TEMA 2 ÓPTICA ONDULATORIA y...

1© E.G.G. DFA III-ESI 2008/09

UNIVERSIDAD DE SEVILLA2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA (TEMA 2 – Óptica Ondulatoria y Electromagnética)

TEMA 2TEMA 2ÓÓPTICA ONDULATORIAPTICA ONDULATORIAy ELECTROMAGNy ELECTROMAGNÉÉTICA TICA

Prof. Dr. E. Gómez GonzálezDepartamento de Física Aplicada IIIE.S.Ingenieros - Universidad de Sevilla

© E.G.G. DFA III-ESI 2008/09UNIVERSIDAD DE SEVILLA2º Ing. Telecom. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS – ÓPTICA (TEMA 2 – Óptica Ondulatoria y Electromagnética)

Curso 2008/09Apuntes de ÓpticaFundamentos de Fundamentos de ÓÓpticaptica



Tema 2: Óptica Ondulatoria y Electromagnética

• Repaso: perturbación ondulatoria, velocidad de fase y velocidad de grupo• Solución ondulatoria de las ecuaciones de Maxwell• Ondas tridimensionales. Principio de Huyghens• Rayo y frente de onda• Energía, potencia e irradiancia• Cantidad de movimiento y presión de radiación• Polarización• Coeficientes de reflexión y transmisión• Interferencia• Recubrimientos antirreflectantes• Difracción• Límite de resolución• Red de difracción• Óptica de Fourier

Propiedad IntelectualEstos Apuntes, así como el material contenido en ellos, están protegidos por las normas vigentes de Propiedad Intelectual y únicamente pueden destinarse al estudio personal. Para citar la información contenida en los mismos debe indicarse:

Gómez González, E.: Fundamentos de Óptica: Óptica Ondulatoria y Electromagnética, Universidad de Sevilla 2006.así como los datos específicos de cada obra detallados en las Referencias indicadas entre corchetes [].

Estos Fundamentos de Óptica han sido específicamente adaptados como Apuntes para el Curso de Óptica que imparte el autoren la asignatura Campos Electromagnéticos de Ingeniería de Telecomunicación de la E.S.Ingenieros de la Universidad de Sevilla.Se recomienda su utilización combinada con los demás materiales y referencias de la asignatura.



Repaso: Perturbación Ondulatoria )(),()()( vtxftxxfx −=→= ψψ

• ec. del perfil Ψ(x, t=0) = f(x)• ec. diferencial 2

2

22

2 1tvx ∂

∂=

∂∂ ψψ

• si el perfil es sinusoidal → onda armónica → Síntesis de Fourier

[ ] ( )( , ) ( )x t A sen k x vt A sen kx tψ ω= − = −

• k = número de propagación (número de onda)• A = amplitudLa función de onda se repite al cabo de una distancia λ (longitud de onda) y al cabo de un tiempo τ (periodo)

2( , ) ( , )

( , ) ( , )

2,

x t x t k

x t x tv

v f

πψ ψ λλλψ ψ τ τ

πλ ωτ

= ± → =

= ± → =

= =

εωϕ += tkx ∓Fase:

Frente de ondas: lugar geométrico de los puntos con fase constante → la velocidad de propagación de la condición de fase constante es la velocidad de fase v (ó vf)

( )( )

( , ) 0

x

x t x t t

x t ctet

tx v vt x t t x kx

ϕϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ ωϕ

∂= → =

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + → = − = ±∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ): 0 . // ( ) ( , ) i k r tocondición r r k k r cte ec plano r Asen k r r t A sen k r t A e ωψ ψ ω ⋅

− ⋅ = → ⋅ = ↔ = ⋅ → = ⋅ =∓∓

( ) )()(),(: vtrikerAvtrksen

rAtrctercondición ∓∓ ==→= ψesféricas

planas

Principio de Huyghens: La propagación de una onda a través del espacio puede describirse considerando que cada punto de un frente de onda primario es un foco emisor de ondas elementales secundarias que avanzan con velocidad y frecuencia iguales a las de la onda primaria, y cuya envolvente al cabo de un cierto tiempo define la nueva posición del frente de onda primario.

Rayos: Son las trayectorias ortogonales a los frentes de onda[1]

En 3D: ( )

vector unitario en la dirección de propagación

frente de ondas

f u r u r vt

u

u r vt cte

ψ ϕ

ϕ

= ⋅ → = ⋅ −

=

→ = ⋅ − =



Repaso: Velocidad de fase y velocidad de grupo

Transmisión de información ↔ pulso → VELOCIDAD DE GRUPO

suma de componentes

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2( ) ' ' ...

