TEMA 4. MÉTODO DE LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES...

INGENIERÍA DE CONTROL I MÉTODO DE LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES

TEMA 4. MÉTODO DE LOCALIZACIÓN DE LAS TEMA 4. MÉTODO DE LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCESRAÍCES

CONTENIDOCONTENIDO

DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICOLOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCESREGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LASREGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LASRAÍCES DE EVANSCONSTRUCCIÓN TÍPICA

ÑDISEÑO DE COMPENSADORES USANDO REDES DEADELANTO Y DE ATRASO

DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ 1

DESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICODESCRIPCIÓN DEL PRINCIPIO BÁSICO



Para el sistema mostrado en la figura la función de ganancia de lazo es GcGH. Laf ió d t f i d l d C/R G G/(1+G GH) l l dfunción de transferencia de lazo cerrado es C/R = GcG/(1+GCGH) y los polos delazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1+ GcGH = 0. El lugar de lasraíces muestra cómo esos polos se mueven en el plano s cuando se varía unparámetro de G GH

Gc G+ CR

parámetro de GcGH.

H

-Controlador Planta

H

( )K s zC +( )( )1 2( )( )R s s p s p K s z

=+ + + +

El método del lugar de las raíces es una técnica gráfica para determinar cómo se


g g pmueven los polos del sistema cuando se varía un parámetro, por ejemplo K.




En el desarrollo del método, se asume que la función de ganancia de lazo tiene unaf lforma general:

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2 ....( ) ( ) ( ) mc

s a s a s aG s G s H s K

s b s b s b+ + +

=+ + +( )( ) ( )1 2 .... ns b s b s b+ + +

Donde n ≥ m para realización física

jωAi

iαEl factor (s – ai) es un vector de ai a sy (s – bk) de bk a s

σ

sai

Bk kβ

y (s bk) de bk a s.

iji is a Ae α− =

bkσ

k

i ij

k ks b B e β− =


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LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCESLOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES



Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1+ GcGH = 0, l l iópor lo que la ecuación

1cG GH = −

Se puede interpretar como que ambos lados son vectores en el plano s El vector -1Se puede interpretar como que ambos lados son vectores en el plano s. El vector -1es un vector del origen al punto -1 en el eje real negativo. Este vector tiene unalongitud o magnitud unitaria y un ángulo de fase que es un múltiplo impar de ±180º, ó ± (2i + 1)180º, donde i es un entero. Por lo tanto, los polos de lazo cerrado180 , ó ± (2i + 1)180 , donde i es un entero. Por lo tanto, los polos de lazo cerradoson los valores de s para los cuales el vector GcGH tiene una longitud unitaria y unángulo de fase de ± (2i + 1)180º. Asumiendo que K es positiva.

( )

( )

1 2

1 2

...magnitud

...fase

mc

n

A A AG GH KB B B

G GH α α β β

=

= + + − − −( ) 1 1fase ... ...c m nG GH α α β β= + + − − −





Por lo tanto, los polos de lazo cerrado son los valores de s que satisfacen lasi i t di isiguientes condiciones:

1.- Condición de ángulo:

( ) 1 1fase ... ... (2 1)180ºc m nG GH iα α β β= + + − − − = ± +

2.- Condición de magnitud:g

( ) 1 1

1 1

... ...magnitud 1 o

... ...m n

cn m

A A B BG GH K KB B A A

= = =

• El lugar de las raíces se construye sólo a partir de la condición de ángulo, comoel lugar de todos los puntos s para los cuales la suma de los ángulos de losvectores a de todos los ceros de lazo abierto a s menos la suma de los ángulosvectores ai de todos los ceros de lazo abierto a s, menos la suma de los ángulosde los vectores βk de todos los polos de lazo abierto a s es igual a un múltiploimpar de ± (2i + 1)180º.





• Después de que el lugar de las raíces se ha construido, la condición de magnitudmuestra que el valor de K para el cual un polo de lazo cerrado será localizado enmuestra que el valor de K para el cual un polo de lazo cerrado será localizado enun punto dado s, será igual al producto de las longitudes de los vectores Bk detodos los polos de lazo abierto a s dividido por el producto de las longitudes delos vectores Ai de todos los ceros de lazo abierto a slos vectores Ai de todos los ceros de lazo abierto a s.

EjemploPara el sistema con función de ganancia de lazo GcGH = K/(s + a),g c ( ),use el lugar de las raíces para encontrar el valor de K para el cual laconstante de tiempo del sistema (lazo cerrado) sea T segundos.

jω

1 2...B BK BA A

= =

jω

β1 2...A A

σβ


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REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE


REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE REGLAS PARA DIBUJAR LA LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES DE EVANSLAS RAÍCES DE EVANS

L i i t í tá d di d f ilit l t d l l d l íLas siguientes guías están dedicadas para facilitar el trazo del lugar de las raícesde la ecuación característica GcGH + 1 = 0 ó de:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2.... .... 0n ms b s b s b K s a s a s a+ + + + + + + =( )( ) ( ) ( )( ) ( )1. Una gráfica del lugar del las raíces tendrá tantas partes o trazos como polos

tenga GcGH.2 El lugar de las raíces empieza en los polos de G GH con K = 0 y termina2. El lugar de las raíces empieza en los polos de GcGH con K 0 y termina

ya sea, en los ceros de GcGH, o en infinito con K = ∞.3. El lugar de las raíces existe sobre el eje real solamente a la izquierda de un

número impar de polos y ceros reales.ú e o p de po os y ce os e es.

s





4. El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real.5. Las direcciones de las asíntotas se encuentran de la condición de ángulo y

deben satisfacer:(2 1)180º(2 1)180º cualquier enteroi in m

α ± += =

−

Si n – m = 1, α es 180º; si n – m = 2, α es +90º y -90º; si n – m = 3, α es, ; , y ; ,+60º, -60º y 180º; y así sucesivamente. Los ángulos están uniformementedistribuidos en los 360º.

6 T d l í t t i t t l j l l t di t i6. Todas las asíntotas intersectan el eje real en un solo punto a una distanciaρ0 del origen:

Polos de lazo abierto Ceros de lazo abierto−∑ ∑0 n m

ρ =−

∑ ∑





7. Los puntos de partida o arribo al eje real se pueden calcular resolviendo:

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2 ....0ns b s b s bdK d

ds ds s a s a s a⎛ ⎞− + + +

= =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠( )( ) ( )1 2 .... mds ds s a s a s a⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠





8 El á l d lid d l l d l í d l l l j d l8. El ángulo de salida del lugar de las raíces de los polos complejos de lazoabierto (o de llegada a los ceros complejos de lazo abierto) se obtieneaplicando la condición de ángulo a un punto de prueba muy cercano alpolo o al cero en cuestiónpolo o al cero en cuestión.

15º 60º 90º 135º º (2 1)180ºnγ− − − = ± +

60º135º º 15ºγ =

9 L t l l l l d l í l j i i i

90º

9. Los puntos en los cuales el lugar de las raíces cruza el eje imaginario,pueden obtenerse de la ecuación característica, haciendo s = jω.


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CONSTRUCCIÓN TÍPICACONSTRUCCIÓN TÍPICA


CONSTRUCCIÓN TÍPICACONSTRUCCIÓN TÍPICAa) Encuentre el lugar de las raíces de los polos del sistema en lazo cerrado cuando K varía.

b) Encuentre el valor de K para obtener una razón de amortiguamiento del sistema ς = 0.7 El punto donde las asíntotas intersectan el eje

real y su dirección se pueden calcular como:R(s) C(s)

+-

( )K

s s a+ (2 1)180º = 90º2 0iα ± +

= ±−

y p

00 0

2 0 2a aρ − −

= = −−

El t d tid d l j l tEl punto de partida del eje real se encuentra:

( )2 2 0dK d s as s ads ds

= + = + =

Para encontrar el valor de K se tiene que:2as = −

Para encontrar el valor de K se tiene que:10.7 cos cos (0.7) 45ºζ φ φ −= = ⇒ = =

21 2... 1 12 2B B aK B B ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

-a/2


1 21 2

1 2

... 1 12 2

... 2 2 2aK B B a a

A A⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠



CONSTRUCCIÓN TÍPICACONSTRUCCIÓN TÍPICADibujar el lugar de las raíces del sistema para variaciones de K

El p nto donde las asíntotas intersectan el ejeR(s) C(s)

+-

( 1)( 2)K

s s s+ +

(2 1)180º = 60ºiα ± += ±

El punto donde las asíntotas intersectan el ejereal y su dirección se pueden calcular como:

0(0 1 2) 0 1ρ − − −

= = −3 0−0 3 0

ρ−

El punto de partida del eje real se encuentra:

( )dK d ⎡ ⎤( )3 2 23 2 3 6 2 0dK d s s s s sds ds

⎡ ⎤= − + + = − − − =⎣ ⎦

1 20.423 1.577s s= − = −

Supóngase que se desea tener una razón de amortiguamiento de 0.7

10.7 cos cos (0.7) 45ºζ φ φ −= = ⇒ = =( )ζ φ φ

0.54 0.73 1.66 0.651

K × ×= =




CONSTRUCCIÓN TÍPICACONSTRUCCIÓN TÍPICAUna alternativa analítica a la técnica gráfica para calcular el valor de la ganancia es lasiguiente: Por ejemplo una línea a 45º al eje real negativo se puede describir por lasiguiente: Por ejemplo, una línea a 45 al eje real negativo se puede describir por laecuación s = ω(-1+j), entonces

( )( ) ( )

22 2 2

3 3 3

1 2s j jω ω= − + = −

( ) ( )3 3 32 1 2 1s j j jω ω= − − + = +

Sustituyendo en la ecuación característica 3 2( 1)( 2) 3 2 0s s s K s s s K+ + + = + + + =( 1)( 2) 3 2 0s s s K s s s K+ + + = + + + =

Se obtiene 3 2(2 2 ) 2 ( 3 1) 0K jω ω ω ω ω− + + − + =

I l d l t l i i i btiIgualando las partes real e imaginaria a cero, se obtiene : 0.382 y 0.65Kω = =

La localización del tercer polo se puede obtener a partir de la ecuación característica: p p p3 2

1 2 3 1 2 3( )( )( ) ( ) ... 0s s s s sλ λ λ λ λ λ− − − = − + + + =

1 2 3 3λ λ λ+ + = −


3 1 23 ( ) 3 ( 0.382 0.382) 2.236λ λ λ= − − + = − − − − = −

1 2 3



CONSTRUCCIÓN TÍPICACONSTRUCCIÓN TÍPICADibujar el lugar de las raíces del sistema para variaciones de K

( )( )2

( 2) ( 2)( )2 3 1 2 1 2

K s K sG s + += =

+ +2

( 2)2 3

K ss s

++ +

( )( )2 2 3 1 2 1 2s s s j s j+ + + − + +


j2

(2 1)180º = 180º2 1iα ± +

= ±−0

( 2) ( 2) 02 1

ρ − − −= =

−El punto de llegada al eje real se encuentra:

j1

2 2 3 02

dK d s sds ds s

⎡ ⎤+ += − =⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )( ) ( )22 2 2 2 3d + + + +

-1-2-3-4

1 23.732 0.268s s= − = −

( )( ) ( )( )

2

2

2 2 2 2 30

2

s s s sdKds s

+ + − + += − =

+

-j1

1 23.732 0.268s s

El ángulo de salida del lugar de las raíces delos polos complejos de lazo abierto


-j2 55º 90º º (2 1)180ºiγ− − = ± +º 145ºγ =




Una línea a 45º al eje realnegativo se puede describir por laecuación s = ω(-1+j), entonces

( )22 2 21 2s j jω ω= − + = −( )1 2s j jω ω+

Sustituyendo en la ecuación característica

2 2(2 ) 3 2 2 3 2 0s K s K s s Ks K+ + + + = + + + + =22 2 ( 1 ) ( 1 ) 3 2 0j j K j Kω ω ω− + − + + − + + + =

Supóngase que se desea tener una

Se obtiene 2( 2 3 2 ) ( 2 2 ) 0K K j Kω ω ω ω ω− − + + + − + + =

I l d l t l i i iSupóngase que se desea tener una razón de amortiguamiento de 0.7

10.7 cos cos (0.7) 45ºζ φ φ −= = ⇒ = =

Igualando las partes real e imaginaria a cero, se obtiene :

1.7071 y 1.4142Kω = =


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DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO REDES DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO REDES


DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO REDES DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO REDES DE ADELANTO Y DE ATRASODE ADELANTO Y DE ATRASO

COMPENSADOR DE ADELANTO DE FASECOMPENSADOR DE ADELANTO DE FASE

( )( ) cc

K s zG ss p

+=

+s p+con

z p<

A1A2 A1A2

dφ

zθpθ


z pφ θ θ= −




PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

1 Determine los polos dominantes de lazo cerrado deseados de las especificaciones1. Determine los polos dominantes de lazo cerrado deseados de las especificaciones.2. En esas posiciones, determine la deficiencia de ángulo φd con la que el

compensador de adelanto de fase debe contribuir.3. Seleccione el cero del compensador en el eje real justo abajo del polo deseado o a3. Seleccione el cero del compensador en el eje real justo abajo del polo deseado o a

la izquierda de esta posición.4. Con el cero seleccionado, determine el polo del compensador dibujando una línea

a un ángulo φd como se indica en la figura de la diapositiva anterior.g φd g p5. Determine la ganancia del lugar de las raíces de la condición de magnitud6. Determine la ganancia actual de lazo y, por lo tanto, los errores de estado estable.7. Repita el diseño con una nueva selección de los polos deseados si estos erroresp p

son demasiado grandes.





Ejemplo 1

Suponga una función de transferencia

2

1( )G s =

j p

2sDiseñe un compensador de adelanto de fase para que el sistema de lazo cerrado tengauna razón de amortiguamiento de 0.5 y un tiempo de asentamiento de 4 segundos.

Dado que el tiempo de asentamiento es Ts = 4/(ζωn) se tiene que:

20 5 2 1 0 1 3ζ ω ζω ω ζ= = = − =0.5 2 1.0 1 3n n nζ ω ζω ω ζ= = = =

Por lo que los polos dominantes de lazo cerrado son: 1 3j− ±

L f ió d t f i d l d d d l t d fLa función de transferencia del compensador de adelanto de fase es:

( )( ) cc

K s zG ss p

+=

+


s p+




3j 90º 120º 120º 180ºθ− − − = ±

La condición de ángulo establece que:

j

23

2 3

dθ90 120 120 180pθ ±

También se puede escribir como:

120º 120º 180ºdθ − − = ±

-1-2-3-4

60º

d

Lo que da:60ºdθ =

La función de ganancia de lazo queda:

( 1)K2

( 1)( ) ( )( 4)c

cK sG s G ss s

+=

+

El valor de K se encuentra apoyándose en la gráfica del lugar de las raíces


El valor de Kc se encuentra apoyándose en la gráfica del lugar de las raíces.




El t d d l í t t i t t l j

j2(2 1)180º = 90º

3 1iα ± +

= ±


0(0 0 4) ( 1) 1.5

3 1ρ − − − −

= = −

j1

j2 3 1−0 3 1ρ

−

El punto de salida del eje real se encuentra:3 24dK d ⎡ ⎤3

2 3

-1-2-3-4

3 24 01

dK d s sds ds s

⎡ ⎤+= − =⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )( ) ( )2 3 23 8 1 4 (1)s s s s sdK + + − +

3

1 2 30 0.5779 6.922s s s= = − = −

( )( ) ( )( )2

( )0

1dKds s

= − =+

2 2 2 3× ×

Kc se obtiene de la condición de magnitud


2 2 2 3 83

K × ×= =




1.4341 1.3861

( 1)( ) 8( 4)csG ss+

=+

( 1.5)( ) 16( 8)csG ss+

=+





Ejemplo 2

Suponga una función de transferencia

( )1( )

2G s

s s=

+

j p

( )2s s +Diseñe un compensador de adelanto de fase para que la constante de tiempo dominanteen lazo cerrado sea 0.25 segundos y el máximo sobretiro permitido de 16%D d l t t d ti T 1/(ζ ) b ti d 16% dDado que la constante de tiempo es T = 1/(ζωn) y para un sobretiro de 16% correspondeuna ζ = 0.5 (de la gráfica 5.2 del libro “Feedback control systems” de John Van deVegte) se tiene que:

20.5 8 4 1 4 3 6.928n n nζ ω ζω ω ζ= = = − = =

Por lo que los polos dominantes de lazo cerrado son: 4 6.93j− ±

La función de transferencia del compensador de adelanto de fase es:

( )( ) cK s zG s +=


( )cG ss p+




6.93j

dθ

90º 120º 106 1º 180ºθ

La condición de ángulo establece que:90º 120º 106.1º 180ºpθ− − − = ±

También se puede escribir como:

120º 106 1º 180ºθ ±120º 106.1º 180ºdθ − − = ±

Lo que da:46.1ºdθ =

La función de ganancia de lazo queda:

( 4)( ) ( )( 2)( 11.2)

cc

K sG s G ss s s

+=

+ +


El valor de Kc se encuentra apoyándose en la gráfica del lugar de las raíces.




6 93j El punto de salida del eje real se6.93j El punto de salida del eje real seencuentra:

3 213.2 22.4 0dK d s s sd d

⎡ ⎤+ += − =⎢ ⎥

⎣ ⎦4ds ds s⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )( ) ( )( )

2 3 2

2

3 26.4 22.4 4 13.2 22.4 (1)0

4

s s s s s sdKds s

+ + + − + += − =

+

1j

2j1 2,31.085 5.31 3.62s s j= − = − ±

Kc se obtiene de la condición

El t d d l í t t i t t l j 8 7.211 10 83 3K × ×

cde magnitud

(2 1)180º = 90º3 1iα ± +

= ±


0(0 2 11.2) ( 4) 4.6

3 1ρ − − − −

= = −

83.36.93

K = =


3 1−0 3 1ρ

−




1 27421.2742

La ganancia de lazo es: 83 3 483.3 4 14.872 11.2

K ×= =

×

Por lo que el error de estado estable ante

83.3( 4)( )( 11.2)c

sG ss

+=

+

Por lo que el error de estado estable anteuna entrada rampa unitaria para estesistema tipo 1 es 1/14.87 = 0.067. Si esmuy grande, el diseño se debe repetir con( ) muy grande, el diseño se debe repetir conun nuevo conjunto de polos deseados auna mayor distancia del origen.





Por otro lado, el sobretiro es mayor que el 16% esperado para la razón deamortiguamiento de 0.5. Lo anterior se debe a la posición del tercer polo que para esevalor de ganancia se localiza en -5.2.g

La localización del tercer polo se puede obtener a partir de la ecuación característica:

3 213 2 105 7 333 2 0+ + +

3 21 2 3 1 2 3( )( )( ) ( ) ... 0s s s s sλ λ λ λ λ λ− − − = − + + + =

13 2λ λ λ

3 213.2 105.7 333.2 0s s s+ + + =

3 1 213.2 ( ) 13.2 ( 4 4) 5.2λ λ λ= − − + = − − − − = −

1 2 3 13.2λ λ λ+ + = −

El cual no esta muy lejos a la izquierda del par de polos dominantes, lo que implicaque tiene influencia significativa en la respuesta y la hace diferir con respecto de la deun sistema de segundo orden que contenga sólo esos polos. El cero y el polo del


g q g p y pcompensador se deben mover a la izquierda .




COMPENSADOR DE ATRASO DE FASECOMPENSADOR DE ATRASO DE FASE

( )( ) cc

K s zG s +=( )cG s p+

conz p> p

La ganancia del lugar de las raíces es Kc, pero la ganancia que determina el error deestado estable es Kc(z/p), lo que implica que ha sido incrementada por el factor z/p.Entonces, colocando el polo del compensador diez veces más cerca del origen que elcero, la precisión de estado estable se puede mejorar en un factor de 10 con un pequeñoefecto en la respuesta transitoria si el polo y el cero están lo suficientemente cerca delorigen.





PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

1 Dib j l l d l í l d d i i l1. Dibuje el lugar de las raíces para un controlador de ganancia proporcional.2. Determine la posición del par de polos de lazo cerrado deseados en el lugar de las

raíces de acuerdo a las especificaciones.3 Determine la ganancia del l gar de las raíces en esta posición a partir de la3. Determine la ganancia del lugar de las raíces en esta posición a partir de la

condición de magnitud, y por lo tanto el valor de Kc para el control P.4. Para este valor de Kc, determine el valor del factor z/p necesario para satisfacer la

especificación de exactitud en el estado estableespecificación de exactitud en el estado estable.5. Seleccione p y z con esta razón y suficientemente cerca del origen, tal que los

ángulos del vector a los polos dominantes difieran de unos pocos grados.6 Dibuje el lugar de las raíces del sistema compensado y encuentre los polos6. Dibuje el lugar de las raíces del sistema compensado y encuentre los polos

dominantes. Reduzca Kc si es necesario para contrarrestar cualquier reducción dela estabilidad relativa.





Ejemplo 3Ejemplo 3

Suponga que se tiene nuevamente la función de transferencia del ejemplo 2

1( )

1( )2

G ss s

=+

Se desea una razón de amortiguamiento de lazo cerrado de 0.5. De acuerdo al paso 2 delg pprocedimiento de diseño los polos se seleccionan en el lugar de las raíces para uncontrol P. Los polos deseados son , y aplicando la condición de magnitud seencuentra la ganancia Kc = 4. La función de ganancia de lazo con el control P es

1 3j− ±c

entonces 4/[s(s+2)], tal que la ganancia es 4/2 = 2. Supóngase que se debe incrementarpor un factor de 10 para satisfacer la precisión de estado estable. Entonces, de acuerdoal paso 4 la razón z/p del atraso de fase debe ser 10. Si se selecciona z = 0.1, mucho máscerca del origen que los polos deseados, entonces p = 0.01 y el compensador por atrasode fase es:

0.1( ) 4 sG s +


( ) 40.01cG s

s=

+




3j

ry A

xis

2 2

2.3º

Imag

inar 2 2

7.211

60º





Ejemplo 4Ejemplo 4

En el sistema mostrado en la figura, el controlador P se reemplaza por un compensadorde atraso de fase para mejorar la precisión del estado estable. Se especifica una gananciade 1.5.

R(s) C(s)1( 1)( 2)s s s+ +cK ( )( )

La razón de amortiguamiento de los polos dominantes debe ser de 0.707. Del lugar de las raíces Kc y los polos deseados son:

0 65 0 382 0 382K s j= = − ±1,20.65 0.382 0.382cK s j= = − ±

La función de ganancia de lazo con el controlador P es 0.65/[s(s+1)(s+2)], entonces la ganancia es 0.65/2 = 0.325. Para lograr la ganancia deseada de 1.5, se debe incrementar


en un factor de 5. Entonces la razón z/p del compensador de atraso debe ser 5.




1

1.5

2Root Locus

1

1.5

2Root Locus

0 5

0

0.5

Imag

inar

y A

xis

0 5

0

0.5

Imag

inar

y A

xis

-1.5

-1

-0.5

-1.5

-1

-0.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

Real Axis

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

Real Axis

( 0.1)( ) K sG + ( 0 05)K s +( )c cG s K=( 0.1)( )

0.02c

cK sG ss

+=

+( 0.05)( )

0.01c

cK sG ss

+=

+( )c cG s K=


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