Tema 4.

LOS POLÍGONOS

DefiniciónPolígonos: Sean A1, A2,……An n puntos del plano (n3) no alineados de tres en tres. Se denomina Polígono a la unión de los n segmentos, , de tal manera que dos segmentos al cortarse lo hacen solamente en un extremo.

nn AAAAAA 33221 ...... ,

A3

Diagonal

Base

A5

A1

A2

A4

El lado sobre el cual el polígono descansa se denomina Base.

Una diagonal del polígono es un segmento cuyos puntos extremos son vértices no contiguos del polígono.

Los puntos A1, A2,……An son los vértices del polígono. Los segmentos son los lados del Polígono.La suma de los lados se denomina Perímetro del polígono. El perímetro siempre es positivo.

Diagonal

.

.

.

.

.

nn AAAAAA 33221 ...... ,

Diagonal

Diag

onal

Diagonal

DefiniciónPolígono convexos: Son aquellos polígonos cuyos lados son bordes de un semiplano que contiene al resto del polígono. Si se extiende cada uno de los lados de un polígono y sus extensiones o prolongaciones no interceptan a otro lado, se dice que el polígono es Convexo.

convexo convexo convexo convexo No convexo

POLÍGONO REGULAR: Es el polígono convexo que tiene sus lados iguales y sus ángulos son congruentes.

Cuadrilátero: Un polígono es un cuadrilátero si y solo si tiene cuatro lados.

Paralelogramo: Un cuadrilátero es un paralelogramo sí y solo sí sus lados opuestos son paralelos.

Rectángulo: Un paralelogramo es un rectángulo sí y solo sí tiene sus cuatro ángulos rectos

Cuadrados: Un paralelogramos es cuadrado sí y solo sí sus cuatro lados son iguales y sus ángulos son rectos

Rombo: Un paralelogramo es un rombo sí y solo sí sus cuatro lados iguales

Definiciones:

Definiciones:Trapecios: un cuadrilátero es un trapecio si y solo si tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos no. Los lados paralelos se llaman bases y los otros lados laterales. El segmento que une los puntos medios de los lados laterales se denomina Base media. Si los lados laterales son iguales se llama trapecio isósceles.

Trapecios Isósceles: un trapecio es isósceles si y solo si los dos lados opuestos no paralelos, son iguales

Trapecios Rectángulo: un trapecio es rectángulo si y solo si tiene un lado perpendicular a sus bases.

1. La suma de sus ángulos interiores es 180(n-2).

3. La suma de los ángulos exteriores es 360.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 540

(1 + 2 + 3 + 4+5) + (1’ + 2’ + 3’ + 4’) = 360 + 540

½ n(n-3) = ½ (5)(2) = 5

Teorema: En un polígono convexo de n lados:

• El número de diagonales es 1/2n(n-3)

n = 5 180(5-2) = 540

4 3

4’

3’

1’ 1 2

2’

55’

1 + 1’ + 2 + 2’ + 3 + 3’ + 4 + 4’ + 5 + 5’ = 5(180)= 900

Corolario: En el polígono regular de n lados1. Cada ángulo interior (n-2) 180/n2. 2. Todo ángulo exterior vale 360/n

.

Centro del paralelogramo.

Corolario: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es de 360.

Paralelogramo: Es el cuadrilátero cuyo lados opuestos son paralelos

Centro del Paralelogramo: Punto de corte de sus diagonales.

Notación: ABCD

A B

C D

Teorema: Un cuadrilátero es un paralelogramo sii:

1. Sus lados opuestos son congruentes.

2. Tiene 2 lados opuestos paralelos y congruentes.

3. Sus ángulos opuestos son congruentes.

4. Sus diagonales se bisecan

Propiedades del Paralelogramo.

’

’

A B

C DDemostración:

ABCD es un paralelogramo sus lados opuestos son congruentes

ABCD es un paralelogramo

1.- Se traza DB por construcción2.- ’ Ángulos Alternos internos entre paralelas3.- ’ Ángulos Alternos internos entre paralelas4.- DB Lado común5.- △DAB BCD△ A.L.A.6.- AB DC y AD BC Por la congruencia del P5

TesisAB DCAD BC

() Hipótesis

Luego, el teorema directo es verdaderoLa tesis es verdadera

() HipótesisAB DCAD BC

Tesis

Demostración1.- DB Es lado común2.- △DAB BCD△ L.L.L3.- ’ y ’ Por la congruencia de s del P2△4.- AB DC y AD BC∥ ∥ s alternos internos congruentes∠

ABCD es un paralelogramo

ABCD es un paralelogramo sus lados opuestos son congruentes

’

’

A B

C D

La tesis es verdaderaLuego, el teorema recíproco es verdadero

En conclusión el Teorema: ABCD es un paralelogramo sus lados opuestos son congruentes, es verdadero

A B

C D

Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes.

Demostración

1.- △ACB BDA △ CAD△ DBC△ L.L.L.

2.- ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 Suma de ángulos

3.- ∠A ∠B ∠C ∠D = 90 Luego, es un rectángulo

() HipótesisABCD es un paralelogramoAC BD

Tesis∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90

La tesis es verdaderaLuego, el teorema directo es verdadero

Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes.

() HipótesisABCD es un paralelogramo

TesisAC BD

∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90

Demostración1.- ACD △ BDC△ L.A.L.2.- AC BD Por la congruencia del paso 1

A B

C D

La tesis es verdaderaLuego, el teorema directo es verdadero

A B

C D

Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes.

