Tema 4. Ecuaciones Diferenciales Ordinaria - Anonimo

Ingeniera Informtica Clculo Infinitesimal 2

Tema 4

Ecuaciones diferenciales ordinarias deprimer orden

4.1. Introduccion y ejemplos.

El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) y las ecuaciones en derivadas parciales(EDPs) se ha convertido en una de las especialidades de las matematicas que mas se ha enriquecido yevolucionado desde su inicio (antes incluso de Newton y Leibniz) hasta la actualidad. Las ecuacionesdiferenciales son una de las herramientas principales para resolver problemas en los que se describenprocesos con una magnitud (masa, poblacion, temperatura, flujo, etc.) presentando cambios conrespecto al tiempo o a la distancia, en el caso de una EDO, o con respecto a ambos, en el caso deuna EDP. As, una ecuacion diferencial modela en general un problema real, simplificado para suanalisis, y la solucion suele ser una funcion (de una o varias variables, segun el caso), que permitedescribir la evolucion del proceso modelado.

Desde los comienzos hasta practicamente el inicio del siglo XX, el enfasis de la teora estabapuesto en encontrar metodos analticos para la determinacion de las soluciones de una ecuacionen una forma explcita (a veces representada mediante integrales, series de potencias, de Fourier,etc. . . ), lo que condujo a algunas funciones especiales de referencia (error, Bessel, Legendre, . . . )en terminos de las cuales se poda expresar la solucion de un gran tipo de ecuaciones diferenciales.

Con los estudios de Poincare y su memoria del problema de los tres cuerpos en la mecanicaceleste, en 1890, se abrieron nuevos caminos sin vuelta atras. Por primera vez se utilizaron metodosgeometricos y topologicos, en los que lo importante es la forma de las soluciones, en un sentidoesencialmente distinto al que emplean los metodos analticos. En este contexto, se inicio la teoracualitativa sobre ecuaciones diferenciales, que ahora se desarrolla en un nuevo marco mas general: elde los sistemas dinamicos. Los metodos que se empleaban hasta entonces han sido complementadoscon otros nuevos, en los que el enfasis ahora se desplaza de la obtencion explcita de soluciones deecuaciones diferenciales a la descripcion de la dinamica del sistema modelado por las ecuaciones(el comportamiento) y al analisis de su estabilidad (hacia donde evoluciona); por supuesto, confrecuencia las soluciones en este tipo de problemas solo pueden ser aproximadas, en el mejor de loscasos. En este nuevo tratamiento, como se puede imaginar, el desarrollo de la Informatica produjoy esta produciendo avances espectaculares.

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128 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Los textos antiguos se limitaban a dar ingentes cantidades de trucos y recetas para encontrarlas soluciones de algunos tipos de ecuaciones; por otro lado, incidan en el estudio de distintosmodelos de series de funciones y tecnicas de aproximacion, con las cuales se podan expresar lassoluciones de otras ecuaciones, que eran entonces clasificadas en funcion del metodo que poda resol-verlas. Incluso as, son solo unas pocas las ecuaciones diferenciales para las que se puede obtenersolucion de forma explcita. Afortunadamente, las capacidades numericas, simbolicas y graficas delos ordenadores han eliminado el tedio del aprendizaje de tecnicas de resolucion (que se olvidanenseguida. . . ), ya que estan casi todas implementadas en programas comerciales o de libre dispo-sicion (esencialmente, de centros universitarios) que circulan por la red. As, en los casos puntualespara los que se puede encontrar una solucion explcita, esta puede ser obtenida de modo inmediatocon el auxilio de algun programa de calculo simbolico, como Maple, Mathematica o MathCad, porcitar los mas conocidos. Por otro lado, las implementaciones de los metodos numericos de tipoRunge-Kutta y variantes pueden aproximar valores de las soluciones particulares con un alto gradode precision; de este modo, en la mayora de los casos es bastante mas que suficiente utilizar unbuen programa de calculo numerico como MatLab. Si contamos con las capacidades graficas quetienen estos programas, es facil concluir que podemos visualizar soluciones, analizar problemas yresolver ecuaciones diferenciales con una gran confianza y en un grado mayor al que se podraconseguir con un manual de tropecientas paginas de hace, pongamos, 20 anos.

Curiosamente, los actuales libros de texto suelen hacer mas agradable el aprendizaje de uncurso introductorio, uniendo el estudio cuantitativo con el cualitativo, al proporcionar una grancantidad de importantes aclaraciones y ejemplos tratados tanto de forma grafica como analtica.No obstante, los textos basicos de ecuaciones diferenciales, al modelar matematicamente fenomenosbiologicos, fsicos, economicos, etc., pueden estar tan llenos de actividades y sugerencias (volvien-do a ser libros de muchas paginas) que pueden terminar desorientando sobre lo que realmente seesta haciendo: resolver una ecuacion diferencial y analizar el comportamiento de la solucion.

Esta introduccion esta inspirada en los comentarios iniciales del prefacio del texto OrdinaryDifferential Equations (referencia [11]), de D. A. Sanchez. El autor, con una amplia experienciaen la materia, se propone conseguir en su libro (recalca en la introduccion, que no es un libro detexto) una gua breve y concisa a los conceptos claves. Y en efecto, se refleja el tratamiento de lasecuaciones diferenciales desde los distintos puntos de vista de una forma clara y amena, incluyendosistemas de ecuaciones diferenciales,. . . en 132 paginas!

El objetivo principal de este tema y de los siguientes es la presentacion de los fundamentos delos distintos aspectos de la teora, con una vision que permita seguir luego una ampliacion, sise esta interesado o se necesita, sin que se echen de menos ideas fundamentales.

El teorema de la funcion implcita.

Comenzamos esta introduccion reflexionando sobre los conceptos ya conocidos y utilizados en lasecuaciones algebraicas, hasta llegar con las mismas ideas al concepto formal de ecuacion diferencial.

Ecuaciones reales o vectoriales.

Una ecuacion algebraica usual, de la forma F (x) = 0, en la que F es una funcion real o vectorial, deuna o varias variables, puede no tener solucion (un numero o un vector) o, en caso de existir, puedetener mas de una. Analizar la existencia y, en tal caso, la unicidad de la solucion de una ecuacion

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Introduccion y ejemplos 129

es un problema que en general requiere un tratamiento distinto a la determinacion explcita delas soluciones. En consecuencia, una de las cuestiones previas a la resolucion de una ecuacion decualquier tipo suele ser encontrar condiciones que garanticen la existencia y unicidad de solucion.

Ejemplo 4.1.1

(a) Si a 6= 0, la ecuacion polinomica a x = b tiene solucion unica x = b/a. Por otro lado, parauna ecuacion polinomica de coeficientes complejos, el teorema fundamental del algebra estableceque tiene tantas soluciones complejas (contando su multiplicidad) como el grado del polinomio.

(b) Otro ejemplo: el teorema de Bolzano establece que si y = F (x) es una funcion real de variablereal y continua en un intervalo en el que tenga un cambio de signo, entonces la ecuacion F (x) = 0tiene al menos una solucion; por otro lado, el teorema de Rolle garantiza la unicidad de la solucionsi, ademas, la derivada de F es de signo constante en el intervalo.

(c) Un ultimo ejemplo sacado del algebra: el teorema de Rouche-Frobenius garantiza, entre otrascosas, soluciones distintas del vector nulo para la ecuacion vectorial Ax = 0, si el el rango de lamatriz A es menor que el numero de componentes del vector x.

Ecuaciones funcionales.

Un paso adelante en complejidad se tiene cuando se plantea una ecuacion funcional, en la que elproblema consiste en encontrar una determinada funcion desconocida. Cuando se plantean ecua-ciones funcionales, en los que la incognita es una funcion, se originan, con respecto a la solucion,las mismas situaciones que en los ejemplos anteriores en los que la incognita era un numero o unvector. No obstante, incluso en el caso mas favorable de tener ya garantizada la solucion unica,surgen cuestiones anadidas, como por ejemplo, el problema de precisar el dominio de la funcionsolucion. Al margen de que ahora se podra exigir de la solucion que tuviera propiedades especficas,tales como la acotacion, continuidad, derivabilidad, etc.

Por ejemplo, si se quiere despejar y como funcion de x, en una expresion que involucre aambas variables, en la forma implcita F (x, y) = 0, donde F es una funcion real o vectorial, y demodo que el resultado, y = f(x), sea una funcion real o vectorial definida en un conjunto D (denumeros o de vectores), se esta planteando una ecuacion funcional. En el caso mas simple, lo que seesta investigando es la existencia de una funcion real de variable real f en un conjunto de numerosreales D, que usualmente es un intervalo de la forma [a, b], [a, b), (a, b), (a,), etc. Entonces, setrata de encontrar una funcion y = f(x) que verifique F (x, f(x)) = 0 para cada x D. Si existeuna tal funcion, se dice que y = f(x) es una solucion global de la ecuacion en D.

Observese que, aunque una expresion de la forma F (x, y) tenga sentido para cada x, y, laecuacion funcional F (x, y) = 0 puede obviamente no tener solucion, y = f(x), como en el caso delas ecuaciones algebraicas. Y por supuesto, tambien hay ecuaciones funcionales con mas de unasolucion para un mismo dominio D.

Ejemplo 4.1.2

(a) La ecuacion x2 + y + 1 = 0 es del tipo F (x, y) = 0, y tiene solucion global unica y = 1 x2,

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definida en todo el conjunto R, y que ademas verifica casi todas las propiedades usuales del calculoinfinitesimal que se requieran. . .

(b) Ninguna funcion real y = f(x), que este definida en un intervalo de R, verifica la ecuacionfuncional x2 + y2 + 1 = 0, ya que x2 + y2 = 1 es imposible para x, y R.(c) La ecuacion x2+y21 = 0 tiene mas de una solucion y = f(x) continua, definida en [1, 1] R;sin embargo, aunque F (x, y) = x2+ y2 1 es una expresion valida para cada x, y de R, el dominiode las dos soluciones distintas,

y =1 x2 e y =

1 x2 ,

no puede ampliarse en los numeros reales mas alla del intervalo [1, 1].

Por consiguiente, igual que en las ecuaciones algebraicas usuales, en las ecuaciones funcionalestambien se tiene un problema claro de existencia y unicidad de soluciones; pero ademas, como lasolucion sera entonces una funcion, se anade la complicacion de tener que especificar su dominio oal menos asegurar que esta bien definida en la zona en que se esta especialmente interesado.

Si el conjunto en el que se puede garantizar la existencia de solucion queda reducido a un intervaloen torno a un punto determinado, entonces se dice que la solucion de la ecuacion F (x, y) = 0 esuna solucion es local en el punto considerado.

Por ejemplo, si se esta interesado en soluciones de una ecuacion implcita F (x, y) = 0, demodo que verifiquen una condicion inicial del tipo y(x0) = y0, para la que se tenga obviamenteF (x0, y0) = 0, entonces, con algunas hipotesis sobre F , faciles de verificar, se puede asegurar laexistencia y unicidad de una solucion local. De un modo mas concreto, el teorema de la funcionimplcita establece que:

Teorema 4.1.3 Sea F : R2 R una funcion de clase 1 (diferenciable y con derivadas parcialescontinuas) en un entorno D = [a, b] [c, d] del punto P (x0, y0), de modo que

F (x0, y0) = 0 y Fy(x0, y0) =

yF (x0, y0) 6= 0 .

Entonces F (x, y) = 0 tiene una unica solucion y = f(x) definida en un intervalo (x0 , x0 + ),con > 0, que esta contenido en I = [a, b]. Y ademas, se verifica

f (x0) = Fx(x0, y0)Fy(x0, y0)

.

Observese que el teorema de la funcion implcita proporciona garantas de existencia y unicidadde una funcion y = f(x), que es una solucion local de la ecuacion F (x, y) = 0; no obstante, al serun teorema de existencia, no se ocupa de como obtenerla.

Por supuesto, en general, la solucion de una ecuacion funcional no se podra determinar de formaexplcita, es decir, no se podra despejar y en la ecuacion F (x, y) = 0; de hecho, ni tan siquierase podra precisar la amplitud del intervalo donde esta definida la solucion o, equivalentemente,determinar un valor maximo del al que se refiere el teorema.

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Ejemplo 4.1.4

(a) En la Figura 4.1 se muestran dos de los puntos de R2, A(x1, y1) y B(x2, y2), para los queexpresion x2+ y2 = 1 define a una funcion implcita y = f(x). En cada caso, se se ha resaltado (encolor verde) un trozo de la grafica de la respectiva funcion y = fi(x), es decir de la circunferenciaunidad, en un intervalo centrado en cada x = xi, i = 1, 2.

Figura 4.1: T. funcion implcita con x2 + y2 = 1.

(b) Por otro lado, la ecuacion x2 + y2 = 1 no define una funcion implcita en ningun intervaloque este centrado en x = 1, como muestra (en rojo) el hecho de que para F (x, y) = x2 + y2 1 setengan dos valores, y1 e y2, que verifican la relacion F (x, y) = 0, para cualquier abscisa x, por muyproxima que este de x0 = 1.

Observese como en C(1, 0) se tiene F (1, 0) = 0, pero no yF (1, 0) 6= 0, y no se puede aplicar elteorema de la funcion implcita. Y lo mismo ocurrira tambien para x = 1.

El teorema de la funcion implcita permite derivar implcitamente una funcion y = f(x) yevaluar la derivada f (x0) en un punto P (x0, y0) en el que se verifique F (x0, f(x0)) = 0, a partirde las derivadas parciales de F (x, y), sin necesidad de una formula explcita para la funcion f .

En efecto, derivando directamente sobre la ecuacion F (x, y) = 0 respecto a x, de la regla de lacadena se tiene Fx(x, y) + Fy(x, y)f (x) = 0; luego,

f (x) = Fx(x, y)Fy(x, y)

, para Fy(x, y) 6= 0.

Ejemplo 4.1.5

La derivada de la funcion y = f(x), definida implcitamente por la ecuacion x2 + y2 = 1, puedeobtenerse en cada punto (x0, y0), donde pueda aplicarse el teorema, derivando implcitamente:

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2x+ 2 y y = 0 = 2x0 + 2 y0 y(x0) = 0 = y(x0) = x0y0

.

En el caso mas general, el teorema de la funcion implcita se aplica cuando F (X,Y ) = 0, siendoX de Rn e Y de Rm, y por lo tanto, siendo F una funcion vectorial de Rn+m en Rm.

En efecto, entonces, lo que se tiene es un sistema de m ecuaciones, las m componentes Fj dela funcion vectorial F , en un numero de n + m incognitas, que estan determinadas por las ncomponentes xi del vector X y las m componentes yi del vector Y . As, el teorema de la funcionimplcita garantiza que el sistema F (X,Y ) = 0 se puede resolver respecto a las m variablesfundamentales, determinadas por el vector Y = (y1, y2, . . . , ym)T , en funcion de los n parametroso variables secundarias que aporta el vector X = (x1, . . . , yn)T .

En notacion vectorial es mas facil de expresar:

Se puede obtener Y = f(X) en un intervalo del punto X0 para el que F (X0, Y0) = 0, siendo funa funcion vectorial de Rn en Rm.

Las hipotesis de la version vectorial del teorema exigen tambien ahora que F sea de clase 1(todas las derivadas parciales respecto a xi y a yi continuas) en un entorno del vector (X0, Y0),en el cual lo que no debe anularse es el Jacobiano (determinante) de orden m, formado por lasderivadas parciales de las componentes Fj de F respecto de las variables yi, es decir,

[

yiFj(X0, Y0)

]i,j=1,2,...,m

6= 0,donde en el corchete se indica la matriz jacobiana, expresando un elemento generico. Entonces,tambien la unica solucion del sistema es una funcion vectorial definida localmente, Y = f(X), quees diferenciable en un entorno de X = X0.

Como en el caso unidimensional, las derivadas parciales de las soluciones yi = fi(x1, x2, . . . , xn)del sistema de ecuaciones F (X,Y ) = 0 se pueden obtener sin necesidad de formulas explcitas,derivando parcialmente de forma implcita las funciones componentes Fj respecto de las variablesxi, utilizando la regla de la cadena, y resolviendo finalmente el sistema compatible determinado queresulta, cuya matriz de coeficientes es precisamente la matriz jacobiana de la hipotesis del teorema.

Mas que ejemplos concretos, podemos aplicar el teorema de la funcion implcita a casos parti-culares interesantes, que seran utilizados una y otra vez en el desarrollo del tema, y que ilustranperfectamente las posibilidades de aplicacion del teorema en cualquier situacion mas general. Anali-zamos en primer lugar la definicion implcita de una funcion de dos variables mediante una ecuacionque relaciona a tres variables, una de de las cuales representa a la funcion.

Ejemplo 4.1.6

Sea F (x, y, z) = 0 una ecuacion (con tres incognitas), con las parciales de F continuas, y verificando

Fz =

zF (x, y, z) 6= 0 .

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Entonces, existe la funcion z = z(x, y), obtenida al despejar z en F (x, y, z) = 0 (aunque no sepueda hallar la funcion de forma explcita), y esta definida localmente en el punto (x, y) para elque F (x, y, z(x, y)) = 0. Ademas, teniendo en cuenta la regla de la cadena, se pueden obtener lasderivadas parciales, zx y zy, derivando F implcitamente.

Derivando la ecuacion F (x, y, z(x, y)) = 0 respecto a x, se tiene Fx+Fzzx = 0; en consecuencia:

zx(x, y) = FxFz

.

Derivando F (x, y, z(x, y)) = 0 respecto a y, se tiene Fy + Fzzy = 0; en consecuencia:

zy(x, y) = FyFz

.

Y ahora un ejemplo que ilustra la definicion implcita de dos funciones de una variables medianteun sistema de dos ecuaciones en tres variables, dos de las cuales representan las funciones y larestante a la variable independiente comun.

Ejemplo 4.1.7

Supongase un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas, S = {F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0},en el que las derivadas parciales de F1 y F2 son continuas y el jacobiano de (F1, F2), respecto delas variables y, z, verifique

yF1

zF1

yF2

zF2

6= 0 . (4.1.8)Entonces, las soluciones y = y(x) y z = z(x), que se obtendran de resolver el sistema S, estandefinidas localmente en cada x para el que {F1(x, y(x), z(x)) = 0, F2(x, y(x), z(x)) = 0}, aunque nose puedan hallar de forma explcita.

Ademas, y = y(x) y z = z(x) son funciones derivables en x y sus derivadas, y(x) y z(x), sepueden obtener resolviendo el sistema compatible determinado

xF1 +

(

yF1

)y +

(

zF1

)z = 0,

xF2 +

(

yF2

)y +

(

yF2

)z = 0.

Observese que la matriz de los coeficientes (de y y z) es la matriz del jacobiano (4.1.8), por loque el teorema de Rouche-Froebenius garantiza que el sistema tendra solucion unica.

Estamos ahora en condiciones de definir una ecuacion diferencial ordinaria, que no es mas queuna generalizacion de las ecuaciones de tipo F (x, y) = 0 consideradas hasta este momento.

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Ecuacion diferencial ordinaria (EDO): Notacion y conceptos basicos.

Una ecuacion diferencial ordinaria no es mas que una ecuacion funcional en la que ademas deaparecer la variable independiente x y la variable y, que representa a la funcion incognita, aparecennuevas variables, y, y, etc., que representan a las derivadas de la funcion y = y(x). Formalmente:

Definicion 4.1.9 Una ecuacion diferencial ordinaria (o EDO) de orden n viene definida por unaexpresion de la forma

F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0 o F(x, y,

dy

dx,d2y

dx2, . . . ,

dny

dxn

)= 0 ,

donde F es una funcion de n + 2 variables, x denota la variable independiente (con frecuencia seusa la letra t, de tiempo), e y es una funcion y = y(x) para la que estan definidas sus derivadashasta el orden n, que es el mayor ndice de derivabilidad que aparece en la expresion.

Si el teorema de la funcion implcita lo permite, y se puede despejar y(n), la ecuacion diferencialviene tambien determinada como una de las expresiones

y(n) = f(x, y, y, y, . . . , y(n1)) odny

dxn= f

(x, y,

dy

dx,d2y

dx2, . . . ,

d(n1)ydx(n1)

). (4.1.10)

Se dice entonces que la ecuacion diferencial esta definida en forma explcita. Habitualmente, seconsideran ecuaciones que se supone pueden ser representadas en la forma explcita (4.1.10).

Como en cualquier tipo de ecuacion funcional, la solucion de una EDO es una funcion queverifica la ecuacion diferencial en el dominio considerado:

Una solucion de la ecuacion diferencial en el intervalo I = (, ) es una funcion y = (x), talque , , . . . , (n), estan definidas en el intervalo, y para cada x I se verifica la identidad

F(x, (x), (x), . . . , (n)(x)

)= 0 o (n)(x) = f

(x, (x), (x), . . . , (n1)(x)

).

La solucion general de la ecuacion diferencial en el intervalo I es el conjunto de las soluciones.

Observacion Importante: De un modo mas general, aunque no seran objeto de estudio enesta introduccion, se define una ecuacion en derivadas parciales (EDP), como aquella en la que laincognita es una funcion de varias variables, intervieniendo en la ecuacion las variables, la funciony las derivadas parciales de la funcion hasta un cierto orden. Por ejemplo, en las variables x e y, laecuacion en derivadas parciales de primer orden vendra definida por una expresion de la forma

F

(x, y, z,

z

x,z

y

)= 0 ,

y ahora la solucion sera una funcion z = (x, y) verificando la EDP en un conjunto de R2.

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Un caso particular importante de ecuacion diferencial ordinaria lo constituye la ecuacion lineal.La EDO lineal de primer orden tendra una seccion propia en este tema, en la que se veran distintosmetodos para encontrar la solucion. Por otro lado, el tema siguiente esta dedicado casi en exclusivaal estudio de la EDO lineal de orden superior, as que destacamos ahora la definicion:

Definicion 4.1.11 Una ecuacion diferencial ordinaria, F (x, y, y, y, . . . , y(n)) = 0, es una ecuaciondiferencial lineal de orden n si se puede expresar en la forma

y(n) + a1(x) y(n1) + + an1(x) y + an(x) y = b(x) , (4.1.12)donde el termino independiente b(x), y los coeficientes ai(x), de la funcion incognita y de susrespectivas derivadas y(i), son funciones que solo dependen de la variable independiente x.

En el caso de ser b(x) = 0, la ecuacion diferencial lineal se dice homogenea.

En el tema siguiente se vera que la EDO lineal de orden n, definida en la forma (4.1.12), conuna transformacion adecuada, puede adoptar la forma

Y = A(x) Y +B(x) ,

donde A(x) es una matriz cuadrada e Y , Y y B(x) son vectores con n componentes.

La ecuacion diferencial ordinaria de primer orden.

Ya que este tema trata esencialmente de las ecuaciones diferenciales de primer orden, pasamos aconsiderar con mas detalle la notacion general en el caso n = 1, volviendo a particularizar lasdefiniciones hechas anteriormente para la EDO de orden n.

En particular, la ecuacion diferencial de primer orden es la que queda determinada porF (x, y, y) = 0 o y = f(x, y).

La notacion de Leibniz,

F (x, y,dy

dx) = 0 o

dy

dx= f(x, y),

y la notacion diferencial,

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0, para f(x, y) = M(x, y)N(x, y)

,

son otras formas usuales de expresar la ecuacion diferencial de primer orden.

La funcion y = (x) es una solucion de una ecuacion diferencial de primer orden en el intervaloI = (, ), si es derivable en el intervalo y, al sustituir (x) y (x) en la ecuacion diferencial,se obtiene una identidad, F (x, (x), (x)) = 0 o (x) = f(x, (x)), en cada punto x I. Lasolucion general de la ecuacion diferencial es entonces el conjunto {} de sus soluciones.Observese que la derivabilidad en el intervalo I de una funcion y = (x), que es solucion de unaecuacion diferencial y = f(x, y), implica tambien la continuidad de en el intervalo.

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En la notacion mas comun, la EDO lineal de primer orden, a la que sera dedicada la proximaseccion, es expresada como

y + a(x) y = b(x) ody

dx= A(x) y +B(x). (4.1.13)

La EDO lineal homogenea de primer orden queda entonces determinada como

y + a(x) y = 0 ody

dx= A(x) y.

En el ejemplo siguiente se recogen distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primerorden que admiten una solucion explcita en terminos de integrales y cuya resolucion y analisis, quesera estudiado en las secciones posteriores, debera formar parte de la cultura general basica decualquier cientfico, informaticos incluidos. . .

Ejemplo 4.1.14

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en las tres notaciones, las siguientes:

(1) y = 3x2 2x o dydx

= 3x2 2x o (3x2 2x)dx dy = 0 .

(2) y + y = 0 odydx

+ y = 0 o y dx+ dy = 0 .

(3) y + y = 3x2 2x o dydx

+ y = 3x2 2x o (y 3x2 + 2x)dx + dy = 0 .

(4) y = 3y2 2y o dydx

= 3y2 2y o (3y2 2y)dx dy = 0 .

(5) 2x yy = 0 o 2x ydydx

= 0 o 2x dx y dy = 0 .

Observese que las tres primeras ecuaciones diferenciales del Ejemplo 4.1.14 son lineales, comolas que se estudian en la Seccion 4.2, pero las otras ecuaciones diferenciales no son lineales (porque?). La EDO del apartado (4) es un ejemplo de ecuacion diferencial autonoma, porque la variableindependiente x no aparece de forma explcita en la ecuacion, y con ellas se introduce el metodode analisis cualitativo en la Seccion 4.4; ademas, es un caso particular de ecuacion diferencial devariables separables, como la EDO del apartado (5), que es tambien una EDO de variables separablessin ser autonoma. Las ecuaciones de variables separables, cuya solucion puede ser obtenida de formainmediata en terminos de integrales, seran estudiadas en la Seccion 4.3.

Constantes de integracion y curvas integrales. La EDO y = b(x).

Como en cualquier tipo de ecuacion funcional, una ecuacion diferencial de primer orden puededesde no tener solucion, como la ecuacion |y|+2 = 0 (por que?), hasta tener una familia infinitade soluciones; por ejemplo, la ecuacion diferencial y + 2 = 0 tiene por soluciones definidas enR a todas las funciones yC(x) = 2x + C, donde C es una constante que toma cualquier valor.

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Por consiguiente, la solucion general de una ecuacion diferencial de primer orden puede aparecercomo una funcion de dos variables, en la forma C(x), o en la mas habitual (x,C), en la que cadauna de las variable desempena un papel diferente: x es la variable independiente de las solucionesparticulares que proporcionan los distintos valores de C. Es decir:

Si la solucion general de una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden, y = f(x, y), sepuede expresar en la forma = (x,C), entonces cada solucion particular y = (x) se obtieneconsiderando un valor concreto de C.

De hecho, el caso general mas simple de ecuacion diferencial y = f(x, y) se tiene cuandof(x, y) = b(x) es una funcion continua que solo depende de x, y se corresponde precisamente conun tipo particular de ecuacion lineal. Entonces, segun el teorema fundamental del calculo, se tiene:

La solucion general de la ecuacion diferencial lineal y = b(x), siendo b = b(x) una funcioncontinua, es el conjunto de primitivas de la funcion b = b(x), parametrizado por una constante C,y que viene determinado por

(x,C) =b(x) dx+ C . (4.1.15)

Por analoga con este caso, a los parametros de la solucion general de una ecuacion diferencial seles llama constantes de integracion y a las soluciones particulares curvas integrales. Asimismo, enla teora de ecuaciones diferenciales, se usa el termino integrar como sinonimo de resolver parareferirse a la obtencion de las soluciones de una ecuacion diferencial.

Ejemplo 4.1.16

La EDO y = 3x2 2x del Ejemplo 4.1.14 (1) es del tipo y = b(x), y la solucion general es

(x,C) =(3x2 2x) dx+ C = x3 x2 + C.

Figura 4.2: Soluciones particulares de y = 3x2 2x

As, para cada valor de la constante C se obtiene la solucion particular o curva integral de la EDO,que sera de la forma y = x3x2+C. En la Figura 4.2 se muestran distinguidas por colores algunas

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soluciones particulares de la ecuacion diferencial, en un entorno del origen, para distintos valoresde la constante de integracion,

1(x) = (x,C1), 2(x) = (x,C2) y 3(x) = (x,C3) .

Por supuesto, debe entenderse en este caso que por cada punto P (x, y) del plano pasa una unicasolucion particular o curva integral de la EDO, que se corresponde con un valor concreto de laconstante de integracion. La animacion siguiente pretende ilustrar como se produce una sola curvaintegral con cada valor de C, y que tales curvas no tienen puntos comunes.

Animacion 4.3: Curvas integrales de y = 3x2 2x.

Observacion Importante: Notese que el problema de resolver y = b(x) es equivalente a hallarb(x) dx ,

que es el que se estudia en la rama del analisis matematico conocida como Calculo Integral. Peroahora, el calculo integral no es nuestro objeto de estudio. En nuestro caso, el problema consisteen analizar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Y a tal efecto, la ecuacion diferencialy = b(x) ya esta resuelta:

La solucion general de la ecuacion diferencial y = b(x) es (x,C) =b(x) dx+ C.Ojo!, X

El hecho de que para funciones b = b(x) concretas, su integral no tenga primitiva elemental o quesea casi elemental, pero no se sepa obtener, o incluso que quien este leyendo estas notas no hayavisto en su vida una primitiva, no altera para nada el resultado de que, a partir de ahora y deacuerdo con la formula (4.1.15), una EDO lineal del tipo y = b(x) ya no tiene mas misterios en lateora de ecuaciones diferenciales.

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Evidentemente, para obtener primitivas que determinen de forma explcita las soluciones delas correspondientes ecuaciones diferenciales y = b(x), para cada b(x) concreto, se recurre, si esnecesario, a desarrollos en serie de potencias o a utilizar un programa de calculo simbolico, comoMaple, etc. Por otro lado, si se esta en el caso extremo de no conocer nada del calculo de primitivas(lo que debera ser imposible cursando Ingeniera Informatica), mejor seguir un curso rapido decalculo integral, antes de continuar!

No obstante, quiza fuera prudente para todos repasar la teora elemental de integracion yconsultar al menos un texto de nivel de secundaria.

Una ultima consideracion: as como hoy se usa simplemente una calculadora basica para evaluarcalculos complicados y obtener, por ejemplo, una aproximacion razonable de una expresion como

e2.5 + 7.233 log(2.21) ,

y hace unos anos se necesitaba todo un curso de bachillerato para ser capaz de evaluar algoparecido (regla de calculo, tablas de logaritmos, formulas de interpolacion o alguna otra utilidadya definitivamente historica), hoy casi nadie calcula una primitiva razonable sin la ayuda de unordenador, por lo que no tiene sentido actualmente dedicar mucho tiempo al calculo de primitivas,ya que cualquier programa de calculo simbolico lo hace suficientemente bien.

No obstante, igual que se debe perder todo el tiempo necesario en comprender el crecimientoexponencial o logartmico, el comportamiento de las funciones elementales periodicas o incluso elcomportamiento asintotico y local de las funciones, etc., tambien se debe dedicar el tiempo que cadauno necesite hasta comprender perfectamente el significado de expresiones elementales definidas porintegrales, como por ejemplo

b(x) dx, 31

b(s) ds, x0b(t) dt o

x2t0

b(w) dw.

Por otro lado, igual que se considerara analfabeto funcional a un bachiller que necesitara unacalculadora para evaluar (

23 12

)2o 2.3 (7 +

9),

no se que se debera pensar de un ingeniero informatico que necesitara un programa de calculosimbolico para evaluar integrales con una dificultad del tipo

(3x+ 1) dx, 31(3s+ 1) ds,

x0

13t+ 1

dt,

x2t0

we(3w+1) dw o pi0cos(x) ds . . .

( Si aun no es ingeniero, preste atencion a la ultima integral: el resultado no es 0 !!)

La determinacion de la solucion particular de una ecuacion diferencial que pasa por un puntodeterminado, P (x0, y0), y en el que se precisan en x = x0 los valores necesarios de la solucion y sesus derivadas, y(x0), y(x0), y(x0), . . . , se refiere usualmente en la literatura como un problema devalores iniciales. Veamos la notacion basica en el caso de la ecuacion diferencial de primer orden.

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Problema de valores iniciales (PVI).

Si se anade la condicion inicial y(x0) = y0 a una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden, setiene el llamado problema de valores iniciales o simplemente PVI, que tambien suele ser conocido,especialmente en el tratamiento teorico, como el problema de Cauchy:

y = f(x, y), con y(x0) = y0 .

La solucion de un problema de valores iniciales es entonces el conjunto {} de curvas integrales dela ecuacion diferencial y = f(x, y), que verifican la condicion inicial (x0) = y0.

Si el problema de valores iniciales tiene solucion unica y se conoce la solucion general (x,C)de la ecuacion diferencial, la solucion particular buscada, y = (x), se puede obtener hallando elvalor de la constante de integracion mediante la resolucion de una ecuacion algebraica en C, queviene determinada por la condicion inicial (x0, C) = y0, en modo analogo a como se determina laprimitiva de una funcion elemental que pasa por un punto P (x0, y0) dado.

Otras veces puede resultar mas comodo obtener directamente la solucion y = (x) del PVI,mediante una expresion del tipo

(x) = y0 + xx0

f(s, y(s)) ds,

considerando una solucion cualquiera, y = y(x), de la ecuacion diferencial; entonces, y = (x)verifica trivialmente la condicion inicial, (x0) = y0, y la ecuacion diferencial (x) = f(x, (x)).

Ejemplo 4.1.17

Para el problema de valores iniciales determinado por la ecuacion y = 3x2 2x, con la condicioninicial y(0) = 1, se obtiene la solucion unica (x) = x3 x2 + 1, que se muestra en la Figura 4.4.

Figura 4.4: Solucion al PVI y = 3x2 2x, con y(0) = 1.

La curva integral de la ecuacion diferencial que define la solucion al PVI se puede obtener medianteuno de los procedimientos siguientes:

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Determinando la curva de la familia (x,C) = x3 x2 + C que verifica (0, C) = 1.

Calculando directamente (x) = 1 + x0(3s2 2s) ds.

As, la solucion y = (x) se corresponde con la curva correspondiente a la constante C = 1 de laAnimacion 4.3, que se destaca en la Figura 4.4 junto al punto que define la condicion inicial.

En general, lo usual es que la solucion de una ecuacion diferencial o un problema de valoresiniciales solo pueda ser obtenida de forma aproximada, bien porque no se pueda encontrar unasolucion explcita o bien porque esta sea una expresion que contenga una formula intratable.

Observacion Importante: Los problemas de valores iniciales que interesan, desde el punto devista practico, son aquellos que tienen solucion unica en un intervalo del punto de abscisas x = x0considerado. En otro caso, desde el punto de vista teorico no habra ningun problema (e inclusopudiera ser mucho mas interesante. . . ), pero si se esta modelando un experimento real parecerazonable admitir, en un plano teorico, que partiendo de una misma situacion inicial y en lasmismas condiciones, no se obtienen dos resultados distintos en un momento posterior, que sera elequivalente, desde el punto de vista aplicado, a que un problema de valores iniciales no tuviera dossoluciones distintas pasando por un mismo punto inicial.

En su momento se analizaran las condiciones teoricas que garantizan la unicidad de las solucionesde una ecuacion diferencial; por otro lado, existen ejemplos practicos suficientes que muestranque experimentos modelados por ecuaciones diferenciales, que debieran conducir a un mismoresultado, pueden evolucionar de un modo muy diferente.

Soluciones locales y estabilidad.

Aunque cada PVI determinado por una misma ecuacion diferencial admita una solucion unicapara cada condicion inicial, la ciencia aplicada nos muestra empricamente que las soluciones queproporcionan las ecuaciones de modelos experimentales suelen ser validas solo durante un intervalo(mas o menos corto) de tiempo; ello implica que la solucion teorica obtenida tiene validez solo comosolucion local del experimento que modela. Desde el punto de vista aplicado es indiferente que lasolucion no sea valida globalmente porque la ecuacion diferencial no se ajuste bien al experimentoo porque su solucion solo este definida localmente. Sin embargo, el conocer si la solucion de unaecuacion diferencial tiene validez global o solo local, independientemente del experimento que seeste modelando, resulta un problema teorico fundamental.

Desde el punto de vista aplicado, lo usual sera que el experimento solo este parcialmente mode-lado y que haya variables o restricciones que no se han tenido en cuenta, porque no tienen un efectosignificativo en un principio (o porque no se conocen), pero que luego, a partir de un determinadomomento, comienzan a ejercen su influencia; a partir de entonces, obviamente, lo que predice lasolucion teorica del PVI no coincide ya con el resultado experimental.

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Corolario 1: Mientras mas simple sea un modelo es de esperar que las soluciones teoricas, aunqueesten definidas en un intervalo muy amplio, solo puedan ser utilizadas para predecir la evoluciondel experimento en valores proximos al inicial.

No obstante, no debe obviarse el problema de tener una solucion teorica local correcta, a la quese le esta exigiendo una prediccion en puntos que han dejado de ser ya de su dominio. El problemateorico de conocer el dominio de las soluciones particulares de una ecuacion diferencial ordinariasera analizado en la secciones siguientes. En particular, se vera que determinar el dominio de lassoluciones de una ecuacion diferencial lineal es un problema menor, mientras que si la ecuaciondiferencial es no lineal el problema pudiera ser verdaderamente complicado.

Por otra parte, hasta los estudios de Poincare se pensaba que si la evolucion de un experimentose converta en un problema de solucion impredecible a largo plazo sobre cualquier modelo quese utilizara, entonces era necesariamente porque el problema era muy complicado de modelar;como por ejemplo, la evolucion del sistema dinamico formado por la luna, la tierra y el sol, queabordo y casi resolvio Poincare, o exagerando un poco mas, como la evolucion del sistema dinamicoque rige en una zona la evolucion del tiempo atmosferico. Hasta entonces, se argumentaba que elfracaso de la prediccion solo poda ser debido a cuestiones como las senaladas anteriormente: que enlas ecuaciones que modelan un experimento muy complejo o bien hay que considerar demasiadasrestricciones, en cuyo caso las expectativas de pronostico deben ser muy prudentes, o bien hayecuaciones que son muy complicadas, en cuyo caso las aproximaciones de sus soluciones contendranerrores que al ir aumentando obligan de nuevo a la prudencia en las predicciones. No poda, pues,admitirse que pudiera ser un problema de las ecuaciones mismas.

Es decir, no entraba dentro de lo plausible, por ejemplo, que hubiera ecuaciones tales que,evaluando de una manera exacta, y partiendo de puntos muy proximos, las soluciones particularesobtenidas llegasen a tomar a lo largo del tiempo valores muy distintos; tanto, que al operar demodo aproximado (que es el unico posible), hicieran desde todo punto de vista impredecible elpronostico a largo plazo de la solucion a cualquier problema que las ecuaciones modelasen. Y,por supuesto, todo ello debido a la naturaleza misma de las ecuaciones que rigen el problemay no su modelizacion. . . esto es el caos! Quiero decir, no que estamos desvariando, sino que loscomportamientos de este tipo y los sistemas dinamicos regidos por ecuaciones diferenciales quepueden presentarlos se entienden mejor ahora y se llaman actualmente sistemas caoticos. Se estudiany se investigan como una rama mas de las matematicas conocida por sistemas dinamicos o teoradel caos, donde el enfasis se pone, entre otras cosas, en analizar bajo que condiciones las solucionesdistintas de un sistema dinamico evolucionan de forma parecida o de forma muy diferente, partiendode puntos que puedan estar infinitamente proximos.

Corolario 2: Hay experimentos cuyo comportamiento impredecible (caotico) depende del propioexperimento y no de la complejidad de su modelado, como puede ser probado precisamente con lasecuaciones que lo modelan.

Aunque la solucion que obtuvo en principio Poincare para el problema de los tres cuerpos noera correcta porque eluda precisamente los comportamientos caoticos que estaban presentes en susolucion general y que todava no se saba como abordar, con la introduccion del analisis cualitativo,los trabajos de Poincare cambiaron en parte la forma de estudiar los problemas relacionados con lasecuaciones diferenciales no lineales de este tipo, de enorme complejidad. El problema de determinarcomo se comportan las soluciones particulares de una ecuacion diferencial cuando se parte de puntosproximos esta relacionado con la estabilidad de las soluciones de equilibrio de la ecuacion.

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La EDO lineal de primer orden 143

En la Seccion 4.4 iniciaremos el analisis cualitativo, introduciendo la notacion y las nocionesbasicas sobre estabilidad en las ecuaciones diferenciales autonomas de primer orden; entonces, severa como es posible determinar las soluciones de equilibrio de algunas ecuaciones diferenciales,y como, a partir de ellas, se puede analizar el comportamiento de las restantes soluciones parti-culares sin necesidad de tener que hallarlas de forma explcita. No obstante, en la Seccion 4.2 yen la Seccion 4.3 vamos a considerar, respectivamente, los dos casos mas sencillos de ecuacionesdiferenciales de primer orden resolubles: La EDO lineal y la EDO de variables separables. Estosimportantes tipos de ecuaciones diferenciales forman parte de las excepciones, en el sentido de quesu solucion puede ser obtenida mediante formulas de integracion. Afortunadamente, son muchoslos problemas que pueden ser modelados por ecuaciones diferenciales lineales o de variables se-parables, y de ah su importancia. Por otro lado, utilizando metodos cualitativos y/o numericos,con ejemplos sencillos de ecuaciones diferenciales resolubles, es posible comprobar la veracidad delas conclusiones del analisis cualitativo o la fiabilidad de las aproximaciones numericas, sobre lassoluciones explcitas, para tomar as confianza cuando se tengan que utilizar posteriormente estosmetodos con ecuaciones diferenciales mas complicadas.

4.2. La EDO lineal de primer orden.

Uno de los ejemplos mas importantes de ecuacion diferencial es la ecuacion lineal (4.1.12). Comose ha senalado antes, muchas de las aplicaciones practicas pueden ser modeladas con ecuaciones deeste tipo. Y por otro lado, cuando una ecuacion diferencial no es lineal, con frecuencia puede serlinealizada, es decir, sustituida por una ecuacion diferencial lineal cuya solucion pueda ser localmenteuna aproximacion razonablemente valida de la solucion de la ecuacion diferencial original. Estasituacion es extensible a las ecuaciones y sistemas no lineales de orden superior, por lo que laresolucion de las ecuaciones lineales de cualquier orden resulta una cuestion relevante.

Aunque la EDO lineal de orden n se ha particularizado ya en (4.1.13) a la de primer orden,repetimos de nuevo su definicion al principio de esta seccion, que esta totalmente dedicada a ella:

Una ecuacion diferencial de primer orden, y = f(x, y), es lineal si puede adoptar la formay + a(x) y = b(x) o y = A(x) y +B(x). (4.2.1)

La notacion y = A(x) y + B(x) es la usual cuando se considera el caso mas general de sistemalineal de ecuaciones diferenciales; no obstante, la notacion mas comun para la EDO lineal de primerorden es y + a(x) y = b(x). Procuraremos usar ambas notaciones indistintamente para que luego,al estudiar el sistema lineal, el cambio de notacion no resulte desconcertante. Por otro lado, debidoa su importancia, definimos la ecuacion homogenea asociada:

La EDO lineal homogenea asociada a la EDO lineal completa (4.2.1) es entoncesy + a(x) y = 0 o y = A(x) y. (4.2.2)

No hay ningun misterio para la EDO lineal de primer orden: si los elementos a(x) y b(x) queaparecen en la definicion son funciones continuas, entonces la solucion general se puede expresaren terminos de integrales que los involucran. Ademas, para cada PVI se puede precisar la unicidady el dominio de la solucion particular correspondiente.

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144 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Proposicion 4.2.3 Si a = a(x) y b = b(x) son funciones continuas en un intervalo I = (, ),entonces la solucion general de la ecuacion diferencial lineal y + a(x) y = b(x), en el intervalo I,queda determinada por la formula

(x,C) = ea(x) dx

(b(x) e

a(x) dx dx+ C

). (4.2.4)

Ademas, la solucion del PVI determinado por una condicion y(x0) = y0 es unica y viene dada por

(x) = e xx0

a(s) ds(y0 +

xx0

b(t) e tx0

a(s) dsdt

). (4.2.5)

En efecto, en el supuesto de que las expresiones a(x) y b(x) sean funciones continuas en elintervalo I = (, ), el teorema fundamental del calculo asegura la existencia de las primitivas

a(x) dx y

b(x) e

a(x)dx dx,

en el intervalo I; por lo tanto, la expresion (4.2.4) esta bien definida y entonces, derivando = (x,C) respecto a x y sustituyendo y en la ecuacion diferencial (4.2.1), se puedecomprobar que se verifica la ecuacion diferencial. Por otro lado, se la expresion (4.2.5) determinaobviamente la unica solucion particular de la ecuacion diferencial que verifica y(x0) = y0.

NOTA: La solucion de Maple para la EDO de primer orden.

Por supuesto, los programas de calculo simbolico, como Maple o Mathematica, tienen implemen-tadas las expresiones de la solucion de la EDO lineal de primer orden y del PVI correspondiente,y con ellos se puede acceder a la solucion de forma inmediata (y tambien a las de las ecuacionesdiferenciales lineales resolubles de orden superior que seran estudiadas posteriormente).

En particular, en Maple hay dos modos distintos de expresar la derivada y de una funciony = f(x) : utilizando el comando diff, que se usa en la forma diff(y(x),x), o utilizando eloperador funcional derivada D, que se usa en la forma D(y)(x). Cada modo permite expresaruna ecuacion diferencial con sintaxis diferente; no obstante, para resolverla se utiliza un mismocomando, dsolve, con la ecuacion expresada en cualquiera de las formas posibles.

Por supuesto, aunque se tengan dos formas distintas de expresar la EDO lineal de primer ordeny + a(x) y = b(x), con ambas se obtiene la misma solucion: > dsolve(diff(y(x),x)+a(x)*y(x)=b(x));

y(x) =(

b(x) e(a(x) dx) dx+ C1

)e(a(x) dx)

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> dsolve(D(y)(x)+a(x)*y(x)=b(x));y(x) =

(b(x) e(

a(x) dx) dx+ C1

)e(a(x) dx)

La solucion que proporciona Maple como salida puede adoptar una simplificacion distintasegun la version del programa que se este utilizando, pero obviamente todas resultan equivalentes.Es importante resaltar que la constante de integracion de la solucion general es denotada por C1,y cuando hay mas de una aparecen en la forma Cn, donde n indica un numero que las diferencia;ademas, el signo de subrayado que las precede las distingue de otras constantes (aunque no lashaya) que pudieran inicialmente formar parte de la ecuacion diferencial.

Por otro lado, para resolver un problema de valores iniciales se utiliza el mismo comando dsolve.Maple trata el PVI como si fuese un sistema de ecuaciones diferenciales y se deben encerrar entrellaves la ecuacion y la condicion inicial, indicando tambien la(s) incognita(s), en modo analogo acomo se hace con el comando solve para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas.

Por ejemplo, la solucion al PVI determinado por la ecuacion y+a(x) y = b(x), con la condicioninicial y(x0) = y0, se obtiene en la forma > dsolve({D(y)(x)+a(x)*y(x)=b(x),y(x0)=y0},y(x)):

donde el codigo de la lnea de comandos se ha terminado en : para omitir as la salida, ya que,aunque en la sintaxis de cualquier version de Maple resulta equivalente a la formula (4.2.5), laexpresion que proporciona el programa puede ser muy diferente de una version a otra.

Observacion Importante: En el resto de la seccion se va a analizar como llegar a la soluciongeneral (4.2.4), o a la solucion particular (4.2.5), sin tener que memorizar ninguna de las formulas.Para ello, se consideran primero los casos particulares mas simples y sencillos, en los que algunade las expresiones a(x) o b(x) es nula; luego, para resolver la ecuacion diferencial lineal completa,se emplea algun tipo de reduccion a los casos anteriores o algun metodo de los que se utilizan pararesolver una EDO lineal de orden superior, particularizado en la ecuacion lineal de primer orden.

Esta practica debera ser la forma usual de resolver una EDO lineal de primer orden a mano yreservar la expresion de la solucion (4.2.4) para los aspectos relacionados con el desarrollo teorico.

As, en algunos casos, al tiempo que se aprende a resolver una EDO lineal de primer orden (sinmemorizar formulas), se aprenden, en su version mas facil, las tecnicas que se emplean para resolver Ojo!, Xecuaciones diferenciales lineales de orden superior (para las que se puede encontrar solucion), y queseran estudiadas en los proximos temas.

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La ecuacion diferencial lineal y = b(x).

El caso que corresponde a la EDO lineal y + a(x)y = b(x), con a(x) = 0, es trivial, ya que laecuacion diferencial adopta la forma y = b(x), que ha sido resuelta en la Seccion 4.1.

Recordemos aqu la solucion general (4.1.15), obtenida mediante integracion directa,

(x,C) =b(x) dx+ C ,

que para cada valor de la constante C resulta ser una funcion derivable en cualquier intervaloen el que b = b(x) sea una funcion continua, como establece el teorema fundamental del calculo.

Si se considera la condicion inicial y(x0) = y0, la solucion y = (x) del PVI correspondientese obtiene determinando la constante de integracion C, bien a partir de la ecuacion algebraica(x0, C) = y0, o bien directamente, a traves de la integral definida

(x) = y0 + xx0

b(s) ds ,

como se muestra con la ecuacion diferencial lineal utilizada en el Ejemplo 4.1.17.

La ecuacion diferencial lineal homogenea y = A(x) y.

El caso particular de la EDO lineal y + a(x) y = b(x), con b(x) = 0, se reduce a una ecuaciondiferencial lineal homogenea. La solucion es inmediata, y se obtiene transformando la ecuacion enotra ecuacion diferencial del tipo anterior.

La solucion general de la ecuacion diferencial lineal homogenea, y + a(x) y = 0, es

(x,C) = C eA(x) dx, donde A(x) = a(x). (4.2.6)

En efecto, pongamos y = A(x) y, con A(x) = a(x), para manejar tambien la notacion que seutiliza en los sistemas de ecuaciones diferenciales; entonces, podemos transformar una ecuaciondiferencial de este tipo en una ecuacion lineal como la considerada en el caso anterior, aplicandosobre log(|y|) la regla de la cadena. El punto clave es que, suponiendo que y no se anula,

y

y= A(x) se puede expresar como

d (log(|y|))dx

= A(x).

Entonces, integrando a ambos lados de la ecuacion se tiene log(|y|) = A(x) dx+ C, o bien|y| = e

A(x) dx+C = eC e

A(x) dx.

La continuidad de cada solucion particular y = |(x)| permite eliminar el valor absoluto,asignandole el signo de la solucion a la constante de integracion eC ; as, teniendo en cuentaque la constante se puede renombrar de nuevo (por ejemplo, a la misma letra C, para economizarsmbolos. . . ), se obtiene la solucion (4.2.6) de la ecuacion diferencial lineal homogenea.

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Por supuesto, cada solucion particular de la ecuacion diferencial y + a(x) y = 0 es una funcionderivable en cualquier intervalo en el que a = a(x) sea una funcion continua y queda determinada deforma unica por un valor de la constante de integracion C. Por otro lado, cada solucion particularpuede obtenerse como solucion a un PVI, directamente mediante una integracion.

La solucion del problema de valores iniciales determinado por la ecuacion diferencial homogeneay = A(x) y, con la condicion inicial y(x0) = y0, es

(x) = y0 e xx0

A(s) ds.

Observese el paralelismo entre los dos tipos de EDO lineal incompleta, y = b(x) e y = A(x) y,considerados hasta ahora: en ambos casos, la solucion de la ecuacion diferencial se ha obtenidofinalmente de la misma manera, con una integral sobre la expresion que aparece en la variableindependiente x; es decir, integrando b(x) o A(x), segun el caso. La diferencia estriba solo en queen la EDO homogenea la integral aparece como exponente de la funcion exponencial y la constantede integracion se suele expresar factorizada:

y = b(x) (x,C) = b(x) dx+ Cy = A(x) y (x,C) = C e

A(x) dx

Ojo!, X

Ejemplo 4.2.7

Para la EDO lineal homogenea y2xy = 0, integrando en la forma y/y = 2x, y tomando a amboslados la exponencial, o bien utilizando directamente la formula (4.2.6), se llega a y = C e

2x dx.

Por consiguiente, la solucion general es

(x,C) = C ex2.

El problema de valores iniciales determinado por la ecuacion diferencial, con y(0) = 1, por ejemplo,tiene por solucion a la funcion (x) = ex

2, que esta definida en R (el mismo dominio que a(x) = x),

y es la unica solucion particular de la ecuacion diferencial que pasa por el punto A(0, 1). Por otrolado, debido a la unicidad de la solucion particular de cada PVI, ninguna otra solucion de la EDOpuede cortar a la solucion (x) = ex

2en alguno de sus puntos (por que?).

La EDO lineal homogenea de coeficiente contante y = r y .

Un caso particular importante de ecuacion diferencial lineal homogenea se tiene cuando A(x) = r,siendo r R una constante. Entonces, la variable independiente x no aparece explcitamente en laEDO (aunque, s en la solucion!), luego es una EDO autonoma de solucion inmediata:

La EDO homogenea y = ry tiene por solucion general (x,C) = C erx. La solucion del PVI determinado por y = ry, con y(x0) = y0, es (x) = y0 er(xx0).

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Obviamente, la solucion y = (x) del PVI esta definida en todo el conjunto R, y es la unica solucionde la ecuacion diferencial y = ry que pasa por el punto A(x0, y0). Para distinguir este casoparticular de ecuacion diferencial homogenea, se resalta su descripcion diciendo que es una EDOlineal homogenea de coeficiente constante. Como se vera posteriormente, la EDO lineal homogeneade coeficientes constantes de orden superior es tambien facilmente resoluble.

Ejemplo 4.2.8

La ecuacion y+y = 0 del Ejemplo 4.1.14 (2) es una EDO lineal homogenea de coeficiente constante.

Puesta en la forma y = y, se tiene la solucion general (x,C) = C ex.

Cada PVI determina entonces una unica solucion particular definida en R, que depende de lacondicion inicial y(x0) = y0. Por ejemplo:

(a) La solucion del PVI, con la condicion inicial y(1) = 0, es la funcion nula (x) = 0 .

(b) El PVI, con y(1) = 2, tiene por solucion (x) = 2 e1x, que siempre toma valores positivos,como le ocurrira a la solucion particular del PVI, con cualquier condicion y(x0) > 0.

(c) Por contra, para el PVI, con y(1) = 2, la solucion (x) = 2 e1x es siempre negativa, enmodo analogo a la de cualquier otro PVI, con una condicion inicial y(x0) < 0.

Observacion Importante: Sistema lineal homogeneo.

Si se considera un vector y0 Rn, y una matriz cuadrada A(x) de dimensiones n n, la expresiony = A(x)y define a la version n-dimensional de la ecuacion diferencial lineal homogenea. Entonces,la ecuacion y = A(x)y es en realidad un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y es conocidocomo el sistema lineal homogeneo. Aunque no es necesario, se suelen denotar con mayusculas lasvariables funcionales, y e y, para recordar que son vectores, y el sistema lineal homogeneo seexpresa entonces en la forma

Y = A(x) Y .

Un problema de valores iniciales quedara ahora determinado por la ecuacion diferencial y unacondicion inicial Y (x0) = Y0 = (y1(x0), . . . , yn(x0))T , que es vectorial. Y la solucion para el sistemalineal n-dimensional homogeneo es la misma que la del caso unidimensional

(x) = Y0 e xx0

A(s) ds.

Pero ahora se trata de una expresion matricial, en la que juega un papel importante la matriz

F (x) = e xx0

A(s) ds, (4.2.9)

que se llama matriz fundamental, y cuya columna j-esima esta formadas por la solucion del PVIdeterminado por el sistema lineal homogeneo Y = A(x) Y , con la condicion inicial Y (x0) = ej ,siendo ej la respectiva columna j de la matriz identidad de dimension n n.

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En el captulo dedicado a los sistemas de ecuaciones diferenciales se estudiara como obtener unamatriz fundamental F (x), en el caso de ser A(x) = A una matriz cuadrada de numeros reales, quees obviamente la version n-dimensional de la ecuacion diferencial lineal homogenea de coeficienteconstante, y = r y, a la que se ha dedicado este epgrafe.

La ecuacion diferencial lineal completa y + a(x) y = b(x).

Finalmente, vamos a abordar de varias formas la resolucion de la EDO lineal completa de primerorden, llegando a la solucion que se obtendra utilizando directamente la expresion (4.2.4), perosin la molestia de tener que memorizar nada. Cada modo de obtener la solucion tiene obviamentesus ventajas e inconvenientes, aunque siempre se puede uno apuntar la formula de la soluciongeneral para (x,C), si no se va a tener un ordenador a mano. . .

Esencialmente, los distintos metodos que resuelven la ecuacion diferencial lineal se basan en elsiguiente hecho fundamental:

la solucion de la EDO lineal completa, ed : y + a(x) y = b(x), se obtiene trivialmente a partirde la solucion de la EDO homogenea asociada, edH : y + a(x) y = 0.

De hecho, si y = H(x,C) denota la solucion general de la EDO homogenea edH y, por otro lado,y = (x,C) denota la solucion general de la EDO completa ed, la clave de algunos de los metodosusuales de resolucion de la ecuacion diferencial ed esta en dos formas distintas de descomponer lasolucion (4.2.4). La primera, como un producto:

1.- La solucion general de la ecuacion diferencial ed se puede obtener a partir de la factorizacion

(x,C) = H(x, 1) v(x,C), (4.2.10)

donde v = v(x,C) es una funcion parametro desconocida, que es entonces la incognita quehay que determinar.

Atencion: La funcion h = H(x, 1) puede ser cualquiera de las soluciones de la EDO homogeneaasociada (se ha tomado C = 1 por comodidad); por tanto, la constante de integracion de la soluciongeneral de la EDO ed aparecera al determinar mediante integracion el parametro v = v(x,C).

La segunda descomposicion expresa la solucion en forma de suma:

2.- La solucion general de la ecuacion diferencial ed se puede obtener a partir de la descomposicion

(x,C) = H(x,C) + yp(x), (4.2.11)

donde y = yp(x), que es ahora la incognita a determinar, representa a una cualquiera de lassoluciones particulares de la ecuacion ed.

Atencion: La funcion desconocida yp indica ahora solo una solucion de la ecuacion completa ed(que no incluye constante de integracion), no la propia solucion general (x,C), que contiene atodas las soluciones particulares y resolvera completamente la EDO.

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Si se opta determinar v = v(x,C), para expresar la solucion en la forma (4.2.10), se suele utilizarel metodo de variacion de parametros, tambien llamado metodo de variacion de las constantes, quees que nosotros recomendamos y que sera descrito primero.

Por otro lado, si se conoce una solucion particular y = yp(x) de la ecuacion lineal completa ed,porque se tiene algun metodo que permita hallarla, o porque se conoce la solucion del problemaque la ecuacion modela para alguna condicion particular, o incluso por una pura inspeccion a basede prueba y error (en los casos mas sencillos), entonces la solucion general de la ecuacion diferen-cial completa se obtiene de un modo mas facil, aplicando directamente la descomposicion (4.2.11).Esta descomposicion es la que permite resolver la EDO lineal de orden superior, cuando la EDOhomogenea asociada es de coeficientes constantes; en particular, el metodo de los coeficientes inde-terminados predice en algunos casos la forma de la solucion particular yp. Por supuesto, el metodode los coeficientes indeterminados tambien se puede utilizar con ecuaciones diferenciales de primerorden (aunque realmente no es necesario); de hecho, la primera descripcion del metodo la haremoscon la EDO lineal de primer orden a causa de su mayor simplicidad.

Finalmente, se excusa el decir que hay otras formas de resolver la EDO lineal de primer ordenbasadas en tecnicas mas generales. Algunas especficas, como la utilizacion de un factor integrante(por su conexion con las ecuaciones diferenciales exactas) o la utilizacion de series de potencias(por su conexion con las funciones especiales) seran analizadas en esta seccion. Otras, como latransformada de Laplace merecen una seccion propia (por su conexion con las transformadas Zy de Fourier). Y algunos metodos, que se describen en otros textos (hay gustos distintos, segunla formacion del autor. . . ), como el metodo de los anuladores, simplemente seran ignorados. Enrealidad, con un buen programa de calculo simbolico, la solucion de la EDO lineal de primer ordense obtiene directamente, como se ha visto con Maple, e incluso en algunos se puede precisar unmetodo de resolucion, por lo que volvemos a repetir que lo interesante es la comprension de lasideas involucradas en cada metodo, que es en lo que se aconseja insistir.

Metodo de variacion de parametros.

Considerese la ecuacion diferencial lineal completa ed : y+a(x) y = b(x). Entonces, la solucion dela ecuacion homogenea asociada edH : y + a(x) y = 0, de acuerdo con la expresion (4.2.6), vienedada por H(x,C) = C e

a(x) dx; por lo tanto, la formula (4.2.4) de la solucion general de la

ecuacion lineal ed se puede poner en la forma

(x,C) = H(x, 1)(

b(x) ea(x) dx dx+ C

)= h v(x,C),

donde h = H(x, 1) = ea(x) dx, y v(x,C) es definida por la expresion integral entre parentesis,

que es la que se trata de hallar con el metodo.

El metodo de variacion de parametros consiste en considerar como solucion de la ecuacioned : y + a(x) y = b(x) la expresion y = h(x) v, en la incognita v, donde h es la solucion de laEDO homogenea asociada edH : y + a(x) y = 0. Entonces, el parametro v = v(x,C) se determinamediante una nueva ecuacion diferencial del tipo v = (x), que se obtiene al obligar a h(x) v averificar la ecuacion ed. En consecuencia, la solucion de la EDO lineal completa se obtiene como

(x,C) = h(x) v(x,C). (4.2.12)

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En efecto, sustituyendo en la ecuacion diferencial ed las expresiones y = hv e y = hv+hv,

se obtiene la igualdadh(x) v + h(x) v

+ a(x) h(x) v = b(x) ;

y teniendo en cuenta que h(x) + a(x) h(x) = 0, por ser h solucion de la EDO homogeneaedH , la igualdad anterior simplifica a la ecuacion

h(x) v = b(x) .

Por consiguiente, se ha llegado una ecuacion diferencial lineal en v del tipo v = (x), donde(x) = b(x)/h(x), y cuya solucion se obtiene directamente mediante integracion:

v(x,C) =

b(x)h(x)

dx+ C.

Evidentemente, sustituyendo en la igualdad (4.2.12) el valor encontrado para v = v(x,C), seobtiene la solucion de la ecuacion diferencial ed,

(x,C) = h(x)(

b(x)h(x)

dx+ C), (4.2.13)

que es de nuevo la formula (4.2.4), en una forma distinta (a la que se ha llegado sin esfuerzo).

En el caso de un PVI, con y(x0) = y0, la solucion particular se puede hallar a partir de lasolucion general obtenida, = (x,C), determinando el valor de la constante C, o partiendo de lasolucion particular

h(x) = e xx0 a(s) ds

y llegando directamente a la solucion

(x) = h(x)(y0 +

xx0

b(t)h(t)

dt

). (4.2.14)

Observese que, desde el punto de vista practico, no hay que recordar nada para emplear en cadacaso concreto el metodo de variacion de parametros y llegar a la solucion (x,C) = h(x) v(x,C).El algoritmo que resuelve la EDO completa ed : y + a(x) y = b(x) es el siguiente:

1. Resolver la EDO homogenea asociada edH para encontrar h(x) = ea(x) dx.

2. Hallar v = v(x,C), considerando y = h(x) v como solucion de la EDO completa ed.

3. Expresar la solucion general de la ecuacion ed en la forma (x,C) = h(x) v(x,C).

Ojo!, X

Atencion: Si las cuentas se hacen correctamente, se tienen que simplificar todas las expresionesque contienen al parametro v y se obtendra una ecuacion v = (x) que determina v = v(x,C). Porotro lado, si no ocurre as, el metodo avisa de que se esta haciendo algo mal, y hay que rectificar.

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Para hallar la solucion particular de un PVI, determinado por la ecuacion ed, con y(x0) = y0, sintener que evaluar la integral, se puede tomar como solucion de v = (x) la primitiva que se obtienede considerar la integral definida con ndice inferior x0 y extremo superior x, es decir, poniendo lasolucion de la ecuacion ed en la forma

(x,C) = h(x)( x

x0

(s) ds+ C),

y entonces, C se obtiene de la ecuacion algebraica que resulta de

y0 = (x0, C) = h(x0)( x0

x0

(s) ds+ C)

= h(x0) (0 + C) ,

es decir, llegando directamente al valor de la constante C = y0/h(x0).

Ejemplo 4.2.15

La ecuacion ed : y + y = 3x2 2x, del Ejemplo 4.1.14 (3), es una EDO lineal completa.1) La EDO homogenea asociada, edH : y + y = 0, es de coeficiente constante (Ejemplo 4.2.8), ytiene por solucion H(x) = C ex; luego, la solucion y = (x,C) de la EDO completa que se debeconsiderar al utilizar el metodo de variacion de parametros es

y = h(x) v = ex v.

2) Como y = exv + exv, sustituyendo y e y en la ecuacion diferencial ed, se tiene

exv + exv + exv = 3x2 2x,

que evidentemente simplifica aexv = 3x2 2x.

Por lo tanto, se obtiene el valor del parametro

v(x,C) =(3x2 2x) ex dx+ C,

3) Finalmente, como y = ex v, la solucion de la EDO lineal completa ed es,

(x,C) = ex(

(3x2 2x) ex dx+ C)

Por supuesto, este caso se puede concluir resolviendo la integral, que es elemental, aunque hay queaplicar el metodo de integracion por partes. . . dos veces!

Para dejar indicada la solucion de un PVI determinado por la ecuacion ed, con y(x0) = y0, seexpresa la solucion en la forma

(x,C) = ex( x

x0

(3s2 2s) es ds+ C),

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que permite determinar facilmente la constante C apropiada a cada condicion inicial. Por ejemplo,para y(2) = 7, se tiene x0 = 2; entonces,

7 = (2, C) = e(2) (0 + C) = C = 7e2 .

As, sin tener que calcular ninguna integral, se puede determinar la solucion particular buscada,

(x) = ex(7e2 +

x2(3s2 2s) es ds

).

(Nota: Lo que hay que hacer para evitar, si es posible, resolver una integral por partes. . . a mano!).

Metodo del factor integrante.

Una forma habitual de ayudar a resolver la ecuacion lineal completa ed : y + a(x) y = b(x), sinnecesidad de recurrir a la formula (4.2.4), y que suele tener mucha aceptacion (en muchos libros detexto es el metodo recomendado), es memorizar la funcion

(x) = ea(x) dx, (4.2.16)

que se llama factor integrante de la ecuacion diferencial ed, porque al multiplicarla por = (x) setransforma en otra ecuacion diferencial que se sabe resolver y de la cual se puede luego obtenerla solucion de la EDO original.

El metodo del factor integrante consiste en multiplicar por la funcion (x) = ea(x) dx en ambos

lados de la ecuacion ed : y + a(x) y = b(x), para transformarla en una nueva EDO que, entonces,puede ser expresada en la forma resoluble ((x) y) = (x) b(x). En consecuencia, a partir del valorde (x) y, se obtiene directamente la solucion y = (x,C) de la ecuacion diferencial ed.

En efecto, la clave de que la transformacion resulte siempre bien esta en que la derivada de = (x) verifica la relacion (x) a(x) = (x), como se puede comprobar directamente. Entonces,el metodo funciona porque se tiene la equivalencia

(y + a y) = b y + a y = b y + y = b (y ) = b.

La nueva ecuacion (y ) = b es resoluble por integracion directa:

((x) y) = (x) b(x) = (x) y =(x) b(x) dx+ C .

Por lo tanto, despejando y en la ultima igualdad, se obtiene la solucion general de la EDO lineal,

(x,C) =1

(x)

((x) b(x) dx+ C

),

que obviamente, como en cualquier metodo que se aplique, coincidira con la solucion (4.2.13).

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En los tiempos en que la solucion de las ecuaciones diferenciales resolubles se obtenan sin laayuda de ordenador, los textos especializados en problemas resueltos estaban llenos de factoresintegrantes, o de funciones con propiedades similares, que se utilizaban con ecuaciones diferencialesno lineales de distintos tipos. Hoy esto es un anacronismo, ya que cualquier programa de calculosimbolico los tiene implementado y, en los casos conocidos, proporcionan directamente la solucion.

No obstante, si como alternativa a la formula (4.2.4) de la solucion de la EDO lineal de primerorden se utiliza, en cada caso concreto, el metodo del factor integrante para resolverla a mano, almenos solo hay que recordar la expresion (4.2.16) para calcular el factor integrante, ya que el restono es mas que un proceso mecanico que puede resumirse en el esquema siguiente:

y + a(x) y = b(x)

(x) = ea(x) dx

= ((x) y) = (x) b(x) = y =1

(x)

((x) b(x) dx+ C

)Ojo!, X

Observese que el factor integrante de la ecuacion ed : y+a(x) y = b(x) no debera ser confundidocon h(x) = e

a(x) dx, que es solucion de la EDO homogenea asociada edH : y+a(x) y = 0, y que

se emplea, por ejemplo, en el metodo de variacion de parametros. De, hecho notese que se verificala relacion h(x) = 1/(x).

Aunque el metodo recomendado para resolver una EDO lineal completa de primer orden hayasido el de variacion de parametros, como se ha mostrado en el Ejemplo 4.2.15, vamos a ilustrarcomo utilizar el factor integrante para resolver la misma ecuacion diferencial.

Ejemplo 4.2.17

Para resolver la EDO lineal ed: y+y = 3x22x, sacamos de la manga el factor integrante (4.2.16):

(x) = ea(x) dx = e

1 dx = ex.

Luego, multiplicando a ambos lados de la ecuacion por (x) = ex, se tiene

ex y + ex y = ex (3x2 2x) (ex y) = ex (3x2 2x),

e integrando en ambos lados de la ultima igualdad

(ex y) = ex (3x2 2x) = ex y =ex (3x2 2x)dx+ C

Finalmente, despejando y, se obtiene la solucion

(x,C) = ex(

(3x2 2x) ex dx+ C),

que por supuesto es la solucion que ya se obtuvo en el Ejemplo 4.2.15.

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En la practica, para justificar por que se recomienda uno u otro metodo al resolver una ecuaciondiferencial lineal completa a mano, se puede reflexionar en el sentido siguiente:

Por supuesto, aparentemente es mas facil y comodo emplear el metodo del factor integrante;sobre todo si, como se hace habitualmente, se calcula y se utiliza directamente en la implicacion(y+a y = b) ( y) = b, para llegar rapidamente a la solucion de la EDO, y = 1( b+C).Observese que, en tal caso, si se hubiese calculado mal el factor integrante , entonces se llegaraa una solucion erronea porque no se detectara que se ha cometido un error en el calculo de . Ojo!, X

As, como medida de precaucion y para evitar errores con este metodo, se debera comprobar laequivalencia y+y (y), con el valor obtenido de , salvo que se compruebe posteriormenteque la solucion obtenida verifica la ecuacion diferencial (lo que es siempre una medida saludablecon cualquier metodo para evitar errores involuntarios).

Por otro lado, con el metodo de variacion de parametros se llega obviamente al mismo resultado,y casi en el mismo tiempo (y el metodo avisa si se cometen determinados errores); ademas, cadavez que se utiliza el metodo de variacion de parametros se refuerza el conocimiento de la estructurade la solucion que lleva implcito: la solucion de la EDO lineal completa se obtiene a partir de lasolucion de la EDO homogenea asociada. Al hecho de que no hay que recordar formula alguna, laobservacion siguiente justificara por s sola por que debera ser considerado el metodo de variacionde parametros, antes que memorizar la formula (4.2.16) del factor integrante.

Observacion Importante: Sistema lineal completo.

Aunque las integrales involucradas en los dos metodos empleados hasta ahora para resolver la EDOcompleta han resultado ser las mismas, la filosofa es distinta y solo en uno de los dos casos sepuede generalizar. En efecto, en el caso de un PVI matricial,

y = A(x) Y +B(x), con Y (x0) = Y0,

no funciona el truco del factor integrante, pero se puede emplear el metodo de variacion de parame-tros del mismo modo que en el caso unidimensional, partiendo de la matriz fundamental (4.2.9).De hecho, si se considera la matriz fundamental

F (x) = e xx0

A(s) ds, solucion de Y = A(x) Y, con Y (x0) = I,

donde Y (x0) = I es una abreviatura matricial de las n condiciones iniciales vectoriales que sededucen de la matriz identidad I (una con cada columna), entonces la solucion que se obtiene parael PVI que determina un sistema lineal completo, con la condicion Y (x0) = Y0, es la misma que lasolucion (4.2.14) obtenida con el metodo de variacion de parametros en el caso unidimensional:

(x) = F (x)(Y0 +

xx0

1F (t) b(t) dt),

donde ahora 1F (x) es la matriz inversa de la matriz fundamental F (x). Y por otro lado, si seconsidera un vector constante C = (C1, C2, . . . , Cn)T , la solucion general del sistema lineal, en unanalogo a la solucion (4.2.13) del caso unidimensional, es

(x,C) = F (x)( x

x0

1F (t) b(t) dt+ C). (4.2.18)

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Resumiendo, los resultados se podran expresar de forma general en el nuevo lenguaje:

En el caso n = 1, la funcion h(x) = e xx0

a(s) ds es una matriz fundamental para el sistemalineal homogeneo, que no es mas que la EDO lineal homogenea y + a(x) y = 0, y permite resolverla EDO lineal completa y + a(x) y = b(x).

Para n > 1, la matriz fundamental F (x) del sistema homogeneo y = A(x) Y permite resolver,en modo analogo al caso unidimensional, el sistema lineal completo y = A(x) Y +B(x).

Notese, si no se ha reparado ya en ello, el paralelismo existente entre la estructura de las solucionesdel sistema lineal de ecuaciones diferenciales y el de la estructura de las soluciones del sistema linealde ecuaciones algebraicas A x = b. Volveremos sobre esta cuestion en el captulo dedicado a lossistemas de ecuaciones diferenciales, donde sera analizado en profundidad el caso lineal.

Por supuesto, cuando se dispone de un ordenador, con un buen programa de calculo simbolico onumerico, las consideraciones anteriores no cuentan, ya que la solucion de una EDO lineal se obtienedirectamente; pero incluso entonces, aunque la solucion vaya a ser obtenida con una maquina,siempre sera preferible conservar, a modo de cultura general cientfica basica, un conocimientosobre la estructura de las soluciones de una EDO lineal que sobre la existencia de un truco quelas resuelve y que seguro ya se ha olvidado.

Metodos usuales para la EDO lineal de orden superior.

El metodo de variacion de parametros (o el factor integrante) es mas que suficiente para dar porresuelta completamente la EDO lineal de primer orden. No obstante, a veces, aunque no fueranecesario, la solucion podra ser obtenida o aproximada mas facilmente, con tecnicas que se usanhabitualmente con algunas ecuaciones lineales de orden superior. Por consiguiente, los dos metodosque se van a describir ahora para resolver una EDO lineal de primer orden solo tienen interes efectivoporque describen del modo mas simple posible la forma en que deben ser utilizados posteriormentecon ecuaciones lineales de orden superior.

En concreto, vamos a analizar como llegar a la solucion general de una EDO lineal completa,utilizando la descomposicion (4.2.11), cuando la EDO homogenea asociada tiene coeficientes cons-tantes y el termino independiente tiene una forma apropiada, que permitira determinar una solucionparticular analoga de la ecuacion diferencial. Y por otro lado, veremos como, si los coeficientes dela EDO lineal son funciones analticas, tambien son analticas las soluciones de la ecuacion y susdesarrollos de Taylor pueden ser aproximadas a partir de los desarrollos en serie de potencias delos coeficientes de la ecuacion diferencial.

Considerese la EDO lineal completa, ed : y + a(x) y = b(x). Si denotamos como siempre laEDO homogenea asociada por edH : y + a(x) y = 0, y su respectiva solucion por y = H(x,C),entonces la descomposicion, (x,C) = H(x,C) + yp(x), de la expresion (4.2.4) de la solucion dela EDO completa ed es valida tambien para las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior(y para el sistema lineal), como se vera en su momento. Vamos a destacar este hecho para la EDOde primer orden, resaltando su importancia.

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Proposicion 4.2.19 La solucion general (x,C) de una EDO lineal ed : y + a(x) y = b(x) esla suma de la solucion general de la ecuacion homogenea asociada, H(x,C), y de una solucionparticular de la ecuacion completa, que denotaremos por yp(x).

En efecto, poniendo la formula (4.2.4) de la solucion (x,C) de la EDO lineal ed en la forma

(x,C) = ea(x) dx C + e

a(x) dx

b(x) e

a(x) dx dx, (4.2.20)

los dos sumandos que aparecen en la descomposicion (4.2.20) resultan ser:

H(x,C) = C ea(x) dx,

que es la solucion de la EDO homogenea asociada edH : y + a(x) y = 0; y el otro,

yp(x) = ea(x) dx

b(x) e

a(x) dx dx,

que puede comprobarse directamente que verifica la ecuacion diferencial ed, sustituyendo lasexpresiones de y = yp(x) e y = yp(x) en la ecuacion. Por tanto, la proposicion queda probaday la solucion (x,C) de la EDO lineal de primer orden se puede expresar en la forma (4.2.11).

Observese que la constante de integracion C, que tiene que aparecer en la solucion general (x,C)de la EDO completa ed, se ha incluido en el sumando correspondiente a la solucion de la ecuacionhomogenea asociada, H(x,C), por lo que para determinar completamente la solucion general dela ecuacion diferencial ed se puede tomar como y = yp(x) cualquiera de sus soluciones particulares.Es decir, denotando por sol(eq) al conjunto de las soluciones de una ecuacion diferencial ed, elresultado de la Proposicion 4.2.19 se puede expresar esquematicamente:

(x,C) = H(x,C) + yp(x), con H(x,C) = sol(edH) e yp(x) sol(ed) Ojo!, X

En el caso matricial, si se admite la expresion (4.2.18) para la solucion del sistema lineal, sepuede comprobar la misma descomposicion que en la EDO de primer orden. Posteriormente severa tambien que una EDO lineal de orden superior (4.1.12) se puede transformar en un sistemalineal equivalente; por lo tanto, la descomposicion (x,C) = H(x,C) + yp(x) se vuelve todavamas general, al ser valida en las ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden.

As, si por algun procedimiento se conoce una solucion particular y = yp(x) de una ecuaciondiferencial lineal completa ed, de cualquier orden, entonces se tiene la solucion general, sol(ed),con solo resolver la ecuacion homogenea asociada, edH . De hecho, vamos a describir a continuacionun metodo muy practico para hallar una solucion particular de un tipo concreto de EDO lineal,que figura entre los pocos casos de ecuaciones resolubles. Incluso en el caso de la EDO lineal deprimer orden, el metodo facilita tanto la obtencion de la solucion que, cuando se puede aplicar, esel metodo que debera ser empleado.

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Metodo de los coeficientes indeterminados.

Aunque en las ecuaciones diferenciales de orden superior pueden aparecer algunas complicacionestecnicas (que seran consideradas en su momento), la descripcion del metodo de los coeficientesindeterminados y la forma de emplearlo es la misma que en la EDO lineal de primer orden. Porconsiguiente, vamos a presentarlo en la forma mas facil, para que luego, al aplicarlo en las ecuacionesde mayor orden, solo se reduzca todo a subrayar las pequenas diferencias.

Conviene enfatizar desde el principio en que tanto con una ecuacion diferencial lineal de primerorden como con una EDO lineal de orden superior ed, el metodo de los coeficientes indeterminadossolo se puede utilizar si la ecuacion homogenea asociada edH es de coeficientes constantes. Es decir,la EDO lineal de orden superior (4.1.12) puede adoptar la forma

ed : y(n) + a1 y(n1) + + an1 y + an y = b(x), con cada ai R .

Afortunadamente, el rango de ecuaciones diferenciales en los que se puede aplicar el metodo de loscoeficientes indeterminados es lo suficientemente amplio de cara a las aplicaciones como para quevalga la pena su descripcion.

El metodo funciona con algunas expresiones de b(x), independientemente del orden n de laecuacion diferencial lineal ed, y consiste en la elaboracion de un resumen estructurado de casos enlos que puede pronosticar facilmente una solucion particular yp del mismo tipo que el terminoindependiente b(x), pero dejando algunas constantes para determinar posteriormente, y de ah elnombre por el que se conoce el metodo.

Si el pronostico de la solucion y = yp(x) es el adecuado, las constantes indeterminadas se hallanal forzar la verificacion en la ecuacion ed de la solucion particular. De hecho, se obtiene un sistemade ecuaciones algebraicas, cuyas incognitas son precisamente las constantes indeterminadas en lasolucion yp, y tiene que resultar compatible determinado. Por otro lado, el metodo avisa si secomente un error en el pronostico (como en el de variacion de parametros) en el siguiente sentido:

(1) Si se ha pronosticado mal la solucion particular yp, el sistema algebraico resultante podra serindeterminado, lo que no sera muy grave ya que se tendran infinitas soluciones particularesde la ecuacion ed para escoger (aunque se habra complicado el trabajo en exceso).

(2) Peor aun es el pronostico erroneo en el que resulta un sistema algebraico incompatible, ya queentonces no obtendra ninguna solucion particular yp, y todo el trabajo realizado habra sidoOjo!, X

en vano, teniendo que pronosticar la solucion (mejor) otra vez. . .

Por supuesto, para resolver completamente la EDO lineal completa no basta con obtener la solucionparticular yp, ya que tambien es necesario conocer la solucion de la EDO lineal homogenea de coefi-cientes constantes. Este problema sera resuelto en el proximo tema para las ecuaciones diferencialeslineales homogeneas de coeficientes constantes de orden n 2.

Evidentemente, en el caso de la EDO de primer orden, ed : y+a y = b(x), la ecuacion homogeneaasociada es la EDO autonoma y+a y = 0, de solucion ya conocida, por lo que pode

Tema 4. Ecuaciones Diferenciales Ordinaria - Anonimo

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