1 12 cos ' ' ' '2 2

x Asen kx t Asen k x t

A k k x t sen k k x t

ψ ψ ψ ω ω

ω ω ω ω

= + = − + − =

⎧ ⎫ ⎛ ⎞= − − − + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎝ ⎠

Supongamos sólo dos componentes de frecuencias próximas: ψ1(ω) y ψ2(ω’)

Envolvente (modulada en amplitud) propagándose con vg

• en un medio dispersivo,la velocidad de la señal es la velocidad de grupo

0 0f fg f

dv dvv v

d dkλ= ↔ = → =

0

0

fg f

fg f

dvv v

ddv

v vd

λ

λ

> → <

< → >

dispersión normal:

dispersión anómala:

2''

f f fg g f f f

dv dv dvdv v v k v vk k dk dk d dω ω ω λ λ

λ ν−

= = → = + = − = −−

2k πλ=fk vω =

• si la velocidad de fase esindependiente de la longitud de onda ↔ medio no dispersivo

La relación ω= ω(k) es la relación de dispersión, propia del medio

En relación con las propiedadesdel medio (n):

1g g fd k dnv v vdk n dkω ⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ck nω = fv λν=



Solución ondulatoria de las ecuaciones de Maxwell

( )0

m pO o o

E B

B EE B J J Jt t

ρ

μ ε μ

∇⋅ = ∇ ⋅ =

∂ ∂∇× = − ∇× = + + +

∂ ∂

( ) ( )( ) 2

E Bt

E E

∂∇× ∇× = − ∇×

∂

∇ ∇⋅ −∇

=

cargas: 0dondeEρ∃ =

∇ ⋅

=( )2 E B

t∂

∇ = ∇×∂

materia: 0

0

m

p

donde J

J

∃ =

=

2o o

EE Jt tμ ε⎛ ⎞∂ ∂

∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

: 0donde fuentes J∃ =2

22 .o oEE EC de ONDA

tε μ ∂

∇ = ↔∂ 0

1

o o

donde v cε μ

= =

• Por tanto, las ecuaciones de Maxwell tienen soluciones ondulatorias en forma de ondas transversales (E, B, S), propagándose con velocidad en el vacío co ≈ 3·108 m/s

E = vector campo eléctrico ↔ define la dirección (plano) de polarizaciónB = vector campo magnéticoS = vector de Poynting ↔ dirección de propagación de la energía



Ej. 2: Una onda luminosa armónica plana desplazándose en un medio transparente está dada (en SI) por:

Determinar: i) las magnitudes ondulatorias ii) el índice de refracción del medio a la frecuencia de la onda y su la longitud de onda en el vacío ¿A qué rango del espectro corresponde?

( )6 14100 3 10 9 10 , 0, 0x y zE sen z t E Eπ= ⋅ − ⋅ = =

2 6 8

6 1

8 2

1 4 1 5

( , ) ( ),

1 0 3 1 0 ( 3 1 0 )

3 1 0 0

3 1 0 / 1 0 /

2 6 6 7

14 .5 1 0 2 .2 1 0

,

x ox x

x

o

ox

C om parando con E z t E sen k z vt re escrib im os E com o

E sen z t

k m fase in ic ia l

v m s E V m

nm

vf H z sf

O nda de L U Z R O JA po la r

π

π ϕ

πλ λ

τλ

−

−

= − −

= ⋅ − ⋅

→ = ⋅ =

→ = ⋅ =

→ = = =

→ = = = ⋅ → = = = ⋅

⎡ ⎤⎣ ⎦

,a rg .

izada linea lm en te en la d irección xpropagándose a lo l o del e je z

Ej. 1: Un haz de luz con longitud de onda en el vacío λo= 500 nm incide en un diamante (n = 2.4)¿Cuál es su longitud de onda? ¿y su frecuencia?

• Frecuencia f: NO CAMBIA (!!)• Velocidad de propagación:

nmff

ff

vcn

smncv

oo

d

oo

dd

dd

2084.2

500

/1025.14.2

103 88

======

⋅=⋅

==

λλ

λλ

λλ



Luz: f ~ 500 THz → en 1·10-9 s, la fase varía 5·105 veces: ¡¡ demasiado rápido !! → los detectores [células sensibles (retina), películas químicas, electrónicos] son sensibles a un promedio

temporal, no a las variaciones del campo.

BxE

[ ]

2

2, /oP c E x B

P P P W m

ε=

= =

Energía, potencia e irradiancia

( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2

2 2

cos transversal

cos

1cos cos ' '

1 1 2 2 22 4

o

o o

o o o o

t T

t

Dado E E kx t por ser una onda

E c B

P c E x B c E x B kx trecordemos cómo se efectúa el promedio de una función en un T

kx t kx t dtT

sen kx t T sen kx tT

ω

ε ε ω

ω ω

ω ωω

+

= −

=

→ = = −

< − >= − =

⎡ ⎤= − − + − −⎣

∫

( )2

22 2 2

2

var ( )11 cos2

12 2

2

oo o o

oo

si el tiempo caracteristico de iación de la función es

T T kx t

cEP c E c Ec

cP I E

τ

τ ω ω

εε ε

ε

⎦

<< → << → < − > ≈

⇒ < >= = = < >

< > = =

Como las ondas electromagnéticas se propagan en la dirección dada por

la energía por unidad de tiempo (potencia) por unidad de área que fluye (perpendicular) en el espacio libre está dada por el vector de Poynting, cuyo módulo representa la densidad de flujo radiante, emergente (exitancia) o incidente (irradiancia).

Relación entre la irradiancia en el frente de ondas y el campo electromagnético de la onda.

Recordemos que dimensionalmente

potencia = energía/tiempo[potencia] = W

y, por tanto, la irradiancia = potencia/área

[irradiancia] = W/m2



24oPIrπ

=

Ej. 3: Un láser emite una potencia P en un haz colimado de diámetro D. Calcular su irradiancia si P = 100 mW, y D = 2 mm.

Sol.: ( )23

23

3

/108.3110110100 mWI ⋅=

⋅

⋅=

−

−

π

Ej. 4: Una onda electromagnética plana de λo=500 nm se propaga en el vacío en la dirección del eje “y”. Si el campo eléctrico está linealmente polarizado en el plano “yz”, calcular la amplitud (valor instantáneo) del campo magnético cuando la irradiancia es I = 53.2 W/m2

Ej. 5: Una bombilla de potencia Po se observa a una distancia d. Determinar el campo eléctrico en el detector (suponiendo emisión isótropa). Po = 60 W, d = 2 m.

2

12 2

22

1 1, ,2

4 30 V/m2 2

oo o

oo o

o o oo o

o

cComo por otra parte P E y c cc

E P cP r Ec r

ε εμε μ

μπμ π

< >= = → =

⎛ ⎞→ = → = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

• si d>> tamaño → fuente puntual• a una distancia r, la energía define un frente de ondas esférico cuya irradiancia (I) será

La relación entre la energía de un fotón (ΔE) y su frecuencia (f) viene dada por la fórmula de Planck: ΔE = h f donde h = 6.62568·10-34 J · sAsí, en un análisis simplificado, la energía de una onda electromagnética se relaciona con su cantidad de movimiento (p) por

( ) tpFpcEh

T

fhcfh

cEp

ΔΔ

=Δ=Δ===Δ

= por ejercidafuerzalaconorelacionad tambiény λλ

Cantidad de movimiento y presión de radiación (i)

π2 escribir podemosenteVectorialm hsiendokp ==



Luz Onda Electromagnética Flujo de Fotones

1rad

F p tpresion energía E c pA A

E c Ipresión de radiación PA t c

Δ Δ= = Δ = Δ

Δ→ = =

Δ

Ej. 6: Un haz colimado de irradiancia I = 3·104 W/m2 incide sobre una pantalla absorbente de área A = 1 cm2. ¿cuál es la presión ejercida sobre la misma? ¿y la cantidad de movimiento transmitida a la pantalla durante un intervalo de tiempo de 1000 s?

44 2 5

8

3 10 10 / 10 / ¿ ?3 10rad rad

IP N m p P A t kg m s velero espacialc

− −⋅= = = → Δ = Δ = =

⋅

Cantidad de movimiento y presión de radiación (ii)

Ej. 7: Una fuente emite una potencia luminosa Po con longitud de onda λ. ¿Cuántos fotones por segundo están saliendo de la fuente? Po = 100 W, λ = 500 nm.

19

pero, también, la energia total emitida por la fuente ( ) se relaciona con el número

de fotones emitidos y la energia de cada uno de ellos ( )

25 10 fotones/s

o

oo

P t E EcE como E N E N h f N h

PcN h P t Nh c

λλ

λ

Δ =

Δ = Δ = =

→ = Δ → = = = ⋅

Irradiancia ↔ Presión de radiación: - efecto sobre circuitos- ¿velero solar?

www.ugcs.caltech.edu/~diedrich/solarsails/

Propiedades ondulatorias Propiedades corpusculares (partícula):cantidad de movimiento: p



El vector campo eléctrico de la luz emitida por las fuentes ordinarias (p.ej. la luz solar) tiene una orientación aleatoria respecto a la dirección de propagación (OX), denominándose luz no polarizada ó con polarización aleatoria. Cuando este vector muestra una orientación preferente (vectores alineados paralelos a una dirección dada), se denomina luz polarizada.