Demostración

1.- △ACB BDA △ CAD△ DBC△ L.L.L.

2.- ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 Suma de ángulos

3.- ∠A ∠B ∠C ∠D = 90 Luego, es un rectángulo

()) HipótesisABCD es un paralelogramoAC BD

Tesis∠A, ∠B, ∠C y ∠D miden 90

La tesis es verdaderaLuego, el teorema recíproco es verdadero

En conclusión el Teorema: Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son congruentes, es verdadero.

A

B

C

D M

Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares.

() Hipótesis ABCD es un rombo

TesisAC DB

Demostración1.- AB BC CD DA Propiedades del paralelogramo2.- AC y DB se bisecan en M Propiedades del paralelogramo3.-M es punto medio Propiedades del paralelogramo 4.-MB MB y MA MC Por 35.- DAM BAM L.L.L. (1,4)6.- DMA BMA por P47.- AC DB Ángulos adyacentes congruentes

Luego, el teorema directo es verdaderoLa tesis es verdadera

A

B

C

D M

() HipótesisABCD paralelogramo

AC DBTesis

ABCD es un romboDemostración1.- AB CD y BC DA Propiedades del paralelogramo2.- AC y DB se bisecan en M Propiedades del paralelogramo3.-M es punto medio Propiedades del paralelogramo 4.-MD MB y MA MC Por P35.- AMD AMB CMB CMD L.L.L. (1,4) Y LAL(Hip 2, P3)6.-AB BC CD DA Lados correspondientes en s s

7.- ABCD es un rombo Def. de rombo, P6

Luego, el teorema recíproco es verdaderoLa tesis es verdadera

Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares.

En conclusión el Teorema: Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares, es verdadero.

M N

O

A

C B

’ ’’

’

Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio.

HipótesisABC con M pto medio de ABl pasa por M y l BCTesisN es pto medio de AC

Demostración 1.- NO BM Por construción2.-MNOB es un paralelogramo Por Def. de paralelogramo 3.- ’ y ’ ’’ s correspondientes entre s5.- ’’ transitividad entre 3 y 46.- ’ s correspondientes entre s

M N

O

A

CB

’ ’’

’

Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio.

HipótesisABC con M pto medio de ABl pasa por M y l BCTesisN es pto medio de AC

Demostración7.- BM AM M pto medio de BA 8.- AM BM NO BM y NO lados opuestos de un paralelogramo, 9.- ANM NCO A.L.A. (8, 5 y 6)10.- AN NC Lados correspondientes de s congruentes11.- N Pto medio P10

En conclusión el Teorema: Si una recta pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela a uno de sus lados, entonces corta al tercer lado en su punto medio, es verdadero.

La tesis es verdadera

M N

D

A

C B

’

’

E

Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Demostración1.- CD AB Por construcción2.- Se prolonga MN hasta cortar CD en E por construcción3.- ’ Ángulos congruentes entre s4.- ’ Opuestos por el vértice5.- AN NC N pto medio de AC6.- ANM CNE A.L.A.7.- BM MA M Pto medio de AB8.- CE MA Congruencia del paso 59.- CE BM Transitividad entre 6 y 7

Hipótesis ABC con M y N ptos medios de AB y ACTesisMN BCMN = BC/2

M N

DA

C B

’

’

E

Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Demostración

Hipótesis ABC con M y N ptos medios de AB y ACTesisMN BCMN = BC/2

9.- BMEC Es un paralelogramo (par de lados paralelos y congruentes)10.- MN BC Lados opuestos de un paralelogramo Conclusión 1. La tesis 1 es verdadera11.- MN + NE BC Suma de Segmentos12.- MN NE Por la congruencia del paso 513.- 2MN = BC Sustitución de 12 en 11, suma de términos semejantes

14.- MN = BC/2 Despeje en 13

Conclusión 2. La tesis 2 es verdaderaEn conclusión el Teorema: El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad, es verdadero.

2

CDABMN

MN

D

A

C

B

’’ E

TEOREMA: La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de ellas.Hipótesis

ABCD es un trapecio

MN es base media

TesisMN ∥ CD ∥ AB

Demostración1.- AB CD∥ Def. de trapecio2.- AM MC M es Pto. Medio de AC3.- BN ND N es Pto. Medio de BD4.- Se traza AN y se prolonga hasta cortarse con CD en E Por construcción5.- ’ Opuestos por el vértice6.- ’ Alternos internos entre s∥7.- ABN △ EDN△ A.L.A.8.- AN NE Por la congruencia anterior

2

CDABMN

MN

D

A

C

B

’’ E

Demostración9.- AB DE Congruencia del paso 710.- CE = CD + DE Suma de segmentos11.- CE = CD + AB Sustitución de 9 en 1012.- MN = ½ CE MN une los Ptos. Medios del ACE△13.- MN = ½ (AB + CD) PM. Sustitución de 11 en 12 14.- MN CD∥ MN une los ptos. Medios del ACE△15.- MN AB∥ PM. Transitividad entre 1, 14

TEOREMA: La base media de un trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de ellas.Hipótesis

ABCD es un trapecio

MN es base media

TesisMN ∥ CD ∥ AB

La tesis 1 es verdaderaEn conclusión el Teorema: : La base media de un trapecio es paralela a las bases e

igual a la semisuma de ellas, es verdadero.

La tesis 2 es verdadera

Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías:

‒ DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data.‒ PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México:

Thomson Editores S.A.‒ HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS