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Tema 3: Movimiento circular y gravitación universal Página 1

TEMA 4: MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL

1.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Las características del movimiento circular uniforme son:

- La trayectoria que describe es una circunferencia (o una parte de ella).

- El módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.

Ejemplos de movimientos circulares: el de las manecillas de un reloj, las aspas de un aerogenerador, las ruedas, el plato de un microondas, los tiovivos...

OBSERVACIÓN:

- El movimiento circular en el que el módulo de la velocidad no es constante pero aumenta o disminuye de manera uniforme se denomina movimiento circular uniformemente variado.

Ahora veremos las magnitudes que podemos medir en el movimiento circular.

2.- ESPACIO RECORRIDO Y ÁNGULO BARRIDO 2.1.- Espacio recorrido

Recordar que la distancia o espacio recorrido por un móvil es la longitud de su trayectoria. Como la trayectoria que sigue un móvil con m.c.u. es una circunferencia o una parte de ella (llamada arco de circunferencia), la distancia o espacio recorrido por el móvil se calculará aplicando las fórmulas matemáticas que conocemos para calcular la longitud de una circunferencia o de un arco de circunferencia:

- Longitud de una circunferencia = R⋅⋅π2

- Longitud de un arco de circunferencia = º360

2 ϕπ ⋅⋅⋅ R (si el ángulo ϕ está en grados)

- Longitud de un arco de circunferencia = ϕ⋅R (si el ángulo ϕ está en radianes)

ϕ


2.2.- Ángulo barrido

El ángulo barrido por un móvil con m.c.u. es el ángulo que forman los radios que unen el centro de la circunferencia que describe el móvil con las posiciones inicial y final respectivamente.

Lo representaremos con la letra ϕ y su unidad en el sistema internacional es el radián (rad), aunque en la práctica también se utilizan otras dos unidades, el grado sexagesimal y la vuelta o revolución. Para hacer un cambio entre las unidades anteriores hay que tener presentes las siguientes equivalencias:

180 º = 2 π rad

1 vuelta o revolución = 2 π rad

1 vuelta o revolución = 180 º 3.- VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR 3.1.- Velocidad lineal

En el movimiento circular uniforme la velocidad lineal se define como el espacio recorrido por el móvil a través de la circunferencia en un tiempo determinado. Su unidad en el sistema internacional es el m/s.

t

sv =

OBSERVACIÓN:

- La velocidad lineal que lleva un móvil depende de la distancia que haya entre el móvil y el centro de la circunferencia que describe.

Observar que cuanto más lejos esté el móvil del centro de la circunferencia, mayor será el espacio recorrido por el mismo y por lo tanto mayor será la velocidad lineal. 3.2.- Velocidad angular

La velocidad angular se define como el ángulo barrido por un móvil en un tiempo determinado:

t

ϕω =

ϕ


donde ω es la velocidad angular, ϕ el ángulo barrido y t el tiempo transcurrido. La unidad de ω

en el sistema internacional es el s

rad , aunque también se suele trabajar en r.p.m. ó minrev

(revoluciones por minuto). Ejemplo 1: Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular. Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos, 120º a los diez segundos y 240º a los 20 s. Calcula:

a) El ángulo barrido en cada caso, expresado en radianes.

b) La velocidad angular del movimiento.

c) El tiempo que tardará en dar una vuelta completa.

OBSERVACIÓN:

- La velocidad angular que lleva un móvil NO depende de la distancia que lo separe del centro de la circunferencia que describe, ya que el ángulo que barre un móvil en un tiempo determinado (que es lo que determina la velocidad angular) es el mismo independientemente de si se encuentra cerca o lejos del centro de la circunferencia.

90º 90º 4.- RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL

La relación que existe entre la velocidad angular y la velocidad lineal viene dada por la siguiente expresión:

Rv ⋅= ω

donde v es la velocidad lineal, ω la velocidad angular y R el radio de la circunferencia descrita por el móvil.

Demostración:

Ya sabemos que el espacio recorrido por un móvil que describe un arco de circunferencia se puede calcular con la siguiente fórmula: ϕ⋅= Rs (suponiendo que el ángulo barrido venga expresado en rad).

Despejando de esta fórmula el ángulo barrido tenemos que: R

s=ϕ

Por otro lado sabemos que la velocidad angular se define así: t

ϕω =


Si ahora sustituimos el ángulo barrido en esta última fórmula, nos queda lo siguiente:

R

v

tR

st

R

s

t

Rs

t=

⋅==== :

ϕω

el espacio recorrido en un tiempo determinado es la velocidad lineal

Así hemos llegado a esta fórmula: R

v=ω

Ahora solo falta despejar v:

vRR

v

R

R

R

v=⋅⇒=

⋅⇒= ω

ωω

Es decir, Rv ⋅= ω como queríamos demostrar. OBSERVACIÓN:

- A lo largo de la demostración ha salido otra fórmula que puede resultar útil a la hora de resolver problemas:

R

s=ϕ

5.- ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA

Recordar que la magnitud que se encarga de medir los cambios que se producen en el módulo de la velocidad se llama aceleración tangencial, y la que mide los cambios que se producen en la dirección de la velocidad se llama aceleración normal o centrípeta. Recordar también que la dirección de la velocidad que lleva un móvil en un punto determinado es la recta tangente a la trayectoria en dicho punto. Así, como en el movimiento circular la dirección de la velocidad va cambiando a lo largo del tiempo, cualquier movimiento circular posee aceleración normal o centrípeta, la aceleración tangencial la poseerá o no dependiendo de si el módulo de la velocidad es constante o varía.

La aceleración es una magnitud vectorial, se representa por tanto mediante un vector. En el m.c.u., la aceleración centrípeta es un vector que se dibuja apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil, de ahí su nombre (centrípeta). También se cumple que dicho vector va a ser siempre perpendicular al vector velocidad, por eso también se le llama aceleración normal (ya que cuando dos vectores son perpendiculares se dice que son vectores normales). Recordar que dos vectores o rectas son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º.


Ran ⋅= 2ωR

van

2

=

fT

1=

El módulo de la aceleración normal o centrípeta se calcula con las siguientes fórmulas:

Recordar que la unidad de la aceleración en el sistema internacional es el 2s

m .

6.- FRECUENCIA Y PERÍODO

- La frecuencia se representa por la letra f y es el número de vueltas que da el móvil en un segundo.

- El período se representa por la letra T y es la magnitud inversa, es decir, el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.

OBSERVACIÓN:

- Al ser magnitudes inversas, conociendo una de ellas se puede calcular la otra:

Tf

1=

En la práctica lo que se hace es darle la vuelta a los resultados obtenidos.

Ejemplo 2: Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.


7.- LA POSICIÓN DE LA TIERRA EN EL UNIVERSO

En esta pregunta se trata de estudiar las distintas teorías que han intentado explicar a lo largo de la historia el movimiento de los astros y el lugar que ocupa la Tierra en el universo.

Ya los astrónomos de las culturas antiguas intentaron estudiar el movimiento de los astros simplemente observando el cielo. Colocaban grandes piedras de manera que señalaran el lugar por donde salía y se ponía el sol así como las fases de la luna en momentos concretos del año. Un famoso monumento que no se descarta que fuera utilizado como observatorio astronómico es el Stonehenge en Inglaterra.

Cualquier cuerpo que se pueda observar en el cielo se llama cuerpo celeste o astro. A los astros que emiten luz propia se les denominan estrellas y a los que no la emiten cuerpos opacos (ejemplos: planetas, satélites…)

El tamaño de las estrellas es variable, las hay supergigantes (tamaño mil veces superior al del Sol) y enanas (tamaño incluso menor que el de la Tierra). En cuanto al color, que depende de la temperatura de su superficie, pueden ser rojas, amarillas, blancas y azules.

Una constelación es un conjunto de estrellas relacionadas entre sí. Estas relaciones que existen entre unas y otras las establecieron las antiguas civilizaciones al fijarse en que algunas estrellas formaban figuras y les dieron nombres relacionados con leyendas mitológicas. Entre las constelaciones más conocidas están la Osa Mayor, la Osa Menor (donde se encuentra la Estrella polar), las constelaciones zodiacales, Pegaso…

Pegaso


Las estrellas y los planetas están continuamente dando vueltas alrededor de un centro describiendo órbitas. Todas las estrellas y planetas que orbitan en torno a un centro común forman una galaxia.

Las galaxias adoptan formas determinadas, y se clasifican según esa forma:

La Tierra pertenece a una galaxia llamada la Vía Láctea que está formada por todas las estrellas que se ven a simple vista desde la Tierra (unas cien mil millones), incluida el Sol.

Otros ejemplos de galaxias son la Nubes de Magallanes y la galaxia de Andrómeda.

Un planeta es un astro opaco, de forma aproximadamente esférica y que gira alrededor de una estrella. Hay ocho planetas que giran alrededor del sol: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Un satélite es un astro opaco que gira alrededor de un planeta. Por ejemplo, la Tierra tiene un satélite llamado Luna y Marte tiene dos satélites llamados Fobos y Deimos.

Un cometa es un astro de poca masa que gira alrededor del Sol describiendo una órbita muy alargada y que solo es visible cuando se aproxima al Sol.


7.1.- Teorías geocéntricas

La teoría geocéntrica es una antigua teoría elaborada por los filósofos griegos Platón y Aristóteles. Para Aristóteles el universo era perfecto, finito y esférico, estaba formado por esferas con el mismo centro cada una de las cuales contenía un astro. La esfera más externa, que era la que contenía las estrellas, la movía Dios y esta movía a las demás, excepto a la más interna, ocupada por la Tierra, que no se mueve y es el centro del universo.

Esta teoría, que se mantuvo en pie durante mil cuatrocientos años y contó con el apoyo de la Iglesia católica, fue completada por Claudio Ptolomeo en el siglo II a. C., quien dejó constancia de su trabajo en su obra “Almagesto” (que significa “El más grande”), en la que introdujo los llamados epiciclos, ecuantes y deferentes.

La Tierra está inmóvil y se encuentra como hemos dicho en el centro del universo; el astro más cercano a ella es la Luna y según nos vamos alejando, están Mercurio, Venus y el Sol casi en línea recta, seguidos sucesivamente por Marte, Júpiter, Saturno y las llamadas estrellas inmóviles.

Para explicar los diversos movimientos de estos planetas en torno a la Tierra, el sistema de Ptolomeo los describía formando pequeñas órbitas circulares llamadas epiciclos, de manera que los centros de esas órbitas giraban a su vez alrededor de la Tierra en otras órbitas circulares llamadas deferentes (formando así una espiral). El movimiento de todas las esferas se produce en sentido contrario a las agujas del reloj (de oeste a este). El ecuante era un punto cerca del centro de la órbita del planeta en el cual, si uno se paraba allí y miraba, el centro del epiciclo del planeta parecería que se moviera a la misma velocidad.

La teoría geocéntrica de Ptolomeo fue utilizada por astrónomos y navegantes durante 14 siglos hasta que en el siglo XIII recibió las primeras críticas. Fue el rey Alfonso X El Sabio (entusiasta de la astronomía) quien rectificó algunos datos del modelo de Ptolomeo, modelo que fue finalmente reemplazado en el siglo XVI por la teoría heliocéntrica.


7.2.- Teorías heliocéntricas Ya en el siglo III a.C., el astrónomo griego Aristarco de Samos sugirió un modelo del universo en el que el Sol se sitúa en el centro del mismo y los planetas conocidos hasta entonces (incluida la Tierra) giraban alrededor de él. Aristarco situó la Tierra entre Venus y Marte y afirmó que tardaba un año en recorrer una órbita completa. Sus observaciones le llevaron a la conclusión de que la Tierra, además de girar alrededor del Sol, giraba también sobre sí misma. Realizó investigaciones con idea de averiguar las distancias que separaban unos cuerpos celestes de otros, y aunque hoy sabemos que sus cálculos no fueron exactos, se aproximaron mucho a la realidad. Se puede decir por tanto, que Aristarco de Samos describió con gran exactitud lo que actualmente llamamos sistema solar, sin embargo su teoría no convenció a los sabios de su época y tuvo poca relevancia, solo 18 siglos después fue retomada y completada por Nicolás Copérnico.

Copérnico resumía su teoría en los siguientes postulados:

- Los movimientos celestes son uniformes, eternos y circulares o compuestos de diversos ciclos (epiciclos).

- El centro del universo se encuentra cerca del Sol.

- Orbitando alrededor del Sol se encuentran, en este orden, Mercurio, Venus, la Tierra y la Luna, Marte, Júpiter y Saturno (aún no se conocían Urano y Neptuno).

- Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan alrededor del Sol.

- La Tierra tiene tres movimientos: la rotación diaria, la revolución anual y la inclinación sobre su eje.

- El movimiento retrógrado de los planetas es explicado por el movimiento de la Tierra.

- La distancia de la Tierra al Sol es pequeña comparada con la distancia a las estrellas.

Copérnico determinó la posición correcta de los planetas y les asignó una velocidad de movimiento bastante exacta dentro de su sistema planetario.

En sus postulados Copérnico habla del “movimiento retrógrado de los planetas”. Se trata de hay un cierto momento en el que parece que los planetas en lugar de avanzar retroceden respecto al fondo de estrellas fijas. En realidad lo que sucede es que la Tierra, al estar más cerca del Sol, gira más rápido que los planetas que están más alejados, por lo que llega un momento en el que los “adelanta” y parece que esos planetas se empiezan a desplazar hacia atrás.


Entre los defensores de la teoría heliocéntrica de Copérnico cabe destacar a Giordano Bruno y a Galileo Galilei.

Giordano Bruno Galileo Galilei

Giordano Bruno fue un filósofo italiano nacido en 1548 y que perteneció a la orden religiosa de los dominicos, aunque la abandonó tras ser acusado de hereje al defender las ideas de Copérnico. Fue invitado a arrepentirse públicamente de haber defendido la teoría heliocéntrica, pero no lo hizo, motivo por el cual fue juzgado y condenado a morir en la hoguera. Cuando le comunicaron su sentencia dirigió a los jueces unas palabras famosas que dicen: "Tembláis más vosotros al anunciar

esta sentencia que yo al recibirla". La sentencia se cumplió el 17 de febrero de 1600 en Roma. Galileo Galilei nació en la ciudad italiana de Pisa en 1564. Con 17 años, siguiendo el consejo de su padre, empezó a estudiar medicina en la Universidad de su ciudad natal, aunque más adelante decidió cambiar la medicina por las matemáticas con el consentimiento de su paterno. Finalizó sus estudios de matemáticas y con 25 años se le asignó una cátedra en Pisa, mejorando su situación tres años más tarde, lo que le hizo trasladarse a Venecia, ciudad dedicada al comercio y donde se casó con Marina Gamba, catorce años menor que él con quien tuvo tres hijos.

Galileo puso en duda desde siempre la teoría geocéntrica de Aristóteles, pero en un principio no se atrevió a expresarlo porque no tenía pruebas científicas que lo apoyaran y temía correr la misma suerte que Giordano Bruno. Sin embargo, un nuevo descubrimiento le ayudó a obtener las pruebas científicas que necesitaba para demostrar que la Tierra no era el centro del universo. A los 46 años de edad, en 1610, Galileo construyó un telescopio y descubrió montañas en la Luna y unas regiones oscuras que denominó “mares”, cuatro lunas en Júpiter, fases en Venus y manchas en el Sol. Estos descubrimientos favorecían la teoría heliocéntrica de Copérnico, lo que presagió serios problemas con la Iglesia:

- Las montañas en la Luna suponían que su superficie no fuera perfectamente lisa, sino rugosa como la de la Tierra, por lo tanto la Tierra como el resto del universo no podían pertenecer a dos sistemas distintos como afirmaba el aristotelismo.

- Las lunas o satélites de Júpiter, que daban vueltas alrededor del planeta, llevó a Galilei a la conclusión de que todos los cuerpos celestes no giran alrededor de la Tierra.


- Las fases de Venus (distintas forma de verse según sea su posición con respecto al Sol) le llevaron a la conclusión de que Venus giraba en torno al Sol, es más, dedujo que su brillo se debía al reflejo de la luz solar, pero no estaba dotada de luz propia como se creía.

- Las manchas oscuras que observó en el Sol, sobre su superficie que aparecen y desaparecen sucesivamente, le llevaron a concluir que el Sol no era un cuerpo perfecto, contradiciendo la idea de la perfección de los cielos.

Poco a poco, este último descubrimiento de las manchas solares así como la contundencia con la que refutaba y ridiculizaba a sus oponentes, le fueron creando enemistades. La situación se complicó tanto que Galileo fue invitado a dejar de defender sus ideas, pero no solo no lo hizo, sino que publicó una obra llamada “Diálogo” donde defendía el sistema heliocéntrico e insultaba a sus enemigos. La Inquisición tomó cartas en el asunto, más por desobediencia que por el propio contenido de su obra, y arrodillado ante el tribunal que le juzgó fue obligado a confesar públicamente: “Yo, Galileo Galilei…, abandono la falsa opinión… de que el Sol es el centro del universo y está inmóvil… Abjuro, maldigo y detesto dichos errores”. Algunos dicen que cuando el anciano se puso de pie murmuró para sus adentros: “E pur si muove”, que significa “Y sin embargo se mueve”. Los ejemplares de su obra fueron quemados públicamente. A pesar de esa confesión pública, se le condenó a pasar el resto de su vida preso en una villa cerca Florencia. Falleció ciego el 8 de enero de 1642 con 79 años de edad. 8.- LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

A pesar de que la teoría heliocéntrica de Copérnico fue toda una revolución, para él los únicos movimientos posibles eran o rectilíneos (como los que llevaban los cuerpos que caen) o circulares uniformes (los que describían los planetas al moverse). El astrónomo danés Tycho Brahe, sin la utilización del telescopio, llevó a cabo un estudio muy riguroso sobre la posición de los planetas con respecto a la Tierra, obteniendo resultados muy exactos que utilizó un discípulo suyo años después, el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler quien resume el movimiento de los planetas en las tres leyes que llevan su nombre:


1ª Ley de Kepler: Los planetas describen trayectorias elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

(Esta primera ley contradice la idea de Aristóteles según la cual los planetas describen órbitas circulares).

2ª Ley de Kepler: El radio que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

(De esta segunda ley se deduce que los planetas no se mueven a velocidad constante).

3ª Ley de Kepler: El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia al Sol.

(Observación: el periodo de revolución es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa alrededor del Sol).

Esta tercera ley se expresa matemáticamente de esta manera: cter

T=3

2

(De esta tercera ley se deduce que los planetas que están más cerca del Sol se ueven más rápido que los que están más alejados que él).

Estas leyes describen de una manera sencilla y exacta el movimiento de los planetas, sin embargo están incompletas, ya que no explican las causas que producen estos movimientos. La persona que dará respuesta a esta pregunta será Isaac Newton. 9.- LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Casi con toda seguridad, la primera interacción impactante en nuestra vida ha sido la interacción gravitatoria (cuando nos caímos por primera vez XD). Se dice que Isaac Newton (científico inglés que vivió entre 1642 y 1727) descubrió esta interacción cuando le cayó una manzana sobre la cabeza, mientras meditaba en su huerto de Inglaterra a la sombra de un manzano.

Puede ser solo una leyenda, pero lo que sí es cierto es que se planteó la pregunta: ¿por qué se cae una manzana y no se cae la Luna? En la respuesta que encontró, demostró que los cuerpos terrestres y los cuerpos celestes se rigen por las mismas leyes físicas. Esto, que hoy nos parece obvio, fue una


auténtica revolución en su época, ya que desde antiguo se pensaba que la gravedad sólo afectaba a los objetos terrestres, y que los objetos del cielo eran poco menos que divinos.

El descubrimiento de Newton no partió desde cero, sino que se basó en las leyes de Kepler, las cuales solo constituyen la ‘cinemática’ del sistema solar, pues describen los movimientos de los planetas, pero no explican las causas que los producen. La solución de este problema fue una ley universal, válida para dos objetos cualesquiera, celestes o terrestres, conocida como Ley de la Gravitación Universal y que dice lo siguiente:

Todos los cuerpos del universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente

proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

2r

mmGF

′⋅⋅=

Donde F es la fuerza de atracción entre los dos cuerpos, m y m′ son las masas de los cuerpos que se atraen, r es la distancia que hay entre los centros de gravedad de los cuerpos y G es una

constante llamada constante de gravitación universal cuyo valor es 2

2111067,6kg

mNG ⋅⋅= − .

Esta FUERZA con la que se atraen dos cuerpos cualesquiera, llamada fuerza de gravitación, tiene las siguientes características:

a) Es universal: todos los cuerpos con masa están sometidos a esta fuerza.

b) Su DIRECCIÓN es la recta que une el centro de gravedad de los dos cuerpos.

c) Su SENTIDO es atractivo, es decir, la fuerza que actúa sobre cada cuerpo se dirige al otro.

d) Su MÓDULO viene determinado por la ecuación anterior.

Según esta ley cada uno de los/as alumnos/as son atraídos por su compañero/a, aunque en la realidad esta atracción no se nota, ya que en la práctica, esta atracción se percibe cuando al menos una de las masas es muy grande (como por ejemplo la masa de un planeta o de un satélite).

Esta ley no solo sirve para explicar el movimiento de los cuerpos, tanto en la Tierra como en el cielo, gracias a ella se entienden también fenómenos como la caída y el peso de los cuerpos, el movimiento de los satélites, las mareas y el movimiento de los cometas.

• La caída y el peso de los cuerpos

El peso de un cuerpo es la fuerza con la que es atraído por el centro de gravedad del planeta en el que se encuentre. El peso de un cuerpo que se encuentra sobre la superficie de un planeta se calcula con la expresión gmP ⋅= , donde P representa el peso, m la masa del cuerpo y g la

aceleración de la gravedad del planeta. Su unidad en el SI es el Newton (N) o 2s

mkg ⋅ .

En los problemas de caída libre hemos utilizado como dato que la aceleración de la gravedad

vale 28,9s

mg = , vamos a demostrarlo:


Supongamos que tenemos un cuerpo de masa m y llamemos M a la masa de la Tierra.

Por un lado, por la ley de la gravitación universal sabemos que la fuerza con la que la Tierra atrae al cuerpo es:

2R

MmGF

⋅⋅= donde R es la distancia que hay entre el cuerpo y la superficie terrestre; es decir,

R es el radio de la Tierra.

Por otro lado el peso del cuerpo se puede calcular así: gmP ⋅= , donde g es la aceleración de

la gravedad de la Tierra.

Pero el peso se define como la fuerza con la que el cuerpo es atraído por la Tierra, luego la fuerza F anterior y el peso P son lo mismo, por lo tanto se tiene:

PF = ⇒ 2

R

MmGgm

⋅⋅=⋅ ⇒

2Rm

MmGg

⋅

⋅⋅= ⇒

2Rm

MmGg

⋅

⋅⋅= ⇒

2R

MGg ⋅=

Sustituyendo Despejando “g” Simplificando

( )26

2411

1037,6

1098,51067,6

⋅

⋅⋅⋅=

−

g ⇒ 28,9s

mg =

A lo largo de la demostración ha salido una fórmula que se puede utilizar para calcular la

aceleración de la gravedad en cualquier otro planeta que no sea la Tierra:

2R

MGg ⋅= donde g es la aceleración de la gravedad en un planeta, M la masa del planeta y R el

radio del planeta. Ejercicio: consulta la tabla de la página 79 del libro y calcula la aceleración de la gravedad en

Mercurio.

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