La polarización puede ser parcial o completa. Cuando el vector campo E describe una trayectoria helicoidal al propagarse (la componente Y o la Z tienen un retraso de 45º), se dice que presenta polarización circular. Según el sentido de la rotación del vector (visto desde el “extremo” de la dirección de propagación) puede ser dextrógira o levógira. La luz que no está perfectamente polarizada circularmente se dice que presenta polarización elíptica. Un polarizador es un dispositivo que únicamente permite el paso de luz polarizada en una cierta dirección (eje de transmisión).

( )( )

( )( )

sinsin

r i r iS P

r i r i

tgI I

tgθ θ θ θθ θ θ θ

− −= − = −

+ +

[1]

Cuando la luz incide sobre una interfase, su polarización puede definirse respecto al plano que contiene a la luz incidente y reflejada (plano de incidencia) y se denomina polarización p a la luz cuyo vector campo eléctrico es paralelo (//) al plano de incidencia y polarización sa la luz cuyo vector campo eléctrico es perpendicular (┴) al mismo.

Para un cierto ángulo de incidencia, la intensidad (reflejada) de la luz polarizada-p (Ip) se anula siendo, por tanto, únicamente transmitida. Este ángulo se denomina ángulo de Brewster (θB) y para los cristales normales es del orden de θB ≈ 53º.

Las ventanas de Brewster se usan para controlar la polarización de la luz emitida por sistemas láser (aunque se desaproveche parte de la energía emitida).

En general, el grado de polarización de un haz es: 0 ≤ P ≤ 1

minmax

minmax

//

//

IIII

IIIIP

+−

=+−

=+

+

Polarización

La luz reflejada no tiene las mismas intensidades de polarización-s y –p que la luz incidente, estando sus magnitudes dadas por las ecuaciones de Fresnel en función de los ángulos de incidencia (θi) y de refracción (θr) en la interfase:

Cuando la luz natural (solar) se refleja sobre superficies (dieléctricos) especulares (agua, nieve, cristal, …) la luz reflejada (= brillos) tiene polarización horizontal.



Métodos para polarizar la luz y sus aplicacionesPor reflexión: incidencia sobre una “ventana” con el ángulo de Brewster

Por doble refracción: - materiales birrefringentes: 2 rayos, polarizados perpendiculares (calcita, cuarzo)- combinaciones de prismas: Wollaston, Rochon, Sénarmont, …

Por absorción selectiva (dicroismo): materiales que sólo dejan pasar las componentes paralelas a una cierta dirección característica del medio (dirección de polarización). Descubierto en 1938 por E.H. Land: material Polaroid - absorción selectiva de luz por moléculas orientadas (hidrocarburos de cadena larga) que absorben la luz // cadenas y transmiten la luz ┴ cadenas = eje de transmisión. También ocurre en algunas sustancias naturales: turmalina, hepatita.

Otros: - retardadores de fase / intensidad, polarizadores circulares- medios con actividad óptica / efectos electroópticos- efecto magnetoóptico (efecto Faraday) ↔ almacenamiento

magnetoóptico de información

comunicaciones ópticas

[17]

Método de análisis: Las tensiones y deformaciones estructurales en algunos materiales provocan cambios de propiedades ópticas del medio y haciendo incidir luz polarizada se pone de manifiesto su distribución espacial: fotoelasticidad

Medida de la Polarización: Se mide la intensidad transmitida en las direcciones paralela y perpendicular al eje del polarizador

Ley de Malus

2 2 2 2

cos

cos cosO OPOLARIZ ANALIZ

o o o o

E E E

I E I E I I

θ

θ θ

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

∝ → ∝ → =

Luz a través de 2 Polarizadores con Ejes //

Luz a través de 2 Polarizadores con Ejes ┴



Incidencia en una superficie: reflexión y refracción

Para una onda electromagnética reflejada sobreuna superficie de separación con un medio

• de mayor índice de refracción que aquel en el que se mueve: cambio de fase de 180º• de menor índice de refracción: no hay cambio de fase

En ambos casos, la onda transmitida no experimenta cambio de fase

Cuando se estudia la incidencia de una onda plana monocromática sobre una superficie de separación de medios (n1 y n2) se descompone el campo eléctrico en sus componentes paralela y perpendicular al plano de incidencia (P.I.)

