Tema 2 Matematicas

243101 Matemáticas IGrado en ingeniería en tecnologías de la

telecomunicaciónApuntes de clase

Semestre de otoño del curso 2015-2016

Profesores:Berta García Celayeta (teoría y problemas)

Andrés Arrarás Ventura (problemas)

Área de Matemática aplicadaDepartamento de Ingeniería matemática e informática

Universidad Pública de Navarra

23 de septiembre de 2015

Índice general

1. Numeros reales y complejos, sucesiones y series de números reales 11.1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El método de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.5. Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Series de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.2. Algunas series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3. Resultados generales sobre convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.4. Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.5. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.6. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1. La raíz cuadrada en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.3. La fórmula ciclotómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.4. El factorial y los números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . 381.6.5. Algunas fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8. Algunas soluciones e indicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Funciones de R en R 512.1. Funciones. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5. Anexo: Funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.1. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III

2.6. Otras funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3. Cálculo diferencial en R 873.1. Planificación del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3. Derivada en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4.1. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5.1. Máximos y mínimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.5.2. Máximos y mínimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.6. Resultados clásicos sobre derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.7. Crecimiento. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.8. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.9. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.9.1. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.10. Resolución numérica de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.10.1. Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.11. Anexo I: Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.12. Anexo II: Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tema 1

Numeros reales y complejos, sucesiones y

series de numeros reales

Vamos a dedicar 10 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad. Para orientar tu trabajo, se han etiquetado Los ejercicios por niveles:

à nivel 0: ejercicios de repaso de conceptos que se suponen conocidos,

à niveles 1 a 3: grado de dificultad,

à nivel extra: para ampliar conocimientos (no necesariamente son más difíciles).

También es recomendable consultar [1], [2], [3].

1.1. El conjunto de los números reales

Podemos construir R de forma intuitiva partiendo de un conjunto de números muysencillo, el conjunto de los números naturales, que responde a la idea primitiva decontar.

Definición 1.1.1. El conjunto de los números naturales es

N = {1,2,3, . . .} .

Nota 1.1.2. Algunos autores consideran el cero como elemento de N. En estos apuntes,cuando queramos incluir el cero pondremos N0 = N ∪ {0}.

Proposición 1.1.3. Si dotamos al conjunto N de las operaciones internas suma (+) yproducto (⋅) habituales, entonces la terna (N,+, ⋅) satisface las siguientes propiedades:

1

2 Numeros reales y complejos, sucesiones y series de números reales

1. Propiedad conmutativa para la suma y el producto:

a + b = b + a, ∀a, b ∈ N,a ⋅ b = b ⋅ a, ∀a, b ∈ N.

2. Propiedad asociativa para la suma y el producto:

(a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ N,(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), ∀a, b, c ∈ N.

3. Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, ∀a, b, c ∈ N.

4. En N0, existencia de elemento neutro para la suma:

∃0 ∈ N0 tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ N0.

5. Existencia de elemento neutro para el producto:

∃1 ∈ N tal que 1 ≠ 0 y a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a, ∀a ∈ N.

6. Axiomas de orden. En el cojunto N, hay definida una relación de orden total,denotada ≤, es decir un relación que verifica las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad: a ≤ a∀a ∈ N.(b) Antisimetría: ∀a, b ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ a, se tiene que a = b.(c) Transitividad: ∀a, b, c ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ c se tiene que a ≤ c.(d) Totalidad: ∀a, b ∈ N se tiene que a ≤ b ó b ≤ a.

7. Axiomas de compatibilidad.

(a) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación suma: ∀a, b, c ∈N se tiene que si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.

(b) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación producto:∀a, b, c ∈ N se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.4. A pesar de estas propiedades, el conjunto de los números naturales presentabastantes carencias. Si bien ciertas ecuaciones como x+1 = 3 tienen solución en N, otrascomo x + 5 = 3 no tienen. La primera ampliación del conjunto N nos lleva a considerarlos números enteros.

Semestre de primavera, curso 2014/2015

1.1. El conjunto de los números reales 3

Definición 1.1.5. El conjunto de los números enteros es

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .} .

La letra Z es la inicial de Zahl ("número" en alemán). Si dotamos a este conjunto de lasoperaciones internas suma y producto anteriores, entonces la terna (Z,+, ⋅) satisfacelas propiedades (1-6) y además:

8. Existencia de elemento opuesto (para la suma):

∀a ∈ Z,∃b ∈ Z tal que a + b = b + a = 0.

(b se denota habitualmente −a).

9. En cuanto al axioma 7, la primera parte queda igual, pero la segunda parteno: vamos a utilizar la siguiente notación: a ≥ b significa b ≤ a. Con esto, lacompatibilidad de la relación de orden total con la operación producto, cambiarespecto de los naturales quedando ahora:

∀a, b, c ∈ Z con c ≥ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.6. Para el caso a, b, c ∈ Z con c ≤ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≥ b ⋅ c.Nota 1.1.7. La ecuación x + 5 = 3 sí tiene solución en Z: x = −2. Pero sigue habiendoecuaciones, como 2x = 1, que no la tienen.

Definición 1.1.8. El conjunto de los números racionales es

Q = { a

b∣ a, b ∈ Z , b ≠ 0 } .

Cada cociente a

bde números enteros se denomina fracción. Dos fracciones a

by c

dse

dicen equivalentes si a ⋅d = b ⋅c. Por ejemplo 23 y 10

15 son equivalentes porque 2 ⋅15 = 3 ⋅10.Todas las fracciones equivalentes a una dada corresponden al mismo número racional.De todas ellas, se llama representación irreducible o canónica a aquella de la forma a

bque satisface mcd{a, b} = 1. En tal caso se dice que a y b son primos entre sí.

Extendiendo adecuadamente las operaciones internas suma y producto anteriores alconjunto de los números racionales, se tiene que la terna (Q,+, ⋅) satisface, además delas propiedades (1-9), la siguiente propiedad:

10. Existencia de elemento recíproco o inverso (respecto al producto):

∀q ∈ Q tal que q ≠ 0,∃r ∈ Q tal que q ⋅ r = r ⋅ q = 1.

UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación


Nota 1.1.9. Observa que la ecuación 2x = 1 ya puede resolverse en el conjunto de losnúmeros racionales: x = 1/2 ∈ Q. Este conjunto, con todas sus propiedades, todavíapresenta algunas carencias. Sigue habiendo ecuaciones cuyas soluciones no están en Q,como, por ejemplo, x2 − 2 = 0 .

Proposición 1.1.10. Las soluciones de la ecuación x2 − 2 = 0 no son racionales.

−√

2 /∈ Q,√

2 /∈ Q

Acabamos de ver que hay números que no son racionales, entre ellos las soluciones de laecuación x2 − 2 = 0 . A continuación definimos un nuevo conjunto de números entre losque se encuentran las soluciones de esta ecuación. Dicho conjunto no es una extensiónde Q, sino su complemento. Recordemos la propiedad 17 de los números racionales,que decía que todo número racional puede escribirse en forma decimal con un númerode dígitos finito o infinito periódico.

Definición 1.1.11. El conjunto de los números irracionales es

I = {números que en su forma decimal tienen un númeroinfinito de cifras no periódicas} .

De la definición se deduce la imposibilidad de escribir exactamente estos números enforma decimal. En la figura 1.1 mostramos algunos de ellos.

√2 ∈ I1

1

1

π ∈ I

(1 + 1n)n

Ð→ e ∈ I

Figura 1.1. Algunos irracionales

En la práctica se suelen utilizar aproximaciones racionales de estos números. Para losirracionales anteriores mostramos las siguientes aproximaciones:

√2 ≃ 1.414 ,π ≃ 3.14159265359 ,e ≃ 2.718281828459045235360287471352662497757 .

En el primer caso, la aproximación se ha hecho hasta las milésimas; en los otros doscasos, se ha cometido un error bastante menor.



Definición 1.1.12. El conjunto de los números reales es

R = Q ∪ I .

La unión anterior es disjunta, es decir, Q ∩ I = ∅.

Nota 1.1.13. Entre los conjuntos de números definidos en esta sección se verifican lossiguientes contenidos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R , (1.1.a)I ⊂ R . (1.1.b)

Los números reales se representan en una recta, la recta real. Se fija un origen (elementoneutro para la suma) y la unidad (elemento neutro para el producto), y a partir de ellase sitúan los naturales y los enteros.

0 1

2 3 4 5-1-2-3-4-5 . . .. . .

R

Para representar un número racional p/q, dividimos la unidad en q partes iguales y acontinuación tomamos p trozos.

0 1

138

↓

Algunos números irracionales se puedenrepresentar fácilmente como la hipotenusade ciertos triángulos rectángulos.

0 1 2

√5

√5

La terna (R,+, ⋅) verifica las propiedades 1-10. El elemento inverso de x ∈ R se denotahabitualmente x−1 o 1

x.

Para enunciar el axioma del supremo es necesario dar dos definiciones previas, y esconveniente introducir dos nuevos símbolos:

(Notación) La expresión a < b significa que a ≤ b y que además a ≠ b. La expresióna > b significa que a ≥ b y que además a ≠ b.



(Definición) Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado superiormente si ∃K ∈ R talque x ≤K ∀x ∈ S. Se dice además que K es una cota superior de S.

(Definición) Sea S ⊂ R y s ∈ R. Se dice que s es el supremo de S y se denotas = supS si

ß s es una cota superior de S.ß ∀ε > 0∃x ∈ S tal que x > s − ε. (Observemos que podemos interpretar lo

anterior como “s − ε no es cota superior de S, luego s es la menor de lascotas superiores de S”).

11. Axioma del supremo: Sea S ⊂ R, S ≠ ∅ y acotado superiormente. Entonces existeel supremo de S.

Nota 1.1.14. Observemos que de la definición se deduce que el supremo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.15. Sea S ⊂ R. Se dice que M ∈ R es el máximo de S y se denotaM = maxS si

1. M es una cota superior de S

2. M ∈ S

Proposición 1.1.16. Sea S ⊂ R. Si existe M = maxS, entonces M = supS.

Definición 1.1.17. Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado inferiormente si ∃l ∈ R talque x ≥ l∀x ∈ S. Se dice además que l es una cota inferior de S.

Definición 1.1.18. Sean S ⊂ R y c ∈ R. Se dice que c es el ínfimo de S y se denotac = infS si

1. c es una cota inferior de S.

2. ∀ε > 0∃x ∈ S tal que x < c + ε. (Observemos que podemos interpretar lo anteriorcomo “c+ ε no es cota inferior de S, luego c es la mayor de las cotas inferiores deS”).

Nota 1.1.19. Observemos que de la definición se deduce que el ínfimo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.20. Sea S ⊂ R. Se dice que m ∈ R es el mínimo de S y se denotam = mınS si



1. m es una cota inferior de S,

2. m ∈ S.

Proposición 1.1.21. Sea S ⊂ R. Si existe m = mınS, entonces m = infS.

Proposición 1.1.22. Sea S ⊂ R, S ≠ ∅ y acotado inferiormente. Entonces existe elínfimo de S.

Definición 1.1.23. Algunos subconjuntos notables de R que aparecerán con frecuenciaa lo largo del curso son los intervalos. Dados a, b ∈ R , con a < b, definimos los siguientesintervalos:

(a, b) = { x ∈ R ∣ a < x < b } , (a,+∞) = { x ∈ R ∣ a < x } ,

[a, b] = { x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } , [a,+∞) = { x ∈ R ∣ a ≤ x } ,

(a, b] = { x ∈ R ∣ a < x ≤ b } , (−∞, b] = { x ∈ R ∣ x ≤ b } ,

[a, b) = { x ∈ R ∣ a ≤ x < b } , (−∞, b) = { x ∈ R ∣ x < b } .

Los intervalos (a, b) y [a, b] se llaman, respectivamente, intervalo abierto e intervalocerrado. Los intervalos (a, b] y [a, b) se llaman intervalos semiabiertos o semicerrados.

Ejemplo 1.1.24. Consideramos el conjunto A = (a, b]. Se tiene que maxA = supA = b,ınfA = a y no existe mınA.

Ejemplo 1.1.25. Consideramos el conjunto A = [a, b). Se tiene que supA = b, no existemaxA, y mınA = ınfA = a.

Ejercicio 1.1.26. Para el resto de intervalos, estudiar su acotación y la existencia desupremo, máximo, ínfimo, mínimo.

Proposición 1.1.27. Propiedades de los números reales: sean x, y, z ∈ Rde las propie-dades 1-10, se deduce:

1. Si x + y = z, entonces y = −x + z

2. Si x ⋅ y = z y x ≠ 0, entonces y = x−1z

3. Si x ⋅ y = x ⋅ z y x ≠ 0, entonces y = z

4. x ⋅ 0 = 0



5. Si x ⋅ y = 0, entonces x = 0 ó y = 0

6. (−1)x = −x

7. −(x + y) = −x − y

8. −(−x) = x

9. (−1) ⋅ (−1) = 1

10. x ⋅ (−y) = (−x) ⋅ y = −(x ⋅ y)

11. (−x) ⋅ (−y) = x ⋅ y

12. Si x ≠ 0, entonces −x ≠ 0, x−1 ≠ 0, (−x)−1 = −x−1 y (x−1)−1 = x

13. x ≥ 0 si y sólo si −x ≤ 0

14. x2 ≥ 0

15. 1 ≥ 0

16. Entre dos números racionales cualesquiera r1 y r2 existe siempre otro númeroracional r3.

17. Todo número racional puede escribirse en forma decimal con un número de dígitosfinito o infinito periódico.

18. Todo número decimal con un número de dígitos finito o infinito periódico, admiteuna expresión de la forma p

qcon p, q ∈ Z y q ≠ 0, es decir, es un número racional.

Nota 1.1.28. En estos apuntes, si x > 0 e y ∈ R, definiremos xy ∶= ey logx, donde logrepresenta el logaritmo neperiano.

Definición 1.1.29. Dado x ∈ R, se define la parte entera de x como el mayor númeroentero de entre los que son menores o iguales que x. Se denota [x].

Definición 1.1.30. Dado x ∈ R, se define el valor absoluto de x como

∣ x ∣=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x si x ≥ 0−x si x < 0

Proposición 1.1.31. Propiedades del valor absoluto: para todo x, y ∈ R, se tiene

1. ∣ x ∣≥ 0,


1.2. El método de inducción 9

2. ∣ x ∣= 0 ⇔ x = 0,

3. ∣ x + y ∣≤∣ x ∣ + ∣ y ∣,

4. ∣ xy ∣=∣ x ∣ ⋅ ∣ y ∣,

5.√x2 =∣ x ∣.

1.2. El método de inducción

Una de las propiedades más importantes de los números naturales es el principio deiducción matemática. Supongamos que P (m) significa que la propiedad P se cumplepara cierto número natural m. El principio de inducción matemática afirma que P (n)es cierta ∀n ∈ N∗ siempre que

1. P (1) es cierta.

2. Si P (k) es cierta, entonces P (k + 1) también lo es.

1.3. Números complejos

La ecuación x2 − 2 = 0 ya puede resolverse en el conjunto de los números reales, tienedos soluciones x1 = −

√2 ∈ R y x2 =

√2 ∈ R . Sin embargo todavía hay ecuaciones cuyas

soluciones no son reales, por ejemplo

x2 + 1 = 0 .

Para resolver este problema, se define un nuevo conjunto de números que extiende aR: el conjunto de los números complejos.

En secciones anteriores hemos estudiado el conjunto R y sus propiedades. Hemos vistoque tiene más propiedades que sus subconjuntos N, Z y Q. Sin embargo, tiene unacarencia importante y es que no toda ecuación polinómica con coeficientes en R tienesoluciones reales. El ejemplo más sencillo es la ecuación x2 + 1 = 0. Esto nos motiva abuscar un superconjunto de R que, verifique la deseada propiedad de que toda ecuaciónpolinómica con coeficientes en dicho superconjunto tenga solución en él.

Definición 1.3.1. Definimos el conjunto de los números complejos como

C = {(x1, x2) ∣ x1, x2 ∈ R}



en el que se definen las operaciones

+ ∶ C ×C → C

((x1, x2), (y1, y2)) ↦ (x1 + y1, x2 + y2)

y

⋅ ∶ C ×C → C

((x1, x2), (y1, y2)) ↦ (x1y1 − x2y2, x1y2 + x2y1)

Teorema 1.3.2. La terna (C,+, ⋅) tiene las propiedades (1-5), 8,10,.

Demostración.- Ejercicio.

Teorema 1.3.3. (C,+, ⋅) es algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación polinó-mica con coeficientes en C tiene solución en C.

Teorema 1.3.4. En (C,+, ⋅) no existe una relación de orden total compatible con lasoperaciones.

Nota 1.3.5. Si consideramos el subconjunto de C:

A ∶= {(x1, x2) ∈ C ∣ x2 = 0}

podemos identificar A con R, en el sentido de que las operaciones + y ⋅ definidas en Cextienden las conocidas para R. A partir de ahora, podremos pues, escribir R ⊂ C.

Nota 1.3.6. Del teorema 1.3.3 y de la nota 1.3.5 se deduce que toda ecuación polinómicacon coeficientes en R tiene solución en C.

Definición 1.3.7. El número complejo (0,1) se llama unidad imaginaria y suele de-notarse por i.

Nota 1.3.8. Tenemos que i2 = −1.

Nota 1.3.9. Es habitual escribir el número complejo (x, y) como x + iy.

Definición 1.3.10. Dado z = x + iy ∈ C se define el módulo de z como el número real

∣ z ∣∶=√x2 + y2.

Nota 1.3.11. Si z ∈ C es, en particular, un número real, entonces el módulo de z coincidecon el valor absoluto de z.


1.3. Números complejos 11

Definición 1.3.12. Dado z = x + iy ∈ C ∖ {0} se define el argumento principal de Zcomo α ∈ (−π,π] que verifica

1. x =∣ z ∣ cosα,

2. y =∣ z ∣ senα.

α suele denotarse Argz.

Proposición 1.3.13. Dados z = x + iy, z1, z2 ∈ C, tenemos las siguientes propiedades

1. ∣ z ∣≥ 0.

2. ∣ z ∣= 0⇔ z = 0.

3. ∣ z1z2 ∣=∣ z1 ∣ ⋅ ∣ z2 ∣.

4. ∣ z1 + z2 ∣≤∣ z1 ∣ + ∣ z2 ∣.

Nota 1.3.14. El conjunto C suele representarse en el plano R2.

Definición 1.3.15. Dado z = x + iy ∈ C se define

ez ∶= ex(cos y + iseny).

Nota 1.3.16. De la definición anterior se deduce la fórmula de Euler:

eiπ + 1 = 0,

que, como puedes ver, es muy popular

http://www.fotomat.es/ecuacion-de-euler/

Proposición 1.3.17. Dados z, z1, z2 ∈ C, se tienen las siguientes propiedades:

1. ez1ez2 = ez1+z2.

2. ez ≠ 0.

3. Si x ∈ R, entonces ∣ eix ∣= 1.

4. ez = 1⇔ z = i2nπ con n ∈ Z.

5. ez1 = ez2 ⇔ z1 − z2 = i2nπ con n ∈ Z.


http://www.fotomat.es/ecuacion-de-euler/


Proposición 1.3.18. Sea 0 ≠ z ∈ C, entonces z se puede expresar en la forma z = reiαcon r =∣ z ∣ y α = Argz + 2nπ con n ∈ Z.

Nota 1.3.19. Debido a la proposición anterior, si z1, z2 ∈ C con z1z2 ≠ 0, podemoscalcular de manera más sencilla z1z2 y z1

z2ya que

1. (r1eiα1)(r2eiα2) = (r1r2)ei(α1+α2).

2. r1eiα1

r2eiα2= r1

r2ei(α1−α2).

Proposición 1.3.20. Sean m,n ∈ Z y z, z1, z2 ∈ C, entonces

1. znzm = zn+m.

2. (z1z2)n = zn1 zn2 .

Teorema 1.3.21. Sea 0 ≠ z ∈ C y n ∈ N, entonces existen n elementos en C: z0, . . . , zn−1

tales que znk = z , k = 0, . . . , n − 1. Además

zk =∣ z ∣ 1n eiαk

conαk =

Argzn

+ 2kπn

, k = 0, . . . , n − 1.

1.4. Sucesiones de números reales

1.4.1. Definiciones y notación

Definición 1.4.1. Una sucesión de números reales es una aplicación de N en R

a ∶ N Ð→ R

n ↦ a(n) ∶= an.

Es decir, a cada número natural n, se le hace corresponder un único número real an .

Abusando de lenguaje, también suele llamarse sucesión a la imagen de la aplicación a,es decir, al conjunto formado por todas las imágenes

(an)n∈N = {a0, a1, a2, . . . , an, . . .} .


1.4. Sucesiones de números reales 13

A la imagen an de un natural n se le llama término general de la sucesión. A loselementos del conjunto (an)n∈N se les llama términos de la sucesión.

Una sucesión puede venir dada de dos formas diferentes, bien mediante su términogeneral an, o bien por recurrencia. En el segundo caso cada término se obtine a partirdel anterior (o anteriores) mediante una fórmula recurrente.

Ejemplo 1.4.2. La sucesiones siguientes vienen dadas mediante el término general

an =3 − 2nn

, n ∈ N ; bn =12n n ∈ N0 ; cn = (1 + 1

n)n

, n ∈ N .

Estas otras, en cambio, se determinan por recurrencia

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x0 = 4

xn =12 (xn−1 +

13xn−1

),

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y0 = 1

yn+1 = 2 yn,

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z0 = 1

z1 = 1

zn = zn−2 + zn−1

.

Cuando una sucesión viene dada por recurrencia, para obtener el término n-ésimopreviamente hay que obtener todos los anteriores.

La sucesión zn fue estudiada por primera vez por Fibonacci de Pisa (1170-1250). Comoejercicio obtén los 5 primeros términos de esta sucesión.

1.4.2. Monotonía

Definición 1.4.3. Una sucesión de números reales (an)n∈N se dice

à creciente si an ≤ an+1 ∀n ∈ N .

à decreciente si an ≥ an+1 ∀n ∈ N .

à estrictamente creciente si an < an+1 ∀n ∈ N .

à estrictamente decreciente si an > an+1 ∀n ∈ N .

Definición 1.4.4. Una sucesión de números reales se llama monótona si es crecienteo decreciente. Si la sucesión es estrictamente creciente o decreciente, diremos que lasucesión es estrictamente monótona.



Para estudiar la monotonía de una sucesión debemos comparar dos términos consecu-tivos cualesquiera, por ejemplo an y an+1.Si

an+1 − an

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

≥ 0 ⇒ Creciente> 0 ⇒ Estrictamente creciente≤ 0 ⇒ Decreciente< 0 ⇒ Estrictamente decreciente

Sii los términos de la sucesión son estrictamente positivos, podemos estudiar el cocientede dos términos consecutivos. Si

an+1

an

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

≥ 1 ⇒ Creciente> 1 ⇒ Estrictamente creciente≤ 1 ⇒ Decreciente< 1 ⇒ Estrictamente decreciente

Ejemplo 1.4.5. Estudiemos la monotonía de algunas de las sucesiones del ejemplo1.4.2.

an+1 − an =(3 − 2(n + 1))n − (3 − 2n)(n + 1)

n(n + 1) = −3n(n + 1) < 0 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (an)n∈N es estríctamente monótona (decreciente). Para la suce-sión yn observamos que todos los términos son estrictamente positivos.

yn+1

yn= 2 > 1 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (yn)n∈N es estríctamente monótona (creciente).

Ejercicio 1.4.6. Estudia la monotonía del resto de sucesiones del ejemplo 1.4.2.

1.4.3. Acotación

Definición 1.4.7. Se dice que una sucesión de números reales (an)n∈N está

à acotada superiormente si

∃K ∈ R tal que an ≤K ∀n ∈ N .

K se llama cota superior de la sucesión (an)n∈N.



à acotada inferiormente si

∃l ∈ R tal que l ≤ an ∀n ∈ N .

l se llama cota inferior de la sucesión (an)n∈N.

à acotada si∃C ∈ R tal que ∣an∣ ≤ C ∀n ∈ N .

Proposición 1.4.8. Una sucesión de números reales (an)n∈N está acotada si y sólo siestá acotada superior e inferiormente.

Ejemplo 1.4.9. Veamos que la sucesión (an)n∈N del ejemplo 1.4.2 está acotada. Segúnla proposición anterior bastará con encontrar una cota superior y otra inferior. En elejemplo 1.4.5 hemos visto que esta sucesión es estrictamente decreciente, por tanto a1

es una cota superior (además, la menor de todas). Veamos si l = 0 es una cota inferior :

0 ≤ 3 − 2nn

⇔ 0 ≤ 3 − 2n ⇔ 2n ≤ 3 ⇔ n ≤ 32 .

La desigualdad n ≤ 3/2 no es válida para todo número natural (de hecho sólo se verificapara n = 1), por tanto k2 = 0 no es una cota inferior. Probemos con un valor máspequeño, por ejemplo l = −5 :

−5 ≤ 3 − 2nn

⇔ −5n ≤ 3 − 2n ⇔ −3n ≤ 3 ⇔ n ≥ −1

La desigualdad n ≥ −1 es válida para todo natural n, por tanto l = −5 es una cotainferior.

Resumiendo:−5 ≤ an ≤ 1 ∀ n ∈ N ,

es decir, todos los términos de la sucesión están en el intervalo [−5,1].

Ejercicio 1.4.10. Para la sucesión del ejemplo anterior encontrar una cota inferiormayor que −5 .

1.4.4. Operaciones con sucesiones

A continuación definimos una serie de operaciones en el conjunto de las sucesiones detal manera que el resultado de la operación sea una nueva sucesión de números reales.

Definición 1.4.11. Dadas dos sucesiones de números reales (an)n∈N y (bn)n∈N , definimosa partir de ellas las siguientes sucesiones:



à Sucesión suma

s ∶ N Ð→ Rn ↦ sn = an + bn (1.2)

(El término general de la sucesión suma se obtiene sumando los términos generalesde las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.12.

an =1

n + 1 → {1, 12 ,

13 , . . .}

bn = n + 1 → {1,2,3, . . .}

sn =1

n + 1 + n + 1 = n2 + 2n + 2n + 1 → {2, 5

2 ,103 , . . .}

à Sucesión producto

p ∶ N Ð→ Rn ↦ pn = an ⋅ bn

(El término general de la sucesión producto se obtiene multiplicando los términosgenerales de las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.13.

an =1

n + 1 → {1, 12 ,

13 , . . .}

bn = n + 1 → {1,2,3, . . .}

sn =1

n + 1 ⋅ (n + 1) = 1 → {1,1,1, . . .}

à Sucesión producto por un escalar

α ⋅ a ∶ N Ð→ Rn ↦ αan

Es un caso particular del producto anterior, en el que una de las sucesiones es lasucesión constante.

à Sucesión cociente: si bn ≠ 0∀n ∈ N:

c ∶ N Ð→ Rn ↦ cn = an/bn



Ejemplo 1.4.14.

an = n2 + 1 → {1,2,5,10,17,26, . . .}

bn = 2n − 6 → {−6,−4,−2,0,2,4, . . .}

cn =n2 + 12n − 6 → {−1

6 ,−12 ,

−52 , ? , 17

2 , . . .}

Como b3 = 0, la sucesión cociente no está bien definida.

à Otras operaciones

De la misma forma, imponiendo en cada caso las condiciones que sean necesarias,podemos definir, entre otras, las siguientes sucesiones

ß Si an > 0 ∀ n ∈ N, podemos definir la sucesión (log an)n∈Nß Sucesión exponencial de una dada: (ean)

n∈N

ß Si an ≥ 0 ∀ n ∈ N , podemos definir la sucesión (√an)n∈N .

1.4.5. Límite de una sucesión

Definición 1.4.15. Decimos que una sucesión (an)n∈N tiene por límite l ∈ R, o tiendea l si para cualquier ε > 0 existe un número natural n0 de tal manera que ∣an − l∣ < ε sin ≥ n0.

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∣an − l∣ < ε ∀n ≥ n0

Suele escribirsean Ð→

nl ó lım

n→+∞an = l

Nota 1.4.16. El número natural n0 depende de ε. Como ∣an− l∣ < ε si y sólo si l−ε < an <l + ε, de la definición se deduce que a partir de an0 todos los términos de la sucesiónestán en el intervalo (l − ε, l + ε).

l

)l + ε

(l − ε

an0−1↑

an0

↑



Ejemplo 1.4.17. Utilizamos la definición 1.4.15 para probar que1n

nÐ→ 0 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, para que ∣an − l∣ = 1/n sea menor que ε basta conque n sea mayor que 1/ε, lo que siempre es posible puesto que N no está acotadosuperiormente.

1n< ε ⇔ n > 1

ε. (1.3)

Por tanto para un ε > 0 arbitrario, el menor número natural que verifica (1.3) vienedado por

n0 = [1ε] + 1 .

Ejemplo 1.4.18. Demostrar mediante la definción de límite que

lımn

3 − 2nn

= −2 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, se tiene que

∣an − l∣ = ∣3 − 2nn

+ 2∣ = 3n< ε ⇔ n > 3

ε.

Por tanto para el n0 buscado esn0 = [3

ε] + 1

Ejercicio 1.4.19. Probar que el límite de la sucesión an =2n − 3n + 1 es 2.

Definición 1.4.20. Se dice que una sucesión (an)n∈N tiende a +∞ si para cualquiernúmero real M existe un término de la sucesión an0

de tal manera que a partir de éltodos los términos de la sucesión son mayores que M .

∀M ∈ R ∃n0 ∈ N tal que an ≥M ∀n ≥ n0

(n0 depende de M). Se escribe an Ð→n

+∞ ó lımn→+∞

an = +∞

an0

M

a3 a1 a2 . . .

Se dice que la sucesión (an)n∈N tiende a −∞ si para cualquier número real l existe untérmino de la sucesión an0

de tal manera que a partir de él todos los términos de lasucesión son menores que l.

∀l ∈ R ∃n0(M) ∈ N tal que an ≤M ∀n ≥ n0

(n0 depende de l). Se escribe an Ð→n

−∞ ó lımn→+∞

an = −∞



an0

M

. . . a2 a1 a3

Ejemplo 1.4.21. Demostrar mediante la definición que

lımn

2n = +∞ .

En efecto, dado M ∈ R, se tiene que

2n ≥M ⇔ n > log2M

Por tanto el n0 buscado esn0 = [log2M] + 1

Ejercicio 1.4.22. Demostrar que el límite de la sucesión an = 1 − 2n es −∞.

Definición 1.4.23. Una sucesión (an)n∈N se dice

à Convergente si lımnan = l ∈ R

à Divergente si lımnan = +∞ ó −∞

à Oscilante si /∃ lımnan

Ejemplo 1.4.24. La sucesión an =3 − 2nn

es convergente pues su límite es −2, comohemos visto en el ejemplo 1.4.18. La sucesión bn = 2n es divergente (a +∞) ya que sulímite no es real. La sucesión cn = (−1)n es oscilante puesto que no tiene límite.

Proposición 1.4.25. Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.

(an)n∈N convergente ⇒ (an)n∈N acotada

Proposición 1.4.26. (Unicidad del límte)Si una sucesión tiene límite, entonces dicho límite es único.

Demostración. Vamos a ver solamente el caso de que la sucesión tiene dos límites,l1, l2 ∈ R con l1 < l2. Por reducción al absurdo: Para ε = (l2 − l1)/2, por ser el límite l1,todos los términos de la sucesión están en el intervalo (l1 − ε, l1 + ε) salvo a lo sumo unnúmero finito de ellos.

Para el mismo ε anterior, por ser el límite l2, todos los términos de la sucesión estánen el intervalo (l2 − ε, l2 + ε) salvo a lo sumo un número finito de ellos.



l1 − ε

(l1

l1+l22

)(l2

)l2 + ε

Pero esto no puede ser puesto que los intervalos (l1 − ε, l1 + ε) y (l2 − ε, l2 + ε) sondisjuntos.

De manera análoga se demostrarían el resto de casos.

Proposición 1.4.27. Si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente.

(an)n∈N monótona y acotada ⇒ (an)n∈N convergente

Álgebra de límites

En esta sección se pretende resolver el siguiente problema. Supongamos que tenemosdos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N con límites conocidos l y l′ respectivamente. En lasección 1.4.4 hemos definido algunas operaciones con sucesiones. La cuestión es ¿quése puede decir del límite de la sucesión (cn)n∈N resultado de operar con (an)n∈N con(bn)n∈N ? ¿será igual al resultado de operar l con l′?

(cn)n∈N = (an)n∈N ∗ (bn)n∈N Ô⇒ ¿ lımncn = l ∗ l′ ?

Desafortunadamente la pregunta no siempre tiene respuesta afirmativa; si la tuvierano sería necesaria la última sección del capítulo. En esta sección contestaremos a lapregunta para las operaciones definidas en la sección 1.4.4. La respuesta se ha resumidoen forma las tablas 2.1-2.10. Cuando no sea posible responder pondremos el símboloI (indeterminación). En tales casos habrá que calcular el límite utilizando técnicasconcretas para cada caso, como veremos en la sección 1.4.5.

A continuación desarrollamos, a modo de ejemplo, los casos suma y de dos sucesionesy exponencial de una sucesión. En los demás casos nos hemos limitado a mostrar losresultados en las tablas correspondientes.

Proposición 1.4.28. Dadas dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N con límites l y l′ respec-tivamente, se tienen los siguientes resultados para el límite de la sucesión suma (sn)n∈N



definida en (1.2)

1. Si l, l′ ∈ R entonces snÐ→ l + l′ ∈ R

2. Si l ∈ R y l′ = +∞ entonces snÐ→ +∞

3. Si l ∈ R y l′ = −∞ entonces snÐ→ −∞

4. Si l = +∞ y l′ = +∞ entonces snÐ→ +∞

5. Si l = −∞ y l′ = −∞ entonces snÐ→ −∞

Demostración. Probaremos sólo el primer caso, el resto se deja como ejercicio para elalumno.

Sea ε > 0, tenemos que probar que existe n0 ∈ N de tal manera que para todo n ≥ n0 setiene ∣an + bn − (l + l′)∣ < ε.

Como anÐ→ l ∈ R, para ε/2 existe n1 ∈ N tal que para todo n ≥ n1 se tiene que

∣an − l∣ < ε/2 . (1.4)

Análogamente, como bnÐ→ l′ ∈ R, para ε/2 existe n2 ∈ N tal que para todo n ≥ n2 setiene que

∣bn − l′∣ < ε/2 . (1.5)Si tomamos n0 = max(n1, n2), entonces para todo n ≥ n0 se verifican simultáneamente(1.4) y (1.5), por lo que podemos poner

∣an + bn − (l + l′)∣ ≤ ∣an − l∣ + ∣bn − l′∣ < ε/2 + ε/2 = ε , ∀n ≥ n0 .

El resto de combinaciones da lugar a casos indeterminados (ver tabla 2.1).

Proposición 1.4.29. Sea la sucesión (an)n∈N. Entonces

1. Si lımn→+∞

an = l ∈ R, entonces lımn→+∞

ean = el

2. Si lımn→+∞

an = +∞, entonces lımn→+∞

ean = +∞

3. Si lımn→+∞

an = −∞, entonces lımn→+∞

ean = 0

Nota 1.4.30. Cuando en la tabla 2.10 nos encontremos con la indeterminación 1∞usaremos la expresión xy = ey ogx y la proposición 1.4.29.

Para el resto de operaciones entre sucesiones, nos limitamos a mostrar las tablas co-rrespondientes (2.3-2.10).



an l ∈ R +∞ −∞

bn

l′ ∈ R l + l′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ I −∞

Tabla 1.1. Límite de la suma (an + bn)

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ +∞ −∞

0 0 0 0 I I

l′ ∈ R, l′ < 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ −∞ +∞

+∞ +∞ I −∞ +∞ −∞

−∞ −∞ I +∞ −∞ +∞

Tabla 1.2. Límite del producto (an ⋅ bn)



an /= 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 I

+∞ 0

−∞ 0

an > 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 +∞

+∞ 0

an < 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 −∞

−∞ 0

Tabla 1.3. Límite para la inversa 1/an

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l/l′ 0 l/l′ +∞ −∞

0 I I I I I

l′ ∈ R, l′ < 0 l/l′ 0 l/l′ −∞ +∞

+∞ 0 0 0 I I

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.4. Límite para el cociente an/bn, bn ≠ 0



an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l/l′ 0 l/l′ +∞ −∞

0 +∞ I −∞ +∞ −∞

+∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.5. Límite para el cociente an/bn, bn > 0

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ < 0 l/l′ 0 l/l′ −∞ +∞

0 −∞ I +∞ −∞ +∞

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.6. Límite para el cociente an/bn, bn < 0

an > 0 log an

l ∈ R, l > 0 log l

0 −∞

+∞ +∞

Tabla 1.7. Límite para el logaritmo log an, an > 0



Tabla 1.8. Límite para la exponencial βan , β > 0

an l ∈ R +∞ −∞

0 < β < 1 βl 0 +∞

β > 1 βl +∞ 0

an l ∈ R 0 +∞

r l > 0

r > 0 lr 0 +∞

r < 0 lr +∞ 0

Tabla 1.9. Límite para la potencial arn, an > 0

an 0 l ∈ R 1 l ∈ R +∞

bn 0 < l < 1 l > 1

l′ ∈ R, l′ < 0 +∞ ll′

1 ll′

0

0 I 1 1 1 I

l′ ∈ R, l′ > 0 0 ll′

1 ll′

+∞

+∞ 0 0 I +∞ +∞

−∞ +∞ +∞ I 0 0

Tabla 1.10. Límite para la potencial-exponencial abnn , an > 0



A continuación mostramos algunos ejemplos correspondientes a indeterminaciones delas tablas anteriores. Veremos cómo el resultado del límite cambia en los diferentescasos.

Ejemplo 1.4.31. En cada caso se ha considerado una sucesión an → +∞ y una sucesiónbn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite de la suma:

1. an = n2 , bn = 1 − n2 y an + bn = 1→ 1 ∈ R .

2. an = n2 , bn = n − n2 y an + bn = n→ +∞ .

3. an = n2 , bn = −n − n2 y an + bn = −n→ −∞ .

4. an = n + cos(πn) , bn = −n y an + bn = cos(πn) = (−1)n, que no tiene límite.

Ejemplo 1.4.32. En cada caso se ha considerado una sucesión an → 0 y una sucesiónbn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite del producto:

1. an =1

(n + 1)2 , bn = n + 1 y an ⋅ bn =1

n + 1 → 0 .

2. an =1

n + 1 , bn = (n + 1)2 y an ⋅ bn = n + 1→ +∞ .

3. an =−1n + 1 , bn = (n + 1)2 y an ⋅ bn = −(n + 1)→ −∞ .

Ejercicio 1.4.33. Encotrar para cada caso dos sucesiones an → 0 y bn → 0 tales quepara la sucesión cociente se verifique

1. an/bn → 1 .

2. an/bn → +∞ .

3. an/bn → 0 .

4. /∃ lım anbn

.

Cálculo de límites

No hay un procedimiento general para resolver los casos indeterminados vistos en lasección anterior. La forma de proceder depende de cada caso particular. A continuacióndamos una serie de criterios que pueden resultar útiles para resolver algunos casos deindeterminación.



Proposición 1.4.34. (Regla del sándwich)Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones con el mismo límite l (real o infinito). Sea otrasucesión (cn)n∈N. Si se verifica que

an ≤ cn ≤ bn

a partir de cierto n0 ∈ N, entonces la sucesión (cn)n∈N también tiene el mismo límite l(real o infinito).

Nota 1.4.35. De la regla del sándwich se deduce inmediatamente que si (an)n∈N es unasucesión acotada y bn → 0, entonces anbn → 0.

Ejemplo 1.4.36. Utilizamos la regla del sándwich para calcular el límite de la sucesión

an =1√n2 + 1

+ . . . + 1√n2 + n

.

Observa que lıman = I . Sean αn y βn las sucesiones dadas por

αn = n√n2 + n

= 1√n2 + n

+ . . . + 1√n2 + n

. (1.6)

βn = 1 = n√n2

= 1√n2

+ . . . + 1√n2. (1.7)

Comparando término a término se puede comprobar fácilmente que αn ≤ an ≤ βn ∀n ∈N. Como lımαn = lımβn = 1 , se tiene que lıman = 1 .

Proposición 1.4.37. (Criterio de la raíz por el cociente)Sea (an)n∈N una sucesión de números reales con an > 0 para todo n ∈ N. Entonces

lım an+1

an= l Ô⇒ lım n

√an = l (l real o infinito) .

Ejemplo 1.4.38.

lımn

n√n = lım

nn

1/n = lımne

1n

logn

y tenemos una indeterminación en el cociente

lımn

an+1

an= lım

n

n + 1n

= 1 Ô⇒ lımn

n√n = 1 .

Definición 1.4.39. Dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N se dicen equivalentes si

lımn

anbn

= 1 .

En tal caso se denota an ∼ bn .



Ejemplo 1.4.40. Las sucesiones an = n2 y bn = n2 + 1 son equivalentes puesto que

lımn

n2

n2 + 1 = 1 .

Nota 1.4.41. Las equivalencias son de aplicación directa al cálculo de límites en expre-siones en las que intervengan productos. Supongamos, por ejemplo an ∼ bn, y tenemosque calcular

lımnan ⋅ cn,

podemos “utilizar equivalencias” del siguiente modo

lımnan ⋅ cn = lım

n

anbn

⋅ bn ⋅ cn = lımnbncn

ya quelımn

anbn

= 1.

Esto será de utilidad cuando la expresión bn ⋅cn sea más sencilla (desde el punto de vistadel cálculo de límites) que an ⋅ bn. De manera análoga se puede proceder en expresionesen las que intervengan cocientes.

Nota 1.4.42. Observemos que si an ∼ bn puede ocurrir

lımn

(an + cn) ≠ lımn

(bn + cn),

como puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.43. Sean

an = n2 + n,bn = n2,

cn = −n2,

Tenemos que an ∼ bn, sin embargo

lımn

(an + cn) = +∞ y lımn

(bn + cn) = 0.

En la tabla 1.11 mostramos algunas de las equivalencias más empleadas en el cálculode límites (los ángulos están expresados en radianes).

Definición 1.4.44. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones tales que an → +∞ y bn →+∞ . Se dice que “an es mucho menor que bn”, y se denota an ≪ bn, si

lımn

anbn

= 0 .



an → 0

11 − an

∼ (1 + an)

senan ∼ an ∼ tg an ∼ arc senan ∼ arctg an

1 − cos(an) ∼(an)

2

2

log(1 + an) ∼ an

ean − 1 ∼ an

Otras equivalencias

Si a0 ≠ 0, a0nk + a1nk−1 + . . . + a

k∼ a0n

k

log(nk + a1nk−1 + . . . + ak) ∼ k logn

n! ∼ nne−n√

2πn (Stirling)

Tabla 1.11. Algunas equivalencias para sucesiones

Intuitivamente: para n "suficientemente grande", los términos de la sucesión (bn)n∈N son“muy grandes” respecto a los de (an)n∈N ⋅

Ejemplo 1.4.45. La sucesión an = n + 50000 es mucho menor que bn = n2

n + 50000 ≪ n2 ,

puesto quelımn

anbn

= lımn

n + 50000n2 = 0 .

Proposición 1.4.46. (Órdenes de infinitud)Sea (an)n∈N una sucesión de números reales tal que an > 0 para todo n ∈ N y tal que an →+∞. Sean a, p, q, k ∈ N con a > 1 y p, q, k > 0. Se verifican las siguientes desigualdades

(log an)p ≪ (an)q ≪ aan ≪ (an)k an .

Comprueba, usando la tabla correspondiente, que las cuatro sucesiones que aparecenen las desigualdades de la proposción son infinitos1.

1 Cuando el término general de una sucesión tiende a +∞, se suele decir que la sucesión es uninfinito.



Ejercicio 1.4.47. Utilizamos la proposición anterior para resolver el siguiente caso deindeterminación

lımn

log2 n + 1√n

= +∞+∞ = I .

