TEMA 2. MODELOS UNIVARIANTES LINEALES (I). MODELOS … · Guía sobre la utilización ... amplio de...
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1 [email protected] Guía sobre la utilización del material didáctico de esta asignatura, • Cada diapositiva está construida con poco texto para que su proyección en clase resulte visible de forma cómoda a toda la audiencia.Esto también facilita su lectura y estudio sobre la pantalla,sin embargo conlleva que su impresión abarca un número amplio de hoias.Este se puede reducir imprimiendo dos o incluso cuatro diapositivas por hoja. • Para facilitar la comprensión del material ,los gráficos se repiten siempre que pueden servir de ilustración para la cuestión tratada.Estas repeticiones pueden omitirse a la hora de imprimir el material. • Algunas cuestiones se tratan con un poco más de profundidad o detalle del que luego se ha visto en clase.Estas diapositivas de mayor detalle,al igual que las correspondientes a gráficos repetidos, se identifican con un X en el ángulo inferior derecha de las diapositivas en cuestión. • En la hoja web los diferentes temas se ofrecen en dos versiones.Una ,la más detallada y con repeticiones gráficas,y otra abreviada.El alumno puede imprimir cualquiera de las dos. [email protected] TEMA 2. MODELOS UNIVARIANTES LINEALES (I). MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTAS. MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD ESTOCÁSTICAS. MODELOS CON ESQUEMAS TEMPORALES FINITOS EN LA INCORPORACIÓN DE LAS INNOVACIONES: MODELOS MA e IMA.
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1
Guía sobre la utilización del material didáctico de esta asignatura,
• Cada diapositiva está construida con poco texto para que su proyección en clase resulte visible de forma cómoda a toda la audiencia.Esto también facilita su lectura y estudio sobre la pantalla,sin embargo conlleva que su impresión abarca un número amplio de hoias.Este se puede reducir imprimiendo dos o incluso cuatro diapositivas por hoja.
• Para facilitar la comprensión del material ,los gráficos se repiten siempre que pueden servir de ilustración para la cuestión tratada.Estas repeticiones pueden omitirse a la hora de imprimir el material.
• Algunas cuestiones se tratan con un poco más de profundidad o detalle del que luego se ha visto en clase.Estas diapositivas de mayor detalle,al igual que las correspondientes a gráficos repetidos, se identifican con un X en el ángulo inferior derecha de las diapositivas en cuestión.
• En la hoja web los diferentes temas se ofrecen en dos versiones.Una ,la más detallada y con repeticiones gráficas,y otra abreviada.El alumno puede imprimir cualquiera de las dos.
TEMA 2.
MODELOS UNIVARIANTES LINEALES (I).
MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD DETERMINISTAS.
MODELOS DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD ESTOCÁSTICAS.
MODELOS CON ESQUEMAS TEMPORALES FINITOS EN LA
INCORPORACIÓN DE LAS INNOVACIONES: MODELOS MA e IMA.
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Objetivos del tema
Un primer objetivo es que el alumno capte laimportancia de la tendencia en series temporales, reflexionando sobre los factores que la determinan y en consecuencia las características con las que las tendencias aparecen en las series temporales:
(1)evolución suave, (2)pero de naturaleza estocástica(3)con rupturas de tanto en tanto de su estructura.
OBJETIVOS DE ESTE TEMA• RECONOCER DIFERENTES TIPOS DE TENDENCIA
Y ESTUDIAR DIFERENTES MODELOS PARA CADA CASO.
• DISTINGUIR ENTRE MODELOS DETERMINISTAS Y MODELOS ESTOCÁSTICOS DE RAICES UNITARIAS.
• ABUNDAR SOBRE EL CONCEPTO DE ESTACIONALIDAD Y CONSIDERAR MODELOSDETERMINISTAS Y ESTOCÁSTICOS PARA LA MISMA.
3
OBJETIVOS DE ESTE TEMA• ANALIZAR LA PERSISTENCIA EN LOS MODELOS
ESTOCÁSTICOS DE RAICES UNIOTARIAS.
• MODELOS CON ASIMILACIÓN INMEDIATA DE LA PERSISTENCIA(SENDERO ALEATORIO).
• MODELOS CON UN RETRASO FINITO EN LA ASIMILACIÓN DE LA PERSISTENCIA -IMA(1,1) .
• LA TRANSFORMACIÓN ESTACIONARIA DE LOS MODELOS ANTERIORES.LOS MODELOS MA(Q).
Duración:
4 horas teóricas y 1,5 de prácticas.
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2.1. Modelos deterministas para la tendencia. Tendencias segmentadas.
