TEMA 2A REPRESENTACIÓN DE ELEMENTOS (punto, recta y … · La representación de la recta en el...
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BLOQUE I: Sistema de planos acotados
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TEMA 2A
REPRESENTACIÓN DE
ELEMENTOS (punto, recta y
plano)
TEORIA
BLOQUE I: Sistema de planos acotados
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TEMARIO SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS
1A Geometría descriptiva T
2A Representación de elementos: punto, recta y plano T
2A Representación de elementos: punto, recta y plano E
2A Representación de elementos: punto, recta y plano S
3A Relación entre elementos T
3A Relación entre elementos E
3A Relación entre elementos S
3B Resolución de vaciados y cubiertas T
3B Resolución de vaciados y cubiertas E
3B Resolución de vaciados y cubiertas S
4A Introducción a la topografía T
4B Dibujo topográfico: explanadas, carreteras, presas, balsas y diques T
4B Dibujo topográfico: explanadas, carreteras, presas, balsas y diques E
4B Dibujo topográfico: explanadas, carreteras, presas, balsas y diques S
5A Abatimientos y verdaderas magnitudes T
5A Abatimientos y verdaderas magnitudes E
5A Abatimientos y verdaderas magnitudes S
5B Dibujo geológico T
5B Dibujo geológico E
5B Dibujo geológico S
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1. EL PUNTO
Para situar un punto cualquiera en el espacio necesitamos, el alejamiento y la cota
-El alejamiento es la distancia desde un plano vertical de referencia hasta el punto.
Esta distancia la mediremos en una línea recta que sea perpendicular al plano vertic
(PV).
ej. la distancia que hay desde la pared de una habitación hasta el punto
- La cota es la distancia desde un plano
horizontal de referencia hasta el punto.
Esta distancia la mediremos en una línea
recta que sea perpendicular al plano
horizontal (PH).
Ej. la distancia que hay desde el suelo de
una habitación hasta el punto
En el caso del sistema de planos acotados miraremos este punto desde arriba (como
si se tratase de una imagen de google maps o de un plano de una casa)
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situar un punto cualquiera en el espacio necesitamos, el alejamiento y la cota
El alejamiento es la distancia desde un plano vertical de referencia hasta el punto.
Esta distancia la mediremos en una línea recta que sea perpendicular al plano vertic
ej. la distancia que hay desde la pared de una habitación hasta el punto
La cota es la distancia desde un plano
horizontal de referencia hasta el punto.
Esta distancia la mediremos en una línea
recta que sea perpendicular al plano
Ej. la distancia que hay desde el suelo de
una habitación hasta el punto
En el caso del sistema de planos acotados miraremos este punto desde arriba (como
si se tratase de una imagen de google maps o de un plano de una casa)
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situar un punto cualquiera en el espacio necesitamos, el alejamiento y la cota:
El alejamiento es la distancia desde un plano vertical de referencia hasta el punto.
Esta distancia la mediremos en una línea recta que sea perpendicular al plano vertical
ej. la distancia que hay desde la pared de una habitación hasta el punto
En el caso del sistema de planos acotados miraremos este punto desde arriba (como
si se tratase de una imagen de google maps o de un plano de una casa)
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Es decir, veremos solo el plano horizontal y el alejamiento.
Pero para definir el punto necesitamos también la cota, la cual indicaremos
numéricamente entre paréntesis.
El punto cero (0) será el plano horizontal o suelo de la “habitación”. Todos los puntos
que estén por encima del PH serán cotas positivas (+) y todos los que estén debajo
del PH serán cotas negativas (-).
En el sistema de planos acotados solo existe un plano de proyección llamado plano horizontal. La proyección de un punto sobre el plano se hace mediante una dirección perpendicular al plano de proyección. El punto solo tiene tres posiciones: por encima (cota +), por debajo (cota -) y en el plano de proyección (cota 0)
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2. LA RECTA I (representación, elementos que la definen y graduación):
Para representar una recta necesitamos MINIMO dos puntos, por lo tanto será algo así:
La representación de la recta en el sistema se realiza mediante una sola proyección pero señalando en ella la proyección acotada de DOS PUNTOS MINIMO. Para la correcta representación de una recta en el sistema deberán conocer, a parte de su proyección, la pendiente o el modulo de la recta.
Elementos que definen una recta:
Pendiente (p): ángulo de la recta con PH
�� � = �/�
u: cota relativa entre dos puntos
m: alejamiento relativo entre dos puntos (¡¡ los mismos que los anteriores !!)
Se expresa en %, con un numero o con la tg α (veremos las tres opciones los ejercicios)
Modulo o intervalo (m ó i): alejamiento relativo entre dos puntos
� = � = 1/�
El módulo de una recta y su pendiente son inversos:
� � � = 1
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La unidad de cota está representada a escala:
Tenemos que tenerla en cuenta a la hora de calcular el modulo o intervalo. En líneas
generales esta será la formula que usaremos para calcular el modulo en milímetros a partir
de una pendiente dada
� (��) = �
�∗ � *equidistancia *1000
La equidistancia la analizaremos cuando entremos con terrenos, hasta entonces, todos los
ejercicios tendrán 1 como equidistancia por norma general (equidistancia=1)
Graduación de la recta: proceso en el que
se ponen sobre la proyección de la recta
los puntos acotados (todos los puntos que
forman la recta), separados por el
modulo. Como regla general, se gradúan
los puntos sin comas (es decir, si el
ejercicio nos lo permite, en vez de graduar
la recta con puntos como 0´2, 1´2, 2´2…
los graduaremos con 0, 1, 2…)
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3. LA RECTA II (clasificación):
RECTA PROYECTANTE
Su proyección es un punto
P = ꝏ m = 0
RECTA HORIZONTAL
La cota de todos sus puntos es igual
P = 0
m = ꝏ
RECTA OBLICUA Cualquier otra recta
4. LA RECTA III (posiciones relativas):
POSICIÓN 1: rectas que se cortan en el espacio
Tienen UN punto en común
Ese punto tiene que tener la misma graduación
(mismo número)
Definen un plano
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POSICIÓN 2: rectas paralelas
Sus trazas son paralelas (no se cruzan).
Tienen el mismo modulo (y por lo tanto la misma pendiente).
Crecen en el mismo sentido.
Forman un plano
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POSICIÓN 3: rectas que se cruzan en el espacio
Tienen un punto en común
Ese punto no tiene la misma graduación
(numero)
No forman un plano
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5. EL PLANO (representación y elementos que lo definen):
En este sistema, el plano quedara definido por la linea de
maxima pendiente (lmp).
¿Qué es la (lmp)? Imaginad que tenemos un plano (una
cuesta) y tiramos desde arriba un chorro de agua. La línea de
máxima pendiente será la línea que seguirá el agua para llegar
hasta abajo.
La Imp estará definida si conocemos esto:
1. Su módulo
2. Su sentido (hacia donde asciende/desciende)
3. Un punto.
El plano solo tiene traza horizontal y es la horizontal de cota cero (α0)
La
lmp la representaremos con dos líneas paralelas (una gorda y la otra fina) y la graduaremos.
Además, perpendicular a cada punto que hemos usado para graduarla (1, 2, 3…) saldrán
unas líneas a las que llamaremos “horizontales”.
Para entenderlo mejor mirad la imagen de abajo.
- De naranja, las líneas de máxima pendiente (que definen el plano)
- De azul, las horizontales (cada horizontal reúne los puntos que tienen la misma cota
dentro del plano; es decir h1 reúne todos los puntos de cota 1, h2 los de 2…)
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Para definir un plano necesitaremos:
- Dos líneas que se corten en el espacio.
- Dos líneas paralelas.
- Una línea y un punto (=dos líneas que se cortan en el espacio).
- Tres puntos (=dos líneas que se cortan en el espacio).