Para ello dividimos numerador y denominador por el infinito de mayor orden, obte-niendo

lımn

log2 n + 1√n

= lımn

log2 n√n+ 1√

n

1 = 0,

puesto quelog2 n≪

√n .

1.5. Series de números reales

1.5.1. Definiciones y notación

Definición 1.5.1. Dada una sucesión de números reales (an)n∈N definimos a partir deella otra sucesión, (Sn)n∈N, llamada sucesión de sumas parciales de la siguiente manera

Sn ∶=n

∑k=1

ak.

Definición 1.5.2. Sea una sucesión de números reales (an)n∈N, y sea (Sn)n∈N la sucesiónde sus sumas parciales, se llama serie números reales y se denota

+∞

∑k=1ak. (1.8)

alımnSn, (1.9)

cuando exista.

Nota 1.5.3. Por extensión, la palabra "serie" y la expresión 1.8 también hacen referenciaa la sucesión de sumas parciales (Sn)n∈N.Nota 1.5.4. Las expresiones "estudiar el carácter de una serie" o "estudiar la conver-gencia de una serie" quieren decir estudiar la existencia del límite (1.9). La expresión"sumar una serie" quiere decir calcular el límite (1.9), cuando sea finito.

Ejemplo 1.5.5. Consideramos la serie+∞

∑n=0

12n = 1 + 1

2 +14 +

18 + . . . +

12n + . . .

Veremos un poco más adelante la sucesión de sumas parciales Sn es convergente.


1.5. Series de números reales 31

Definición 1.5.6. Diremos que una serie de números reales es convergente si la suce-sión formada por las sumas parciales Sn es convergente. La serie se dice divergente sila sucesión Sn es divergente. En otro caso diremos que la serie es oscilante.

Ejemplo 1.5.7.

1. La serie+∞

∑n=0

12n es convergente y su suma es 2.

2. La serie+∞

∑n=0

2n es divergente.

3. La serie+∞

∑n=0

(−1)n es oscilante.

1.5.2. Algunas series notables

La serie geométrica

Dado r ∈ R, se define la serie geométrica de razón r como+∞

∑n=0

rn . (1.10)

Proposición 1.5.8. La serie geométrica 1.10 converge si y sólo si ∣r∣ < 1 .

Demostración. Para obtener una expresión del término general de la sucesión de sumasparciales Sn, restamos Sn y r ⋅ Sn

Sn =n

∑k=0

rk = 1 + r + r2 + . . . + rn (1.11)

r ⋅ Sn =n

∑k=0

rk+1 = r + r2 + . . . + rn + rn+1

con lo queSn − r ⋅ Sn = 1 − rn+1 . (1.12)

Distinguimos ahora varios casos

à r = 1 En este caso, de 1.11 se obtiene que Sn = (n + 1), y por tanto lımSn = +∞

à r ≠ 1 De 1.12 tenemosSn =

1 − rn+1

1 − r .

Calculamos el límite de esta sucesión, en función de los valores de r .



○ −1 < r < 1 En este caso la serie converge ya que

lımn→+∞

Sn =1

1 − r ∈ R .

○ r > 1 La serie diverge ya que lımn Sn = +∞○ r ≤ −1 En este caso, la sucesión Sn no tiene límite, y por tanto, la serie esoscilante.

Por tanto, la serie es convergente si y sólo si ∣r∣ < 1 . Observa que, no sólo hemos demos-trado el enunciado, sino que, además, cuando la serie es convergente hemos calculadosu suma

S = 11 − r .

La serie armónica

Definición 1.5.9. La serie∞

∑n=1

1n

(1.13)

se llama serie armónica. y la serie+∞

∑n=1

1nr

se llama serie armónica generalizada.

Proposición 1.5.10. La serie armónica generalizada

+∞

∑n=1

1nr

converge si y sólo si r > 1.

1.5.3. Resultados generales sobre convergencia

Proposición 1.5.11. Las series

+∞

∑n=1

an y+∞

∑n=n0

an

tienen el mismo carácter.



Nota 1.5.12. Teniendo en cuenta la proposición 1.5.11, cuando sólo nos interese elcarácter de una serie, escribiremos

∑an

en vez de+∞

∑n=n0

an

Ejemplo 1.5.13. La serie+∞

∑n=0

12n es geométrica de razón r = 1

2 , luego convergente. Por

tanto, la serie+∞

∑n=3

12n también es convergente. La suma de una y de la otra no coinciden,

ya que+∞

∑n=3

12n =

+∞

∑n=0

12n − (a0 + a1 + a2) = 2 − 7

4 = 14 .

Proposición 1.5.14. Las series

∑an y ∑λan

con λ ∈ R ∖ {0} tienen el mismo carácter . Además, en caso de que sean convergentes,se tiene que

+∞

∑n=n0

λan = λ+∞

∑n=n0

an .

Proposición 1.5.15. Si dos series ∑an y ∑ bn son convergentes, entonces la serie∑(an + bn) también es convergente. En tal caso, se tiene que

+∞

∑n=n0

(an + bn) =+∞

∑n=n0

an ++∞

∑n=n0

bn .

Ejemplo 1.5.16. Las series∞

∑n=0

12n y

∞

∑n=0

13n son convergentes. Por tanto, la serie

∞

∑n=0

( 12n +

13n) también es convergente y su suma es

∞

∑n=0

( 12n +

13n) =

∞

∑n=0

12n +

∞

∑n=0

13n = 2 + 3

2 = 72 .

El recíproco a la proposición 1.5.15 no es cierto. En efecto, la serie∑0 es convergente(su suma es cero), mientras que las series ∑

1n

y ∑−1n

no convergen.

Proposición 1.5.17. (Condición necesaria para la convergencia)

∑an convergente Ô⇒ lımnan = 0



1.5.4. Series de términos positivos

Observa que si (an)n∈n verifica an ≥ 0 ∀n ≥ n0 entonces la sucesión de sumas parciales(Sn)n∈N es creciente (n ≥ n0), y por tanto, la serie no puede ser oscilante.

Criterio de comparación

Sean ∑an y ∑ bn dos series tales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0. Se tiene que

∑ bn convergente ⇒ ∑an convergente.

Nota 1.5.18. Del criterio de comparación se deduce que si ∑an y ∑ bn son dos seriestales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0, entonces

∑an divergene ⇒ ∑ bn divergente.

Ejemplo 1.5.19. La serie ∑1

2n + 1 es convergente pues se verifica

12n + 1 ≤ 1

2n , ∀ n ∈ N ,

y ∑12n es una serie geométrica de razón r = 1

2 .

Criterio de comparación en el límite

Sean ∑an y ∑ bn con an ≥ 0, bn > 0 ∀n ≥ n0 y tales que

lımn

anbn

= l , con l ∈ R (l ≠ 0) .

Entonces∑an converge ⇐⇒ ∑ bn converge.

En particular, si an ∼ bn, las series ∑an y ∑ bn tendrán el mismo carácter.

Ejemplo 1.5.20. Para determinar el carácter de la serie∑3

n + 2 , la comparamos con

la serie ∑1n, cuyo carácter es conocido

lımn

3n+2

1n

= 3 ∈ R (l ≠ 0) .

con lo que ∑3

n + 2 es divergente.



1.5.5. Series de términos cualesquiera

Definición 1.5.21. Una serie ∑an se dice absolutamente convergente si ∑ ∣an∣ esconvergente.

Proposición 1.5.22. Si una serie ∑an es absolutamente convergente, entonces esconvergente

Ejemplo 1.5.23. Determinar el carácter de la serie ∑cosnn2 .

No es una serie de términos positivos, así que estudiamos la convergencia absoluta, esdecir, la convergencia de la serie ∑ ∣cosn

n2 ∣ , esta sí, de términos positivos. Para ellousamos el criterio de comparación

∣cosnn2 ∣ ≤ 1

n2 .

La serie ∑1n2 es convergente. Así, la serie ∑ ∣cosn

n2 ∣ es convergente y, por tanto, la

serie ∑cosnn2 es absolutamente convergente luego convergente.

Definición 1.5.24. Una serie ∑an se llama alternada si an = (−1)nxn con xn ≥0, ∀n ≥ n0 o si an = (−1)n+1xn con xn ≥ 0, ∀n ≥ n0.

Criterio de Leibnitz

Sea an = (−1)nxn con x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn ≥ . . . ≥ 0 y lımxn = 0. Entonces, la serie∑an esconvergente.

Ejemplo 1.5.25. La serie ∑(−1)nn

es convergente. Efectivamente, se verifican lascondiciones para aplicar el criterio de Leibnitz: an = (−1)nxn con xn = 1

n sucesióndecreciente hacia cero.

1.5.6. Otros criterios de convergencia

Criterio de la raíz

Dada la series ∑an, con lım n√

∣ an ∣ = l, se tiene quel > 1 ⇒ ∑an no converge.

l < 1 ⇒ ∑an converge absolutamente.



Criterio del cociente

Sea ∑an tal que an ≠ 0∀n ≥ n0 y sea l = lım ∣an+1∣∣an∣

, entonces

l > 1 ⇒ ∑an no converge.

l < 1 ⇒ ∑an converge absolutamente.

Criterio de Raabe

(A aplicar cuando ya hemos aplicado el criterio del cociente o de la raíz y l = 1)

Dada ∑an, sea

l = lımnn(1 − ∣ an+1 ∣

∣ an ∣ ) ,

entoncesl > 1 ⇒ ∑ an converge absolutamente.

l < 1 ⇒ ∑ an no converge.


1.6. Anexo 37

1.6. Anexo

1.6.1. La raíz cuadrada en R

Definición 1.6.1. Sea a ∈ R, a ≥ 0, se define la raíz cuadrada de a, como el númerob ∈ R, b ≥ 0 tal que b2 = a. b se denota

√a .

Nota 1.6.2. La ecuación x2 = 0 tiene una solución en R: 0. Si a ∈ R, a > 0, la ecuaciónx2 = a tiene dos soluciones:

√a y −√a.

En la medida de lo posible, evitaremos la notación ±√a, pues suele dar lugar a confu-sión.

1.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones

Definición 1.6.3. Dados dos conjuntos A y B se definen

à el producto cartesiano de A y B, como el conjunto

A ×B = {(a, b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}

à una aplicación entre A y B, como una ley que asocia a cada elemento de A unoy sólo un elemento de B. Suele denotarse

f ∶ A→ B

a↦ b.

El elemento b suele denotarse f(a). b se llama imagen de a, y a se llama antiimagende b.

Observemos que en una aplicación, fijado a ∈ A, su imagen b siempre existe y es única,pero, dado b ∈ B, no siempre existe su antiimagen, y si existe, no es necesariamenteúnica.

Nota 1.6.4. Una aplicación entre A y B puede verse como un subconjunto de A ×B.

Definición 1.6.5. Una aplicación f ∶ A→ B se dice

à Inyectiva si, para todo a1, a2 ∈ A tales que a1 ≠ a2, se tiene f(a1) ≠ f(a2).



à Suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen.

à Biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.

1.6.3. La fórmula ciclotómica

La siguiente fórmula puede resultar útil para el cálculo de algunos límites

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + . . . + abn−2 + bn−1) . (1.14)

Esta fórmula se obtiene sin más que efectuar la división (an−bn)/(a−b) . A continuaciónmostramos la fórmula (1.14) en los casos particulares n = 2 y n = 3 .

n = 2 → a2 − b2 = (a − b)(a + b) ,

n = 3 → a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) .

Ejemplo 1.6.6.lım ( 3√

n3 + an2 − n) = +∞−∞ = I .

Para poder aplicar la fórmula (1.14) en el caso n = 3, multiplicamos numerador ydenominador por el factor (a2 + ab + b2)

3√n3 + an2 − n = ( 3√

n3 + an2 − n)3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

(1.14)= /n3 +an2− /n3

3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

nÐ→ a

3 .

1.6.4. El factorial y los números combinatorios

Definición 1.6.7. Sea n ∈ N ∪ {0}, se define el factorial de n como

n! ∶=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1 si n = 0n(n − 1)! si n ≥ 1.

Definición 1.6.8. Sean n, p ∈ N∪ {0}, p ≤ n, se define el número combinatorio n sobrep como

(np) ∶= n!

p!(n − p)!Nota 1.6.9. Si tenemos un conjunto con n elementos distintos y elegimos p elementos(sin considerar el orden de elección), entonces hay (n

p) maneras distintas de hacer esta

elección.


1.6. Anexo 39

1.6.5. Algunas fórmulas

Propiedades del seno y del coseno

Sean α,β ∈ R, se tiene

1. cos2α + sen2α = 1.

2. sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ.

3. cos(a ± b) = cosa cos b ∓ sena sen b.

4. senα + senβ = 2 sen α + β2 cos α − β2 ,

senα − senβ = 2 cos α + β2 sen α − β2 ,

cosα + cosβ = 2 cos α + β2 cos α − β2 ,

cosα − cosβ = −2 sen α + β2 sen α − β2 .

Propiedades del logaritmo

Sean x, y ∈ (0,+∞), entonces:

1. log(xy) = logx + log y,

2. logxα = α logx , (α ∈ R),

3. log 1x= − logx.

Otra notación posible: lnx. Salvo expresa indicación en contra, todos los logaritmosserán neperianos.

Razones trigonométricas hiperbólicas

Definición 1.6.10. Sea x ∈ R, se definen

à seno hiperbólico: Shx ∶= ex − e−x

2

à coseno hiperbólico: Chx ∶= ex + e−x

2

Propiedades Sean x, y ∈ R, se tiene



1. Ch2 x − senh2 x = 1

2. senh(x + y) = senhxCh y +Chx senh y

3. Ch(x + y) = ChxCh y + senhx senh y


1.7. Ejercicios 41

1.7. Ejercicios

El conjunto de los números reales

1. (nivel 2) Demuestra la desigualdad triangular:∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣, ∀x, y ∈ R.

Ayuda considera los tres casos distintos posibles(caso 1: x, y ≥ 0, caso 2: x ≥ 0, y < 0, caso 3: x, y < 0).

2. (nivel 2) Con la ayuda del problema 1, demuestra la desigualdad triangular in-versa:

∣x − y∣ ≥ ∣x∣ − ∣y∣ ∀x, y ∈ R.

3. (nivel 1) Un estudiante hizo un "descubrimiento": 1 = 0. Su "razonamiento" fue:

Tomo x = 1. Se tiene

x = 1 ⇒ x2 = x ⇒ x2 − 1 = x − 1 ⇒ (x − 1)(x + 1) = x − 1⇒ x + 1 = 1 ⇒ x = 0.

Por tanto, 1 = 0.Encuentra el error (o errores) que cometió este estudiante.

4. (nivel 2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) ∣2x − 3∣ = 5(b) ∣2x − 3∣ = x + 1(c) ∣2x + 3∣ = x + 1(d) ∣3 − x∣ − ∣x + 2∣ = 5(e) ∣x − 2∣ + ∣x − 1∣ = x − 3

5. (nivel 3) Resuelve la siguientes inecuaciones, expresando el resultado medianteuniones de intervalos:

(a) ∣5 − x−1∣ < 1(b) ∣x2 − 2∣ ≤ 1(c) x < x2 − 12 < 4x(d) ∣x − 5∣ < ∣x + 1∣(e) ∣x2 − 7x + 12∣ > x2 − 7x + 12

Método de inducción

6. (nivel 2) Demostrar por inducción:



(a) 1 + 2 +⋯ + n = n(n + 1)2

(b) 1 + 3 +⋯ + (2n − 1) = n2

(c) 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

(d) 2n > n

(e) 34n + 9 es múltiplo de 10

(f) 1+x+x2+. . .+xn−1 = 1 − xn1 − x ∀x ≠ 1

(g) 2n + n3 es múltiplo de 3(h) 13 + . . . + n3 = (1 + . . . + n)2

(i) 3n5 + 5n3 + 7n es múltiplo de 15

Números complejos

7. (nivel 1) En cada caso, expresa número complejo z en la forma a+ bi y calcula sumódulo y su argumento principal

(a) z = (1 + i)2

(b) z = (1 + i)3

(c) z = 1 + i1 − i

(d) z = −3 + i2 − 2i

(e) z = i5 + i16

(f) z = 1 + i2(1 + i−8)

(g) z = eπ2 i

(h) z = 1 − eπ2 i1 + eπ2 i

8. (nivel 2) Representa en el plano complejo C los siguientes conjuntos

(a) {z ∈ C ∣ ∣2z + 3∣ ≤ 1}(b) {z ∈ C ∣ ∣z + i∣ = ∣z − i∣}

(c) {z ∈ C ∣ e−z = −1}(d) {z ∈ C ∣ ∣z∣ < ∣ ∣ 2z + 1∣}

Sucesiones de números reales

9. (nivel 2) Estudiar la monotonía y la acotación de las siguientes sucesiones (n ≥ 1):

(a) an = (−1)n 2n

(b) 3n − 12n + 2

(c) an = 2n

(d) 32n + 1

(e) (−1)n 12n

(f)

an =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3 si n es impar5 si n es par

10. (nivel 0) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) 5n3 + 2n − 64n4 − 5n3 + 9 (b) n2 − 1√

n4 + 2n − 1


1.7. Ejercicios 43

(c) 9n2 + 3n + 53n2 − 16n − 13

(d) ( 2nen + 4)

4

(e) 3n + 2n3n − 2n

(f) (3n2 + 8n − 107n2 − 10n + 2)

8n+1

(g)√

3n + 2 −√

2n − 2

(h) ( 7n4 + 5n − 12n4 − 5n2 + 3n − 2)

n2−1

(i) (n −√n2 − 1)

(j)√n√

n +√n +√

n

(k) 3√n3 + an2 − 3√

n3 − an2

(l) (4n + 3) log n + 1n − 1

(m)√

4n2 − 1 − (2n − 1)

11. (nivel 2) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) (n − logn)

(b) 1n((a + 1

n)

2+ . . . + (a + n − 1

n)

2)

(c) (1 − 1n2)

n

(d) (n + 1n − 1)

⎛⎜⎝

n2 + 2n − 3

⎞⎟⎠

(e) lognnlogn!

(f) (2n + 3n)1n

(g)(np)

np, p ∈ R

(h)log (a + 1

n) − log a

1n

, a ∈ R

(i)n√n!n

(j) (5n4 − 3n + 15n4 + 8n )

5n2+10

(k) ( 1n)

1

log 3n

(l) 2n (n!)2 √n(2n + 1)!

12. (nivel 3) Para cada una de las sucesiones, demostrar que tiene límite y calcularlo.

(a)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u1 = 1,un+1 =

√2 + un.

(b)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

v1 =√

2,vn+1 =

√2vn.

13. (nivel 3) Definimos la sucesión (xn)n∈N como⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x1 = 4,xn+1 =

12 (xn +

17xn

)



Si suponemos que la sucesión es convergente, calcula su límite ¿Cuál sería ellímite si x1 = 10?

14. (nivel 3) Sea la sucesión (xn)n∈N demostrar que:

lımn→+∞

(x1 + . . . + xn) = l ∈ R ⇒ lımn→+∞

xn = 0

Series de números reales

15. (nivel 3) Dada la sucesión de números reales (an)n∈N definida por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a1 = 1,an+1 =

ann,

(a) Demostrar que es convergente.(b) Calcular su límite.

(c) Determinar el carácter de la serie∞

∑n=1

(−1)n an .

16. (nivel 2) Hallar la suma parcial s3 de la serie+∞

∑n=1

(−1)nn3n+1 . Estimar el valor absoluto

la diferencia entre esta suma y la suma de la serie.

17. (nivel 2) Determinar la convergencia de las siguientes series y sumar las tresúltimas.

(a)+∞

∑n=1

n√n + 1

(b)+∞

∑n=1

√n + 1√n + 8

(c)+∞

∑n=1

35 + 5n

(d)+∞

∑n=1

113n

(e)+∞

∑n=1

23n+4

32n+5

(f)+∞

∑n=1

2n+1

3n−2

18. (nivel 2) Dar un ejemplo de dos series+∞

∑n=1

an y+∞

∑n=1

bn tales que+∞

∑n=1

(an+bn) converja,

mientras+∞

∑n=1

an diverja y+∞

∑n=1

bn también diverja.

Calcular 1 + 2 + 4 + 8 + . . . ¿Por qué no es igual a 11 − 2 = −1?

19. (nivel 1) Demostrar que+∞

∑n=1

(1 + 12n) diverge.


1.7. Ejercicios 45

20. (nivel 2) Determinar, mediante el criterio de comparación, la convergencia de lasseries cuyo término general es el siguiente

(a) 13n − 1

(b) 24n − 3

(c) cos(nπ)3n − 1

(d) (−1)n4n + 1

(e) 86n − 1

(f) 85 + 7n

(g) 32 + n

21. (nivel 3) Hallar con un error menor que 0.01 la suma+∞

∑n=1

2n − 15n + 1 .

22. (nivel 2) Determinar la convergencia y la convergencia absoluta de las series cuyotérmino general es el siguiente

(a) 34n + 2

(b) ( −42n + 3)

n

(c) 12n + 3n

(d)√

3 + n4n

(e) e−n

(f) ( n

n + 2)n

(g) 1√n

(h) (−1)n8n + 2

23. (nivel 2) Usando el criterio del cociente determinar si convergen las siguientesseries

(a)+∞

∑n=1

2√n

3n(b)

+∞

∑n=1

2n2 + n!n5 + 3n! (c)

+∞

∑n=1

n33nn! (d)

+∞

∑n=1

3n2√n

24. (nivel 2) Utilizando el criterio de comparación, determinar si convergen las seriesde término general

(a) cosnn2 (b) senn

n3/2 (c) n

n2 + 4 (d) n

n3 + 4

25. (nivel 2) Utilizando el criterio de la raíz, determinar el carácter de las series contérmino general

(a) 3nnn

(b) nn

2n (c) 2nn3 (d) n2

2n

26. (nivel 3) Determinar el carácter de las series cuyo término general es



(a) sen4 n

n2

(b) 1√n − 2

3

(c) (cos√ 2n)n2

(d) n!nn

(e) nn

n!(f) cos2n( nπ

2n + 4)

(g) (n + 1n

)−n3

(h) n

√ 1n2

(i) (1 + 1n)n2

e−n

(j) sen 1n

cos 1n

(k) 2n + 5n2

3n

(l) n2 + 1nan

con a ≠ 0

(m)3√n

(n + 1)√n

(n) ( 1n)n+ 1

n

(ñ) 1n(n + 1)(n + 2)

(o) n2

n! an

(p) log(n + 1n

)

(q) (a + 1)(a + 2) . . . (a + n)n!

(r) 1 + n2

n!

(s) 1 + sen3 n

nn

(t) 1n(

√n3 + n√n − n)

27. (nivel 2) Sumar las siguientes series

(a)+∞

∑n=1

2n − 5n10n

(b)+∞

∑n=1

1n(n + 1)(n + 2)

(c)+∞

∑n=1

n

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

(d)+∞

∑n=1

n!(n + 2)!

(e)+∞

∑n=2

2n + 3(n − 1)n(n + 2)

28. (nivel 2) Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones

(a) Si an → 0 , entonces+∞

∑n=1

an converge.

(b) Toda serie geométrica+∞

∑n=1

rn converge.

(c)+∞

∑n=1

12n = 1 .

(d) Con el criterio del cociente se determina la convergencia de cualquier serie.(e) Una serie que converge también debe converger absolutamente.

(f) Si 0 ≤ an ≤ arn, r < 1 , entonces ∣+∞

∑k=1

ak −n

∑k=1

ak∣ ≤a rn+1

1 − r .

(g) La convergencia de+∞

∑n=1

(an + an+1) implica la convergencia de+∞

∑n=1

an .

(h) Si+∞

∑n=1

1n4 = π

4

90 , entonces+∞

∑n=1

1(2n)4 = π4

1440 .

(i) Si+∞

∑n=1

1n2 = π

2

6 , se tiene que+∞

∑n=1

1(2n − 1)2 = π

2

8 .


1.8. Algunas soluciones e indicaciones 47

1.8. Algunas soluciones e indicaciones

El conjunto de los números reales

1.

2.

3. Simplemente hay que tener en cuenta que si x = 1, entonces x−1 = 0 y, recordemos,0 ⋅ α = 0 ⋅ β /Ô⇒ α = β.

4. (a) x = −1 o x = 4.

(b) x = 23 o x = 4.

(c) ∅.(d) (−∞,−2].(e) ∅.

5. (a) (16 ,

14).

(b) [−√

3,−1] ∪ [1,√

3].(c) (4,6).(d) (2,+∞).(e) (3,4).

Método de inducción

6.

Números complejos

7. (a) 2i(b) −2 + 2i(c) i(d) −1 − i

2

(e) 1 + i(f) 1

4 + i4

(g) i(h) −i

8. (a) Círculo de centro (−32 ,0) y radio 1

2

(b)(c)(d)



Sucesiones de números reales

9. (a) No es monótona, no está acotada

(b) (an) es estrictamente monótona y acotada.

(c) Es estrictamente creciente, no está acotada

(d) Está acotada

(e) No es monótona, está acotada

(f) No es monótona, está acotada

10.

11. (a) +∞

(b) a2 + a + 13

(c) 0(d) e(e) 1(f) 3

(g) 1p!

(h) 1a

(i) 1e

(j) 1

(k) e

(l) 0

12. (a) Observamos en primer lugar que un ≥ 0 para todo n. Después se demuestrapor inducción que (un) es creciente. Para hacer los cálculos, observa que, alser un ≥ 0 la expresión un ≤ un+1 es equivalente a u2

n ≤ u2n+1. A continuación,

se demuestra por inducción que 2 es una cota superior de (un). Para hacerlos cálculos, observa que, al ser un ≥ 0 la expresión un ≤ 2 es equivalentea u2

n ≤ 4. Con esto se demuestra la existencia de límite. Ahora, tomandolímites en la expresión un+1 =

√2 + un se obtiene la igualdad l =

√2 + l. Para

resolver esta ecuación, la elevamos al cuadrado. Al hacer esto, hay que teneren cuenta que podemos estar añadiendo soluciones espurias2. La ecuaciónl2− l−2 = 0 tiene dos soluciones, la espuria l1 = −1 y la solución del problemal2 = 2. Con esto demostramos que el límite de (un) es 2.

(b)

13.

14.2espuria: http://lema.rae.es/drae/?val=espuria


http://lema.rae.es/drae/?val=espuria

1.8. Algunas soluciones e indicaciones 49

Series de números reales

15.

16.

17. (a) Diverge

(b) Diverge

(c) Diverge

(d) Converge, su suma es 112

(e) Converge, su suma es 128243

(f) Converge, su suma es 36

18.

19.

20. (a) Converge, tomar bn = (12)

n

.

(b) Converge

(c) Converge

(d) Converge(e) Diverge(f) Diverge(g) Diverge

21.

22. (a) Converge absolutamente, luego converge.(b) Converge absolutamente, luego converge.(c) Converge absolutamente, luego converge.(d) Converge absolutamente, luego converge.(e) Converge absolutamente, luego converge.(f) No converge, luego no converge absolutamente.(g) No converge, luego no converge absolutamente.(h) Converge, no converge absolutamente.

23. (a) Converge.(b) Diverge.

(c) Converge.(d) Diverge.

24. (a) Converge(b) Converge

(c) Diverge(d) Converge

25. (a) Converge(b) Diverge

(c) Diverge(d) Converge

26.



(a) Converge(b) Diverge(c)(d) Converge(e)(f)(g)

(h) Diverge(i)(j)(k) Converge(l)

(m)(n)

(ñ) Converge(o)(p)(q)(r) Converge(s) Converge(t)

27.

28. (a) Falsa(b) Falsa(c) Cierta(d) Falsa(e) Falsa(f)(g) Falsa(h)(i)


Tema 2

Funciones, lımites y continuidad en R

Vamos a dedicar 5 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad. Para orientar tu trabajo, se ha etiquetado cada ejercicio en niveles, como enel capítulo anterior.

También es recomendable consultar [1], [2], [3].

2.1. Funciones. Tipos de funciones

Definición 2.1.1. Se llama función real de variable real a una aplicación f entre dossubconjuntos A y B de R.

f ∶ A → B

x ↦ f(x)El conjunto A se llama dominio de f . El conjunto

Imf = f(A) = { y ∈ B ∣ ∃x ∈ A tal que f(x) = y }

se llama imagen, rango o recorrido de f . El conjunto

Gf = { (x, f(x)) ∣ x ∈ A} ⊂ R2 ,

se llama gráfica o grafo de f .

Ejemplo 2.1.2. Consideremos la función

f ∶ R → Rx ↦ x2

Es una función no inyectiva porque f(1) = f(−1), y no suprayectiva ya que f(R) =[0,+∞).

51

52 Funciones de R en R

Definición 2.1.3. Sea D ⊂ R y sea f ∶D → R se dice

à Acotada superiormente si

∃K ∈ R tal que f(x) ≤K ∀x ∈D .

à Acotada inferiormente si

∃ l ∈ R tal que f(x) ≥ l ∀x ∈D .

à Acotada si∃C ∈ R tal que ∣f(x)∣ ≤ C ∀x ∈D .

Proposición 2.1.4. Una función f está acotada si y sólo si está acotada superior einferiormente.

Definición 2.1.5. Sea D ⊂ R y sea f ∶D → R se dice que f es

à creciente en D si

∀x1, x2 ∈D tales que x1 < x2 , se tiene que f(x1) ≤ f(x2),

à estrictamente creciente en D si

∀x1, x2 ∈D tales que x1 < x2 , se tiene que f(x1) < f(x2),

à decreciente en D si

∀x1, x2 ∈D tales que x1 < x2 , se tiene que f(x1) ≥ f(x2),

à estrictamente decreciente en D si

∀x1, x2 ∈D tales que x1 < x2 , se tiene que f(x1) > f(x2) .

à monótona en D si es creciente o decreciente en D.

à estrictamente monótona en D si es estrictamente creciente o estrictamente de-creciente en D.

Nota 2.1.6. Observa que las funciones crecientes mantienen el sentido de las desigual-dades, mientras que las funciones decrecientes lo invierten. Observa también que lasfunciones estrictamente monótonas son inyectivas.


2.2. Operaciones con funciones 53

Definición 2.1.7. Sea una función f ∶ A→ B con dominio A simétrico respecto del 0.Se dice que f es par si para todo x ∈ A se tiene f(x) = f(−x), y se dice que es imparsi para todo x ∈ A se tiene −f(x) = f(−x).

Ejemplo 2.1.8. La función del ejemplo 2.1.2, f(x) = x2, es una función par. La funciónf(x) = x3 es una función impar.

Nota 2.1.9. El grafo de una función par es simétrico respecto del eje vertical; el grafode una función impar es simétrica respecto del punto (0,0).

Definición 2.1.10. Sea una función f ∶ R→ R y sea p > 0. Se dice que f es una funciónperiódica de periodo p (ó p-periódica) si f(x + p) = f(x) para todo x ∈ R.

Ejemplo 2.1.11. Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π; la funcióntangente es periódica de periodo π (véase la sección 2.5).

Nota 2.1.12. Para saber cómo es el grafo de una función periódica de periodo p bastacon conocerlo en un intervalo de longitud p.

2.2. Operaciones con funciones

En el conjunto de funciones podemos definir una serie de operaciones de manera que elresultado de la operación sea una nueva función. Hay que tener en cuenta los dominiosde las funciones con las que queremos operar.

Definición 2.2.1. Sea D ⊂ R, α ∈ R, dadas dos funciones f, g ∶ D → R, definimos lassiguientes operaciones.

à Suma de funciones.f + g ∶ D → R

x ↦ f(x) + g(x)

à Producto de funciones.

f ⋅ g ∶ D → Rx ↦ f(x) ⋅ g(x)

à Producto de un escalar por una función.

α ⋅ f ∶ D → Rx ↦ αf(x)



à Cociente de funciones. Si g(x) ≠ 0 para todo x ∈D

f

g∶D → R

x↦ f(x)g(x)

à Otras operaciones. Imponiendo en cada caso las condiciones que sean necesarias,podemos definir las siguientes operaciones

ß Si f(x) > 0 para todo x ∈D:

log f ∶ D → Rx ↦ log f(x)

ß Si f(x) > 0 para todo x ∈D:

f g ∶ D → Rx ↦ f(x)g(x) = eg(x) log(f(x))

ß Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈D:√f ∶ D → R

x ↦√f(x)

Ejemplo 2.2.2. Dadas las funciones f(x) = senx y g(x) = cosx, la función sumas = f + g viene dada por s(x) = senx + cosx. El grafo de s se obtiene de forma muysencilla a partir de los grafos de las funciones f y g: en cada valor de la abscisa x, paraobtener s(x) basta con añadir a f(x) el valor de g(x). Véase la figura 2.1.

f

g

f + g

Figura 2.1. Suma de funciones

Veamos ahora otras operaciones entre funciones.


2.2. Operaciones con funciones 55

Definición 2.2.3. Consideremos dos funciones

f ∶ A → B

x ↦ f(x)g ∶ C → D

x ↦ g(x)

tales que Im f ⊂ C. Se define la nueva función f compuesta con g, y se denota porg ○ f , como

g ○ f ∶ A → D

x ↦ g (f(x))

Observa que la función anterior está bien definida para los dominios e imágenes de lasfunciones que intervienen en la definición.

Ejemplo 2.2.4. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶D → R, entonces

à Si f(x) ≥ 0∀x ∈Dy si g(x) = √x, entonces (g ○ f)(x) =

√f(x).

à Si f(x) > 0∀x ∈Dy si g(x) = logx, entonces (g ○ f)(x) = log f(x).

Definición 2.2.5. Sean D ⊂ R y f ∶D → R una función inyectiva, definimos la funcióninversa de f , y la denotamos por f−1, como

f−1 ∶ Im f → A

y ↦ x tal que f(x) = y .

Esta función inversa está bien definida por ser f inyectiva.

Observa que se verifica que f−1(f(x)) = x para todo x ∈ D, y que f(f−1(y)) = ypara todo y ∈ Im f . Teniendo en cuenta que el punto (x, y) ∈ Gf si y sólo si el punto(y, x) ∈ Gf−1 , tenemos que la gráfica de f−1 se puede obtener a partir de la de fintercambiando x e y.

Ejemplo 2.2.6. Mostramos los grafos de la función f(x) = cosx y la de su funcióninversa, f−1(x) = arc cosx.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Función cosx Función arc cosx



2.3. Límite de una función

Dado un conjunto D ⊂ R, se define el conjunto de puntos de acumulación de D como

D′ ∶= {x ∈ R ∣ ∀ ε > 0 se verifica que D ∩ (x − ε, x + ε)/{x} ≠ ∅} .

Observemos que si x0 ∈D′, hay puntos de D, distintos del propio x0, tan próximos comose quiera a x0. Para los intervalos I de la forma (a, b), [a, b), (a, b] y [a, b], tenemosque I ′ = [a, b].

Definición 2.3.1. Sean D ⊂ R, x0 ∈D′, ` ∈ R y f ∶D → R,

à Se dice que ` es el límite de f en x0, y se escribe

lımx→x0

f(x) = `

si

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 < ∣x − x0∣ < δx ∈D

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭, entonces ∣f(x) − `∣ < ε .

(Si x está "suficientemente cerca” de x0, se tiene que f(x) está tan cerca de `como previamente habíamos exigido).

à Se dice que +∞ es el límite de f en x0 , y se escribe

lımx→x0

f(x) = +∞

si

∀M > 0 ∃ δ > 0 tal que si⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 < ∣x − x0∣ < δx ∈D

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭, entonces f(x) >M .

(Si x está “suficientemente cerca” de x0, se tiene que f(x) es mayor de lo quepreviamente habíamos exigido).

à Se dice que −∞ es el límite de f en x0, y se escribe

lımx→x0

f(x) = −∞

si

∀M < 0 ∃ δ > 0 tal que si⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 < ∣x − x0∣ < δx ∈D

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭, entonces f(x) <M .

(Si x está “suficientemente cerca” de x0, se tiene que f(x) es menor de lo quepreviamente habíamos exigido).


2.3. Límite de una función 57

Definición 2.3.2. Sean f ∶ R→ R y ` ∈ R.

à Se dice que ` es el límite de f cuando x→ +∞, y se escribe

lımx→+∞

f(x) = ` ,

si ∀ ε > 0 ∃x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces ∣f(x) − `∣ < ε .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f(x) está tan cerca de ` comopreviamente habíamos exigido).

à Se dice que +∞ es el límite de f cuando x→ +∞, y se escribe

lımx→+∞

f(x) = +∞ ,

si ∀M > 0 ∃x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces f(x) >M .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f(x) es mayor de lo que previa-mente habíamos exigido).

à Se dice que −∞ es el límite de f cuando x→ +∞, y se escribe

lımx→+∞

f(x) = −∞ ,

si ∀M < 0 ∃x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces f(x) <M .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f(x) es menor de lo que previa-mente habíamos exigido).

à Se dice que ` es el límite de f cuando x→ −∞, y se escribe

lımx→−∞

f(x) = ` ∈ R ,

si ∀ ε > 0 ∃x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces ∣f(x) − `∣ < ε .

(Si x es “suficientemente pequeño”, se tiene que f(x) está tan cerca de ` comopreviamente habíamos exigido).

à Se dice que +∞ es el límite de f cuando x→ −∞, y se escribe

lımx→−∞

f(x) = +∞ ,

si ∀M > 0 ∃x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces f(x) >M .

(Si x es “suficientemente pequeño”, se tiene que f(x) es mayor de lo que previa-mente habíamos exigido).



à Se dice que −∞ es el límite de f cuando x→ −∞, y se escribe

lımx→−∞

f(x) = −∞ .

si ∀M < 0 ∃x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces f(x) < M . (Si x es “sufi-cientemente pequeño”, se tiene que f(x) es menor de lo que previamente había-mos exigido).

Nota 2.3.3. En la definición 2.3.2, para definir los límites cuando x→ +∞ no es necesarioque el dominio de f sea R. Es suficiente que el dominio de f contenga un intervalo de laforma (a,+∞). Análogamente, para el caso de los límites cuando x→ −∞, es suficienteque el dominio de f contenga un intervalo de la forma (−∞, b).

Proposición 2.3.4. Si una función tiene límite en un punto x0 ∈ R, o en +∞ o en−∞, el límite es único.

Definición 2.3.5. Sean ` ∈ R, I un intervalo, x0 ∈ I ′ tal que x0 no sea el extremoderecho de I, y f ∶ I → R, se dice que ` es el límite por la derecha de f en x0 , y seescribe

lımx→x+0

f(x) = ` ,

si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 < x − x0 < δx ∈ I

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭entonces ∣f(x) − `∣ < ε .

Se pueden definir análogamente (se propone como ejercicio) los dos límites por laderecha

lımx→x+0

f(x) = +∞ , lımx→x+0

f(x) = −∞ ,

y, supuesto que x0 no sea el extremo izquierdo de I, los tres límites por la izquierdarestantes

lımx→x−0

f(x) = ` , lımx→x−0

f(x) = +∞ , lımx→x−0

f(x) = −∞ .

Proposición 2.3.6. Consideremos una función f ∶ I → R, con I un intervalo. Seax0 un número real tal que x0 ∈ I ′, y tal que x0 no sea extremo de I ′. Entonces existelımx→x0

f(x) si y sólo si existen y son iguales los límites laterales lımx→x+0

f(x) y lımx→x−0

f(x).En este caso,

lımx→x0

f(x) = lımx→x+0

f(x) = lımx→x−0

f(x) .

Proposición 2.3.7. Sean D ⊂ R, x0 ∈ R y f ∶D → R. Entonces existe

lımx→x0

f(x) = l



si y solamente si para toda sucesión (an)n∈N con an ∈ D, ∀n ∈ N y con lıman = x0, setiene

lım f(an) = l.

Nota 2.3.8. La proposición 2.3.7 es válida también si x0 = +∞, x0 = −∞, l = +∞, l = −∞y para los límites laterales.

Nota 2.3.9. La proposición 2.3.7 es especialmente útil para demostrar la no existenciade límite.

Ejemplo 2.3.10. Sea D = (0,∞) y

f ∶D → R

x↦ sen 1x⋅

Vamos a demostrar, usando la proposición 2.3.7, que /∃ lımx→0+

f(x). Sean

an =1

2nπ , bn =1

π2 + 2nπ ,

tenemos que f(an) = 0 y f(bn) = 1, así que lım f(an) = 0 y lım f(bn) = 1, lo que noslleva a

/∃ lımx→0+

f(x).

Álgebra de límites

Las tablas 2.1-2.10 son consecuencia inmediata de la proposición 2.3.7 y las tablasque teníamos para sucesiones. También aquí, la letra "I" significa "interminación", esdecir, con sólo con saber los límites de los operandos no sabemos cuál es el límite dela operación.



f ` ∈ R +∞ −∞

g

`′ ∈ R ` + `′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ I −∞

Tabla 2.1. Límite de la suma (f + g)

f ` ∈ R ` = 0 ` ∈ R +∞ −∞

g ` > 0 ` < 0

`′ ∈ R, `′ > 0 ` ⋅ `′ 0 ` ⋅ `′ +∞ −∞

`′ = 0 0 0 0 I I

`′ ∈ R, `′ < 0 ` ⋅ `′ 0 ` ⋅ `′ −∞ +∞

+∞ +∞ I −∞ +∞ −∞

−∞ −∞ I +∞ −∞ +∞

Tabla 2.2. Límite del producto (f ⋅ g)



f /= 0 1/f

` ∈ R, ` /= 0 1/`

` = 0 I

+∞ 0

−∞ 0

f > 0 1/f

` ∈ R, ` /= 0 1/`

` = 0 +∞

+∞ 0

f < 0 1/f

` ∈ R, ` /= 0 1/`

` = 0 −∞

−∞ 0

Tabla 2.3. Límite de 1f , f(x) ≠ 0 ∀x ∈D

f ` ∈ R ` = 0 ` ∈ R +∞ −∞

g ` > 0 ` < 0

`′ ∈ R, `′ > 0 `/`′ 0 `/`′ +∞ −∞

`′ = 0 I I I I I

`′ ∈ R, `′ < 0 `/`′ 0 `/`′ −∞ +∞

+∞ 0 0 0 I I

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.4. Límite para el cociente fg , g(x) ≠ 0 ∀x ∈D



f ` ∈ R ` = 0 ` ∈ R +∞ −∞

g ` > 0 ` < 0

`′ ∈ R, `′ > 0 `/`′ 0 `/`′ +∞ −∞

`′ = 0 +∞ I −∞ +∞ −∞

+∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.5. Límite para el cociente fg , g(x) > 0 ∀x ∈D

f ` ∈ R ` = 0 ` ∈ R +∞ −∞

g ` > 0 ` < 0

`′ ∈ R, `′ < 0 `/`′ 0 `/`′ −∞ +∞

`′ = 0 −∞ I +∞ −∞ +∞

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.6. Límite para el cociente fg , g(x) < 0 ∀x ∈D

f > 0 log f

` ∈ R, ` > 0 log `

` = 0 −∞

+∞ +∞

Tabla 2.7. Límite para el logaritmo log f , f(x) > 0 ∀x ∈D



f ` ∈ R +∞ −∞

0 < β < 1 β ` 0 +∞

β > 1 β ` +∞ 0

Tabla 2.8. Límite para la exponencial β f , β > 0

f ` ∈ R 0 +∞

r ` > 0

r > 0 ` r 0 +∞

r < 0 ` r +∞ 0

Tabla 2.9. Límite para la potencial f r , f(x) > 0 ∀x ∈D

f 0 ` ∈ R 1 ` ∈ R +∞

g 0 < ` < 1 ` > 1

`′ ∈ R, `′ < 0 +∞ ``′ 1 ``′ 0

0 I 1 1 1 I

`′ ∈ R, `′ > 0 0 ` `′ 1 ``′ +∞

+∞ 0 0 I +∞ +∞

−∞ +∞ +∞ I 0 0

Tabla 2.10. Límite para la potencial-exponencial f g , f(x) > 0 ∀x ∈D



Cálculo de límites

Proposición 2.3.11. (Regla del sándwich)Dado un intervalo I, consideremos las funciones f, g, h ∶ I → R. Sea x0 ∈ R∪{−∞,+∞}.Si

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) “suficientemente cerca" de x0

y existelımx→x0

f(x) = lımx→x0

h(x) = ` con ` ∈ R ∪ {−∞,+∞} ,

entonces también existe lımx→x0

g(x) = `.

