ∂2 f

∂ y2 (−3, 2)

= −18 12

12 −18

Maxima 2.58 Obtener las derivadas de segundo orden de f (x, y) =√

x2 + y2 (continuación ejemplo 2.37)

( % i11) diff(f(x,y),x,2,y,0);

1√y2 + x2

−x2(

y2 + x2) 32

( % o10)

diff(f(x,y),x,1,y,1);

−xy(

y2 + x2) 32

( % o11)

( % i13) diff(f(x,y),y,1,x,1);

−xy(

y2 + x2) 32

( % o12)

;diff(f(x,y),x,0,y,2);

1√y2 + x2

−y2(

y2 + x2) 32

( % o13)

( % i14) define(H(x,y), hessian(f(x,y),[x,y]));

H (x, y) :=

1√

y2+x2− x2

(y2+x2)32

−xy

(y2+x2)32

−xy

(y2+x2)32

1√y2+x2

−y2

(y2+x2)32

( % o14)

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 100

Page 33: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Nota f admite derivada parcial de orden k, con respecto a xi1 , . . . , xik−1 , xik , si f admite derivada parcial

de orden k − 1 en un entorno de x0 con respecto a xi1 , . . . , xik−1 y esta derivada parcial es derivable en x0 con

respecto a xik .

En este caso se define la derivada parcial de orden k como

Di1···ik f (x0) =∂k f

∂xik · · · ∂xi1(x0) =

∂xik

(∂ f k−1

∂xi1 , . . . , ∂xik−1

)(x0)

Además decimos que f es de clase Ck en un abierto U, f ∈ Ck(U), si existen y son continuas en U todas

las derivadas parciales sucesivas de f hasta el orden k y es de clase C∞ en U, f ∈ C∞(U), si existen y son

continuas en U todas las derivadas parciales sucesivas de todos los órdenes.

Ejercicio 2.59 Calcular, haciendo el menor número de derivadas posibles, las siguientes derivadas de

segundo orden∂2 f∂x∂y

(1, 1) con f (x, y) = ln(2y2x − x2y).∂2 f∂y2

(π,

12

)con f (x, y) = 3 sen2(2xy)

∂2 f∂y2 (1, 1) con g(x, y) = 3x sen2(πxy)

Ejercicio 2.60 Obtener, haciendo el menor número de derivadas posibles, las siguientes derivadas de se-

gundo orden especificando las condiciones que debe verificar el punto para que existan.

(a)∂2 f∂y2

(π, 1/4) (b)∂2 f∂y∂x

(3/2, π) (c)∂2g∂z∂x

(1, 2, 3) (d)∂2g∂x∂z

(1, 2, 3) (e)∂2g∂z2

(3, 2, 1)

con f (x, y) = sen2(xy), g(x, y, z) = ln(xy2z3).

Página 101 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 34: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Ejercicios del tema

Ejercicio 2.61 Estudiar la continuidad y las curvas de nivel de las siguientes funciones y determinar, si es

posible, la curva de nivel que pasa por el punto que se indica (especificar el dominio de existencia de la

función cuando no sea todo el plano):

(a) f (x, y) = 2x + y P (1, 3/5) (b) f (x, y) = xy P(1, e)

(c) f (x, y) = x2 + y P(√

5, 3/2)

(d) f (x, y) = x + y2 P(1/4, 1)

(e) f (x, y) = (x − 1)2 + y2 P(2, 1/2) (f) f (x, y) = 2/x P (2/3, π)

(g) f (x, y) = ln(

xy

)P(1, e) (h) f (x, y) =

√yx

P(−1, 2)

Solución

(a) Esta función es continua siempre (D( f ) = R2). Sus curvas de nivel son rectas

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/2x + y = k} ⇔ y = −2x + k

Su pendiente es m = −2 y corta con el eje OY en el punto Q(0, k) de forma que cuando k crece estas rectas

se alejan del origen. La curva de nivel que pasa por P (1, 3/5) corresponde a k = f (1, 3/5) = 13/5:

(b) Esta función es continua siempre (D( f ) = R2). Sus curvas de nivel son los ejes OX y OY para k = 0 e

hipérbolas de centro el origen para k , 0

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/xy = k}

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 102

Page 35: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Para k > 0 sus vértices son V1(√

k,√

k) y V2(−√

k,−√

k) de forma que cuando k crece estas hipérbolas se

alejan del origen (para k < 0 son V1(√−k,−

√−k) y V2(−

√−k,√−k)) La curva de nivel que pasa por P(1, e)

corresponde a k = f (1, e) = e.

(c) Esta función es continua siempre (D( f ) = R2). Sus curvas de nivel son parábolas verticales con corte

con el eje OY Q(0, k) y cortes con el eje OX Q1(√

k, 0) y Q2(−√

k, 0) para k ≥ 0 (no corta el eje si k < 0)

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y = k} ⇔ y = −x2 + k

Su vértice es V(0, k) de forma que cuando k crece estas parábolas se alejan del origen. La curva de nivel

que pasa por P(√

5, 3/2)

corresponde a k = f(√

5, 3/2)= 13/2

(d) Esta función es continua siempre (D( f ) = R2). Sus curvas de nivel son parábolas horizontales con corte

con el eje OX Q2(0, k) y cortes con el eje OY Q1(0,√

k) y Q2(0,−√

k) para k ≥ 0 (no corta el eje si k < 0)

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/x + y2 = k} ⇔ x = −y2 + k ⇔ y =√

k − x

Su vértice es V(k, 0) de forma que cuando k crece las parábolas se alejan del origen. La curva de nivel que

pasa por P(1/4, 1) corresponde a k = f (1/4, 1) = 5/4.

(e) Esta función es continua (D( f ) = R2). Sus curvas de nivel son circunferencias

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/(x − 1)2 + y2 = k} ⇔ y = ±√

k − (x − 1)2

El centro es C(1, 0) y su radio R =√

r para k ≥ 0, de forma que se alejan del centro cuando k crece (no

existen curvas de nivel para k < 0). La curva de nivel que pasa por P(2, 1/2) corresponde a k = f (2, 1/2) =

5/4.

(f) Esta función es continua sólo si no se anula el denominador

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/x , 0}

Página 103 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 36: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Sus curvas de nivel son rectas verticales para k , 0 (no existe curva de nivel para k = 0)

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/2x= k} ⇔ x = 2/k

Estas rectas se acercan a la recta x = 0 cuando k crece. La curva de nivel que pasa por P (2/3, π) corresponde

a k = f (2/3, π) = 3.

(g) Esta función es continua si el argumento del logaritmo es positivo (primer y tercer cuadrantes) y el

denominador de la fracción es distinto de cero (el dominio es abierto ya que no incluye los ejes que forman

la frontera del dominio)

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/xy> 0, y , 0}

Sus curvas de nivel son rectas en las que el origen no pertenece a la curva de nivel, ya que, aunque las rectas

pasan todas por el origen este punto no pertenece al dominio

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/ ln(

xy

)= k} ⇔

xy= ek ⇔ y =

xek

La pendiente es m = 1/ek, de forma que cuando k crece estas rectas se acercan al eje OX cuyos puntos no

pertenece al dominio. La curva de nivel que pasa por P(1, e) corresponde a k = f (1, e) = −1

(h) Esta función es continua si el argumento de la raíz es no negativo (primer y tercer cuadrantes) y el

denominador de la fracción es distinto de cero (el dominio no es ni abierto ni cerrado, pues los ejes forman

la frontera del dominio y el eje OX sí está en el dominio y al eje OY no)

D( f ) = {(x, y) ∈ R2/xy> 0, y , 0}

Sus curvas de nivel son rectas en las que el origen no pertenece a la curva de nivel, ya que, aunque las

rectas pasan todas por el origen este punto no pertenece al dominio.

Ck( f ) = {(x, y) ∈ R2/

√yx= k} ⇔

yx= k2 ⇔ y = xk2

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 104

Page 37: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Estas rectas tienen pendiente m = k2 y cuando k crece se acercan al eje OY (recta x = 0 cuyos puntos no

pertenece al dominio). No hay ninguna curva de nivel que pase por P(−1, 2). ♣

Ejercicio 2.62 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y calcular sus derivadas parciales de

primer orden (especificar el dominio de existencia de la función y, si es distinto, el dominio de existencia

conjunta de sus derivadas).

(a) f (x, y) =x − yx + y

(b) f (x, y) =3x2 − 2y2

x2 + y2 (c) f (x, y) =x2y + xy2

xy

(d) f (x, y) =√

x + yx − y

(e) f (x, y) = arctan(y

x

)+ arctan

(xy

)(f) f (x, y) = 2

1x+y

(g) f (x, y, z) = xy + zx (h) f (x, y, z) =x2z3

x2 − y2 (i) f (x, y, z) =ex

y2 − z2

Solución

(a) f (x, y) =x − yx + y

está definida y es continua cuando el denominador es distinto de 0:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x + y , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/y , −x

}f es derivable con respecto a x e y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) =2y

(x + y)2

∂ f∂y

(x, y) = −2x

(x + y)2

(b) f (x, y) =3x2 − 2y2

x2 + y2 está definida y es continua cuando el denominador es distinto de 0:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/(x, y) , (0, 0)

}f es derivable con respecto a x e y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) =10xy2(

x2 + y2)2

∂ f∂y

(x, y) = −10x2y(

x2 + y2)2

(c) f (x, y) =x2y + xy2

xyestá definida y es continua cuando el denominador es distinto de 0:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/xy , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/x , 0, y , 0

}Página 105 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 38: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Para puntos de este dominio podemos simplificar y tenemos f (x, y) = x + y con derivadas parciales

∂ f∂x

(x, y) = 1∂ f∂y

(x, y) = 1

(d) f (x, y) =√

x + yx − y

está definida y es continua cuando el argumento de la raíz es no negativo y su deno-

minador es distinto de 0

D( f ) ={

(x, y) ∈ R2/x + yx − y

≥ 0, x − y , 0}

que podemos escribir D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x + y ≥ 0, x − y > 0

}∪

{(x, y) ∈ R2/x + y ≤ 0, x − y < 0

}Sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) = −y

(x − y)2√

x+yx−y

∂ f∂y

(x, y) =x

(x − y)2√

x+yx−y

f no es derivable con respecto a x e y en todo su dominio ya que sólo están definidas cuando el argumento

de la raíz es positivo

D(∂ f∂x,∂ f∂x

) ={

(x, y) ∈ R2/x + yx − y

> 0, x − y , 0}

que podemos escribir{(x, y) ∈ R2/x + y > 0, x − y > 0

}∪

{(x, y) ∈ R2/x + y < 0, x − y < 0

}(e) f (x, y) = arctan

(yx

)+ arctan

(xy

)está definida y es continua cuando los denominadores de las fracciones

que aparecen son distintos de 0:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x, y , 0

}f es derivable con respecto a x e y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) =1

y(

x2

y2 + 1) − y

x2(

y2

x2 + 1) = 0

∂ f∂y

(x, y) =1

x(

y2

x2 + 1) − x

y2(

x2

y2 + 1) = 0

(f) f (x, y) = 21

x+y está definida y es continua cuando el denominador de la fracción no es nulo:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x + y , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/y , −x

}PROYECTO MATECO 3.14159 Página 106

Page 39: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

f es derivable en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) = −ln(2)2

1x+y

(x + y)2

∂ f∂y

(x, y) = −ln(2)2

1x+y

(x + y)2

(g) Aunque su dominio es mayor, consideramos que f (x, y, z) = xy+ zx está definida, es continua y derivable

con respecto a x, y, z cuando la base de ambas potencias es positiva, D( f ) ={(x, y, z) ∈ R3/x, z > 0

}Sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y, z) = yxy−1 + zx ln(z)∂ f∂y

(x, y, z) = xy ln(x)∂ f∂z

(x, y, z) = xzx−1

(h) f (x, y, z) =x2z3

x2 − y2 está definida y es continua cuando el denominador no se anula:

D( f ) ={(x, y, z) ∈ R3/x2 − y2 , 0

}=

{(x, y, z) ∈ R3/x , ±y

}f es derivable con respecto a x e y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y, z) = −2xy2z3(x2 − y2)2

∂ f∂y

(x, y, z) =2x2yz3(x2 − y2)2

∂ f∂z

(x, y, z) =3x2z2

x2 − y2

(i) f (x, y, z) =ex

y2 + z2 está definida y es continua cuando el denominador no se anula:

D( f ) ={(x, y, z) ∈ R3/y2 + z2 , 0

}=

{(x, y, z) ∈ R3/(y, z) , (0, 0)

}f es derivable con respecto a x, y, z en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y, z) =ex

y2 + z2

∂ f∂y

(x, y, z) = −2exy(

y2 + z2)2

∂ f∂z

(x, y, z) = −2exz(

y2 + z2)2

Ejercicio 2.63 Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones en el punto que se indica (es-

pecificar el dominio de existencia de la función y, si es distinto, el dominio de existencia conjunta de sus

derivadas)

(a) f (x, y) =22xy

e2xy + 1en (1, 0) (b) f (x, y) = (2x2 + 3y2)x2+x en (0, 1).

