Tema 4: Leyes de la desintegracion

1. Ley exponencial

1.1. Constante de desintegracion y ley exponencial

El proceso de la desintegracion es de naturaleza estadıstica:Imposible predecir el momento de la desintegracion.Hipotesis: constante de desintegracion

dP

dt= λ [T−1]

dP = λdt probabilidad de desintegracion entre t y t + dt.λ es independiente de la edad y numero de atomos:

Muestra con N(t) atomos radiactivos:Numero de atomos desintegrados entre t y t + dt:

−dN = N(t)λdt

Ecuacion diferencial para N(t):dN

dt= −λN(t)

Solucion:dN

N= −λdt =⇒

∫ N(t)

N(0)

dN

N= −λ

∫ t

0dt =⇒ ln

N(t)

N(0)= −λdt

Ley exponencial:

N(t) = N(0)e−λt

1.2. Un modo de desintegracion

A → B

NA(t) = NA(0)e−λt

NB(t) = NB(0) + NA(0) − NA(0)e−λt

Concentracion asintotica: lımt→∞

NB(t) = NA(0) + NB(0).

1

1.3. Dos modos de desintegracion:

Xλa−→ A

Xλb−→ B

λa, λb = ctes. de desintegracion parciales.Numero de nucleos desintegrados del modo a = λaNdtNumero de nucleos desintegrados del modo b = λbNdtNumero total de nucleos desintegrados en dt:

dN = −λaNdt − λbNdt = −(λa + λb)Ndt = −λNdt

Ley de desintegracion total:

N(t) = N(0)e−λt, λ = λa + λb

Una fraccion λa

λse desintegra vıa el modo a

Una fraccion λb

λse desintegra vıa el modo b

=⇒ Numero de nucleos hijos:

NA(t) = NA(0) +λa

λN(0)

(

1 − e−λt)

NB(t) = NB(0) +λb

λN(0)

(

1 − e−λt)

Concentraciones asintoticas:

lımt→∞

NA(t) = NA(0) +λa

λN(0) (1)

lımt→∞

NB(t) = NB(0) +λb

λN(0) (2)

(3)

1.4. Periodo de semidesintegracion o semivida

(half-life), T , t1/2

Tiempo en que N se reduce a la mitad:

N(T ) =1

2N(0) =⇒ N(0)e−λT =

1

2N(0)

e−λT =1

2=⇒ λT = ln 2

T =ln 2

λ=

0,693

λ

2

1.5. Vida media

(mean lifetime, mean life, lifetime), τTiempo medio que sobrevive un nucleo antes de desintegrarse (media aritmetica):

−dN = λN(0)e−λtdt =

= numero de nucleos desintegrados entre t y t + dt=numero de nucleos con vida entre t y t + dt−tdN = tiempos de vida de todos los nucleos con vida entre t y t + dt− ∫∞0 tdN = suma de los tiempos de vida de todos los nucleosVida media: dividiendo por el numero total de nucleos

τ = − 1

N(0)

∫ ∞

0tdN = λ

∫ ∞

0te−λtdt

∫ ∞

0te−λtdt = −1

λte−λt

∣

∣

∣

∞

0+

1

λ

∫ ∞

0e−λtdt = − 1

λ2e−λt

∣

∣

∣

∞

0=

1

λ2

τ =1

λ

Relacion con el periodo: T = τ ln 2 = 0,693τ < τ

2. Actividad

2.1. Definicion de actividad

Numero de desintegraciones por segundo

A(t) =

∣

∣

∣

∣

∣

dN

dt

∣

∣

∣

∣

∣

= λN(t)

Actividad en t = 0:A(0) = λN(0)

Ley de decaimiento exponencial para la actividad:

A(t) = λN(0)e−λt = A(0)e−λt

Midiendo A(t) se puede determinar λ.Unidades:

Becquerel (SI): 1Bq = 1 desintegracion/s

Curio (historico):

1 Ci = 3,7 × 1010 Bq = Actividad de 1 gr de 226Ra

3

Ejemplo Se tienen 30 MBq de 2411Na (T = 15 h). Determinar la constante de desintegracion

λ y la actividad despues de 2.5 d.Solucion:

λ =ln 2

T=

0,693

15 × 124

d= 1,1088 d−1

Actividad a los 2.5 dıas:

A(2,5d) = A(0)e−λt = 30 MBq e−1,1088×2,5

= 30 MBq e−2,772 = 1,88 MBq

La actividad NO proporciona informacion acerca de:

El tipo de radiacion emitida

La energıa de la radiacion

Los efectos de la radiacion sobre los organismos biologicos.