• si el E está polarizado en dirección perpendicular al P.I. → modo transverso-eléctrico (TE)• si el E está polarizado en dirección paralela al P.I. → modo transverso-magnético (TM)

luz natural: se refleja de manera tal que E vibra perpendicular al plano de incidencia↔ paralelo a la superficie(excepto si la incidencia es normal a la superficie)

[1]

[7]Analogía conuna onda mecánica



Coeficientes de reflexión y transmisiónAplicando las condiciones de salto en las interfases a las ecuaciones de Maxwell se obtienen loscoeficientes de reflexión (r) y de refracción o de transmisión (t) para las componentes paralela (//) y perpendicular (┴) de los campos: FÓRMULAS DE FRESNEL

A partir de estos coeficientes se obtienen los factores de reflexión (reflectividad, R) y de transmisión (transmitividad, T) de la interfase para las energías, dependientes, en general, de los índices a ambos lados de la superficie de separación, del ángulo de incidencia y de la polarización de la luz incidente. Para luz natural (polarización aleatoria) se tiene

y en incidencia “casi” normal, la reflectividad de la interfase es:

1

2

1 2

1 2

n nRn nθ

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

Ej. 1. - Para la interfase aire (n = 1) – vidrio (n = 1.5), en incidencia normal, R = 0.04: sólo el 4% de la luz incidente es reflejada.

- Sin embargo, para aire-AsGa (n=3.6) → R = 0.32 de modo quese refleja el 32% de la luz.

Vemos en la figura cómo para ángulos oblicuos hay grandes diferencias en R. [1]

1 2 2 1

1 2 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

cos coscos coscos coscos cos

r

i

r

i

E n nrE n nE n nrE n n

θ θθ θ

θ θθ θ

⊥⊥

⊥

−= =

+

−= =

+

1 1

1 2 2 1

1 1

1 1 2 2

2 coscos cos

2 coscos cos

t

i

t

i

E ntE n nE ntE n n

θθ θ

θθ θ

⊥⊥

⊥

= =+

= =+

( )2 2 2luz natural

22 2

1 1

12

cos1cos

LNR r R r r

nT R tn

θθ

⊥= ⎯⎯⎯⎯→ = +

= − =



Interferencia (i)Se produce cuando se superponen, en un punto, dos ondas dei) la misma longitud de onda yii) que presentan una diferencia de fase (desfase) constante entre sí ( ↔ coherentes)

la mayoría de emisores luminosos: cambios aleatorios cada 10-8 s → no se observan

→ obtención de emisiones coherentes mediante

i) división del frente de onda:- experimento de la doble rendija de Young- espejo de Lloyd (posiciones invertidas por ∆φ de reflexión)- espejo doble de Fresnel

ii) división de amplitud- interferómetro de Michelson- interferómetro de Mach-Zender- interferómetro de Pohl

iii) fuentes de luz láser: véase Tema 3.

[7]



Interferencia (ii) El experimento de doble rendija de Young (1801, Grimaldi 1655)

• en P se produce interferencia constructiva si las ondas llegan con un desfase de λe interferencia destructiva si el desfase es λ/2

• si L>>d → r1// r2 → la diferencia entre los rayos es δ = r2-r1= d senθconstructiva si δ = m λ (m = 0, ±1, ±2,…)destructiva si δ = (m + ½) λ (m = 0, ±1, ±2,…)

m es el número de orden- franja brillante central: máximo de orden cero m = 0- primer máximo a cada lado: m = ±1

• en magnitudes lineales: si L>>d y d>>λ → senθ ≈ tgθ = y/L2

max

12

cos

brillante

oscuro

Ly md

Ly md

d senI I

λ

λ

π θλ

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

[7] [7]



Aplicaciones de los fenómenos de interferencia

En ÓPTICA: multitud de tecnologías …

- interferencias de haces múltiples: en películas delgadas: → recubrimientos antirreflectantes

- interferencias de 2 haces → técnicas de metrología:Ventajas: precisión ~ λ, sin contacto, rapidezInconvenientes: estabilidad, coste

• interferencias en capas de espesor variable: microscopio de interferencia• interferómetros de medida y análisis: de Fabry-Perot, …

visualización de medios transparentes: túnel de viento, ….• interferometría de moteado (speckle)• otros …

- holografía: → imagen 3D

En RADIACIÓN / RADIOCOMUNICACIÓN / RADAR: (según λ) Ejs.: balizamiento, sistema de aterrizaje asistido

(Instrument Landing System, ILS)

[7]

(esquema simplificado)

El ILS sirve para guiar a los aviones en el aterrizaje aún con poca visibilidad: las antenas A1 y A2, a ambos lados de la pista están separadas una distanciad (40 m) y emiten una señal de radio (30 MHz) sin modular.

Las dos antenas son, para esa λ, emisores puntuales en una configuraciónanáloga a la de Young: Si el piloto “engancha” (y sigue) la línea de máximaSeñal correspondiente a la interferencia constructiva central, entoncesestá correctamente orientado hacia la pista.



