Tema 3 Campo eléctrico - Consellería de Cultura ... · 3-2 Lei de interacción entre cargas...

Tema 3: Campo eléctrico 1

Tema 3 Campo eléctrico 3-1 Propiedades fundamentais da carga eléctrica: conservación e cuantización 3-2 Lei de interacción entre cargas eléctricas: Lei de Coulomb 3-3 Intensidade de campo eléctrico. Teorema de Gauss

3-4 Aplicacións do teorema de Gauss a

conductores cargados 3-5 Enerxía potencial eléctrica. Potencial

eléctrico. 3-6 Problemas e cuestións

Introducción histórica. Thales de Mileto (ano 600 a. de C.) observou unha propiedade que tiña o ámbar (resina fósil): despois de friccionalo cun pano de la, atraía pequenos anacos de palla. Esta experiencia xunto con outros fenómenos naturais, como as descargas eléctricas en días de tormenta, a atracción dos cabelos polo peite en días secos, etc, foron estudiados e interpretados considerando unha nova propiedade da materia: a electricidade (do grego elektron, que significa ámbar). Numerosos investigadores dedicáronse ao estudio da electricidade, sendo destacados entre eles Benjamin Franklin (1706-1790) que inventou o pararraios, e Charles A. de Coulomb (1736-1806) que determinou experimentalmente a expresión matemática da forza exercida entre corpos cargados. Actualmente sabemos que a materia está formada por átomos, constituídos por un núcleo central positivo, e electróns negativos xirando arredor. Un átomo en estado normal é electricamente neutro, é dicir, ten a mesma carga positiva no núcleo que carga negativa na cortiza electrónica. Fenómenos de electrización por fricción. A continuación describimos unha experiencia sinxela de laboratorio sobre a natureza eléctrica da materia. Cando friccionamos unha varela de vidro cun pano de la, algúns electróns das capas externas dos átomos da varela, poden escapar da atracción exercida polo núcleo, quedando a varela cargada positivamente (Fig. a) Os electróns perdidos pola varela pasan ao pano de la, que queda cargada negativamente de xeito que a carga total do sistema varela-pano, é dicir, a suma alxebraica das cargas positivas e negativas, non varía. Está é unha regra xeral que se cumpre en tódolos procesos observados na natureza: Principio de conservación da carga eléctrica: A carga total dun sistema illado (que non permita intercambios de carga co exterior) permanece constante. Analogamente ao friccionar unha varela de


ámbar ou ebonita (material plástico) cun pano de la, algúns electróns dos átomos do pano pasan á varela de ámbar (Fig..b) quedando a varela cargada negativamente, e o pano cargado positivamente, de xeito que a carga total ou neta non varía. Cando acercamos a varela de vidro cargada positivamente por fricción, a un péndulo lixeiro de miolo de sabugueiro, observamos que este é atraído pola varela (Fig. a) A carga positiva da varela provoca a polarización do péndulo, e aparece unha forza. eléctrica de atracción entre as cargas de distinto signo do péndulo e da varela, superior á forza de repulsión entre as cargas de igual signo, que están máis separadas. Analogamente a influencia da carga negativa dunha varela de ámbar electrizada por fricción, produce a polarización do péndulo, e da lugar a unha forza neta de atracción (Fig. b) Se acercamos simultaneamente as dúas varelas, os efectos que producirían por separado sobre o péndulo, contrarréstanse entre si, diminuíndo ou anulándose a forza de atracción. Está experiencia permitiu deducir a existencia de dous tipos de electricidade: a positiva (defecto de electróns) do vidro, e a negativa (exceso de electróns) do ámbar, e demostrar que os corpos cargados co mesmo tipo de electricidade repélense, e os cargados con distinto tipo de electricidade atráense.

A unidade de carga eléctrica no S.I. é o Coulomb, C, definida coma a carga que atravesa por segundo a sección dun conductor, polo que circula unha corrente eléctrica de intensidade igual a un amperio. Cuantización da carga eléctrica. Experimento de Millikan. Experimentalmente observase que a carga eléctrica, aparece sempre en múltiplos enteiros da carga do electrón. A carga do electrón, e=1,6·10-19 C, denomínase unidade fundamental de carga ou cuanto de carga, e exprésase o resultado experimental anterior coma cuantización da carga eléctrica. Entre as numerosas experiencias levadas a cabo para confirmar a cuantización da carga eléctrica, é clásico o realizado polo físico norteamericano Robert A. Millikan a principios deste século. O seu experimento chamado da gota de aceite consistía en introducir entre dúas placas que podían cargarse ou descargarse mediante un interruptor, e a través duns pequenos furados na placa superior, varias gotas de aceite procedentes dun pulverizador. A maioría destas gotas cargábanse por fricción na boquilla do pulverizador. A observación minuciosa do movemento destas gotas provocado polas placas cargadas, permitiu demostrar que as cargas das gotas eran sempre iguais a, ou múltiplos enteiros da, carga elemental, e=1,6·10-19 C. Xamais se atoparon excepcións a esta regra. 3-2 Lei de interacción entre cargas eléctricas: Lei de Coulomb Coulomb empregando unha balanza de torsión similar á utilizada por Cavendish para medir a constante G da gravitación universal, realizou diversas medicións das forzas de atracción e repulsión entre cargas eléctricas atopando, primeiro que a forza entre dous corpos


con cargas determinadas, era inversamente proporcionais aos cadrados das distancias que as separaban:

2

1Fr

∝

Por outra parte, mantendo constante a distancia e realizar diversas experiencias con distintas cargas, deduciu que as forzas eléctricas eran directamente proporcionais ao producto das cargas:

·F Q q∝ Englobando estes dous resultados experimentais, Coulomb formulou a súa lei: A forza de atracción ou de repulsión entre dúas cargas, Q e q, é directamente proporcional ao producto das cargas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que as separa:

2

QqF = Kr

a constante K de proporcionalidade depende do medio no que se realice a interacción entrambas cargas, e expresase coma función da constante dieléctrica absoluta ou permitividade absoluta, εa, do medio:

a

1K =4πε

A constante dieléctrica do baleiro representase con ε0, e se as cargas interactúan no baleiro, a constante K de proporcionalidade da lei de Coulomb vale:

9

0

9·101K = SI4πε

=

Defínese a permitividade relativa, ε, dun medio coma o cociente entre a súa permitividade absoluta εa e a do baleiro ε0:

0

a= εεε

Esto permite escribir a lei de Coulomb para un medio de constante dieléctrica relativa ε coma: 9

2 2

1 9·104

Qq QqFr rπε ε

= =

A dirección da forza eléctrica entre dúas cargas puntuais é a da recta que as une, e o sentido é de atracción, se as cargas son de distinto signo, ou de repulsión se teńen igual signo. A interacción eléctrica entre dúas cargas produce forzas mutuas de atracción ou repulsión, de igual módulo e dirección, pero sentidos opostos. Dependendo do signo das cargas poden producirse os casos representados na figura.