Solo indica el numero de desintegraciones por segundo

2.2. Medida de la actividad:

Se determinar el numero de desintegraciones |∆N | en un intervalo de tiempo corto ∆t.

A(t) '∣

∣

∣

∣

∆N

∆t

∣

∣

∣

∣

La anterior aproximacion se puede hacer cuando ∆t � T(la actividad no cambia apreciablemente en ∆t)

2.3. Medida de la constante de desintegracion

Midiendo A(t) en funcion de t:

A(t) = λN0e−λt

ln A(t) = ln λN0 − λt

pendiente de la recta = −λCasos extremos:

T muy grande (226Ra, T = 1600 a)

T muy pequeno (< 1s)

4

Pendiente= −λ

t

log

A(t

)

Figura 1: Medida de la actividad

T muy grande

t [horas]

log

A(t

)

21.510.50

Figura 2: Actividad para T grande

T muy pequeno

t [horas]

log

A(t

)

21.510.50

Figura 3: Actividad para T pequeno

5

log(A(x))

log(A2(x))

log(A1(x))total

64Cu

61Cu

t [horas]

log

A(t

)

4035302520151050

Figura 4: Actividad de una mezcla

2.4. Mezclas

En el caso de una mezcla de dos o mas radioisotopos la actividad no sigue un comportamientolineal.Ejemplo:

{

6 mCi de 61Cu (T = 3,4 h)3 mCi de 64Cu (T = 12,7 h)

A1(t) = A1(0)e−λ1t =⇒ ln A1(t) = ln A1(0) − λ1t

A2(t) = A2(0)e−λ2t =⇒ ln A2(t) = ln A2(0) − λ2t

ln[A1(t) + A2(t)] no es una recta

Es posible determinar λ del 64Cu ajustando una recta para t alto

Restandola a la actividad total se obtiene la recta del 61Cu.

Metodo aplicable a mas de dos isotopos con periodos claramente diferentes.

2.4.1. Ejemplo.

Una solucion contiene 0.10 µCi de 198Au y 0.04 µCi de 131I. ‘?En cuanto tiempo se reducela actividad a la mitad?

6

total

198Au

131I

t [d]

A(t

)[µ

Ci]

1614121086420

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

Figura 5: Actividad de una mezcla

T (198Au) = 2,7 d =⇒ λ1 =0,693

2,7 d= 0,257 d−1

T (131I) = 8,05 d =⇒ λ2 =0,693

8,05 d= 0,0861 d−1

Actividad en t = 0:

A(0) = A1(0) + A2(0) = 0,10 + 0,04 = 0,14 µCi

Actividad en t:

A(t) = A1(t) + A2(t) = A1(0)e−λ1t + A2(0)e−λ2t = 0,07 µCi

Ecuacion trascendente:

0,10e−0,257t + 0,04e−0,0861t = 0,07

Solucion numerica:

t[d] A(t) [µCi]0 0.148 0.03294 0.06412 0.09353 0.07723.5 0.07033.75 0.06713.62 0.06873.56 0.06953.53 0.06993.52 0.0700

7

2.5. Actividad especıfica

Actividad por unidad de masa de la muestra:

AE =A

M=

λN

M

[

Bq

g,

Ci

g

]

Muestra pura:No de atomos en un mol = NA = 6,02 × 1023.Masa de 1 mol: Mmol = Pat (g)No de atomos por gramo:

N

M=

NA

Mmol

=6,02 × 1023

Pat (g)

Actividad especıfica:

AE =6,02 × 1023

Pat (g)λ ' NA

A (g)λ =

NA ln 2

A (g)T

(Es posible aproximar Pat ' A con la precision suficiente.)

Ejemplo.Calcular la actividad especıfica del 226Ra en Bq/g y Ci/g.

T = 1600 a = 5,046 × 1010s

Actividad especıfica:

AE =6,02 × 1023 × 0,693

226g × 5,046 × 1010s= 3,7 × 1010 Bq/g = 1 Ci/g

2.6. Actividad especıfica en Ci/g

AE(226Ra) =NA ln 2

226 g × 1600 a= 1 Ci/g

Actividad de otro isotopo AX expresada en Ci/g:

AE(AX) =NA ln 2

A (g)T=

226

A

1600 a

T

NA ln 2

226 g × 1600 a

AE(AX) =226

A

1600 a

TCi/g

8

Ejemplo Calcular la actividad especıfica del 14C.Datos: T = 5730 a.

AE =226

14

1600

5370Ci/g = 4,51 Ci/g

3. Series radiactivas

3.1. Caso de una cadena radiactiva

A −→ B −→ C −→ D −→ · · ·Condicion inicial:

NA(0) = N0

NB(0) = NC(0) = ND(0) = · · · = 0

Nucleo padre:dNA(t) = −λANA(t)dt =⇒ NA(t) = N0e

−λAt

Nucleo hijo:

dNB = λANAdt − λBNBdt =⇒ dNB

dt= λANA − λBNB

dNB

dt+ λBNB = λAN0e

−λAt

Probamos una solucion:

NB = αe−λAt + βe−λBt

dNB

dt= −αλAe−λAt − βλBe−λBt

Queda la ecuacion:

−αλAe−λAt − βλBe−λBt + λBαe−λAt + λBβe−λBt = λAN0e−λAt

α(λB − λA)e−λAt = λAN0e−λAt

α =λA

λB − λAN0

El valor de β se obtiene imponiendo NB(0) = 0.

NB(0) = α + β =⇒ β = −α

Solucion: NB(t) =λA

λB − λAN0

(

e−λAt − e−λBt)

Actividad: AB(t) = λBNB =λAλB

λB − λA

N0

(

e−λAt − e−λBt)

9

3.2. Ecuaciones de Bateman

Caso general de una cadenaX1 −→ X2 −→ X3 −→ · · ·

Actividad del miembro n-esimo de la cadena:

An(t) = N0

n∑

i=1

cnie−λit

cni =λ1λ2 · · ·λn

(λ1 − λi) · · · (λi−1 − λi)(λi+1 − λi) · · · (λn − λi)

=

n∏

k=1

λk

n∏

k=1

(k 6=i)

(λk − λi)

3.3. Equilibrios

Estudiaremos la cadena A −→ B −→ C.

3.3.1. Equilibrio secular

Caso λA � λB (TA � TB):

Ejemplo:

238U4,5 × 109 a→ 234Th

24 d→ 234Pa

Actividad del hijo:

AB(t) =λAλB

λB − λAN0

(

e−λAt − e−λBt)

' λAλB

λBN0e

−λAt(

1 − e−(λB−λA)t)

' λAN0e−λAt

(

1 − e−λBt)

= AA(t)(

1 − e−λBt)

Para t suficientemente grande e−λBt ' 0=⇒ Equilibrio secular

AB(t)

AA(t)−→ 1 =⇒ AB(t) ∼ AA(t) =⇒ λBNB ∼ λANA

10

Equilibrio secular

AB(t)

AA(t)

t

A(t

)

T

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 6: Equilibrio secular

Concentracion asintotica:NB

NA

∼ λA

λB

3.3.2. Equilibrio secular aproximado

Caso λA � λB (TA � TB),pero λB

λB−λA> 1, “apreciablemente”

Ejemplo:132Te (78h) −→ 132I (2.28h) −→ 132XeEquilibrio en ∼ 12h.