Series Anuales
Producto Nacional Bruto en España(Millones de euros)
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
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Series AnualesIndice de Precios al Consumo en España
0
20
40
60
80
100
12019
48
1953
1958
1963
1968
1973
1978
1983
1988
1993
1998
2003
TENDENCIAS EN SERIES TEMPORALES TENDENCIAS EN SERIES TEMPORALES ECONÓMICASECONÓMICAS
• SI UNA SERIE TEMPORAL VA AUMENTANDO (O DISMINUYENDO) SISTEMÁTICAMENTE SE DICE QUE TIENE TENDENCIA.
• PRINCIPALES FACTORES QUE CAUSAN LAS TENDENCIAS:– 1. AUMENTOS EN LA POBLACIÓN.– 2. INFLACIÓN MANTENIDA EN EL TIEMPO.– 3. CAMBIOS TECNOLÓGICOS (COMUNICACIONES, ELECTRÓNICA, INFORMÁTICA,
ETC.– 4. CAMBIOS LENTOS EN LAS PREFERENCIAS, HÁBITOS, REGULACIONES SOCIALES,
COSTUMBRES, ETC.• TENDENCIAS DETERMINADAS EXCLUSIVAMENTE POR (1) Y (2)
– DETERMINADAS POR (1)• EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS EN TÉRMINOS RELATIVOS A LA
CORRESPONDIENTE POBLACIÓN: TASA DE PARO, RENTA NACIONAL PER CÁPITA, ETC.– DETERMINADAS POR (2)
• EN TAL CASO SE PUEDEN EXPRESAR LOS DATOS EN TÉRMINOS REALES, ES DECIR, EN TÉRMINOS DE PRECIOS CONSTANTES: INGRESOS TURÍSTICOS EN TÉRMINOS REALES, ÍNDICE DE PRODUCCIÓN INDUSTRIAL, ETC.
• GENERALMENTE LAS TENDENCIAS VIENEN CAUSADAS POR OTROS FACTORES ADEMÁS DE (1) Y (2). ASÍ,
– DEBIDO A (3) VARIABLES PER CÁPITA EN TÉRMINOS REALES TODAVÍA MUESTRAN TENDENCIA, PIB, PRODUCCIÓN INDUSTRIAL, ETC.
– DEBIDO A (4) VARIABLE COMO EMPLEO FEMENINO, ESTUDIANTES GRADUADOS, ETC.
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CARACTERÍSTICAS DE LA TENDENCIA
• características con las que las tendencias aparecen en las series temporales:
• (1) evolución suave, • (2) Pero de naturaleza estocástica• (3)con rupturas de tanto en tanto de su
estructura
SUAVIDAD EN LAS TENDENCIAS
a) La primera propiedad favorece que en un primer paso se puedan emplear estructuras determinísticas paraaproximar la tendencia.
b) Esto es más factible en series macroeconómicas de economías desarrolladas como el consumo privado en la economía de Estados Unidos.
c) Dado (3) las tendencias tendrán en la mayor parte de los casos – siempre que las series sean suficientemente largas – segmentaciones.
d) Las rupturas de nivel con frecuencia pueden interpretarse como cambios estructurales y su ocurrencia en las series económicas será considera a lo largo de todo el curso.
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Series AnualesGasto en Consumo de los Hogares en EE.UU.
(Millones de dólares)
0
1000000
2000000
3000000
4000000
5000000
6000000
7000000
8000000
9000000
1948
1953
1958
1963
1968
1973
1978
1983
1988
1993
1998
2003
MODELIZACIÓN DE TENDENCIAS DETERMINISTAS
• SE VIO EN EL PUNTO 1.6
8
Series AnualesProducto Interior Bruto en España
(Miles de millones de pesetas)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
1850
1855
1860
1865
1870
1875
1880
1885
1890
1895
1900
1905
1910
1915
1920
1925
1930
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
9
SERIES CON TENDENCIAS SEGMENTADAS
• MODELIZACIÓN DEL PIB ESPAÑOLCON RUPUTURA DE NIVEL POR LA
GUERRA CIVIL Y CON CAMBIO DE PENDIENTE CON LA
APERTURA INTERNACIONAL EN 1960
2.2. Acumulación en el conocimiento ytendencias estocásticas de raíz unitaria.
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LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS
• Las tendencias hacen referencia a la evolución acíclica a largo plazo en una serie temporal.– La tendencias T(d): implican que no hay certidumbre
alguna sobre la evolución futura de la tendencia. NOREALISTA.
– Las tendencias T(ds): indican que ha habido segmentación tendencial en el pasado y, con una probabilidad de uno, podríamos decir que también aparecerán en el futuro, pero no sabemos ni cuándo ni con qué magnitud.
LA INCERTIDUMBRE EN LAS TENDENCIAS
• Con las tendencias T(ds), nuestro análisis está condicionado por nuestro conocimiento de los puntos segmentados en el pasado.
• En las predicciones con modelos T(ds)suponemos que la última segmentación persistirá durante el período de la predicción.
• Con las tendencias T(ds) hemos de observar los nuevos datos por si hubiera una segmentación nueva, en cuyo caso ha de ser incluida en el modelo.
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LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1)
• Los modelos T(ds) son más realistas que los T(d),porque reflejan incertidumbre sobre el futuro.– En el modelo T(1s)
el nivel de la tendencia sólo cambia en th0, …, tr.– Si aparecen tales cambios con mucha frecuencia:
– xt = xt-1 + wt (2)los podría captar.
- En (2) hay un coeficiente unitario (raíz) para la incorporaciónPLENA del pasado. La tendencia con oscilaciones locales está en Xt-1 y es, por tanto, ESTOCÁSTICA.
,0 tjt
r
tjjt waax (1)
TENDENCIAS Y ACUMULACIÓN DE CONOCIMIENTOO
Las tendencias vienen determinadas por la acumulación de conocimiento tecnológico y también de todo tipo de conocimiento que lleva a una mayor eficiencia en la organización y desarrollo de las instituciones.
Otro factor causante de las tendencias son los cambios en los gustos y hábitos de los individuos así como los cambios en las regulaciones administrativas y sociales.
12
[email protected]@est-econ.uc3m.es
Acumulación y esquemas de raicesunitarias
• La naturaleza de estos factores lleva a considerar para la formulación de las tendencias un esquema de ecuaciones en diferencias finitas con persistencia con un componente estocástico.
• Este esquema matemático se denomina de raíz unitariay de la tendencia resultante se dice que tiene una raíz unitaria.
• A la serie con tal tipo de tendencia se denomina integrada de orden uno: I (1).
.1 ttt wXX
• Los datos transformados no tienen evolutividad.• Decimos que Xt es integrada de orden 1 porque si
tomamos las primeras diferencias una vez, los datos resultantes son estacionarios. Xt se denomina I(1). La terminología I(·) indica que la tendencia es estocástica.
LAS TENDENCIAS ESTOCÁSTICAS: SERIE I(1)
• La serie Xt en (2) se caracteriza por el hecho de que tomando las primeras diferencias
tttt WXXX 1(3)
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Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar
60
80
100
120
140
160
180
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Período: 2/01/1990 -25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)
Figura 23.1
Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar
-7.5
-5.5
-3.5
-1.5
0.5
2.5
4.5
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Período: 2/01/1990 - 25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)
Figura 23.2
14
2.3. Procesos integrados. Procesos integrados de orden I (1, mS).
DIVERSIDAD DE TENDENCIAS
Las tendencias se presentan en las diversas series económicas dependiendo de cómo se incorpora esa acumulación de conocimiento y cambios en los hábitos y organización social en la magnitud económica que cada serie representa.
Así, en sectores productivos que se van quedando estancados, por ejemplo la minería en la economía española, los incrementos en la incorporación tecnológica tienen media cero y la tendencia en dicha serie presenta oscilaciones locales de nivel pero no muestra crecimiento sistemático, se dice que es una serie integrada con media cero en sus incrementos: I (1,0).
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Index of Mining and quarrying total in Spain
Source: EcoWin
76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
2000
=100
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
TENDENCIAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO
Si embargo, en la mayor parte de los casos los cambios tecnológicos tienen media distinta de cero y las series presentan crecimiento sistemático.
Si dicha media es constante a la serie se le denomina I(1,1).
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Quarterly US Real Gross Domestic Product (X9t)
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
900019
64
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
Period: I-1964 / II-1999Source: BEAAt constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted.
Figure 2.12
Quarterly variations US Gross Domestic Product
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
Period: I-1964 / II-1999Source: BEAAt constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted.
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SERIES INTEGRADAS CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO
• La Serie anterior de tipo de cambio I(1) solo muestra oscilaciones locales de nivel.
• Una serie integrada con crecimiento sistemático se puede integrar como:
Zt = Zt-1 + b + wt (4)• Tomando las primeras diferencias
Zt = b + wt (5)• Comparando:
Zt en (5) conXt en (3)
vemos que la media de Xt es nula y que la media de Zt es b.Por lo tanto Xt solo tiene oscilaciones locales de nivel y Zt tiene
crecimiento sistemático.Los dos son I(1), pero muy distintas.
LA TERMINOLOGÍA I(1,m)• Para incluir el hecho de que la media de Xt
puede o no ser nula en las series I(1), usamos la terminología I(1,m) con m = 0 si la media de Xt es nula y
m = 1 si la media de Xt no es nula.• Así, Xt en (2) es I(1,0) y• Zt en (a) es I(1,1).• En I(1,m)
h = 1 + mnos da el número de factores tendenciales: 1 ó 2.
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SERIE I(1,0)
• LA SERIE DE TIPO DE CAMBIO
La serie diferenciada tiene media cero
Tipo de Cambio Diario Yen-Dólar
60
80
100
120
140
160
180
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Período: 2/01/1990 -25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)
Figura 23.3
X
19
Variaciones Diarias en el Tipo de Cambio Yen-Dólar
-7.5
-5.5
-3.5
-1.5
0.5
2.5
4.5
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Período: 2/01/1990 - 25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)
Figura 23.4
X
SERIE I(1.1)
• LA SERIE DE PIB
• La serie diferenciada tiene media distinta de cero.
• En consecuencia ,tiene crecimiento y éste es constante.
20
Quarterly US Real Gross Domestic Product (X9t)
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
900019
64
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
Period: I-1964 / II-1999Source: BEAAt constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted.
Figure 2.12
X
Quarterly variations US Gross Domestic Product
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
Period: I-1964 / II-1999Source: BEAAt constant 1996 prices. Non Seasonally adjusted.
X
21
TENDENCIAS CON CRECIMIENTONO CONSTANTE
En realidad los incrementos tecnológicos no tienen media constante.
Esta puede cambiar de tanto en tanto y tener en consecuencia una estructura segmentada. Una serie temporal con tales características se le denominará I (1,1S). La serie histórica sobre el producto interior bruto de la economía española,elaborada por el Prof.Leandro Prados de la Escosura,es un buen ejemplo de ello.
Series AnualesProducto Interior Bruto en España
(Miles de millones de pesetas)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
1850
1855
1860
1865
1870
1875
1880
1885
1890
1895
1900
1905
1910
1915
1920
1925
1930
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
X
22
TENDENCIAS CON DOS RAICES UNITARIAS
En otros casos los cambios de media puedenser más frecuentes y ellos mismos pueden seguir un esquema de raíz unitaria, queacumulada a la anterior genera tendencias con dos raíces unitarias y a las series con tales características se les denomina I (2,0).
Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía
020406080
100120140160180200
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Período: 1958.01- 2000.01Fuente: BLS
Figura 23.6
23
La inflación tendencial en USA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Período: 1958.01- 2000.01Fuente: BLS
* La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de preciosal consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía.Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial.
Figura 23.7
LAS TENDENCIAS PLENAMENTE ESTOCÁSTICAS
• en Xt = Xt-1 + b + wt
– el factor de nivel Xt-1 es estocástico pero– el factor incremental b es determinista.
• Un modelo con factor incremental estocástico esXt = Xt-1 + (Xt-1 - Xt-2) + wt (6)
• Tomando las primeras diferenciasXt = Xt - Xt-1 = (Xt-1 - Xt-2) + wt, (7)
de modo que en (7) Xt aún tiene evolutividad y de hecho es I(1,0).• Diferenciando de nuevo
Xt = (Xt - Xt-1) - (Xt-1 - Xt-2) = wt, (8)wt es estacionario.
• Así (6)Xt ~ I(2,0) Con (6) se incluyen dos coeficientes
unitarios(raices) Xt ~ I(1,0)Xt ~ I(0,0)
24
Indice de Precios de Consumo Mensual USA sin alimentos y energía
020406080
100120140160180200
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Período: 1958.01- 2000.01Fuente: BLS
Figura 23.6
X
INDICES DE PRECIOS E INFLACIÓN
• LOS INDICES PRECIOS ,O MÁS PRECISAMENTE, SU TRANSFORMACIÓNLOGARITMICA ,SUELEN SER SERIES I(2,0).
• EN CONSECUENCIA,LA INFLACIÓN –LASPRIMERAS DIFERENCIAS DEL LOGARITMO DE LOS PRECIOS – SON SERIES I(1,0).I(1,0).
• LA INFLACIÓN TIENE EVOLUTIVIDAD DEL TIPO OSCILACIONES LOCALES DE NIVEL.
• La transformación estacionariaSE OBTIENE APLICANDO DOS VECES PRIMERAS DIFERENCIAS A LA TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA DE LOS PRECIOS.
25
La inflación tendencial en USA
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Período: 1958.01- 2000.01Fuente: BLS
* La inflación tendencial se ha definido como la tasa de crecimiento del índice de preciosal consumo que se obtiene sin incluir los precios de los alimentos y la energía.Aquí usamos la tasa de crecimiento interanual para medir la inflación tendencial.
Figura 23.7
X
LAS RAICES UNITARIAS COMO UN ESQUEMA CON SOLIDEZ ANTE LOS
CAMBIOS
Los esquemas de raíces unitarias tienen la propiedad de solidez ante los cambios, ya que una vez ocurridos éstos los incorporan inmediatamente.
Esto hace que su imposición al modelar una serie temporal sea muy útil para la predicción, aunque no necesariamente para representar las propiedades tendenciales de la serie en cuestión.
26
LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS
• En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando dveces.
• En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2),Xt = a + bt + wt (9)
Xt = b + (wt - wt-1), (10)Xt también es estacionario, pero el término residual (Wt - Wt-1)
tiene malas propiedades estocásticas.• Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina
propiamente por regresión.• No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias
deterministas.• A no ser que observemos una tendencia determinista muy
estable, usaremos modelos I(d,m) con d 0.
2.4. Modelización determinista de laestacionalidad.
27
Producto Interior Bruto en la Euro área(Millones de euros)
1200000
1250000
1300000
1350000
1400000
1450000
1500000
1550000
1600000
1650000
1991
-01
1992
-01
1993
-01
1994
-01
1995
-01
1996
-01
1997
-01
1998
-01
1999
-01
2000
-01
2001
-01
2002
-01
2003
-01
2004
-1
X
Otro aspecto permanente de muchas series temporales con frecuencia inferior a la anual es la oscilación de su nivel de forma sistemática dentro del año. A tal propiedad se le denomina estacionalidad.
Debido a su evolución suave se puede modelizarmediante esquemas determinísticos.
VÉASE LA SECCIÓN1.6 SOBRE MODELOS DETERMINISTAS PARA LA ESTACIONALIDAD.
28
EL CRECIMIENTO SISTEMÁTICO CON ESTACIONALIDAD
• Un modelo que capta el crecimiento sistemático con estacionalidad podría ser:
• Donde Sjt =1 en todas las observaciones referidas a la estación j de cada año
0.• En (13)
• El crecimiento medio en cada estación.*jj bbb
bbs j/1
• El factor estacional: b*j
• En (13) los factores estacionales son deterministas.
,1
1
*1 tjt
jjtt WSbbXX (13)
01
1
*
jjb (14)
gjjh bb **
(15)
2.5. Modelización estocástica de laestacionalidad.
29
Series MensualesIngreso por Turismo en España
(Millones de euros)
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
500019
60
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
X
• De nuevo los factores meterológicos, sociales y administrativos que causan la estacionalidad son estocásticos y ésta se puede representar mediante ecuaciones en diferencias finitas estocásticas con persistencia cíclica.
• Cuando este tipo de estacionalidad aparece junto con una tendencia estocástica se tiene que una de las raíces unitarias del esquema resultante no es sobre el pasado inmediato, sino sobre el mismo periodo (estación) del año inmediatamente anterior
30
2.6. La transformación estacionaria deseries económicas.
Los esquemas de raíces unitarias implican que transformado las series, de modo que en vez de considerar los datos originales se utilizan sus incrementos o las incrementos de los incrementos – si la serie presenta estacionalidad uno de dichos incrementos será estacional –, tales transformaciones no muestran evolutividad en su nivel y, en general, serán estacionarias.
31
1980 1985 1990 1995 2000
2000
3000
CEMENT
1980 1985 1990 1995 2000
-.2
0
.2DLCEMENT
1980 1985 1990 1995 2000
-.25
0
.25
.5D12DLCEMENT
1980 1985 1990 1995 2000
-.5
0
.5DD12DLCEMEN
LA DIFERENCIACIÓN PARA ELIMINAR LAS TENDENCIAS
• En la serie I(d,m), eliminamos la tendencia diferenciando dveces.
• En la serie T(2), se puede denominar también I(0,2),Xt = a + bt + wt (9)
Xt = b + (wt - wt-1), (10)Xt también es estacionario, pero el término residual (Wt - Wt-1)
tiene malas propiedades estocásticas.• Esto de debe al hecho de que en (9) la tendencia se elimina
propiamente por regresión.• No obstante, la diferenciación también elimina las tendencias
deterministas.• A no ser que observemos una tendencia determinista muy
estable, usaremos modelos I(d,m) con d 0.
32
LOS ELEMENTOS DETERMINANTES EN LA
DEFINICIÓN DE TENDENCIAS• Los modelos del tipo
Xt = a + bt + wt or (11)Xt = Xt-1 + b + wt (12)
producen predicciones muy rígidas. Si son razonablemente adecuadas para los datos, estas predicciones serán más exactas que las que produce el modelo I(2,0).
• Pero si (11) ó (12) no son correctos, ó los parámetros a y b cambian en el período de predicción, los modelos I(2,0) resultan mejores para series con crecimiento sistemático.
• Asimismo, en estas condiciones, I(1,0) sería mejor que I(0,1s) para series con oscilaciones locales de nivel.
• Box-Jenkins proponen el uso del número máximo de diferencias.
CONCLUSIÓN
• Podemos eliminar la tendencia y la estacionalidad si aplicamos diferencias regulares y estacionales.
33
LA ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA Y LA ESTACIONALIDAD
A Serie con oscilaciones locales de nivel I(1,0)Xt = Xt-1 + Wt (33)
Xt = Wt (34)B Serie con oscilaciones locales de nivel y estacionalidad estocástica I(1,0)EE
Xt = Xt-1 - Xt-1 + … + Xt-s + Wt (35)Xt = Xt-s+ Wt (36)
sXt = Wt (37)C Serie con crecimiento sistemático en que la media del crecimiento es constante
I(1,1)Xt = Xt-1 + b + Wt (38)
Xt = b + Wt (39)D Como (C) con estacionalidad estocástica I(1,1)SS
Xt = Xt-1 + s ·b - Xt-1 + … + Xt-s + Wt, (40)Xt = Xt-s + s · b +Wt (41)
sXt = s ·b + Wt (42)E Serie con crecimiento estocástico y estacionalidad estocástica I(2,0)SS
Xt = Xt-1 + Xt-1 - {LUs-1 (L) Xt-1 - Xt-1 } + Wt (43)
sXt = Wt (44)
LAS DESVIACIONES DE LA MEDIA EVOLUTIVA DE UNA SERIE
TEMPORAL• Se podría representar una serie temporal con tendencia y
estacionalidad como sigue:Xt = Tt · St · Wt (4)
donde Tt es el factor tendencialSt es el factor estacional, yWt es un factor que capta las desviaciones de Xt de la
senda de los factores evolutivos Tt y St.• Por construcción, Wt no muestra comportamiento evolutivo.• Los componentes de Wt son las oscilaciones en el ciclo de
negocios y las fluctuaciones a corto plazo.• Resultan de la dependencia temporal de los datos de Wt.
34
2.7. El proceso sendero aleatorio:persistencia e incorporación plena de las innovaciones en el momentoque aparecen.
MODELOS DE SERIES TEMPORALES
Consideramos
wt f (wt-1, wt-2 , ...) + rt (residuos) (1)
Si,
• rt es ruido blanco nuestro modelo no se puede mejorar
• rt no es ruido blanco:es predecible
se puede construir un modelo para él
y cambiar (1)
35
SENDERO ALEATORIO
En economía las series formuladas en términos relativos– rentabilidades financieras, tasa de paro, tipos de cambio, precios relativos – no muestran crecimiento sistemático y su tendencia se reduce a meras oscilaciones locales de nivel y son series I (1,0).
El esquema más sencillo de series I (1,0) es el denominado sendero aleatorio en el que el valor en el momento t viene determinado por
Xt = Xt-1 + at, (1)donde at es el shock aleatorio que se incorpora a la serie
en cada momento t.La raíz unitaria de la tendencia se refleja en el
coeficiente de Xt-1 en (1).
Paseo AleatorioMercados eficientes:
• Un enorme número de agentes con informaciónperfecta.
• En consecuencia, actúan adaptando suscomportamientos completamente a la informacióndisponible y dado un precio pt para el momento tcomo no hay más información disponible, éste es el precio que toman para el futuro.
• Pero en el momento (t+1) ocurren sucesosinesperados y los agentes se adaptaninmediatamente a la nueva información y se forma un nuevo precio. pt+1= pt + at
36
Paseo aleatorio
• En este modelo la variable pt no es estacionaria, es I(1,0), por lo tanto, muestra oscilaciones locales del nivel y
wt= pt= pt -pt-1 =at
es impredecible.
El modelopt+1= pt + at+1
Se denomina un PASEO ALEATORIO.
Tasa de cambio diaria yen-dólar
60
80
100
120
140
160
180
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Período: 2/01/1990 -25/02/2000Fuente: FRED (Federal Reserve Economic Data)
Figura 22.5
X
37
4). Variaciones diarias en el tipo de cambio Euro/Dólar.
Gráfico 4. VARIACIONES DIARIAS EN EL TIPO DE CAMBIO EURO/DÓLAR.
VARIACIONES DIARIAS EN EL TIPO DE CAMBIO EURO / DOLAR
-0.020
-0.010
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
ene-
99
may
-99
sep-
99
ene-
00
may
-00
sep-
00
ene-
01
may
-01
sep-
01
ene-
02
may
-02
sep-
02
ene-
03
may
-03
sep-
03
ene-
04
Fuente: Banco Central Europeo Fecha: 6 de febrero de 2004
X
• En estos mercados, las innovaciones se absorbencompletamente cuando se producen y los cambios en losprecios sólo dependen de las innovaciones contemporáneas, toda la información previa está contenida en xt-1
• Los cambios en los precios en mercados eficientes no son predecibles. Los mercados monetarios, de divisas, etc., están muy cerca de la eficiencia, por lo tanto sus precios: tipos de interés, tipos de cambiossiguen comportamientos similares a:
xt = xt-1 + at
y el ejercicio de predicción es muy sencillo
th)t( xx̂ h
38
2.8. Otros procesos con persistencia e inercia con la incorporación plena de las innovaciones.
MODELOS INTEGRADOS Y DEDE MEDIAS MOVILES
• En el modelo de sendero aleatorio los shocks se incorporan plenamente desde el momento en que aparecen, no tienen efectos adicionales posteriores.
• Esto es una característica de las series financieras y (1) es un buen modelo de partida para dichas series.
• Sin embargo, en otras muchas series económicas la incorporación de los shocks se hace con una cierta inercia, de modo que su shock tiene efecto en el momento en que aparece y efectos adicionales en momentos posteriores.
39
• Es decir la incorporación persistente de los shocks en la serie temporal tarda un tiempo en alcanzar su efecto total.
• Esto hace que la transformación estacionaria en dichas series siga un modelo denominado de medias móviles.
• Por ejemplo:
en el que su shock tiene efecto en el momento en que aparece y en uno más, el inmediato siguiente.
• A este modelo sobre Wt se le denomina de medias móviles de primer orden y se representa como MA(1).
(Xt – Xt-1) = Wt (transformación estacionaria) = - 1at-1 + at (2)
Xt = Xt-1 - 1at-1 + at (3)
• En tal caso se dice que Xt sigue un modelo integrado de orden uno con medias móviles de orden uno y se representa como IMA (1,1).
• Este modelo se puede generalizar y tenemos los modelos de medias móviles de orden finito q, para las transformaciones estacionarias Wt.
• El modelo (2) se puede formular en términos de la variable original, por ejemplo,
40
Además de analizar las propiedades estadísticas de Wt esimportante considerar la forma en que en Xt se realiza la incorporación persistente de las innovaciones.
En este punto el alumno debe ser consciente que el objetivo es la serie original, que en ella la estructura del modelo– ecuación (3) – es única y que de ella se deriva una transformación que es estacionaria con dependencia temporal.
La propiedad de estacionariedad es la que permitirá la estimación e inferencia sobre dichas características de dependencia temporal.
2.9. El proceso de medias móviles de primerorden MA(1), para series estacionarias.Los procesos IMA(1,1).
41
wt se explica como una función de sus innovaciones pasadas (a1, a2, ..., at-1)
• Modelo de Medias Móviles de orden 1wt - at-1 + at MA(1)
at es un ruido blanco con :
Var(at) 2a
MODELOS DE MEDIAS MÓVILES (MA)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1
0
1
2
MA(1);_-0.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-3
-2
-1
0
1
2
3 MA(1);_0.5
Propiedades: w 0 , o (1+ 2) 2a
Ejemplo:wt at + 0.5 at-1 wt at - 0.5 at-1
• Dependencia temporal en una serie temporal MA(1).• Se mide a través de la correlación entre wt y wt-j
corr (wt, wt-j), j= 1,2,3..
Se denominan AUTOCORRELACIONES.
t
jttjtt wvar
w,wcovw,wcorr
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
Ejemplos:wt at + 0.5 at-1 wt at - 0.5 at-1
Autocorrelaciones en una serie temporal MA(1).
42
• La función de autocorrelación representa la dinámica del modelo de series temporales.
• La contrapartida muestral a la función de autocorrelaciónes el correlograma (rk). Se calcula como:
La Función de Autocorrelación (FAC) y el correlograma
,...2,1k
w
ww
rn
1t
2t
kn
1t
ktt
k
FAC
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0CORRELOGRAMA
-.75
-.5
-.25
0
.25
.5
.75
1
Ejemplo: wt at - 0.5at-1
• If < 0 1 > 0Una observación a un lado de la media tiende a ser seguida por una observación en el mismo lado de la media.
• If = 0La serie resultante es ruido blanco.
• If > 0 1 < 0La serie resultante es más oscilante que un ruido blanco.
211
En una serie temporal MA(1) sólo 1 0
43
Ejemplo:wt = at + 0.5 at-1 ruido blanco wt = at - 0.5 at-1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1
0
1
2
WN
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-3
-2
-1
0
1
2
3 MA(1);_0.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1
0
1
2
MA(1);_-0.5
Por lo tanto:• (1) Una serie ruido blanco es impredecible.• (2) Una serie MA(1) permite realizar predicciones un
período por delante con un máximo valor de R2 < 0.5.
•Una medida de predictibilidad : R2
Dado que -1< <1, se tiene que 0<R2 < 0.5
)()(
11
12
T
T
wVareVar
R)1()1(
1 2
2
22
22R
44
• La innovación at tiene efecto en wt y wt+1 . Seaxt = xt-1 + wt
xt = xt-1 - at-1 + at
xt-1 = xt-2 - at-2 + at-1
xt = xt-2 - at-1+ at - at-2 + at-1
= xt-2 + at+ (1- )at-1 - at-2…...
xt = xo + at+ (1- )at-1 +(1- )at-2 +….
Una innovación que entra en el sistema tiene un efecto permanente en el modelo de magnitud (1- ) veces su valor.
2.10. La característica de dependenciacon punto de corte en los modelos MA(q).
45
wt at - 1 at-1 - 2 at-2
Ejemplo: Wt = at - 0.4 at-1 - 0.3 at-2
Modelo de Medias móviles de orden 2: MA(2)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-3
-2
-1
0
1
2
Wt
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
FAC
• Sólo la innovación actual y 2 innovaciones pasadasentran en el modelo
w = 0 , o = (1+ 12+ 2
2) a2
• Hay un corte en la función de autocorrelación después del retardo2.
• Una innovación tiene efectos adicionales en dos periodosde tiempo posteriores a su aparición.
• En una serie integrada de orden uno las innovacionesalcanzan su efecto final de persistencia dos periodosdespués de su aparición..
46
wt at - 1 at-1 - 2 at-2 - … - q at-q.
• Solo la innovación actual y las q previas entran en el modelo
w = 0 , o = (1+ 12+…+ q
2) a2.
• Hay un corte en la función de autocorrelación después del retardo q.
• Las innovaciones tienen efectos adicionales durante q períodos después de su aparición.
• Ejemplo: FAC MA(6).
Un modelo de medias móviles general de orden q: MA(q)
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.11. La incorporación en un períodofinito de las innovaciones en un proceso integrado de primer orden con oscilaciones estacionarias MA(q).
47
En los esquemas de medias móviles es importante señalar que la dependencia temporal en la transformación estacionaria y la correspondiente incorporación persistente en la serie original se caracteriza por tiempo limitado, es decir se produce un punto de corte en ambos casos.
El modelo IMA(1,1) de la ecuación (3) se puede también describir como un modelo I(1,0) + MA(1). Ejemplos de series de este tipo, son las series anuales de precios relativos.
En este contexto el modelo para una serie con crecimiento sistemático será: I(1,1) – MA(q). La producción anual en un determinado sector industrial, así como muchas seriesanuales de la contabilidad nacional pueden seguir tales modelos.
Modelos para series con crecimiento y para series con
oscilaciones locales de nivel
• En este capítulo y siguientes el alumno deberá familiarizarse bien con modelos útiles para series con crecimiento, como las series de producción, ventas, demanda, importaciones, exportaciones, inversión, empleo, etc. Y
• con modelos para series formuladas en términos de ratios, como las de precios relativos, tasa de paro, etc
48
Series con crecimientoA partir del modelo sobre la serie original el alumno debe familiarizarse con los modelos que se derivan para las correspondientes tasas de crecimiento anual.
• Así, por ejemplo, a partir del modelos de las exportaciones anualesa Europa de una determinada empresa se puede derivar el modelo sobre la tasa de crecimiento anual de dichas exportaciones.
• Captar las diferencias en las estructuras de dichos modelos,correspondientes a la distinta naturaleza de las variables en cuestión, nivel de exportaciones y tasa de crecimiento anuales de las mismas,
• interpretar sus parámetros y• evaluar la incertidumbre existente sobre la evolución de estas
variables o• apreciar el impacto que las innovaciones que van apareciendo
tienen en las diferentes evoluciones futuras de las mismas • constituye un objetivo básico en estos temas
