Universidad de los AndesFacultada de ingeniería

Escuela Básica

Prof. Nayive Jaramillo

Tema 4:Equilibrio de Cuerpos Rígidos

Tema Contenido objetivos

IV Equilibrio de los cuerpos rígidos

Introduccion

Expresiones de equilibrio para cada sistemas de fuerzas

Vinculos. Vinculos de un cuerpo.

Ecuaciones de condicion

Estudio de estabilidad y determinacion de cuerpos rigidos

Tipos de cargas

Diagrama de cuerpo libre

Calculo de reacciones

Contenido:Equilibrio de Cuerpos Rígidos

ula.area.mecanica.racional@gmail.comCorreo para el desarrollo de actividades:

En capítulos anteriores se ha analizado como obtener elsistema resultante de cualquier sistema dado. En este seanalizara las condiciones que deben de satisfacer lasfuerzas de un sistema para que se encuentre en equilibrio,es decir un sistema equivalente nulo 푅=0 y 푇푝=푟̅x푅=0. Lasecuaciones o condiciones algebraicas se denominanecuaciones de estática o ecuaciones de equilibrio. Para queun sistema este en equilibrio lo han de estar cada uno delas partículas que lo conforman.

Introducción

Una partícula está en equilibrio cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre ellaforman un sistema equivalente a cero. Un cuerpo rígido estará en equilibrio cuando todassus partículas lo están.

Condiciones de Equilibrio

푅 = 푅 ;푅 ;푅 = 0; 0; 0

푅 = 퐹 = 0

푅 = 퐹 = 0

푅 = 퐹 = 0

푇 = 푇 ;푇 ;푇 = 0; 0; 0

푇 = 푀 = 0

푇 = 푀 = 0

푇 = 푀 = 0

Ecuaciones deEquilibrioEstático

Equilibrio de partículas

1.a._ Sistema general de fuerzas

Para que el sistema resultante esté en equilibrio deberán cumplirse:∑퐹푥 = 0 ∑퐹푦 = 0 ∑퐹푧 = 0∑푀푥 = 0 ∑푀푦 = 0 ∑푀푧 = 0

1._ Sistemas no coplanares

푅

푀표

퐹2

퐹1

퐹3

Y

Z

XX

Z

Y

1.b. Fuerzas concurrentes no coplanares

푅=[Fx;Fy;Fz] y Mo´=0

El momento con respecto a cualquier punto será cero (0) y las ecuaciones de momento resultaran triviales.

푀푥; 푀푦; 푀푧

De las 6, solo quedaran disponibles:∑퐹푥 = 0 ∑퐹푦 = 0 ∑퐹푧 = 0

퐹2

퐹1

퐹3

X

Y

Z

푅

Z

X

Y

o´o´

X

Y

Z

푅

Z

X

Y

1.c. Fuerzas paralelas no coplanares

No existen fuerzas en Z, ni en X, asi como no existe momento en Y. Por o tanto quedaran disponibles

퐹푦 = 0

푀푥 = 0

푀푧 = 0

퐹2퐹1

퐹3푀표

2.a. Sistema general de fuerzas (plano xy)

푅= [Fx;Fy] y Mo= Mz y cualquier punto A no perteneciente a la línea de acción de 푅 Producirá un Mz.Ecuaciones disponibles ∑푀푧 = 0 ∑퐹푥 = 0 ∑ 퐹푦 = 0∑푀퐴 = 0 ∑퐹푥 = 0 ∑퐹푦 = 0Resultan triviales:∑퐹푧 = 0 ∑푀푥 = 0 ∑푀푦 = 0

2._ Sistemas coplanares

푅

푀표

퐹2

퐹1

퐹3

Y

XX

Y

2.b. Sistema de fuerzas Concurrentes coplanares

Dado que Mo´=0 e igualmente lo será para cualquier punto disponible∑퐹푦 = 0 ∑퐹푥 = 0∑퐹푥 = 0 ∑푀퐴 = 0 Siendo A un punto que no pertenezca a la vertical pasando por o´ tal que la recta que determinan A y B no contenga a o´(punto de concurrencia)donde ∑푀퐴 = 0 y ∑푀퐵 = 0

퐹2 푅

퐹3X X

YY 퐹1

o´

2.c. paralelas coplanares

• Resultan triviales∑퐹푥 = 0 ∑퐹푧 = 0 ∑푀푥 = 0 ∑푀푦 = 0En general ∑푀퐴 = 0 ∑퐹푦 = 0

o´∑푀퐴 = 0 ∑푀퐵 = 0A cualquier punto del plano siempre que A y B no formen vertical