AB(t) =λAλB

λB − λAN0e

−λAt[

1 − e−(λB−λA)t]

=λB

λB − λAAA(t)

[

1 − e−(λB−λA)t]

lımt→∞

AB(t)

AA(t)=

λB

λB − λA> 1 =⇒

AB(t) ∼ λB

λB − λAAA(t) > AA(t)

11

Equilibrio secular aproximado

132I

132Te

t [horas]

A(t

)

4035302520151050

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 7: Equilibrio secular aproximado

3.3.3. Equilibrio transitorio

Caso λA<∼ λB (TA

>∼ TB)

Ejemplo:234U (2,45 × 105a) −→ 230Th (8 × 104a)

AB(t) =λAλB

λB − λA

N0

[

e−λAt − e−λBt]

=λAλB

λB − λA

N0e−λAt

[

1 − e−(λB−λA)t]

Inicialmente AB crece hasta un maximo en el tiempo

dAB

dt= 0 =⇒ −λAe−λAt + λBe−λBt = 0

=⇒ λB

λA= e(λB−λA)t =⇒ ln

λB

λA= (λB − λA)t

=⇒ Actividad maxima en un tiempo tmax =ln(λB/λA)

λB − λA

Valor maximo de AB:

AB(tmax) = λBAA(tmax)λB−λA

[

1 − e− ln(λB/λA)]

= λBAA(tmax)λB−λA

(

1 − λA

λB

)

= AA(tmax)

12

Total

234U

230Th

t

A(t

)

Figura 8: Equilibrio transitorio

En el equilibrio:AB(t)

AA(t)∼ λB

λB − λA

13

3.3.4. Ejemplo

Se tienen 10 GBq de 90Sr. ¿Cuanto tiempo transcurre hasta que la actividad total es de 17.5GBq?

90Sr29,12a−→ 90Y

64h−→ 90Zr

Equilibrio secular para t � 64h.Actividad asintotica:

A(t) = AA(t) + AB(t) ' 2AA(t) ' 20 GBq

se sobrepasa el valor que piden.Atotal = 17,5 GBq =⇒ AB = 7,5 GBq.Usando la expresion

AB(t) = AA

(

1 − e−λBt)

hay que resolver la ecuacion

7,5 = 10(

1 − e−λBt)

0,75 = 1 − e−λBt

e−λBt = 0,25 =1

4λBt = ln 4 = 2 ln 2

t =2 ln 2

λB= 2TB = 128 h

14

Total

No equilibrio

t

A(t

)

Figura 9: No equilibrio

3.3.5. No equilibrio

Caso λA > λB (TA < TB)La actividad del hijo crece hasta un maximo y luego se desintegra segun su constante dedesintegracion.(λBt < λAt =⇒ e−λAt < e−λBt)

AB(t) =λAλB

λB − λAN0

(

e−λAt − e−λBt)

=λAλB

λA − λBN0

(

e−λBt − e−λAt)

=λAλB

λA − λBN0e

−λBt(

1 − e−(λA−λB)t)

(λA − λB)t � 1 =⇒AB(t) ∼ λAλB

λA − λBN0e

−λBt

15

3.3.6. Ejemplo

19176 Os (15.4 d) −→ 191m

77 Ir (4.94s) −→ 19177 Ir

Se dispone de 1 mCi de 191Os.a) ¿Cuantos gramos de 191Os hay en t = 0?b) ¿Cuantos mCi de 191mIr hay en t = 25d?c) ¿Cuantos atomos de 191mIr se desintegran entre t = 100s y t = 102s?d) ¿Cuantos atomos de 191mIr se desintegran entre t = 30s y t = 4d?Solucion.

a) Actividad especıfica del 191Os.

AE =226

191

1600 × 365d

15,4dCi/g = 4,49 × 104 Ci/g

por tanto la masa de la muestra es

M =1 mCi

4,49 × 104 Ci/g= 2,23 × 10−8 g

b) TA � TB =⇒ equilibrio secular en unos segundos.

AB =λB

λB − λAAA

[

1 − e−(λB−λA)t]

'[

1 − e−λBt]

Las actividades difieren en un 1% cuando:

e−λBt = 0,01 =⇒ eλBt = 100 =⇒ λBt = ln 100 =⇒

t =2 ln 10

λB=

2 ln 10

ln 2TB = 6,64TB = 33 s

=⇒ para t = 25d:

AIr = AOs = 1 mCi × exp

(

− 0,693

15,4 d× 25 d

)

= 0,325 mCi

Usando la formula exacta se obtiene el mismo resultado

c) Sea DB(t1, t2) = no desintegraciones de atomos de B entre t1 y t2.

BB(t1, t2) =∫ t2

t1AB(t)dt =

∫ t2

t1

λAλB

λB − λAN0

(

e−λAt − e−λBt)

dt

Para t = 100, 102s se ha alcanzado el equilibrio secular y la actividad del 191Osno habra disminuido apreciablemente:

BB(t1, t2) '∫ t2

t1AA(t)dt ' AA(0)

∫ t2

t1dt

= 1 mCi × 2 s = 3,7 × 1010 × 10−3 × 2

= 7,4 × 107desintegraciones

16

d) Entre t = 30d y t = 40d la actividad del Os no es constante, pero hay equilibriosecular:

NB(t1, t2) =∫ t2

t1AA(t) dt = AA(0)

∫ t2

t1e−λAt dt

=AA(0)

λA

(

e−λAt1 − e−λAt2)

=1 mCi

0,045 d−1

(

e−0,045×30 − e−0,045×40)

= 22,2 mCu · d (0,2592 − 0,1653)

= 22,2 × 10−3 × 3,7 × 1010 s−1 × 24 × 3600 s × 0,0939

= 6,66 × 1012 desintegraciones

17

4. Propiedades estadısticas de la desintegracion

4.1. Fluctuaciones estadısticas

El numero de atomos N es una variable discreta (valores enteros).

Hemos supuesto que N � 1 y las fluctuaciones estadisticas son poco impor-tantes. =⇒variacion suave exponencial.

Planteamiento: Muestra radiactiva con N0 atomos en t = 0

Transcurre un tiempo t

Queremos calcular

Pn(t) = Probabilidad de que se desintegren n atomos

Hipotesis: todos los atomos son identicos e independientes.

4.2. Distribucion binomial

4.2.1. Procesos de Bernoulli

Observacion de los N0 atomos entre 0 y t: proceso de Bernoulli

1. El experimento consiste en N0 pruebas (N0 atomos con cierta probabilidad de desin-tegrarse)

2. Resultado binario en cada prueba (desintegracion sı o no).

3. Probabilidad de exito constante. (probabilidad de desintegrarse igual para todos losatomos)

4. Las pruebas son independientes entre sı. (no relacion entre desintegraciones de ato-mos).

4.2.2. Probabilidad de desintegracion individual

Ley exponencial N(t) = N0e−λt

Numero relativo de atomos que quedan en el instante t:

N(t)

N0= e−λt < 1

=⇒ Interpretacion:Probabilidad de supervivencia

q = e−λt

Probabilidad de desintegracionp = 1 − q = 1 − e−λt

18

4.2.3. Caso especıfico

N0 = 10 atomos de 42K (T = 12,4h) se observan durante t = 3h.

Probabilidad de que un atomo sobreviva sin desintegrarse:

q = e−ln 2

12,4 h×3 h = 0,8456101

Probabilidad de desintegracion:

p = 1 − q = 0,1543899

Probabilidad de que 3 atomos dados (ej. 1,3,8) se desintegren:

P (1, 3, 8) = p3 = 0,0036800

Esta probabilidad es independiente de lo que les ocurra a los otros 7 atomos.

Probabilidad de que los otros 7 atomos sobrevivan:

Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 10) = q7 = 0,3091656

Probabilidad de que los tres atomos se desintegren y el resto sobreviva:

P (1, 3, 8) × Q(2, 4, 5, 6, 7, 9, 10) = p3q7 = 0,0011377

Probabilidad de que solo 3 atomos se desintegren, no importa cual:

P3 =

(

103

)

p3q7 = 0,1365275

Nota: Combinaciones sin repeticion de 10 atomos tomados de 3 en 3:(

103

)

=10!

3!7!=

10 · 9 · 83!

En efecto: hay 10 opciones de elegir el primero, 9 para el segundo y 8 para el tercero= 10 × 9 × 8 posibilidadesComo el orden en que se desintegran es irrelevante, se divide por el numero de permutaciones3!

Probabilidad de que se desintegren n ≤ 10 atomos:

Pn =

(

10n

)

pnq10−n

Ejemplos:

P6 =

(

106

)

p6q4 = 0,0014542 = 0,14542 %

P0 =

(

100

)

p0q10 = 0,18693973 = 18,693973 %

19

4.2.4. Caso general con N0 atomos:

Pn =

(

N0

n

)

pnqN0−n

Suma de todas las probabilidades:N0∑

n=0

Pn = 1

Demostracion:N0∑

n=0

Pn =N0∑

n=0

(

N0

n

)

pnqN0−n = (p + q)N0 = 1N0 = 1

Ejemplo: Si inicialmente hay 100 atomos de 42K, la probabilidad de que ninguno se desin-tegre en 3h es

P0 =

(

1000

)

p0q100 = q100 = 5,212141 × 10−8

Mucho menor que la obtenida para N0 = 10.

20

4.2.5. Valor medio del numero de desintegraciones

µ = n =N0∑

n=0

nPn =∑

n

(

N0

n

)

pnqN0−n

= N0p = N0

(

1 − e−λt)

= N0 − N(t)

Demostracion:

f(x) ≡N0∑

n=0

Pnxn =∑

n

(

N0

n

)

pnqN0−nxn = (q + px)N0

df

dx=

N0∑

n=0

Pnnxn−1 =⇒ df

dx(1) =

N0∑

n=0

nPn = µ0000

df

dx= N0p(q + px)N0−1 =⇒ df

dx(1) = N0p(q + p)N0−1 = N0p

4.2.6. Varianza y desviacion tıpica:

Parametro que da informacion acerca de las fluctuaciones estadısticas del proceso de desin-tegracion.

σ2 =N0∑

n0

(n − µ)2Pn = N0pq

σ =√

N0pq

21

4.3. Distribucion de Poisson

Pn =(N0p)n

n!e−N0p

Propiedades:

1. Buena aproximacion de la distribucion binomial para

N0 � n y p � 1

2. Normalizacion:∑

pn = 1

3. Media: µ =∑

npn = N0p

4. Varianza: σ =√

∑

(n − µ)2pn =√

µ

Demostracion:

1. Binomial:

pn =

(

N0

n

)

pnqN0−n

(

N0

n

)

=N0(N0 − 1) · · · (N0 − n + 1)

n!' Nn

0

n!

qN0−n = (1 − p)N0−n = e(N0−n) ln(1−p) ' e−N0p

(ln(1 + x) = x + O(x2))(

N0

n

)

pnqN0−n ' Nn0

n!pne−N0p =

(N0p)n

n!e−N0p

2. Normalizacion:

∞∑

n=0

pn =∞∑

n=0

µn

n!e−µ = eµe−µ = 1

3. Media:

Sea f(x) ≡ ∑

n pnxn =⇒

f(x) =∑ (µx)n

n!e−µ = eµxe−µ = eµ(x−1)

f ′(x) =∑

npnxn−1 =⇒f ′(1) =

∑

npn = µeµ(x−1)∣

∣

∣

x=1= µ

22

4. Varianza:

f ′′(x) =∑

n

n(n − 1)pnxn−2 =⇒

f ′′(1) =∑

n

(n2 − n)pn = µ2 eµ(x−1)∣

∣

∣

x=1= µ2

σ2 =∑

n

n2pn − µ2 =∑

n

npn = µ

σ =√

µ

23

4.3.1. Aproximacion a la distribucion de Poisson con la formula de Stirling

Aproximacion de Stirling para n � 1:

n! ∼√

2π(n + 1)n+1/2e−(n+1)

Ejemplo:

10! = 3,629 × 106 ' 3,598 × 106

19! = 1,216 × 1017 ' 1,211 × 1017

39! = 2,040 × 1046 ' 2,036 × 1046

59! = 1,387 × 1080 ' 1,385 × 1080

Distribucion de Poison:

Pn =µ

n!e−µ ' µne−µ

√2πe−(n+1)(n + 1)n+1/2

=(

µ

n + 1

)n en+1−µ

√

2π(n + 1)

24