ANA BALLESTER JIMÉNEZ DIBUJO TÉCNICO 2º BACH

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TEMA 2

POTENCIA

Eje radical y centro radical.

Sección áurea.

Rectángulo áureo

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1. POTENCIA Una circunferencia y un punto cualquiera, que puede ser exterior P, interior Q o perteneciente a ella R, se

relacionan entre sí mediante un valor constante K. Esta relación tiene aplicación en la resolución de algunos casos de

tangencias. Las rectas a y b, secantes a la circunferencia de centro O y que pasan

por el punto P, cortan a la circunferencia en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente.

Del análisis de la figura se deduce que los triángulos PAB’ y PBA’ son semejantes por tener los ángulos iguales, ya que dos de ellos lo son: el vértice P es común en ambos triángulos y los de vértices A’ y B’ por ser ángulos inscritos a la circunferencia y abarcar ambos el mismo arco AB de ella. Por tanto, los lados de estos triángulos son proporcionales y se cumple:

PA·PA’ = PB·PB’

Si se generaliza la anterior expresión cuando se agregan secantes concurrentes en P, se obtiene:

PA·PA’ = PB·PB’ = PC·PC’ = PD·PD’ = … = K K es la constante que da el valor de la potencia del punto P respecto

de la circunferencia de centro O.

En el caso de que las rectas pasen por P y sean tangentes a la circunferencia, se cumplirá:

PT1·PT1 = PT2·PT2 = K

POTENCIA CON P EXTERIOR La potencia K de un punto P exterior a una circunferencia respecto de ésta es un valor positivo igual al producto de los segmentos que se determinan en una secante trazada desde P o al cuadrado del segmento tomado sobre una de las tangentes trazadas desde P cuyos extremos son P y el punto de tangencia.

PA·PA’ = PB·PB’ = PT2 = K

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POTENCIA CON Q INTERIOR La potencia de un punto Q interior a una circunferencia respecto de esta es negativa.

QA·QA’ = QB·QB’ = - K

POTENCIA CON R EN LA CIRCUNFERENCIA Cuando el punto R pertenece a la circunferencia, el valor de la potencia es 0, ya que uno de los segmentos es nulo.

2. EJE RADICAL El eje radical de dos circunferencias coplanarias (que se encuentran en el mismo plano) es una recta, lugar

geométrico de los puntos del plano que tiene la misma potencia (K) respecto de ambas.

Propiedades: El eje radical de dos circunferencias siempre es

perpendicular a la recta que une sus centros.

Si desde un punto P del eje radical de dos circunferencias, trazamos rectas tangentes a estas, los segmentos, cuyos extremos son el punto P y los puntos de tangencia, son iguales.

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a) EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES

b) EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES (EXTERIORES / INTERIORES)

c) EJE RADICAL DE DOS CIRUCUNFERENCIAS EXTERIORES

Procedimiento 1

Procedimiento 2

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d) EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

e) EJE RADICAL DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO

f) EJE RADICAL DE DOS PUNTOS

g) EJE RADICAL DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA

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3. CIRCUNFERENCIA COAXIALES Se llaman circunferencias coaxiales al conjunto de circunferencias que comparten un mismo eje radical

4. CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.

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5. SECCIÓN ÁUREA

Aunque algunos proyectistas o diseñadores pasen por alto la temática de la proporción áurea la realidad es que a lo largo de la historia ha sido aplicada con éxito en múltiples proyectos, diseños, edificios, fotografía… etc. Comprendiendo que la proporcionalidad ante el espectador es necesaria para obtener una visual con armonía.

En realidad, se le ha asignado muchas definiciones y nombres; El número de oro, el número dorado o número áureo, número fi, sección áurea, razón áurea, razón dorada, medida áurea o divina proporción. Representado por la letra griega Phi = 1,618034 en honor al escultor griego Fidias. Un número phi que posee muchas propiedades interesantes y a la vez emocionantes que fue descubierto en la antigüedad, no como una “unidad” sino como una relación o proporción.

Qué es la proporción áurea y su historia.

Si recordamos la historia en busca del concepto de divina proporción. Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático de Italia que se dedicó a divulgar por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3…) con base decimal y con un valor nulo (el cero) en su Libro del ábaco en 1202. Pero el gran descubrimiento de este matemático fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dio lugar a la proporción áurea en arte.

¿Qué es la Sucesión de Fibonacci?… Se trata de una serie numérica: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Es una serie infinita en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente número (1+1=2; 13+21=34). La relación que existe entre cada pareja de números consecutivos (es decir, si dividimos cada número entre su anterior) se aproxima al número áureo (1,618034).

https://youtu.be/YCG6or7sZgA

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A- Si trasladamos la secuencia numérica anterior a un rectángulo nos encontramos con el siguiente ejemplo para una mejor comprensión:

B- Si seguimos la división con la sucesión de Fibonacci:

C- Al unir diferentes vértices con una línea nos aparecerá la famosa Espiral de Oro que se encuentra muy presente en la naturaleza resultando visualmente una proporción “natural”.

D- La sección áurea de la diagonal de un pentágono es igual al lado de dicho pentágono.

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CÁLCULO GEOMÉTRICO DE LA SECCIÓN ÁUREA

Dado un segmento hallar su división áurea b = 50 mm.

Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado x = 25 mm.

Rectángulo Áureo: es aquel cuyos lados están relacionados según la proporción áurea. Lado mayor del rectángulo AB = 60 mm.

Se cumple: b/x = x/a = 1’6 mm. (Número de Oro)

Para el segmento b + x, su sección áurea es b.

El segmento a, es sección áurea de x

El lado de un pentágono es igual a la sección áurea de su diagonal.

b = diagonal X = lado

Lado mayor del rectángulo = b Lado menor del rectángulo = x

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EJERCICIOS 1. Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento, media proporcional entre los segmentos a = 64 mm y

b = 30 mm.

2. Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferencia de centro O1 y el punto O2.

3. Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma potencia respecto de las dos

circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2 se ve bajo un ángulo de 30º.

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4. Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r.

5. Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1, O2 y del punto O3.

6. El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3. Determinar el radio de las dos últimas.

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7. Dibujar un pentágono dados sus vértices A y C no consecutivos.

8. Dibujar un rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm.