TEMA 4 Cálculo integral en Varias variables -...

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Carlos Paredes CALCULO II Apartado 6 Integrales triples. Teorema de Fubini. TEMA 4 Cálculo integral en Varias variables Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Carlos Paredes CALCULO II

Apartado 6

Integrales triples.

Teorema de Fubini.

TEMA 4

Cálculo integral en Varias variables

Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Integral definida según Riemann en R ⊂ IR3, planteamiento general

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Integral definida según Riemann en D ⊂ IR3, planteamiento general

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Integral definida según Riemann en Q ⊂ IR3, propiedades

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

PROPERTIES

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini - I

∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

===

E

bx

ax

)x(gy

)x(gy

)y,x(uz

)y,x(uzD

)y,x(uz

)y,x(uz

2

1

2

1XY

2

1

dx)dy)dz)z,y,x(f((dA)dz)z,y,x(f(dV)z,y,x(f

E

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini – I, ejemplo

Evaluate where E is the region under the plane that lies in the first octant.

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini - II

E

∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

===

E

by

ay

)y(gz

)y(gz

)z,y(ux

)z,y(uxD

)z,y(ux

)z,y(ux

2

1

2

1YZ

2

1

dy)dz)dx)z,y,x(f((dA)dx)z,y,x(f(dV)z,y,x(f

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T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini – II, ejemplo Determine the volume of the region that lies behind the plane and

in front of the region in the yz-plane that is bounded by and .

INTEGRAL TRIPLE

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini - III

E

∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

===

E

bx

ax

)x(gz

)x(gz

)z,x(uy

)z,x(uyD

)z,x(uy

)z,x(uy

2

1

2

1XZ

2

1

dx)dz)dy)z,y,x(f((dA)dy)z,y,x(f(dV)z,y,x(f

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T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini – III, ejemplo

INTEGRAL TRIPLE

Evaluate where E is the solid

bounded by and the plane .

The region D in the xz-plane can be found by “standing” in front of this solid and we can see that D will be a disk in the xz-plane. This disk will come from the front of the solid and we can determine the equation of the disk by setting the elliptic paraboloid and the plane equal.

We can always “translate” them over to the xz-plane with the following definition. Since the region doesn’t have y’s we will let z take the place of y in all the formulas. Note that these definitions also lead to the formula,

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INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini, ejemplo

F(x,y,z)=xyz

R

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Teorema de Fubini, ejemplo

∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫=

−=

φ=

φ=

γ=

γ=

=

===

D

1x

1x

)x(y

)x(y

)y,x(z

)y,x(zR

)y,x(fz

)y,x(fz

2

1

2

1XY

2

1

dx)dy)dz)z,y,x(F((dA)dz)z,y,x(F(dV)z,y,x(F

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INTEGRAL TRIPLE

Elección de los límites de integración

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Elección de los límites de integración, ejemplo

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Elección de los límites de integración, ejemplo

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Elección de los límites de integración, ejemplo

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

Elección de los límites de integración, ejemplo

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

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Carlos Paredes CALCULO II

INTEGRAL TRIPLE

T4 – A6: Integrales triples. Fubini

Elección de los límites de integración, ejemplo

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Carlos Paredes

Ejercicio

Determina el volumen del tetraedro, integrando dydzdx

CALCULO II

T4 – A6: Integrales triples. Fubini