Nota 2.3.12. De la regla del sándwich, se deduce inmediatamente que el siguiente re-sultado.

Proposición 2.3.13. Dado un intervalo I, consideremos las funciones f, g, ∶ I → R.Sea x0 ∈ R ∪ {−∞,+∞}. Si lım

x→x0= g(x) = 0 y f(x) está acotada “suficientemente cerca"

de x0, entonceslımx→x0

f(x)g(x) = 0.

Definición 2.3.14. Sean f, g ∶ D ⊂ R → R y sea x0 ∈ D′. Se dice que f es equivalentea g en x0 si

lımx→x0

f(x)g(x) = 1.

Suele denotarse f ∼x0g

Nota 2.3.15. En las condiciones de la definición 2.3.14, si f(x) Ð→x→x0

0, en la tabla 2.11tienes algunas de las equivalencias más utilizadas

Nota 2.3.16. Las equivalencias son de aplicación directa al cálculo de límites en expre-siones en las que intervengan productos. Supongamos, por ejemplo f, g, h ∶ D ⊂ R → Ry x0 ∈D′. Si f ∼

x0g, y tenemos que calcular

lımx→x0

f(x).h(x),

podemos "utilizar equivalencias" del siguiente modo

lımx→x0

f(x) ⋅ h(x) = lımx→x0

f(x)g(x) ⋅ g(x) ⋅ h(x) = lım

x→x0g(x).h(x)

ya quelımx→x0

f(x)g(x) = 1.

Esto será de utilidad cuando la expresión g(x).h(x) sea más sencilla (desde el puntode vista del cálculo de límites) que f(x).h(x). De manera análoga se puede procederen expresiones en las que intervengan cocientes.



r Ð→x0

0

11 − r(x)

∼x0

1 + r(x)

sen r(x) ∼x0

r(x) ∼x0

tg r(x) ∼x0

arc sen r(x) ∼x0

arctg r(x)

1 − cos r(x) ∼x0

(r(x))2

2

log(1 + r(x)) ∼x0

r(x)

er(x) − 1 ∼x0

r(x)

Tabla 2.11. Algunas equivalencias para funciones elementales

Nota 2.3.17. Si f ∼x0g, puede ocurrir que

lımx→x0

(f(x) + h(x)) ≠ lımx→x0

(g(x) + h(x))

como muestra el contraejemplo 2.3.18

Ejemplo 2.3.18. Sean f(x) = 2x2 y g(x) = 1

1 − cosx . Tenemos que f ∼0g y, además

lımx→0

(f(x) − g(x)) = −16 .

Pero si "aplicásemos equivalencias en sumas", llegaríamos a

−16 = lım

x→0(f(x) − g(x)) = lım

x→0(f(x) − f(x)) = 0,

lo que es imposible.

Asíntotas

Algunas funciones tienen unas rectas particulares que se “pegan" a su grafo. Estasrectas se conocen con el nombre de asíntotas.

Definición 2.3.19. Sea f ∶ R→ R y x0 ∈ R. La recta x = x0 es una asíntota vertical def si se verifica alguna de condiciones siguientes:

lımx→x−0

f(x) = +∞ , lımx→x−0

f(x) = −∞ ,

lımx→x+0

f(x) = +∞ , lımx→x+0

f(x) = −∞ .



Definición 2.3.20. La recta y =mx + b es una asíntota oblicua de f si

lımx→−∞

(f(x) − y(x)) = 0 ó lımx→+∞

(f(x) − y(x)) = 0 .

En el caso particular m = 0, la asíntota se llama horizontal.

Desde el punto de vista práctico, la definición 2.3.20 es poco útil para averiguar si unafunción tiene o no asíntotas oblicuas. Es mejor estudiar en primer lugar el límite

lımx→+∞

f(x)x

.

Si este límite existe y es real, entonces su valor m es la pendiente de la asíntota. Paraencontrar b calculamos

lımx→+∞

(f(x) −mx) .

Si este límite existe y es real, entonces su valor es b. Análogamente se estudiaría laexistencia de asíntotas cuando x→ −∞.

2.4. Continuidad

Definición 2.4.1. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶D → R. Sea x0 ∈D ∩D′.

à Se dice que f es continua en x0 si lımx→x0

f(x) = f(x0).

à Si f es continua en x0 para todo x0 ∈D, diremos que f es continua en D.

Definición 2.4.2. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D′.Diremos que f es discontinua en x0 si

à x0 /∈D

o

à Si x0 ∈D pero f no es continua en x0.


2.4. Continuidad 67

En la definición 2.2.1 vimos algunas operaciones con funciones. Si ambas funciones soncontinuas, la nueva función también lo es.

Proposición 2.4.3.

1. Sean f y g dos funciones continuas en x0. Entonces, la función suma f + g y lafunción producto f ⋅ g son funciones continuas en x0.

2. Sean f y g dos funciones continuas en x0. Si g(x0) ≠ 0, entonces la funcióncociente f

ges continua en x0.

3. Si f(x) > 0∀x ∈D y f y g son continuas en x0, entonces f g es continua en x0.

Veamos algunos ejemplos de funciones continuas

Ejemplo 2.4.4.

1. La función constante,

f ∶ R→ R

x↦ k,

es continua en R.

2. La función identidad,

f ∶ R→ R

x↦ x,

es continua en R.

3. Los polinomios son funciones continuas en R.

4. La función

f ∶ (0,+∞)→ R

x↦ logx,

es continua en (0 +∞).



5. La función

f ∶ [0,+∞)→ R

x↦√x,

es continua en [0,+∞).

Pueden obtenerse nuevas funciones continuas mediante la composición de funcionescontinuas.

Proposición 2.4.5. Consideremos las funciones f ∶ I1 → R y g ∶ I2 → R, con I2 tal quef(I1) ⊂ I2. Si f es continua en x0 y g es continua en f(x0), entonces la función g ○ fes continua en x0.

Ejemplo 2.4.6. Sea I un intervalo, y sea f ∶ I → R continua en I, entonces

à si f(x) ≥ 0 ∀x ∈ I, entonces las función√f es continua en I,

à si f(x) > 0 ∀x ∈ I, entonces las función log f es continua en I.

Resultados clásicos sobre continuidad

En esta sección mostramos varios resultados importantes para funciones continuas de-finidas en un intervalo cerrado.

Una función continua en su dominio puede no estar acotada en él. Por ejemplo, lafunción f(x) = 1

xes continua en (0,1] pero está acotada dicho intervalo. Esta situación

no puede darse en un intervalo cerrado.

Proposición 2.4.7. Sea f ∶ [a, b]→ R una continua en [a, b]. Entonces f está acotada,es decir, existe una constante C ≥ 0 tal que

∣f(x)∣ ≤ C para todo x ∈ [a, b] .

Teorema 2.4.8. (Teorema de Weierstrass)Sea f ∶ [a, b] → R una función continua. Entonces f alcanza su máximo y su mínimoen [a, b], es decir, existen puntos c y d en [a, b] tales que

f(c) = maxx∈[a,b]

f(x) , f(d) = mınx∈[a,b]

f(x) .


2.4. Continuidad 69

Teorema 2.4.9. (Teorema de Bolzano)Sea f ∶ [a, b]→ R continua en [a, b] tal que f(a) ⋅ f(b) < 0 . Entonces existe algún puntox0 ∈ (a, b) verificando f(x0) = 0.

Los puntos x0 tales que f(x0) = 0 se llaman raíces de f . El teorema de Bolzano nosindica que, bajo las condiciones del teorema, existe al menos una raíz de f en el intervalo(a, b). El teorema no afirma nada acerca del número de raíces que existen en el intervalo.

Como consecuencia del teorema de Bolzano tenemos los resultados siguientes.

Proposición 2.4.10. (Propiedad de Darboux)Sea f ∶ [a, b] → R continua y tal que f(a) ≠ f(b). Entonces para todo y0 entre f(a) yf(b), existe x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) = y0.

Observemos que la propiedad de Darboux nos indica que, bajo las condiciones de la pro-posición, f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Como consecuenciainmediata tenemos la siguiente proposición.

Proposición 2.4.11. Sea f ∶ [a, b] → R continua en [a, b]. Entonces f([a, b]) es unintervalo cerrado.

La siguiente proposición es también cierta (¡por supuesto!), pero no se deduce inme-diatamente de la propiedad de Darboux

Proposición 2.4.12. Sea I un intervalo y f ∶ I → R continua en I. Entonces f(I) esun intervalo.

Clasificación de las discontinuidades

En la definición 2.4.2 se ha definido cuándo una función es discontinua en un puntox0. Una función puede ser discontinua en x0 debido a varios motivos; ello da lugar aclasificar las discontinuidades en distintos tipos.

Definición 2.4.13. Sean D ⊂ R, f ∶D → R y x0 ∈D′. Se dice que



à f tiene una discontinuidad evitable en x0 si

◇ x0 ∈D y existe lımx→x0

f(x) ∈ R, pero f(x0) ≠ lımx→x0

f(x) ∈ R,

o bien

◇ x0 /∈D y existe lımx→x0

f(x) ∈ R.

Si f tiene una discontinuidad evitable en x0, entonces podemos definir otra fun-ción f cuyo dominio es D ∪ {x0} de la siguiente manera

f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

f(x) , si x ≠ x0 ,

lımx→x0

f(x) , si x = x0 .

La función f es una función continua en x0 que se llama extensión continua def .

à Se dice que f tiene una discontinuidad no evitable de primera especie en x0 si

◇ lımx→x0

f(x) = +∞,

ó

◇ lımx→x0

f(x) = −∞,

ó

◇ existen los dos límites laterales de f en x0 pero son distintos.

à Se dice que f tiene una discontinuidad no evitable de segunda especie en x0 si noexiste alguno de los límites laterales de f en x0.

Ejemplo 2.4.14.

1. La función

f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

e1/x , si x ≠ 0 ,

0 , si x = 0 .tiene una discontinuidad no evitable de primera especie en x0 = 0.

2. La función

f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

sen 1x , si x ≠ 0 ,

0 , si x = 0 .tiene una discontinuidad no evitable de segunda especie en x0 = 0.


2.5. Anexo: Funciones usuales 71

2.5. Anexo: Algunas funciones usuales

2.5.1. Funciones elementales

▸ Funciones polinómicas

f ∶ R → Rx ↦ a0n

k + a1nk−1 +⋯ + ak, a0 ≠ 0

(a) f es continua en su dominio.(b) Imagen de f :

à si n es impar, f(R) = R,à si n es par

ß Si a0 > 0 f(R) es un intervalo de la forma [a,+∞),ß Si a0 < 0 f(R) es un intervalo de la forma (−∞, b],

En la gráfica se muestran tres funciones polinómicas f , g y h de grados 2, 3 y 4,respectivamente.

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20f

g

h

▸ Función seno1

f ∶ R → Rx ↦ senx.

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = [−1,1], luego f es una función acotada.(c) Es impar.(d) Es periódica de periodo 2π.

-1

1

1En esta, y en todas las funciones trigonométricas, el argumento está expresado en radianes



▸ Función cosenof ∶ R → R

x ↦ cosx

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = [−1,1], luego f es una función acotada.(c) Es par.(d) Es periódica de periodo 2π.

-1

1

▸ Función tangenteSea

D = R ∖ {x ∈ R ∣ cosx=0} = R ∖ {(2k + 1)π2 ∣ k ∈ Z} .

yf ∶ D → R

x ↦ senxcosx = tgx

(a) f es continua en D.(b) f(R) = R, luego f no es una función acotada.(c) Es impar.(d) Es periódica de periodo π.

-

3 Π��

2-Π

-

Π

��

2Π

��

2Π 3 Π

��

2

-15

-10

-5

5

10

15



▸ Función arcoseno.Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [−π2 , π2 ].

f ∶ [−1,1] → [−π2 , π2 ]x ↦ y tal que sen y = x (y = arc senx)

(a) f es continua en su dominio.(b) f ([−1,1]) = [−π2 , π2 ], luego f es una función acotada.(c) Es impar.

-1 -0.5 0.5 1

-

Π

��

2

Π

��

2

Se puede obtener su grafo a partir del de la función función seno (página 55).

▸ Función arcocosenoEsta función es la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π]

f ∶ [−1,1] → [0, π]x ↦ y, tal que cos y = x (y = arc cosx)

(a) f es continua en su dominio.(b) f([−1,1]) = [0, π], luego f es una función acotada.

Se puede obtener su grafo a partir del de la función coseno.

-1 -0.5 0.5 1

Π

��

2

Π



▸ Función arcotangenteEsta función es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo(−π2 , π2 )

f ∶ R → (−π2 , π2 )x ↦ y tal que tg y = x (y = arctgx)

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = (−π2 , π2 ), luego f es una función acotada.(c) Es impar.(d) Es estrictamente creciente.

Se puede obtener su grafo a partir del de de la función tangente.

-10 -5 5 10

-

Π

��

2

Π

��

2

▸ Función exponencial

f ∶ R → Rx ↦ ex

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = (0,+∞), es decir, f(x) > 0 para todo x ∈ R.(c) Es estrictamente creciente.

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20



▸ Función logaritmoEs la función inversa de la función exponencial.

f ∶ (0,+∞) → Rx ↦ y tal que ey = x (y = logx)

(a) f es continua en su dominio.(b) f ((0,+∞)) = R, luego f no está acotada.(c) f es estrictamente creciente.

Como es la inversa de la función exponencial, ya sabemos cómo es su gráfica.

1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

▸ Función seno hiperbólico

f ∶ R → Rx ↦ ex − e−x

2 = Shx

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = R.(c) Es impar(d) Es estrictamente creciente.

24 2 4

20

10

20

10



▸ Función coseno hiperbólico

f ∶ R → Rx ↦ ex + e−x

2 = Chx

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = [1,+∞), luego f está acotada inferiormente.(c) Es par.

La gráfica correspondiente a esta función se llama catenaria.http://www.fotomat.es/catenaria/

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

▸ Función tangente hiperbólica

f ∶ R → R

x ↦ ShxChx = Thx

(a) f es continua en su dominio.

(b) Thx = ex − e−xex + e−x =

e2x − 1e2x + 1 .

(c) f(R) = (−1,1), luego f es una función acotada.(d) Es impar(e) Es estrictamente creciente.

-6 -3 3 6

-1

1


http://www.fotomat.es/catenaria/


▸ Función argumento del seno hiperbólico

f ∶ R → Rx ↦ y tal que Sh y = x (y = ArgShx)

Es la función inversa de la función seno hiperbólico. Observa que está bien defi-nida, ya que Shx es biyectiva.

(a) f es continua en su dominio.(b) f(R) = R.(c) Es impar y estrictamente creciente.

-10 -5 5 10

-3

-2

-1

1

2

3

▸ Función argumento del coseno hiperbólico

f ∶ [1 +∞) → [0,+∞)x ↦ y tal que Ch y=x (y = ArgChx)

Es la sta función inversa de la la restricción a [0,∞) de la función coseno hiper-bólico.

(a) f es continua en su dominio.(b) f([1,+∞)) = [0,+∞) .(c) Es estrictamente creciente.

2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3



▸ Función argumento de la tangente hiperbólica Es la función inversa de de lafunción tangente hiperbólica.

f ∶ (−1,1) → Rx ↦ y tal que Th y=x (y=ArgThx)

(a) f es continua en su dominio.(b) f ((−1,1)) = R.(c) Estrictamente creciente.

-1 -0.5 0.5 1

-2

-1

1

2

2.6. Otras funciones usuales

▸ Función parte entera

f ∶ R → Rx ↦ [x] = max{n ∈ Z ∣ n ≤ x}

(a) Dominio: R .Es continua en R ∖Z. En cada punto de Z, presenta una discontinuidad deno evitable de primera especie.

(b) f (R) = Z.

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2


2.6. Otras funciones usuales 79

▸ Función valor absoluto

f ∶ R→ R

x↦∣ x ∣= { x si x ≥ 0−x si x < 0

(a) Dominio: R .(b) Es continua en su dominio(c) f (R) = [0,+∞).

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


2.7. Ejercicios 81

2.7. Ejercicios

Conceptos básicos

1. (nivel 2 los dominios y nivel 3 las imágenes) Calcula el dominio y la imagen delas siguientes funciones

(a) f(x) = arctg(x − x2)(b) f(x) = arc cos(x2 − 1)(c) f(x) = cos

√x2 − 1

(d) f(x) = √senx

(e) f(x) = x − 1x2 − 2x + 8

(f) f(x) = log (cosx − 1√2)

(g) f(x) = earc sen(cos(sen(x3+3x−8)))

(h) f(x) = 1√2 − x −

√2 + x

(i) f(x) = log x2 + 1x − 1

(j) f(x) = arc cos x2 − 2x

3 − 4x

2. (nivel 3) Estudia la inyectividad de las siguientes funciones y calcula su funcióninversa cuando proceda

(a) x + 1x + 2

(b) e−x2

2

(c) 3√x + 1

(d) arc cos x

x + 1

(e) x2 + 2x + 3

(f) 4

x + 22

(g) log x − 1x + 1

(h) cosx + senx

3. (nivel 1) Estudia si el dominio de las siguientes funciones es simétrico respectode 0 y, cuando proceda, si las funciones son pares o impares.

(a) x√∣x∣

(b) log(ex2x)

(c) xarctgx3

senx cosx

(d) x2 − xx3 − x2

(e) arctg(cos(sen(x2 tgx))))

(f) x cosx2 − x2 senx

(g) x3 + x2 + x + 1

(h) sen(x + 2)x + 2

4. (nivel 2) Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(a) Si f es creciente, entonces f 2 es creciente.



(b) Si f y g son crecientes, y g(x) ≥ 0∀x, entonces fg es creciente.(c) Si f es acotada superiormente, 1 + f 2 es acotada superior e inferiormente.(d) Si f es periódica con periodo p, f(mx) es periódica con periodo p/m (m > 0).(e) Si f y g son pares, entonces fg es par.(f) Si f y g son impares, entonces fg es impar.(g) Si f es par o impar, entonces f(0) = 0

Límites

5. (nivel 0) Calcula

(a) lımx→0

1x2

(b) lımx→−∞

x3 + 4x − 2x2 + 5

(c) lımx→π

cosx − xx + π

(d) lımx→2

x2 + 8x − 20x2 − x − 2

(e) lımx→2

2

1x − 2

(f) lımx→+∞

√x3 + 1 −

√x3 + 4x2 − 1√

x + 1

(g) lımx→−∞

2x − 2

4x − 22x + 1 − 1

(h) lımx→1

2−

1(x − 1)2

(i) lımx→0

log(1 + x)e−

1x2


(a) lımx→1

ex2−2x+1 − 1

x3 − 3x + 2

(b) lımx→2

cos(x − 2) − 1(x − 2) sen(2x − 4)

(c) lımx→1

tg(arc cos(x2 + x − 1))2x − 1

(d) lımx→1

4tg(2 arctgx)

(e) lımx→1−

(1 − x)

11 − x

(f) lımx→1

log2 x

x − 1(g) lım

x→∞

√x −

√x −

√x


(a) lımx→1

(3x − 1x + 1 )

x + 1x − 1 (b) lım

x→3+( 1x − 3)

x2 − x − 62x2 − 4x − 6


2.7. Ejercicios 83

(c) lımx→+∞

log(1 + log(1 + e−x))cos 1

x − 1

(d) lımx→0

log(1 + x)cos(ex2 − 1) − 1

(e) lımx→4

(x2 − 3x − 3x − 3 )

1sen(x − 4)

(f) lımx→a

logx − log ax − a (a > 0)

(g) lımx→2

(x − 2)8x 3

1x − 2

(h) lımx→0

x cos√

∣x∣ − xsenx2

8. (nivel 3) Estudia por qué los siguientes límites no existen

(a) lımx→+∞

cos(2x)

(b) lımx→1

x

x2 − 1

(c) lımx→ 2

π

cos 2x

sen 1πx − 2

(d) lımx→+∞

log(1 + x cosx)

Continuidad

9. (nivel 3) Estudia si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

(a) Si f y g son discontinuas en un punto x0, entonces f + g es discontinua enx0.

(b) Si f es continua en x0, entonces f 5 es continua en x0.(c) Si f es continua en x0, entonces

√f es continua en x0.

(d) Si existe el límite de f cuando x→ x0, entonces f es continua en x0.(e) Los puntos de discontinuidad de las funciones log(x2) y de 2 logx son los

mismos

10. Estudia, según los valores de a y b la continuidad en R de las siguientes funciones

(a) (nivel 2) f(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

sen(b(x − 2))x − 2 , x ≠ 2

a − 1, x = 2

(b) (nivel 3) g(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x2 − 1ax − 2 , x ≠ −1

b x = −1

11. (nivel 2, salvo el apartado (f), que es de nivel 3) Halla los puntos de discontinuidadde las siguientes funciones. Clasifica las discontinuidades

(a) senx2

x2(b) x

x2 − 1



(c) x + 3x2 − 3x + 2

(d) log x2 + 1x − 1

(e) 2xlogx2 − 1

(f)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1, x ∈ Qx, x ∈ R ∖Q

12. (nivel 2) Halla las asíntotas de los grafos de las siguientes funciones

(a) x3 + 2x + 3x2 + 4x − 5

(b) e−x2

2

(c) x + 3x − 2

(d) arc cos x

x2 + 1

(e) log x − 1x + 1

(f) (x2 − 1)arctgxx + 2

13. (nivel 3) Estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

(a) Si f, g son continuas en x0, entonces∣f + g∣ + ∣f − g∣

2 y ∣f + g∣ − ∣f − g∣)2 son

continuas en x0.

(b) Si f es continua en R e Im (f) ⊂ (−π2 ,π

2) entonces tg f es continua en R.

(c) Si f(x) es continua, lımx→∞

f(x) = 1, y lımx→−∞

f(x) = −1 entonces existe c ∈ R talque f(c) = 0

(d) Si f y g son discontinuas en x0,f

ges discontinua en x0 y, además, la dis-

continuidad es no evitable.(e) Si f y g son continuas en (a, b), f(a) < g(a) y f(b) > g(b), entonces existe

c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c).

14. (nivel 2) Estudia la continuidad de la función

f(x) = arctgx2

sen2 x + x2 cosx

en el punto x0 = 0. Si f tiene en x0 una discontinuidad evitable, define la extensióncontinua de la función.

15. (nivel 2, salvo el (15e), que es de nivel 3) Estudia la continuidad de las siguientesfunciones. Para las discontinuidades evitables, define la extensión continua de lafunción.


2.7. Ejercicios 85

(a) log(1 + sen4 x)2 cos4 x + sen4 x

(b) x2 − 4x3 + 2x2 − 7x − 2

(c) e−

2x2

(d) sen x

(π − 2x) cosx

(e)sen

√∣x∣

log (1 + arctg√

∣x∣)

16. (nivel 2) Demuestra que si f ∶ [0,1] → [0,1] es una función continua, entoncesexiste c ∈ [0,1] tal que f(c) = c.

17. (nivel 3) Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a, b] talesque f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Demuestra que f(x) = g(x) para algún x ∈ [a, b].

18. (nivel 3) Sea f ∶ [3,5] → R una función continua tal que f(x) ≠ 4 para todox ∈ [3,5] y f(3) = 3, demuestra que f(5) < 4.

19. (nivel 2) Demuestra que si una función es continua y no tiene ceros en un intervalocerrado [a, b], entonces no cambia de signo en ese intervalo.

20. (nivel 1) Dada f(x) = 1x2 − 9 , halla sus puntos de discontinuidad y sus asíntotas.

21. (nivel 2) Consideremos la función f(x) = x

senx . Comprueba que f(π3 ) > 0 y quef(4π

3 ) < 0. Comprueba también que no existe c ∈ (π3 , 4π3 ) tal que f(c) = 0. Explica

por qué esto no contradice el teorema de Bolzano.

22. (nivel 1) Sean x, y ∈ R, ε > 0, demuestra que

(a) 2xy ≤ x2 + y2(b) 2xy ≤ x

2

ε+ εy2


Tema 3

Calculo diferencial en R

3.1. Planificación del capítulo

Vamos a dedicar 8 horas de clase a este capítulo, 2 de ellas en una sesión de desdoble.Tendremos también una sesión de ordenador correspondiente a los capítulos 1 y 2.Debes resolver por tu cuenta los ejercicios que no hayan sido resueltos en clase. Notodos los ejercicios tienen la misma dificultad. Para orientar tu trabajo, se ha etiquetadocada ejercicio en niveles, desde el nivel 1 hasta el nivel 3. Los ejercicios de nivel 0 sonde repaso de conocimientos previos y los de nivel extra son para ampliar conociientos.Para ampliar estos apuntes puedes consultar [1], [2],[3].

3.2. Introducción

La recta tangente a una circunferencia en un punto P se puede obtener de formasencilla. Basta con trazar por P la recta perpendicular al radio que une el centro dela circunferencia y el punto P . Este procedimiento es consecuencia de las propiedadesde la circunferencia. ¿Cómo resolvemos el problema más general de encontrar la rectatangente para una curva cualquiera?

.P

t

t?

Figura 3.1. El problema de la tangente

87

88 Cálculo diferencial en R

El siguiente concepto, fundamental en el cálculo infinitesimal, da respuesta a la pre-gunta anterior.

3.3. Derivada de una función en un punto

Dado un conjunto D ⊂ R, al hablar de límites en la sección 2.3 definimos el conjunto D′.En esta sección, antes de estudiar la derivada de una función, definiremos el siguienteconjunto

D○ = {x ∈ R ∣ ∃ ε > 0 de manera que (x − ε, x + ε) ⊂D } .Observemos que, si x ∈D○ entonces x está “completamente rodeado” por puntos de D;en particular, D○ ⊂ D. Para los intervalos I de la forma (a, b), [a, b), (a, b] y [a, b], setiene que I○ = (a, b).

Definición 3.3.1. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea a ∈ D○.Decimos que f es derivable en el punto x0 si

lımx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

(3.1)

existe y es real. En tal caso, dicho límite se denota por f ′(x0) y se llama derivada def en el punto x0, o simplemente derivada de f en x0.

f(x) − f(x0)

x − x0

x0 x

f(x)

f(x0)P

Qx

Si llamamos h al incremento de la variable x en el punto x0, es decir, h = x − x0 ,entonces el límite (3.1) se puede poner como

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)h

. (3.2)

Ejemplo 3.3.2. Hacemos uso de la definición 3.3.1 para calcular la derivada de lafunción f(x) = x2 en el punto x0 = 1,

f ′(1) = lımx→1

f(x) − f(1)x − 1 = lım

x→1

x2 − 1x − 1 = 2 ∈ R .


3.3. Derivada en un punto 89

Para calcular este límite hemos tenido que resolver una indeterminación del tipo 0/0.No es de extrañar, si tenemos en cuenta la definición de derivada: tanto el numerador(incremento de f) como el denominador (incremento de x) tienden a cero.

Ejemplo 3.3.3. Vamos a hallar la derivada de la función seno en el punto x0. Utiliza-mos la fórmula (3.2) para escribir

sen′x0 = lımh→0

sen(x0 + h) − senx0

h∗= lımh→0

2 sen(h/2) cos(x0 + h/2)h

= lımh→0

sen(h/2)h/2 lım

h→0cos (x0 + h/2)

En la igualdad (*) hemos utilizado las propiedades de la función seno (véase la página72) y la propiedad ya vista con las equivalencias:

lımh→0

senhh

= 1 .

Además, la función coseno es continua en todo punto, luego lımh→0 cos (x0 + h/2) = 1.De esta forma obtenemos que

sen′x0 = cosx0 . (3.3)

Ejercicio 3.3.4. Utilizando la definición 3.3.1, demostrar que si una función f esconstante, es decir, f(x) = k para todo x ∈ R, entonces f ′(x0) = 0 para cualquier x0.

Ejercicio 3.3.5. Utilizando la definición 3.3.1, calcular:

1. f ′(2.5) para la función f(x) = 4x − x2.

2. f ′(a) para la función f(x) = xn.

Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva

La recta tangente al grafo de un afunción f en un punto P = (x0, f(x0)), es la rectaque pasa por P con pendiente f ′(x0). Su ecuación es

y = f(x0) + f ′(x0) (x − x0) .

La recta tangente es el límite de una familia de rectas secantes {sx} que pasan por lospuntos de la gráfica P y Qx = (x, f(x)), cuando Qx tiende a P (véase la figura 3.2).



PQx

sx

t

Qxx→a−Ð→ P

sxx→a−Ð→ t

Figura 3.2. La tangente como límite de secantes

Nótese que, en las proximidades de P , la recta límite pasa por un único punto P delgrafo de f .

En efecto, para cada punto Qx, la secante que pasa por P y Qx tiene pendiente

f(x) − f(x0)x − x0

, (3.4)

y, por tanto, la recta límite tendrá por pendiente

lımx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

= f ′(x0) .

La recta normal al grafo de f en un punto P = (x0, f(x0)) es la recta perpendiculara la recta tangente. Dadas dos rectas perpendiculares, si ninguna de ellas es vertical,el producto de sus pendientes es −1. Por consiguiente, si f ′(x0) ≠ 0, la recta normaltendrá pendiente −1/f ′(x0). Su ecuación es

y = f(x0) −1

f ′(x0)(x − x0) .

Ejemplo 3.3.6. Calculamos las ecuaciones de las rectas tangente y normal al grafo def(x) = x2 en el punto P de abscisa x = 1. En el ejemplo 3.3.2, hemos obtenido f ′(1) = 2.Por tanto, la ecuación de la recta tangente será

y = f(1) + f ′(1) (x − 1) Ð→ y = −1 + 2x ,

y la ecuación de la recta normal será

y = f(1) − 1f ′(1) (x − 1) Ð→ y = −1

2 x + 32 .

Ejercicio 3.3.7. Determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráficade:

1. f(x) = 4x − x2 en el punto P = (2.5, f(2.5)).

2. f(x) = xn en el punto P = (x0, f(x0)).



Derivadas laterales

Definición 3.3.8. Consideremos una función f ∶ I → R, con I un intervalo. Sea x0 ∈ Ital que f está definida en un intervalo a la derecha de x0. Decimos que f es derivablepor la derecha en el punto x0 si el límite

lımx→x+0

f(x) − f(x0)x − x0

(3.5)

existe y es real. En tal caso, dicho límite se denota por f ′+(x0) y se llama derivada def por la derecha de x0. Análogamente se define la derivada de f por la izquierda de x0,

f ′−(x0) = lımx→x−0

f(x) − f(x0)x − x0

. (3.6)

Proposición 3.3.9. Una función f ∶ I → R es derivable en un punto x0 ∈ I○ si y sólosi las derivadas laterales (3.5) y (3.6) existen y son iguales.

Demostración. Es consecuencia inmediata de las propiedades de los límites. Basta teneren cuenta que la derivada es un límite y aplicar la proposición 2.3.6.

Ejemplo 3.3.10. Veamos que f(x) = ∣x∣ no es derivable en x0 = 0. En efecto,

f ′+(0) = lımx→0+

f(x) − f(0)x − 0 = lım

x→0+x

x= lımx→0+

1 = 1 ,

f ′−(0) = lımx→0−

f(x) − f(0)x − 0 = lım

x→0−−xx

= lımx→0−

(−1) = −1 .

Observemos que, si f es continua por la derecha en el punto x0, entonces f ′+(x0) re-presenta la pendiente de la semirrecta tangente por la derecha al grafo de f por elpunto x0. Análogamente, si f es continua por la izquierda en x0, f ′−(x0) representa lapendiente de la semirrecta tangente por la izquierda.

Del comentario anterior se puede deducir cómo es el grafo de una función f continuaen un punto a con derivadas laterales diferentes. Estos puntos suelen llamarse picos, opuntos angulosos. Un ejemplo se muestra en la figura 3.3.

Ejercicio 3.3.11. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntosque se indican:

a) f(x) = ∣x2 − 3x + 2∣, en x0 = 2 .

b) f(x) = ⌊x⌋, en x0 ∈ Z .



-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

f ′+(1)

f ′−(1)

f

Figura 3.3. f ′+(1) ≠ f ′−(1)

Continuidad y derivabilidad

Un resultado importante que relaciona los conceptos de continuidad y derivabilidad esel siguiente.

Proposición 3.3.12. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D○.Si f es derivable en x0, entonces f es continua en x0.

f derivable en x0 ⇒ f continua en x0

Demostración. Tenemos que probar que

lımx→x0

f(x) = f(x0) ,

o, lo que es lo mismo,lımx→x0

(f(x) − f(x0)) = 0 .

Realizamos los siguientes cálculos,

lımx→x0

(f(x) − f(x0)) = lımx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

(x − x0)

= lımx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

lımx→x0

(x − x0) = f ′(x0) ⋅ 0 = 0 .

Como f es derivable en x0, el primer límite del producto existe y es real. En otro caso,no podríamos asegurar que el límite del producto es cero (véase la tabla 2.2).

Nota 3.3.13. Según la proposición 3.3.12 la continuidad en un punto es condición ne-cesaria para que una función sea derivable en dicho punto. Dicha condición no essuficiente, es decir, en un punto una función puede ser continua y no derivable.



Ejemplo 3.3.14.

1. La función f de la figura 3.3 es continua en x0 = 1 y no es derivable en dichopunto.

2. La función f(x) = ∣x∣ es continua en R y, por tanto, en x0 = 0, y no es derivableen dicho punto.

3. Las siguientes funciones no son derivables en el origen:

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

f ′−(0) ≠ f ′+(0) lımx→0f(x)−f(0)

x= +∞ f no es continua en x = 0

Cuando se estudia la derivabilidad de una función, aunque no se indique explícitamente,puede ser conveniente hacer un estudio previo de la continuidad. Si una función no escontinua en un punto a, por la nota 3.3.13, tampoco será derivable en dicho punto.

Ejercicio 3.3.15. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntosque se indican:

a) f(x) = 1/x, en x0 = 0.

b) f(x) = 3√x − 1, en x0 = 1.

c) f(x) = 3√x2, en x0 = 0.

3.3.1. Reglas de derivación

En la sección 2.2 definimos varias operaciones con funciones (suma, producto por unescalar, producto y cociente). Vamos a estudiar cómo es la derivada de estas nuevasfunciones.

Proposición 3.3.16. Sea D ⊂ R y consideremos dos funciones f, g ∶ D → R. Seax0 ∈D○. Si f y g son derivables en x0 entonces:



a) La función suma s = f + g es derivable en x0. Además,

s′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

b) Si λ ∈ R, entonces la función h = λf es derivable en x0. Además,

h′(x0) = λf ′(x0).

c) La función producto p = f ⋅ g es derivable en x0. Además,

p′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0) .

d) Si g(x0) ≠ 0, entonces la función cociente c = f/g es derivable en x0. Además,

c′(x0) =f ′(x0) g(x0) − f(x0) g′(x0)

g(x0)2 .

En la sección 2.2 también vimos las definiciones de función compuesta y función inversa.Veamos qué ocurre con estas funciones respecto a la derivación.

Proposición 3.3.17. (Regla de la cadena)Sean D1,D2 ⊂ R y consideremos las funciones f ∶ D1 → R y g ∶ D2 → R , con f(D1) ⊂D2 , tales que f es derivable en x0, f(x0) ∈ D○

2 y g es derivable en f(x0). Entonces lafunción h = g ○ f es derivable en x0. Además,

h′(x0) = g′(f(x0)) ⋅ f ′(x0) (3.7)

Ejercicio 3.3.18. Obtener una expresión análoga a (3.7) para la composición de tresfunciones.

Teorema 3.3.19. (Derivada de la función inversa)Sea D ⊂ R y consideremos una función inyectiva f ∶D → R. Sea x0 ∈D○ y supongamosque f es derivable en x0 , con f ′(x0) ≠ 0. Entonces la función inversa f−1 ∶ f(D) → Res derivable en f(x0). Además,

(f−1)′(f(x0)) =1

f ′(x0)(3.8)


3.4. Función derivada 95

Ejemplo 3.3.20. Utilizaremos el teorema 3.3.19 para obtener la derivada de la función

g(x) = n√x

en un punto x0 > 0. Para ello consideramos su inversa, la función f(y) = yn. Del ejercicio3.3.5 tenemos que

f ′(y0) = nyn−10 .

Teniendo en cuenta que también g = f−1,

g′(x0) =1

f ′(g(x0))= 1f ′( n

√x0)

= 1n( n

√x0)n−1 = 1

n n√xn−10

.

Ejercicio 3.3.21. Hallar las derivadas de las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotan-gente y logaritmo a partir de las derivadas del seno, coseno, tangente y exponencial,respectivamente. Comprobar que el resultado obtenido es el que aparece en la tabla3.1.

3.4. Función derivada

Definición 3.4.1. Sea D ⊂ R y sea f ∶D → R. Entonces

à si D○ =D,se dice que f es derivable en D si es derivable en cada uno de los puntosde D.

à Si D = [a, b], se dice que f es derivable en D si es derivable en (a, b) y, además,es derivable en a por la derecha y en b por la izquierda.

El siguiente concepto es global; no debe confundirse con el dado en la definición 3.3.1,que tiene carácter local.

Definición 3.4.2. Sea D ⊂ R, tal que D = D○ ó D = [a, b], si f es derivable en D,podemos definir a partir de f una nueva función de la siguiente manera

f ′ ∶ D → R

x ↦ f ′(x)

La función f ′ se llama función derivada de f , o, si no hay lugar a la confusión, simple-mente derivada de f .



Observemos que f ′ está bien definida, puesto que f ′(x) ∈ R para todo x ∈D.

Ejemplo 3.4.3.

1. La función f(x) = xn es derivable en R. En efecto, para cada punto x0 ∈ R laderivada es f ′(x0) = nxn−1

0 . La función derivada f ′ está definida en R como

f ′(x) = nxn−1 .

2. La función f(x) = senx es derivable en R. En efecto, para cada punto x0 ∈ R laderivada es f ′(x0) = cosx0. La función derivada f ′ está definida en R como

f ′(x) = cosx .

Procediendo de forma análoga se obtiene la función derivada, así como su dominio dedefinición, para cada una de las funciones elementales estudiadas en la sección 2.5 delcapítulo anterior. En la tabla 3.1 se muestran las derivadas de las funciones elementales.

y = xa a ∈ R y′ = axa−1

y = ax a > 0 y′ = ax log a

y = ex y′ = ex

y = loga x x > 0, a > 0 y′ =1x

loga e

y = logx y′ =1x

y = senx y′ = cosx

y = cosx y′ = − senx

y = tgx y′ =1

cos2 x

y = arc senx (∣x∣ < 1) y′ =1

√1 − x2

y = arc cosx (∣x∣ < 1) y′ =−1

√1 − x2

y = arctgx y′ =1

1 + x2

Tabla 3.1. Derivadas de las funciones elementales


3.4. Función derivada 97

Si sustituimos la variable x en la tabla 3.1 por una función cualquiera u = u(x), yademás tenemos en cuenta la regla de la cadena (proposición 3.3.17), a partir de latabla 3.1 se puede obtener la tabla de derivadas para las funciones compuestas (véasela tabla 3.2).

y = ua a ∈ R y′ = aua−1 u′

y = au a > 0 y′ = au log au′

y = eu y′ = u′ eu

y = loga u u > 0, a > 0 y′ =u′

uloga e

y = logu y′ =u′

u

y = senu y′ = u′ cosu

y = cosu y′ = −u′ senu

y = tgu y′ =u′

cos2 u

y = arc senu (∣u∣ < 1) y′ =u′

√1 − u2

y = arc cosu (∣u∣ < 1) y′ =−u′√

1 − u2

y = arctgu y′ =u′

1 + u2

Tabla 3.2. Derivada de funciones compuestas

3.4.1. Derivadas de orden superior

En la definición 3.4.2, a partir de una función f , hemos definido la función derivada f ′en los puntos donde f era derivable. Si hacemos lo mismo con la función f ′, podemosdefinir su derivada (f ′)′ en los puntos donde f ′ sea derivable. La función (f ′)′ se denotapor f ′′ y se llama derivada segunda de f .



Ejemplo 3.4.4. La función f(x) = x3 es derivable en R; su derivada primera es f ′(x) =3x2. Esta función también es derivable en R; su derivada es f ′′(x) = 6x .

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

6

f(x) = x3

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

6

f ′(x) = 3x2

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

6

f ′′(x) = 6x

De modo análogo se pueden definir las derivadas tercera, cuarta, . . . En general, en lospuntos donde f (n−1) sea derivable, la derivada n-ésima f (n) se define como la derivadade f (n−1), es decir, f (n) = (f (n−1))′ .

3.5. Máximos y mínimos de una función

Una de las aplicaciones más importantes de las derivadas es el estudio de máximos ymínimos de una función.

3.5.1. Máximos y mínimos relativos

Definición 3.5.1. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶D → R. Sea x0 ∈D.

à Se dice que f presenta un máximo relativo o local en el punto x0, si f(x0) ≥ f(x)para todo x perteneciente a un entorno de x0, es decir,

∃ δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩D .

à Se dice que f presenta un mínimo relativo o local en el punto x0, si f(x0) ≤ f(x)para todo x de un entorno de x0, es decir

∃ δ > 0 tal que f(x) ≥ f(x0) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩D, .

à Se dice que f presenta un extremo relativo en x0 si f presenta un máximo relativoen x0 o f presenta un mínimo relativo en x0.


3.5. Máximos y mínimos 99

A veces, y por abuso de lenguaje, se suele decir que x0 es un máximo relativo, cuandolo correcto es decir que x0 es un punto de máximo relativo de f en D. Precisamente,si hay un máximo relativo de f en x0, entonces f(x0) es ese valor máximo.

Ejemplo 3.5.2. La función de la figura siguiente presenta un mínimo relativo en elpunto b, y dos máximos relativos en los puntos a y c . Si el dominio de la función esI = [d1, d2], de acuerdo con la definición 3.5.1, también hay dos mínimos relativos end1 y d2.

a b c

f(a)

f(b)

f(c)

d1

∣ ∣

d2

Definición 3.5.3. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D○

y supongamos que f es derivable en x0. Diremos que x0 es un punto crítico de f sif ′(x0) = 0.

En el estudio de extremos relativos, los puntos críticos desempeñan un papel muyimportante.

Proposición 3.5.4. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D○

tal que f es derivable en x0. Si f tiene un extremo relativo en x0, entonces x0 es unpunto crítico de f .

Observemos que el recíproco no es cierto. Una función que tenga un punto crítico ena no tiene por qué alcanzar un máximo o mínimo local en dicho punto. Veamos uncontraejemplo.

Ejemplo 3.5.5. La función f(x) = x3 tiene un punto crítico en x0 = 0, pues f ′(0) = 0.Sin embargo, en ese punto f no presenta un extremo relativo.

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2 f



Observemos que la proposición 3.5.4 requiere que x0 ∈ D○ y que la función f seaderivable en x0. Los puntos x0 en los que la función f no es derivable, y los puntosa ∈D ∖D○, debe ser también analizados ya que pueden ser extremos relativos. Veamosun ejemplo.

Ejemplo 3.5.6.

a) La función

f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 1)2 , si x < 1 ,

x − 1 , si x ≥ 1 ,no es derivable en x0 = 1 (véase el grafo de la izquierda en la figura 3.4). Sinembargo, en ese punto, f tiene un extremo relativo.

-1 1 2 3

1

2

3

4

f

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

g

Figura 3.4. f y g no derivables en x = 1

b) La función

g(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 1)2 , si x < 1 ,

−(x − 1) , si x ≥ 1 ,no es derivable en x0 = 1 (véase el grafo de la derecha). En ese punto, g no presenta unextremo relativo.

En la práctica, para determinar los extremos relativos de una función, en primer lugarobtendremos:

à Los puntos críticos.

à Los puntos en los que la función no es derivable.

Entre ellos haremos una selección, quedándonos con los que cumplen la definición demáximo o mínimo relativo.

Observemos que, si el intervalo I es de la forma [a, b], también debemos considerar lospuntos a y b. Si es de la forma (a, b] ó [a, b), debemos considerar, respectivamente, elpunto b y el punto a.


3.5. Máximos y mínimos 101

De momento, para estudiar si los puntos son máximos o mínimos relativos tenemos queusar la definición 3.5.1. Más adelante, en la sección 3.7, veremos un criterio sencillo(teorema 3.7.5) para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo relativo.

Ejercicio 3.5.7. Determinar los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = xe1/x , b) g(x) = x2/3 − 2x .

3.5.2. Máximos y mínimos absolutos

Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b]. Por el teorema de Weierstrass sabemosque existe un punto c ∈ [a, b] tal que

f(c) = max{f(x) ∣ x ∈ [a, b]} ,

y un punto d ∈ [a, b] tal que

f(d) = mın{f(x) ∣ x ∈ [a, b]} .

Diremos que f alcanza el máximo absoluto en c, y que su valor máximo es f(c). Análo-gamente, diremos que f alcanza el mínimo absoluto en d, y que su valor mínimo esf(d). Cuando deseemos referirnos de forma indistinta a un máximo o a un mínimoabsolutos hablaremos de extremos absolutos.

En la práctica, para calcular los extremos absolutos de una función f continua en unintervalo [a, b], procederemos de la siguiente manera:

1) En primer lugar determinaremos los extremos relativos (máximos y mínimos) dela función en el intervalo (a, b).

2) Evaluaremos f en los puntos de extremo relativo (puntos de máximo y mínimo)obtenidos en el apartado anterior.

3) Evaluaremos f en los extremos del intervalo a y b .

4) Comparando los valores obtenidos en los apartados 2) y 3) obtendremos el má-ximo y el mínimo absolutos.

Ejercicio 3.5.8. Determinar los extremos absolutos de las siguientes funciones:

a) f(x) = xe1/x en el intervalo [1/e,5] ,

b) g(x) = x2/3 − 2x en el intervalo [−1,1] .



3.6. Resultados clásicos sobre derivabilidad

En esta sección mostramos algunos resultados importantes para funciones f ∶ [a, b]→R, continuas en [a, b] y derivables en (a, b).

Teorema 3.6.1. (Teorema de Rolle)Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) =f(b). Entonces existe un punto x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0 .

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(1) = f(3)

f ′(2) = 0

Figura 3.5. Teorema de Rolle

Si prescindimos de alguna de las hipótesis del teorema, el resultado no tiene por quéser cierto (véase la figura 3.6).

0.5 1 1.5 2

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

f(0) = f(2) g(1) = g(3)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 3.6. No se verifican las hipótesis del teorema de Rolle

Teorema 3.6.2. (Teorema del valor medio de Lagrange)Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existeun punto x0 ∈ (a, b) tal que

f ′(x0) =f(b) − f(a)

b − a .

Demostración. Basta con aplicar el teorema de Rolle a la función φ definida como

φ(x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)b − a (x − a) .


3.6. Resultados clásicos sobre derivabilidad 103

Obsérvese que el teorema del valor medio de Lagrange asegura la existencia de, almenos, un punto en el que la derivada coincide con la pendiente de la recta secantepasando por (a, f(a)) y (b, f(b)). Pero puede haber más puntos en el intervalo [a, b]con esa derivada. Por ejemplo, en la figura siguiente

x0a b

hay tres puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta secante.

En términos de espacio-tiempo, el teorema del valor medio de Lagrange tiene unainterpretación bastante intuitiva. Si f(x) representa la posición en el instante x de unapartícula que recorre el intervalo [f(a), f(b)], la función f ′(x) representa la velocidaden el instante x. La velocidad media viene dada por

f(b) − f(a)b − a .

El teorema de valor medio de Lagrange asegura la existencia de, al menos, un momentox en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media.

En el ejercicio 3.3.4 vimos que, si una función f es constante, su derivada es cero.

Si el dominio de la función es un intervalo, entonces el recíproco también es cierto.

Proposición 3.6.3.

a) Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), conf ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces f es constante en el intervalo [a, b] .

b) Sean f , g ∶ [a, b]→ R dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), conf ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces f y g difieren en una constante (véasela figura siguiente).

-1 1 2 3

-2

2

4

6

f ′(x) = g′(x)

-1 1 2 3

-2

2

4

6

f(x) − g(x) = c ∀x ∈ (a, b)

c

cf

g

Nota 3.6.4. La proposición 3.6.3 también es cierta si en vez de considerar el intervalo[a, b] se toma un intervalo I cualquiera. En este caso, tenemos que poner I○ en lugarde (a, b).



3.7. Crecimiento de una función. Máximos y mínimos relativos

En la sección 2.1 definimos las funciones crecientes/decrecientes y las estrictamentecrecientes/decrecientes. Si una función es derivable, conociendo el signo de la derivada,podemos obtener información acerca del crecimiento/decrecimiento de la función.

Proposición 3.7.1. Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en(a, b).

1. Si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es creciente en [a, b].

2. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente creciente en [a, b].

3. Si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es decreciente en [a, b] .

4. Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente decreciente en [a, b].

Nota 3.7.2. La proposición 3.7.1 también es cierta si en vez de considerar el intervalo[a, b] se toma un intervalo I cualquiera. En este caso, tenemos que poner I○ en lugarde (a, b).

El resultado anterior permite determinar de una forma sencilla los intervalos de cre-cimiento y decrecimiento de una función derivable. Para ello, resolvemos la ecuaciónf ′(x) = 0. Con las raíces obtenidas separamos el dominio en intervalos y estudiamos elsigno de f ′(x) en cada uno de estos intervalos.

Habrá que tener especial cuidado con las funciones no derivables en algún punto. Ental caso, además de considerar las raíces de f ′(x) = 0, habrá que tener en cuenta lospuntos en los que no exista la derivada.

Ejemplo 3.7.3. La función f de la figura 3.7 es continua en R y derivable en R/{1, 92}.

Se tiene que f ′(x) = 0 en x = 52 y en x = c. Utilizamos los puntos {1, 5

2 ,92 , c} para

delimitar los intervalos de crecimiento, y en cada intervalo evaluamos la derivada paracomprobar su signo. De esta forma obtenemos:

x ∈ (−∞,1) Ð→ f ′(x) > 0

x ∈ (1,5/2) Ð→ f ′(x) < 0

x ∈ (5/2,9/2) Ð→ f ′(x) > 0

x ∈ (9/2, c) Ð→ f ′(x) > 0

x ∈ (c,+∞) Ð→ f ′(x) < 0


3.7. Crecimiento. Máximos y mínimos 105

Por tanto, f es creciente en los intervalos (−∞,1) y (5/2, c) , y decreciente en losintervalos (1,5/2) y (c,+∞).

1 2 3 4 c 6

1

3

5

Figura 3.7. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Podemos utilizar la proposición 3.7.1 para demostrar que siempre que la derivadacambia de signo, se presenta un extremo relativo.

Teorema 3.7.4. Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b),excepto quizás en un punto c.

1. Si f ′(x) > 0 para todo x < c y f ′(x) < 0 para todo x > c, entonces f tiene unmáximo relativo en c.

2. Si f ′(x) < 0 para todo x < c y f ′(x) > 0 para todo x > c, entonces f tiene unmínimo relativo en c.

Observemos que en este resultado no se requiere que f sea derivable en c, por lo quees válido no sólo para los puntos críticos sino también para los puntos en los que f escontinua y no derivable.

Según el teorema anterior, para estudiar si x0 es un punto de extremo relativo, hemosde comprobar los signos de f ′(x) a la izquierda y a la derecha de x0. Este estudio sepuede simplificar si existe la derivada segunda de f y su cálculo es sencillo.

Teorema 3.7.5. Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).Sea x0 un punto crítico de f . Supongamos que f ′ es derivable en x0. Entonces,

1. Si f ′′(x0) < 0, f tiene un máximo relativo en x0.

2. Si f ′′(x0) > 0, f tiene un mínimo relativo en x0.



3.8. Cálculo de límites

En el cálculo de límites de expresiones del tipo f(x)g(x) , algunas indeterminaciones pueden

resolverse utilizando derivadas.

Proposición 3.8.1. (Regla de L’Hôpital)Consideremos dos funciones derivables f , g ∶ I → R con I = (a, b). Sea x0 un númeroreal tal que x0 ∈ I. Supongamos que en el cálculo del límite

lımx→x0

f(x)g(x) (3.9)

obtenemos una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞. Si existe

lımx→x0

f ′(x)g′(x) , (3.10)

entonces también existe el límite (3.9) y además

lımx→x0

f(x)g(x) = lım

x→x0

f ′(x)g′(x) .

El resultado también es válido si x0 → −∞ ó x0 → +∞.

Si en la expresión (3.10) se vuelve a presentar una indeterminación del tipo∞/∞ ó 0/0,y se verifican las condiciones de la regla de L’Hôpital, ésta se puede volver a aplicar.

Ejemplo 3.8.2. Deseamos hallar

lımx→0

senxx

.

Como existelımx→0

cosx1 = 1 ,

aplicando la regla de L’Hôpital obtenemos que

lımx→0

senxx

= lımx→0

cosx1 = 1.

3.9. Polinomios de Taylor

En esta sección vamos a estudiar el problema de interpolación de Taylor .

Definición 3.9.1. El problema de interpolación de Taylor es el siguiente:


3.9. Polinomios de Taylor 107

Dado un punto x0 y n+1 valores fx0 , f ′√, . . . , f(n−1)x0 , f (n)

x0 , encontrarun polinomio pn de grado menor o igual que n tal que

di pndxi

(x0) = f (i)x0 , i = 0, . . . , n .

Este problema tiene como solución única el polinomio

pn(x) = fx0 + f ′x0 (x − x0) +f ′′x0

2 (x − x0)2 +⋯ + f(n)x0

n! (x − x0)n ,

que recibe el nombre de polinomio interpolador de Taylor de orden n en x0.

Nota 3.9.2. El polinomio interpolador de Taylor de orden n en x0 es un polinomio degrado menor o igual que n.

Si los datos fx0 , f ′x0 , . . ., f(n−1)x0 y f (n)

x0 proceden de una función f definida en un entornode x0, derivable hasta orden n en x0, entonces

f = f(x0) , f ′x0 = f ′(x0) , f ′′x0 = f ′′(x0) , . . . , f(n)x0 = f (n)(x0) ,

el polinomio de Taylor de orden n de f en x0, , es

pn,x0(x) = f(x0) + f ′(x0) (x − x0) +f ′′(x0)

2 (x − x0)2 +⋯ + f(n)(x0)n! (x − x0)n

=n

∑i=0

f (i)(x0)i! (x − x0)i . (3.11)

Si en el polinomio de Taylor tomamos x0 = 0, se tiene

pn,0(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2 x2 +⋯ + f(n)(0)n! xn . (3.12)

Esta expresión se llama polinomio de MacLaurin de orden n de f .

Ejemplo 3.9.3. Vamos a calcular el polinomio de Taylor de orden 5 para la funciónf(x) = senx en el punto x0 = 0 (polinomio de MacLaurin).

De acuerdo con la fórmula (3.11), ó (3.12) en este caso, tenemos

p5,0(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2 x2 +⋯ + f(5)(0)5! x5 .



Calculamos las derivadas hasta orden 5 y evaluamos en x = 0,

f(x) = senx Ð→ f(0) = 0

f ′(x) = cosx Ð→ f ′(0) = 1

f ′′(x) = − senx Ð→ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cosx Ð→ f ′′′(0) = −1

f (4)(x) = senx Ð→ f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cosx Ð→ f (5)(0) = 1

para obtener el polinomio

p5,0(x) = x −16 x

3 + 1120 x

5 .

Evaluamos este polinomio en x = 12 ,

p5,0 (12) = 1

2 −16

123 +

1120

125 = 1841

3840 = 0.47942708⌢

3 . (3.13)

Con una calculadora de 8 dígitos y con el argumento en radianes, se obtiene la aproxi-mación

f (12) = sen 1

2 ≃ 0.4794255 .

En la siguiente figura mostramos la función f(x) = senx y la aproximación polinómicap5,0(x).

f(x) = senx

ππ/2

p5,0(x)

1/2

1

0

Ejercicio 3.9.4. Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 para la función f(x) = logxen el punto x0 = 1 . Representar gráficamente el logaritmo y su aproximación polinómicaen un entorno de x0 = 1 .

Una vez obtenido el polinomio de Taylor para aproximar a una función, centraremosnuestro interés en estudiar el error cometido en dicha aproximación.



Definición 3.9.5. Sea f ∶ [α,β]Ð→ R y sea a ∈ (α,β). Supongamos que f es derivableal menos n veces en x0. Sea pn,x0 el polinomio de Taylor de f de orden n en x0, sedefine el resto n-ésimo de f en x0 como

Rn,x0(x) = f(x) − pn,x0(x),

con x ∈ (α,β).

Proposición 3.9.6. Sea f ∶ [α,β] Ð→ R y sea x0 ∈ (α,β). Supongamos que f esderivable al menos n+1 veces en (α,β). Sea pn,x0 el polinomio de Taylor de f de ordenn en x0 y sea Rn,x0(x), el resto n-esimo de f en x0 . En estas condiciones, para todox ∈ (α,β) existe ξ entre x0 y x tal que

Rn,x0(x) =f (n+1)(ξ)(n + 1)! (x − x0)n+1 ,

Ademáslımx→x0

Rn,x0(x)(x − x0)n

= 0 . (3.14)

Rn,x0(x)

xx0

Rn,x0(x) = f(x) − pn,x0(x) .

En la figura 3.8 se muestran los polinomios de Taylor p1,0, p3,0, p5,0 y p7,0 para la funciónf(x) = senx en x0 = 0. Obsérvese que, conforme aumenta el grado del polinomio, laaproximación es mejor (véase la gráfica de la izquierda). Además, para cada polinomiopn,0, el error cometido es menor cuanto más cerca estamos de x = 0 (véase la gráfica dela derecha).

En general, Rn,a(x), el error cometido mediante aproximaciones polinómicas no puedecalcularse de forma exacta. Aprenderemos a dar una estimación de dicho error, es decir,estudiaremos cómo acotar el resto n-ésimo.

Ejemplo 3.9.7. En el ejemplo 3.9.3 construimos el polinomio de MacLaurin de orden5 para aproximar sen 0.5. Para estimar el error cometido al aproximar sen 0.5 mediantep5,0(0.5) debemos encontrar una cota superior razonable para R5,0(x).



1

p1,0(x)

p3,0(x)

p5,0(x)

p7,0(x)

1

p5,0(x)

Rn,0(x)f(x) = senx

Figura 3.8. Aproximaciones polinómicas para senx en el origen.

Para la función f(x) = senx, el resto de orden 5 es

R5,0(x) =f (6)(ξ)

6! x6 = − sen ξ6! x6 , con ξ entre 0 y x .

Evaluando en el punto x = 0.5 queda

R5,0(0.5) =− sen ξ

6! 0.56 , ξ ∈ (0,0.5) .

Tenemos que acotar superiormente el error cometido, es decir, el valor absoluto delresto

∣R5,0(0.5)∣ = ∣− sen ξ6! 0.56∣ ∗≤ 1

6! 0.56 = 2.17 × 10−5 . (3.15)

En el paso (∗), tenemos que encontrar una cota superior para la función senx en elintervalo (0,0.5). Como ∣ senx∣ ≤ 1 para todo x ∈ R, en particular en el intervalo (0,0.5)también se puede tomar 1 como cota superior.

Si se procede de forma más fina seguramente se podrían encontrar cotas superioresmenores. Imaginemos que hemos sido capaces, después de cierto esfuerzo, de ver que∣ senx∣ ≤ 0.8 en el intervalo (0,0.5). Con esto, en lugar de obtener la estimación delerror (3.15) hubiésemos obtenido

∣R5,0(0.5)∣ = ∣− sen ξ6! 0.56∣ ≤ 0.8

6! 0.56 = 1.74 × 10−5 . (3.16)

En este caso, el esfuerzo en encontrar esa cota más fina no ha servido de mucho.

Ejemplo 3.9.8. Vamos a aproximar tg 0.25 con un polinomio de MacLaurin de orden4, dando una estimación del error cometido en dicha aproximación.

El polinomio de MacLaurin de orden 4 de f es

p4,0(x) = f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2! x2 + f′′′(0)3! x3 + f

(4)(0)4! x4 .



Tomando f(x) = tgx, todos los términos pares se anulan puesto que la función esimpar. En consecuencia el polinomio será de grado 3 y, como f ′(0) = 1 y f ′′′(0) = 2, elpolinomio resulta ser

p4,0(x) = x +13 x

3 .

Evaluando ahora en x = 0.25 obtenemos la aproximación para tg 0.25

p4,0(0.25) = 0.25 + 13 0.253 = 49

192 = 0.255208 ≃ tg 0.25 . (3.17)

Utilizamos a continuación el resto R4,0(x) para dar una estimación del error cometidoen la aproximación anterior (3.17),

R4,0(x) =f (5)(ξ)

5! x5 , con ξ entre 0 y x .

En particular, cuando x = 0.25, el resto queda

R4,0(0.25) = f(5)(ξ)5! 0.255 , ξ ∈ (0,0.25).

Teniendo en cuenta que maxξ∈(0,0.25)

∣f (5)(ξ)∣ ≤ 30 , se tiene que

∣R4,0(0.25)∣ = ∣f(5)(ξ)5! 0.255∣ ≤ 30 ⋅ 0.255

5! = 2.44 × 10−4 .

Si comparamos la aproximación (3.17) con el valor obtenido con un potente ordenador

tg 0.25 ≃ 0.25534192122103626650448223649047367820420163 ,

obtenemos∣ tg 0.25 − p4,0(0.25)∣ = 1.33 × 10−4

Efectivamente, el error queda por debajo de la cota superior dada 2.44 × 10−4.

Hasta ahora hemos estimado el error después de hacer la aproximación con un poli-nomio de grado prefijado. Este problema es poco realista. En la práctica suele ser elusuario quien establece el error máximo que se admite cometer. En general, la precisiónrequerida dependerá de la precisión con la que se hayan tomado los datos del proble-ma. Supongamos que tenemos que resolver un problema en el que los datos se hantomado con precisión hasta las milésimas. Poco sentido tendría dar el resultado conprecisión 10−6. En el siguiente ejemplo, fijaremos la precisión y a continuación haremosla aproximación, es decir, determinaremos el orden del desarrollo buscado.



Ejemplo 3.9.9. Vamos a utilizar un polinomio de Taylor para aproximar 4√e con un

error menor que 0.001. Como 4√e = e1/4, elegimos la función f(x) = ex y buscamos una

aproximación en x = 1/4 = 0.25. El punto x0 en el que centramos el polinomio debe sertal que sepamos calcular f(x0), f ′(x0), f ′′(x0), . . . En este caso, una buena elección esx0 = 0, que además está próximo a x = 0.25 . En tal caso, el polinomio será

pn,0(x) = f(0) + f ′(0)x +⋯ + f(n)(0)n! xn .

Como para todo k se tiene que f (k)(x) = f(x), para x = 0 obtenemos f (k)(0) = f(0) = 1.Así, el polinomio de Taylor de orden n es

pn,0(x) = 1 + x + x2

2 +⋯ + xn

n! .

Para determinar n, tenemos que utilizar la fórmula del error e imponer que éste seamenor que 0.001

∣Rn,0,f(0.25)∣ ≤ 0.001 .

Para ello escribimos el error

∣Rn,0,f(x)∣ = ∣f(n+1)(ξ)(n + 1)! x

n+1∣ = eξ

(n + 1)! xn+1 , con ξ entre 0 y x .

En particular, para x = 0.25,

∣Rn,0(0.25)∣ = eξ

(n + 1)! 0.25n+1 ∗≤ 3(n + 1)! 0.25n+1 ≤ 0.001 , ξ ∈ (0,0.25) .

En la desigualdad (∗) hemos utilizado que f es creciente, por lo que el máximo absolutode f en el intervalo (0,0.25) es menor que f(1) = e < 3 .

Debemos encontrar el menor natural n que verifique la desigualdad3

(n + 1)! 4n+1 ≤ 0.001 .

Si no es posible obtener una expresión explícita para n, podemos ir dando valores hastaencontrar el valor buscado:

n = 1 ∶ 32! 42 /≤ 0.001

n = 2 ∶ 33! 43 /≤ 0.001

n = 3 ∶ 34! 44 ≤ 0.001

Luego basta con un polinomio de orden 3 para aproximar hasta las milésimas. Elpolinomio es

p3,0(x) = 1 + x + x2

2 + x3

3! .



Evaluando en x = 0.25 obtenemos la aproximación para 4√e con la precisión requerida

pn,0(0.25) = 1 + 14 +

132 +

1348 = 493

384 = 1.2838541⌢

6 ≃ 1.284 .

En la última expresión no hemos considerado más cifras decimales puesto que sólohemos aproximado hasta las milésimas y por tanto, esos dígitos de más no seríansignificativos.

Podemos calcular 4√e = 1.284025416687741, y comprobar que en efecto

∣pn,0(0.25) − 4√e ∣ = 0.17 × 10−3 .

Ejercicio 3.9.10. Obtener sucesivas aproximaciones de sen 0.5 con los polinomios deMacLaurin de órdenes 1, 3, 5 y 7. En cada caso, estimar el error cometido en laaproximación. Observar cómo el error va disminuyendo según aumenta el grado delpolinomio.

Ejercicio 3.9.11. Obtener sucesivas aproximaciones para los valores sen 0.5, sen 1 ysen 1.5 mediante el polinomio de MacLaurin de orden 5. Observar cómo el error vadisminuyendo según nos acercamos al punto x0 = 0.

Ejercicio 3.9.12. Aproximar con error menor que 0.01 el valor de log 1.3 .

3.9.1. Cálculo de límites

Los desarrollos de Taylor pueden utilizarse para hallar algunos límites. Veamos unejemplo.

Ejemplo 3.9.13. Vamos a demostrar que

lımx→0

senx − xx3 = −1

6 .

Para ello consideramos el desarrollo de Taylor de orden 3 de la función senx en a = 0

senx = x − x3

6 +R3,0(x) .

Vamos a introducir una notación conveniente para el cálculo de límites: expresamosR3,0(x) como x3ω(x) siendo ω(x) una función que verifica lım

x→0ω(x) = 0. De esta forma,

teniendo en cuenta (3.14), resulta

lımx→0

senx − xx3 = lım

x→0

−x3

6 + x3ω(x)x3 = lım

x→0(−1

6 + ω(x)) = −16 ,



Ejercicio 3.9.14. Utilizando desarrollos de Taylor demostrar que:

a) lımx→0cosx1 − x2

2= 1 , b) lımx→0

arctgxx

= 1 ,

c) lımx→0

11−xx

= 1 , d) lımx→0log(1 + x)

x= 1 .

Ejercicio 3.9.15. Utilizando desarrollos de Taylor demostrar que

lımx→1

logxx − 1 = 1 .

Polinomios de Taylor de algunas funciones elementales

Concluimos la sección mostrando los polinomios de MacLaurin y de Taylor de algunasfunciones elementales.

senx =n

∑k=0

(−1)k(2k + 1)! x

2k+1 → p2n+1,0 = x −x3

6 + x5

120 −⋯ + (−1)n(2n + 1)! x

2n+1

cosx =n

∑k=0

(−1)k(2k)! x

2k → p2n,0 = 1 − x2

2 + x4

24 −⋯ + (−1)n(2n)! x

2n

arctgx =n

∑k=0

(−1)k2k + 1 x

2k+1 → p2n+1,0 = x −x3

3 + x5

5 −⋯ + (−1)n2n + 1 x

2n+1

ex =n

∑k=0

1k! x

k → pn,0 = 1 + x + x2

2 + x3

6 +⋯ + 1n! x

n

logx =n

∑k=1

(−1)k+1

k(x − 1)k → pn,0 = (x − 1) − (x − 1)2

2 + (x − 1)3

6

+⋯ + (−1)n+1

n(x − 1)n

log(1 + x) =n

∑k=1

(−1)k+1

kxk → pn,1 = x −

x2

2 + x3

3 −⋯ + (−1)n+1

nxn

11 − x =

n

∑k=0xn → pn,0 = 1 + x + x2 + x3 +⋯ + xn

1x=

n

∑k=0

(1 − x)k → pn,1 = 1 + (1 − x) + (1 − x)2 +⋯ + (1 − x)n


3.10. Resolución numérica de ecuaciones no lineales 115

3.10. Resolución numérica de ecuaciones no lineales

Dado un segmento de circunferencia de cuerda c y arco a, se desea obtener el radio αde la correspondiente circunferencia.

a

cr

α

Utilizando propiedades geométricas elementales, se llega a las siguientes ecuaciones

sen α2 = c

2 r , α r = a ,

de donde obtenemos la ecuación no lineal

sen α2 = αc2a . (3.18)

En esta ecuación no es posible obtener una expresión explícita para α. En esta secciónvamos a estudiar métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales.

Definición 3.10.1. Consideremos una función f ∶ I ⊂ R → R. Los puntos s ∈ R talesque

f(s) = 0 ,

se llaman ceros de la función f o raíces de la función f .

Para muchas funciones, por ejemplo, los polinomios de grado menor o igual que cua-tro, existen fórmulas para hallar todos sus ceros de forma exacta. Sin embargo, parala mayoría de las funciones tales fórmulas no existen y tenemos que conformarnos conaproximaciones de las raíces mediante algún método numérico. En este tema estudia-remos métodos numéricos para calcular raíces de ecuaciones no lineales de la forma

f(x) = 0 .

Gráficamente, para determinar los ceros de una función f , basta hallar la intersecciónentre la recta y = 0 y la curva y = f(x). En el siguiente grafo se muestra el cero de lafunción f(x) = x − e−x.

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5



Así como una función lineal f(x) = ax − b, con a ≠ 0, tiene siempre una única raíz,s = b

a , las soluciones de ecuaciones no lineales pueden ser muy variadas. Por ejemplo,la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene ninguna raíz real, x − e−x = 0 tiene una única raíz,x2 + 3x + 2 = 0 tiene dos raíces, mientras que cosx − 1

2 = 0 tiene infinitas raíces.

Antes de plantear un método de aproximación de raíces, hemos de estudiar si el pro-blema posee solución única. En el caso en que haya más de una raíz, tenemos quelimitar el intervalo de trabajo de tal forma que en éste la raíz sea única. En otro caso,el método de aproximación utilizado puede proporcionar una solución no deseada.

Los métodos que vamos a usar para resolver numéricamente ecuaciones no linealesson métodos iterativos. A partir de m valores iniciales x0, . . . , xm−1 construimos unasucesión

xm , xm+1 , xm+2 , . . . , xk0−1 , xk0 , xk0+1 , . . . ,

tal que xn → s, cuando n →∞, siendo s la raíz de la ecuación no lineal que deseamosaproximar.

Con un ordenador no es posible calcular los infinitos términos de la sucesión (xn)n∈N.Por ello, con los métodos iterativos generalmente no se obtiene la raíz s, sino unaaproximación de ésta. En estos métodos se van construyendo términos de la sucesiónhasta que el proceso se detiene, por ejemplo, en el término k0,

x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xk0−1 , xk0 ,RRRRRRRRRRRPARAR

xk0+1 , . . . ,

y se toma xk0 como aproximación del límite, esto es, s ≃ xk0 . Para detener las iteracionesse necesita algún criterio de parada. Los criterios más usuales son

i) ∣xn − xn−1 ∣ < TOL,

ii) ∣xn − xn−1∣∣xn ∣

< TOL.

Un error bastante frecuente cuando se resuelve la ecuación no lineal f(x) = 0 es utilizarcomo único criterio de parada

∣f(xn)∣ < TOL . (3.19)Suponer que xn es una buena aproximación de la raíz si se cumple que ∣f(xn)∣ es“pequeño”, puede ser totalmente incorrecto con algunas funciones.

Ejemplo 3.10.2. Consideremos la función f(x) = (x− 1)10, que tiene como única raízs = 1, y la sucesión (xn)n∈N con xn = 1 + 1/n. La sucesión (xn)n∈N converge a la raíz def , s = 1. Si usamos (3.19) como criterio de parada con TOL = 10−3, obtenemos

∣f(xn)∣ =1n10 < 10−3 , para n ≥ 2 .



Con este criterio de parada y esta tolerancia daríamos como buena la aproximacións ≃ x2 = 1.5, cometiendo un error absoluto muy grande, erra = 0.5. Sin embargo, elcriterio de parada ii) con TOL = 10−3 obliga a tomar n ≥ 1002. En este caso tomaríamoscomo aproximación s ≃ x1002 = 1.0009980. El error absoluto que cometemos es erra =9.98 × 10−4.

3.10.1. Método de bisección

Recordemos el teorema de Bolzano estudiado en la sección 2.4 que decía que, dada unafunción f ∶ [a, b]→ R continua con f(a) ⋅ f(b) < 0, existe una raíz en el intervalo (a, b).

El teorema de Bolzano es la base del método más sencillo de localización y aproximaciónde raíces: el método de bisección. La idea de este método es, una vez localizado unintervalo [a, b] en el que hay una única raíz, dividir éste en dos subintervalos iguales,[a, a+b2 ] y [a+b2 , b], y determinar en qué subintervalo se encuentra la raíz. Reiterandoeste proceso obtenemos un intervalo cada vez menor que contiene la raíz.

En la práctica procedemos de la siguiente forma. Si denotamos por a1 = a y b1 = b, lacondición f(a1) ⋅ f(b1) < 0 implica que f(a1) y f(b1) tienen signos opuestos. Tomamosel punto intermedio x1 = a1+b1

2 y evaluamos la función f en él.

à Si f(x1) = 0, entonces p1 es una raíz de la ecuación.

à Si f(x1) ≠ 0, entonces comparamos los signos de f(x1) y f(a1).

ß Si f(x1) tiene el mismo signo que f(a1), entonces hay una raíz en [x1, b1].Nos quedamos con este intervalo tomando a2 = x1, b2 = b1.

ß Si f(x1) y f(a1) tienen signos opuestos, entonces hay una raíz en [a1, x1].Nos quedamos con este intervalo tomando a2 = a1, b2 = x1.

Aplicamos de nuevo este proceso al intervalo [a2, b2] y así sucesivamente.

En el anexo de este capítulo (véase la página 125) mostramos un algoritmo para elmétodo de bisección.

Ejemplo 3.10.3. La función f(x) = x − e−x tiene una única raíz en el intervalo [0,1].Utilizamos el método de bisección parando las iteraciones cuando∣an−bn∣

2 < 10−4. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 3.10.1. Después de13 iteraciones, la aproximación de la raíz es x14 = 0.56719971.

El siguiente resultado permite obtener una cota del error cometido con el método debisección.



Proposición 3.10.4. Consideremos una función f ∶ [a, b] → R continua en [a, b] talque f(a) ⋅ f(b) < 0, y sea s una raíz de f en (a, b). Entonces el método de biseccióngenera una sucesión (xn)n∈N tal que

∣xn − s∣ ≤b − a2n , n ≥ 1 .

Con la expresión anterior podemos determinar el número de iteraciones necesarias parahallar una raíz con un error menor que ε,

b − a2n ≤ ε Ô⇒ n ≥

log (b−a)ε

log 2

n an bn xn

1 0 1.0000000 0.500000002 0.50000000 1.0000000 0.750000003 0.50000000 0.75000000 0.625000004 0.50000000 0.62500000 0.562500005 0.56250000 0.62500000 0.593750006 0.56250000 0.59375000 0.578125007 0.56250000 0.57812500 0.570312508 0.56250000 0.57031250 0.566406259 0.56640625 0.57031250 0.5683593810 0.56640625 0.56835938 0.5673828111 0.56640625 0.56738281 0.5668945312 0.56689453 0.56738281 0.5671386713 0.56713867 0.56738281 0.5672607414 0.56713867 0.56726074 0.56719971

Tabla 3.3. Método de bisección. Ejemplo 3.10.3

Ejercicio 3.10.5. Usando la proposición 3.10.4, hallar una cota del error cometido enel ejemplo 3.10.3 al aproximar la raíz de f(x) = 0 por x14 = 0.56719971.

El método de bisección tiene la ventaja de que la sucesión (xn)n∈N siempre convergea alguna de las raíces de la función f en [a, b]. Su principal inconveniente es que esun método muy lento. Estas características hacen que, en la práctica, sea utilizadoúnicamente para hallar una primera aproximación de las raíces. Una vez localizadauna raíz, se utiliza otro método más rápido para aproximarla con precisión.



Método de Newton-Raphson

Deseamos hallar una raíz s de f(x) = 0. Para ello vamos a considerar el siguientemétodo ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x0 dado ,

xn+1 = xn −f(xn)f ′(xn)

, n ≥ 1 . (3.20)

Este método recibe el nombre de método de Newton-Raphson o simplemente métodode Newton. En el anexo de este capítulo (véase la página 125) mostramos un algoritmopara el método de Newton.

Imponiendo algunas condiciones sobre la función f , puede demostrarse que el métodoes convergente.

Proposición 3.10.6. Consideremos una función f ∶ [a, b] → R tal que f es continuaen [a, b] y las derivadas hasta orden dos existen y son continuas en [a, b]. Supongamosque f(a) ⋅ f(b) < 0, que f ′(x) ≠ 0 para todo x ∈ [a, b] y que f ′′ no cambia de signo en[a, b]. Entonces

1. Existe una única raíz s de f en [a, b].

2. Para todo x1 ∈ [a, b] tal que f(x1) ⋅ f ′′(x1) ≥ 0, la sucesión (xn)n∈N del método deNewton converge a s.

Existen otras condiciones menos restrictivas que también permiten asegurar la conver-gencia del método de Newton. De forma general se suele requerir que f ′ no se anule“cerca” de la raíz s de f , y que el valor inicial x1 esté “suficientemente” cerca de s.

En la práctica, hallar x1 “suficientemente” cerca de s puede ser un problema. En lasección 3.10.1 estudiamos el método de bisección. Podemos calcular x1 con este método,que aunque es lento, siempre converge.

Ejemplo 3.10.7. (Aproximación de la raíz cuadrada)Todos los lenguajes de programación actuales incorporan una función que aproximahasta la precisión requerida la raíz cuadrada positiva de un número. El algoritmo másutilizado para ello se basa en el método de Newton.

Si aplicamos dicho método para resolver la ecuación

x2 − a = 0 ,

obtenemos la expresión recurrente

xn+1 =12 (xn +

a

xn) .



Por ejemplo, para aproximar√

13, si partimos del valor inicial x0 = 4, obtenemos lasiguiente secuencia

x0 = 4x1 = 3.625x2 = 3.605603448275862x3 = 3.605551275463989293119221267470495946251x4 = 3.605551275463989293119221267470495946251

Ejercicio 3.10.8. Utilizar el método de Newton para aproximar la solución de laecuación x + logx = 3 .

Ejercicio 3.10.9. Utilizar el método de Newton para aproximar la solución de laecuación

sen α2 − αc2a = 0 ,

con c = 40, a = 43 (véase la ecuación (3.18)).

Método de Newton con raíces múltiples

Como hemos señalado anteriormente, una de las condiciones para asegurar la conver-gencia del método de Newton es que f ′ no se anule “cerca" de la raíz de f . Para algunostipos de raíces esta condición no se cumple.

Definición 3.10.10. Dada una función f , se dice que s es un cero de multiplicidadm si

f(s) = f ′(s) = ⋯ = f (m−1)(s) = 0 , f (m)(s) ≠ 0 .

Así, si f(s) = 0, pero f ′(s) ≠ 0, el cero es simple; si f(s) = f ′(s) = 0, pero f ′′(s) ≠ 0,el cero es doble; si f(s) = f ′(s) = f ′′(s) = 0, pero f ′′′(s) ≠ 0, el cero es triple, . . .

Ejemplo 3.10.11.

1. La función f(x) = ex−x−1 tiene un cero doble en s = 0 ya que f(0) = 0, f ′(0) = 0,pero f ′′(0) = 1.

2. La función f(x) = (x − 1)2(x − 2) tiene un cero doble en s = 1 y un cero simpleen s = 2.


3.11. Anexo I: Representación gráfica de funciones 121

3.11. Anexo I: Representación gráfica de funciones

Ante la imposibilidad de obtener todos los puntos del grafo de una función f , es necesa-rio un estudio cualitativo que nos permita obtener su grafo con suficiente aproximación.Para ello, es conveniente seguir los siguientes pasos:

1. Determinar el dominio de f y estudiar la continuidad.

2. Estudio de simetrías y periodicidad.

3. Cortes con los ejes.

4. Estudio asintótico (asíntotas verticales, asíntotas oblicuas, ramas infinitas).

5. Estudio de f ′.

6. Estudio de f ′′.

Para algunas funciones particulares puede no ser necesario el estudio de algunos puntos.

Ejemplo 3.11.1. Vamos a representar gráficamente la función

f(x) = x2 + 1x − 1 .

à Dominio de f :Como el numerador y denominador son funciones continuas en R, sólo habrá queexcluir las raíces del denominador. En este caso, f es continua en D = R/{1}.

à Simetrías y periodicidad:Para el estudio de las simetrías, calculamos f(−x) = −(x2 + 1)/(x + 1). Se tieneque f(−x) ≠ f(x), por lo que f no es par. Como f(−x) ≠ −f(x), f no es impar.La función f no es periódica.

à Cortes con los ejes:El único corte con el eje de ordenadas se corresponde con la imagen de x = 0,esto es, el punto P = (0, f(0)). En este caso P = (0,−1). Los posibles cortes conel eje de abscisas se corresponden con las antiimágenes de y = 0. Por lo tanto,tenemos que resolver la ecuación, posiblemente no lineal, f(x) = 0. En este caso,dicha ecuación no tiene soluciones, por lo que no hay cortes con el eje OX.

à Estudio asintótico:

ß Estudiamos, en primer lugar, las asíntotas verticales. De la definición 2.3.19de la página 65 se deduce que si la función f tiene una asíntota vertical en



x = x0, entonces f no puede ser continua en ese punto. En este problema laúnica asíntota posible es x = 1. Se tiene que

lımx→1+

x2 + 1x − 1 = 2

0+ = +∞ , lımx→1−

x2 + 1x − 1 = 2

0− = −∞ .

Por tanto, la recta x = 1 es una asíntota vertical.ß Para estudiar las asíntotas oblicuas hacemos uso de la definición 2.3.20. Si

la recta y =mx + b es una asíntota oblicua, entonces

m = lımx→+∞

f(x)x

, b = lımx→+∞

(f(x) −mx) .

Para que y = mx + b sea una recta, los valores de m y b obtenidos en loslímites anteriores deben ser reales. Recordemos que en el caso particularm = 0, la asíntota es horizontal.Para la función f del ejemplo tenemos

m = lımx→+∞

x2 + 1x2 − x = 1 ∈ R , h = lım

x→+∞(x

2 + 1x − 1 − 1⋅x) = 1 ∈ R ,

por lo que la recta y = x + 1 es la asíntota oblicua en +∞.Repitiendo el proceso cuando x→ −∞, se tiene que

lımx→−∞

x2 + 1x2 − x = 1 ∈ R , lım

x→−∞(x

2 + 1x − 1 − 1 ⋅ x) = 1 ∈ R ,

y, por tanto, la recta y = x+1 es también asíntota oblicua de f , en este casocuando x→ −∞ .

à Estudio de f ′ :La función f es derivable en D = R/{1} . Derivando obtenemos

f ′(x) = x2 − 2x − 1(x − 1)2 . (3.21)

Resolviendo la ecuación f ′(x) = 0 obtenemos los puntos críticos de f , en estecaso {1 −

√2,1 +

√2}. A continuación estudiamos el signo de f ′ en los distintos

intervalosx ∈ (−∞,1 −

√2) f ′(x) > 0 ⇒ f creciente

x ∈ (1 −√

2,1) f ′(x) < 0 ⇒ f decreciente

x ∈ (1,1 +√

2) f ′(x) < 0 ⇒ f decreciente

x ∈ (1 +√

2,+∞) f ′(x) > 0 ⇒ f creciente

Por tanto, f alcanza un máximo local en x = 1 −√

2, y un mínimo local enx = 1 +

√2. Los puntos correspondientes son M = (1 −

√2, f(1 −

√2)) y m =

(1 +√

2, f(1 +√

2)) .


3.11. Anexo I: Representación gráfica de funciones 123

à Estudio de f ′′ :Si todo el estudio anterior no ha aportado información suficiente sobre la gráficade f , se puede hacer uso de la derivada segunda. De la misma forma que con f ′estudiamos el crecimiento de una función, con la derivada segunda f ′′ estudiamosel grado de curvatura de f .

f ′′(x) ≫ 0 f ′′(x) > 0 f ′′(x) = 0 f ′′(x) < 0 f ′′(x) ≪ 0

Si f ′′(x) < 0 para todo x de cierto dominio I, se dice que f es cóncava en I. Sif ′′(x)>0 para todo x ∈ I, se dice que f es convexa en I.

Si una función tiene derivada segunda nula en todos sus puntos, entonces, nece-sariamente f será una recta. A los puntos donde f es continua y derivable y la deri-vada segunda cambia de signo, se les suele llamarpuntos de inflexión. Estos se obtienen a partir de f ′′(x) de manera análoga acomo se obtienen los extremos relativos a partir de f ′(x).

Derivando la expresión (3.21) se obtiene

f ′′(x) = 4(x − 1)3 .

Separamos el dominio en diferentes intervalos utilizando los valores críticos def ′. Para ello necesitamos las raíces de la ecuación f ′′(x) = 0 . En este caso no hayraíces para f ′′, por lo que tenemos

x ∈ (−∞,1) f ′′(x) < 0 cóncava

x ∈ (1,+∞) f ′′(x) > 0 convexa

Puede resultar útil resumir en una tabla los resultados obtenidos durante el desarro-llo de los puntos anteriores, evaluando la función f en los puntos notables que vayanapareciendo.



x f(x)

0 −1

1+ +∞

1− −∞

1 −√

2 2 − 2√

2 ≃ −0.83

1 +√

2 2 + 2√

2 ≃ 4.83 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

8

10


3.12. Anexo II: Algoritmos 125

3.12. Anexo II: Algoritmos

Algoritmo del método de bisección

Dada una función f continua en [a, b] tal que f(a) ⋅f(b) < 0, hallaruna raíz de f(x) = 0.Entrada: a, b, TOL, número máximo de iteraciones N0.Salida: Solución aproximada p, o mensaje de error.

Paso 1 Tomar i = 1Paso 2 Mientras i ≤ N0, hacer Pasos 3-6.

Paso 3 Tomar p = (a + b)/2Paso 4 Si f(p) = 0, ó (b − a)/2 < TOL, entonces

SALIDA (p); PARARPaso 5 Tomar i = i + 1Paso 6 Si f(a) ⋅ f(p) > 0 tomar a = p

en otro caso tomar b = p

Paso 7 SALIDA (El método no ha convergido después deN0 iteraciones); PARAR

Algoritmo del método de Newton-Raphson

Dada una aproximación inicial x1, encontrar una raíz de f(x) = 0.Entrada: x1, TOL, número máximo de iteraciones N0.Salida: Solución aproximada p, o mensaje de error.

Paso 1 Tomar i = 1Paso 2 Mientras i ≤ N0, hacer Pasos 3-6.

Paso 3 Tomar p = x1 − f(x1)/f ′(x1)Paso 4 Si ∣p − x1∣ < TOL, entonces

SALIDA (p); PARARPaso 5 Tomar i = i + 1Paso 6 Tomar x1 = p

Paso 7 SALIDA (El método no ha convergido después deN0 iteraciones); PARAR


Bibliografía

[1] R. A. Adams. Cálculo. Editorial Addison Wesley, Madrid, 2009.

[2] A. García y otros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático enuna variable. Editorial CLAGSA, Madrid, 1993.

[3] B. García, I. Higueras, T. Roldán. Análisis matemático y métodos numéri-cos. Universidad Pública de Navarra (2ª edición revisada), 2007.

[4] J. L. López. Álgebra lineal. Universidad Pública de Navarra, 2007.

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Tema 2 Matematicas

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