A expresión vectorial da forza exercida por unha carga Q sobre outra q é:

2

sendo un vector unitario e

o módulo da forza

F F u u

Q qF K

r

=

=


onde debemos usar os valores absolutos das cargas porque un módulo é sempre positivo. Diferencias entre as forzas eléctricas e gravitatorias. A lei de Coulomb recorda a lei da Newton da gravitación universal, sen embargo os fenómenos eléctricos e gravitatorios diferéncianse en dous puntos esenciais. Por unha banda as forzas gravitatorias son sempre de atracción mentres que as eléctricas poden ser de repulsión ou de atracción, dependendo do signo das cargas que interaccionan. Por outro lado as forzas eléctricas resultan ser moito máis intensas cás gravitatorias; se comparamos por exemplo as interaccións eléctrica e gravitatoria entre dous protóns resulta:

2236electrica

2p p pgravitatoria

2

eeKF Ker= = 10m mF GmGr

≈

sendo e a carga do protón que é igual en valor absoluto á carga do electrón. A forza gravitatoria solo é importante entre corpos neutros e de gran masa, como por exemplo os corpos celestes, pero en fenómenos entre partículas cargadas a nivel microscópico é indetectable. A enerxía de ligadura dos electróns dentro dun átomo, ou dos átomos que forman unha molécula, é da mesma orde de magnitude que a producida polas forzas eléctricas de atracción entre os electrón e o núcleo dentro do átomo, ou entre os átomos dentro da molécula, respectivamente. Polo tanto o comportamento químico da materia, e os procesos biolóxicos que son fenómenos químicos complexos, son debidos a interaccións eléctricas entre átomos e moléculas. Principio de superposición. A forza exercida por unha carga sobre outra non se ve influenciada pola presencia doutras cargas. Podemos aplicar este principio para calcular a forza total F exercida por un sistema de cargas puntuais Q1, Q2, Q3, ... sobre unha carga q. A forza total F é igual á suma vectorial das forzas 1 2 3, eF F F ... con que actúan por separado cada unha delas sobre dita carga.

1 2 3 ...F = F F F+ + + 3-3 Intensidade de campo eléctrico. Teorema de Gauss Sexa unha carga Q arredor da que colocamos, en diferentes posicións, outra carga q . En cada posición a carga q experimenta unha forza debida á interacción eléctrica con Q dada pola lei de Coulomb. Por suposto, que en cada posición de q, a carga Q experimenta unha forza igual e oposta. Pero aquí soamente estamos interesados no que lle pasa a q. Podemos interpretar este fenómeno, dicindo que a carga Q modifica o


espacio que a rodea, creando ao seu arredor un campo eléctrico, que se recoñece pola forza, que Q exerce sobre outras cargas colocadas en dita rexión. Para caracterizar cuantitativamente o campo eléctrico producido pola carga Q nun punto P emprégase a intensidade do campo eléctrico E , definida coma a forza exercida sobre a unidade de carga positiva, q= +1 C, colocada en P. Logo:

2 = ( : )Q NE E u K u unidader C

=

sendo u un vector unitario e 2= Q

E Kr

o módulo da

intensidade, onde debemos usar o valor absoluto da carga porque un módulo é sempre positivo. O vector intensidade de campo eléctrico E en P ten como dirección á da recta que une a carga Q co punto P. Está dirixido cara á carga Q se esta é negativa, e ten sentido contrario se a carga Q é positiva. Cada punto do campo eléctrico creado por Q ten asociado un valor do vector E , tal que a forza F exercida sobre unha carga q colocada en dito punto, é igual a:

(± )F = q E dependendo de que a carga q sexa positiva, ou negativa, os sentidos de F e E son iguais, ou opostos, respectivamente. Supoñamos agora que temos varias cargas Q1, Q2, Q3,..., cada unha producindo o seu propio campo eléctrico (ver figura do apartado anterior). A forza total sobre unha partícula de carga q en P vale:

1 2 3 1 2 3... ( ...)F = qE qE qE = q E E E = qE+ + + + + +

onde 1 2 3, eE E E son os vectores intensidade de campo eléctrico producido por cada carga no punto P. Por tanto a intensidade do campo eléctrico creado por varias cargas é igual a suma vectorial das intensidades do campo eléctrico creado por cada carga (principio de superposición).

1 2 3 ...E = E E E+ + +

Un campo eléctrico pode representarse graficamente mediante liñas de forza. Debúxase unha liña de forza de xeito que en cada un dos seus puntos a dirección do campo eléctrico E sexa tanxente. Ademais as liñas de forza trázanse de forma que a súa densidade, ou número de liñas


que atravesan a unidade de superficie perpendicular ao campo, sexa proporcional á intensidade do campo. Por convenio as liñas de forza saen das cargas positivas e entran nas cargas negativas. Nas figuras están representados mediante liñas de forza, o campo eléctrico creado por dúas cargas iguais, e o campo creado por dúas cargas opostas. Fluxo de campo eléctrico. Teorema de gauss. O fluxo Φ dun campo eléctrico E a través dunha superficie A perpendicular ao campo, e na que este non varia (Fig. a) e o producto do módulo da intensidade de campo pola área de dita superficie: Φ=E·A. Como o vector E é proporcional á densidade de liñas de forza, o fluxo a través dunha superficie é proporcional ao número de liñas de forza que a atravesa. Esto proporciónanos unha idea xeométrica intuitiva do concepto de fluxo. O calcular o fluxo que atravesa unha superficie podémonos atopar con que a superficie A, aínda sendo plana, non sexa perpendicular ao campo E . Neste caso debe substituírse por outra superficie equivalente A', no sentido de que sexa atravesada polo mesmo número de liñas de forza, pero situada perpendicularmente o campo. Sexa θ é o ángulo formado por un vector n perpendicular á superficie A, e o campo E . A superficie equivalente A' será: A'= l'·a=l·cosθ.a=A·cosθ (Fig. b) e asignando á superficie un vector A An= , de módulo igual á área da superficie e dirección perpendicular a esta, podemos expresar o fluxo mediante o producto escalar: ·E AΦ = No caso mais xeral, dun campo eléctrico variable e unha superficie non plana, (Fig. c) o fluxo debe calcularse por integración, como límite da suma dos fluxos a través de cada porción de superficie, cando a área destas tenden a cero:

· ·lim= E dA= E A A 0 Φ ∫ ∑ ∆

∆ →

Concepto de ángulo sólido. Ao igual que se define ángulo coma a porción de plano limitada por dúas rectas que se cortan, o ángulo sólido é a parte do espacio limitado por unha superficie cónica (Fig. a). Un ángulo sólido mídese en estereorradiáns (sr). Un sr é o ángulo sólido correspondente a unha porción de superficie esférica de área igual ao cadrado do radio r2 (Fig. b). Para obter o ángulo sólido correspondente a unha superficie arbitraria divídese a súa área A entre a correspondente a 1 sr, o cadrado do radio r2:

2

A=r

Ω

Ó ángulo sólido correspondente a unha esfera completa, obtense dividindo a súa área S=4πr2 entre a área r2 correspondente a 1 sr, e vale 4π sr.


Teorema de Gauss: Dada unha carga puntual Q, o fluxo do campo eléctrico, a través dunha superficie pechada arbitraria calquera que a encerre, é igual ó cociente de dita carga entre a constante dieléctrica absoluta do medio:

a

Q= ε

Φ

Demostración: Consideremos unha superficie A cerrada arbitraria, que encerre dita carga, e calculemos o fluxo a través dela, do campo E creado pola carga:

cos· cos cos2 2

a a

1 Q Q dA= E dA= E dA = dA= 4 4 r r

θθ θπ πε ε

Φ ∫ ∫ ∫ ∫

Cada producto cosθdA é a área equivalente dA' perpendicular ao radio, e ao dividila por r2 obtemos o elemento dΩ de ángulo sólido subtendido por dA visto dende Q, (Fig. c). Como integramos nunha superficie cerrada, o ángulo sólido total é o correspondente a unha esfera que vale 4π sr, e por tanto o fluxo eléctrico total é:

a a

Q Q= 4 = 4

ππε ε

Φ

Si existen varias cargas no interior da superficie o fluxo total, ou suma do número de lińas de campo que saen da superficie menos o número das que entran, obtense substituíndo no teorema de Gauss a carga Q, pola suma alxebraica das cargas interiores ; as cargas exteriores non contribúen ao fluxo neto pois as lińas de campo que producen atravesan a superficie pechada dúas veces, unha entrando e outra saíndo, de xeito que o fluxo neto que producen é cero.

3-4 Aplicacións do teorema de Gauss a conductores cargados. Un metal é un sólido cristalino (agás o mercurio que é líquido), cos ións situados nos vértices dunha rede xeométrica tridimensional, entre os que se moven libremente os electróns. Cando non hai movemento ordenado dos electróns, é dicir, cando non hai corrente eléctrica, dise que o conductor está en equilibrio. Para que un conductor estea en equilibrio, o campo eléctrico E no seu interior debe ser nulo,

0iE = . En efecto: se o campo iE no interior non fose nulo, 0iE ≠ , provocaría o movemento ordenado dos electróns, e o conductor non estaría en equilibrio. Para que un conductor estea en equilibrio, o campo eléctrico na superficie do conductor debe ser perpendicular a esta. En efecto: se o campo E na superficie do conductor, non é perpendicular á superficie, senón oblicuo, podemos descompoñelo en dúas compoñentes, unha


perpendicular E⊥ e outra paralela E á superficie (Fig. a). A compoñente E⊥ provoca unha forza sobre os electróns cara ao exterior do metal, pero esta forza anúlase coa atracción exercida polos ións positivos do metal, de xeito que E⊥ non ocasiona movemento de electróns. A

compoñente paralela E produciría unha corrente eléctrica sobre a superficie do conductor, e por tanto este non estaría en equilibrio.

A carga nun conductor macizo en equilibrio localízase na superficie. En efecto: consideremos un conductor macizo cargado, é dicir, cun exceso ou un defecto de electróns. Se está en equilibrio o campo eléctrico no seu interior será nulo, 0E = . Tomemos unha superficie gaussiana (dise daquela superficie á que se aplica o teorema de Gauss) xusto por debaixo da superficie do conductor (Fig. b). O fluxo a través da superficie gaussiana é nulo:

·= E dA= 0Φ ∫

por ser 0E = . Do teorema de Gauss deducimos que no interior do conductor a carga neta é nula:

a

Q= = 0 Q = 0ε

Φ ⇒

Polo tanto a carga do conductor macizo en equilibrio debe estar na superficie. A carga por unidade de superficie ou densidade superficial de carga σ= ∆Q/∆A non é constante en xeral. A repulsión eléctrica entre cargas de igual signo fai que se acumulen nas zoas de maior curvatura e principalmente nas puntas por onde poden, incluso, saír fóra do metal. Nesta propiedade das puntas están baseados algúns pararraios, que envían carga dende o chan ás nubes onde neutralizan paulatinamente a carga destas, impedindo as descargas eléctricas ou raios, que producen este mesmo efecto pero de forma rápida e destructora. Dentro do espacio baleiro encerrado por un conductor oco en equilibrio, o campo eléctrico é nulo. En efecto: En todo o conductor, é dicir, no espacio comprendido entre as superficies exterior e interior do conductor, o campo eléctrico é nulo porque está en equilibrio. Tomando unha superficie gaussiana (Fig. c) xusto por debaixo da superficie exterior do conductor deducimos, de xeito igual ao realizado no apartado anterior, que non hai carga no interior e que por tanto está na superficie externa do conductor oco. Aplicando o teorema de gauss a unha superficie pechada xusto por debaixo da superficie interior do conductor, deducimos que o campo eléctrico no oco é nulo. Como Qi=0 será:

· i

a

QE dA= = 0 E = 0ε

⇒∫

En consecuencia, basta rodear cunha pantalla metálica ou cunha rede de conductores, un obxecto para protexelo dos campos eléctricos externos. Este efecto coñecese como apantallamento eléctrico. Nota: Con maior rigor, que o fluxo sexa nulo Φ=0 non implica que o campo sexa nulo 0E = . Se o campo E fora constante no oco, o número de liñas de forza que entrarían na superficie gaussiana sería


igual ao que sairían, é dicir, o fluxo sería nulo. Pero tomando unha superficie gaussiana cortada pola superficie interna do conductor, entrarían liñas de forza na parte da superficie dentro do oco, e non sairían pola parte situada dentro do conductor onde o campo é nulo, de xeito que o fluxo non sería nulo, e existiría carga dentro do conductor, o que é falso. Cálculo do campo creado por un plano cargado, aplicando o teorema de Gauss. Sexa un plano infinito cunha carga uniforme σ por unidade de superficie. Por simetría o campo eléctrico será perpendicular á superficie como se indica na figura a, e terá o mesmo módulo nos puntos situados á mesma distancia a ambos lados do plano. Coma superficie gaussiana empregamos a do cilindro debuxado. O fluxo que atravesa a superficie cilíndrica é igual á suma do fluxo que traspasa a base inferior Φ1=E·S1=E·S, máis o fluxo a través da base superior Φ2=E·S2=E·S máis o que atravesa a superficie lateral do cilindro que é nulo por ser a superficie paralela ao campo. O fluxo total é Φ=2ES. Por outra parte a carga no interior do cilindro é Q=σS. Aplicando o teorema de Gauss:

a a a

Q S= 2ES = E = 2

σ σε ε ε

Φ ⇒ ⇒

expresión que indica que o campo é independente da distancia ao plano. Na práctica en planos finitos cargados uniformemente, está expresión é válida para distancias pequenas ao plano. Se consideramos dúas placas cargadas uniformemente con signos opostos , fig. b, exteriores temos dous campos de igual módulo e dirección, pero de sentidos opostos, polo que o campo no exterior é nulo. Entre as dúas placas ambos campos teñen igual sentido, e o campo total dirixido dende a placa positiva á negativa ten por módulo:

a

E = σε

Cálculo do campo creado por unha esfera cargada, aplicando o teorema de Gauss. Por simetría a intensidade de campo E debe ser radial e depender só da distancia r ao centro da esfera. Tomemos coma superficie gaussiana unha esfera concéntrica coa esfera cargada e de radio maior que esta r>R. O fluxo eléctrico a través dela é:

2= E dA= E dA= E dA= E 4 rφ π∫ ⋅ ∫ ∫ A carga no interior da superficie gaussiana é a carga Q da esfera cargada. Aplicando o teorema de Gauss:

22

a a a

Q Q 1 Q= E 4 = E =r 4 rπ

πε ε εΦ ⇒ ⇒

O campo eléctrico creado por unha esfera cargada uniformemente, é igual ao creado por unha carga igual á da esfera colocada no seu centro.


Nota: Existe un teorema de Gauss para o campo gravitatorio co seguinte enunciado: Dada unha masa puntual M, o fluxo do campo gravitatorio a través dunha superficie pechada arbitraria calquera que a encerre, é igual ao producto de dita masa pola constante 4πG. A demostración é moi similar á realizada no caso do campo eléctrico:

2 2

cos· cos 4GM dAg dA dA GM GMr r

θθ πΦ = = = =∫ ∫ ∫

Aplicando o teorema ao caso dunha esfera de densidade constante (aproximadamente calquera planeta ou estrela) podemos obter que o campo gravitatorio que crea, que é igual ao creado por unha masa puntual igual á da esfera e colocada no seu centro:

2 24 4 ; /g r GM g GM rπ πΦ = = = Cálculo do campo eléctrico creado por un fío rectilíneo indefinido cargado uniformemente. Por simetría o campo eléctrico será perpendicular ao fío e terá o mesmo módulo en puntos situados a igual distancia de este. Como superficie gaussiana empregaremos un cilindro concéntrico ao fío.Definimos a densidade lineal de carga λ como a carga eléctrica contida na unidade de lonxitude de fío: λ=q/l. Ao aplicar o teorema de Gauss, o fluxo a través das caras do cilindro será nulo e:

· · 2área área árealateral lateral lateral

E dA E dA EdA E dA E rlπΦ = = = = =∫ ∫ ∫ ∫

A carga no interior da superficie gaussiana é: q=λl. Aplicando o teorema de Gauss: E2πrl=λl/εa

2 a

Er

λπε

=

3-5 Enerxía potencial eléctrica. Potencial eléctrico. Enerxía potencial eléctrica é a que posúe un corpo cargado por estar situado dentro dun campo eléctrico. Consideremos o campo eléctrico creado por unha carga Q, e un punto P do campo situado a unha distancia r da carga Q. A forza eléctrica exercida pola carga Q creadora do campo sobre unha carga q colocada en P ven dada pola lei der Coulomb:

2

QqF = K ur

Defínese a enerxía potencial eléctrica Ep da carga q no punto P, como o traballo realizado pola forza eléctrica, cando a carga q se despraza dende o punto P considerado ata o infinito:

·p 2rr r

Qq 1 1 1 KQq= W = F dr = K dr = KQq = KQq ( ) = E r r rr

∞∞ ∞ − − − − ∞ ∫ ∫

A enerxía potencial dunha carga q no campo creado por unha carga puntual Q, nun punto P situado a unha distancia r, é unha magnitude escalar, positiva ou negativa, segundo sexa o signo das cargas:

p( Q)( q)= KE r± ±

a enerxía potencial eléctrica será positiva se as dúas cargas teńen igual signo, e negativa se


teńen distinto signo. Para caracterizar cuantitativamente un campo eléctrico pódese asignar a cada punto, ademais do vector E vec, unha magnitude escalar, o potencial eléctrico V definido coma a enerxía potencial da unidade de carga positiva q=+1 C colocada en dito punto. Da fórmula da enerxía potencial obtemos a expresión correspondente do potencial eléctrico:

( Q)V = Kr±

que é unha magnitude escalar, positiva ou negativa segundo sexa o signo da carga Q que crea o campo. O traballo realizado por un campo eléctrico sobre unha carga q, cando esta se despraza dende o punto inicial ri ao final rf, é igual á enerxía potencial eléctrica no punto i menos a do punto f, ou ao producto da carga q pola diferencia entre o potencial eléctrico Vi menos o potencial Vf:

i pf i fpW = - = ( q)( - )V VE E ± En efecto:

·f f f

ii i

r r r

2f irr r

i fi ff i

Qq 1 1 1W = F dr = K dr =KQq = KQq ( ) =rr r r

KQq KQq+ = qV qV = q( )V Vr r

− − − −

= − − −

∫ ∫

Sexa unha carga q sometida exclusivamente a campos eléctricos. Se a carga se despraza a favor da forza do campo o traballo eléctrico é positivo (pois o desprazamento dr ten o mesmo sentido cá forza F , e: ·F dr >0). En consecuencia a carga perde Ep (pois W=Epi-Epf>0) e gańa Ec (pois a forza ten o mesmo sentido co movemento e aumenta o módulo da velocidade). O principiode conservación da enerxía permite asegurar que a diminución da Ep é igual ao aumento da Ec. Se a carga q se despraza en contra da forza do campo (debido á acción dun ha forza externa ao campo ou a costa dunha diminución da velocidade da carga) o traballo eléctrico é negativo e a carga gańa Ep. O potencial eléctrico creado por varias cargas Q1, Q2, Q3, ..., é a suma alxebraica dos potenciais eléctricos creados por cada carga (suma de termos positivos e negativos):

1 2 3V = + + +...V V V Unindo os puntos nos que o potencial eléctrico ten o mesmo valor, obtemos unha serie de superficies chamadas superficies equipotenciais. Por exemplo, no caso dunha soa partícula de carga Q, o potencial V=KQ/r é constante se r=cte, polo que as superficies equipotenciais corresponden a esferas con centro na carga Q. Nótese, que neste exemplo, as liñas de forza son perpendiculares as superficies equipotenciais. Esto cúmprese sempre, coma demostra o seguinte razoamento análogo ao realizado en campo


gravitatorio. Cando unha partícula de carga q se despraza entre dous puntos dun campo eléctrico, o traballo W realizado é igual á variación enerxía potencial cambiada de signo: W=Ep1-Ep2. Considerando dous puntos moi próximos dunha superficie equipotencial o traballo elemental será dW=-dEp e, por tanto dW=0, pois nos dous puntos son iguais a Ep e o V. O feito de que o traballo, dW= ·F dr , sexa nulo, implica que a forza F é perpendicular ó desprazamento dr . Como dr está contido na superficie equipotencial a dirección do campo eléctrico E é perpendicular ás superficies equipotenciais. Na figura da parte superior da páxina 3-6 están debuxadas as superficies equipotenciais do campo eléctrico creado por dúas cargas. Relación entre intensidade de campo e potencial. O potencial eléctrico V nun punto situado a unha distancia r da carga Q que crea o campo, é igual ao traballo realizado polo campo eléctrico ao moverse dende o punto considerado ata o infinito.