Página 107 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 40: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Solución

(a) f (x, y) =22xy

e2xy + 1siempre tiene denominador positivo, por tanto, es continua y derivable con respecto a

x e y en R2:

∂ f∂x

(x, y) =2y22xy ln 2(e2xy + 1) − 2y22xye2xy

(e2xy + 1)2 =⇒∂ f∂x

(1, 0) = 0

∂ f∂y

(x, y) =2x22xy ln 2(e2xy + 1) − 2x22xye2xy

(e2xy + 1)2 =⇒∂ f∂y

(1, 0) =2 ln 2 − 1

2

(b) f (x, y) = (2x2 + 3y2)x2+x es continua y derivable con respecto a x, y cuando la base es positiva y vamos

a calcular las derivadas parciales de dos formas distintas.

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/2x2 + 3y2 > 0

}=

{(x, y) ∈ R2/(x, y) , (0, 0)

}∪

{(x, y, z) ∈ R3/x < 0, y < 0

}

En primer lugar vamos a utilizar la regla de la cadena.

∂ f∂x

(x, y) = (x2 + x)( 2x2 + 3y2)x2+x−1(2 2x) + (2x2 + 3y2)x2+x ln(2x2 + 3y2)(2x + 1)

∂ f∂y

(x, y) = (x2 + x)(2x2 + 3y2)x2+x−1(6y)

La segunda forma es mediante derivación logarítmica, para lo que consideramos el logaritmo de la función

ln ( f (x, y)) = ln((2x2 + 3y2)x2+x

)⇔ ln ( f (x, y)) = (x2 + x) ln(2x2 + 3y2)

Derivando esta expresión obtenemos una ecuación que nos permite calcular la derivada

∂ f∂x (x, y)f (x, y)

= (2x + 1) ln(2x2 + 3y2) + (x2 + x)4x

2x2 + 3y2

∂ f∂x

(x, y) =[(2x + 1) ln(2x2 + 3y2) + (x2 + x)

4x2x2 + 3y2

](2x2 + 3y2)x2+x

∂ f∂y (x, y)

f (x, y)= (x2 + x)

6y2x2 + 3y2 =⇒

∂ f∂y

(x, y) =[(x2 + x)

6y2x2 + 3y2

](2x2 + 3y2)x2+x

Sustituyendo en las derivadas parciales obtenemos∂ f∂x

(0, 1) = ln(b) y∂ f∂y

(0, 1) = 0 ♣

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 108

Page 41: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Ejercicio 2.64 Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible,

en el punto P que se indica:

(a) f (x, y) =xy

x2 + y2 P(2, 1) (b) f (x, y) = sen(2x2y) cos(3xy2) P(1, 1)

(c) f (x, y, z) = (xy)z P(1, 1, 1) (d) f (x, y, z) = π2z

x+y P(1, 1, 2)

En todos los casos estudiar la continuidad y especificar el dominio de existencia de la función y el

dominio de existencia del gradiente (si es distinto al de la función).

Solución En muchos ejercicios el vector gradiente se representa por sus coordenadas, por comodidad y

ahorro de espacio, pero es conveniente recordar que un vector siempre es una matriz columna.

(a) f (x, y) =xy

x2 + y2 está definida y es continua cuando el denominador no se anula:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x2 + y2 , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/(x, y) , (0, 0)

}f es derivable con respecto a x, y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) =y xy+1 + y3xy−1 − 2xy+1

(x2 + y2)2

∂ f∂y

(x, y) =xy+2 ln x + y2xy ln x − xy2y

(x2 + y2)2

Por tanto, su vector gradiente en el punto (2, 1) es:

∇ f (2, 1) =

∂ f∂x

(2, 1)

∂ f∂y

(2, 1)

=

−325

10 ln 2 − 425

(b) f (x, y) = sen(2x2y) cos(3xy2) está definida, es continua y es derivable con respecto a x, y en todo R2 y

sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) = 4xy cos(2x2y) cos(3xy2) − 3y2 sen(2x2y) sen(3xy2)

∂ f∂y

(x, y) = 2x2 cos(2x2y) cos(3xy2) − 6xy sen(2x2y) sen(3xy2)

Página 109 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 42: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Por tanto, su vector gradiente en el punto (1, 1) es:

∇ f (x, y) =

∂ f∂x

(1, 1)

∂ f∂y

(1, 1)

=

4 cos(2) cos(3) − 3 sen(2) sen(3)

2 cos(2) cos(3) − 6 sen(2) sen(3)

(c) f (x, y, z) = (xy)z es continua y es derivable con respecto a x, y cuando la base es positiva

D( f ) ={(x, y, z) ∈ R3/xy > 0

}=

{(x, y, z) ∈ R3/x > 0, y > 0

}∪

{(x, y, z) ∈ R3/x < 0, y < 0

}

Las derivadas de primer orden son

∂ f∂x

(x, y, z) = yz (xy)z−1 ∂ f∂y

(x, y, z) = xz (xy)z−1 ∂ f∂z

(x, y, z) = (xy)z ln xy

Por tanto, su vector gradiente en el punto (1, 1, 1) es:

∇ f (x, y, z) =

∂ f∂x

(1, 1, 1)

∂ f∂y

(1, 1, 1)

∂ f∂z

(1, 1, 1)

=

1

1

0

(d) f (x, y, z) = π2z

x+y está definida y es continua cuando el denominador no se anula:

