Adaptación e invarianza métrica de una escala para medir ...
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Sistemas y Circuitos 1© Francisco J. González, UC3M 2009
Tema 4. Filtros Analógicos
Caracterización Temporal
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Sistemas y Circuitos 2© Francisco J. González, UC3M 2009
4.1 Definición
Filtro analógico: Sistema en Tiempo Continuo que obedece a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:
Filtro digital: Sistema en Tiempo Discreto que obedece a una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes:
• N, M = órdenes del filtro− Orden del filtro = max(N, M)
Si N=0 →Filtro MA →respuesta impulsional finita (FIR)Si M=0 →Filtro AR→respuesta impulsional infinita (IIR)
0 0
( ) ( )k lN M
k lk lk l
d y t d x ta bdt dt= =
=∑ ∑
[ ] [ ]0 0
N M
k lk l
a y n k b x n l= =
− = −∑ ∑
Filtro
,k ka b{ })()( txTty =)(tx
[ ]x n { }[ ] [ ]y n T x n=
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Sistemas y Circuitos 3© Francisco J. González, UC3M 2009
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Relaciones tensión-corriente en
− Condensadores
Ejemplo
( )( ) dv ti t Cdt
=+
−
( )v t( )i t 0
01( ) ( ) ( )
t
tv t i d v t
Cτ τ= +∫
La corriente adelanta a la tensión
C
( )tVtv I ωsin)( =
( )tCVdt
tdvCti I ωω cos)()( ==
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Sistemas y Circuitos 4© Francisco J. González, UC3M 2009
4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Condensadores
− Energía [Julios]
+
−
( )v t( )i t
[ ]2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2
dv t dE tp t v t i t Cv tdt dt
dE t Cv t dv t
E t Cv t
= = =
=
=
( )( ) dv ti t Cdt
=
C
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Sistemas y Circuitos 5© Francisco J. González, UC3M 2009
Ejemplo: L=100 mH
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
p (W
)
seg
4.2 Filtros: el caso eléctricoElementos circuitales pasivos• Bobinas
− Energía [Julios]
[ ]2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1( ) ( ) Julios2
di t dE tp t v t i t Li tdt dt
dE t Li t di t
E t Li t
= = =
=
=
+
−
( )v t( )i t ( )( ) di tv t L
dt=
L
510 A 0( )
0 A 0
tte ti t
t
−⎧ ≥= ⎨
<⎩
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
seg
i (A
)
5 (1-5 ) V 0( )
0 V 0
te t tv t
t
−⎧ ≥= ⎨
<⎩
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
seg
v (V
)
( )p t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
seg
E (J
)
( )E t
( )v t
( )i t
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con tensiones constantes
− Condensadores
− Un condensador NO admite cambios instantáneos en el voltaje → i=∞− El voltaje en un condensador es continuo
( )( ) dv ti t Cdt
=
( )Si ( ) . 0 ( ) 0 condensador circuito abiertodv tv t cte i tdt
= ⇒ = → = ⇒ ⇔
+
−
( )v t( )i t
)()( 00+− = tvtv
C
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Sistemas y Circuitos 7© Francisco J. González, UC3M 2009
4.2 Filtros: el caso eléctrico
Elementos circuitales pasivos• Comportamiento con corrientes constantes
− Bobinas
− Una bobina NO admite cambios instantáneos en la corriente → v=∞− La corriente en una bobina es continua:
( )( ) di tv t Ldt
=
+
−
( )v t( )i t
L
( )Si ( ) . 0 ( ) 0 bobina cortocircuitodi ti t cte v tdt
= ⇒ = → = ⇒ ⇔
)()( 00+− = titi
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Sistemas y Circuitos 8© Francisco J. González, UC3M 2009
Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C
Primer orden: circuitos RL y RC
4.2 Filtros: el caso eléctrico
( ) ( ) ( )( ) 1 1( ) ( )( )( )
O IO
O IO
R i t v t v tdv t v t v tdv t dt RC RCi t C
dt
+ = ⎫⎪ → + =⎬
= ⎪⎭
Filtro
,k ka b
{ })()( txTty =)(tx
Para obtener la respuesta necesito conocer la tensión inicial en el condensador: v0(t0)
0 0
( ) ( )k lN M
k lk lk l
d y t d x ta bdt dt= =
=∑ ∑
+
−
)(tvO
C
R
+
)(tvI−
)(ti
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4.3 Filtros analógicos: respuesta general
Respuesta general de un filtro analógico de primer orden.
• Condición auxiliar
• Tipos de señales de entrada
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
( )y t
Modelo
τ
0(0)y Y=
)(tx)()(1)( txty
dttdy
=+τ
t
0(0)y Y=
( )y t
( )x t
tK
0)( ≡tx
( )x t
tK
0
0
)()(1)( txtydt
tdy=+
τ( )x t
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
Respuesta natural de un filtro analógico de primer orden.
• 4º) Aplicar la condición auxiliar para despejar A− Como y(0)=Y0
• 5º) Obtener la respuesta
( ) ( )1 0dy t
y tdt τ
+ =
( ) 000
t
tt
y t Ae Yτ−
==
= = 0Y
t0
y(t)
0τ >
( ) 0
t
y t Y e τ−
=
0(0)y Y=
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
Ejemplo: Respuesta natural de un circuito RL paralelo.
• Por la bobina circula una corriente inicial de I0 amperios
• Para calcular la corriente se necesita su valor inicial en la bobina.
( ) ( )Kirchhoff: Voltajes 0di t
L Ri tdt
→ + =
( ) ( ) ( ) ( )10 0di t dy tR i t y t
dt L dt τ+ = → + = L
Rτ =
( ) ( )t R t
Lo oy t Y e i t I eτ
− −= → =
( ) ( )i t y t≡
+
-
( )0 ( ) ( )
R tL
o
di tv t L i t R I Re
dt−
= = − = −
t0
i(t)0I
tLR
eI−
0
0=t
LR
0I )(ti
0=t
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Respuesta natural de un circuito RC paralelo.
• El condensador tiene un voltaje inicial de V0 voltios
• Para calcular el voltaje se necesita su valor inicial en el condensador.
• La corriente es
( ) ( ) 0=+Rtv
dttdvC
4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
( ) ( ) ( ) ( )1 10 0dv t dy t
v t y tdt RC dt τ
+ = → + =
RCτ =
( ) ( )1t t
RCo oy t Y e v t V eτ
− −= → =
( ) ( )v t y t≡
( )1
( ) ( )t
RCoV edv t v ti t C
dt R R
−
= = − = −t0
v(t)0V
tRCeV1
0
−
+
−C
R
+0V
−
)(ti
R
0=tRS
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
• 1º) Polinomio característico
• 2º) Solución general (para t≥0)
− donde YF y A son dos constantes que hay que determinar− Comprobar que se cumple la ecuación diferencial
Por tanto
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
( ) ( )x t Ku t= ( )y t
Modelo
τ
1 1( ) raiz rP s s sτ τ
= + → = −
( ) , 0t
Fy t Y Ae tτ−
= + ≥
( ) ( )1 1 1t tF
F
dy t Yy t A e Y Ae Kdt
τ τ
τ τ τ τ− −⎛ ⎞⎛ ⎞+ = − + + = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠FY Kτ=
0(0)y Y=
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Sistemas y Circuitos 14© Francisco J. González, UC3M 2009
Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
• 3º) Para despejar la constante A hay que aplicar la condición auxiliar
− Si
− Cuando t→∞,
4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
( )0 0 0(0)y Y K A Y A Y Kτ τ= → + = → = −
( ) 01 , 0t t
y t K e Y e tτ ττ− −⎛ ⎞
= − + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) Fy K Yτ∞ = =
( )y tFY
t0Y
( ) , 0t
y t K Ae tττ−
= + ≥
0(0)y Y=
( ) ( )0 , 0t
F Fy t Y Y Y e tτ−
= + − ≥
( )x t
tK
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥
0(0)y Y=
( )y t
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Sistemas y Circuitos 15© Francisco J. González, UC3M 2009
4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta al escalón desplazado.
• Solución general (para t≥t0)
− Si
− Como, cuando t→∞,
( ) ( ) 01 ,
dy ty t K t t
dt τ+ = ≥
( )0 0 00( ) t t ty t Y A K Y A Y Kτ τ= → + = → = −
( )dy tdt( )dy t
dt− 1−
0( ) ( )x t Ku t t= − ( )y t
Modelo
τ
( )( )0
0, t t
y t K Ae t tττ−
−= + ≥
( ) ( )0
0
( )
0, t t
F t Fy t Y Y Y e t tτ−
−= + − ≥
( ) Fy K Yτ∞ = =
( )y tFY
t0t
Y
0t
00( ) ty t Y=
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
Respuesta de un circuito RC paralelo a un escalón.( ) ( ) , 0S
dv t v tC I t
dt R+ = ≥Ecuación:
Solución de la expresión genérica:
Circuito RC:
( ) ( )1 , 0dy t
y t K tdt τ
+ = ≥ RCτ =( ) ( )v t y t≡ SIKC
=
Expresión genérica:
Condición inicial: ( ) 00v V=
Valor final: ( ) Sv I R∞ =
( ) ( )0 , 0t
F Fy t Y Y Y e tτ−
= + − ≥
( ) ( )0 , 0t
RCS Sv t I R V I R e t
−= + − ≥
( )v tSI R
t0V
0
( )v t+
-
0V+
-C
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Ejercicios
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Ejercicios
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Ejercicios
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Ejercicios
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4.7 Propiedades de los filtros
Linealidad (entrada idénticamente nula, salida ident. nula)• Un filtro es lineal si la respuesta libre es nula hay linealidad
si las condiciones auxiliares son cero.Invarianza temporal• La invarianza exige que las condiciones auxiliares se desplacen el
mismo valor que la entrada condiciones auxiliares son iniciales.
Causalidad• Un filtro es causal si está en reposo inicial.
Reposo inicial1) las condiciones auxiliares son condiciones iniciales.2) las condiciones iniciales son nulas.
LINEALIDAD
REPOSO INICIAL INVARIANZA
CAUSALIDAD
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4.8 Filtros: respuesta al impulso
Si conocemos la respuesta al escalón de un filtro, y éste está en reposo inicial (→ Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo), entonces la respuesta al impulso es...• Para filtros analógicos
− Ejemplo
Por tanto
( ) ( )1 ( )dy t
y t u tdt τ
+ = (0) 0y =
( ) ( ) 1 ( )t
y t s t e u tττ−⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )tds th t e u t
dtτ
−= =
1
t0
h(t)
0τ >
( )( ) ds th tdt
=