En la imagen se ve como dos líneas que se
cortan en el espacio definen un plano. Como
se puede apreciar, las líneas horizontales
reúnen todos los puntos de la misma cota
que hay en ese plano; y, por lo tanto, las
graduaciones de las rectas (que están que
están en el plano) coinciden con la
graduación de las horizontales.
Ej.: por el punto 5 de la recta roja, pasa la
horizontal h5, es decir, están tienen la
misma cota. Como esto se repite con todos
los puntos de esta recta, sabemos que esta recta pertenece al plano que define esa lmp.
6. EL PLANO II (clasificación):
1. Plano horizontal (paralelo al suelo, ej.: superficie de una mesa)
No tiene traza horizontal y su Imp son todas las rectas del plano. Se define dando su
cota. Todo lo que está en estos planos se proyecta en verdadera magnitud.
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2. Plano vertical (perpendicular al suelo, ej.: pared)
Su línea de máxima pendiente es una recta vertical y su proyección es un punto. Por
lo que queda definido por su traza y el punto.
3. Plano oblicuo (cualquier otro plano)
Se define por su Imp.
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7. CASOS ESPECIALES
Para resolver estos dos casos, vamos a utilizar el método del cono.
1. Trazar rectas con una pendiente conocida y que pertenezcan a un plano (α)
Datos Incógnita
Plano (α) Pendiente
Rectas (habrá máximo dos soluciones posibles)
Explicación:
Dibujamos un cono que tenga la misma inclinacion
(con el PH) que la que tienen que tener las rectas. El
plano en el que se van a contener esas rectas cortara
el cono dandonos dos rectas, que son las que
buscamos. Ver croquis.
Procedimiento:
Las rectas solución son las generatrices de un cono recto
cuya base se sitúa en un plano horizontal. Para hallarlas se
elige un punto cualquiera del plano (mejor de cota entera)
y con un radio nM (M es el modulo de la recta) se traza
una circunferencia. Los puntos de corte de la misma con
las horizontales de cota “n” veces anteriores o posteriores
a la del punto elegido pertenecen a las rectas solución.
Es decir, elegimos de centro de nuestra circunferencia la
cota 9 y multiplicamos el modulo (M) por n=2, una de las
rectas pasara por estos puntos:
- Corte del cono con la h7
- Centro del cono (h9)
- Corte del cono con h11
El problema puede tener las siguientes soluciones:
a) Si Mα es > Mr no tiene solución
b) Si Mα es < Mr no tiene dos soluciones (ej.: imagen)
c) Si Mα es = Mr la recta es la Imp del plano
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2. Trazar planos (α y β) con una pendiente conocida y que contengan a una recta
dada (r)
Datos Incognita
Pendiente Recta (r)
Planos (α y β)
Explicación:
Dos planos comparten una recta = dos planos se
cortan dando una recta (en los dos casos es la
misma recta la que tenemos). Por lo tanto,
estamos buscando dos planos que se cortan.
Si hacemos un cono que tenga la misma
inclinación que tienen que tener nuestros planos,
solo habrá dos planos que sean tangentes al
contorno de este y que se corten en esa recta,
por lo tanto, estos serán los planos que
buscamos. Ver croquis.
Procedimiento:
Los planos son tangentes a un cono recto cuya base se sitúa
en un plano horizontal. Para hallarlos se calcula el módulo del
plano en función de los datos. Con centro en un punto
cualquiera de la recta (de cota entera para facilitar las
construcciones) se traza una circunferencia de radio Nm.
Desde un punto de una “n” cotas anteriores o posteriores se
trazan las tangentes (en nuestro caso n=1 por lo tanto
usamos los puntos 7-1=6 o 7+1= 8; si tendríamos n=2,
usaríamos los puntos 7-2=5 o 7+2=5).
Estas serán horizontales de los planos de la misma cota que el
punto. A partir de estas horizontales de hallan las Imp de los
planos solución.
El problema puede tener las siguientes soluciones:
a) Si Mα es > Mr no tiene solución
b) Si Mα es < Mr no tiene dos soluciones (ej.: imagen)
c) Si Mα es = Mr la recta es la Imp del plano