퐹2퐹1

퐹3

Y

X

푅

X

Y

o´

푀푧

푅

퐹⃑ 퐹⃑ 퐹⃑퐹 = 0 푀 = 0

퐹⃑

3.a.Sistema de Fuerzas Colineales

Donde el punto A no debe pertenecer a la recta de acción de las fuerzas

3.Casos especiales

3.b tres fuerzas en equilibrio

Y

퐹2

퐹1

퐹3

X

Condiciones de equilibrio para los distintos sistemas de fuerzas

Sistema general de fuerzas en el espacio

퐹 = 0 퐹 = 0 퐹 = 0

푀 = 0 푀 = 0 푀 = 0

y

x

z

퐹⃑

퐹⃑퐹⃑

En forma general

Vínculos que restringen una traslaciónEstos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Lasreacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita,que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir enuno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Rodillo o Apoyo Móvil: restringe la traslación perpendicular a su plano, generando unaincógnita o reacción.

푅 푅 푅

푅

Vínculos que restringen una traslación

Biela: restringe el movimiento en la dirección paralela a su eje, generando una incógnita oreacción.

Cable: restringe el movimiento en la dirección paralela al cable (siempre que trabaje atracción), generando una incógnita o reacción.

푅

푅

Superficie Lisa: restringe el movimiento en la dirección perpendicular a la superficie,generando una incógnita o reacción.

푅

Dos incógnitas. Una reacción perpendicular yotra paralela a la superficie de apoyo.

Vínculos que restringen dos traslaciones

Articulaciones Fijas o Apoyos Fijos: restringe dos traslaciones (vertical y horizontal),generando dos incógnitas o reacciones.

푅푅

푅푅

푅푅

푅

푅

Vínculos que restringen dos traslaciones

Superficie Rugosa: restringe el movimiento en la dirección perpendicular y paralela a lasuperficie, generando dos incógnitas o reacciones

푅푅∥

푅

푅∥

Tres incógnitas. Las reacciones son el momento deun par, una reacción perpendicular y otra paralelaa la superficie de empotramiento

Vínculos que restringen dos traslaciones y una rotación

Empotramiento: restringe la rotación, y la traslación horizontal y vertical, generando tresincógnitas o reacciones.

푅

푅

푅

푅

푅

푅

푀

푀 푀

Vínculos que restringen dos traslaciones y una rotación

• Si solo conectamos el cuerpo con una articulación el cuerpo podría rotar. Para evitarlo se puede colocar en B un rodillo cuyo plano de apoyo no sea paralelo a la línea de acción que une al perno con B, recordando que una articulación equivale a dos bielas y un rodillo a una de estas. Concluimos que un cuerpo esta comletamentevinculado mediante tres vielas cuyos ejes no se corten en un pnto en común, que sean paralelas.

Vinculación completa de un cuerpo en el plano

푅

B

A

Equivale a:

푅

B

A

Son las generadas por dispositivos o vínculos que conectan a dos o más cuerpos

Cuerpo 1

Cuerpo 3Cuerpo 2

퐸퐶 = 푁 − 1

N: Número de cuerpos que conecta la superficie lisa

Ejemplo:

퐸퐶 = 3 − 1 = 2

Ecuaciones de condición

Estudio de estabilidad e indeterminación• Si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones, se

dice que la estructura es estáticamente determinada.• Si el número de reacciones es mayor al número de ecuaciones, se

dice que la estructura es estáticamente indeterminada

• Si el número de reacciones es menor que el número de ecuaciones, se dice que la estructura es estáticamente indeterminada con restricción parcial

• Si las reacciones están ubicadas de manera concurrente o paralelas entre ellas mismas, se dice que la estructura es estrictamente indeterminada con restricción impropia.

G = 푅 − 퐸퐸 − 퐸퐶

R: Número de reacciones o incógnitasEE: Ecuaciones de equilibrioEC: Ecuaciones de condición

퐺 = 0 Estructura Isostática

퐺 > 0 Estructura Hiperestática

퐺 < 0 Estructura Inestable

Grado de indeterminación estática

Una estructura es isostática cuando el número de ecuaciones deequilibrio coincide con el número de incógnitas estáticas.