D( f ) ={(x, y, z) ∈ R3/x + y , 0

}=

{(x, y, z) ∈ R3/y , −x

}

f es derivable con respecto a x, y, z en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y, z) = −2z ln(π)π

2zx+y

(x + y)2

∂ f∂y

(x, y, z) = −2z ln(π)π

2zx+y

(x + y)2

∂ f∂z

(x, y, z) =2 ln(π)π

2zx+y

x + y

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 110

Page 43: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Por tanto, su vector gradiente en el punto (1, 1, 2) es:

∇ f (x, y, z) =

∂ f∂x

(1, 1, 2)

∂ f∂y

(1, 1, 2)

∂ f∂z

(1, 1, 2)

=

−π2 ln(π)

−π2 ln(π)

π2 ln(π)

Ejercicio 2.65 Determinar el plano tangente a la función en el punto P que se indica:

(a) f (x, y) =ey

x + yP(0, 1) (b) f (x, y) = e1−x sen(πxy) P(1, 1)

Solución

(a) f (x, y) =ey

x + yestá definida y es continua cuando el denominador es distinto de 0:

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/x + y , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/y , −x

}

f es derivable con respecto a x e y en su dominio y sus derivadas parciales son

∂ f∂x

(x, y) =∂ f∂y

(x, y) =

El plano tangente a la función en el punto P(0, 1) es

z − f (0, 1) =∂ f∂x

(0, 1)(x − 0) +∂ f∂y

(0, 1)(y − 1)

(b) f (x, y) = e1−x sen(πxy) es continua y derivable con respecto a x e y en R2 y sus derivadas parciales son:

∂ f∂x

(x, y) =∂ f∂y

(x, y) =

El plano tangente a la función en el punto P(1, 1) es

z − f (1, 1) =∂ f∂x

(0, 1)(x − 0) +∂ f∂y

(0, 1)(y − 1) = 0

Página 111 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 44: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Ejercicio 2.66 Calcular la diferencial de las siguientes funciones en un punto genérico y si es posible, en

el punto P que se indica:

(a) f (x, y) = y2/x3 P(1/2, 1/2) (b) f (x, y) =√

2x3 + 3y4 P(−1, 1)

(c) f (x, y) = y2 tg2(πx2) P(1/2, 1) (d) f (x, y) = 2x sen(xy) cos(xy) P(π, 1/2)

(e) f (x, y, z) =e2xy + z

e2yz P(1, 0, 1) (f) f (x, y, z) = x sen(x2y)e2yz2P(1, π, 0)

(g) f (x, y, z) = (2x2 + z3)3yz P(2, 1, 0) (h) f (x, y, z) = (2x2)3y2z P(−2, 1, 0)

En todos los casos estudiar la continuidad y diferenciabilidad especificando el dominio de existencia

de la función y el conjunto de puntos en los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio).

Solución

(a) f (x, y) = y2/x3 está definida y es continua en D( f ) = {(x, y) ∈ R2/x , 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es ∇ f (x, y) =(−3y2/x4, 2y/x3

)f (x, y) es derivable con respecto a x e y en su dominio y ambas parciales son continuas por tanto, la

función es diferenciable en su dominio con diferencial

D f (x, y)[dx, dy] =(−3y2

x4

2yx3

) dx

dy

= −3y2

x4 dx +2yx3 dy

La diferencial en el punto es D f (1/2, 1/2)[dx, dy] =(−12 8

) dx

dy

= −12dx + 8dy

(b) f (x, y) =√

2x3 + 3y4 está definida y es continua en D( f ) = {(x, y) ∈ R2/2x3 + 3y4 ≥ 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y) =(

3x2√2x3 + 3y4

,6y3√

2x3 + 3y4

)

f (x, y) no es derivable con respecto a x e y en todo su dominio, ya que no lo es en la frontera del dominio

pues 2x3 + 3y4 tiene que ser distinto de cero

D(∇ f ) = {(x, y) ∈ R2/2x3 + 3y4 > 0}

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 112

Page 45: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, por tanto, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente con diferencial

D f (x, y)[dx, dy] =(

3x2√2x3 + 3y4

6y3√2x3 + 3y4

) dx

dy

= 3x2√2x3 + 3y4

dx +6y3√

2x3 + 3y4dy

La diferencial en el punto es D f (−1, 1)[dx, dy] =(

3 6) dx

dy

= 3dx + 6dy

(c) f (x, y) = y2 tg2(πx2) está definida y es continua en D( f ) = {(x, y) ∈ R2/ cos((πx2) , 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y) =

4πxy2 tan(πx2

)cos2 (

πx2) 2y tg2(πx2)

f (x, y) es derivable con respecto a x e y en su dominio y ambas parciales son continuas por tanto, la

función es diferenciable en su dominio con diferencial

D f (x, y)[dx, dy] =

4πxy2 tan(πx2

)cos2 (

πx2) 2y tg2(πx2)

dx

dy

= 4πxy2 tan(πx2

)cos2 (

πx2) dx + 2y tg2(πx2)dy

La diferencial en el punto es D f (1/2, 1)[dx, dy] =(

4π 2) dx

dy

= 4πdx + 2dy

(d) f (x, y) = 2x sin(xy) cos(xy) está definida y es continua siempre (D( f ) = R2).

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y) =(−2xy sin2(xy) + 2xy cos2(xy) + 2 sin(xy) cos(xy), 2x2 cos2(xy) − 2x2 sin2(xy)

)

f (x, y) es derivable con respecto a x e y siempre y ambas parciales son continuas, por tanto, la función

es diferenciable en R2 con diferencial en el punto

D f (π, 1/2)[dx, dy] =(−π −2π2

) dx

dy

= −πdx − 2π2dy

Página 113 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 46: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

(e) f (x, y, z) =e2xy + z

e2yz está definida y es continua siempre (D( f ) = R3).

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =(

2ye2xy−2yz, 2e−2yz(−ze2xy + xe2xy − z2

), −e−2yz

(2ye2xy + 2yz − 1

) )

f (x, y, z) es derivable con respecto a x, y, z siempre y todas las parciales son continuas, por tanto, la

función es diferenciable en R3 con diferencial en el punto es

D f (x, y, z)[dx, dy, dz] =(

2e2ππ 2e2π 1 − 2e2ππ

)

dx

dy

dz

= 2e2ππdx + 2e2π +(1 − 2e2ππ

)dz

(f) f (x, y, z) = x sen(x2y)e2yz2está definida y es continua siempre (D( f ) = R3), ya que el denominador no se

anula nunca.

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =

e2yz2

(sin

(x2y

)+ 2x2y cos

(x2y

))xe2yz2

(2z2 sin

(x2y

)+ x2 cos

(x2y

))4xyze2yz2

sin(x2y

)

f (x, y, z) es derivable con respecto a x, y, z siempre y todas las parciales son continuas, por tanto, la

función es diferenciable en R3 con diferencial en el punto es

D f (x, y, z)[dx, dy, dz] =(−2π −1 0

)

dx

dy

dz

= −2πdx − dy

(g) f (x, y, z) = (2x2 + z3)3yz está definida, es continua y derivable con respecto a x, y, z en

D( f ) = {(x, y, z) ∈ R3/2x2 + z3 > 0}

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 114

Page 47: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =

8xyz

(2x2 + z3

)2yz−1

2z(2x2 + z3

)2yzln

(2x2 + z3

)6yz3

(2x2 + z3

)2yz−1+ 2y

(2x2 + z3

)2yzln

(2x2 + z3

)

Obsérvese que la derivada con respecto de z se podría obtener por derivación logarítmica y quedaría∂ f∂z=

(2x2 + z3

)2yz(

6yz3

2x2 + z3 + 2y ln(2x2 + z3

))

Todas las parciales son continuas, por tanto, la función es diferenciable en su dominio. con diferencial

D f (x, y, z)[dx, dy, dz] =(

0 0 6 ln(2))

dx

dy

dz

= 6 ln(2)dz

(h) f (x, y, z) = (2x2)3y2z está definida y es continua en

D( f ) = {(x, y, z) ∈ R3/2x2 > 0} = {(x, y, z) ∈ R3/x , 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =(

4x(3y2z − 1)(2x2)3y2z, 6yz(2x2)3y2z ln(2x2), 3y2(2x2)3y2z ln(2x2))

La función es derivable con respecto a x, y, z en su dominio y todas las parciales son continuas, por

tanto, la función es diferenciable en su dominio con diferencial en el punto es

D f (x, y, z)[dx, dy, dz] =(

0 0 3 ln(2) + 3 ln(4))

dx

dy

dz

= (3 ln(2) + 3 ln(4))dz

Página 115 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 48: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Ejercicio 2.67 Calcular, si es posible, la derivada direccional de las siguientes funciones en el punto P y

en la dirección del vector v (tasa instantánea de variación):

(a) f (x, y, z) = z√

3x − 2y P(1, 1, 1) v(2, 1, 2) (b) f (x, y, z) =√

xy2 − z2 P(4, 2, 1) v(1, 1, 1)

En todos los casos estudiar la continuidad y diferenciabilidad especificando el dominio de existencia

de la función y el conjunto de puntos en los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio).

Solución

(a) f (x, y, z) = z√

3x − 2y está definida y es continua en D( f ) = {(x, y, z) ∈ R3/3x − 2y ≥ 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =( 3z

2√

3x − 2y,−

z√3x − 2y

,√

3x − 2y)

f (x, y, z) no es derivable con respecto a x, y, z en todo su dominio, ya que no lo es cuando 3x − 2y es 0

D(∇ f ) = {(x, y, z) ∈ R3/3x − 2y > 0}

Las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, por tanto, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente con diferencial

D f (x, y, z)[dx, dy, dz] =( 3z

2√

3x − 2y−

z√3x − 2y

√3x − 2y

) dx

dy

dz

En el punto la diferencial es

D f (1, 1, 1)[dx, dy, dz] =(

32 − 1 1

)

dx

dy

dz

=32

dx − dy + dz

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 116

Page 49: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Como f (x, y, z) es diferenciable en el punto P(1, 1, 1) su derivada según el vector v = (2, 1, 2) es

Dv f (P) = D f (P)[v] = D f (1, 1, 1)[(2, 1, 2)] =(

32 − 1 1

)

2

1

2

= 4

Para obtener la derivada direccional (tasa instantánea de variación) debemos dividir por el módulo del

vector

||v|| =√

22 + 12 + 22 =√

9 = 3 =⇒ D v||v||

f (P) =Dv f (P)||v||

=43

(b) f (x, y, z) =√

xy2 − z2 está definida y es continua en

D( f ) = {(x, y, z) ∈ R3/x ≥ 0, y2 − z2 , 0} = {(x, y, z) ∈ R3/x ≥ 0, y , ±z}

El vector gradiente, formado por sus parciales es

∇ f (x, y, z) =(

12√

x(y2−z2) , −2√

xy

(y2−z2)2 ,2√

xz

(y2−z2)2

)

f (x, y, z) no es derivable con respecto a x, y, z en todo su dominio, ya que no lo es cuando x es cero

D(∇ f ) = {(x, y, z) ∈ R3/x > 0, y2 − z2 , 0} = {(x, y, z) ∈ R3/x > 0, y , ±z}

Las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, por tanto, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente con diferencial en el punto (4, 2, 1)

D f (4, 1, 2)[dx, dy, dz] =(− 1

12 − 49

89

)

dx

dy

dz

= −1

12dx −

49+ dy

89

Página 117 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 50: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

Como f (x, y, z) es diferenciable en el punto P(4, 2, 1) su derivada según el vector v = (1, 1, 1) es

Dv f (P) = D f (P)[v] = D f (4, 2, 1)[(1, 1, 1)] =(− 1

12 − 49

89

)

1

1

1

=1336

Para obtener la derivada direccional (tasa instantánea de variación) dividimos por el módulo del vector

||v|| =√

12 + 12 + 12 =√

3 =⇒ D v||v||

f (P) =Dv f (P)||v||

=13

36√

3

Ejercicio 2.68 Determinar la dirección de máximo crecimiento de las siguientes funciones en el punto P

que se indica y la tasa instantánea de variación en esa dirección:

(a) f (x, y, z) =√

xyz P(1, 1, 1) (b) f (x, y, z, t) = (xt)yz P(1, 1, 1, 1)

En todos los casos estudiar la continuidad y diferenciabilidad especificando el dominio de existencia de la

función y el conjunto de puntos en los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio).

Solución

(a) f (x, y, z) =√

xyz es continua en D( f ) = {(x, y, z) ∈ R3/xyz ≥ 0}

El vector gradiente, formado por sus parciales es ∇ f (x, y, z) =(

yz2√

xyz,

xz2√

xyz,

xy2√

xyz

)f (x, y, z) no es derivable con respecto a x, y, z en todo su dominio, ya que no lo es si xyz es 0

D(∇ f ) = {(x, y, z) ∈ R3/xyz > 0}

Las dos parciales son continuas en el dominio del gradiente, por tanto, la función es diferenciable en el

dominio del gradiente, por tanto diferenciable en el punto P(1, 1, 1). La dirección de máximo crecimiento

la determina el vector gradiente en el punto y es ∇ f (1, 1, 1) = (1/2, 1/2, 1/2); lo que indica que el máximo

crecimiento se obtiene con todas las variables aumentando en la misma proporción. La tasa instantánea de

variación (derivada direccional) en la dirección del gradiente corresponde al módulo de este vector gradiente

D ∇ f||∇ f ||

f (P) = ||∇ f || =

√(12

)2

+

(12

)2

+

(12

)2

= f rac√

32

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 118

Page 51: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

(b) f (x, y, z, t) = (xt)yz es continua y derivable respecto a x, y, z en D( f ) = {(x, y, z, t) ∈ R4/xt > 0}

El vector gradiente ∇ f (x, y, z, t) =(

tyz(tx)yz−1, z ln(tx)(tx)yz, y ln(tx)(tx)yz, xyz(tx)yz−1)

Todas las parciales son continuas, por tanto, la función es diferenciable en su dominio y, en particular en

el punto P(1, 1, 1, 1). La dirección de máximo crecimiento la determina el vector gradiente en el punto y es

∇ f (1, 1, 1, 1) = (1, 0, 1, 0); lo que indica que el máximo crecimiento se obtiene aumentando las variables x

y t en la misma proporción y manteniendo constantes las variables y, z. La correspondiente tasa instantánea

de variación es módulo del vector gradiente ||∇ f || =√

12 + 02 + 02 + 12 =√

2

Ejercicio 2.69 Calcular la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico especificando

las condiciones que debe verificar el punto para que existan, y, si es posible, en el punto P que se indica:

(a) f (x, y) =sen ycos x

P(π/4, π/4) (b) f (x, y) =√

xy P(1/2, 1/2)

(c) f (x, y, z) = 3xz ln(2y) P(1, 0, e2 ) (d) f (x, y, z) = ln

( x + yz

)P(1, 1, 2)

En todos los casos estudiar la continuidad y diferenciabilidad especificando el dominio de existencia

de la función y el conjunto de puntos en los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio).

Solución

(a) f (x, y) =sen ycos x

es continua y diferenciable cuando el denominador no es cero

D( f ) ={(x, y) ∈ R2/ cos x , 0

}=

{(x, y) ∈ R2/x ,

π

2± kπ; k = 0, 1, 2, . . .

}

Las derivadas parciales son ∂ f∂x

(x, y) =sen y sen x

cos2 x∂ f∂y

(x, y) =cos ycos x

Las derivadas de primer orden son derivables con respecto a ambas variables en el dominio, con lo que

al derivarlas obtenemos las derivadas de segundo orden, que dan lugar a la matriz hessiana:

H f (x, y) =

∂2 f∂ x2 (x, y)

∂2 f∂ y∂ x

(x, y)

∂2 f∂ x∂ y

(x, y)∂2 f∂ y2 (x, y)

=

cos2 x sen y + 2 sen2 x sen ycos3 x

sen x cos ycos2 x

sen x cos ycos2 x

−sen ycos x

Página 119 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 52: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

que en el punto (π/4, π/4) es H (π/4, π/4) =

3 1

1 −1

(b) La función está definida en D( f ) =

{(x, y) ∈ R2/xy ≥ 0

}pero sólo es diferenciable en

D(∇ f ) ={(x, y) ∈ R2/xy > 0

}

Escribimos esta función como f (x, y) = x12 y

12 para x, y > 0 (si x, y < 0 se escribe como (−x)

12 (−y)

12 ) y

obtenemos sus derivadas de primer y segundo orden

∂ f∂x

(x, y) = 12 x−

12 y

12

∂ f∂y

(x, y) = 12 x

12 y−

12

=⇒

∂2 f∂ x2 (x, y) = −1

4 x−32 y

12 = −

√y

4x√

x

∂2 f∂ y∂ x

(x, y) =∂2 f∂ x∂ y

(x, y) = 14 x−

12 y−

12 = 1

4√

xy

∂2 f∂ y2 (x, y) = −1

4 x12 y−

32 = −

√x

4y√

y

Las derivadas de segundo orden dan lugar a la matriz hessiana, que en el punto es

H f (1/2, 1/2) =

∂2 f∂ x2 (1/2, 1/2)

∂2 f∂ y∂ x

(1/2, 1/2)

∂2 f∂ x∂ y

(1/2, 1/2)∂2 f∂ y2 (1/2, 1/2)

= −1/2 1/2

1/2 −1/2

(c) La función es continua y diferenciable en D( f ) =

{(x, y, z) ∈ R3/y > 0

}Las derivadas parciales de primer son

∂ f∂x

(x, y, z) = 3z ln(2y),∂ f∂y

(x, y, z) =3xzy,

∂ f∂z

(x, y, z) = 3x ln(2y),

Las derivadas de segundo orden dan lugar a la matriz hessiana:

H f (x, y, z) =

0 3z

y 3 ln(2y)

3zy −3xz

y23xy

3 ln(2y) 3xy 0

=⇒ H f(0, 1,

e2

)=

0 3e

2 3 ln(2)

3e2 0 0

3 ln(2) 0 0

(d) La función es continua y diferenciable en D( f ) =

{(x, y, z) ∈ R3/ x+y

z > 0, z , 0}

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 120

Page 53: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Las derivadas parciales de primer orden son

∂ f∂x

(x, y, z) =1

x + y,

∂ f∂y

(x, y, z) =1

x + y,

∂ f∂z

(x, y, z) = −1z,

Las derivadas de segundo orden dan lugar a la matriz hessiana:

