Tema 2.1 Respuesta Transitoria en Sistemas de Diferentes Ordenes
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7/25/2019 Tema 2.1 Respuesta Transitoria en Sistemas de Diferentes Ordenes
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UNIDAD 2.- Respuesta temporal de sistemas dinmicos
Objetivo especfico: Resolver las ecuaciones que representan a un sistema dinmico,para analizar e interpretar su comportamiento
Tema 2.1: Respuesta transitoria en Sistemas de diferentes rdenes
Materia: Control de Sistemas Lineales
M.C. Febe Barbosa Xochicale
2.1 Respuesta transitoria en sistemas de diferentes ordenes Primer Orden Segundo Orden Orden superior
Respuesta en tiempo
La respuesta de salida de un sistema es la suma de dos respuestas:
1) Respuesta forzada (estado estable al aplicar una entrada, solucin
particular)
2) Libre (solucin homognea)
Los polosde una funcin de transferencia son:
1) Los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que
ocasionan que la funcin de transferencia T(S)= N(s)/D(s) se vuelva
infinita
2) Cualquiera de las races del denominador de T(s) que sean comunes a
las races del numerador.
Los cerosde una funcin de transferencia son:
1) Los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que
ocasionan que la funcin de transferencia T(S)= N(s)/D(s) se vuelva
cero
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2) Cualquiera de las races del numerador de T(s) que sean comunes a las
races del denominador.
Sistemas de primer orden
Caso general:
Considere el sistema de primer orden como se muestra en la figura
a. Sistema de primer orden
b. Grfica de polos y ceros
La salida es:
Al expresar en fracciones parciales tenemos:
Realizando la fraccin queda:
Al agrupar trminos semejantes e igualar tenemos que:
Por lo que
Al aplicar la trasformada inversa de Laplace tenemos que es sistema responde de acuerdo a la
salida: Si consideramos el tiempo cuando:
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tenemos que
Al trmino
se le denomina constante de tiempo; al trmino
se le llama frecuencia exponencial.
Tiempo de Levantamiento, Tiempo necesario para alcanzar del 10% al 90% del valor final.
Para el 10% se tiene: Despejando:
Para el 90% se tiene: Despejando se tiene que
De tal forma que
Tiempo de asentamiento, Tiempo necesario para alcanzar el 98% del valor final.
Despejando se tiene que
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De tal forma que
Figura: Respuesta del sistema de primer orden al escaln unitario
Para el caso cuando
Figura
a. Sistema de primer orden
b. Grfica de polos y ceros
La salida es:
Al expresar en fracciones parciales tenemos:
Realizando la fraccin queda:
Al agrupar trminos semejantes e igualar tenemos que:
-
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Por lo que
[
]
Al aplicar la trasformada inversa de Laplace tenemos que es sistema responde de acuerdo a la
salida:
Figura: Dado el resultado de un sistema de primer orden, hallar la ecuacin
de acuerdo a la grfica.
El valor final es aproximadamente El de es0.4536
Despejando
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Para hallar K se tiene que:
Despejando: El sistema queda como:
Simulando en Matlab con
Y superponiendo las grficas se tiene:
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Figura 9: Dado el resultado de un sistema de primer orden, hallar la ecuacin
de acuerdo a la grfica.
Sistemas de primer orden
Ejemplo 1:Considere el sistema:
Figura 1: Sistema de primer orden
La salida es:
Al expresar en fracciones parciales tenemos:
Realizando la fraccin queda:
Al agrupar trminos semejantes e igualar tenemos que:
Por lo que
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Step Response
Time (sec)
Amplitude
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Al aplicar la trasformada inversa de Laplace tenemos que es sistema responde de acuerdo a la
salida:
Figura.2: (a) Sistema; (b) Grfica de polos y ceros del sistema; (c) Respuesta
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Figura 3: Respuesta del sistema
Simulacinen Matlab:num=[1 2];
den=[1 5];
T=tf(num, den)
Transfer function:
s + 2
-----
s + 5
step(T)
Figura 4: Efecto de un polo real en la respuesta transitoria
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Respuesta al escalon unitario
Tiempo (sec)
Amplitud
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Sistemas de segundo orden
Frecuencia natural
Factor de amortiguamiento Caso general:
Para buscar los polos tenemos que igualar el denominador a cero
Resolviendo la ecuacin de segundo grado con la formula general:
( )
Para sistemas subamortiguadosel factor de amortiguamiento est entre por lotanto, lo que est dentro de la raz cuadrada es negativo, lo que genera complejos
conjugados quedando as los polos
Para sistemas sobreamortiguadosel factor de amortiguamiento est es
por lo tanto
lo que est dentro de la raz cuadrada es positivo, lo que genera polos reales y distintosquedando as:
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Para sistemas no amortiguadosel factor de amortiguamiento est por lo tanto loque est dentro de la raz cuadrada es , lo que genera los polos:
Para sistemas crticamente amortiguadosel factor de amortiguamiento es por lotanto lo que est dentro de la raz cuadrada es cero, lo que genera nmeros reales iguales
quedando as los polos:
Figura 9: Respuesta de los sistemas de segundo orden de acuerdo al factor de
amortiguamiento
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Figura 10: Sistemas de segundo orden: polos, grficas y respuestas al escaln
unitario
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Figura 11: Porcentaje de sobretiro (overshoot) vs factor de
amortiguamiento
Figura 12: Respuesta del sistema de segundo orden al escaln unitario con
polos complejos conjugados
Ejemplos:
1. Considere el sistema de la figura:
Hallar: factor de amortiguamiento , frecuencia natural y tipo de sistema.
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Figura 13: Respuesta del sistema de segundo orden en relacin al factor de
amortiguamiento
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Figura 14: Sistema de segundo orden subamortiguado
Figura 15: Sistema de segundo orden: especificaciones de subamortiguado
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Figura 16: Patrn de polos para un sistema subamortiguado de segundo
orden
Tarea:
Considere los sistemas de las figuras a, b y c.
Hallar
factor de amortiguamiento frecuencia natural polos
tipo de sistema
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Figura: Efecto de un polo real en la respuesta transitoria
2. Hallar grfica de polos y ceros
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Orden superior
CASO 1. Las races del denominador de son reales y distintas.
Si el grado es de menor grado que
Cuando
CASO 2. Las races del denominador de son reales y repetidas.
Si el grado es de menor grado que
Cuando
con
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Para , tenemos:
CASO 3. Las races del denominador de son complejas o imaginarios.
Con