Isostáticas

R= 5EE= 3EC=3-1=2G=5-3-5=0

Se conoce como estructura hiperestática, a aquella estructura que enestática se encuentra en equilibrio, destacando que las ecuacionesque expone la estática no son suficientes para saber las fuerzasexternas y reacciones que posee.

Hiperestáticas

R= 4EE= 3G=4-3=1

En este caso el número de ecuaciones de equilibrio es excesivo yaque supera el número de incógnitas estáticas. Se trata de unmecanismo, es decir, una estructura inestable que no puedeequilibrarse.

Estructura inestable

R= 3EE= 3EC=4G=3-3-4=-4

Inestabilidad Estática

Sucede cuando no se le suministran suficientes vínculos externos a la estructura

Inestabilidad GeométricaSucede cuando si le suministran suficientes vínculos externos a la estructura pero dispuestos de tal forma que no producen estabilidad

NOTA:1. Siempre que la línea de acción de las reacciones sean paralelas, existirá inestabilidad

geométrica.2. Siempre que la línea de acción de todas las reacciones sean concurrentes en un

punto, existirá inestabilidad geométrica.

Tipos de inestabilidad

Ejemplo de Inestabilidad Estática

푉퐻

G = 푅 − 퐸퐸 − 퐸퐶 = 2 − 3 − 0 = −1 < 0A B

Ejemplo de Inestabilidad Geométrica

G = 푅 − 퐸퐸 − 퐸퐶 = 3 − 3 − 0 = 0

푉

A B

푉 푉

C Isostática Inestable

푅

G = 푅 − 퐸퐸 − 퐸퐶 = 3 − 3 − 0 = 0

A

B

푉

푅

CIsostática Inestable

D

E

Estudio de estabilidad e indeterminación• Ejemplos:

C

Inestabilidad estáticaD R= 3

EE= 3EC=1

푉

A B

푉

C

푉A

B 푉 Hiperestática de 1er grado

R= 4EE= 3

D R= 6EE= 3EC=1

푉A

B

Ve

C

퐻푀푎

E

Estructura estableHiperestática e 2do grado

퐻퐻

퐻

Estudio de estabilidad e indeterminación

• Ejemplos:

R= 5EE= 3EC=1

퐻 AB

푉

C

푉

A

푀푎

퐻

Estructura estableHiperestática de 1er grado

R= 3EE= 3푉

A B푉

Isostáticamente determinadaInestable Geométricamente

DR= 5EE= 3EC=1

푉

A B

푉

CEstructura estableHiperestática de 1er grado

퐻퐻 퐻

푉

퐻

Tipos de Cargas

Cargas

Distribuidas

Uniformemente distribuidas

Linealmente distribuidas

Puntuales

Puntual

Distribuidas

Ing. José Gregorio Gutiérrez

Tipos de Carga

1. Concentradas 1.1 Carga Concentrada

1.2 Momento Concentrado

i

P

(Kgf, tn)

i

M

2.1 Intensidad Uniforme

2.2 Intensidad Variable

2. Distribuidasi j

w (Kgf/m, tn/m)

푤. 퐿

L

i j

w

푤. 퐿/2

L

L/2 L/2

2L/3 L/3

Concentración de cargas

Diagrama de Cuerpo Libre

Para construir un diagrama de cuerpo libre considerado como un solo sistema, deben efectuarse los siguientes pasos:

• Imaginar el cuerpo como aislado, libre de sus restricciones y conexiones, y bosquejar la forma de su contorno

• Identificar todas las fuerzas externas y momentos de pares que actúen sobre el cuerpo, las que se encuentran por lo general se deben a: cargas aplicadas, reacciones que se dan en los vínculos y el peso del cuerpo, ya que representa la fuerza ejercida por la Tierra

• Las magnitudes y las direcciones de las fuerzas externas que son conocidas deben señalarse con claridad en el diagrama. Cuando se indiquen las direcciones de dichas fuerzas

• Las fuerzas externas desconocidas consisten en las reacciones a través las cuales el suelo y otros cuerpos se oponen a un posible movimiento del cuerpo libre. Las reacciones lo obligan a permanecer en la misma posición y, por esta razón, algunas veces reciben el nombre de fuerzas de restricción. Las restricciones se ejercen donde el cuerpo libre está apoyado o conectado a los otros cuerpos y deben indicarse con claridad.

• Debe incluir las dimensiones, ya que serán necesarias para el cálculo de momentos de fuerza.

Diagrama de Cuerpo Libre

Se convierte en: