Tema 4: Inferencia Estadística - ugr.esmvargas/Tema4.pdf · •Si el tamaño de muestra es...

1

Tema 4: Inferencia Estadística•El objetivo es efectuar una generalización de los resultados de la muestraa la población. Inferir o adivinar el comportamiento de la población a partirdel conocimiento de una muestra.

•Para ello es necesario conocer las distribuciones de probabilidad de ciertasfunciones de las muestras que constituyen variables aleatorias asociadasal experimento aleatorio: selección de una muestra al azar de una población.

•Estas variables aleatorias denominadas estadísticos muestrales , porque se basan en el comportamiento de las muestras, asignan a cada muestra del espacio muestral, constituido por todas la muestras posibles, un número realque es un resumen estadístico de la muestra . Por ejemplo, media de la muestra.

•El esquema siguiente resume visualmente la situación: Dada una población formada por un número N grande de elementos, donde se observa la variableX, se extrae al azar una muestra de tamaño n (n<N).

•Tanto en la población como en la muestra podemos resumir los valores de la variable X observada. Los valores resumen se denominan parámetros en la población y estadísticos en las muestras. Notaremos con U a un estadísticoo resumen muestral determinado.

2

Distribuciones Muestrales

Población X variable aleatoria

x4

x2 x20

x1

x15x8

x7

x6

x3x2

x5

xi

xj

…

Muestra

x1,x2,x3,…,xn

Resumen de X en la muestra:Estadísticos: media, varianza, …

Resumen de X en la Población:Parámetros: media, varianza, …

Población formada por todas lasmuestras posibles de tamaño nU variable aleatoria muestral(Estadísticos de las muestras: resúmenes de los valores de X en las muestras.)

x4

x2

x20

x1

x15

x8

x6

x3x2

x5

xi

xj…

Resumen de los estadísticos muestrales:media, varianza, …

x2

x4x2

xh

x2x2

x2

….

…

U1 U2

UiUj

U5

3

Ejemplo : Distribución muestral de la media

Población X variable aleatoria

x4

x2 x20

x1

x15x8

x7

xj

x3x2

x5

xi

xj

…

Muestra

x1,x2,x3,…,xn

Distribución de X en la muestra:

Distribución de X en la Población

Población formada por todas lasmuestras posibles de tamaño nU variable aleatoria media muestral(valores de los estadísticos: medias de las muestras)

x4

Distribución muestral de U (medias)

….

X

X

XXhXmXlxi

x1

xt

x1,x2,x3,…,xn

Xm

X2

X1 Xh

Xl

Naturalmente, las medias diferirán, en general, de una muestra a otra.

La variabilidad de las medias viene reflejada en su

distribución de probabilidad

4

Distribuciones Muestrales•Resumiendo: •Dada una población y el experimento aleatorio consistente en seleccionar unamuestra de dicha población, se define la variable aleatoria U (estadístico muestral)como una aplicación que asigna a cada muestra, m, un resumen estadístico determinado,U(m). Esta nueva variable aleatoria U tiene una distribución de probabilidad denominada distribución muestral de U .

U : E R

m=(x1, x2, …,xn) U(m)=estadístico muestral

•Su comportamiento dependerá del que tenga X en la población y del tamañode las muestras.

•Utilidad:Estaremos interesados en conocer su comportamiento probabilístico, porque estonos permitirá hacer inferencias acerca del comportamiento de la población.

•A veces nos resultará útil conocer su esperanza matemática y/o su varianza.

5

Distribuciones Muestrales•Casos particulares de distribuciones muestrales:

U=total muestral=t : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Se verifica que el estadístico muestral t es también normal con las siguientes mediay desviación típica:

Además, si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (n>30), t se distribuye normalmente, aunque X en la población no sea normal.

Total muestral

∑=

==n

i

XitmU1

)(

Sea una población P y X la variable aleatoria observada, cuya distribución esNormal

),( σµNX →

),( 2

1

σµ nnNXitn

i

→=∑=

6


U=media muestral : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Se verifica que el estadístico muestral media es también normal con las siguientes media y desviación típica:

Además, si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (n>30), se distribuye normalmente, aunque X en la población no sea normal.

Media muestral

n

XiXmU

n

i∑

=== 1)(


),( σµNX →

),(1

nN

n

XiX

n

i σµ→=∑

=

7


U=S2 : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Se verifica que el estadístico muestral Uchi sigue un modelo Chi-cuadrado conn-1 grados de libertad

Estadístico cuasivarianza muestral

1

)(1

2

2

−

−=∑

=

n

XXS

n

ii


),( σµNX →

212

2)1(−→−= nchi

SnU χ

σ

Uchi : E R

m=(x1, x2, …,xn)

Estadístico Uchi muestral

2

2)1()(

σSn

mUchi−=

Observa que esta nueva variable se ha obtenido a partir

de la anterior (S2) multiplicando por la constante

(n-1)/ Esta transformación permite conocer su comportamiento

probabilístico

2σ

8


Ut,v : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Se verifica que el estadístico muestral Ut,v sigue un modelo t de Student conn-1 grados de libertad

Estadístico Ut,v (función de los estadísticos media y cuasivarianza)

n

SX

U t

µυ

−=,


),( σµNX →

1,

)(−→−= nt t

n

SX

Uµ

υ

Observa que esta nueva variable se ha obtenido a partir

de los estadísticos media y cuasidesviación típica (S)

Esta transformación permite conocer su comportamiento

probabilístico

9


Ut : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Se verifica que el estadístico muestral Ut sigue un modelo Binomial

∑=

==n

i

XitUt1

Sea una población P y X la variable aleatoria observada, cuya distribución esuna Bernoulli: X=0 con probabilidad q=P(fracaso) y X=1 con probabilidad p=P(éxito)Se sabe que E(X)=p y V(X)=pq

),( pnBUt →

Observa que esta variable refleja el total de éxitos (1’s)

en la muestra entre el total de selecciones n. Es un caso

particular de total muestral t, ya visto. Observa que es

también la variable binomial

Estadístico Ut=t=total de éxitos en la muestra

E(Ut)=npV(Ut)=npq

•Para tamaños de muestra suficientemente grandes se aproxima a una normal

10


Up : E R

m=(x1, x2, …,xn)

•Si el tamaño de muestra es suficientemente grande (n>30)se verifica que el estadístico muestral Up sigue un modelo normal

éxitosdeproporciónn

Xi

n

UtUp

n

i ===∑

=1

Sea una población P y X la variable aleatoria observada, cuya distribución esuna Bernoulli: X=0 con probabilidad q=P(fracaso) y X=1 con probabilidad p=P(éxito)Se sabe que E(X)=p y V(X)=pq

),(n

pqpNUp →

Observa que esta variable refleja la proporción de éxitos

(1’s) en la muestra entre el total de selecciones n. Es un

caso particular de media muestral , ya visto.

Estadístico Up=proporción de éxitos en la muestra

11

• Supondremos una población formada por solo N=3 elementos. Por ejemplo 3 niños. Se observa la variable X=edad. Consideremos la selección con reemplazamiento de todas las muestras posibles de tamaño n=2.

• Población niños: {A, B, C} Edad: 2, 3 y 4 años respectivamente.

• El espacio muestral formado por todas las muestras posibles

• E={AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC}

• Estadístico muestral U=media muestral

Ejemplo simple de simulación del proceso de generac ión de una Distribución Muestralde la Media


m=(x1, x2, …,xn)n

XiXmU

n

i∑

=== 1)(

12

Ejemplo simple de simulación del proceso de generac ión de una Distribución Muestralde la Media (continuación)


(AA) 22

22 =+=X

(AB) 5,22

32 =+=X

(BA)

32

42 =+=X(AC)

(BB)

(CA)

(BC) 5,32

43 =+=X

(CB)

32

33 =+=X

(CC) 42

44 =+=X

5,22

32 =+=X

32

42 =+=X

5,32

43 =+=X

13

Ejemplo simple de simulación del proceso de generac ión de una Distribución Muestralde la Media (continuación)

Distribución muestral de la media

U=media P(U)

2 1/9

2,5 2/9

3 3/9

3,5 2/9

4 1/9

X=Edad P(X)

2 1/3

3 1/3

4 1/3

Distribución de X=Edad en la población

Comprueba que la esperanza de X en la población coincide con la esperanza de la variable media muestral, U, y que la varianza de U es igual al cociente entre la Varianza de X y el tamaño de la muestra (2).

E(X)=3Varianza(X)=2/3

14

Ejemplo: Distribución Muestral de la Media

Observa que en la práctica se selecciona una muestra de la población y se efectúa un resumen de dicha muestra mediante el cálculo de un estadístico muestral que nos interese. Por ejemplo media de la muestra, desviación típica, mediana, etc.

Si conociéramos el comportamiento que tienen todos los posibles valores del esta-dístico muestral que nos interesa (su modelo de probabilidad), podríamos saberqué probabilidad hay de que el valor de nuestra muestra esté comprendida en undeterminado intervalo.

Ejemplo:

Se ha seleccionado una muestra al azar de 50 mujeres de una población de mayoresde 18 años. Se desconoce la talla media de la población, pero en la muestra se ha observado que la media de las 50 tallas es 1,60 m. Si se sabe por otros estudios que

la desviación típica en la población es de 3 ,3 cm, determina la probabilidad de que lamedia de la población no difiere en más de 1 cm de la de la muestra.

15


Ejemplo (continuación):

),(1

nN

n

XiX

n

i σµ→=∑

=

Se sabe que para tamaños de muestra grandes la media muestral se distribuyesegún un modelo normal.

)4667,0,()50

3,3,( µµ NNX ≡→Sustituyendo

µ X

1 cm

)14,214,2()4667,0

1

4667,0

1(

)11()1|)(|

≤≤−=≤≤−=

+≤≤−=<−

ZPZP

XPXP µµµ

16


Ejemplo 2

)10,500( ==→ σµNX

Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto artículo en una cadena deproducción se distribuyen normalmente con media 500 gr y desviación típica 10 gr

Se selecciona una muestra de 100 paquetes de la producción y se observa que la media de éstos es de 530 gr ¿es coherente este resultado con la hipótesis de que

se distribuyen normalmente con media y desviación típica 500 y 10, respectivamente.

)1,500()100

10,500( NNX ≡→

Si la hipótesis es cierta, entonces habrá que admitir

500=µ )530( ≥X

0)30()1

500530()530( =≥=−≥=≥ ZPZPXP

La probabilidad de observar un suceso tan extremoo más (530 gr) es igual a

530

17


Ejemplo 3

)10,500( ==→ σµNX

Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto artículo en una cadena deproducción se distribuyen normalmente con media 500 gr y desviación típica 10 gr

Se seleccionan muestras de 10, 50 y 100 paquetes de la producción.Determina la desviación típica de la media muestral para cada uno de estos 3 casos.

)16,3,500()10

10,500( NNX ≡→

500=µ X

Caso n=10

)41,1,500()50

10,500( NNX ≡→

Caso n=50

)1,500()100

10,500( NNX ≡→

Caso n=100

Observa que la variabilidad de la

distribución muestral se

reduce cuando aumenta n

Caso n=10

Caso n=50

Caso n=100

18

Ejemplo: Distribución Muestral de la proporción

Ejemplo 4

)5,0,1( =→ pBX

En unas elecciones un determinado candidato asegura que tiene ganadosal menos el 50% de los votos. En un sondeo previo a las elecciones se obtuvo una muestra de 500 votantes y 160 se mostraron favorables al candidato ¿es coherente con la hipótesis del candidato el resultado obtenido en la muestra?

Si la hipótesis fuese cierta, entonces habría que admitir que la proporción muestral se distribuye según

5,0=p

0)04,8()0224,0

5,032,0()32,0( =−≤=−≤=≤ ZPZPUP p

La probabilidad de observar un suceso tan extremo o más al obtenido Up=160/500=0,32 es

Up

)0224,0,5,0()500

5,05,0,5,0(),( NN

n

pqpNUp ≡⋅≡→

32,0)32,0( ≤Up

19

Estimacion puntual y por Intervalo

•El objetivo es efectuar una generalización de los resultados de la muestraa la población. Inferir o adivinar el comportamiento de la población a partirdel conocimiento de una muestra. En general nos interesará conocer algún parámetro determinado de la población (media, varianza, proporción, etc.)

•Para ello es necesario conocer las distribuciones de probabilidad de ciertasfunciones de las muestras que constituyen variables aleatorias asociadasal experimento aleatorio, selección de una muestra al azar de una población.

•Esta variable aleatoria es un estadístico muestral , y su distribuciónes la distribución muestral

•Podemos distinguir entre estimación puntual y por intervalo•Estimación puntual : se proporciona un solo valor numérico del parámetrodesconocido.Estimación por intervalo : se proporciona un intervalo dentro del cual se afirmaque se encuentra el parámetro desconocido con una confianza dada. El nivelde confianza expresa en términos de probabilidad el grado de seguridad que tenemos al afirmar que el intervalo incluirá al parámetro.

20


Definición de estimador

Dado un parámetro un estimador del parámetro, que notaremos con , es un estadístico muestral que se emplea para conocer el parámetro

θ θ̂

El valor concreto que tome para la muestra seleccionada se denominaestimación puntual de θ

Es deseable que los estimadores presenten ciertas propiedades tales como insesgadez (la esperanza o media del estimador coincide con el parámetro estimado); eficiencia (dados dos estimadores insesgados es más eficiente elde menor varianza), entre otras.

La elección del estimador adecuado dependerá de estas propiedades

A veces se usa como estimador el mismo resumen estadístico que define el parámetro. Por ejemplo, como estimador de la media de la población se usa la media de la muestra; de la proporción en la población, la de la muestra; de la varianza en la población, la de la muestra. Pero no siempre es esta la mejor elección. Por ejemplo, la cuasivarianza muestral es mejor estimador de la varianza de la población desde el punto de vista de la insesgadez.

21

Ejemplo: Estimador de la media de una población

Población: X variable aleatoria

Muestra seleccionada

x1,x2,x3,…,xn

Distribución de X en la Población

Distribución muestral de medias

X

XXmuestra

Estimador:Estadístico muestral media muestral

Estimación:Media de la muestra Xmuestra

Valor de la variable

Inferencia

µ

22


Intervalo de confianza para la media con conocidaµ σ

)1( α−Dado un nivel de confianza podemos encontrar en la distribución los valores que encierran en el centro de la distribución un área (probabilidad) igual

Sea una población sobre la que se observa una variable aleatoria X con distribución ),( σµNX →

Usaremos como estimador de la media poblacional la media muestral. Sabemos que

),(n

NXσµ→

Por tanto, la variable estandarizada sigue un modelo N(0,1):

)1,0(N

n

XZ →−= σ

µ

)1( α−

)1( α−

2/αz− 2/αz

2/α2/α

=≤−≤−=≤≤−=− )()(1 2/2/2/2/ αααα σµα z

n

XzPzZzP

Z

23


Intervalo de confianza para la media con conocida (continúa)µ σ

)1( α−

2/αz− 2/αz

2/α2/α

=≤−≤−=≤≤−=− )()(1 2/2/2/2/ αααα σµα z

n

XzPzZzP

Z

=+−≤−≤−−=≤−≤−= )()( 2/2/2/2/n

zXn

zXPn

zXn

zPσµσσµσ

αααα

)( 2/2/n

zXn

zXPσµσ

αα +≤≤−=

El intervalo de confianza para la media al nivel )1( α−

+−n

zXn

zXσσ

αα 2/2/ ,

24


Ejemplo: Intervalo de confianza para la media con conocidaµ σ


+−n

zXn

zXσσ

αα 2/2/ ,

Se ha seleccionado una muestra de 25 viviendas de un barrio. Se sabe que la superficie de éstas se distribuye normalmente con media desconocida y varianza 49. Estime el valor medio de la superficie por vivienda en dicho barrio a un nivel de confianza del 95%, sabiendo que la media observada en las 25 viviendas de la muestra fue de 102,5m2.

+−25

796,15,102,

25

796,15,102

25


Intervalo de confianza para la media con desconocidaµ σ



Usaremos como estimador de la media poblacional la media muestral. Sabemos que

)1( α−

)1( α−

2/αt− 2/αt

2/α2/α

=≤−≤−=≤≤−=− − )()(1 2/2/2/12/ ααααµα t

n

sX

tPtttP n

t de Studen con n-1 g.l

el estadístico muestral Ut,v sigue un modelo t de Student con n-1 grados de libertad

1,

)(−→−= nt t

n

SX

Uµ

υ

26


Intervalo de confianza para la media con desconocida (continúa)µ σ

=≤−≤−=≤≤−=− − )()(1 2/2/2/12/ ααααµα t

n

sX

tPtttP n

=+−≤−≤−−=≤−≤−= )()( 2/2/2/2/n

stX

n

stXP

n

stX

n

stP αααα µµ

)( 2/2/n

stX

n

stXP αα µ +≤≤−=


+−n

stX

n

stX 2/2/ , αα

)1( α−

2/αt− 2/αt

2/α2/α

t de Studen con n-1 g.l

Donde s es la cuasivarianza muestral1

)(1

2

−

−=∑

=

n

Xxs

n

ii

Nota: cuando el tamaño muestral es grande la t de Student se aproxima a una normal

27


Ejemplo: Intervalo de confianza para la media con desconocidaµ σ


Se ha seleccionado una muestra de 25 viviendas de un barrio. Se sabe que la superficie de éstas se distribuye normalmente con media y varianza desconocidas. Estime el valor medio de la superficie por vivienda en dicho barrio a un nivel de confianza del 95%, sabiendo que la media y la varianza observadas en la muestra fueron de 102,5 y 64, respectivamente.

+−n

stX

n

stX 2/2/ , αα

667,666424

25)(

12 ==

−= muestraVar

n

nS

165,8667,666424

25 ===S

+−25

165,8064,25,102,

25

165,8064,25,102

28


Intervalo de confianza para la proporción p


Sea una población sobre la que se observa una variable aleatoria X con distribución ),1( pBX →

Usaremos como estimador de la proporción poblacional la proporción muestral. Sabemos que

)1( α−

el estadístico muestral Up sigue un modelo normal para muestras suficientemente grandes

),(n

pqpNUp →

)1,0(N

n

pq

pUZ p →

−=

De modo equivalente

)1( α−

2/αz− 2/αz

2/α2/α

=≤−

≤−=≤≤−=− )()(1 2/2/2/2/ ααααα z

n

pq

pUzPzZzP p

Z

29


Intervalo de confianza para la proporción

)1( α−

2/αz− 2/αz

2/α2/α

Z

=+−≤−≤−−=≤−≤−= )()( 2/2/2/2/ n

pqzUp

n

pqzUP

n

pqzpU

n

pqzP ppp αααα

)( 2/2/ n

pqzUp

n

pqzUP pp αα +≤≤−=

El intervalo de confianza para p al nivel )1( α−

−+

−−

n

UUzU

n

UUzU pp

ppp

p

)1(,

)1(2/2/ αα

=≤−

≤−=≤≤−=− )()(1 2/2/2/2/ ααααα z

n

pq

pUzPzZzP p

Observa que se ha sustituido p por su estimador, dado que este es

desconocido

30


Ejemplo: Intervalo de confianza para la proporción

El intervalo de confianza para p al nivel )1( α−

−+

−−

n

UUzU

n

UUzU pp

ppp

p

)1(,

)1(2/2/ αα

En un centro escolar se ha seleccionado una muestra al azar de 120 padres de alumnos para estimar la proporción de éstos que ayudan en las tareas escolares a sus hijos. De entre los 120 seleccionados 97 respondieron afirmativamente. Obtenga un intervalo de confianza del 80% para estimar la proporción de padres del centro que ayudan a sus hijos.

197,01

803,0120

97

=−

==

p

p

u

u

−+−−120

)803,01(803,028,1803,0,

120

)803,01(803,028,1803,0

[ ] )849,0,757,0(046,0803,0,046,0803,0 =+−

31


Intervalo de confianza para la varianza de una población



Usaremos como estimador de la varianza poblacional la cuasivarianza muestral. Sabemos que

)1( α−

)1( α−

22/1 αχ −

2/α2/α

=≤−≤=≤≤=− −− ))1(

()(1 22/2

22

2/12

2/2

2/1 αααα χσ

χχχα SnPUP chi

Chi-cuadrado con n-1 g.l

el estadístico muestral Uchi sigue un modelo Chi-cuadrado con n-1 grados de libertad

212

2)1(−→−= nchi

SnU χ

σ 1

)(1

2

2

−

−=∑

=

n

XXS

n

ii

donde

22/αχ

32

)1( α−

22/1 αχ −

2/α2/α

=≤−≤=≤≤=− −− ))1(

()(1 22/2

22

2/12

2/2

2/1 αααα χσ

χχχα SnPUP chi

Chi-cuadrado con n-1 g.l22/αχ

Estimacion puntual y por IntervaloIntervalo de confianza para la varianza

))1()1(

()1

)1(

1(

22/

22

22/1

2

22/

2

2

22/1 αααα χ

σχχ

σχ

SnSnP

SnP

−≥≥−=≥−

≥=−−

El intervalo de confianza para la varianza al nivel )1( α−

−−

−2

2/1

2

22/

2 )1(,

)1(

αα χχSnSn

33

Estimacion puntual y por IntervaloEjemplo: Intervalo de confianza para la varianza

El intervalo de confianza para la varianza al nivel )1( α−

( )991,56,756,1558,6

786,26)115(,

8,23

786,26)115( =

−−

−−

−2

2/1

2

22/

2 )1(,

)1(

αα χχSnSn

( )608,66,259,1463,5

786,26)115(,

3,26

786,26)115( =

−−

Se desea estimar la variabilidad resultante en los pesos de una máquina de empaquetado. Se ha seleccionado una muestra de 15 paquetes cuyos pesos presentan una varianza iguala 25 gramos. Estime la varianza con la que trabaja la máquina a un nivel de confianza dela) 90%b) 95%

786,262514

15var

12 ==

−=

n

ns

34

Contraste de hipótesis•Una hipótesis es una afirmación, juicio o enunciado sobre el comportamiento de unapoblación.

•El contraste de hipótesis tiene como objetivo decidir si se rechaza o no la hipótesis nulaplanteada.

•La decisión se basa en el resultado obtenido en la muestra de trabajo. Si este resultado es coherente con la hipótesis planteada, ésta no puede rechazarse; si por el contrario, los resultadosno son coherentes con la hipótesis, se rechaza.

•Ejemplos de contrastes de hipótesis comunes son los efectuados sobre los valores de los parámetros. Por ejemplo:

H0: la media poblacional es superior o igual a 50Se denomina hipótesis nula y se nota con H0. A la alternativa se nota con H1: la media es inferior a 50.

•Para el contraste de hipótesis se utilizan determinados estadísticos muestrales , de los que seconoce su comportamiento probabilístico bajo la hipótesis nula. De este modo, el valor resultantedel estadístico para la muestra de trabajo, representa un valor de la distribución muestral.

Si el resultado es poco probable bajo la hipótesis nula, se asumirá que ha ocurrido un suceso raroy por tanto sospechoso bajo esta hipótesis, lo que conlleva el rechazo.

•El procedimiento consiste en dividir el rango de valores del estadístico muestral, cuya distribuciónde probabilidad se conoce bajo la hipótesis nula, en dos regiones: una que representa valorespocos coherentes con la hipótesis, que se denomina zona de rechazo, y otra, que representa elresto de los valores posibles de la variable muestral, denominada zona de aceptación.

35

Contraste de hipótesisContraste de hipótesis sobre la media de una población

Dada una población sobre la que se observa una variable X, tal que ),( σµNX →

00 : µµ =H

Se desea constrastar

Frente a

01 : µµ ≠H

Si se asume que H0 es cierta, entonces también es cierto que el estadístico muestralmedia muestral se distribuye según el modelo siguiente:

),( 0n

NXσµ→

Se divide el rango de valores posibles de esta variable muestral en dos zonas. Observa que la zona no coherente con la hipótesis nula H0 es la formada por los valores más alejados del valor 0µ

El tamaño de la zona de rechazo está relacionado con el valor de la probabilidad de que la variable muestral tome valores en dicha zona. Y representa la probabilidad rechazar H0 siendo cierta (error tipo I). Se denomina nivel de significación y se nota con . α

)1,0(0 N

n

XZ →−= σ

µDe modo equivalente

36

αDado un nivel de significación podemos encontrar en la distribución los valores que constituyen la zonade rechazo (menos coherentes con la hipótesis nula).

)1( α−

2/αz− 2/αz

2/α2/α

Z

Contraste de hipótesisContraste de hipótesis sobre la media de una población (continúa)

0

)1,0(0 N

n

XZ →−= σ

µ

observa que valores muy altos o muy bajos de Z indican que la media muestralse aleja de

RECHAZO RECHAZOaceptación

Reglas del contraste

Observa que una vez fijadas las reglas del contraste, la decisión es clara:Si el valor de la media de la muestra de trabajo cae en la zona roja se rechaza la hipótesis nulaEn caso contrario, se acepta.

00 : µµ =H

0µ

37

Otro modo de tomar la decisión es mediante el conocimiento de la probabilidad de que ocurra un suceso tanraro o más que el obtenido en la muestra. Es decir, mediante el p-valor o significación asociado al resultado de la muestra de trabajo.

2/αz− 2/αz

2/α2/α

Z

Contraste de hipótesisContraste de hipótesis sobre la media de una población (continúa)

0

|)| |ZP(|iónsignificac ovalor -p Zmuestra>=

α>>= |)| |ZP(|signif. ovalor -p Zmuestra


Observa que hay dos posibilidades: Zmuestra cae en zona roja o no cae en zona roja.

2/αz− 2/αz

2/α2/α

Z0


Zmuestra

-Zmuestra

Zmuestra

-Zm

uest

ra

α<>= |)| |ZP(|signif. ovalor -p Zmuestra

Observa que cuando el valor del estadístico en la muestra de trabajo cae en la zona de aceptación, el p-valor es mayor que alfa. Cuando el estadístico de la muestra cae en la zona de rechazo, el p-valor es menor que alfa.Por tanto la decisión también puede tomarse simplemente comparando el p-valor o significación con alfa

38

Tablas de Contingencia: Contraste de Independencia Chi-cuadrado

∑∑= =

−=

p

i

q

j ij

ijij

t

tn

1 1

22 )(

χ

Hipótesis nula (H0): Las variables X e Y son independientes

Hipótesis alternativa (H1): Las variables X e Y no son independientes

Si las variables son independientes, entonces el estadístico chi-cuadrado

Sigue un modelo Chi-cuadrado con (p-1)(q-1) g.l.

Supongamos que el gráfico define su comportamiento probabilístico. Señalemos en el mismo, aquella zona que representa un suceso “raro”, cuando se asume la independencia. Observa que bajo independencia esperamos que las frecuencias observadas, nij, no difieran “demasiado” de las teóricas, y por tanto, el valor del estadístico observado en la muestra no debería ser “muy grande”. Es coherente que definamos como valores raros para chi-cuadrado, por ejemplo, el 5% de los más altos.

0Aceptación Rechazo

2χ

05,0=α

2αχ

Percentil 95: Valor de la variable que deja el 5% de los más altosa la derecha

39


2muestraχ

2αχ

H0: Las variables X e Y son independientesH1: Las variables X e Y no son independientes

Si las variables son independientes, entonces el valor del estadístico chi-cuadrado calculado para la muestra, obtenida de esa población ¿cómo crees que es más probable que sea, alto o bajo ?Lógicamente si se asume H0, esperaremos encontrar un valor bajo dePor tanto la decisión será:Rechazar H0 si el valor de chi-cuadrado en la muestra es alto, porque la ocurrencia de este suceso nos hará sospechar de la veracidad de la hipótesis nula. Aceptaremos Ho, si dicho valor no es alto.

0

Aceptación Rechazo

2muestraχ

05,0=α

2αχ0

Aceptación Rechazo

2muestraχ

05,0=α

Decisión:El valor muestral cae en la zona de rechazoPor tanto, rechazo que las variables X e YSean independientes

Decisión:El valor muestral cae en la zona de AceptaciónPor tanto, no se puede rechazar que las variables X e Y sean independientes

40


2muestraχ

2αχ 2

muestraχ

Es corriente que los paquetes estadísticos proporcionen como salida el resultado siguiente:

0

Aceptación Rechazo

05,0=α

2αχ0

Aceptación Rechazo

2muestraχ

05,0=α

Decisión:El valor muestral cae en la zona de rechazoPor tanto, rechazo que las variables X e YSean independientes. El p-valor es menor que alfa.

Decisión:El valor muestral cae en la zona de AceptaciónPor tanto, no se puede rechazar que las variables X e Y sean independientes. El p-valor el mayor que alfa.

iónsignificac ovalor -p denominado )( 22muestraP χχ >

Observa que si el valor cae en la zona de rechazo, esta probabilidaddenominada p-valor o significación es menor que alfa; por el contrario, si cae en la zona de aceptación, esta probabilidad es mayor que alfa.

p-valor

p-valor

41


Hipótesis nula (H0): Las variables X e Y son independientes

Hipótesis alternativa (H1): Las variables X e Y no son independientes

Resumiendo: la decisión puede tomarse observando el p-valor o significacióndel estadístico chi-cuadrado.

iónsignificac ovalor -p )( 22 => muestraP χχ

Si el p-valor es menor que alfa: Rechazo que las h ipótesis sean independientes

Si el p-valor es mayor que alfa: No se puede recha zar que las hipótesissean independientes

Nota : observa que el p-valor es la probabilidad de que la variable tome valores másextremos que el observado en la muestra, cuando se asume la hipótesis nula. Si esta probabilidad es “baja” estamos ante un suceso “raro” y sospecharemos de lahipótesis. Por eso la rechazamos.

Tema 4: Inferencia Estadística - ugr.esmvargas/Tema4.pdf · •Si el tamaño de muestra es...

Documents

Transcript of Tema 4: Inferencia Estadística - ugr.esmvargas/Tema4.pdf · •Si el tamaño de muestra es...