·r

V E dr∞

= ∫ O traballo realizado polo campo eléctrico, ao moverse entre dous puntos situados a distancias ri e r2 da carga Q que crea o campo, é igual ao potencial no punto 1 menos o potencial no punto 2:

·f

i

r

i f rV V Edr− =∫

3-6 Problemas e cuestións Aplicacións do teorema de Gauss a conductores cargados 1) No interior dun conductor cargado, en xeral: a) O potencial non é nulo. b) A carga non é

nula. c) O campo non é nulo. Solución a. No interior dun conductor cargado o potencial non é nulo, pois para levar carga ata o seu interior necesitamos dun traballo; en concreto realízase traballo ao desprazar a carga dende o infinito ata a superficie do conductor, xa que no exterior do conductor existe campo eléctrico. Os apartados b) e c) son falsos porque a carga distribúese na a superficie deixando no interior un campo nulo. 2) ¿Que conclusións se poden sacar do feito de que o fluxo neto a través dunha superficie

gaussiana sexa cero?, a) O campo eléctrico é cero en calquera punto da superficie. b) Non hai cargas eléctricas no interior. c) A suma alxebraica das cargas (carga neta) no interior é cero.

Solución c. A partir do teorema de Gauss: dada unha carga puntual Q, o fluxo do campo eléctrico, a través dunha superficie pechada arbitraria calquera que a encerre, é igual ó cociente de dita carga entre a constante dieléctrica absoluta do medio: Φ=qint/εa deducimos que non deba haber carga neta no interior da superficie. En efecto, o fluxo total é a suma dos fluxos creados por cada carga interior, o fluxo creado por unha carga positiva tamén é positivo ou saínte, e o fluxo creado por cada carga negativa tamén é negativo ou entrante. Se o fluxo total é nulo debemos ter tanta carga positiva como negativa, con unha suma alxebraica nula. 3) Unha esfera conductora de radio R e carga de Q Culombios en equilibrio electrostático. a)

O potencial exterior é nulo e o interior constante. b) O campo exterior e función inversa do cadrado da distancia e o interior nulo. c) O potencial exterior é constante e o interior nulo.

Solución b. Aplicando o teorema de Gauss obtense ó campo exterior e interior :


rexterior interior2

KQ= ; = 0uE Er

A partir do campo obtense o potencial V, función inversa da distancia no exterior e, constante (e igual o da superficie) no interior:

exterior interiorKQ KQ= ; = = constanteV Vr R

4) Nunha esfera conductora cargada i en equilibrio electrostático cúmprese que: a) o potencial eléctrico no interior é constante; b) o campo interior é función da distancia ó centro; c) a carga eléctrica distribúese uniformemente por todo o volume. 5) No interior dun conductor esférico cargado i en equilibrio electrostático cúmprese: a) o potencial e o campo aumentan dende o centro ate a superficie da esfera, b) o potencial é nulo e o campo constante, c) o potencial é constante e o campo nulo. 6) Si o fluxo do campo eléctrico a través dunha superficie gaussiana que rodea a unha esfera conductora cargada i en equilibrio electrostático é Q/ε0 , o campo eléctrico no exterior da esfera é : a) cero; b) Q/4πε0r2; c) Q/ε0. Lei de Coulomb. Intensidade de campo, potencial e traballo eléctricos 7) ¿Cara a onde tenden a ir os electróns: cara as rexións de elevado potencial ou de baixo

potencial electrostático? Razóese Solución: Cando un electrón, inicialmente en repouso, se despraza espontaneamente dende o punto 1 ao punto 2, impulsado pola forza do campo (que aumentará a súa velocidade), o desprazamento producido dr ten o mesmo sentido cá forza eléctrica F que o orixina, e o traballo eléctrico será positivo:

dW = Fdr > 0 ; W = Fdr > 0∫ Aplicando a igualdade; W=q(V1-V2), como W>0 e a carga do electrón é negativa, q<0, será (V1-V2)<0 e V1<V2, logo os electróns desprázanse no sentido no que crece o potencial. Por exemplo no campo creado por unha carga positiva +Q, os electróns son atraídos, diminuíndo a distancia r polo que o potencial aumenta.

8) ¿Que gráfica representa correctamente a enerxía potencial eléctrica dunha carga puntual negativa situada nun campo creado por unha carga puntual positiva, cando varía a distancia que as separa?.

Solución c. Trátase dunha situación de tipo atractivo. Tendo en conta a ecuación que representa a enerxía potencial: EP=K(+Q)(-q)/r Resulta unha función na que a enerxía potencial varía de forma inversamente proporcional coa distancia, pero con signo negativo. A enerxía potencial representa o traballo por unha forza exterior para achegar


unha carga dende o infinito (valor 0 de EP) ata un punto do campo. A medida que a distancia diminúe, a enerxía potencial é cada vez menor. 9) As li as de campo eléctrico: a) Nacen en cargas positivas e morren en cargas negativas. b)

Nacen en morren en cargas negativas. c) Son pechadas sobre si mesmas. Solución a. As liñas de campo electrostático nacen en cargas positivas (fontes) e morren en cargas negativas (sumidoiros). 10) Explicar axudado por unha gráfica como varía coa distancia o potencial eléctrico dunha

partícula con carga positiva. 11) Demostrar que as li as de forza non poden cortarse. 12) Demostrar que as superficies equipotenciais non poden cortarse. 13) ¿Esta xustificado desprezar a interacción gravitatoria ao estudiar a electricidade? 14) Dúas cargas eléctricas de 2·10-5 C e -1'7·10-4 C distan entre si 10 cm. a) ¿Qué traballo haberá que realizar sobre a segunda carga para afastala da primeira

outros 40 cm na mesma dirección?. b) ¿Qué forza se exercerán mutuamente a esa distancia?. K= 9.109 Nm2C-2 Solución: a) O traballo, realizado pola forza do campo, para mover unha carga q dende un punto de potencial V1 a outro de potencial V2 vale: W = q (V1 - V2) Polo tanto, temos que calcula-lo potencial xerado pola primeira carga nos dous puntos onde se atopa a segunda, que é a que se move. O potencial xerado por unha carga Q a unha distancia r vale: V = K Q/r dannos Q = 2·10-5 C, r1 = 10 cm = 0,1 m , r2 = 50 cm = 0,5 m Substituíndo e operando, obtemos: V1 = 1'8·106 V , V2 = 3'6·105 V Agora podemos calcula-lo traballo necesario para move-la carga q = - 1'7·10-4 C W= - 1'7·10-4 · (1'8·106 - 3'6·105 ) = -2'45·102 J O traballo é negativo, o que quere dicir que teñen que realizalo forzas exteriores ó campo, xa que as forzas existentes entre esas dúas cargas, por ser de distinto signo, son atractivas. b) Para determina-la forza que se exercen mutuamente dúas cargas eléctricas situadas a unha certa distancia unha da outra empregaremos a Lei de Coulomb, a que nos di que o módulo de dita forza é directamente proporcional ó producto das cargas e inversamente proporcional ó cadrado da distancia que as separa : F = K Q1·Q2/ d2 Substituíndo os datos que temos quédanos F = 122'4 N (onde a forza existente entre as dúas cargas é de tipo atractivo) 15) Unha carga de 10-5C crea un campo onde metemos outra carga de 10-6 C a) Calcula-la distancia a que se atoparán se o potencial desta resulta ser 1500 V b) Calcula-lo traballo necesario para que unha toque a outra, se teñen un radio,

respectivamente, de 0'1 m e 0'01 m. Datos : K= 9.109 Nm2C-2 Solución: a) Como o potencial creado por unha carga nun punto é: V = K q/r e nos din que o que crea a primeira carga no lugar que se atopa a outra é 1500 V temos 1500 = 9·109·10-5 /r r = 60 m b) Para que cheguen a tocarse teñen que queda-los centros das cargas a: d = 0'1+0'01 = 0'11 m calculando logo o potencial que crea a esa distancia do seu centro, podemos logo calcula-lo traballo


preciso Vd = 9·109·10-5 /0'11 = 818'18·103 V W = (1500 - 818'18·103)·10-6 = -0'82 J O signo negativo significa que ese traballo teñen que realizalo forzas exteriores 16) Unha carga de 1,6 10-8 C está fixa na orixe de coordenadas; unha segunda carga de valor

desco ecido está en (3,0) (U.S.I) e unha terceira carga, de 1,2 10-8 C esta en (6,0) (U.S.I.). ¿Cal é o valor da carga desco ecida se o campo resultante en (8,0) (U.S.I.) está dirixido cara a dereita e vale 20,25 N/C?

R.- -2,5·10-8 C. 17) Dúas cargas puntuais de 5·10-9 C e -10-9 C distan entre si 1 metro no baleiro. a) ¿En que punto da liña que une estas dúas cargas podemos situar outra carga puntual de

2·10-9 C, para que a forza resultante sobre esta carga sexa nula? Detalle con precisión mediante un debuxo onde situaría esta carga.

b) ¿Cambiaría algo o resultado se a carga de 2·10-9 C fose de -2·10-9 C? R.- a) Cargas e posicións: 5·10-9 C en x=0, -10-9 C en x=1 m, 2·10-9 C en x=1,809 m. b) Non.

18) Dadas dúas cargas eléctricas q1 = 100 µC situada en A(-3,0) e q2 = -50 µC situada en B(3,0) (as coordenadas en metros), calcula: a) o campo e o potencial en (0,0); b) o traballo que hai que realizar para trasladar unha carga de -2C dende o infinito ata (0,0). (Datos 1C = 106 µC, K = 9·109 Nm2/C2).

R.- a) E=1,5·105 i N/C ; V=1,5·105 V ; b) W=+3·105 J, o traballo é realizado a favor das forzas do campo, que aumentarán a velocidade e a Ec da carga a expensas da Ep eléctrica que diminuirá.

19) Unha carga puntual Q crea un campo electrostático. Ó trasladar outra carga q’ desde un

punto A ó infinito realízase un traballo de 10J e si se traslada desde ó infinito a B o traballo é de -20J; a) ¿qué traballo se realiza para trasladar q’ de A a B?; b) Si q’=2C ¿cál é o signo de Q?, ¿qué punto está mais próximo de Q, o A ou o B?.

R.- a) W=-10 J, traballo realizado en contra das forzas do campo, realizado por unha forza externa ou a expensas da Ec, a Ep eléctrica aumenta. ; b) Q positiva ; B está máis próximo. 20) Unha partícula de carga "-2q" sitúase na orixe do eixe X. A un metro de distancia e na

parte positiva do eixe, sitúase outra partícula de carga "+q". Calcular os puntos do eixe nos que: a) Anúlase o potencial electrostático.

b) Anúlase o campo electrostático. Solución: a) Á esquerda da carga -2q o potencial creado por dita carga non se anula co creado pola carga +q, que é máis pequena e está máis lonxe. O potencial total anúlase nun punto x situado entre as dúas cargas e noutro x' á dereita de +q.

1 2K( 2q) K(+q) 2 1 2 1 1 2V = + = + = 0 ; Kq + = 0 ; + = 0 ; = V V x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x

− − − − − − −

x=2-2x ; x= 2/3 m.

K( 2q) K(+q) 2 1 2 1 1 2V = + = 0 ; Kq( + )= 0 ; + = 0 ; =

x (x 1) x x 1 x x 1 x 1 x− − −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − − −

x'=2x'-2 ; x'= 2m. b) A esquerda da carga -2q o campo creado por dita carga será sempre maior có creado por +q, de xeito que o campo total non se anula. Entre as


dúas cargas os campos 1 2eE E teñen o mesmo sentido cara á esquerda, polo que non se anulan. O campo total anúlase nun punto x á dereita de +q.

1 21 2 2 2 22 2 2

K2q Kq 2 1 1 2E = + = 0 ; = , = ; = ; =E EE E (x 1 (x 1 (x 1) ) )x x x− − −

x2=2(x2-2x+1) ; x2=2x2-4x-2 ; -x2+4x-2=0. Resolvendo a ecuación de segundo grao obtemos: i) x=+0,586 punto situado entre as dúas cargas no que os módulos dos campos son iguais, E1=E2,

pero que ao ter igual sentido non se anulan. ii) x=+3,414 m punto onde se anula o campo. 21) Unha carga eléctrica de 2'5·10-8C colócase nun campo eléctrico uniforme de intensidade 5·104 N/C dirixido cara arriba. ¿Cal é o traballo que o campo eléctrico efectúa sobre a carga cando esta se move: a) ¿45 cm cara a dereita?. b) ¿80 cm cara abaixo?. Solución: a) Como sabemos W= F vec·r vec= Frcosα e F=qE W =qErcosα= 5·104·2'5·10-8·0'45·cos 90º = 0 b) W = 5·104·2'5·10-8·0'8·cos 180º = - 0'001 J 22) Dúas cargas negativas iguais, de 1 µC, atópanse sobre o eixe de abscisas, separadas unha distancia de 20 cm. A unha distancia de 50 cm sobre a vertical que pasa polo punto medio da li a que as une, abandónase unha carga de 1 µC, de masa 1g, inicialmente en repouso. Determinar : a) A velocidade que terá ó pasar polo punto medio da liña de unión. b) O valor do potencial eléctrico en dito punto medio. Datos : K= 9·109 Nm2C-2. Solución: a) As dúas cargas eléctricas negativas crean un potencial no punto onde se atopa a carga positiva, e outro no punto medio da recta que as une, de maneira que o deixar ceibe a carga positiva, esta se moverá adquirindo unha enerxía cinética que será igual o traballo que realizan as cargas negativas para trasladala. O traballo eléctrico realizado pola forza do campo é: W =q (Vinic - Vfinal) Calculámo-los potenciais nos puntos inicial e final como a suma alxebraica dos potenciais creados en eses puntos por cada unha das cargas negativas Vinicial = V1inicial + V2inicial = [9·109·(-10-6) /(0'12 +0'52)1/2 ]·2 = -35301 V Vfinal = V1final + V2final = 9·109·(-10-6 /0'1)·2 = - 180000 V W = [ -35301 - ( -180000)]·10-6 = 0'145 J Como a enerxía cinética é Ec = ½mv2 ½·10-3·v2 = 0'145 v = 17 m/s b) Vfinal = - 180000 V 23) Sitúanse dúas cargas de 10-6 C e -10-6 C nos vértices dun triángulo equilátero de 70 cm de lado, como se indica na figura. Calcula: a) O campo eléctrico no vértice A. b) O traballo necesario para mover unha carga q de proba dende A ata H (H=punto medio

entre B e C). Solución:


a) Módulos das intensidades de campo:

· · · ·9 6

41 2 2

9 1 N10 10= = = 1,837 10E E 0, C7

Cálculo dos vectores intensidade de campo: · cos4

11 1=| | = 1,837 ( 60 i + sen60 j) N/Cu 10E E ° °

· cos422 2=| | = 1,837 ( 60 i - sen60 j) N/Cu 10E E ° °

Sumando vectorialmente, é dicir, compoñente a compoñente, anúlanse as compoñentes verticais e queda:

1 2E = +E E =2·1,837·104·cos 60 i = 1,837·104 i N/C b) Potencial eléctrico no punto A:

· · · · · ·9 6 9 6

A9 1 9 ( 1 )10 10 10 10= + = 0 V.V 0,7 0,7

− −−

Potencial eléctrico no punto H:

· · · · · ·9 6 9 6

H9 1 9 ( 1 )10 10 10 10= + = 0 V.V 0,35 0,35

− −−

Os dous puntos están na mesma superficie equipotencial e o traballo eléctrico é cero: W=q·(VA-VH)=0 J. 24) Dúas cargas puntuais de 4·10-9 C e -4·10-9 C áchanse

situadas en dous vértices consecutivos A e B dun cadrado de 40 cm de lado, coma se indica na figura. Calcular:

a) A intensidade do campo eléctrico no centro do cadrado. b) O traballo necesario para levar unha carga de 6·10-9 C

dende o vértice C ata o D. Dato: K = 1 / 4πε0 = 9·109 N·m2·C-2.

Solución: Datos: Q1=4·10-9 C , Q2=-4·10-9 C , q=6·10-9 C. a) A intensidade de campo E creado polas cargas Q1 e Q2 no centro do cadrado, é igual á suma vectorial das intensidades creadas por cada carga: 1 2E = E E+ As distancias dende cada carga ao centro son: 2 2

1 2= = 0, +0, = 0,08 = 0,2828 m r r 2 2 Cálculo dos módulos das intensidades de campo:

· · ·9 9

11 2 12

1

KQ 9 4 N N10 10= = = 450 ; = = 450 E E E0,08 C Cr

Cálculo dos vectores intensidade de campo: cos11 1=| | = 450( 45 i + sen45 j) N/CuE E ° °


cos22 2=| | = 450( 45 i - sen45 j) N/CuE E ° ° Sumando vectorialmente, é dicir, compoñente a compoñente, anúlanse as compoñentes verticais e queda: 1 2E E E= + = 2·450·cos 45 i = 636,4 i N/C. b) O potencial eléctrico creado polas cargas Q1 e Q2 no punto C, é igual á suma escalar, é dicir, alxebraica, dos potenciais creados por cada carga:

1 2C 1 2

1 2

KQ KQ= + = +V V Vr r

As distancias dende cada carga ao punto C son: 2 2

1 2= 0, +0, = 0,32 = 0,5657 m ; = 0,4 m4 4r r , substituíndo:

· · · · · ·9 9 9 9

C9 4 9 ( 4 )10 10 10 10= + = 26,36 V.V 0,5657 0,4

− −−−

Potencial eléctrico no punto D:

· · · · · ·9 9 9 9

D9 4 9 ( 4 )10 10 10 10= + = +26,36 V.V 0,4 0,5657

− −−

Traballo eléctrico: W=q·(VC-VD)= 6·10-9·(-26,36-26,36)= -3,163·10-7 J. O signo negativo indica que o traballo se realiza en contra das forzas do campo. 25) En dous dos vértices dun triángulo equilátero de 5 cm de lado están situadas dúas cargas de +5 e -5 µC respectivamente. Achar: a) O campo resultante no terceiro vértice. b) O traballo necesario para levar unha carga de 1µC dende o terceiro vértice ata o punto

medio do lado oposto. Dato: Tomar K = 1 / 4πε0 = 9·109 N·m2·C-2. R.- a) E =1,8·107 i N/C. b) W=0.

26) Tres cargas puntuais de -3·10-8 C, están situadas en tres vértices dun cadrado de lado 0.4

m, nos puntos (0,0); (0, 0.4) e (0.4, 0). a) Calcula-la intensidade e o potencial eléctrico no punto medio do cadrado (0.2, 0.2). b) Calcula-la diferencia de potencial entre o punto medio do cadrado e o outro vértice

deste (0.4 , 0.4) ; así coma o traballo realizado ó desprazarse unha carga de 1 µC entre ambos puntos.

Solución: a) Datos: Q1=Q2=Q3=-3·10-8 C 2 2

1 2 3= = 0, +0, = 0,08 = 0,2828 mr r r 2 2≡

1 2 3E = + +E E E

· · ·9 8

1 2 39 3 N10 10= = = = 3375 E E E 0,08 C

−

Os vectores 2E e 3E teñen igual módulo e dirección pero sentido oposto polo que se anulan entre si, de xeito que o campo total E e igual a 1E :

cos11 1E = =| | = 3375(- 45 i - sen45 j = 2386i 2386j N/CuE E ° ° − −

· · ··

9 831 2

1 2 31 2 3

KQKQ KQ 9 ( 3 )10 10V = + + = + + = 3 = 2864 V V V V 0,2828r r r

−−−


b) Potencial eléctrico V' no punto (0.4 , 0.4): 2 2

1 2 3= 0, +0, = 0,5657 m ; = = 0,4 m4 4r r r′ ′ ′

· · · · · · · ·

31 21 2 3

1 2 39 8 9 8 9 8

KQKQ KQV = + + = + + =V V Vr r r

9 ( 3 ) 9 ( 3 ) 9 ( 3 )10 10 10 10 10 10= + + = 1827 V 0,5657 0,4 0,4

′ ′ ′′ ′ ′

− − −

′

− − −−

Traballo eléctrico: W=q(V-V')=1·10-6(-2864-(-1827))= -1,037·10-3 J. O signo negativo indica que o traballo se realiza en contra das forzas do campo. 27) Nun vértice dun cadrado de 10 cm de lado, hai unha carga de -50 µC e nos vértices

adxacentes, cargas idénticas de 20 µC. Calcula-lo campo eléctrico e o potencial no cuarto vértice. Calcula-lo traballo necesario para mover unha carga de 5 µC dende o vértice anterior ata o centro do cadrado. R.- E =2,09·106 i +2,09·106 j N/C ; W=8,455 J. O signo positivo indica que o traballo se realiza a favor das forzas do campo.

28) Unha carga puntual de 10-9 C. está situada na orixe dun sistema de coordenadas

cartesianas. Outra carga puntual de -20·10-9 C está situada na parte positiva do eixe Y a 3 m da orixe. Calcúlese:

a) O valor do potencial electrostático nun punto A situado no eixe X a 4 m da orixe. b) O campo electrostático nese punto. c) O traballo realizado para levar unha carga puntual de 1 C. dende o punto A ata outro

punto de coordenadas (4, 3). Solución: Datos: Q1=1·10-9 C , Q2=-20·10-9 C , q=1 C. a) O potencial eléctrico creado polas cargas Q1 e Q2 no punto A, é igual á suma escalar, é dicir, alxebraica, dos potenciais creados por cada carga:

1 2A 1 2

1 2

KQ KQ= + = +V V Vr r

As distancias dende cada carga ao punto A son: 2 2

1 2= 4 m , = + = 16 +9 = 25 = 5 m 4 3r r , substituíndo:

· · · · · · )9 9 9 9

A9 1 9 ( 2010 10 10 10= + = 2,25 36 = 33,75 V.V 4 5

− −−− − −

b) A intensidade de campo E creado polas cargas Q1 e Q2 en A, é igual á suma vectorial das intensidades creadas por cada carga: 1 2E E E= + Cálculo dos módulos:

· · · · · ·9 9 9 9

1 21 22 22 2

1 2

KQ KQ9 1 N 9 20 N10 10 10 10= = = 0,5625 , = = = 7,2 E EC C4 5r r

− −

Cálculo dos vectores intensidade de campo:

1N= 0,5625i E C


cos cos22 2

2

4 3=| | =7,2(- i + sen j), como = e sen = será :uE E 5 54 3 N=7,2( i + j)= 5,76i +4,32j E 5 5 C

α α α α

− −

Sumando vectorialmente, é dicir, compoñente a compoñente: 1 2E E E= + = (0,5625-5,76) i + 4,32 j = -5,198 i + 4,32 j N/C. c) Potencial eléctrico no punto B(4,3):

· · · · · 2 · )9 9 9 9

1 2B 1 2

1 2

KQ KQ 9 1 9 ( 010 10 10 10= + = + = + = 1,8 45 = 43,2 V. V V V 5 4r r

− −−− −

Traballo eléctrico: W=q·(VA-VB)= 1 C · -33,75 V-(-43,2 V)= 9,45 J. O signo positivo indica que o traballo se realiza a favor das forzas do campo. 29) Nun sistema de coordenadas rectangulares colócase unha carga de 25·10-9 C na súa orixe

de coordenadas e outra carga de -25·10-9 C no punto (x=6 m , y=0 m). Determina: a) O vector campo eléctrico no punto (x=3 m , y=4 m). b) O traballo necesario para mover unha carga de proba unidade dende o punto de

coordenadas (x=3 m , y=4 m) ata o punto (x=6 m , y=8 m). Dato: Tomar K = 1 / 4πε0 = 9·109 N·m2·C-2.

R.- a) E =10,80 i N/C. b) W=5,63 J. O signo positivo indica que o traballo se realiza a favor das forzas do campo.

30) No punto A de coordenadas (0,15) hai unha carga de -6·10-5 C. Na orixe de coordenadas

hai outra de 1'5·10-4 C. Calcula: a) A intensidade do campo eléctrico resultante no punto P de coordenadas (36,0). b) O potencial resultante nese punto. (As coordenadas exprésanse en metros). R.- E = (- 327'72 i + 136'55 j ) + (1041'67 i ) = 713'95 i + 136'55 j N/C V = V1 + V2 = -13846 + 37500 = 23654 V 31) Dúas cargas puntuais negativas iguais, de –10-3 µC, atópanse sobre o eixe de abscisas, separadas unha distancia de 20 cm. A unha distancia de 50 cm sobre a vertical que pasa polo punto medio da lina que as une, disponse unha terceira partícula (puntual) de carga de +10-3 µC e 1 g de masa, inicialmente en repouso. Calcula: a) o campo e potencial eléctrico creado polas dúas primeiras na posición inicial da terceira; b) a velocidade da terceira carga ó chegar ó punto medio da lina de unión entre as dúas primeiras. (Datos 1 µC =10-6 C, K = 9·109 Nm2/C2) (Solo se considera a interacción electrostática) R.- a) E=-67,9 j N/C ; V=-35,3 V ; b) v=1,7·10-2 m/s 32) Tres cargas puntuais de +q, +q, e -q (q=1 µC) dispó ense nos vértices dun triángulo

equilátero de 1 m de lado. Achar: a) O campo eléctrico no centro do triángulo. b) O traballo necesario para levar unha carga de 1µC dende o centro do triángulo ata a

metade do lado que une as dúas cargas +q. Dato: Tomar K = 1 / 4πε0 = 9·109 N·m2·C-2. R.- a) E =5,4·104 j N/C. b) W=-1,002·10-2 J. O signo negativo indica que o traballo se realiza en contra das forzas do campo.


Axuda: Mediana é o segmento que une cada vertice co punto medio do lado oposto. As tres medianas dun tríangulo cortanse nun punto chamado baricentro (centro), que dista de cada vértice dous tercios da respectiva mediana. h=lsen60º=d+x=d+dsen30º=d+½d=(3/2)d d=⅔h=⅔lsen60º 33) Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µC cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0) e en (0,10); b) traballo para transportar unha carga q’ de -1 µC desde (1,0) a (-1,0). (Dato K = 9·109 Nm2/C2). R.-a) -9·10+3 i N/C e -68 i N/C ; b) -0,024 J 34) Dúas cargas de -5 µC están situadas sobre o eixe Y, separadas 10 m entre si, e a igual

distancia da orixe. Calcular: a) O campo eléctrico e o potencial no punto do eixe X con x = 6 m. b) O traballo necesario para transportar unha carga de 2 µC, dende o punto anterior ao

punto (3 , 4). R.- a) E =-1134 i N/C ; V=-11524 V. b) W=0,0149 J. O signo positivo indica que o traballo se realiza a favor das forzas do campo.

Tema 3 Campo eléctrico - Consellería de Cultura ... · 3-2 Lei de interacción entre cargas...

Documents

Transcript of Tema 3 Campo eléctrico - Consellería de Cultura ... · 3-2 Lei de interacción entre cargas...