Tema 3Técnicas del análisis de sistemas ycircuitos linealesVersión imprimible del tema 3. Rafael Gómez Alcalá, Escuela Politécnica, Universidadde Extremadura

3.1

Índice

1. Introducción 3-2

2. Método nudos 3-3

3. Método mallas 3-7

4. Casos especiales 3-11

5. Tr. de fuentes 3-16

6. Thévenin y Norton 3-20

7. Potencia máxima 3-23

8. Teoremas de superposición y reciprocidad 3-25

3-1

1. Introducción

Definiciones

Circuitos planares: Aquellos circuitos que pueden dibujarse sobre un plano sin ramas quese crucen. Un circuito con ramas que se cruzan, se considera planar si puede redibujarsesin ramas que se crucen.

+−vs

R1

R6

R5 R4

R7

R2

R3

R8

+−vs

R5

R1

R6R8

R2

R3

R4

R7

3.2

Nudos

+

−

+

−

a

v1

v2

R2

R1

R3

R4

c

f

d

b

R5

e

R6

g

R7I

i1i2

i4i3

i5

i6

Nudo: Un punto en el que se unen uno o más elementos del circuito (a)Nudo esencial: Un nudo en el que se unen tres o más elementos del circuito (b)

3.3

Trayectoria: Un recorrido que une elementos básicos adyacentes, sin incluir elementosmás de una vez(v1 -R1 -R5 -R6).Rama: Una trayectoria que une dos nudos(R1).Rama esencial: Una trayectoria que conecta dos nudos esenciales sin pasar por un nudoesencial(v1 -R1).

3.4

Lazo: Una trayectoria cuyo último nudo es el mismo que el nudo inicial (v1 -R1 -R5 -R6-R4-v2).Malla: Un lazo que no encierra a otros lazos (v1 -R1 -R5 -R3 -R2).

3.5

Ecuaciones simultáneasEl número de corrientes desconocidas de un circuito es igual al número de ramas (b), para

las que se desconoce la corriente. Si tenemos b ecuaciones independientes para un circuito conb corrientes desconocidas y, n es el número de nudos en el circuito, se pueden desarrollar n−1ecuaciones independientes por las leyes de Kirchhoff para n−1 nudos. Necesitamos b ecuacionesy sólo podemos obtener n− 1 ecuaciones por las leyes de la corriente de Kirchhoff con lo que,aplicando la ley de la tensión de Kirchhoff para los lazos, obtenemos las b− (n−1) ecuacionesrestantes. Si contamos los nudos, mallas y ramas con corriente desconocida, se establece unmétodo sistemático para obtener el número de ecuaciones necesarias para resolver el circuito. 3.6

Si ne representa el número de nudos esenciales y be, el número de ramas esenciales dondese desconoce la corriente, aplicamos la ley de la corriente de Kirchhoff a ne -1 nudos y la ley dela tensión a be-(ne-1) lazos o mallas. En un circuito, el número de nudos esenciales es menor oigual al número de nudos y, el número de ramas esenciales es menor o igual al número de ramas.Por ello, conviene utilizar los nudos y ramas esenciales para analizar un circuito. 3.7

3-2

Método sistemáticoPara el circuito anterior, tenemos 4 nudos y 6 ramas esenciales(i1 -i6), para los que se desco-

noce la corriente. Desarrollamos 3 de las 6 ecuaciones simultáneas aplicando la ley de la corrientede Kirchhoff a 3 de los 4 nudos esenciales. Usamos los nudos b, c y e.

−i1 + i2 + i6− I = 0 (1.1)i1− i3− i5 = 0 (1.2)i3 + i4− i2 = 0 (1.3)

3.8

Las 3 ecuaciones que faltan se obtienen de la ley de la tensión de Kirchhoff alrededor de 3mallas. Como hay 4 mallas, rechazamos la R7− I, ya que desconocemos la tensión a través de I.

R1i1 +R5i2 + i3(R2 +R3)− v1 = 0 (1.4)−i3(R2 +R3)+ i4R6 + i5R4− v2 = 0 (1.5)

−i2R5 + i6R7− i4R6 = 0 (1.6)

3.9

Con todo esto, obtenemos el siguiente sistema:

−i1 + i2 +0i3 +0i4 +0i5 + i6 = I (1.7)i1 +0i2− i3 +0i4− i5 +0i6 = 0 (1.8)0i1− i2 + i3 + i4 +0i5 +0i6 = 0 (1.9)

R1i1 +R5i2 +(R2 +R3)i3 +0i4 +0i5 +0i6 = v1 (1.10)0i1 +0i2− (R2 +R3)i3 +R6i4 +R4i5 +0i6 = v2 (1.11)

0i1−R5i2 +0i3−R6i4 +0i5 +R7i6 = 0 (1.12)

3.10

Sumando las corrientes en el n-ésimo nudo (g) tenemos:

i5− i4− i6 + I = 0 (1.13)

Esta ecuación es una combinación lineal de las ecuaciones obtenidas por la ley de la corriente deKirchhoff, con lo cual, no es independiente de ellas. Si introducimos variables nuevas y descri-bimos un circuito con n− 1 ecuaciones o bien, b− (n− 1) ecuaciones, nos permite llegar a unresultado sin necesidad de tantas ecuaciones. Estas nuevas variables se conocen como tensión denudo y corriente de malla. El método de las tensiones en los nudos permite describir un circuitocon ne−1 ecuaciones; el método de las corrientes de malla nos permite be−(ne−1) ecuaciones.

3.11

2. Método de las tensiones en los nudos

Ejemplo

+

−10V

1Ω 2Ω

10Ω5Ω 2A

3-3

Este circuito tiene tres nudos esenciales (ne = 3) y necesitamos dos ecuaciones de tensión delnudo para describir este circuito, esto es, ne−1 = 2. Hay que seleccionar uno de los tres nudoscomo nudo de referencia. Se suele tomar el nudo con mayor número de ramas. En este caso,el número inferior es el que conecta mayor número de ramas, así que se considera como nudode referencia y se simboliza por H ó . Se define la tensión de nudo como un incremento detensión desde el nudo de referencia a un nudo cualquiera. En este circuito definimos dos tensionesde nudo: v1 y v2. 3.12

+

−

+

-

+

-

1Ω 2Ω

5Ω 10Ωv1 v210V 2A

La corriente que sale del nudo 1 hacia la resistencia de 1Ω es, según la ley de Ohm:

(v1−10)1

(2.1)

La corriente que sale del nudo 1 hacia abajo en la resistencia de 5Ω esv1

5y la que sale del nudo

hacia la resistencia de 2Ω es:(v1− v2)

2. Con esto, la ecuación de tensión del nudo es la suma de

todas esas corrientes:v1−10

1+

v1

5+

v1− v2

2= 0 (2.2)

3.13

La ecuación de tensión del nudo 2 es:

v2− v1

2+

v2

10−2 = 0 (2.3)

La solución de este sistema de ecuaciones es:

v1 =10011

= 9,09V (2.4)

v2 =12011

= 10,91V (2.5)

Conociendo las tensiones, podemos calcular las corrientes de las ramas. De aquí se deducen lastensiones y las potencias de los elementos de las ramas. 3.14

3-4

Método de t. nudo y fuentes dependientesSi un circuito tiene fuentes dependientes, las ecuaciones de tensión de nudo deben comple-

3-5

mentarse con las ecuaciones necesarias para expresar las restricciones impuestas por la presenciade las fuentes dependientes. 3.15

3-6

3. Método de las corrientes de malla

CaracteristicasEste método sólo se puede usar en circuitos planares.

+−vs

R1

R5

R6

R2

R8R3

R7

R4

i1

i4

i3

i2

Por ejemplo, este circuito tiene 7 ramas esenciales en las que se desconoce la corriente y 4 nudosesenciales. Por tanto, para resolver este circuito debemos plantear 7-(4-1) ecuaciones indepen-dientes. Se utilizan las corrientes de malla. Una corriente de malla es la corriente que sólo existeen el perímetro de la malla. 3.16

+

−

+

−v1

R1

i1i3 R3

R2

i2v2

Se definen las corrientes de rama(i1, i2 e i3) para obtener las ecuaciones independientes. En estecircuito, be =3 y ne =2. Podemos escribir sólo una ecuación de corriente que sea independiente.Harán falta dos ecuaciones de tensión independientes. 3.17

Si se aplica la ley de Kirchhoff de la corriente al nudo superior y la ley de la tensión deKirchhoff alrededor de las dos mallas, se obtendrán las siguientes ecuaciones:

i1 = i2 + i3 (3.1)v1 = i1R1 + i3R3 (3.2)−v2 = i2R2− i3R3 (3.3)

Si calculamos i3 en la primera ecuación y lo sustituimos en las siguientes, nos queda:

v1 = i1(R1 +R3)− i2R3 (3.4)−v2 =−i1R3 + i2(R2 +R3) (3.5)

3.18

Desarrollamos las ecuaciones, sustituyendo las ne-1 ecuaciones de la corriente en las be-(ne-1) ecuaciones de tensión.

La ventaja de este método consiste en que al definir las corrientes de malla, automáticamen-te eliminamos las ne-1 ecuaciones de corrientes. Este método es equivalente a una sustituciónsistemática de las ne-1 ecuaciones de corriente en las be-(ne-1) ecuaciones de tensión. Ahora seaplican las leyes de la tensión de Kirchhoff alrededor de las dos mallas y se expresan todos lastensiones a través de las resistencias en términos de las corrientes de malla. Para esto es impor-tante tener en cuenta el criterio de signos para ver las caídas o elevaciones de tensión.

v1 = iaR1 +(ia− ib)R3 (3.6)−v2 = (ib− ia)R3 + ibR2 (3.7)

3.19

3-7

+

−

+

−v1

R1 R2

R3 v2ia ib

Si factorizamos los coeficientes de ia e ib, nos queda:

v1 = ia(R1 +R3)− ibR3 (3.8)−v2 =−iaR3 + ib(R2 +R3) (3.9)

3.20

Las corrientes de rama vistas anteriormente, se pueden expresar en términos de la corrientede malla.

i1 = ia (3.10)i2 = ib (3.11)

i3 = ia− ib (3.12)

Si el circuito tiene fuentes dependientes, las ecuaciones de corriente de malla deben complemen-tarse con las ecuaciones que indiquen las restricciones aplicables. 3.21

3-8

3-9

3-10

4. Casos especiales

Método de las tensiones en los nudosCuando una fuente de tensión es el único elemento entre dos nudos esenciales, este método

se simplifica.

+−100V 25Ω 50Ω 5A

-

+2

+

-

1

v1 v2

10Ω

Sólo existe un nudo de tensión desconocida(v2), ya que la fuente de 100V fija la tensión entre elnudo 1 y el de referencia a 100V.

v2− v1

10+

v2

50−5 = 0 (4.1)

Como v1=100V, entonces v2=125V. 3.22

Al conocer v2, se puede calcular la corriente en cada rama. Cuando una fuente de tensiónconecta dos nudos esenciales, limita la diferencia entre las tensiones de nudo, en estos nudos, aun valor igual a la tensión de la fuente. Por tanto, hay que ver si se puede reducir el número deincógnitas y así, simplificar el análisis del circuito. 3.23

+−50V 40Ω

5Ω

50Ω 100Ω 4A

- +

10iΦ

iΦ

Este circuito contiene 4 nudos esenciales, por tanto hay que escribir 3 ecuaciones del nudo. Sinembargo, dos de los nudos, están conectados por una fuente de tensión independiente, y otros dos,por una fuente de tensión controlada por corriente. Por tanto, sólo hay una tensión desconocida.Elegimos como nudo de referencia el nudo inferior ya que en el terminan 5 ramas. El nudo de laizquierda tiene una tensión de nudo que es inmediatamente conocida (50V). 3.24

3-11

+−50V

40Ω

5Ω

50Ω 100Ω4A

- +

10iΦ

iΦ

1 2 3

i

+

-

v1

+

-

v2

+

-

Introducimos la corriente i, ya que no podemos expresar la corriente en la rama de la fuente detensión dependiente como una función de las tensiones v2 y v3. Así, en el nudo 2 tenemos:

v2− v1

5+

v2

50+ i = 0 (4.2)

En el nudo 3 tendremos: v3

100− i−4 = 0 (4.3)

3.25

Si se suman las dos ecuaciones se elimina i:v2− v1

5+

v2

50+

v3

100−4 = 0 (4.4)

Concepto de supernudo: La ecuación anterior podemos escribirla sin pasar por los pasos an-teriores. Para ello, los nudos 2 y 3 del circuito se consideran como un solo nudo y, por tanto,sumamos las corrientes que salen del nudo en términos de las tensiones del nudo v2 y v3.

+−50V

40Ω

5Ω

50Ω 100Ω4A

iΦ

1 2 3

+

-

v1

+

-

v2

+

-

v3

3.26

Cuando una fuente de tensión está entre dos nudos esenciales, podemos combinarlos paraformar un supernudo. La ley de la corriente de Kirchhoff debe cumplirse con el supernudo. Siempezamos por la rama de la resistencia de 5Ω y nos movemos al contrario de las manecillas delreloj del supernudo, tenemos:

v2− v1

5+

v2

50+

v3

100−4 = 0 (4.5)

Con este supernudo hemos simplificado la tarea de análisis del circuito. 3.27

Si desarrollamos esta ecuación y reducimos la expresión a una sola tensión del nudo desco-nocido, nos queda que como v1=50V, la eliminamos de la ecuación y expresamos v3 en funciónde v2.

v3 = v2 +10iΦ (4.6)

Ahora expresamos la corriente que controla a la fuente de tensión dependiente como una funciónde las tensiones de nudo:

iΦ =v2−50

5(4.7)

3.28

Si estas dos ecuaciones las usamos con v1=50, la ecuación del supernudo queda reducida a:

v2

(1

50+

15+

1100

+10500

)= 10+4+1v2(0,25) = 15v2 = 60V (4.8)

Por último, tenemos:

iΦ =60−50

5= 2Av3 = 60+20 = 80V (4.9)

3.29

3-12

Método de corrientes de mallaCuando una rama incluye una fuente de corriente, este método requiere algunas manipula-

ciones especiales.

+−

+−100V

6Ω

3Ω

10Ω

2Ω

4Ω

5A 50V

+

-

via

ib

ic

Tenemos las corrientes de malla, ia, ib e ic. También tenemos la tensión a través de la fuentede corriente de 5A. El circuito tiene 5 ramas esenciales donde la corriente se desconoce y 4nudos esenciales. Tenemos que escribir 5-(4-1) ecuaciones de corriente de malla para resolver elcircuito. La presencia de la fuente de corriente, reduce las 3 corrientes de malla desconocidas ados, porque restringe la diferencia entre ia e ic al ser igual a 5A. Así, si conocemos ia, conocemosic y, viceversa. 3.30

Cuando sumamos las tensiones alrededor de las mallas a o c, debemos introducir en lasecuaciones, la tensión desconocida que hay en la fuente de corriente de 5A. Para la malla decorriente ia tenemos:

100 = 3(ia− ib)+ v+6ia (4.10)

Para la malla de corriente ic tenemos:

−50 = 4ic− v+2(ic− ib) (4.11)

Sumamos las dos ecuaciones y eliminamos v:

50 = 9ia−5ib +6ic (4.12)

3.31

Sumando las tensiones alrededor de la malla de corriente ib, se obtiene:

0 = 3(ib− ia)+10ib +2(ib− ic) (4.13)

Reducimos la dos ecuaciones anteriores a dos ecuaciones con dos incógnitas, usando la siguienterestricción.

ic− ia = 5 (4.14)

Las soluciones para las tres corrientes de malla son:

ia = 1,75A (4.15)ib = 1,25A (4.16)ic = 6,75A (4.17)

3.32

Concepto de supermalla: Para crear una supermalla, eliminamos las fuentes de corriente delcircuito simplemente evitando esta rama al escribir las ecuaciones de corriente de malla. Expre-samos las tensiones alrededor de la supermalla en términos de las corrientes de malla originales:Cuando una rama incluye una fuente de corriente, este método requiere algunas manipulacionesespeciales.

+−

+−100V

6Ω

3Ω

10Ω

2Ω

4Ω

50V

ib

ia ic

3.33

3-13

Al sumar las tensiones alrededor de la supermalla, nos queda:

−100+3(ia− ib)+2(ic− ib)+50+4ic +6ia (4.18)

La ecuación anterior queda reducida a:

50 = 9ia−5ib +6ic (4.19)

Con esto, la supermalla ha eliminado la necesidad de introducir una tensión desconocida a travésde la fuente de corriente. 3.34

Comparación entre los dos métodos

La ventaja de ambos métodos es que reducen el número de ecuaciones simultáneas.El método más eficiente es el que produce menos ecuaciones simultáneas a resolver.Si hay supernudos, el método de las tensiones en los nudos reduce el número de ecuacio-nes.Si hay supermallas, el método de las corrientes de malla reduce el número de ecuaciones.Si resolvemos sólo una parte del circuito y llegamos a la solución deseada entonces hayque ver el método más eficiente para resolver sólo la parte necesaria del circuito.

3.35

3-14

3-15

5. Transformaciones de fuentes

CaracterísticasUna transformación de fuente permite sustituir a una fuente de tensión en serie con una

resistencia por una fuente de corriente en paralelo con la misma resistencia. La transformacióncontraria también es posible. La flecha de doble sentido enfatiza que la transformación de fuentees bilateral; esto es, podemos partir de una configuración y obtener la otra.

3-16

+

−

R

vs is R

a

b

a

b

Hay que calcular la relación entre vs e is, de forma que garantice que ambas son equivalentes conrespecto a los nudos a y b. 3.36

+

−

R

RLvs is R RL

a

b

a

b

iLiL

Esta equivalencia se logra si por cualquier resistencia RL cicula la misma corriente y, por tanto,la misma caída de tensión, si se conecta entre los nudos a y b. Supongamos que RL se conectaentre los nudos a y b de la primera figura. Usando la ley de Ohm tenemos:

iL =vs

R+RL(5.1)

Ahora, conectamos RL entre los dos nudos a y b de la segunda figura y, usando la división decorriente, la corriente RL es:

iL =R

R+RLis (5.2)

3.37

Si ambos circuitos son equivalentes, entonces la corriente de las resistencias debe ser la mis-ma. Si igualamos ambos lados en las dos ecuaciones y simplificamos, nos queda:

is =vs

R(5.3)

Si la polaridad de vs se invierte, la orientación de is debe invertirse para mantener la equivalencia.3.38

3-17

Técnicas especiales de Tr. de fuentesExisten dos técnicas especiales de transformaciones de fuentes. Cuando tenemos una fuente

de tensión en paralelo con una resistencia, esta se puede simplificar, puesto que no tiene ningúnefecto sobre el circuito equivalente. Lo mismo ocurre con una resistencia en serie con una fuentede corriente: tampoco influye en el circuito equivalente.

+

−

+

−

is

R

Rs

R

Vs Vs

a a

aa

b

bb

b

is RRRs

3.39

3-18

3-19

6. Equivalentes Thévenin y Norton

Hermann von Helmholtz1821–1894

Léon Charles Thévenin1857–1926

Hans Ferdinand Mayer1895–1980

Edward Lawry Norton1898–1983

En este enlace se puede descargar un artículo sobre los orígenes del concepto de circuitoequivalente de Helmholtz-Thevenin. En este otro enlace se puede descargar la continuación delartículo anterior, ahora dedicado al equivalente Mayer-Norton.

Equivalente ThéveninAmbos equivalentes son técnicas para la simplificación de circuitos que se basan en el com-

portamiento de los terminales. Aunque los vamos a usar con circuitos resistivos, se pueden usarcon cualquier circuito compuesto de elementos lineales.

+−vTh

RTh a

b

a

bCircuito Theveninequivalente

Red resistivacon fuentesdependientes

e independien-tes

Circuito general

En la figura, el cuadrado representa un circuito compuesto de fuentes dependientes e indepen-dientes y resistencias. Las letras a y b muestran el par de terminales de interés. 3.40

Un circuito equivalente Thévenin es una fuente de tensión independiente VT h en serie con unaresistencia RT h, que reemplaza a una interconexión de fuentes y resistencias. Esta combinaciónen serie de VT h y RT h es equivalente al circuito original ya que, si conectamos la misma carga a

3-20

través de las terminales a y b de cada circuito, obtenemos las mismas tensiones y corrientes en lasterminales de carga. Esta equivalencia se cumple para todos los valores posibles de la resistenciade carga. Para representar el circuito original con su equivalente Thévenin, determinamos latensión Thévenin VT h y la resistencia Thévenin RT h. 3.41

Primero, hay que ver que si la resistencia de carga es infinitamente grande, tenemos unacondición de circuito abierto. Por hipótesis, la tensión del circuito abierto debe ser la mismaque en las terminales a,b del circuito original. Para calcular la tensión Thévenin VT h, basta concalcular la tensión del circuito abierto del circuito original. Al reducir la resistencia de cargaa 0, obtenemos una condición de corto circuito. Si colocamos un corto circuito a través de losterminales a,b del circuito equivalente Thévenin, la corriente de corto circuito dirigida de a haciab es:

isc =VT h

RT h(6.1)

3.42

Por hipótesis, la corriente de corto circuito debe ser idéntica a la que existiría en un cortocircuito a través de las terminales a, b de la red original.

RT h =VT h

isc(6.2)

La resistencia de Thévenin es la relación entre la tensión del circuito abierto y la corriente decorto circuito. 3.43

Equivalente NortonUn circuito equivalente Norton consiste en una fuente de corriente independiente en paralelo

con la resistencia equivalente Norton. Se puede desarrollar a partir de un equivalente Théveninhaciendo una transformación de fuente. La corriente de Norton es igual a la corriente de cortocircuito entre las terminales de interés, y la resistencia Norton es idéntica a la resistencia Théve-nin. A veces, podemos hacer uso de las transformaciones de fuente para desarrollar un circuitoThévenin o Norton equivalente. 3.44

+− 25V 20Ω 3A

5Ω 4ΩPaso 1: Transforma-cion de fuente

5A 5Ω 20Ω 3A

4Ω

a

b

a

b

Paso 2: Combinacionde fuentes en paraleloy resistencias en para-lelo

8Ω 4Ω

4Ω a

b

Paso 3: Transforma-cion de fuente, com-binacion de resisten-cias en serie.

Circuito Thevenin

+− 32V

8Ω a

b

Paso 4: Transformacionde fuente. Circuito equi-valente Norton 4A 8Ω

3.45

Podemos ver que el equivalente Thévenin o Norton se obtienen efectuando la serie de trans-formaciones de fuente. Esta técnica es más útil cuando la red sólo posee fuentes independientes.La presencia de fuentes dependientes requiere preservar la identidad de las corrientes y/o ten-siones de control, y esta restricción impide continuar con la reducción del circuito por medio detransformaciones de fuente. 3.46

3-21

Más sobre ThéveninLa técnica usada antes para calcular RT h, no es siempre el método más eficaz. Hay otros dos

métodos más fáciles de usar. El primer método es útil si la red sólo contiene fuentes indepen-dientes. Para calcular RT h en esta red, primero se desactivan todas las fuentes independientes ydespués, calculamos la resistencia resultante en el par de terminales designados en la red. Unafuente de tensión se desactiva reemplazándola con un corto circuito. Una fuente de corriente sedesactiva reemplazándola con un circuito abierto. 3.47

Ejemplo

+−25V

5Ω

20Ω 3A

4Ω a

b

+

-v0

+

-vab

Este circuito tras la desactivación de las fuentes independientes, queda:

5Ω 4Ω

20Ω

a

b

Rab

Calculamos Rab:

Rab = RT h = 4+5 ·20

25= 8Ω (6.3)

3.48

RT h con fuentes dependientesSi el circuito o red contiene fuentes dependientes, hay otro método para calcular RT h. Primero

se desactivan todas las fuentes independientes y después, aplicamos una fuente de tensión deprueba o una fuente de corriente de prueba a los terminales Thévenin a,b. La resistencia Thévenines igual a la relación entre la tensión a través de la fuente de prueba y la corriente entregada porla fuente de prueba. 3.49

3-22

7. Transferencia de potencia máxima

CaracterísticasVamos a ver la transferencia de potencia en términos de dos tipos básicos de sistemas. El

primero se basa en la eficiencia de la transferencia de potencia. Los sistemas de las compañíaseléctricas son un buen ejemplo de este tipo, porque están relacionadas con la generación, trans-misión y distribución de grandes cantidades de potencia eléctrica. Por tanto, si el sistema es pocoeficiente, gran parte de la potencia generada se pierde en los procesos de transmisión y distribu-ción. El segundo se basa en la cantidad de potencia transferida. Los sistemas de comunicación einstrumentación son ejemplos en la transmisión de información o datos, a través de señales eléc-tricas, la potencia disponible para el transmisor o detector es limitada; con lo cual, es preferibletransmitir tanta potencia como sea posible al receptor o carga. 3.50

3-23

En estas aplicaciones, la cantidad de potencia que se transfiere es pequeña con lo cual, la efi-ciencia de la transferencia no es la preocupación principal. Vamos a considerar la transferenciade potencia máxima en un sistema que se puede modelar con un circuito resistivo puro. Supon-gamos una red resistiva con fuentes dependientes e independientes, un par de terminales a y b,al que se conectará RL.

a

b

RL

Red resistiva confuentes dependien-tes e independien-tes

3.51

Para determinar RL, el primer paso es reconocer que una red resistiva siempre se puede re-emplazar por su equivalente Thévenin.

+−VTh

RTh a

b

RLi

El cálculo de RL requiere que la potencia disipada de RL se exprese como una función de los tresparámetros del circuito (VT h, RT h y RL).

p = i2RL =

(VT h

RT h +RL

)2

RL (7.1)

Para un circuito dado, VT h y RT h tienen un valor fijo con lo cual, la potencia disipada es unafunción de una variable (RL). 3.52

Vamos a usar el cálculo elemental para hallar el valor de RL que hace máxima la potencia.Escribimos una ecuación para la derivada de p con respecto a RL:

d pdRL

=V 2T h

[(RT h +RL)

2−RL2(RT h +RL)

(RT h +RL)4

]La derivada es 0 y p es máxima cuando:

(RT h +RL)2 = 2RL (RT h +RL) (7.3)

3.53

Resolviendo la ecuación, nos queda:

RL = RT h (7.4)

Por tanto, la transferencia de potencia máxima ocurre cuando RL es igual a RT h. Para calcular lapotencia máxima entregada a RL, simplemente sustituimos RL por RT h en la primera ecuación:

pmax =V 2

T hRL

(2RL)2 =

V 2T h

4RL(7.5)

3.54

3-24

8. Teoremas de superposición y reciprocidad

Teor. de superposiciónUn sistema lineal obedece al principio de superposición, que establece que cuando se excita,

o se alimenta con más de una fuente independiente de energía, la respuesta total es la suma delas respuestas individuales. Una respuesta individual es el resultado de una fuente independienteactuando sola. Consideremos el circuito de la figura:

+−120V

6Ω 2Ω

3Ωi3 i4

i1 i2 4Ω 12A

3-25

Empezamos buscando las corrientes de rama que resultan de la fuente de tensión de 120V, y lasindicamos con una prima. Si reemplazamos la fuente de corriente ideal con un circuito abierto,se desactiva. 3.55

Las corrientes de rama en este circuito son el resultado de una sola fuente de tensión.

+−120V

6Ω

4Ωi’1

i’2

i’3i’4

v1 2Ω

3Ω

Al conocer la tensión a través de la resistencia de 3Ω, es fácil calcular las corrientes de rama.Esta tensión la llamamos v1.

v1−1206

+v1

3+

v1

2+4= 0v1 = 30V (8.1)

3.56

Ahora, escribimos las expresiones para las corrientes de rama.

i′1 =

120−306

= 15A (8.2)

i′2 =

303

= 10A (8.3)

i′3 = i

′4 =

306

= 5A (8.4)

Para calcular el componente de las corrientes de rama que resultan de la fuente de corriente,desactivamos la fuente de tensión ideal y resolvemos el nuevo circuito. La doble prima indicaque son los componentes de la corriente total que resultan de la fuente de corriente ideal. 3.57

6Ω 2Ω

3Ω 4Ω12A

i’’1 i’’3i’’2 i’’4

3 4

Vamos a calcular las corrientes de rama, resolviendo primero para las tensiones de nudo a travésde las resistencias de 3Ω y 4Ω. Vamos a ver el circuito con las dos tensiones de nudo.

6Ω 2Ω

3Ω 4Ω12A

+

-

v3

+

-

v4

3 4

3.58

Las dos ecuaciones de la tensión del nudo son:

v3

3+

v3

6+

v3− v4

2= 0 (8.5)

v4− v3

2+

v4

4+12 = 0 (8.6)

3-26

Deducimos que v3=-12V y v4=-24V Ahora podemos escribir las corrientes de rama i′′1 a i′′4 direc-tamente en términos de las tensiones v3 y v4.

i′′1 =−v3

6=

126

= 2A (8.7)

i′′2 =v3

3=−12

3=−4A (8.8)

i′′3 =v3− v4

2=−12+24

2= 6A (8.9)

i′′4 =v4

4=−24

4=−6A (8.10)

3.59

Obtenemos las corrientes de rama del circuito original

i1 = i′1 + i′′1 = 15+2 = 17A (8.11)i2 = i′2 + i′′2 = 10−4 = 6A (8.12)i3 = i′3 + i′′3 = 5+6 = 11A (8.13)

i4 = i′4 + i′′4 = 5−6 =−1A (8.14)

Cuando se aplique la superposición a circuitos lineales con fuentes dependientes e independien-tes, se ha de tener en cuenta que las fuentes dependientes nunca se desactivan. 3.60

3-27

Teorema de reciprocidadEl teorema de reciprocidad establece que la corriente producida en cualquier rama de un

circuito debido a una fuente de tensión que está en una segunda rama, es igual a la corriente queserá producida en la segunda rama si la fuente de tensión fuera transferida a la primera rama.

Red

Pasiva

Red

PasivaVI

I

+

-

V

+

-

También podemos decir: La tensión producida en cualquier nudo del circuito por una fuente de

3-28

corriente conectada en otro nudo, es igual a la tensión del primer nudo si la fuente de corrientefuera transferida al segundo nudo.

Red

Pasiva

Red

Pasiva

+

−

+

−

V

V

I

I

3.61

DemostraciónComo paso previo, consideremos que las ecuaciones resultantes del análisis por corrientes de

malla nos proporciona un sistema de ecuaciones lineales:

R11I1 +R12I2 + · · ·+R1MIM = V11 (8.15)R21I1 +R22I2 + · · ·+R2MIM = V22 (8.16)

... (8.17)Rm1I1 +Rm2I2 + · · ·+RmMIM = Vmm (8.18)

... (8.19)RM1I1 +RM2I2 + · · ·+RMMIM = VMM, (8.20)

donde Vmm es la tensión neta en la malla m-ésima, I1 · · · IM son corrientes de malla y los coefi-cientes Ri j son las resistencias. El determinante de la matriz de este sistema sería:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣R11 R12 · · · R1MR21 R22 · · · R2M

......

...RM1 RM2 · · · RMM

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (8.21)

y la solución para la corriente de malla Im es:

Im =1∆

∣∣∣∣∣∣∣∣∣R11 R12 · · · R1m−1 V11 R1m+1 · · · R1MR21 R22 · · · R2m−1 V22 R2m+1 · · · R2M

......

......

... · · ·RM1 RM2 · · · RMm−1 VMM RMm+1 · · · RMM

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (8.22)

Otra forma de escribir lo anterior es utilizando los determinantes ∆nm, resultantes de eliminar lafila n y la columna m:

(−1)m−1Im =V11∆1m

∆−V22

∆2m

∆+V33

∆3m

∆· · ·+(−1)M−1VMM

∆Mm

∆. (8.23)

Para demostrar el teorema de reciprocidad, consideramos dos ramas de un circuito y elegimosnuestras mallas de manera que una rama sólo aparezca en una malla (malla 1) y la otra, sólo enla otra malla (malla 2). Con estas condiciones, la corriente en la rama 1 será I1 y en la rama 2será I2. La tensión V1 en la rama 1 será sólo parte de V11 y la tensión V2 de la rama 2 sólo formaráparte de V22. 3.62

El teorema de superposición establece que la corriente provocada por una fuente de tensión esindependiente de otras tensiones, así que sin perder la generalidad, esto siempre ocurre exceptocuando V1 y V2 son 0. La soluciones para las corrientes de malla I1 e I2 son:

I1 =V1∆11

∆−V2

∆21

∆(8.24)

I2 =−V1∆12

∆+V2

∆22

∆(8.25)

3-29

Ahora consideramos que V1 = V2 = V y actuamos en cada una de las ramas. La corriente en larama 1 actuando sólo en la rama 2 será:

I′1 =−V∆21

∆(8.26)

3.63

La corriente en la rama 2 actuando sólo en la tensión de la rama 1 será:

I′2 =−V∆12

∆(8.27)

Ahora, en las ecuaciones generales de mallas, para cualquier par de valores p y q, tenemos queRpq = Rqp y, renombrando las filas y columnas de un determinante que puede ser intercambiadassin afectar a su valor, podemos ver que ∆pq = ∆qp y por eso, I′1 = I′2. Como este resultado tambiénse obtendría con otras dos mallas elegidas arbitrariamente, el teorema queda demostrado. 3.64

3-30