H f (x, y, z) =

− 1

(x+y)2 −1

(x+y)2 0

− 1(x+y)2 −

1(x+y)2 0

0 0 1z2

=⇒ H f (1, 1, 2) =

−1 −1 0

−1 −1 0

0 0 14

Ejercicio 2.70 Obtener, haciendo el menor número de derivadas posibles, las siguientes derivadas de se-

gundo orden de f (x, y) = 3 sen(xy) cos(xy)

(a)∂2 f∂y2

(π, 1/2) (b)∂2 f∂y∂x

(1, π)

Solución

Esta función es diferenciable indefinidamente y necesitamos su derivada parcial con respecto a y:

∂ f∂y

(x, y) = 3 cos(xy)x cos(xy) + 3 sen(xy)(− sen(xy)x) = 3x cos2(xy) − 3x sen2(xy)

•∂2 f∂y2 (x, y) = 3x2 cos(xy)(− sen(xy))x − 3x2 sen(xy) cos(xy)x = −12x2 sen(xy) cos(xy)

♦ Por tanto∂2 f∂y2

(π, 1/2) = −12π2 sen(π

2

)cos

2

)= 0

•∂2 f∂y∂x

(x, y) = 3 cos2(xy) + 3x2 cos(xy)(− sen(xy))y − 3 sen2(xy) − 3x2 sen(xy) cos(xy)y =

cos2(xy) − 3 sen2(xy) − 12xy sen(xy) cos(xy)

♦ Por tanto∂2 f∂y∂x

(1, π) = 3 cos2(π) − 3 sen2(π) − 12π sen(π) cos(π) = 3 ♣

Ejercicio 2.71 Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones en el punto indicado y especi-

ficar las condiciones que debe cumplir un punto genérico para que existan (a, b > 0).

(a) f (x, y) =2axy

ebxy + 1P(1, 0) (b) f (x, y) = (ax2 + by2)x2+x P(0, 1)

Solución

(a) El denominador es siempre positivo y siempre existen las derivadas parciales, por tanto, es derivable con

respecto a x e y en R2:

Página 121 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 54: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

∂ f∂x

(x, y) =ay2axy ln 2(ebxy + 1) − by2axyebxy

(ebxy + 1)2 =⇒∂ f∂x

(1, 0) = 0

∂ f∂y

(x, y) =ax2axy ln 2(ebxy + 1) − bx2axyebxy

(ebxy + 1)2 =⇒∂ f∂y

(1, 0) =2a ln 2 − b

4♣

(b) Para que existan las derivadas parciales tiene que cumplirse ax2+by2 > 0 y vamos a calcular las derivadas

parciales de dos formas distintas. En primer lugar vamos a utilizar la regla de la cadena.

∂ f∂x

(x, y) = (x2 + x)(ax2 + by2)x2+x−1(2ax) + (ax2 + by2)x2+x ln(ax2 + by2)(2x + 1)

∂ f∂y

(x, y) = (x2 + x)(ax2 + by2)x2+x−1(2by)

La segunda forma es mediante derivación logarítmica, para lo que consideramos el logaritmo de la función

ln ( f (x, y)) = ln((ax2 + by2)x2+x

)⇔ ln ( f (x, y)) = (x2 + x) ln(ax2 + by2)

Derivando esta expresión obtenemos una ecuación que nos permite calcular la derivada∂ f∂x (x, y)f (x, y)

= (2x + 1) ln(ax2 + by2) + (x2 + x)2ax

ax2 + by2

∂ f∂x

(x, y) =[(2x + 1) ln(ax2 + by2) + (x2 + x)

2axax2 + by2

](ax2 + by2)x2+x

∂ f∂y (x, y)

f (x, y)= (x2 + x)

2byax2 + by2 =⇒

∂ f∂y

(x, y) =[(x2 + x)

2byax2 + by2

](ax2 + by2)x2+x

Sustituyendo en las derivadas parciales obtenemos∂ f∂x

(0, 1) = ln(b) y∂ f∂y

(0, 1) = 0 ♣

Ejercicio 2.72 Calcular la siguiente derivada por derivación logarítmica y mediante la regla de la cadena

∂ f∂y

(1, 1) con f (x, y) = (ax + by)cxy+d y a, b, c, d > 0

Maxima 2.73 La compañía Refresquillos S.A. produce dos tipos de refrescos, con x e y las toneladas

producidas de cada refresco, que vende con un beneficio en miles de euros de

B(x, y) =√

x2 + y − 4

a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si produce 5 toneladas del primer refresco y 3 del segundo?.

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 122

Page 55: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

b) Determinar los valores de las variables para los que la función tiene sentido y estudiar su continui-

dad.

c) Representar la función de beneficios, así como su dominio y sus curvas de nivel (isocuantas).

d) ¿En que proporción aumentaría el beneficio si se produce un pequeño incremento de la producción

del primer refresco mientras la del segundo se mantiene constante?. ¿Y si la producción del primer

refresco se mantiene constante y se produce un pequeño incremento de la producción del segundo?.

e) Determinar el gradiente de la función de beneficios en un punto genérico y, si es posible, en el punto

(5, 3), indicando si su dominio coincide con el dominio de la función.

f) Determinar la diferencial y la aproximación lineal en torno al punto (5, 3)

g) Determinar la derivada de la función según el vector u = (1, 2) en el punto (5, 3) y la correspondiente

derivada direccional (tasa instantánea de variación en esta dirección). ¿En que dirección debemos

aumentar la producción de ambos refrescos para que se consiga el máximo incremento en los bene-

ficios?.

h) Determinar la matriz hessiana de la función en el punto (5, 3) y la aproximación no lineal mediante

el polinomio de Taylor de orden dos en torno al mismo punto.

Solución

▶ El primer paso es definir la función:

( % i1) f(x,y):=sqrt(xˆ2 + y - 4);

f (x, y) :=√

x2 + y − 4 ( % o1)

▷ Para obtener un valor concreto disponemos de varias opciones:

( % i2) f(5,3);

2√

6 ( % o2)

( % i3) pto:[5,3];

[5, 3] (pto)

( % i4) apply(f,pto);

2√

6 ( % o4)(a) Para determinar el dominio de la función y los valores de la variable para los que tiene sentido económico

tenemos que determinar una inecuación, que no cambia al aplicar el comando fourier_elim:

Página 123 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 56: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

( % i6) load(fourier_elim)$ fourier_elim(xˆ2+y-4>=0,[x]);

[y + x2 − 4 = 0]or[y + x2 − 4 > 0] ( % o6)(b) Para representar funciones explícitas en el espacio utilizamos el comando explicit dentro de wxdraw3d:

( % i7) wxdraw3d(explicit(f(x,y), x, -5,5,y,-5,5))$

( % t7)

▶ Para representar regiones en el plano se utiliza el comando region dentro de wxdraw2d. Aquí re-

presentamos el dominio de la función y el conjunto de valores de la variable con sentido económico (azul):

( % i9) opt:[xaxis = true,yaxis= true,xaxis_width = 3,yaxis_width = 3,contour_levels=[0,1,10]]$

wxdraw2d(opt,region(xˆ2+y-4>=0, x, -2,5,y,-2,5),

fill_color=blue,region(xˆ2+y-4>=0 and x>=0 and y>=0, x, 0,5,y,0,5))$

( % t9)▶ Para representar funciones implícitas en el plano se utiliza el comando implicit dentro de wxdraw2d.

Para representar las curvas de nivel, correspondiente a los beneficios de la empresa, podemos usar el co-

mando explicit dentro de wxdraw3d con la opción contour=map, que puede combinarse con la gráfica

de la función en 3D. Con la opción contour=both representamos juntas la función y las curvas de nivel.

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 124

Page 57: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

( % i10) wxdraw3d(opt,explicit(f(x,y), x, -2,10,y,-

2,10),contour=map)$

( % t10)

( % i11) wxdraw3d(opt,explicit(f(x,y), x, -2,10,y,-

2,10),contour=both)$

( % t11)También podemos usar el comando wxcontour_plot que puede combinarse con gráficos 2D:

( % i12) wxcontour_plot(f(x,y), [x, -2,10],[y,-2,10])$

( % t12)(c) Para calcular derivadas parciales utilizaremos el comando diff (el mismo que para una variable):

( % i14) diff(f(x,y),x,1);

ev( %,x=5,y=3);

x√y + x2 − 4

( % o13)

5

2√

6( % o14)

( % i16) diff(f(x,y),y,1);

ev( %,x=5,y=3);

1

2√

y + x2 − 4( % o15)

1

4√

6( % o16)

(d) El vector gradiente se obtiene con el comando jacobian (corresponde a la matriz jacobiana en funcio-

nes con varias componentes) y su dominio es más restrictivo que el de la función, ya que no incluye la curva

y + x2 = 4. El gradiente en el punto (5, 3) lo guardamos en la variable J como lista

Página 125 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 58: Tema 2 Funciones reales de varias variables

Bloque I. CÁLCULO DIFERENCIAL

( % i17) J:at(jacobian([f(x,y)],[x,y]),[x=5,y=3]);

(5

2√

61

4√

6

)(J)

( % i18) J:args(J)[1];

[5

2√

6,

1

4√

6] (J)

(e) Al igual que para funciones de una variable, la diferencial se obtiene también con el comando diff:

( % i19) diff (f(x,y));

del(y)

2√

y + x2 − 4+

x del(x)√y + x2 − 4

( % o19)

▶ Para obtener la aproximación lineal determinamos el plano tangente

( % i20) define(platg(x,y),f(5,3)+[x-5,y-3].J);

platg (x, y) :=y − 3

4√

6+

5 (x − 5)

2√

6+ 2√

6 ( % o20)

(f) La derivada según un vector se obtiene considerando como incrementos en la diferencial las coordenadas

del vector y la correspondiente tasa instantánea de variación al dividir por su módulo:

( % i22) diff (f(x,y))$

ev( %,del(x)=1,del(y)=2,

x=5,y=3);

3√

6( % o22)

( % i24) v:[1,2];

dv:v.J;

[1, 2] (v)

3√

6(dv)

( % i26) mod:sqrt(apply(-",vˆ2));

dv/mod;

√5 (mod)

3√

5√

6( % o26)

▶ El máximo incremento por unidad se obtiene en la dirección del gradiente y corresponde a su módulo

(ejercicio).

(g) Las derivadas de segundo orden se obtienen con el comando diff y la matriz hessiana se obtienen con

el comando hessian (solo mostramos las matrices hessianas). La matriz hessiana correspondiente al punto

(5, 3) la guardamos en la variable H:

( % i28) diff(f(x,y),x,2,y,0)$

diff(f(x,y),x,1,y,1)$

( % i30) diff(f(x,y),y,1,x,1)$

diff(f(x,y),x,0,y,2)$

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 126

Page 59: Tema 2 Funciones reales de varias variables

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

( % i31) hessian(f(x,y),[x,y]), ratsimp;

(y−4)√

y+x2−4

y2+(2x2−8)y+x4−8x2+16− x√

y+x2−4 (2y+2x2−8)

− x√y+x2−4 (2y+2x2−8)

− 1√y+x2−4 (4y+4x2−16)

( % o32)

( % i32) H:ev( %,x=5,y=3);

−1

8632− 5

16632

− 5

16632− 1

32632

(H)

El polinomio de Taylor de orden dos en torno al punto lo podemos construir utlilizando su definición u

obtenerlo directamente con el comando taylor:

( % i34) ff1:taylor (f(x,y), [x,y], [5, 3], 2) ;

2√

6 +10√

6 (x − 5) +√

6 (y − 3)24

−4√

6 (x − 5)2 + 20√

6 (y − 3) (x − 5) +√

6 (y − 3)2

2304+ ... (ff1)

( % i36) v:[x-5,y-3]$

ff2:f(5,3)+v.J+(1/2)*v.H.v,expand;

−y2

64632

−5xy

16632

+y

4√

6+

53y

32632

−x2

16632

+5x

2√

6+

25x

16632

−5

4√

6−

409

64632

(ff2)

▶ Comprobamos que son iguales

( % i37) fourier_elim(ff1=ff2,[x,y]);

universalset ( % o37)

Página 127 PROYECTO MATECO 3.14159

Page 60: Tema 2 Funciones reales de varias variables