Interferencia en películas delgadasRayo 1: ∆φ1: reflexión ↔ ∆φ1 = 180º → λn/2 Rayo 2: ∆φ2: recorrido 2t en el medio (λn= λ/n) → m λn

Condición de interferencia constructiva:

Condición de interferencia destructiva:

( )1 12 2 0,1, 2,...2 2nt m n t m mλ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ↔ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 0,1,2,...n t m mλ= =

n1

n2

n3[7]

¡¡ recubrimientos antirreflectantes !!(reducción de pérdidas ~ 30% → 10%)

( )1 2f o sn n n→ = ⋅aire/medio exterior (no) → recubrimiento (nf) → sustrato (ns)

[20]

También se diseñan filtros que refuerzan (mediante interferencia constructiva) alguna λ transmitida: Fabry-Perot



Ej. 1: Las células solares de Si (n2 = 3.5) suelen recubrirse de una película transparente de monóxido de silicio (SiO, n3 = 1.45) para minimizar las pérdidas por reflexión. ¿Cuál es el grosor mínimo de la capa que minimiza la reflexión para 550 nm?

Sol.: La condición de interferencia destructiva, teniendo en cuentaque la reflexión en la interfase entre los medios 2 y 3 también produce un cambio de fase por reflexión, nos da:

5502 94.82 2 4 4(1.45)nt t nmn n

λλ λ= = → = = =

Ej. 2: Las lentes de componentes ópticos suelen recubrirse con una capa antirreflectante de fluoruro de magnesio (MgF2 con n = 1.38).

En capas deespesor variable

En películas delgadas:la condición de interferencia cons/des-tructiva depende de λy del espesor de la capa

negro = capa finarojo = capa gruesa

→ Técnicas de medida remotade la contaminación:análisis de imagen aérea

Película de petróleosobre agua←

[7]

Análisis de calidad decomponentes ópticos:

anillos de Newton(en lentes)

→ [17]



Filtros ópticosFiltros Polarizadores: Dejan pasar la luz con plano de vibración (E) paralelo a la dirección de transmisión. Habitualmente se usan para atenuar los reflejos de la luz solar en superficies como agua, cristal, … (polarización horizontal) incrementando la saturación de los colores. Los polarizadores lineales suelen interferir con los mecanismos de enfoque y exposición automáticos, siendo preferibles los polarizadores circulares.

Filtros de Color: Bloquean/dejan pasar un rango definido de longitudes de onda. En instrumentos ópticos, son muy usados los “filtros UV”, transparentes en el visible que bloquean gran parte del UV (A, B), perjudicial para el ojo humano, y protegen las lentes del instrumento de polvo y arañazos. Los filtros de color, utilizados para conseguir distintos efectos ópticos, se clasifican según la norma ISO 8980-3 en 5 categorías, de menor a mayor protección. También apantallan parte de los rayos UVA y UVB con más eficacia cuanto más alta es la categoría. Al fotografiar con ellos es necesario aumentar la exposición en un “factor de filtro” para compensar la menor cantidad de energía incidente en el sensor.

Categoría del filtro Absorción (%) Uso0 0 a 20% Días de poca luminosidad, nublados. Aptos para conducción diurna y nocturna. 1 20 a 57% Días de luminosidad media.2 57 a 82% Días soleados de final de otoño, invierno y principio de primavera.3 82 a 92% Días muy soleados, actividades al aire libre. Es la más habitual.4 92 a 97% Nieve, altitudes superiores a 3000 m.

Filtros Neutros (filtros de densidad neutra, “filtros grises”): Disminuyen la intensidad de la luz que los atraviesa sin alterar la distribución espectral de la energía, es decir, atenúan por igual todas las longitudes de onda visibles (pueden fabricarse para el rango 250 nm – 2500 nm). No alteran el color ni el contraste de los objetos. Se utilizan para escenas con alta iluminación. Permiten usar aperturas de diafragma grandes y, por tanto, reducir la profundidad de campo en las fotografías. La atenuación se caracteriza por el valor de densidad óptica (optical density, OD) del filtro, comprendido en el rango OD = 0.04 – 4.00. La transmisión correspondiente a un valor de OD se calcula como se indica y, por tanto, los valores de OD de varios filtros consecutivos son aditivos: OD (1+2) = OD(1) + OD(2), siendo 10010(%) OD ⋅= −TEj.: Gafas de Sol.Las gafas “de bajo coste” (rastros, mercadillos) suelen ser atenuadores, que reducen los reflejos molestos porque reducen la cantidad total de luz visible que llega al ojo (normalmente, en más del 90%). Son peligrosas porque causan una dilatación de la pupila (debido a la reducción de la luz “total” incidente) y no bloquean la luz UV perjudicial, que entra “fácilmente” en el ojo.Las gafas “de gama media” suelen ser filtros de color adecuados para distintos usos según la categoría del filtro. Las gafas “de gama alta” suelen ser polarizadas (con polarización vertical), bloqueando los reflejos. No reducen tanto la cantidad de luz incidente en el ojo (transmisión ≈ 65%) , permitiendo su uso en situaciones donde no interesa perder capacidad de visión. Al atenuar menos, la visión de los colores es más fiel y reducen el esfuerzo visual.

Uso para conducción: las normas vigentes (ECE22-05), establecen (para visores y parasoles) una transmisión mínima del 50% en conducción diurna y del 80% en conducción nocturna.



Interferencia: Aplicaciones industriales

Visualización de imágenes en túnel de viento:

posible porquen = n (P, T, …)

Interferómetro Mach-Zender

[17]

[17]

[4]



DifracciónLa difracción es la desviación (dispersión) de la luz respecto a la trayectoria rectilínea (en un medio homogéneo) al pasar a través de una apertura o alrededor de un obstáculo. Los fenómenos de difracción se ponen de manifiesto cuando las dimensiones características de los obstáculos / aperturas (D) son del orden de la longitud de onda (λ). Se producen en los bordes / filos / aristas de los objetos.

λ<<D λ~D[7] [7]

El patrón (diagrama) de difracción correspondiente a una apertura dada puede obtenerse como superposición (interferencia) de un gran número de fuentes puntuales elementales (coherentes) mediante el Principio de Huyghens.

Condiciones (regímenes) de difracción:

• si la radiación incide sobre el obstáculo como si procediera de una fuente en el infinito* y si la radiación difractada incide sobre la pantalla de observación de la misma manera* → Difracción de Fraunhofer (o de campo lejano).

• si no se verifica alguna de las dos condiciones (alguna o ambas distancias son finitas) → Difracción de Fresnel (o de campo cercano)

*Esta condición puede conseguirse mediante haces colimados ↔ d1, d2 ~ ∞

Elementos• radiación incidente (λ)

(fuente) d1

• elemento difractante (D)d2

• pantalla de observación

Radar: λ ≈ km



[7]

Difracción de Fraunhofer (o de campo lejano)i) Difracción por una rendija de anchura a: Interferencia destructiva si

min( 1, 2, 3,...)2 2 2oscuroa sen sen m m

aλ λ λθ θ θ= → = = ± ± ± → =

ii) Patrón de difracción por una abertura circular de diámetro D situada a una distancia d del plano (pantalla) de observación: es un disco central brillante, denominado Disco de Airy, rodeado de anillos cada vez más débiles:

radio = r, diámetro = DA = 2·r

min 1.22 1.22 drD Dλ λθ = ↔ =



min aλθ =• rendija (a): ↔ debe ser θ > θmin

• apertura circular (D): disco de Airy

• cuando observamos con el ojo: D = diámetro de la pupila

• para cualquier lente o dispositivo:D = pupila de entrada = diámetro efectivod = f = distancia focal imagen

A

1.22 1.22 f/#

D = 2 r = 2.44 f/#

frDλ λ

λ

= =

→

Potencia de Resolución (PR=s, resolving power = tamaño del mínimo ”punto”discernible) y Ángulo de Aceptación (α) de una lente de distancia focal f y diámetro D:

Límite de resolución (criterio de Rayleigh): dos imágenesformadas por una apertura (de 2 fuentes puntuales Si) se encuentran en el umbral de resolución si el máximo centraldel diagrama de difracción de una de las imágenes coincidecon el primer mínimo de la otra:

En el espectro visible se puede hacer la aproximación: 2.44 λ ≈ 1000 nm → diámetro DA (μm) ≈ f/#

min0.611.22 ... 1.22

2fs PR f

D sen senλ λ λθ

α α= = = = = =

¡ muy útil en la práctica !



Resolución

Resolución del ojo humano: limitada por varios factores, todos del mismo orden de magnitud

• es variable: mejor en la fóvea, donde el espacio entre los conos es menor (~ 3 μm)

• diámetro de la pupila: varía desde ~ 2 mm → ~ 8 mm

• máxima sensibilidad para λ = 550 nm

• aceptando la longitud del ojo ~ 20 mm

→ potencia de resolución “teórica”: desde s ≈ 2 μm (pupila abierta) → s ≈ 15 μm (pupila cerrada)

• las aberraciones esférica y cromática también limitan la resolución real hasta ~ 10 μmesto equivale a una separación angular θojo ≈ 5·10-4 rad ↔ objetos separados 1 cm situados a 20 m

• en el punto cercano típico (do = 25 cm), esta capacidad de resolución angular equivale a poder distinguir “objetos” (punto) de un tamaño mínimo s = d· θojo ≈ 10-4 m = 0.1 mm

• con los mejores microscopios ópticos se pueden resolver objetos de tamaño s ~ 200 nm→ aumento útil = resolución ojo sin ayuda / resolución del microscopio = 0.1mm/200nm = 500xEn la práctica se usa un aumento de 1000x para minimizar la tensión ocular. Cualquier aumentomayor simplemente haría visible el patrón de difracción producido por el objetivo del microscopio

5 4

1.22

RANGO: 8 10 6 10ojo ojo

Drad rad

λθ

θ θ− −

=

→ ≈ ⋅ → ≈ ⋅

Ej. 1 El telescopio Hale del Monte Palomar tiene un diámetro de 5.08 m. ¿Cuál es su umbral de resolución para luz de 600 nm?Sol.: θmin=1.44·10-7 rad ≈ 0.03 s de arco (realmente es ~0.1 s de arco por la dispersión atmosférica)

Ej. 2 La imagen de un punto distante formada por una cámara con una lente de f/# 1.4sobre el plano de la película es …

Sol: una “mancha” (imagen) circular de 1.4 μm = 1.4·10-6 m

límite de difracción:



Red de difracción: Conjunto de un gran número de rendijas idénticas, equidistantes, paralelas grabadas sobre la superficie de un material

• se caracteriza por: separación entre rendijas (d)(ó periodo de la red (Λ) ó constante de la red) ó lafrecuencia espacial de la red (ν)

• el orden de difracción (n ó m) indica los máximos del diagramade difracción, cada uno de los cuales sale en un ángulo(dado por la interferencia constructiva entre los haces)

• la condición para que se produzca máxima intensidad en eldiagrama de difracción, para incidencia perpendicular, es

• ecuación general de la red:

• dispersión angular de la red:

(m=0, 1, 2, 3,...)brillanted sen mθ λ=

( )' 0,1, 2, 3, ...m d sen sen mλ θ θ= ± =

cosm

m

d mDdθλ θ

= =Λ

1 /lin ea s m mν =Λ

Poder de resolución de la red: siendo N el número total de líneas iluminadas: R N mλ

λ= =Δ

[20]

[7]



1. Análisis de fuentes luminosas:espectros de emisión / absorción(redes de difracción enespectrómetros)

Aplicaciones de las redes de difracción

2. Lectores de CD: (véase también el Tema 5)

[17]

[17]

Ej. Un láser de He-Ne (λ = 632.8 nm) incide normalmente sobre una red de difracción que tiene 6000 líneas/cm. Hallar los ángulos en que salen los máximos de 1º, 2º y 3er orden.

Sol.: d = 1/6000 = 1.667·10-4 cm = 1667 nm; m = 1 → sen θ1 = λ/d = 0.3797 → θ1=22.31º,m = 2 → θ2 = 49.41º, para m = 3 sale sen θ3 > 1 → sol. No real: sólo m = 0, 1 y 2.



Óptica de Fourier (i)

Se puede demostrar que, en las condiciones de difracción de Fraunhofer, la imagen (patrón de difracción)por una lente convergente de un objeto plano situado a f es,en el plano imagen, igual a la transformada de Fourier bidimensionalde la distribución de amplitudes del objeto. Las altas/bajas frecuencias espaciales de la imagen originan “manchas luminosas” en la zonas lejanas/cercanas al eje en el plano de Fourier.Otra lente (también situada a f de este plano) realiza una transformación inversa

→ ¡¡ PROCESADO ÓPTICO DE INFORMACIÓN !! ↔ ÒPTICA DE FOURIER

• Objeto = fotografía / fotograma• Iluminación: láser

aplicación de máscaras opacas

Filtrado de la imagen

[1]

[1]

Filtros: paso alta / baja, contornos, ruido, …



Históricamente: utilizado para procesar imágenes de satélite (Guerra Fría s. XX)

Ventajas• instantáneo• sin necesidad de

almacenamiento• tamaño punto (↔ pixel) ~λ

Inconvenientes• estabilidad• necesidad de láser

Óptica de Fourier (ii)

En la actualidad: integración optoelectrónica

[1]

Imagen original = luna + franjas Imagen procesada = luna “limpia”

Patrón de difracción (transformada de

Fourier 2D)

Patrón con máscara superpuesta (“tapando” componentes espectrales

de las franjas)

Procesado “físico” de imágenes mediante difracciónAplicación de filtros:

[1]

Aplicación de filtro paso de alta

opacotransparente

Aplicación de filtro paso de baja

TEMA 2 ÓPTICA ONDULATORIA y...

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